pq-Formel

Q: Wie lautet die allgemeine PQ-Formel?

Die allgemeine pq-Formel lautet: x 1/2 =-p/2 ±√((p/2)²-q). Mit dieser Formel werden die Lösungen x 1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0 berechnet.

Q: Was ist die PQ-Formel einfach erklärt?

Die pq-Formel ist eine Lösungsformel zur Berechnung der Lösungen x 1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0.

Q: Wann ist PQ-Formel anwendbar?

Die pq-Formel lässt sich anwenden bei der Berechnung der Lösungen x 1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0.

Q: Wie werden Nullstellen mit der PQ Formel berechnet?

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der pq-Formel zu berechnen, setze die Funktion f(x) gleich Null (f(x)=0) und forme die Gleichung in die Form x²+px+q=0 um. Lies die Koeffizienten p und q aus, setze sie in die pq-Formel ein und rechne die Formel aus. Das Ergebnis sind die Nullstellen der Funktion f(x).

INHALTSANGABE :

INHALTSANGABE

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden

Du möchtest eine Erklärung zur pq-Formel und wie Du die pq-Formel anwenden kannst? Kein Problem! Hier findest Du ein Beispiel zur pq-Formel, die Dir das Berechnen der Nullstellen zeigt. Außerdem erfährst Du, wie sich die Koeffizienten \(p\) und \(q\) bestimmen lassen, wie Du die Diskriminante bei der pq-Formel nutzt und welche mathematische Herleitung hinter der pq-Formel steckt.

pq-Formel Erklärung – p und q bestimmen

Mit der pq-Formel \[x_{1/2}=-\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}q}}\] werden die Lösungen \(x_{1/2}\) einer Gleichung der Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) bestimmt.

Du kannst mit der pq-Formel also quadratische Gleichungen lösen, die in der Normalform vorliegen. Dazu werden die Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) direkt aus der Gleichung bestimmt, wenn die Gleichung in der entsprechenden Form vorliegt.

Ist dies nicht der Fall, so kann die quadratische Gleichung in diese Form umgeformt werden.

In der Erklärung „Quadratische Gleichungen“ kannst Du alles rund um diese Form noch einmal nachlesen.

Fehlen ein oder sogar beide Koeffizienten \(p\) und \(q\) in der Gleichung, so werden diese mit Null angegeben, wie zum Beispiel \(x^2=0\) entspricht \(x^2+0x+0=0\).

Wozu kannst Du diese pq-Formel anwenden und nutzen?

pq-Formel anwenden – Nullstellen bestimmen

Anwenden lässt sich die pq-Formel bei quadratischen Funktionen und damit kannst Du die Nullstellen bestimmen. Dazu setzt Du die Funktion gleich Null, bringst diese in die entsprechende Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) und wendest dann die pq-Formel an. Dazu kannst Du Dich an folgender Anleitung orientieren:

Vorgehensweise zum Nullstellen bestimmen mittels der pq-Formel:

Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen: \(f(x)=0\)
In die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen (falls notwendig)
Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen
\({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen
Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen

Diese Anleitung kannst Du direkt bei einem Beispiel nachvollziehen.

pq-Formel Beispiel und Aufgaben

Mithilfe der Anleitung lässt sich das Beispiel und Aufgaben berechnen und die pq-Formel anwenden.

Das Beispiel zeigt Dir dabei eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für die Nullstellenberechnung einer Funktion \(f(x)\).

Gegeben ist eine Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=2x^2+2x-4\). Zu berechnen sind die Nullstellen der Funktion \(f(x)\).

pq-Formel Nullstellen Funktion StudySmarter Abb. 1 - Nullstellen der Funktion \(f(x)\).

Lösung

In der folgenden Tabelle findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, mit der Du die Nullstellen einer Beispielfunktion \(f(x)\) durch die pq-Formel bestimmen kannst.

Schritte	Anwendung am Beispiel
\(1\). Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen:	\[2x^2+2x-4=0\]
\(2\). Gleichung in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen:	\begin{align}{\color{#FA3273}2}x^2+2x-4&=0\hspace{1cm}\|\,:\,{\color{#FA3273}2}\\[0.1cm]1x^2+1x-2&=0\\[0.1cm]x^2+1x+(-2)&=0\end{align} Hier wird die komplette Gleichung durch \(2\) geteilt, um den Faktor vor \(x^2\) zu eliminieren.
\(3\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen:	\[x^2+{\color{#1478C8}1}x+{\color{#00DCB4}(-2)}=0\] Hierbei gilt für die Koeffizienten: \({\color{#1478C8}p=1}\) und \({\color{#00DCB4}q=-2}\).
\(4\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen:	\begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}q}}\\[0.2cm]x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2} \pm\sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}(-2)}}\end{align}
\(5\). Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen:	\begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}(-2)}}\\[0.2cm]&=-\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+2}\\[0.2cm]&=-0{,}5 \pm \sqrt{2{,}25}\\[0.2cm]&=-0{,}5 \pm 1{,}5\end{align} Damit gilt für die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\): \begin{align}x_1&=-0{,}5- 1{,}5=-2\\[0.1cm]x_2&=-0{,}5+ 1{,}5=1\end{align}

Die Funktion \(f(x)\) besitzt somit zwei Nullstellen bei \(x_1=-2\) und \(x_2=1\).

Alternativ kannst Du beispielsweise auch die „Mitternachtsformel“ zur Berechnung der Nullstellen verwenden.

Teste Dein Wissen doch direkt an den Übungsaufgaben!

pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 1 mit Lösung

Aufgabe 1

Berechne die Nullstellen der folgenden quadratischen Funktion \(f(x)\).

\[f(x)=x^2-5\]

Lösung

Schritte	Anwendung am Beispiel
\(1\). Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen:	\[x^2-5=0\]
\(2\). Gleichung in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen:	\[x^2+{\color{#FA3273}0}x-5=0\] Hier wird lediglich \(0x\) ergänzt.
\(3\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen:	\[x^2+{\color{#1478C8}0}x+{\color{#00DCB4}(-5)}=0\] Hierbei gilt für die Koeffizienten: \({\color{#1478C8}p=0}\) und \({\color{#00DCB4}q=-5}\).
\(4\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen:	\[x_{1/2}=-\dfrac{{\color{#1478C8}0}}{2} \pm\sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}0}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}(-5)}}\]
\(5\). Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen:	\[x_{1/2}=\pm \sqrt{5}\] Damit gilt für die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\): \begin{align}x_1&\approx-2{,}24\\[0.1cm]x_2&\approx 2{,}24\end{align}

Die Funktion \(f(x)\) besitzt somit zwei Nullstellen bei \(x_1=-2{,}24\) und \(x_2=2{,}24\).

pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 2 mit Lösung

Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen der folgenden quadratischen Funktion \(f(x)\).

\[f(x)=3x^2+9x\]

Lösung

Schritte	Anwendung am Beispiel
\(1\). Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen:	\[3x^2+9x=0\]
\(2\). Gleichung in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen:	\begin{align}{\color{#FA3273}3}x^2+9x+{\color{#8363E2}0}&=0\hspace{1cm}\|\,:\,{\color{#FA3273}3}\\[0.1cm]x^2+3x+0&=0\end{align} Hier wird \(+\,0\) ergänzt und durch \(3\) geteilt.
\(3\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen:	\[x^2+{\color{#1478C8}3}x+{\color{#00DCB4}0}=0\] Hierbei gilt für die Koeffizienten: \({\color{#1478C8}p=3}\) und \({\color{#00DCB4}q=0}\).
\(4\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen:	\begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2} \pm\sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}0}}\end{align}
\(5\). Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen:	\begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2}\right)^2+{\color{#00DCB4}0}}\\[0.2cm]&=-\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3}{2}\\[0.2cm]&=-1{,}5 \pm 1{,}5\end{align} Damit gilt für die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\): \begin{align}x_1&=-1{,}5- 1{,}5=-3\\[0.1cm]x_2&=-1{,}5+ 1{,}5=0\end{align}

Die Funktion \(f(x)\) besitzt somit zwei Nullstellen bei \(x_1=-3\) und \(x_2=0\).

Hast Du Dich schon einmal gefragt, wie die pq-Formel hergeleitet werden kann? Dann sieh Dir gerne die nachfolgende Vertiefung an!

pq-Formel Herleitung

Die Herleitung der pq-Formel erfolgt durch die quadratische Ergänzung der Gleichung \(x^2+px+q=0\).

Alles rund um dieses Themengebiet findest Du in der Erklärung „Quadratische Ergänzung“.

Schritt-für-Schritt-Anleitung	Umformung der Gleichung
\(1.\) Konstante \(q\) auf die rechte Seite bringen	\begin{align}x^2+px+{\color{#00DCB4}q}&=0\hspace{1cm}\|\,-{\color{#00DCB4}q}\\[0.1cm] x^2+px&=-{\color{#00DCB4}q}\end{align}
\(2.\) Binomische Formel \((a+b)^2=a^2+2a{\color{#FA3273}b}+{\color{#8363E2}b^2}\) anwenden	\begin{align}x^2+px&=-q\\[0.1cm]x^2+2{\color{#FA3273}\frac{p}{2}}x&=-q\end{align} Es gilt: \(2\dfrac{p}{2}=p\)
\(3.\) Ergänzen von „\({\color{#8363E2}b^2}\)“ auf beiden Seiten	\[x^2+2\frac{p}{2}x+{\color{#8363E2}\left(\frac{p}{2}\right)^2}={\color{#8363E2}\left(\frac{p}{2}\right)^2}-q\]
\(4.\) In die Form der \(1\). binomischen Formel \((a+b)^2\) umwandeln	\[\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\]
\(5.\) Wurzelziehen auf beiden Seiten	\[x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
\(6.\) Ausdruck \(-\dfrac{p}{2}\) subtrahieren	\[x_{1/2}=-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\]

Du kannst übrigens schon vor der Berechnung der Lösungen anhand der Diskriminante herausfinden, wie viele Lösungen Du bei der Berechnung erhältst.

pq-Formel Diskriminante

Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel in der pq-Formel) hilft Dir dabei, die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung zu ermitteln. So kannst Du über die Diskriminante \(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\) die Anzahl der Nullstellen verschiedener Funktionen bestimmen.

Diskriminante	Anzahl der Lösungen
\[\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q>0\]	zwei Lösungen
\[\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=0\]	eine Lösung
\[\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q<0\]	keine Lösung

Um diesen Zusammenhang besser nachvollziehen zu können, sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.

Gegeben sind drei quadratische Funktionen \({\color{#1478C8}f(x)}\), \({\color{#00DCB4}g(x)}\) und \({\color{#FA3273}h(x)}\). Aus der Grafik kann entnommen werden:

\({\color{#1478C8}f(x)}\): \(2\) Nullstellen

\({\color{#00DCB4}g(x)}\): \(1\) Nullstelle

\({\color{#FA3273}h(x)}\): keine Nullstelle

pq-Formel Funktionen mit einer, zwei oder keiner Nullstelle StudySmarter Abb. 2 - Funktionen mit \(2\), \(1\) oder keiner Nullstelle.

Da die Funktionen keinen Faktor vor \(x^2\) besitzen, können die Koeffizienten \(p\) und \(q\) direkt ausgelesen werden.

Wird dies nun mit der Diskriminante \(D\) für alle drei Funktionen überprüft, so ergibt sich:

\begin{align}{\color{#1478C8}D}&=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(-2)={\color{#1478C8}2{,}25} \hspace{1cm} &\rightarrow\, {\color{#1478C8}2\, \text{Lsg.}}\\[0.2cm]{\color{#00DCB4}D}&=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-4={\color{#00DCB4}0} &\rightarrow\, {\color{#00DCB4}1\, \text{Lsg.}}\\[0.2cm]{\color{#FA3273}D}&=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-11={\color{#FA3273}-2} &\rightarrow\, {\color{#FA3273}0\, \text{Lsg.}}\end{align}

Hast Du Lust, direkt noch weitere Aufgaben zur pq-Formel zu lösen? Dann sieh Dir gerne die zugehörigen Karteikarten an.

pq-Formel – Das Wichtigste

Mit der pq-Formel können die Lösungen quadratischer Gleichungen der Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) ermittelt werden.
Dazu werden die Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) aus der Gleichung bestimmt und in die Formel eingesetzt:\[x_{1/2}=-\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}q}}\]
Mithilfe der Diskriminante \(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\) lässt sich die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung ermitteln.
Die pq-Formel lässt sich zur Berechnung der Nullstellen von Funktionen anwenden, indem die Funktion gleich Null gesetzt und in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) gebracht wird.
Über die quadratische Ergänzung kann aus der Gleichung \(x^2+px+q=0\) die pq-Formel hergeleitet werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema pq-Formel

Die allgemeine pq-Formel lautet: x_1/2=-p/2 ±√((p/2)²-q). Mit dieser Formel werden die Lösungen x_1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0 berechnet.

Die pq-Formel ist eine Lösungsformel zur Berechnung der Lösungen x_1/2einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0.

Die pq-Formel lässt sich anwenden bei der Berechnung der Lösungen x_1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0.

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der pq-Formel zu berechnen, setze die Funktion f(x) gleich Null (f(x)=0) und forme die Gleichung in die Form x²+px+q=0 um. Lies die Koeffizienten p und q aus, setze sie in die pq-Formel ein und rechne die Formel aus. Das Ergebnis sind die Nullstellen der Funktion f(x).

Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

DEIN ERGEBNIS

Dein ergebnis:

Du hast bereits ein Konto? Anmelden

ANMELDEN ANMELDEN

Weiter

Karteikarten in pq-Formel9 Lerne jetzt

Bestimme die Koeffizienten \(p\) und \(q\) aus folgender Funktion \(f(x)\):

\[f(x)=4x^2+4x-8\]

\(p=4\) und \(q=-8\)

Bestimme die Anzahl der Nullstellen folgender Funktion \(f(x)\):

\[f(x)=x^2-3x-20\]

Zwei

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x)\) mit der pq-Formel:

\[f(x)=x^2-3x-54\]

\begin{align}x_1&=-6\\[0.1cm]
x_2&=9\end{align}

Bestimme alle \(y\) für die gilt:

\[y^2+9y-36=0\]

\begin{align}y_1&=-12\\[0.1cm]
y_2&=3\end{align}

Beurteile, ob sich die Nullstellen der Funktion \(f(x)=x^3+3x-1\) mit der pq-Formel berechnen lassen.

Nein

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x)\) mithilfe der pq-Formel:

\[f(x)=6x^2-18x-24\]

\begin{align}x_1&=-1\\[0.1cm]
x_2&=4\end{align}

Lerne mit 9 pq-Formel Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

Mit E-Mail registrieren ANMELDEN ANMELDEN

Du hast bereits ein Konto? Anmelden

Finde Lernmaterialien und -tipps

Erstelle Lernmaterialien

Blog

pq-Formel

pq-Formel Erklärung – p und q bestimmen

pq-Formel anwenden – Nullstellen bestimmen

pq-Formel Beispiel und Aufgaben

pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 1 mit Lösung

pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 2 mit Lösung

pq-Formel Herleitung

pq-Formel Diskriminante

pq-Formel – Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema pq-Formel

Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen

Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen

Entdecke Lernmaterial in der StudySmarter-App

pq-Formel

pq-Formel Erklärung – p und q bestimmen

pq-Formel anwenden – Nullstellen bestimmen

pq-Formel Beispiel und Aufgaben

pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 1 mit Lösung

pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 2 mit Lösung

pq-Formel Herleitung

pq-Formel Diskriminante

pq-Formel – Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema pq-Formel

Wie lautet die allgemeine PQ-Formel?

Was ist die PQ-Formel einfach erklärt?

Wann ist PQ-Formel anwendbar?

Wie werden Nullstellen mit der PQ Formel berechnet?

Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

Melde dich für die StudySmarter App an und lerne effizient mit Millionen von Karteikarten und vielem mehr!

Lerne mit 9 pq-Formel Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

Lerne mit 9 pq-Formel Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen

Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen

Erstelle ein kostenloses Konto, um diese Erklärung zu speichern.

Entdecke Lernmaterial in der StudySmarter-App

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!