Select your language

Suggested languages for you:
Login Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Polynomdivision

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Polynomdivision

Eine Polynomdivision ist dem schriftlichen Dividieren in der 5. Klasse recht ähnlich. Die Zahlen von damals ersetzt Du mit einer ganzrationalen Funktion, sodass Du den langen Funktionsterm mithilfe Deiner Division in zwei Linearfaktoren zerlegen kannst. Sie helfen Dir, die Nullstellen der ganzrationalen Funktion zu bestimmen.

Polynomdivision – Erklärung ganzrationaler Funktionen

Eine ganzrationale Funktion bezeichnet eine Funktion, die aus einem oder mehreren Polynomen aufgebaut ist. Deshalb wird sie auch oft als Polynomfunktion bezeichnet.

Sieh Dir dazu gerne noch einmal den Artikel "Polynome" genauer an.

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist eine Funktion der Form

Nullstelle berechnen quadratische Funktion StudySmarter

Dabei stehen die Variablen für Werte der Koeffizienten vonmit ihren Exponenten n.

Stelle Dir diese abstrakte, allgemeine Form mit Zahlenwerten vor:

  • Das n steht immer für den höchsten Exponenten von x (zum Beispiel für). Weiter enthält die Funktion nur noch entsprechend niedrigere Exponenten (,) von x ().
  • Das a ist ein Platzhalter für die Koeffizienten oder Vorzahlen von,etc. Es kann beliebige Zahlenwerte einnehmen (beispielsweise oder).

Betrachte einmal eine klassische ganzrationale Funktion mit Zahlenwerten:

Es handelt sich hierbei um eine Funktion 5. Grades, da ihr höchster Exponent beträgt. Die Zahlen vor dem x (1, 2, -1, -2, -2 und -1) bezeichnet man als Koeffizienten.

Polynomdivision ganzrationale Funktion StudySmarterAbbildung 1: Ganzrationale Funktion

Die Nullstellen X1, X2, X3, die Extremwerte (Hochpunkte und Tiefpunkte) und die Grenzwerte einer können bei einer sogenannten Kurvendiskussion bestimmt werden.

Abhängig davon, welche Werte man für a und n einsetzt, ergeben sich unterschiedliche ganzrationale Funktionen.

Polynomdivision verschiedene ganzrationale Funktionen StudySmarterAbbildung 2: Verschiedene ganzrationale Funktionen

Konstante Funktionen

Konstante Funktionen sind Polynomfunktionen nullten Grades, da ihr höchstes Polynomist.

In der Grafik oben ist die konstante Funktiondargestellt. Sie ist identisch mit der x-Achse.

Allgemeine Form:

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Polynomfunktionen ersten Grades mitals höchstem Exponenten.

Sie werden als Gerade dargestellt, wie im Beispiel als.

Allgemeine Form:

Quadratische Funktionen

Parabeln sind Polynomfunktionen zweiten Grades. Ihr höchster Exponent liegt bei.

Du findest die Funktionim oberen Beispiel dargestellt.

Bei diesen drei einfachen Formen ganzrationaler Funktionen können die Nullstellen mithilfe von Äquivalenzumformungen oder Lösungsformeln bestimmt werden. Ab einer Polynomfunktion dritten Grades (etwaoder) ist das nicht mehr möglich. Um hierfür Nullstellen zu finden, muss die Polynomdivision angewendet werden.

Nullstellen – Definition

Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der FunktionstermNull wird.

Eine Nullstelle einer Funktionist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für diePolynomdivision Nullstelle Definition StudySmartergilt.

Grafisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnitt- oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

Du kannst Dir die Nullstellen mit der grafischen Darstellung veranschaulichen. Sie sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

Polynomdivision Nullstellen ganzrationale Funktion StudySmarterAbbildung 3: Nullstellen

Die Funktionhat also ihre Nullstellen an den Punkten,und. Um diese Punkte zu finden, musst Du entlang der x-Achse nach Überschneidungen mit der Funktion suchen.

,undbesitzen bei dieser Funktion die Koordinaten,und

. Hier fällt auf, dass die y-Koordinate immer Null ist. Das liegt daran, dass ein Punkt auf der x-Achse immer bei liegen muss.

Deshalb wird für die Nullstellen nur die eigentlich wichtige x-Koordinate in dieser Form angegeben:

hat Nullstellen bei,und.

Du kannst die Nullstellen einer Funktion auch berechnen. Eine Möglichkeit bei ganzrationalen Funktionen ist die Polynomdivision.

Polynomdivision – Formel & Erklärung

Bei der Polynomdivision wird versucht, eine beliebige ganzrationale Funktion in ein Produkt mit mehreren Faktoren umzuwandeln. Genauer bezeichnet man dies als Zerlegung in Linearfaktoren (also in die Form).

Polynomdivision Zerlegung in Linearfaktoren StudySmarter

Für jede dieser Linearfaktoren lässt sich die zugehörige Nullstelle der Funktion bestimmen.

Die Polynomdivision bezeichnet die mathematische Vorgehensweise, mit der man zwei Polynome miteinander dividiert.

Sie basiert also auf dem Prinzip des schriftlichen Dividierens.

Im folgenden Beispiel lernst Du anhand der Funktiondie einzelnen Schritte kennen.

1. Schritt: Divisor finden

Finde durch Probieren eine Nullstelle der Funktion. Hierfür gibt es einen Trick: Nach dem Satz über rationale Nullstellen oder Lemma von Gauß können nur ganzzahlige Teiler des KoeffizientenNullstellen der ganzrationalen Funktion sein.

In der Beispielfunktion ist die Zahl 4 der letzte Koeffizient. Welche Zahlen (aus der Menge der ganzen Zahlen) sind ihr Teiler?

Es sind die Zahlenund.

Diese kannst Du ineinsetzen, um zu überprüfen, ob der Funktionsterm dort Null wird. Bei der Zahl 2 bestätigt sich:besitzt eine Nullstelle bei.

Ist eine Nullstelle beivorhanden, muss der zugehörige Faktor der Funktionheißen. Denn für 2 wird er Null und damit auch die gesamte Funktion.

Merke Dir diesen Term: Er ist der Divisor, mit dem Du im nächsten Schritt weiterrechnen musst.

2. Schritt: Polynomdivision durchführen

Jetzt kannst Du die Polynomdivision beginnen. Führe dafür eine schriftliche Division aus dem Funktionstermund dem im ersten Schritt gefundenen Divisordurch.

Dividiere den Faktorvon der gesamten Funktion. Hier die gesamte Rechnung im Überblick:

Sieh Dir diese Rechnung Schritt für Schritt an:

Schritt 2.1: Division

Zuerst teilst Du das vordere Polynom der Funktiondurch den Minuenden des Divisors, in diesem Fall durch x.

Das Ergebnisschreibst Du hinten an.

Schritt 2.2: Multiplikation

Nun multiplizierst Dumit. Das Ergebnis (hier) schreibst Du mit einem Minus vor der Klammer unter die Funktion, um den nächsten Schritt der Subtraktion vorzubereiten.

Schritt 2.3: Subtraktion

Führe jetzt eine schriftliche Subtraktion durch und schreibe die übrige Funktionsgleichung unter dem Strich auf.

Schritt 2.4: Wiederholung Division, Multiplikation, Subtraktion

Mit dem restlichen Funktionsteil beginnst Du wieder von vorne, indem Du erneut den ersten Summanden (diesmal) durch x teilst. Das Ergebnis (x) wird wieder hinten angeschrieben, danach mitmultipliziert und ein weiteres Mal schriftlich abgezogen.

Schritt 2.5: Wiederholung Division, Multiplikation, Subtraktion

Das Ganze geschieht noch ein letztes Mal, bis die Rechnung zu Null aufgeht und der 2. Faktor gefunden ist.

Damit erhältst Du folgende Gleichung:

3. Schritt: Nullstellen berechnen

Jetzt wird der restliche quadratische Teil in Linearfaktoren zerlegt. Dazu kannst Du die pq-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden. Anschließend kannst Du das fertige Polynom aufschreiben und alle Nullstellen direkt ablesen.

Berechne die Nullstellen des 2. Faktorsmithilfe der pq-Formel. Die Nullstelle x1 kann direkt am ersten Faktor abgelesen werden:.

Damit hast Du mithilfe der Polynomdivision alle Nullstellen ermittelt. Das fertige Polynom lautet:

Polynomdivision Nullstellen ganzrationale Funktion StudySmarterAbbildung 4: Polynomdivision Beispiel 1

Jede Polynomdivision verläuft in diesen Schritten. Wenn Du jedoch eine Funktion vierten oder fünften Grades vorliegen hast, musst Du die Schritte 1 und 2 mehrmals wiederholen.

Jetzt kannst Du Dich an das Beispiel einer Funktion vierten Grades wagen.

Ganz unten im Text findest Du eine weitere Übungsaufgabe, in der die Polynomdivision an einer Funktion dritten Grades durchgeführt wird.

Aufgabe

Finde die Nullstellen der Funktionmithilfe der Polynomdivision.

Lösung

1. Schritt: Divisor finden

Aufgrund des Tricks weißt Du, dass nur ganzzahlige Teiler des letzten Koeffizienten Nullstellen der Funktion sein können. Der letzte Koeffizient ist die Zahl 12 mit ihren Teilern. Versuche, erst einmal die leichten Zahlen zu testen. Beiwirst Du Erfolg haben:

2. Schritt: Polynomdivision durchführen

In diesem Schritt teilst Du die Funktionschriftlich durch den gefundenen Divisor.

Schritt 2.1: Division, Multiplikation, Subtraktion

Der erste Linearfaktor der Funktion wird durch das x des Divisors dividiert und hinten angeschrieben. Das Ergebnis multiplizierst Du mit dem Divisor und subtrahierst danach diesen Term schriftlich vom Funktionsterm.

Schritt 2.2: Division, Multiplikation, Subtraktion wiederholen

Schritt 2.3:

Schritt 2.4:

Damit hast Du die Funktion bereits in zwei Faktoren zerlegt. Sie sieht jetzt so aus:

An dieser Stelle kannst Du die Nullstellen noch nicht ermitteln, da der zweite Faktor noch immer eine Funktion dritten Grades ist.

Mit dem Term des zweiten Faktors musst Du deshalb eine zweite Polynomdivision durchführen, um ihn noch weiter zu zerlegen:

3. Schritt: Divisor finden

Finde nun erneut einen Divisor. Versuche es mit einigen der Zahlen, denn auch hier steht die Zwölf als letzter Koeffizient.

Fürergibt der Faktor Null. Du kannst alsoals Divisor verwenden.

4. Schritt: zweite Polynomdivision durchführen

Dividiere den Faktormit dem Divisor.

Schritt 4.1: Division, Multiplikation, Subtraktion

Schritt 4.2:

Schritt 4.3:

Somit hast Du auch diesen Faktor noch einmal zerlegt. Du erhältst nun die folgende Funktion f(x):

5. Schritt: Nullstellen bestimmen

Von dem quadratischen Teil der Funktion kannst Du jetzt wie gewohnt die Nullstellen bestimmen:

Damit hast Du bei einer Funktion vierten Grades alle Linearfaktoren bestimmt. Die zerlegte Funktion lautet:

Polynomdivision Polynomdivision Beispiel StudySmarterAbbildung 5: Polynomdivision Beispiel 2

Polynomdivision mit Rest

Wie bei der Division () geht nicht jede Polynomdivision ohne Rest auf. Dieses Beispiel zeigt Dir den Sonderfall einer Polynomdivision mit Restwert.

Aufgabe

Die Funktionbesitzt eine Nullstelle bei. Führe eine Polynomdivision durch und gib die Funktion als Produkt an.

Lösung

1. Schritt: Die Funktionbesitzt eine Nullstelle bei. Das bedeutet, einer ihrer Faktoren mussheißen. Mit diesem Divisor führst Du nun die Polynomdivision durch.

2. Schritt: Polynomdivision in vier Teilschritten:

Schritt 2.1

Teile das erste Polynom () der Funktion durch den Minuenden des Divisors (). Das Ergebnis () wird hinten angeschrieben und mitmultipliziert. Diesen Term () subtrahierst Du jetzt schriftlich von der Funktion.

Schritt 2.2

Wiederhole diesen Teilschritt:

Schritt 2.3

Nutze ein letztes Mal die gleiche Vorgehensweise:

Schritt 2.4Die letzte Subtraktion geht nicht auf Null auf. Die übrige Zahl kann aber auch nicht mehr sinnvoll dividiert und weiterberechnet werden. Es handelt sich also um einen Rest.

Bei einer Polynomdivision gibt man den Rest als Quotienten aus der Restzahl () und dem Divisor () an. Man schreibt diesen Ausdruck () an das Ende der Rechnung. Der berechnete Faktor

stellt aufgrund des Bruchterms am Ende eine gebrochen rationale Funktion dar.

Das Wissen über ganzrationale Funktionen reicht jetzt nicht mehr aus, um die Nullstellen zu bestimmen. Sieh Dir dazu den Artikel zu den "gebrochen rationalen Funktionen" an.

Weitere Möglichkeiten zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen sind:

Polynomdivision anwenden – Aufgaben zum Üben

Um das Gelernte noch einmal zu üben, kannst Du hier versuchen, eine Polynomdivision selbst durchzuführen.

Aufgabe

Finde die Nullstellen der Funktion , indem du eine Polynomdivision anwendest.

Tipp: Die Funktion hat eine Nullstelle bei .

Lösung

1. Schritt: Eine Nullstelle der Funktionliegt bei. In der Faktorschreibweise der Funktion muss also der Faktorenthalten sein.

2. Schritt: Die Funktionkannst Du deshalb durchdividieren, um einen weiteren Faktor zu ermitteln. Dies geschieht in drei Teilschritten:

Schritt 2.1

Teile das erste Polynom () der Funktion durch den Minuenden des Divisors (x). Das Ergebnis wird hinten angeschrieben:

Multipliziere das Ergebnis der Rechnung mit:

Diesen Term () subtrahierst Du jetzt schriftlich von der Funktion:

Schritt 2.2

Wiederhole diese Teilschritte ein weiteres Mal:

Schritt 2.3 Nach dem letzten Schritt geht die Polynomdivision auf Null auf:

Damit kannst Du die Funktionsgleichung jetzt folgendermaßen schreiben:

3. Schritt: Um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu erhalten, kannst Du wieder die pq-Formel anwenden.

Die fertig zerlegte Funktion lautet:

Die Nullstellen der Funktionliegen bei,und.

Polynomdivision – Das Wichtigste

  • Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist eine Funktion der Form

    Dabei stehen die Variablenfür Werte der Koeffizienten vonmit ihren Exponenten n.

  • Eine Nullstelle einer Funktionist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für diegilt.

    Grafisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnitt- oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

  • Die Polynomdivision ist die mathematische Vorgehensweise, durch die man zwei Polynome miteinander dividiert.

  • Vorgehen bei der Polynomdivision:

    • 1. Schritt: Finde eine Nullstelleder Funktion. Bilde daraus einen Faktor der Funktion.

    • 2. Schritt: Führe eine schriftliche Division aus dem Funktionstermunddurch.

      • 2.1 Teile das erste Polynom der Funktion durch den Minuenden des Divisors. Das Ergebnis a dieser Rechnung schreibst Du hinten an.
      • 2.2 Das Ergebnis a multiplizierst Du mit dem Term des Divisors. So erhältst Du ein Ergebnis .
      • 2.3 Das Ergebnissubtrahierst Du schriftlich vom Funktionsterm ().
      • Diese Teilschritte wiederholst Du, bis die Polynomfunktion beendet ist.
    • 3. Schritt: Finde für die beiden Faktoren der Funktion die jeweiligen Nullstellen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Polynomdivision

  • 1. Schritt: Finde eine Nullstelle xder Funktion. Bilde daraus einen Faktor der Funktion (x-x1).
  • 2. Schritt: Führe eine schriftliche Division aus dem Funktionsterm f(x) und (x-x1) durch.
  • Teilschritte der Polynomdivision:
  • 2.1 Teile das erste Polynom der Funktion durch den Minuend des Divisors. Das Ergebnis a dieser Rechnung schreibst du hinten an.
  • 2.2 Das Ergebnis a multiplizierst du mit dem Term des Divisors (x-x1) und erhältst ein Ergebnis (b-c).
  • 2.3 Das Ergebnis (b-c) subtrahierst du schriftlich vom Funktionsterm (-(b-c))
  • Diese Teilschritte wiederholst du, bis die Polynomfunktion beendet ist.
  • 3. Schritt: Finde für die beiden Faktoren der Funktion die jeweiligen Nullstellen.

Hat die Polynomdivision einen Rest, gibt man den Rest als Quotienten aus der Restzahl und dem Divisor am Ende des Lösungsterms an.

Die Polynomdivision kann angewendet werden, um eine ganzrationale Funktion in ein Produkt mit mehreren Faktoren umzuwandeln. Aus diesem Produkt können dann die Nullstellen der Funktion berechnet werden.

Das Horner-Schema kann immer zur Division von zwei Polynomen verwendet werden, wenn durch ein Polynom der Form (x-Zahl) geteilt wird.

Finales Polynomdivision Quiz

Frage

Wie wird die Polynomdivision noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

 Partialdivision

Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir die Polynomdivision?

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Berechnung von Nullstellen bei Polynomen, die eine höhere Potenz besitzen als x²

Frage anzeigen

Frage

Was muss gegeben sein um die Polynomdivision anzuwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Polynom 3. Grades muss eine Nullstelle der Funktion bereits gegeben sein, um die restlichen beiden mithilfe der Polynomdivision zu bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Woher weiß ich, wie viele NS ein Polynom besitzt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Polynom n-ten Grades (also ein Polynom, bei dem die höchste Potenz ist) hat maximal n Nullstellen

Frage anzeigen

Frage

Wie wende ich die Polynomdivision an?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Linearfaktor mit gegebenen NS bestimmen.
  2.  Funktion durch Linearfaktor teilen.
  3. Herauskommenden Term mit pq- oder abc-Formel lösen und NS bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir den Linearfaktor?

Antwort anzeigen

Antwort

Den 1. Linearfaktor deiner Funktion ermittelst du, indem du einen Term in der Form (x ± a) konstruierst und a so bestimmst, dass beim Einsetzten der Nullstelle für x der Term 0 wird. Er wird bestimmt mit der ersten gegeben NS. Er wird benutzt in der Polynomdivision.

Frage anzeigen

Frage

Wende die Polynomdivision an: f(x) = (4 x³ – 13 x + 6) : (x + 2) = ?

Antwort anzeigen

Antwort

4x² - 8x + 3

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Polynomdivision bei Funktionen 4. Grades und höher möglich?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, man benötigt alle Nullstellen dieser Funktion, mit Ausnahme der letzten zwei. Dann kann die Funktion Schritt für Schritt durch Polynomdivision in kleinere Teile aufgebrochen werden, bis man eine quadratische Funktion erhält.

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision x³-6x²-x+6/ (x-1) = ?

Antwort anzeigen

Antwort

x² -5x -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: x³-3x²-10x+24/(x-2)=?

Antwort anzeigen

Antwort

x²-x-12

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: 4x³-5x²-4x-4/ (x-2) =?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Mehr zum Thema Polynomdivision
60%

der Nutzer schaffen das Polynomdivision Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.