pq-Formel

Du möchtest eine Erklärung zur pq-Formel und wie Du die pq-Formel anwenden kannst? Kein Problem! Hier findest Du ein Beispiel zur pq-Formel, die Dir das Berechnen der Nullstellen zeigt. Außerdem erfährst Du, wie sich die Koeffizienten \(p\) und \(q\) bestimmen lassen, wie Du die Diskriminante bei der pq-Formel nutzt und welche mathematische Herleitung hinter der pq-Formel steckt. 

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pq-Formel pq-Formel

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    pq-Formel Erklärung – p und q bestimmen

    Mit der pq-Formel \[x_{1/2}=-\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}q}}\] werden die Lösungen \(x_{1/2}\) einer Gleichung der Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) bestimmt.

    Du kannst mit der pq-Formel also quadratische Gleichungen lösen, die in der Normalform vorliegen. Dazu werden die Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) direkt aus der Gleichung bestimmt, wenn die Gleichung in der entsprechenden Form vorliegt.

    Ist dies nicht der Fall, so kann die quadratische Gleichung in diese Form umgeformt werden.

    In der Erklärung „Quadratische Gleichungen“ kannst Du alles rund um diese Form noch einmal nachlesen.

    Fehlen ein oder sogar beide Koeffizienten \(p\) und \(q\) in der Gleichung, so werden diese mit Null angegeben, wie zum Beispiel \(x^2=0\) entspricht \(x^2+0x+0=0\).

    Wozu kannst Du diese pq-Formel anwenden und nutzen?

    pq-Formel anwenden – Nullstellen bestimmen

    Anwenden lässt sich die pq-Formel bei quadratischen Funktionen und damit kannst Du die Nullstellen bestimmen. Dazu setzt Du die Funktion gleich Null, bringst diese in die entsprechende Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) und wendest dann die pq-Formel an. Dazu kannst Du Dich an folgender Anleitung orientieren:

    Vorgehensweise zum Nullstellen bestimmen mittels der pq-Formel:

    • Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen: \(f(x)=0\)
    • In die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen (falls notwendig)
    • Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen
    • \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen
    • Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen

    Diese Anleitung kannst Du direkt bei einem Beispiel nachvollziehen.

    pq-Formel Beispiel und Aufgaben

    Mithilfe der Anleitung lässt sich das Beispiel und Aufgaben berechnen und die pq-Formel anwenden.

    Das Beispiel zeigt Dir dabei eine Schritt-für-Schritt-Anleitung für die Nullstellenberechnung einer Funktion \(f(x)\).

    Gegeben ist eine Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=2x^2+2x-4\). Zu berechnen sind die Nullstellen der Funktion \(f(x)\).

    pq-Formel Nullstellen Funktion StudySmarterAbb. 1 - Nullstellen der Funktion \(f(x)\).

    Lösung

    In der folgenden Tabelle findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, mit der Du die Nullstellen einer Beispielfunktion \(f(x)\) durch die pq-Formel bestimmen kannst.

    SchritteAnwendung am Beispiel
    \(1\). Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen:\[2x^2+2x-4=0\]
    \(2\). Gleichung in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen:

    \begin{align}{\color{#FA3273}2}x^2+2x-4&=0\hspace{1cm}|\,:\,{\color{#FA3273}2}\\[0.1cm]1x^2+1x-2&=0\\[0.1cm]x^2+1x+(-2)&=0\end{align}

    Hier wird die komplette Gleichung durch \(2\) geteilt, um den Faktor vor \(x^2\) zu eliminieren.

    \(3\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen:

    \[x^2+{\color{#1478C8}1}x+{\color{#00DCB4}(-2)}=0\]

    Hierbei gilt für die Koeffizienten: \({\color{#1478C8}p=1}\) und \({\color{#00DCB4}q=-2}\).

    \(4\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen:

    \begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}q}}\\[0.2cm]x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2} \pm\sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}(-2)}}\end{align}

    \(5\). Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen:

    \begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}1}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}(-2)}}\\[0.2cm]&=-\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+2}\\[0.2cm]&=-0{,}5 \pm \sqrt{2{,}25}\\[0.2cm]&=-0{,}5 \pm 1{,}5\end{align}

    Damit gilt für die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\):

    \begin{align}x_1&=-0{,}5- 1{,}5=-2\\[0.1cm]x_2&=-0{,}5+ 1{,}5=1\end{align}

    Die Funktion \(f(x)\) besitzt somit zwei Nullstellen bei \(x_1=-2\) und \(x_2=1\).

    Alternativ kannst Du beispielsweise auch die „Mitternachtsformel“ zur Berechnung der Nullstellen verwenden.

    Teste Dein Wissen doch direkt an den Übungsaufgaben!

    pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 1 mit Lösung

    Aufgabe 1

    Berechne die Nullstellen der folgenden quadratischen Funktion \(f(x)\).

    \[f(x)=x^2-5\]

    Lösung

    SchritteAnwendung am Beispiel
    \(1\). Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen:\[x^2-5=0\]
    \(2\). Gleichung in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen:

    \[x^2+{\color{#FA3273}0}x-5=0\]

    Hier wird lediglich \(0x\) ergänzt.

    \(3\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen:

    \[x^2+{\color{#1478C8}0}x+{\color{#00DCB4}(-5)}=0\]

    Hierbei gilt für die Koeffizienten: \({\color{#1478C8}p=0}\) und \({\color{#00DCB4}q=-5}\).

    \(4\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen:

    \[x_{1/2}=-\dfrac{{\color{#1478C8}0}}{2} \pm\sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}0}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}(-5)}}\]

    \(5\). Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen:

    \[x_{1/2}=\pm \sqrt{5}\]

    Damit gilt für die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\):

    \begin{align}x_1&\approx-2{,}24\\[0.1cm]x_2&\approx 2{,}24\end{align}

    Die Funktion \(f(x)\) besitzt somit zwei Nullstellen bei \(x_1=-2{,}24\) und \(x_2=2{,}24\).

    pq-Formel Nullstellen berechnen – Aufgabe 2 mit Lösung

    Aufgabe 2

    Berechne die Nullstellen der folgenden quadratischen Funktion \(f(x)\).

    \[f(x)=3x^2+9x\]

    Lösung

    SchritteAnwendung am Beispiel
    \(1\). Quadratische Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen:\[3x^2+9x=0\]
    \(2\). Gleichung in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) umformen:

    \begin{align}{\color{#FA3273}3}x^2+9x+{\color{#8363E2}0}&=0\hspace{1cm}|\,:\,{\color{#FA3273}3}\\[0.1cm]x^2+3x+0&=0\end{align}

    Hier wird \(+\,0\) ergänzt und durch \(3\) geteilt.

    \(3\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) auslesen:

    \[x^2+{\color{#1478C8}3}x+{\color{#00DCB4}0}=0\]

    Hierbei gilt für die Koeffizienten: \({\color{#1478C8}p=3}\) und \({\color{#00DCB4}q=0}\).

    \(4\). Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) in die pq-Formel einsetzen:

    \begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2} \pm\sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}0}}\end{align}

    \(5\). Lösungen bzw. Nullstellen \(x_{1/2}\) berechnen:

    \begin{align}x_{1/2}&=-\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}3}}{2}\right)^2+{\color{#00DCB4}0}}\\[0.2cm]&=-\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3}{2}\\[0.2cm]&=-1{,}5 \pm 1{,}5\end{align}

    Damit gilt für die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\):

    \begin{align}x_1&=-1{,}5- 1{,}5=-3\\[0.1cm]x_2&=-1{,}5+ 1{,}5=0\end{align}

    Die Funktion \(f(x)\) besitzt somit zwei Nullstellen bei \(x_1=-3\) und \(x_2=0\).

    Hast Du Dich schon einmal gefragt, wie die pq-Formel hergeleitet werden kann? Dann sieh Dir gerne die nachfolgende Vertiefung an!

    pq-Formel Herleitung

    Die Herleitung der pq-Formel erfolgt durch die quadratische Ergänzung der Gleichung \(x^2+px+q=0\).

    Alles rund um dieses Themengebiet findest Du in der Erklärung „Quadratische Ergänzung“.

    Schritt-für-Schritt-AnleitungUmformung der Gleichung
    \(1.\) Konstante \(q\) auf die rechte Seite bringen\begin{align}x^2+px+{\color{#00DCB4}q}&=0\hspace{1cm}|\,-{\color{#00DCB4}q}\\[0.1cm] x^2+px&=-{\color{#00DCB4}q}\end{align}
    \(2.\) Binomische Formel \((a+b)^2=a^2+2a{\color{#FA3273}b}+{\color{#8363E2}b^2}\) anwenden

    \begin{align}x^2+px&=-q\\[0.1cm]x^2+2{\color{#FA3273}\frac{p}{2}}x&=-q\end{align}

    Es gilt: \(2\dfrac{p}{2}=p\)

    \(3.\) Ergänzen von „\({\color{#8363E2}b^2}\)“ auf beiden Seiten\[x^2+2\frac{p}{2}x+{\color{#8363E2}\left(\frac{p}{2}\right)^2}={\color{#8363E2}\left(\frac{p}{2}\right)^2}-q\]
    \(4.\) In die Form der \(1\). binomischen Formel \((a+b)^2\) umwandeln\[\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\]
    \(5.\) Wurzelziehen auf beiden Seiten\[x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]
    \(6.\) Ausdruck \(-\dfrac{p}{2}\) subtrahieren\[x_{1/2}=-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\]

    Du kannst übrigens schon vor der Berechnung der Lösungen anhand der Diskriminante herausfinden, wie viele Lösungen Du bei der Berechnung erhältst.

    pq-Formel Diskriminante

    Die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel in der pq-Formel) hilft Dir dabei, die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung zu ermitteln. So kannst Du über die Diskriminante \(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\) die Anzahl der Nullstellen verschiedener Funktionen bestimmen.


    Diskriminante

    Anzahl der Lösungen

    \[\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q>0\]
    • zwei Lösungen
    \[\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=0\]
    • eine Lösung

    \[\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q<0\]
    • keine Lösung

    Um diesen Zusammenhang besser nachvollziehen zu können, sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.

    Gegeben sind drei quadratische Funktionen \({\color{#1478C8}f(x)}\), \({\color{#00DCB4}g(x)}\) und \({\color{#FA3273}h(x)}\). Aus der Grafik kann entnommen werden:

    \({\color{#1478C8}f(x)}\): \(2\) Nullstellen

    \({\color{#00DCB4}g(x)}\): \(1\) Nullstelle

    \({\color{#FA3273}h(x)}\): keine Nullstelle

    pq-Formel Funktionen mit einer, zwei oder keiner Nullstelle StudySmarterAbb. 2 - Funktionen mit \(2\), \(1\) oder keiner Nullstelle.

    Da die Funktionen keinen Faktor vor \(x^2\) besitzen, können die Koeffizienten \(p\) und \(q\) direkt ausgelesen werden.

    Wird dies nun mit der Diskriminante \(D\) für alle drei Funktionen überprüft, so ergibt sich:

    \begin{align}{\color{#1478C8}D}&=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(-2)={\color{#1478C8}2{,}25} \hspace{1cm} &\rightarrow\, {\color{#1478C8}2\, \text{Lsg.}}\\[0.2cm]{\color{#00DCB4}D}&=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-4={\color{#00DCB4}0} &\rightarrow\, {\color{#00DCB4}1\, \text{Lsg.}}\\[0.2cm]{\color{#FA3273}D}&=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q=\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-11={\color{#FA3273}-2} &\rightarrow\, {\color{#FA3273}0\, \text{Lsg.}}\end{align}

    Hast Du Lust, direkt noch weitere Aufgaben zur pq-Formel zu lösen? Dann sieh Dir gerne die zugehörigen Karteikarten an.

    pq-Formel – Das Wichtigste

    • Mit der pq-Formel können die Lösungen quadratischer Gleichungen der Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) ermittelt werden.
    • Dazu werden die Koeffizienten \({\color{#1478C8}p}\) und \({\color{#00DCB4}q}\) aus der Gleichung bestimmt und in die Formel eingesetzt:\[x_{1/2}=-\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}q}}\]
    • Mithilfe der Diskriminante \(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\) lässt sich die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung ermitteln.
    • Die pq-Formel lässt sich zur Berechnung der Nullstellen von Funktionen anwenden, indem die Funktion gleich Null gesetzt und in die Form \(x^2+{\color{#1478C8}p}x+{\color{#00DCB4}q}=0\) gebracht wird.
    • Über die quadratische Ergänzung kann aus der Gleichung \(x^2+px+q=0\) die pq-Formel hergeleitet werden.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema pq-Formel

    Wie lautet die allgemeine PQ-Formel? 

    Die allgemeine pq-Formel lautet: x1/2=-p/2 ±√((p/2)²-q). Mit dieser Formel werden die Lösungen x1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0 berechnet.

    Was ist die PQ-Formel einfach erklärt? 

    Die pq-Formel ist eine Lösungsformel zur Berechnung der Lösungen x1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0.

    Wann ist PQ-Formel anwendbar? 

    Die pq-Formel lässt sich anwenden bei der Berechnung der Lösungen x1/2 einer quadratischen Gleichung der Form x²+px+q=0.

    Wie werden Nullstellen mit der PQ Formel berechnet? 

    Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der pq-Formel zu berechnen, setze die Funktion f(x) gleich Null (f(x)=0) und forme die Gleichung in die Form x²+px+q=0 um. Lies die Koeffizienten p und q aus, setze sie in die pq-Formel ein und rechne die Formel aus. Das Ergebnis sind die Nullstellen der Funktion f(x).

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    Bestimme die Koeffizienten \(p\) und \(q\) aus folgender Funktion \(f(x)\):\[f(x)=4x^2+4x-8\]

    Bestimme die Anzahl der Nullstellen folgender Funktion \(f(x)\):\[f(x)=x^2-3x-20\]

    Beurteile, ob sich die Nullstellen der Funktion \(f(x)=x^3+3x-1\) mit der pq-Formel berechnen lassen.

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