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Mitternachtsformel

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Mitternachtsformel

Mit der Mitternachtsformel kannst du die Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Formberechnen.

Mitternachtsformel Mitternacht StudySmarter

Mitternachtsformel Definition

Allgemein löst die Mitternachtsformel eine quadratische Gleichung der Form. Durch das Anwenden der Mitternachtsformel erhältst du die Lösungsmenge dieser Gleichung.

Mit der Mitternachtsformel Mitternachtsformel Formel StudySmarter können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form bestimmt werden.

Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Das bedeutet, dass du zwei Lösungen für die Gleichung berechnen kannst, indem du einmal mit und einmal mit rechnest. Es gibt aber nicht immer zwei Lösungen. Manchmal haben quadratische Gleichungen auch nur eine oder keine Lösung.

Oft wird die Mitternachtsformel aber auch verwendet, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Denn die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung entspricht den Nullstellen der quadratischen Funktion .

Nullstellen sind die Punkte, an denen die Funktion f(x) die x-Achse schneidet.

Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ist:

Dabei ist , da sonst die Funktion linear oder konstant ist.

Man könnte also auch sagen:

Mit der Mitternachtsformel Mitternachtsformel Formel StudySmarter können die Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form bestimmt werden.

Mitternachtsformel angewenden

Dieses Kapitel widmet sich der Verwendung der Mitternachtsformel, um Nullstellen von quadratischen Funktionen oder Lösungen von quadratischen Gleichungen zu berechnen.

Mitternachtsformel bei quadratischen Funktionen anwenden

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Mitternachtsformel zu berechnen, kannst du dich an dieser Vorgehensweise orientieren.

  1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen.
  2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen.
  3. und berechnen.

Falls die quadratische Funktion in Scheitelpunktform gegeben ist, musst du diese vor dem ersten Schritt in die allgemeine Form umwandeln.

Wenn du gerne wissen möchtest, was die Scheitelpunktform ist und wie du sie in die allgemeine Form umwandeln kannst, dann kannst du das im Artikel Quadratische Funktion nachlesen.

Aufgabe

Gib die Nullstellen der Funktion an.

Lösung

1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen:

Beim Bestimmen der Werte für a, b und c musst du auf die Vorzeichen aufpassen!

2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:

3. und berechnen:

Die Funktion hat Nullstellen bei und bei .

Du kannst jetzt überprüfen, ob du richtig gerechnet hast. Wenn du die Nullstellen in die Funktion einsetzt, muss null herauskommen:

Spezialfall: a = 1

Ist eine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung gegeben, so sagt man auch, dass die Funktion in Normalform vorliegt. Bei quadratischen Funktionen in Normalform ist . Oft werden dann für b und c die Parameter p und q verwendet:

Eine quadratische Funktion in Normalform hat eine Funktionsgleichung der Form:

Man kann die Mitternachtsformel einer quadratischen Funktion in Normalform angeben , und :

Diese Formel wird dann auch pq-Formel genannt. Wenn eine quadratische Funktion in Normalform angegeben ist, kannst du die pq-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.

Wenn du mehr über die pq-Formel wissen möchtest, kannst du gerne im Artikel pq Formel Genaueres nachlesen.

Spezialfall b = 0 oder c = 0

Manchmal fällt auch ein Teil der allgemeinen Form der quadratischen Funktion weg. Bei der Funktion beispielsweise fällt der Teil weg. Dann kannst du ganz normal die Mitternachtsformel verwenden. Du musst dann für b den Wert null einsetzen.

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Funktion mithilfe der Mitternachtsformel.

Lösung

1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen:

2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:

3. und berechnen:

Die Funktion hat Nullstellen bei und .

Du hättest die Nullstellen dieser Funktion auch ohne die Mitternachtsformel berechnen können:

In der Funktion beispielsweise ist . Auch hier kannst du die Mitternachtsformel verwenden. Du musst dann für c den Wert null einsetzen. Allerdings ist es in diesem Fall geschickter, die Nullstellen zu bestimmen, indem du 4x ausklammerst.

Aufgabe

Bestimme die Nullstellen der Funktion .

Lösung

Variante 1 - Ausklammern:

Die Nullstellen der Funktion sind also und .

Variante 2 - Mitternachtsformel:

1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen:

2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:

3. und berechnen:

Die Nullstellen der Funktion sind also und .

Du kannst die Mitternachtsformel zur Bestimmung der Nullstellen aller quadratischer Funktionen verwenden.Es ist aber nicht in jedem Fall die geschickteste Methode.

Mitternachtsformel bei quadratischen Gleichungen

Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel zu berechnen, kannst du dich an dieser Vorgehensweise orientieren.

  1. Die quadratische Gleichung in die allgemeine Form bringen.
  2. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung bestimmen.
  3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen.
  4. und berechnen.

Schauen wir uns das doch mal an einem Beispiel an!

Aufgabe

Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

Lösung

1. Die quadratische Gleichung in die allgemeine Form bringen:

2. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung bestimmen:

3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:

4. und berechnen:

Somit sind die Lösungen der Gleichung und .

Die Lösungsmenge der Gleichung ist also .

Diskriminante Mitternachtsformel

Die Anzahl der Lösungen, also ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösungen hat, kannst du auch an der Diskriminante ablesen.

Der Term unter der Wurzel wird als Diskriminante bezeichnet. Die Diskriminante ist wichtig für die Anzahl der Lösungen beziehungsweise Nullstellen. Es werden drei Fälle unterschieden:

: Es gibt zwei Lösungen: und .

: Es gibt eine Lösung: .

: Es gibt keine Lösung.

Es hat natürlich auch einen Grund, warum es keine Lösungen gibt, wenn die Diskriminante kleiner als null ist. Die Quadratwurzel ist für Werte, die kleiner als null sind, nicht definiert. Es können also keine Werte berechnet werden.

Diskriminantequadratische FunktionFunktionsgraph (Beispiel, Abbildungen 1–3)quadratische Gleichung
Die quadratische Funktion hat zwei Nullstellen:Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse an zwei Punkten:

Mitternachtsformel zwei Lösungen StudySmarter

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:
Die quadratische Funktion hat eine Nullstelle:Der Funktionsgraph berührt die x-Achse an einem Punkt:

Mitternachtsformel eine Lösung StudySmarter

Die quadratische Gleichung hat eine Lösung:
Die quadratische Funktion hat keine Nullstelle.Der Funktionsgraph berührt die x-Achse nicht:

Mitternachtsformel keine Lösung StudySmarter

Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.

Mitternachtsformel Herleitung

Die Herleitung der Mitternachtsformel ist komplex. Es reicht auch, wenn du weißt, dass die Mitternachtsformel auch wirklich stimmt und dass sie bewiesen werden kann.

Es ist die allgemeine Form einer quadratischen Funktion gegeben:

Von dieser Funktion werden die Nullstellen gesucht:

Die linke Seite der Gleichung soll so verändert werden, dass die erste binomische Formelangewandt werden kann:

Jetzt können beide Seiten der Gleichung mit multipliziert werden:

Wenn jetzt noch auf beiden Seiten addiert wird, erkennt man die binomische Formel:

Auf die linke Seite der Gleichung soll jetzt die erste binomische Formel angewandt werden. Dazu betrachten wir einmal nur den Term auf der linken Seite der Gleichung und wandeln diesen mit Hilfe des Kommutativgesetzes, des Assoziativgesetzes und der Potenzgesetze um:

Im Folgenden wird nun die erste binomische Formel angewendet:

Der umgeformte Term wird jetzt wieder in die Gleichung eingesetzt:

Um die Gleichung nach x aufzulösen, wird jetzt die Quadratwurzel gezogen:

Beachte hier, dass sowohl als auch betrachtet werden muss!

Die so entstandene Gleichung kann weiter nach x aufgelöst werden:

Mitternachtsformel - Das Wichtigste

  • Mit der Mitternachtsformel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form bestimmt werden.
  • Mit der Mitternachtsformel können die Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form bestimmt werden.
  • Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

  • Die Diskriminante ist wichtig für die Anzahl der Lösungen beziehungsweise Nullstellen. Es werden drei Fälle unterschieden:

    • : Es gibt zwei Lösungen/Nullstellen

    • : Es gibt eine Lösung/Nullstelle

    • : Es gibt keine Lösung/Nullstelle.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mitternachtsformel

Wenn eine quadratische Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 gegeben ist, dann steht a vor x^2, b vor dem x und c alleine.

Die ABC-Formel ist eine Lösungsformel, mit der die Lösungen einer quadratischen Gleichung bzw. die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden können.

Die Mitternachtsformel kann angewandt werden, wenn die Nullstellen einer quadratischen Funktion oder die Lösungen einer quadratischen Gleichung gesucht sind.

Die Mitternachtsformel heißt auch a-b-c-Formel oder Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Finales Mitternachtsformel Quiz

Frage

Wie lautet die Mitternachtsformel?



Antwort anzeigen

Antwort

 

Frage anzeigen

Frage

Du hast folgende quadratische Gleichung gegeben:



Färbe die Zahlen, die in der Mitternachtsformel für die Koeffizienten a, b und c stehen, entsprechend an.

Antwort anzeigen

Antwort

Das a steht für die Zahl vor dem x2, das b bezeichnet die Zahl vor dem x und c gibt die alleinstehende Zahl an.



Frage anzeigen

Frage

Für eine quadratische Funktion wird die Diskriminante der Mitternachtsformel gleich Null.


 


Wie könnte der Funktionsgraph aussehen?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Nullstellen der Funktion  mithilfe der Mitternachtsformel.



Antwort anzeigen

Antwort



Frage anzeigen

Frage

Für die Mitternachtsformel wird die allgemeine Form der Funktionsgleichung benötigt.


Gib diese für die Funktion  an.



Antwort anzeigen

Antwort

 


Frage anzeigen

Frage

Durch die Anwendung der Mitternachtsformel für eine Funktion  ergeben sich die folgenden Lösungen.



Was bedeutet das?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion  besitzt an den Stellen  und  Schnittpunkte mit der y-Achse.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Mitternachtsformel noch genannt?


Antwort anzeigen

Antwort

pq-Formel

Frage anzeigen

Frage

Finde den Rechenfehler.



Antwort anzeigen

Antwort

Unter der Wurzel wurde beim Rechenschritt  ein Minuszeichen vergessen. Dadurch ergibt sich ein falsches Ergebnis.



Frage anzeigen

Frage

Du hast eine bereits ausgefüllte Mitternachtsformel vor Dir.



Gib die zugehörige Funktionsgleichung in der allgemeinen Form an.

Antwort anzeigen

Antwort

Die zugehörige Funktion lautet also:



Frage anzeigen

Frage


Welcher der folgenden Funktionsterme passt zu dieser Funktion? 


Bestimme dies mithilfe der Mitternachtsformel.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche dieser Gleichungen können nicht mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden?

Antwort anzeigen

Antwort

 

Frage anzeigen

Frage

Ordne den Werten der Diskriminante der Mitternachtsformel einen passenden Graphen zu.


 

Antwort anzeigen

Antwort

A


Frage anzeigen
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