Inhaltsverzeichnis▼
- Was ist die pq-Formel?
- Wann darf man sie anwenden?
- Schritt für Schritt lösen
- pq-Formel Rechner
- Diskriminante & Anzahl Lösungen
- Beispiele für alle drei Fälle
- Herleitung der pq-Formel
- pq-Formel oder Mitternachtsformel?
- Kontrolle mit dem Satz von Vieta
- Sonderfälle p = 0 und q = 0
- Häufige Fehler
- Übungsaufgaben
- Karteikarten
- Das Wichtigste
- Häufige Fragen
- Quellen
Was ist die pq-Formel?
Die pq-Formel ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0. Sie lautet x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Man setzt die Koeffizienten p und q ein und erhält über das Plus und Minus vor der Wurzel direkt beide Lösungen der Gleichung.
Eine quadratische Gleichung enthält die Unbekannte in der zweiten Potenz, also als x². Die pq-Formel ist das Standardwerkzeug, um solche Gleichungen zu lösen, sobald sie in der passenden Form vorliegen. Der Buchstabe p steht dabei für den Faktor vor dem einfachen x, der Buchstabe q für die reine Zahl ohne x.
Der große Vorteil der Formel: Du musst nicht jedes Mal neu nachdenken, sondern liest nur p und q ab und rechnest ein festes Schema durch. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um genau solche Rechenwege für Klausur und Abitur sicher zu automatisieren. Wichtig ist nur, dass die Gleichung wirklich in Normalform steht, sonst führt die Formel zu falschen Werten.
pq-Formel lernen?
Wann darf man die pq-Formel anwenden?
Die pq-Formel gilt nur, wenn die Gleichung in Normalform x² + px + q = 0 vorliegt, der Faktor vor x² also 1 ist. Steht dort ein anderer Koeffizient a, teilst du die ganze Gleichung zuerst durch a. Erst danach kannst du p und q korrekt ablesen und einsetzen.
Viele Aufgaben sehen zunächst anders aus, etwa 2x² + 8x − 10 = 0. Hier ist der Faktor vor x² nicht 1, die Normalform fehlt. Teilst du die gesamte Gleichung durch 2, entsteht x² + 4x − 5 = 0. Jetzt gilt p = 4 und q = −5, und die pq-Formel ist anwendbar. Allgemein wird aus ax² + bx + c = 0 die Normalform mit p = b/a und q = c/a.
Wer p und q aus einer nicht normierten Gleichung abliest, rechnet mit falschen Werten. Prüfe immer zuerst: Steht vor x² wirklich eine 1? Wenn nicht, teile die ganze Gleichung durch den Faktor a, bevor du irgendetwas einsetzt.
Wie löst man eine Gleichung Schritt für Schritt?
Um eine quadratische Gleichung mit der pq-Formel zu lösen, bringst du sie in Normalform, liest p und q ab, berechnest die Diskriminante, setzt in x = −p/2 ± √((p/2)² − q) ein und schreibst die Lösungsmenge auf. Eine kurze Probe mit dem Satz von Vieta fängt Rechenfehler ab.
Am besten arbeitest du immer nach demselben festen Ablauf. So vermeidest du Flüchtigkeitsfehler und behältst auch bei größeren Zahlen den Überblick.
- Normalform herstellen: Bringe alles auf eine Seite und teile bei Bedarf durch den Faktor vor x².
- p und q ablesen: p ist der Faktor vor x, q die Zahl ohne x, jeweils mit Vorzeichen.
- Diskriminante berechnen: Bestimme D = (p/2)² − q und sieh am Vorzeichen, wie viele Lösungen es gibt.
- Einsetzen: Rechne x = −p/2 ± √D für Plus und Minus getrennt aus.
- Lösungsmenge und Probe: Notiere die Lösungen und prüfe mit x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q.
pq-Formel Rechner mit Rechenweg
Der pq-Formel Rechner nimmt deine Werte für p und q, berechnet die Diskriminante D = (p/2)² − q und gibt die Lösungen samt Rechenweg aus. So siehst du sofort, ob eine Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat, und kannst deine eigene Rechnung Schritt für Schritt vergleichen.
Gib p und q der Normalform x² + px + q = 0 ein. Der Rechner zeigt dir die Diskriminante, die Fallunterscheidung und beide Lösungen. Nutze ihn zum Kontrollieren, nicht zum Ersetzen der eigenen Rechnung.
Was sagt die Diskriminante über die Anzahl der Lösungen?
Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel, also D = (p/2)² − q. Ist D größer als null, gibt es zwei verschiedene Lösungen; ist D gleich null, gibt es genau eine (doppelte) Lösung; ist D kleiner als null, gibt es keine reelle Lösung. Ihr Vorzeichen entscheidet also über die Zahl der Lösungen.
Geometrisch entspricht das den Schnittpunkten einer Parabel mit der x-Achse. Zwei Lösungen bedeuten zwei Schnittpunkte, eine Lösung bedeutet, dass die Parabel die x-Achse nur berührt, und keine Lösung bedeutet, dass die Parabel die x-Achse gar nicht erreicht. Die Diskriminante bündelt diese drei Fälle in einer einzigen Zahl.
| Diskriminante D | Anzahl Lösungen | Parabel und x-Achse |
|---|---|---|
| D > 0 | zwei verschiedene Lösungen | zwei Schnittpunkte |
| D = 0 | eine (doppelte) Lösung x = −p/2 | ein Berührpunkt |
| D < 0 | keine reelle Lösung | kein Schnittpunkt |
Beispiele für alle drei Lösungsfälle
Drei durchgerechnete Beispiele zur pq-Formel zeigen die möglichen Fälle: x² + 4x − 5 = 0 hat zwei Lösungen, x² − 6x + 9 = 0 hat eine doppelte Lösung, und x² + 2x + 5 = 0 hat keine reelle Lösung. So erkennst du am Ergebnis, welcher Fall bei deiner Aufgabe vorliegt.
Gegeben ist x² + 4x − 5 = 0, also p = 4 und q = −5. Diskriminante: D = (4/2)² − (−5) = 4 + 5 = 9. Da D > 0, gibt es zwei Lösungen: x = −2 ± √9 = −2 ± 3. Damit ist x₁ = 1 und x₂ = −5. Probe nach Vieta: x₁ + x₂ = −4 = −p und x₁ · x₂ = −5 = q.
Gegeben ist x² − 6x + 9 = 0, also p = −6 und q = 9. Diskriminante: D = (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0. Da D = 0, gibt es genau eine Lösung: x = −(−6)/2 = 3. Die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt.
Gegeben ist x² + 2x + 5 = 0, also p = 2 und q = 5. Diskriminante: D = 1² − 5 = 1 − 5 = −4. Da D < 0, müsste man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Im Reellen gibt es keine Lösung, die Parabel schneidet die x-Achse nicht.
Wie wird die pq-Formel hergeleitet?
Die pq-Formel wird über die quadratische Ergänzung hergeleitet. Aus x² + px + q = 0 ergänzt man (p/2)², formt zu (x + p/2)² = (p/2)² − q um und zieht die Wurzel. Auflösen nach x liefert x = −p/2 ± √((p/2)² − q), also genau die bekannte Formel.
Die quadratische Ergänzung ist das Herzstück der Herleitung. Man bringt zunächst q auf die andere Seite und ergänzt dann auf der linken Seite die passende Zahl, damit ein vollständiges Binom entsteht.
- Ausgangsgleichung: x² + px + q = 0, also x² + px = −q.
- Quadratische Ergänzung: beide Seiten mit (p/2)² ergänzen, das ergibt x² + px + (p/2)² = (p/2)² − q.
- Binom bilden: die linke Seite ist (x + p/2)², also (x + p/2)² = (p/2)² − q.
- Wurzel ziehen: x + p/2 = ± √((p/2)² − q).
- Nach x auflösen: x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
Die Herleitung zeigt, warum das Minus vor p/2 und das Plus-Minus vor der Wurzel entstehen: Beide folgen zwingend aus dem Binom und dem Wurzelziehen. Wer die Herleitung einmal nachvollzogen hat, verwechselt die Vorzeichen der Formel deutlich seltener.
pq-Formel oder Mitternachtsformel: was ist der Unterschied?
Die Mitternachtsformel (abc-Formel) löst die allgemeine Gleichung ax² + bx + c = 0 für jedes a, die pq-Formel dagegen nur die Normalform mit a = 1. Setzt man a = 1, b = p und c = q in die abc-Formel ein, erhält man exakt die pq-Formel. Beide führen also zum selben Ergebnis.
In der Praxis nimmt man die pq-Formel, wenn der Faktor vor x² schon 1 ist oder sich leicht auf 1 bringen lässt. Die abc-Formel spart das Normieren, ist dafür aber etwas länger. Die folgende Tabelle stellt beide Formeln gegenüber.
| Merkmal | pq-Formel | Mitternachtsformel (abc) |
|---|---|---|
| Form der Gleichung | x² + px + q = 0 | ax² + bx + c = 0 |
| Formel | x = −p/2 ± √((p/2)² − q) | x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) |
| Voraussetzung | Faktor vor x² ist 1 | jedes a ungleich 0 |
| Diskriminante | (p/2)² − q | b² − 4ac |
| Zusammenhang | pq-Formel ist der Spezialfall a = 1, b = p, c = q | |
Wie kontrolliert man die Lösungen mit dem Satz von Vieta?
Nach dem Satz von Vieta gilt für die beiden Lösungen einer Gleichung x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Man addiert und multipliziert seine Ergebnisse und prüft, ob Summe und Produkt zu p und q passen. Stimmen beide, ist die Rechnung fast sicher korrekt.
Der Satz von Vieta ist eine schnelle Kontrolle nach dem Rechnen und manchmal sogar ein Abkürzungsweg. Bei x² − 5x + 6 = 0 suchst du zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6. Das sind 2 und 3, also x₁ = 2 und x₂ = 3, ganz ohne Wurzel. Bei ganzzahligen Lösungen errätst du sie so oft in Sekunden.
Rechne nach der pq-Formel und prüfe dann: Ist x₁ + x₂ wirklich −p und x₁ · x₂ wirklich q? Ein Vorzeichenfehler fällt so sofort auf, weil dann meist die Summe nicht stimmt.
Wie geht man mit den Sonderfällen p = 0 und q = 0 um?
Bei den Sonderfällen lohnt sich die pq-Formel oft nicht. Ist q = 0, klammert man x aus und liest die Lösungen direkt ab. Ist p = 0, formt man nach x² um und zieht die Wurzel. Beide Wege sind schneller als das volle Einsetzen und liefern dasselbe Ergebnis.
Nicht jede quadratische Gleichung braucht die pq-Formel. Zwei Sonderfälle kannst du deutlich schneller lösen, wenn du sie erkennst.
- q = 0 (kein Absolutglied), zum Beispiel x² + 4x = 0: Klammere x aus, also x·(x + 4) = 0. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist, damit x₁ = 0 und x₂ = −4.
- p = 0 (reinquadratisch), zum Beispiel x² − 16 = 0: Forme um zu x² = 16 und ziehe die Wurzel, also x = ± 4. Ist die rechte Seite negativ, gibt es keine reelle Lösung.
Die pq-Formel funktioniert in beiden Fällen ebenfalls, mit p = 0 oder q = 0 eingesetzt. Die Sonderwege sind aber schneller und weniger fehleranfällig, weil du keine Wurzel eines längeren Ausdrucks berechnen musst.
Welche Fehler passieren mit der pq-Formel am häufigsten?
Die häufigsten Fehler bei der pq-Formel sind ein falsches Vorzeichen bei p oder q, ein vergessenes Normieren der Gleichung und ein übersehenes negatives Vorzeichen vor p/2. Wer zuerst die Normalform prüft, sauber die Vorzeichen abliest und am Ende Vieta anwendet, fängt fast alle davon ab.
Diese drei Stolperfallen kosten in Klausuren regelmäßig Punkte. Wenn du sie kennst, vermeidest du die typischen Abzüge.
Steht in der Gleichung −5, dann ist q = −5, nicht 5. Genauso ist bei −6x der Wert p = −6. Ein falsches Vorzeichen zieht sich durch die ganze Rechnung und liefert falsche Lösungen.
Bei 2x² + 8x − 10 = 0 zuerst durch 2 teilen. Wer die Werte 8 und −10 direkt als p und q einsetzt, rechnet komplett falsch, weil die Formel nur für den Faktor 1 vor x² gilt.
Vor der Wurzel steht −p/2, nicht +p/2. Ist p positiv, wird dieser Teil negativ. Gerade bei positivem p wird das Minuszeichen leicht vergessen, wodurch beide Lösungen falsch werden.
Übungsaufgaben zur pq-Formel
Fünf Übungsaufgaben zur pq-Formel decken das Normieren, die Diskriminante, alle drei Lösungsfälle und den Satz von Vieta ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Lösungsweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
p = 6, q = 8. D = 3² − 8 = 1 > 0. x = −3 ± √1 = −3 ± 1, also x₁ = −2 und x₂ = −4.
Durch 2 teilen: x² + 4x − 5 = 0, also p = 4, q = −5. D = 4 + 5 = 9. x = −2 ± 3, also x₁ = 1 und x₂ = −5.
p = −10, q = 25. D = (−5)² − 25 = 0. Es gibt genau eine (doppelte) Lösung: x = 5.
p = 2, q = 5. D = 1 − 5 = −4 < 0. Es gibt keine reelle Lösung, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht reell ist.
Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe 5 (= −p) und Produkt 6 (= q). Das sind 2 und 3, also x₁ = 2 und x₂ = 3.
Karteikarten zur pq-Formel
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Punkten rund um die pq-Formel, von der Normalform über die Diskriminante bis zum Satz von Vieta. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set, um die Formel und die Fälle sicher einzuprägen.
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pq-Formel, das Wichtigste
Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0 über x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Die Diskriminante (p/2)² − q entscheidet über zwei, eine oder keine Lösung. Sie ist der Spezialfall a = 1 der Mitternachtsformel, und der Satz von Vieta liefert die schnelle Kontrolle.
- Voraussetzung: Normalform x² + px + q = 0, notfalls durch a teilen.
- Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
- Diskriminante D = (p/2)² − q: D > 0 zwei, D = 0 eine, D < 0 keine Lösung.
- Herleitung: quadratische Ergänzung und Wurzelziehen.
- Kontrolle: Satz von Vieta mit x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q.
Häufige Fragen zur pq-Formel
Für eine quadratische Gleichung in Normalform x² + px + q = 0 lautet die pq-Formel x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Man setzt die Koeffizienten p und q ein und erhält über das Plus und Minus vor der Wurzel die beiden Lösungen der Gleichung.
Die pq-Formel gilt nur, wenn die Gleichung in Normalform vorliegt, der Faktor vor x² also 1 ist. Steht dort ein anderer Koeffizient a, teilt man die ganze Gleichung zuerst durch a. Dann ist p der Faktor vor x und q die Zahl ohne x.
Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel, also D = (p/2)² − q. Ist D größer als null, gibt es zwei Lösungen; ist D gleich null, gibt es genau eine (doppelte) Lösung; ist D kleiner als null, gibt es keine reelle Lösung.
Man wendet auf x² + px + q = 0 die quadratische Ergänzung an: Ergänze (p/2)², forme zu (x + p/2)² = (p/2)² − q um und ziehe die Wurzel. Nach Auflösen nach x entsteht x = −p/2 ± √((p/2)² − q), also die pq-Formel.
Die Mitternachtsformel (abc-Formel) löst die allgemeine Gleichung ax² + bx + c = 0 für jedes a. Die pq-Formel ist der Spezialfall a = 1: Setzt man a = 1, b = p und c = q in die abc-Formel ein, erhält man genau die pq-Formel.
Ist (p/2)² − q kleiner als null, müsste man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Im Reellen ist das nicht möglich, es gibt keine Lösung. Die zugehörige Parabel hat dann keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Nach dem Satz von Vieta gilt für die beiden Lösungen x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Man addiert und multipliziert seine Ergebnisse und prüft, ob Summe und Produkt zu p und q passen. Stimmt beides, ist die Rechnung fast sicher korrekt.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und frei zugänglichen Lehrmaterialien:
- Quadratische Gleichung (Normalform, pq-Formel, Diskriminante und Lösungsfälle). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Satz von Vieta (Zusammenhang von Lösungen und Koeffizienten). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Quadratische Ergänzung (Grundlage der Herleitung). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Mathematikunterricht: Quadratische Gleichungen (offenes Lehrbuch mit Übungen). Wikibooks. de.wikibooks.org