StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
Mit der Mitternachtsformel kannst du die Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Formberechnen.
Allgemein löst die Mitternachtsformel eine quadratische Gleichung der Form. Durch das Anwenden der Mitternachtsformel erhältst du die Lösungsmenge dieser Gleichung.
Mit der Mitternachtsformel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form
bestimmt werden.
Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Das bedeutet, dass du zwei Lösungen für die Gleichung berechnen kannst, indem du einmal mit
und einmal mit
rechnest. Es gibt aber nicht immer zwei Lösungen. Manchmal haben quadratische Gleichungen auch nur eine oder keine Lösung.
Oft wird die Mitternachtsformel aber auch verwendet, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Denn die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung entspricht den Nullstellen der quadratischen Funktion
.
Nullstellen sind die Punkte, an denen die Funktion f(x) die x-Achse schneidet.
Man könnte also auch sagen:
Mit der Mitternachtsformel können die Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form
bestimmt werden.
Dieses Kapitel widmet sich der Verwendung der Mitternachtsformel, um Nullstellen von quadratischen Funktionen oder Lösungen von quadratischen Gleichungen zu berechnen.
Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Mitternachtsformel zu berechnen, kannst du dich an dieser Vorgehensweise orientieren.
Falls die quadratische Funktion in Scheitelpunktform gegeben ist, musst du diese vor dem ersten Schritt in die allgemeine Form umwandeln.
Wenn du gerne wissen möchtest, was die Scheitelpunktform ist und wie du sie in die allgemeine Form umwandeln kannst, dann kannst du das im Artikel Quadratische Funktion nachlesen.
Gib die Nullstellen der Funktion an.
1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen:
Beim Bestimmen der Werte für a, b und c musst du auf die Vorzeichen aufpassen!
2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:
3. und
berechnen:
Die Funktion hat Nullstellen bei und bei
.
Du kannst jetzt überprüfen, ob du richtig gerechnet hast. Wenn du die Nullstellen in die Funktion einsetzt, muss null herauskommen:
Ist eine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung gegeben, so sagt man auch, dass die Funktion in Normalform vorliegt. Bei quadratischen Funktionen in Normalform ist
. Oft werden dann für b und c die Parameter p und q verwendet:
Eine quadratische Funktion in Normalform hat eine Funktionsgleichung der Form:
Man kann die Mitternachtsformel einer quadratischen Funktion in Normalform angeben ,
und
:
Diese Formel wird dann auch pq-Formel genannt. Wenn eine quadratische Funktion in Normalform angegeben ist, kannst du die pq-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden, um die Nullstellen zu bestimmen.
Wenn du mehr über die pq-Formel wissen möchtest, kannst du gerne im Artikel pq Formel Genaueres nachlesen.
Manchmal fällt auch ein Teil der allgemeinen Form der quadratischen Funktion weg. Bei der Funktion beispielsweise fällt der Teil
weg. Dann kannst du ganz normal die Mitternachtsformel verwenden. Du musst dann für b den Wert null einsetzen.
Bestimme die Nullstellen der Funktion mithilfe der Mitternachtsformel.
1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen:
2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:
3. und
berechnen:
Die Funktion hat Nullstellen bei und
.
Du hättest die Nullstellen dieser Funktion auch ohne die Mitternachtsformel berechnen können:
In der Funktion beispielsweise ist
. Auch hier kannst du die Mitternachtsformel verwenden. Du musst dann für c den Wert null einsetzen. Allerdings ist es in diesem Fall geschickter, die Nullstellen zu bestimmen, indem du 4x ausklammerst.
Bestimme die Nullstellen der Funktion .
Variante 1 - Ausklammern:
Die Nullstellen der Funktion sind also und
.
Variante 2 - Mitternachtsformel:
1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen:
2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:
3. und
berechnen:
Die Nullstellen der Funktion sind also und
.
Du kannst die Mitternachtsformel zur Bestimmung der Nullstellen aller quadratischer Funktionen verwenden.Es ist aber nicht in jedem Fall die geschickteste Methode.
Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel zu berechnen, kannst du dich an dieser Vorgehensweise orientieren.
Schauen wir uns das doch mal an einem Beispiel an!
Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.
1. Die quadratische Gleichung in die allgemeine Form bringen:
2. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung bestimmen:
3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen:
4. und
berechnen:
Somit sind die Lösungen der Gleichung und
.
Die Lösungsmenge der Gleichung ist also .
Die Anzahl der Lösungen, also ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösungen hat, kannst du auch an der Diskriminante ablesen.
Der Term unter der Wurzel wird als Diskriminante bezeichnet. Die Diskriminante ist wichtig für die Anzahl der Lösungen beziehungsweise Nullstellen. Es werden drei Fälle unterschieden:
: Es gibt zwei Lösungen:
und
.
: Es gibt eine Lösung:
.
: Es gibt keine Lösung.
Es hat natürlich auch einen Grund, warum es keine Lösungen gibt, wenn die Diskriminante kleiner als null ist. Die Quadratwurzel ist für Werte, die kleiner als null sind, nicht definiert. Es können also keine Werte berechnet werden.
Diskriminante | quadratische Funktion | Funktionsgraph (Beispiel, Abbildungen 1–3) | quadratische Gleichung |
Die quadratische Funktion hat zwei Nullstellen: | Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse an zwei Punkten: | Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen: | |
Die quadratische Funktion hat eine Nullstelle: | Der Funktionsgraph berührt die x-Achse an einem Punkt: | Die quadratische Gleichung hat eine Lösung: | |
Die quadratische Funktion hat keine Nullstelle. | Der Funktionsgraph berührt die x-Achse nicht: | Die quadratische Gleichung hat keine Lösung. |
Die Herleitung der Mitternachtsformel ist komplex. Es reicht auch, wenn du weißt, dass die Mitternachtsformel auch wirklich stimmt und dass sie bewiesen werden kann.
Es ist die allgemeine Form einer quadratischen Funktion gegeben:
Von dieser Funktion werden die Nullstellen gesucht:
Die linke Seite der Gleichung soll so verändert werden, dass die erste binomische Formelangewandt werden kann:
Jetzt können beide Seiten der Gleichung mit multipliziert werden:
Wenn jetzt noch auf beiden Seiten addiert wird, erkennt man die binomische Formel:
Auf die linke Seite der Gleichung soll jetzt die erste binomische Formel angewandt werden. Dazu betrachten wir einmal nur den Term auf der linken Seite der Gleichung und wandeln diesen mit Hilfe des Kommutativgesetzes, des Assoziativgesetzes und der Potenzgesetze um:
Im Folgenden wird nun die erste binomische Formel angewendet:
Der umgeformte Term wird jetzt wieder in die Gleichung eingesetzt:
Um die Gleichung nach x aufzulösen, wird jetzt die Quadratwurzel gezogen:
Beachte hier, dass sowohl als auch
betrachtet werden muss!
Die so entstandene Gleichung kann weiter nach x aufgelöst werden:
Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Die Diskriminante ist wichtig für die Anzahl der Lösungen beziehungsweise Nullstellen. Es werden drei Fälle unterschieden:
: Es gibt zwei Lösungen/Nullstellen
: Es gibt eine Lösung/Nullstelle
: Es gibt keine Lösung/Nullstelle.
Wenn eine quadratische Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 gegeben ist, dann steht a vor x^2, b vor dem x und c alleine.
Die ABC-Formel ist eine Lösungsformel, mit der die Lösungen einer quadratischen Gleichung bzw. die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmt werden können.
Die Mitternachtsformel kann angewandt werden, wenn die Nullstellen einer quadratischen Funktion oder die Lösungen einer quadratischen Gleichung gesucht sind.
Die Mitternachtsformel heißt auch a-b-c-Formel oder Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.
Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.
Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.
Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.
Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.
Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.
Kenne deine Schwächen und Stärken.
Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.
Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.
Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.
Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.