Funktionsgraphen

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Funktionsgraphen haben bestimme Eigenschaften, die sie auszeichnen und vergleichbar mit anderen Funktionsgraphen machen. Im Matheunterricht hast Du vielleicht schon einmal eine Kurvendiskussion durchgeführt. Innerhalb einer solchen Kurvendiskussion untersuchst Du die Eigenschaften von Funktionen.

Welche Eigenschaften Funktionsgraphen besitzen und wie Du mit dem Wissen über diese Eigenschaften selbst Funktionsgraphen zeichnen kannst, erfährst Du hier.

Funktionsgraphen – Grundlagenwissen

In der Mathematik wird eine Funktion als die Beziehung zwischen zwei Mengen bezeichnet.

Bei einer Funktion - einer eindeutigen Zuordnung – wird jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugewiesen. Dabei wird die Definitionsmenge klassischerweise als x und die Wertemenge als y bezeichnet.

Funktionsgraphen Erklärung Funktionen StudySmarter Abbildung 1: Erklärung von Funktionen

Daraus entstehen Wertepaare bzw. Punkte, bei denen jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Ein y-Wert kann dagegen mehrere x-Werte haben.

Ein Funktionsgraph stellt dabei die Menge dieser Wertepaare grafisch in einem Koordinatensystem dar.

In dem Beispiel kannst Du Dir mal den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion anschauen, dessen Eigenschaften im Verlauf dieser Erklärung noch weiter unter die Lupe genommen werden.

Der Graph der Funktion $f (x) = x^{2} + 4 x - 2$ sieht wie folgt aus:

Funktionsgraphen Beispiel quadratische Funktion StudySmarter Abbildung 2: Funktionsgraph einer quadratischen Funktion

Funktionsgraphen – Steigung

Die Steigung von Funktionen ist ein Maß dafür, wie steil ein Graph einer Funktion ansteigt bzw. abfällt.

Lineare Funktionen kannst Du unter anderem daran erkennen, dass die Steigung, wie der Name schon verraten lässt, linear, also an jedem Punkt auf der Geraden gleich ist.

Mathematisch betrachtet entspricht die Steigung m einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Abweichung in y-Richtung zu der Abweichung in x-Richtung.

Es gilt somit folgende Gleichung:

$m = \frac{∆ y}{∆ x}$

Mit einem Steigungsdreieck kannst Du die Steigung einer linearen Funktion visualisieren und die Änderung in x- bzw. in y-Richtung direkt ablesen.

Gegeben ist der Graph der linearen Funktion $g (x) = x + 1$ .

Funktionsgraphen Steigungsdreieck linearen Funktion StudySmarter Abbildung 3: Steigungsdreieck an einer linearen Funktion

Möchtest Du nun die Steigung ablesen, suchst Du Dir zwei Punkte auf dem Graphen, die Du eindeutig bestimmen kannst, hier $P (1 | 2)$ und $Q (3 | 4)$ . Um von Punkt P zu Q zu gelangen, gehst Du nun zwei Kästchen in x-Richtung nach rechts ( $∆ x$ ) und zwei Kästchen in y-Richtung nach oben ( $∆ y$ ). Gemäß der Formel ergibt sich somit folgende Steigung:

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{∆ y}{∆ x} \\ m & = & \frac{2}{2} = 1 \end{array}$

Die Steigung einer linearen Funktion kannst Du auch in der Funktionsvorschrift direkt ablesen. Sie entspricht immer dem Faktor, welcher vor dem x steht.

Die Steigung von Graphen anderer Funktionen kann im Gegensatz zu linearen Funktionen in jedem Punkt unterschiedlich sein.

Die Steigung m einer bestimmten Stelle x auf dem Funktionsgraphen entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle x. Diese Tangente wird durch den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle x beschrieben.

$m = f' (x)$

Möchtest Du also die Steigung an einem bestimmten Punkt des Funktionsgraphen bestimmen, bildest Du die Tangente an diesem Punkt.

Zur Erinnerung: Bei einer Tangente handelt es sich um eine Gerade, die beispielsweise einen Funktionsgraphen in einem Punkt berührt.

Erinnerst Du Dich noch an den Graphen der quadratischen Funktion? Im folgenden Beispiel kannst Du Dir die Steigung an einem bestimmten Punkt dieser Parabel anschauen.

Die Abbildung zeigt Dir die Steigung am Punkt $P (- 1 | - 5)$ der quadratischen Funktion $f (x) = x^{2} + 4 x - 2$ . Die Steigung am Punkt P entspricht dabei nämlich der Steigung der Tangente p.

Funktionsgraphen Steigung Punkt Parabel StudySmarter Abbildung 4: Steigung einer Parabel der Funktion f(x) im Punkt P

Die Steigung m der Tangente p kannst Du jetzt wieder mit dem Steigungsdreieck auf grafische Weise bestimmen.

Funktionsgraphen Steigungsdreieck Tangente Parabel StudySmarter Abbildung 5: Steigungsdreieck an der Tangente p

Um von Punkt Q nach P zu gelangen, musst Du 1 Kästchen in x-Richtung nach rechts ( $∆ x$ ) und zwei Kästchen in y-Richtung nach oben ( $∆ y$ ) gehen. Daraus ergibt sich dann folgende Rechnung.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{∆ y}{∆ x} \\ m & = & \frac{2}{1} = 2 \end{array}$

Die Steigung der Tangente entspricht also 2. Somit beträgt die Steigung am Punkt P der Parabel ebenfalls 2.

Wenn Du Dich mehr in das Themengebiet der Steigung von Funktionen einlesen möchtest, schau Dir die Erklärung "Monotonieverhalten" an.

Die Steigung von Funktionsgraphen bestimmen zu können, ist mitunter besonders wichtig, um Extrempunkte von Funktionsgraphen zu ermitteln.

Funktionsgraphen – wichtige Punkte

Zu den wichtigen Punkten von Funktionsgraphen gehören die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, also Nullstellen und y-Achsenabschnitt, und die Extrempunkte.

Lokale Extrempunkte und Sattelpunkte

Jede ganzrationale Funktion – mit Ausnahme der linearen Funktion – hat mindestens einen lokalen Extrempunkt.

Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einem bestimmten Intervall entweder der höchste – dann ist von einem Hochpunkt die Rede – oder der niedrigste Punkt ist – einem sogenannten Tiefpunkt.

Weiterhin müssen folgende Bedingungen für lokale Extrempunkte gelten:

Notwendige Bedingung: Die Steigung an dieser Stelle muss gleich null sein. $\to f' (x) = 0$
Hinreichende Bedingung: Die zweite Ableitung an dieser Stelle muss ungleich null sein. $\to f'' (x) \neq 0$

Wie Du bereits gelernt hast, entspricht die Steigung einem Punkt auf einem Funktionsgraphen der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Da bei Extrempunkten Punkte auf dem Funktionsgraphen gesucht werden, deren Steigung gleich null ist, handelt es sich bei der Tangente an diesem Punkt um eine zur x-Achse parallele ("waagerechte") Geraden.

Was ist also jetzt der Extrempunkt der quadratischen Funktion?

Die folgende Abbildung zeigt Dir den Extrempunkt $T (- 2 | - 6)$ der quadratischen Funktion f.

Funktionsgraphen Extrempunkt Parabel StudySmarter Abbildung 6: Tiefpunkt T an der Parabel der Funktion f(x)

Wie Du sehen kannst, handelt es sich beim Punkt T um den niedrigsten Punkt auf dem Funktionsgraphen, also um einen Tiefpunkt.

Dass die notwendige Bedingung zutrifft, erkennst Du daran, dass die Tangente t an diesem Punkt keine Steigung hat und somit parallel zur x-Achse liegt.

Bei der hinreichenden Bedingung musst Du darauf achten, dass der Funktionsgraph unmittelbar nach dem Extrempunkt T die Tangente in diesem Punkt nicht erneut schneidet, sondern sich die Richtung der Steigung ändert. Ansonsten handelt es sich um einen sogenannten Sattelpunkt.

Sattelpunkte teilen sich nämlich mit den Extrempunkten die notwendige Bedingung.

Sattelpunkte werden auch als Terrassenpunkte bezeichnet. Für sie gelten folgende Bedingungen:

Notwendige Bedingung: Die Steigung an dieser Stelle muss gleich null sein. $\to f' (x) = 0$
Hinreichende Bedingung: Die zweite Ableitung an dieser Stelle muss ebenfalls gleich null sein. $\to f'' (x) = 0$

Um Extrempunkte von Sattelpunkten zu unterscheiden, kannst Du wie folgt vorgehen:

Notwendige Bedingung überprüfen: Markiere diejenigen Punkte auf dem Funktionsgraphen, die eine Steigung von null haben.
Hinreichende Bedingung überprüfen: Zeichne dafür Tangenten an den jeweiligen Punkten an.
- Schneidet die Tangente unmittelbar nach dem Punkt den Funktionsgraphen, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
- Ändert der Graph unmittelbar nach dem Punkt die Richtung der Steigung und schneidet die Tangente somit nicht, handelt es sich um einen Extrempunkt.

Aufgabe 1

Kennzeichne die lokalen Extrempunkte, also Hochpunkt H und Tiefpunkt T sowie den Sattelpunkt S am folgenden Funktionsgraphen f.

Funktionsgraphen Sattelpunkt Extrempunkte StudySmarter Abbildung 7: Funktionsgraph fünften Grades

Lösung

Wie im Beispiel zuvor suchst Du den Funktionsgraphen nach Punkten ab, die eine Steigung von null haben. An diesen Punkten zeichnest Du dann die Tangenten an und überprüfst die hinreichende Bedingung.

Funktionsgraphen Sattelpunkt Extrempunkte StudySmarter Abbildung 8: Hochpunkt H, Tiefpunkt T und Sattelpunkt S am Funktionsgraphen fünften Grades

Wie Du erkennen kannst, schneidet die Tangente s unmittelbar nach dem Punkt S den Funktionsgraphen. Somit handelt es sich dabei um den Sattelpunkt S.

Bei den Punkten H und T ist dies nicht der Fall, da sich dort die Richtung der Steigung ändert. Punkt T ist also ein lokaler Tiefpunkt, während Punkt H ein lokaler Hochpunkt ist.

Mehr Inhalte zu Extrempunkten sowie Sattelpunkten findest Du in der Erklärung "Extremwertberechnung".

Nullstellen

Um wichtige Aufgaben der Analysis lösen zu können, ist die Berechnung der Nullstellen ein essenzieller Bestandteil.

Eine Nullstelle einer Funktion f(x) ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt $f (a) = 0$ .

Rein grafisch betrachtet, ist eine Nullstelle x der Schnittpunkt einer Funktion f(x) mit der x-Achse im Koordinatensystem.

Unterschiedliche Funktionen können eine unterschiedliche Anzahl von Nullstellen haben. Die maximal mögliche Anzahl von Nullstellen hängt von dem Grad der Funktion, also der Höhe des größten Exponenten der Funktion, ab. Eine Funktion ersten Grades kann maximal eine Nullstelle haben. Quadratische Funktionen (Funktionen zweiten Grades) haben maximal zwei Nullstellen.

In der Abbildung 3 kannst Du die Nullstellen $x_{1} = - 4, 45$ und $x_{2} = - 4, 45$ einer quadratischen Funktion f(x) sowie die Nullstelle $x = - 1$ einer linearen Funktion g(x) sehen.

Funktionsgraphen Nullstellen linearen quadratischen Funktionen StudySmarter Abbildung 9: Nullstellen einer linearen Funktion g und einer quadratischen Funktion f

Wenn Du mehr zu dem Berechnen von Nullstellen verschiedener Funktonen lernen möchtest, schau in der Erklärung "Nullstellen berechnen" vorbei.

y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt einer Funktion ist ebenfalls ein wichtiger Bestandteil der Analysis.

Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt einer Funktion f(x) mit der y-Achse.

Für eine Funktion f(x) entspricht der y-Achsenabschnitt der folgenden Gleichung:

$y_{o} = f (0)$

Funktionen können die y-Achse höchstens einmal schneiden. Die allermeisten Funktionen haben somit einen y-Achsenabschnitt.

Betrachtet werden erneut die beiden Funktionen aus dem vorigen Beispiel. In der Abbildung kannst Du sehen, dass der y-Achsenabschnitt von der quadratischen Funktion f(x) $y_{f} = - 2$ und von der linearen Funktion g(x) $y_{g} = 1$ ist.

Funktionsgraphen y-Achsenabschnitt StudySmarter Abbildung 10: y-Achsenabschnitte von der linearen Funktion g und quadratischen Funktion f

Wenn Du mehr über den y-Achsenabschnitt von Funktionen lernen möchtest, schau Dir die Erklärung "y-Achsenabschnitt" an.

Symmetrie von Funktionsgraphen

Funktionsgraphen haben verschiedene symmetrische Eigenschaften. Es wird hierbei zwischen einer Achsensymmetrie und Punktsymmetrie unterschieden.

Wenn Funktionsgraphen an bestimmten Achsen oder Punkten im Koordinatensystem gespiegelt werden können und derselbe Graph dabei herauskommt, dann ist die Funktion symmetrisch. Dabei ist eine Funktion achsensymmetrisch, wenn Du sie an einer Achse (meistens der y-Achse) spiegeln kannst, und punktsymmetrisch, wenn sich die Funktion an einem Punkt spiegelt (meistens am Ursprung).

Art der Symmetrie	Definition	Beispiel
Punktsymmetrie zum Ursprung	Ein Graph der Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die folgende Bedingung gilt: $f (- x) = - f (x)$ Der Ursprung, $P (0 \| 0)$ , ist dabei der Symmetriepunkt.	Abbildung 11: Punktsymmetrie zum Ursprung
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt	Ein Graph der Funktion f ist punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt $P (x_{0} \| y_{0})$ , wenn die folgende Bedingung gilt: $f (x_{0} + x) - y_{0} = - f (x_{0} - x) + y_{0}$	Abbildung 12: Punktsymmetrie zu beliebigen Punkt
Achsensymmetrie zur y-Achse	Ein Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die folgende Bedingung gilt: $f (- x) = f (x)$ Das heißt, die Funktion spiegelt sich an der y-Achse, welche die Symmetrieachse darstellt.	Abbildung 13: Achsensymmetrie zur y-Achse
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse	Ein Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zu einer Achse $x = x_{0}$ , wenn die folgende Bedingung gilt: $f (x_{0} + x) = f (x_{0} - x)$ Dabei verläuft die senkrechte Achse durch den Punkt $(x_{0} \| 0)$	Abbildung 14: Achsensymmetrie zu beliebiger Achse

Wie Du die Symmetrie von Funktionen auf rechnerische Art und Weise nachweisen kannst, erfährst Du in der Erklärung "Symmetrie von Funktionsgraphen".

Funktionsgraphen – Periodizität

Eine weitere Eigenschaft, die Funktionsgraphen haben können, ist die Periodizität.

Die Periodizität in der Mathematik beschreibt Funktionen, bei denen sich die Funktionswerte bzw. y-Werte in regelmäßigen Abständen wiederholen.

Die Graphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch, d.h. die Funktionswerte überdecken sich bei einer Verschiebung in x-Richtung durch den Parameter $p$ bzw. $k \cdot p$ .

Eine Funktion ist somit periodisch, wenn folgendes gilt:

$f (x + k \cdot p) = f (x)$

Zu den bekanntesten periodischen Funktionen gehören die Sinus- und Kosinusfunktion. Die beiden Funktionen haben die Periode

p = 2 π

. Das heißt, jeder y-Wert wiederholt sich in einem Abstand von

2 π

Die Abbildung 15 zeigt den Graphen der Sinusfunktion $f (x) = \sin (x)$ .

Funktionsgraphen Periodizität Sinusfunktion StudySmarter Abbildung 15: Periodizität der Sinusfunktion

Die Punkte A, B und C haben alle denselben y-Wert. Rechnerisch kannst Du das wie folgt nachvollziehen.

$f (0 + 0 \cdot 2 π) = f (0 + 1 \cdot 2 π) = f (0 + 2 \cdot 2 π) = 0$

Wenn Du tiefer in das Thema der Periodizität von Funktionsgraphen eintauchen möchtest, schau Dir die Erklärung dazu an.

Funktionsgraphen zeichnen

Nachdem Du nun Eigenschaften von Funktionsgraphen kennengelernt hast, geht es jetzt im nächsten Abschnitt darum, wie Du Graphen von Funktionen selbst zeichnen kannst. Dabei können Dir Informationen zu den Eigenschaften wie der Symmetrie, den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder lokale Extrempunkte von Funktionen helfen, um den Funktionsgraphen in groben Zügen zu zeichnen. Willst Du den Funktionsgraphen detailliert zeichnen, kannst Du eine Wertetabelle der Funktion erstellen.

Wertetabelle

Bei einer Funktion wird jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet, daher ist die Wertetabelle ein praktisches Hilfsmittel, um Funktionsgraphen zu zeichnen.

In einer Wertetabelle werden ausgewählte x-Werte des Definitionsbereichs der Funktion und die durch eine Funktionsvorschrift zugeordneten y-Werte (Funktionswerte) aus dem Wertebereich gemeinsam aufgeschrieben.

Du erstellst eine Wertetabelle, indem Du in Deine vorgegebene Funktion f(x) mehrere x-Werte einsetzt. Diese x-Werte sind eine Zeile Deiner Tabelle. Die sich daraus ergebenen y-Werte bilden die darunter stehende Zeile der Wertetabelle. Spaltenweise hast Du also immer ein Wertepaar aus x- und y-Wert.

Aufgabe 2

Zeichne die Funktion $f (x) = x + 1$ .

Lösung

Schritt 1

Zunächst setzt Du in die Funktion verschiedene x-Werte ein, um den passenden y-Wert zu erhalten.

Dabei ist es egal, welche x-Werte Du einsetzt, solange sie Teil der Definitionsmenge sind. Du solltest aber darauf achten, sie kleinschrittig zu wählen.

Setzt Du beispielsweise den x-Wert 2 in die Funktion f(x) ein, ergibt sich die folgende Gleichung.

$\begin{array}{rcl} f (2) & = & 2 + 1 \\ f (2) & = & 3 \end{array}$

Damit hast Du Dein erstes Wertepaar berechnet. Das Gleiche machst Du jetzt auch mit anderen x-Werten, woraus sich dann die folgende Wertetabelle ergibt.

x-Wert	2	1	0	-1	-2
y-Wert	3	2	1	0	-1

Schritt 2

Nun kannst Du die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und eine Gerade ziehen.

Funktionsgraphen lineare Funktion Wertetabelle StudySmarter Abbildung 16: lineare Funktion durch die Punkte der Wertetabelle

Wenn Du noch mehr über Wertetabellen erfahren möchtest, dann schau Dir die Erklärung "Wertetabelle" an.

Parabel einer quadratischen Funktion zeichnen

Möchtest Du den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion zeichnen, kannst Du dabei die Eigenschaften ausnutzen, die für Parabeln im Allgemeinen gelten.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Eine Parabel hat folgende Eigenschaften:

Parabeln haben bis zu zwei Nullstellen x₁ und x₂.
Parabeln haben einen sogenannten Scheitelpunkt S. Bei nach oben geöffneter Parabel handelt es sich um einen Tiefpunkt. Ist sie nach unten geöffnet, heißt der Scheitelpunkt Hochpunkt.
Parabeln besitzen eine senkrechte Spiegelachse am Scheitelpunkt S. Sie sind somit achsensymmetrisch.

Beim Zeichnen der Parabel einer gegebenen Funktion kannst Du jetzt wie folgt vorgehen:

Schritt 1: Bestimmen von Nullstellen
Schritt 2: Bestimmen des y-Achsenabschnitts
Schritt 3: Bestimmen vom Scheitelpunkt
Schritt 4: Bestimmen von weiteren Punkten unter Berücksichtigung der Symmetrie
Schritt 5: Punkte in Koordinatensystem eintragen und verbinden

Wie sieht das Ganze jetzt mit konkreten Werten aus?

Aufgabe 6

Zeichne die Parabel zu der folgenden quadratischen Funktion mit dem Scheitelpunkt $S (2 | 1)$ :

$f (x) = - x^{2} + 4 x - 3$

Lösung

Schritt 1: Bestimmen der Nullstellen

Um die Nullstellen zu bestimmen, setzt Du die Funktion f(x) gleich null und löst sie nach x auf. Dabei kannst Du z.B. die pq-Formel oder Mitternachtsformel zur Hilfe ziehen.

$\begin{matrix} f (x) & = & 0 \\ - x^{2} + 4 x - 3 & = & 0 & \cdot (- 1) \\ x^{2} - 4 x + 3 & = & 0 & p q - F o r m e l \\ x_{1, 2} & = & 2 \pm \sqrt{2^{2} - 3} \\ x_{1} & = & 1 \to (1 | 0) \\ x_{2} & = & 3 \to (3 | 0) \end{matrix}$

Diese beiden Nullstellen kannst Du Dir jetzt schon einmal in einem Koordinatensystem markieren.

Funktionsgraphen Nullstellen StudySmarter Abbildung 17: Nullstellen von f(x)

Schritt 2: Bestimmen des y-Achsenabschnitts

Den y-Achsenabschnitt y₀ kannst Du bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form direkt ablesen.

Zur Erinnerung: Bei einer quadratischen Funktion in der allgemeinen Form $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ist das absolute Glied c der y-Achsenabschnitt.

$\begin{array}{rcl} y_{0} & = & f (0) \\ = & - 0^{2} + 4 \cdot 0 - 3 \\ y_{0} & = & - 3 \to (0 | - 3) \end{array}$

Auch diesen Punkt trägst Du jetzt mit in das Koordinatensystem ein.

Funktionsgraphen y-Achsenabschnitt StudySmarter Abbildung 18: y-Achsenabschnitt und Nullstellen von f(x)

Schritt 3: Bestimmen vom Scheitelpunkt

In dieser Aufgabe ist der Scheitelpunkt S bereits angegeben. Andernfalls müsstest Du die Funktion f von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umwandeln, um dann den Scheitelpunkt direkt ablesen zu können.

Wie Du eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln kannst, erfährst Du in dem Artikel "Scheitelpunkt berechnen".

Gemäß der Aufgabenstellung liegt der Scheitelpunkt bei $S (2 | 1)$ . Mit diesem Punkt kannst Du jetzt Dein Koordinatensystem ergänzen.

Funktionsgraphen Scheitelpunkt StudySmarter Abbildung 19: Scheitelpunkt, y-Achsenabschnitt und Nullstellen von f(x)

Jetzt hast Du bereits einen groben Überblick darüber, wie die Parabel im Koordinatensystem verläuft.

Schritt 4: Bestimmen von weiteren Punkten

Um die Parabel möglichst genau in das Koordinatensystem einzuzeichnen, kannst Du jetzt noch weitere Punkte ermitteln, indem Du wie bei der Aufgabe 5 Werte in die Funktion f(x) einsetzt. Dabei kannst Du einen Trick anwenden, der Dir etwas Zeit erspart.

Dadurch, dass Parabeln am Scheitelpunkt S eine senkrechte Spiegelachse haben, werden jedem y-Wert genau zwei x-Werte auf der Parabel zugeordnet, die jeweils den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben.

Bei der Wahl der x-Werte, die Du in die Funktion f(x) für weitere Punkte einsetzt, hast Du freie Wahl. Hier wird als Beispiel der x-Wert -1 gewählt.

$\begin{array}{rcl} f (- 1) & = & - {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) - 3 \\ = & - 8 \to P (- 1 | 8) \end{array}$

Nun trägst Du auch diesen Punkt in das Koordinatensystem ein. Damit Du diesen Punkt P jetzt richtig spiegelst, zeichnest Du Dir am besten die Spiegelachse in einer gestrichelten Linie mit in das Koordinatensystem ein. Anhand dieser Achse kannst Du jetzt die übrigen Punkte spiegeln.

Funktionsgraphen Punkte Parabel gespiegelt StudySmarter Abbildung 21: gespiegelte Punkte entlang der Spiegelachse von f(x)

Wie Du sehen kannst, ist der Punkt P links von der Spiegelachse und drei Kästchen von der Spiegelachse entfernt. Der Punkt P_gespiegelt liegt mit demselben Abstand von drei Kästchen rechts von der Spiegelachse.

Je mehr Punkte Du z.B. in Form einer Wertetabelle ermittelst, desto genauer kannst Du den Graphen zeichnen.

Schritt 5: Punkte im Koordinatensystem verbinden

Als letzten Schritt verbindest Du nun die Punkte. Hab dabei immer die Eigenschaften, die für alle Parabeln im Allgemeinen gelten, im Hinterkopf.

Funktionsgraphen Parabel zeichnen StudySmarter Abbildung 20: eingezeichnete Parabel durch die Punkte von f(x)

Hat das Zeichnen dieser Parabel Dein Interesse geweckt? Dann schau Dir die Erklärung "Graphen zeichnen" an. Dort findest Du auch weitere Übungsaufgaben zu diesem Thema.

Funktionsgraphen – Das Wichtigste

Bei einer Funktion - einer eindeutigen Zuordnung – wird jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugewiesen. Dabei wird die Definitionsmenge klassischerweise als x, und die Wertemenge als y bezeichnet.
Mathematisch betrachtet entspricht die Steigung m einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Abweichung in y-Richtung zu der Abweichung in x-Richtung.
Es gilt somit folgende Gleichung: $\to m = \frac{∆ y}{∆ x}$
Die Steigung m einer bestimmten Stelle x auf einem beliebigen Funktionsgraphen entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle x.
Zu den wichtigsten Punkten auf Funktionsgraphen gehören Extrempunkte, Nullstellen und der y-Achsenabschnitt.
Funktionen können entweder Punkt- oder Achsensymmetrisch sein
Um die Punktsymmetrie zum Ursprung herauszufinden, verwendest Du folgende Formel: $f (- x) = - f (x)$
Um die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt herauszufinden, verwendest Du folgende Formel: $f (x_{0} + x) - y_{0} = - f (x_{0} - x) + y_{0}$
Um die Achsensymmetrie zur y-Achse herauszufinden, verwendest Du folgende Formel: $f (- x) = f (x)$
Um die Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse herauszufinden, verwendest Du folgende Formel: $f (x_{0} + x) = f (x_{0} - x)$
In einer Wertetabelle werden ausgewählte x-Werte des Definitionsbereichs der Funktion und die durch eine Funktionsvorschrift zugeordneten y-Werte (Funktionswerte) aus dem Wertebereich gemeinsam aufgeschrieben.
Beim Zeichnen einer Parabel kannst Du Dich nach folgendem Ablauf richten
- Schritt 1: Bestimmen von Nullstellen
- Schritt 2: Bestimmen des y-Achsenabschnitts
- Schritt 3: Bestimmen vom Scheitelpunkt
- Schritt 4: Bestimmen von weiteren Punkten unter Berücksichtigung der Symmetrie, z.B. in Form einer Wertetabelle
- Schritt 5: Punkte in Koordinatensystem eintragen und verbinden

Nachweise

Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
Jost; Seeger. (2012). Fit fürs Abi. Mathematik Oberstufenwissen. Schroedel Verlag

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionsgraphen

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Ein y-Wert kann somit mehrere x-Werte haben, aber nicht umgekehrt.

Die Steigung kannst Du mit Hilfe der Steigungsformel oder mit einem Steigungsdreieck ablesen. Die Steigung entspricht dabei dem Verhältnis aus der Abweichung in y-Richtung zu der Abweichung in x-Richtung des Funktionsgraphen.

Eine lineare Funktion erkennst Du daran, dass der Funktionsgraph ein Gerade darstellt. Jeder Punkt auf dieser Geraden hat die selbe Steigung.

Finales Funktionsgraphen Quiz

Funktionsgraphen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Welche Arten von Symmetrien gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt zum einen die

Achsensymmetrie und zum anderen die Punktsymmetrie.

Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die wichtigsten Spezialfälle von Symmetrien?

Antwort anzeigen

Antwort

die Achsensymmetrie zur y-Achse
Punktsymmetrie
zum Ursprung

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite wiedergibt. Rechnerisch heißt das, dass f(-x) = f(x) gelten muss.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind

ganzrationale Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn das ausmultiplizierte Polynom

nur gerade Exponenten hat, dann ist der Graph symmetrisch zur y-Achse.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse vorhanden?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph der Funktion f(x) ist genau symmetrisch zu der Achse x = h,

wenn f(h-x) = f(h+x) für alle x gilt.

Frage anzeigen

Frage

In welchen drei Optionen können vermutete Symmetrieachsen vorkommen?

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Antwort

a) Die zu prüfende Symmetrieachse wird in der Aufgabenstellung explizit genannt.

b) Es handelt sich um eine in x-Richtung verschobene Funktion.

c) Wir berechnen die Extremstellen der Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann die Symmetrie nachgewiesen werden, wenn die die zu prüfende Symmetrieachse in der Aufgabenstellung explizit genannt wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Setze die angegebene Achsengleichung x = h in die Formel f(h-x) = f(h+x) ein.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion gilt als punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird:

Es gilt f(-x) = -f(x), damit f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind ganzrationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn das ausmultiplizierte Polynom

nur ungerade Exponenten hat, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt vorhanden?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph einer Funktion f(x) ist genau Symmetrisch zum Punkt P(a|b), falls

f(a+x)-b = -(f(a-x)-b) gilt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Stellen sind potenzielle Symmetriepunkte?

Antwort anzeigen

Antwort

Potenzielle Symmetriepunkte sind Wendestellen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was in einer Wertetabelle abgebildet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

In einer Wertetabelle werden ausgewählte x-Werte und die zugehörigen y-Werte einer Funktion f abgebildet.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie du mit Hilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Tabelle zeichnen und mit x und y beschriften
x-Werte eintragen
y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung berechnen
y-Werte eintragen

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie du aus einem Funktionsgraphen eine Wertetabelle erstellen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Tabelle zeichnen und mit x und y beschriften
Punkte aus dem Graphen ablesen
Wertepaare in die Tabelle eintragen

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie du einen Funktionsgraphen mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Lege die Wertetabelle an
Zeichne ein Koordinatensystem
Trage die Punkte ins Koordinatensystem ein
Verbinde die Punkte des Funktionsgraphen

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Wertepaar.

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Antwort

Ein Wertepaar ist ein Paar aus einem x-Wert der Definitionsmenge und dem zugeordneten y-Wert.

Frage anzeigen

Frage

In welcher Spalte stehen die x-Werte und die y-Werte bei einer senkrechten Wertetabelle?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine senkrechte beziehungsweise vertikale Wertetabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte stehen die ausgewählten x-Werte und in der rechten Spalte die zugehörigen y-Werte (Funktionswerte).

Frage anzeigen

Frage

In welcher Zeile stehen die x-Werte und die y-Werte bei einer waagrechten Wertetabelle?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine waagrechte beziehungsweise horizontale Wertetabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe stehen die ausgewählten x-Werte und in der unteren Reihe die zugehörigen y-Werte (Funktionswerte).

Frage anzeigen

Frage

Welchen Graph hat eine lineare Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Frage anzeigen

Frage

Welchen Graph hat eine quadratische Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Frage anzeigen

Frage

Wozu braucht man eine Wertetabelle?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit Hilfe einer Wertetabelle kannst du Funktionen einfacher zeichnen. Durch sie kannst du einfach y-Werte und x-Werte der Funktion ablesen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was Periodizität bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Periodizität heißt so viel wie Turnus oder Wiederkehr. Im Allgemeinen bezeichnet Periodizität die Eigenschaft des regelmäßigen Auftretens von Ereignissen nach einer bestimmten Zeit.

Frage anzeigen

Frage

Gebe an, was Periode im mathematischen Kontext bedeutet.

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Antwort

Die Periode ist der Abstand zwischen dem Auftreten gleicher Funktionswerte.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was eine periodische Funktion ist.

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Antwort

Eine Funktion heißt periodisch, wenn es eine reelle Zahl $p$ gibt, sodass für alle $x\in\mathbb{D}_f$ gilt: $f(x+p)=f(x)$. Die Zahl $p$ ist dabei die Periode der Funktion $f(x)$.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Eigenschaft einer periodischen Funktion zugeschrieben wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktionsgraphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch zur $x$-Achse.

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein bekanntes Beispiel für periodische Funktionen.

Antwort anzeigen

Antwort

Trigonometrische Funktionen

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie Du eine periodische Funktion zeichnen kannst.

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Antwort

Um periodische Funktionen zu zeichnen, solltest Du die Periode kennen. Dann kannst Du ein paar Funktionswerte innerhalb der Periode berechnen und diese einzeichnen. So kannst Du die ganze Funktion zeichnen, da die Funktion in jedem periodischen Abschnitt gleich aussieht.

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Entscheide, ist die Summe von Sinus und Kosinusfunktionen periodisch ist.

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Ja, wenn die beiden Funktionen mindestens eine gleiche Periode haben.

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Nenne die Schritte zur Bestimmung einer periodischen Funktion aus dem Funktionsgraphen.

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Ablesen der Periode $p$ aus dem Funktionsgraphen
Ermitteln der Eigenschaften Deiner Funktion $f(x)$ und Aufstellen der Funktion
Überprüfung der Periodizität

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Was ist die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit eine Funktion periodisch ist?

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$f(x+p)=f(x)$

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