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pq Formel

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pq Formel

Was haben P und Q gemeinsam? Außer dass sie nacheinander im Alphabet stehen, werden sie beim Lösen von quadratischen Funktionen wichtig. Sie sind die Grundlage der pq-Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Die pq Formel, oder auch die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Normalform (oder "kleine Lösungsformel") ermöglicht Dir das Finden von Nullstellen von quadratischen Funktionen und hilft beim Lösen von quadratischen Gleichungen.

Was Du bei der pq Formel lernst, kannst Du an vielen Stellen in Mathe, Physik oder auch der Technik gebrauchen.

pq Formel – Grundlagenwissen

Quadratische Gleichungen sind Polynome, die nach ihrem Term mit dem höchsten Grad benannt sind. Eine quadratische Gleichung ist also immer eine Gleichung mit einem höchsten Exponenten "hoch Zwei". Wenn Du alle Terme auf eine Seite bringst, lässt es sich in eine allgemeine Form für alle quadratischen Gleichungen umformen.

In einer quadratischen Gleichung ist auf einer Seite ein Term mit höchstens einem Polynom zweiten Grades.

ax2+bx+c=0

Oft wird die pq-Formel aber auch verwendet, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Denn die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ax2+bx+c=0 entspricht den Nullstellen der quadratischen Funktion f(x)=ax2+bx+c.

Nullstellen sind die Punkte, an denen die Funktion f(x) die x-Achse schneidet.

Definition Normalform

Die pq Formel wird benutzt, um Lösungen für quadratische Gleichungen in der Normalform zu finden. In der Normalform steht vor dem x2 kein Faktor und auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens eine Null.

Die Normalform ist folgendermaßen definiert:

x2+px+q=0

Dabei sind p und q reelle Zahlen. x ist eine reelle Variable.

So lassen sich am Ende alle quadratischen Gleichungen darstellen. Also Gleichungen, in denen maximal ein x2 als höchster Grad auftaucht.

Ein Beispiel für eine quadratische Funktion ist

f(x)=x2-2x-3.

Wenn Du diese quadratische Funktion nun Null setzt, erhältst Du

x2-2x-3=0.

Diese Gleichung kannst Du auch graphisch lösen, in dem Du schaust, an welchen Stellen die Funktion f(x)=x2-2x-3 eine Nullstelle hat. Also die Stellen, an denen die Funktion f(x)=x2-2x-3 die x-Achse schneidet (siehe Abbildung 1).

pq formel  Quadratische  Funktion mit Nullstellen Studysmarter

Abbildung 1: Quadratische Funktion

Damit lassen sich hier die Nullstellen direkt ablesen.Sie lauten:

x1=-1x2= 3

Umwandeln in die Normalform

Schritt 1

Nachdem Du sichergestellt hast, dass die gesamte Gleichung eine quadratische Gleichung ist (also das höchste Polynom eine Potenz in der zweiten Ordnung hat), addierst Du alle Terme auf eine Seite.

Vereinfacht gesagt, ziehst Du dann die rechte Seite von der linken Seite ab, sodass rechts die null und links alle übrigen Terme aufaddiert stehen.

Diesen ersten Schritt kannst Du anhand der folgenden Gleichung gut nachvollziehen. Stell Dir vor Du hast

-5x2+5=-10x2+10x+20

gegeben und möchtest gerne alle Terme auf die linke Seite bringen.

Dann kannst Du die Terme auf der rechten Seite komponentenweise von beiden Seiten abziehen.

-5x2+5=-10x2+10x+20 -20-5x2-15=-10x2+10x -10x-5x2-10x-15=-10x2 +10x25x2-10x-15=0

Damit hast Du alle Terme auf der linken Seite.

5x2-10x-15=0

Jetzt hast Du eine quadratische Gleichung, die auch die Nullstelle einer quadratischen Funktion darstellen kann.

Schritt 2

Mittlerweile hast Du also eine quadratische Gleichung in der Form:

ax2+bx+c=0

Um hier den Vorfaktor a vor dem quadratischen Term loszuwerden, teilst Du einfach die ganze Formel durch diesen.

ax2+ bx + c=0:aax2+ bx + ca=0aaax2+bxa+ca=0x2+bax+ca=0

Und damit erhältst Du eine Gleichung in der Normalform:

x2+bax+ca=0

Sieh dir nochmal die allgemeine Normalform an. Für den Vorfaktor vor dem x (also p) und den Term ohne Variable (also q), bedeutet das:

p=baq=ca

Auch das kannst Du direkt auf das Beispiel von oben anwenden:

Lass uns doch die Gleichung von oben in die Normalform bringen:

5x2-10x-15=0

Hier ist also a=5 und damit musst Du nur die Gleichung durch 5 dividieren.

5x2-10x-15=0:5 5x2-10x-155=0 ausmultiplizieren5x25-10x5-155=0 kürzen x2-2x-3=0

Und schon hast Du Deine Gleichung in Normalform, auf die Du die pq Formel anwenden kannst:

x2-2x-3=0

pq Formel - Definition und Anleitung

Sobald Du also eine quadratische Gleichung in die Normalform gebracht hast, oder die quadratische Funktion in Normalform umgeformt, kannst Du Dich daran machen die Werte p und q daraus in die pq Formel einzusetzen und daraus dann die Lösungen für die Gleichung (oder die Nullstellen) zu bestimmen.

Definition pq Formel

Mathematisch kannst Du die pq Formel wie folgt beschreiben:

Die pq Formel lautet:

x1,2=-p2±p22-q

Damit können die Lösungen für eine Gleichung der Form x2+px+q=0 gefunden werden.

Alternativ kannst Du auch

x1,2=-p2±p42-q

nutzen. Das ist oft schneller in den Rechner eingegeben.

Um also quadratische Gleichungen oder Problemstellungen zur Nullstellenberechnung (zum Beispiel in einer Klassenarbeit) einfach und schnell zu lösen, solltest Du die pq-Formel auswendig kennen.

Anleitung

Beim Anwenden der pq-Formel kannst Du immer in den gleichen Schritten vorgehen:

  1. Falls nötig, die quadratische Gleichung in Normalform umformen.
  2. p und q aus der Gleichung in Normalform ablesen.
  3. p und q in die pq-Formel einsetzen
  4. Beide Varianten des ± in den Rechner einsetzen.

Schritt 1: Wenn Du Dir also als Erstes die Gleichung von oben vornimmst, hast du den ersten Schritt schon hinter dir, da diese ja schon in Normalform gegeben ist. Jetzt schreibst Du am besten mal die pq Formel und Deine Gleichung direkt untereinander.

x2-2x-3=0

x2+px+q=0

Schritt 2: Jetzt kannst Du direkt p und q ablesen. Vergiss aber nicht das Minus bei negativen Vorfaktoren mitzunehmen.

Für unsere Aufgabe ergeben sich also

p=-2q=-3

Schritt 3: Nun ist es sinnvoll sich zunächst die pq-Formel einmal aufzuschreiben. Anschließend kannst Du die Werte für p und q in die Formel einsetzen.

x1,2=-p2±p22-q

x1,2=--22±-222-(-3)

Schritt 4: Um Dir Tipparbeit zu sparen, kannst Du vorher die Brüche und anderen Terme vereinfachen.

x1,2=1±1+3=1±2

Wenn Du diese Formel jetzt für x1mit - und für x2 mit + in den Taschenrechner eingibst, hast Du bei x1 die Kleinere und bei x2 die größere Lösung :

x1=-1x2= 3

Sie stimmen mit den zeichnerisch ermittelten Werten von oben überein!

Ausführlicher findest Du noch weitere Aufgaben in den Beispielen unten.

Die allgemeine Form

ax2+bx+c=0

kannst Du ebenso mit der sogenannten Mitternachtsformel oder abc-Formel lösen

x1,2=-b±b2-4ac2a

pq-Formel – Herleitung

Für die Herleitung ist die sogenannte quadratische Ergänzung wichtig. Die pq Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung, indem diese quadratisch ergänzt wird:

x2+px+q=0 | -q

Damit hast Du erstmal Terme mit x von den Konstanten getrennt.

x2+px =-q | +p22

Bei der quadratischen Ergänzung werden beide Seiten der Formel mit p22ergänzt. Der Term px wird lediglich umgeschrieben zu 2·p2·x. Also mit 2 erweitert.

x2+2·p2x+p22=p22-q

So erhältst Du folgenden Term, welcher mittels der ersten binomischen Formel zusammengefasst werden kann:

x+p2=p22-q

Ziehst Du nun die Wurzel, erhältst Du schon fast die pq-Formel in bekannter Form.

Die Betragsstriche sind hier nötig, da durch die "hoch 2" auch negative Werte für x bzw. p2 positiv werden.

x+p2=±p22-q |-p2

Subtrahierst Du nun noch die p2ergibt sich die pq-Formel aus der Definition.

x=-p2±p22-q

Diskriminante und Lösbarkeit der pq-Formel

Wie bereits erwähnt, hat nicht jede quadratische Gleichung zwei Lösungen. Manche haben nur eine oder sogar gar keine Lösung.

Um Auskunft über die möglichen Lösungen einer quadratischen Gleichung zu erhalten, kannst Du die sogenannte Diskriminante verwenden. Dieser mathematische Begriff stammt aus dem lateinischen und bedeutet "unterscheiden".

Als Diskriminante der pq-Formel bezeichnet man den Term unter der Wurzel, also:p22-q . Dieser kann folgende Auskünfte für die Lösungen geben:

p22-q > 0

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen

p22-q = 0

Die quadratische Gleichung hat eine Lösung

p22-q < 0

Die quadratische Gleichung hat keine Lösung

Unten siehst Du für jeden der drei Fälle ein Beispiel.

Diskriminantep22-qFunktionsgraph (Beispiel, Abbildungen 2–4)quadratische Gleichungx2+px+q=0
p22-q > 0Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse an zwei Punkten:

pq Formel quadratische Funktion mit zwei Lösungen StudySmarter

Abbildung 2: Quadratische Funktion mit zwei Lösungen
Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:x1=-p2+p22-qx2=-p2-p22-q
p22-q = 0Der Funktionsgraph berührt die x-Achse an einem Punkt:

pq Formel Quadratische Formel eine Lösung StudySmarter

Abbildung 3: Quadratische Funktion mit einer Nullstelle
Die quadratische Gleichung hat eine Lösung.x=-p2
p22-q < 0Der Funktionsgraph berührt die x-Achse nicht:


pq Formel quadratische Funktion ohne Lösung StudySmarterAbbildung 4: Beispiel für eine quadratische Funktion ohne Nullstelle

Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.

Oft werden zu diesem Thema auch Fragen gestellt.

Aufgabe 1

Gib an wie viele Lösungen diese Gleichung hat:

x2+2x-3=0

Lösung

Schritt 1: Gleichung in die Normalform umformen.

Dieser Schritt ist hier nicht nötig, die Gleichung liegt schon in der Normalenform vor.

Schritt 2: Dann kannst Du erstmal p und q ablesen.

p=2q=-3

Schritt 3: Diese Werte für p und q setzt Du jetzt in den Term von oben ein. Das funktioniert genauso wie bei der pq Formel selbst. Du schreibst die Formel nochmal hin und ersetzt das p und das q durch die Zahlen die Du abgelesen hast.

p22- q =222-(-3)= 12+3=4> 0

Das bedeutet die Gleichung hat zwei Lösungen. Das ist auch im Bild anhand der Schnittpunkte der Funktion f(x)=x2+2x-3 mit der x-Achse zu sehen. Diese Nullpunkte sind die Lösungen der Gleichung.

pq Formel quadratische Funktion mit zwei Lösungen StudySmarter

Abbildung 2: Graphisches Beispiel für eine quadratische Funktion mit zwei Lösungen

Die beiden Lösungen sind übrigens:

x1=-3x2= 1

pq-Formel anwenden – Beispiele und Aufgaben

Beginne also zunächst mit einer Normalparabel und widme dich dann den weiteren Übungsaufgaben.

Aufgabe 2

Bestimme alle x für die gilt:x2=0

Lösung

Schritt 1: Ausgeschrieben in Normalform würde die Gleichung heißen:

x2+0·x+0=0

Den ersten Rechenschritt kannst Du dir hier also sparen, da die Gleichung ja schon in einer Normalform vorliegt.

Schritt 2: Die beiden fett markierten Terme sind ergänzt, damit Du jetzt die Formel mit der Definition der Normalform vergleichen kannst.

x2+px+q=0x2+0x+0=0

Hier ergibt sich für p=0 und für q=0 .

Schritt 3: Setze diese Werte nun in die pq-Formel ein und berechne das Ergebnis für x.

x1,2=-02±022-0 x1,2=0

Schritt 4: Damit stellst Du nach dem Ausrechnen fest: Für diese Gleichung gilt die Lösungsformel und ergibt

x=0

In der Funktionsgleichung der Normalparabel waren p und q jeweils Null.

Ein weiterer Fall ergibt sich, wenn der Vorfaktor p fehlt.

Aufgabe 3

Bestimme alle x für die gilt:x2=64.

Lösung

Schritt 1: Zur Bestimmung von x, muss die folgende Gleichung zunächst in Normalform umgestellt werden.

x2=64x2-64=0

Schritt 2: Hier ist zwar ein q=-64 vorhanden, aber eben kein p, es gilt p=0.

Schritt 3: Setze jetzt die gefundenen Werte ein und berechne die pq-Formel.

x1,2=-02±022-(-64) x1,2=±64

Schritt 4: Und damit erhältst Du ganz einfach das, was Du vermutlich auch durch normales Umstellen der Ausgangsgleichung herausgefunden hättest.

Und zwar sind das die beiden Lösungen:

x1= 8x2=-8

Hättest Du an die zweite Lösung gedacht? Wenn nicht, siehst Du hier einen weiteren Vorteil der pq-Formel.

Natürlich kann es auch vorkommen, dass der Vorfaktor q fehlt.

Aufgabe 4

Bestimme alle x für die gilt:x2=18x.

Lösung

Schritt 1: Zu Beginn wird die Gleichung in die Normalform umgestellt, also die 18x von beiden Seiten abgezogen. Das sieht dann folgendermaßen aus:

x2-18x=0

Schritt 2: Das q fehlt (q=0) , hier kannst Du nur p ablesen.

p=-18

Schritt 3: Dieses p kannst Du jetzt in die pq Formel einsetzen. Für q entsprechend die Null.

x1,2=--182±-1822-0 x1,2= 9 ±92x1,2= 9 ± 9

Schritt 4: Und damit hast Du nach dem Ausrechnen erfolgreich die beiden Lösungen bestimmt.

x1=0x2=18

Hier noch ein ganz normales Beispiel mit einem Wert für p und einen für q.

Aufgabe 5

Bestimme x.

x2+4x+3=0

Lösung

Schritt 1: Da dort schon die Normalform gegeben ist, kannst Du den ersten Schritt auslassen.

x2+4x+3=0x2+px+q=0

Schritt 2: Lese p=4 und q=3 ab.Schritt 3: Setze die Werte für p und q in die pq Formel ein.

x1,2=-p2±p22-q x1,2=-42±422-3

Schritt 4: Nachdem Du die Zahlen eingesetzt hast, kannst Du die Gleichung für x1 und x2 lösen, indem Du einmal mit + und einmal mit - rechnest:

x1=-42+422-(+3)=-2+4-3 =-2+1 x1=-1

x2=-42-422-(+3)=-2-4-3 =-2-1 x2=-3

Die zwei Lösungen zu der Gleichung lauten also

x1=-1 undx2=-3

Hier musst Du die Gleichung aus der allgemeinen Form erst in die Normalform umwandeln:

Aufgabe 6

Löse die Gleichung nach x auf:

2x2+8x+2=0

Lösung

Schritt 1: In diesem Fall kannst Du den Vorfaktor 2 leicht entfernen, indem Du die gesamte Gleichung durch 2 teilst.

2x2+8x+2=0 | :2x2+82x+22=0x2+4x+1=0

Schritt 2: Nun hast Du die Gleichung in die Normalform überführt und kannst wie gewohnt die pq Formel anwenden. Dafür bestimmst Du zuerst p und q.

p=4q=1

Schritt 3: Jetzt kannst Du die beiden Werte in die pq Formel einsetzen.

x1,2=-p2±p22-q =-42±422-(+1)

Schritt 4: Nun müssen lediglich die Brüche aufgelöst werden, um beide Lösungen zu erhalten.

x1=-42+422-(+1)=-2 +4-1 =-2 +3

und

x2=-42-422-(+1) =-2-4-1 =-2-3

Diese sind keine rationalen Zahlen mehr, es wäre also nicht sinnvoll sie als Dezimalzahl anzugeben.

Die Lösungen für die Gleichung

x1,2=2x2+8x+2=0

lauten also

x1=-2+3 und x2=-2-3

Auch Gleichungen dieser Art kannst Du mit der pq-Formel lösen.

Aufgabe 7

Bestimme x:

14x+4+4x2=2x+32+4x-x2-6

Lösung

Schritt 1: Hier gibt es diesmal viel umzuformen.

Als Erstes versuchst Du die Klammern loszuwerden. Dafür multiplizierst Du die binomische Formel rechts aus.

14x+4+4x2=2x+32 +4x-x2-6 14x+4+4x2=4x2+12x+9+4x-x2-6

Dann sortierst Du auf beiden Seiten nach den Potenzen.

14x+4+4x2=4x2+12x+9+4x-x2-6

Addierst Du jetzt auf der rechten Seite die ganzen getrennten Potenzen aufeinander, sehen beide Seiten dann so aus:

4x2+14x+4=3x2+16x+3

Dann ziehst Du die rechte Seite der Formel von beiden Seiten ab.

4x2-3x2+14x-16x+4-3=0

Glücklicherweise ist kein Vorfaktor vor dem x2 und dadurch steht die Formel nun direkt in der Normalform da:

x2-2x+1=0

Schritt 2: Da sich die x2 direkt ohne Vorfaktor ergeben haben, kannst Du in Dir hier eine Division sparen und p und q direkt ablesen

p=-2q= 1

Schritt 3: Setze nun p und q in die Formel ein.

x1,2=-p2±p22-q

Schritt 4: Berechne x1 und x2.

x1,2=--22±-222-1 =1±0

Und damit hast Du die einzige Lösung:

x=1

aus einer Gleichung, die viele Komponenten hatte, bestimmt.

pq-Formel – Das Wichtigste

  • Mit der pq-Formel x1,2=-p2±p22-q können die Lösungen bzw. Nullstellen quadratischer Gleichungen in Normalform bestimmt werden.

  • Quadratische Gleichungen können in die Normalform überführt oder mit Hilfe der Mitternachtsformel gelöst werden.

  • Die Diskriminantep22-qist relevant für die Anzahl der Lösungen bzw. Nullstellen. Es wird in drei Fälle unterschieden:

    • p22-q > 0: Es gibt zwei Lösungen
    • p22-q = 0: Es gibt eine Lösung
    • p22-q < 0 : Es gibt keine Lösung

Häufig gestellte Fragen zum Thema pq Formel

p ist in der Normalform für quadratische Gleichungssysteme 

x2+px+q=0

der Vorfaktor vor dem linearen Anteil "p*x".


q ist in der Normalform für quadratische Gleichungssysteme 

x2+px+q=0

der Summand ohne Variable.

Die pq-Formel löst ein quadratische Gleichungssystem in der Normalform nach x auf. Die quadratische Ergänzung ist eine Darstellung der quadratischen Gleichung in der der Scheitelpunkt gut ablesbar ist.

x1/2= -(p/2) +- SQRT[ (p^2)/4 - q]

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