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Polynomdivision

Eine Polynomdivision ist dem schriftlichen Dividieren in der 5. Klasse recht ähnlich. Die Zahlen von damals ersetzt Du mit einer ganzrationalen Funktion, sodass Du den langen Funktionsterm mithilfe Deiner Division in zwei Linearfaktoren zerlegen kannst. Sie helfen Dir, die Nullstellen der ganzrationalen Funktion zu bestimmen.

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Eine Polynomdivision ist dem schriftlichen Dividieren in der 5. Klasse recht ähnlich. Die Zahlen von damals ersetzt Du mit einer ganzrationalen Funktion, sodass Du den langen Funktionsterm mithilfe Deiner Division in zwei Linearfaktoren zerlegen kannst. Sie helfen Dir, die Nullstellen der ganzrationalen Funktion zu bestimmen.

Polynomdivision – Erklärung ganzrationaler Funktionen

Eine ganzrationale Funktion bezeichnet eine Funktion, die aus einem oder mehreren Polynomen aufgebaut ist. Deshalb wird sie auch oft als Polynomfunktion bezeichnet.

Sieh Dir dazu gerne noch einmal den Artikel "Polynome" genauer an.

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist eine Funktion der Form

f(x)=an·xn+an-1·xn-1+an-2·xn-2...+a2·x2+a1·x1+a0

Dabei stehen die Variablenan für Werte der Koeffizienten vonxnmit ihren Exponenten n.

Stelle Dir diese abstrakte, allgemeine Form mit Zahlenwerten vor:

  • Das n steht immer für den höchsten Exponenten von x (zum Beispiel fürx5). Weiter enthält die Funktion nur noch entsprechend niedrigere Exponenten (n-1,n-2) von x (x4, x3, x2 und x).
  • Das a ist ein Platzhalter für die Koeffizienten oder Vorzahlen vonx4,x5etc. Es kann beliebige Zahlenwerte einnehmen (beispielsweise1x5 oder2x4).

Betrachte einmal eine klassische ganzrationale Funktion mit Zahlenwerten:

f(x)=1x5+2x4-1x3-2x2-2x-1

Es handelt sich hierbei um eine Funktion 5. Grades, da ihr höchster Exponentn=5 beträgt. Die Zahlen vor dem x (1, 2, -1, -2, -2 und -1) bezeichnet man als Koeffizienten.

Polynomdivision ganzrationale Funktion StudySmarterAbbildung 1: Ganzrationale Funktion

Die Nullstellen X1, X2, X3, die Extremwerte (Hochpunkte und Tiefpunkte) und die Grenzwerte einer können bei einer sogenannten Kurvendiskussion bestimmt werden.

Abhängig davon, welche Werte man für a und n einsetzt, ergeben sich unterschiedliche ganzrationale Funktionen.

Polynomdivision verschiedene ganzrationale Funktionen StudySmarterAbbildung 2: Verschiedene ganzrationale Funktionen

Konstante Funktionen

Konstante Funktionen sind Polynomfunktionen nullten Grades, da ihr höchstes Polynomx0ist.

In der Grafik oben ist die konstante Funktionf(x)=0dargestellt. Sie ist identisch mit der x-Achse.

Allgemeine Form:f(x)=a0

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Polynomfunktionen ersten Grades mitx1als höchstem Exponenten.

Sie werden als Gerade dargestellt, wie im Beispiel alsg(x)=3x+27.

Allgemeine Form:g(x)=ax2+b

Quadratische Funktionen

Parabeln sind Polynomfunktionen zweiten Grades. Ihr höchster Exponent liegt bein=2.

Du findest die Funktionh(x)=2(x+2)2im oberen Beispiel dargestellt.

Bei diesen drei einfachen Formen ganzrationaler Funktionen können die Nullstellen mithilfe von Äquivalenzumformungen oder Lösungsformeln bestimmt werden. Ab einer Polynomfunktion dritten Grades (etwaj(x)=(x-2)3oderk(x)=(x-8)4) ist das nicht mehr möglich. Um hierfür Nullstellen zu finden, muss die Polynomdivision angewendet werden.

Nullstellen – Definition

Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der Funktionstermf(x)Null wird.

Eine Nullstelle einer Funktionf(x)ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für dief(a)=0gilt.

Grafisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnitt- oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

Du kannst Dir die Nullstellen mit der grafischen Darstellung veranschaulichen. Sie sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

Polynomdivision Nullstellen ganzrationale Funktion StudySmarterAbbildung 3: Nullstellen

Die Funktionf(x)=x3-2x2-5x+6hat also ihre Nullstellen an den Punktenx1,x2undx3. Um diese Punkte zu finden, musst Du entlang der x-Achse nach Überschneidungen mit der Funktion suchen.

x1,x2undx3besitzen bei dieser Funktion die Koordinatenx1 (-2|0),x2 (1|0)undx3(3|0)

. Hier fällt auf, dass die y-Koordinate immer Null ist. Das liegt daran, dass ein Punkt auf der x-Achse immer bei liegen muss.

Deshalb wird für die Nullstellen nur die eigentlich wichtige x-Koordinate in dieser Form angegeben:

f(x)=x3-2x2-5x+6hat Nullstellen beix1=-2,x2=1undx3=3.

Du kannst die Nullstellen einer Funktion auch berechnen. Eine Möglichkeit bei ganzrationalen Funktionen ist die Polynomdivision.

Polynomdivision – Formel & Erklärung

Bei der Polynomdivision wird versucht, eine beliebige ganzrationale Funktion in ein Produkt mit mehreren Faktoren umzuwandeln. Genauer bezeichnet man dies als Zerlegung in Linearfaktoren (also in die Formf(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)...).

f(x)=an·xn+an-1·xn-1+...+a1·x1+a0 Polynomdivision f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) ... Allgemeine Form Polynomdivision Linearfaktoren

Für jede dieser Linearfaktoren lässt sich die zugehörige Nullstelle der Funktion bestimmen.

Die Polynomdivision bezeichnet die mathematische Vorgehensweise, mit der man zwei Polynome miteinander dividiert.

Sie basiert also auf dem Prinzip des schriftlichen Dividierens.

Im folgenden Beispiel lernst Du anhand der Funktionf(x)=x3-x2-4x+4die einzelnen Schritte kennen.

1. Schritt: Divisor finden

Finde durch Probieren eine Nullstelle der Funktion. Hierfür gibt es einen Trick: Nach dem Satz über rationale Nullstellen oder Lemma von Gauß können nur ganzzahlige Teiler des Koeffizientena0Nullstellen der ganzrationalen Funktion sein.

In der Beispielfunktion ist die Zahl 4 der letzte Koeffizient. Welche Zahlen (aus der Menge der ganzen Zahlen) sind ihr Teiler?

Es sind die Zahlen±1, ±2und±4.

Diese kannst Du infxeinsetzen, um zu überprüfen, ob der Funktionsterm dort Null wird. Bei der Zahl 2 bestätigt sich:fxbesitzt eine Nullstelle beix=2.

f(2)=23-22-4·2+4 =8-4-8+4 =0

Ist eine Nullstelle beix=2vorhanden, muss der zugehörige Faktor der Funktion(x-2)heißen. Denn für 2 wird er Null und damit auch die gesamte Funktion.

Merke Dir diesen Term: Er ist der Divisor, mit dem Du im nächsten Schritt weiterrechnen musst.

2. Schritt: Polynomdivision durchführen

Jetzt kannst Du die Polynomdivision beginnen. Führe dafür eine schriftliche Division aus dem Funktionstermf(x)und dem im ersten Schritt gefundenen Divisor(x-x1)durch.

Dividiere den Faktor(x-2)von der gesamten Funktionf(x)=x3-x2-4x+4. Hier die gesamte Rechnung im Überblick:

(x3-x2-4x+4): (x-2) = x2+x-2-(x3-2x2) x2-4x+4 -(x2-2x) -2x+4 -(-2x+4) 0

Sieh Dir diese Rechnung Schritt für Schritt an:

Schritt 2.1: Division

Zuerst teilst Du das vordere Polynom der Funktionx3durch den Minuenden des Divisors, in diesem Fall durch x.

x3 : x = x2

Das Ergebnisx2schreibst Du hinten an.

Schritt 2.2: Multiplikation

Nun multiplizierst Dux2mit(x-2). Das Ergebnis (hierx3-2x2) schreibst Du mit einem Minus vor der Klammer unter die Funktion, um den nächsten Schritt der Subtraktion vorzubereiten.

x2(x-2)=x3-2x2

Schritt 2.3: Subtraktion

Führe jetzt eine schriftliche Subtraktion durch und schreibe die übrige Funktionsgleichung unter dem Strich auf.

(x3-x2-4x+4)-(x3-2x2) 0+x2-4x+4

Schritt 2.4: Wiederholung Division, Multiplikation, Subtraktion

Mit dem restlichen Funktionsteil beginnst Du wieder von vorne, indem Du erneut den ersten Summanden (diesmalx2) durch x teilst. Das Ergebnis (x) wird wieder hinten angeschrieben, danach mit(x-2)multipliziert und ein weiteres Mal schriftlich abgezogen.

x2 : x = x x hinten anschreibenx·(x-2)=x2-2x den Term -(x2-2x) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.5: Wiederholung Division, Multiplikation, Subtraktion

Das Ganze geschieht noch ein letztes Mal, bis die Rechnung zu Null aufgeht und der 2. Faktor gefunden ist.

-2x : x = -2-2 hinten anschreiben-2·(x-2)=-2x+4 Den Term -(-2x+4) schriftlich subtrahieren

Damit erhältst Du folgende Gleichung:

(x-2)(x2+x-2)=0

3. Schritt: Nullstellen berechnen

Jetzt wird der restliche quadratische Teil in Linearfaktoren zerlegt. Dazu kannst Du die pq-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden. Anschließend kannst Du das fertige Polynom aufschreiben und alle Nullstellen direkt ablesen.

Berechne die Nullstellen des 2. Faktors(x2+x-2)mithilfe der pq-Formel. Die Nullstelle x1 kann direkt am ersten Faktor abgelesen werden:x1=2.

2. Faktor: x2+x-2=0x2/3=-12±(12)2-(-2) =-0,5±0,25+2 =-0,5±2,25 =-0,5±1,5x2=-0,5+1,5=1x3=-0,5-1,5=-2

Damit hast Du mithilfe der Polynomdivision alle Nullstellen ermittelt. Das fertige Polynom lautet:

fx=x-2x-1x+2

Polynomdivision Nullstellen ganzrationale Funktion StudySmarterAbbildung 4: Polynomdivision Beispiel 1

Jede Polynomdivision verläuft in diesen Schritten. Wenn Du jedoch eine Funktion vierten oder fünften Grades vorliegen hast, musst Du die Schritte 1 und 2 mehrmals wiederholen.

Jetzt kannst Du Dich an das Beispiel einer Funktion vierten Grades wagen.

Ganz unten im Text findest Du eine weitere Übungsaufgabe, in der die Polynomdivision an einer Funktion dritten Grades durchgeführt wird.

Aufgabe

Finde die Nullstellen der Funktionf(x)=x4-4x3-13x2+4x+12mithilfe der Polynomdivision.

Lösung

1. Schritt: Divisor finden

Aufgrund des Tricks weißt Du, dass nur ganzzahlige Teiler des letzten Koeffizienten Nullstellen der Funktion sein können. Der letzte Koeffizient ist die Zahl 12 mit ihren Teilern±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Versuche, erst einmal die leichten Zahlen zu testen. Beix=1wirst Du Erfolg haben:

f(1)=14-4·13-13·12+4·1+12 =1-4-13+4+12 =0

2. Schritt: Polynomdivision durchführen

In diesem Schritt teilst Du die Funktionf(x)schriftlich durch den gefundenen Divisor(x-1).

(x4-4x3-13x2+4x+12) : (x-1)=x3-3x2-16x-12-(x4-x3) -3x3-13x2+4x+12 -(-3x3+3x2) -16x2+4x+12 -(-16x2+16x) -12x+12 -(-12x+12) 0

Schritt 2.1: Division, Multiplikation, Subtraktion

Der erste Linearfaktor der Funktion wird durch das x des Divisors dividiert und hinten angeschrieben. Das Ergebnis multiplizierst Du mit dem Divisor und subtrahierst danach diesen Term schriftlich vom Funktionsterm.

x4 : x=x3 x3 hinten anschreibenx3·(x-1)=x4-x3 den Term -(x4-x3) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.2: Division, Multiplikation, Subtraktion wiederholen

-3x3 : x=-3x2 -3x2 hinten anschreiben-3x2·(x-1)=-3x3+3x2 den Term -(-3x3+3x2) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.3:

-16x2 : x=-16x -16x hinten anschreiben-16x·(x-1)=-16x2+16x den Term -(-16x2+16x) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.4:

-12x : x=-12 -12 hinten anschreiben-12·(x-1)=-12x+12 den Term -(-12x+12) schriftlich subtrahieren

Damit hast Du die Funktion bereits in zwei Faktoren zerlegt. Sie sieht jetzt so aus:

f(x)=(x-1)(x3-3x2-16x-12)

An dieser Stelle kannst Du die Nullstellen noch nicht ermitteln, da der zweite Faktor noch immer eine Funktion dritten Grades ist.

Mit dem Term des zweiten Faktors musst Du deshalb eine zweite Polynomdivision durchführen, um ihn noch weiter zu zerlegen:

g(x)=(x3-3x2-16x-12)

3. Schritt: Divisor finden

Finde nun erneut einen Divisor. Versuche es mit einigen der Zahlen±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, denn auch hier steht die Zwölf als letzter Koeffizient.

Fürx=-1ergibt der Faktor Null. Du kannst also(x+1)als Divisor verwenden.

g(-1)=(-1)3-3·(-1)2-16·(-1)-12 =-1-3+16-12 =0

4. Schritt: zweite Polynomdivision durchführen

Dividiere den Faktorg(x)mit dem Divisor(x+1).

(x3-3x2-16x-12) : (x+1)=x2-4x-12-(x3+x2) -4x2-16x-12 -(-4x2-4x) -12x-12 -(-12x-12) 0

Schritt 4.1: Division, Multiplikation, Subtraktion

x3 : x=x2 x2 hinten anschreibenx2·(x+1)=x3+x2 den Term -(x3+x2) schriftlich subtrahieren

Schritt 4.2:

-4x2 : x=-4x -4x hinten anschreiben-4x·(x+1)=-4x2-4x den Term -(-4x2-4x) schriftlich subtrahieren

Schritt 4.3:

-12x : x=-12 -12 hinten anschreiben-12·(x+1)=-12x-12 den Term -(-12x-12) schriftlich subtrahieren

Somit hast Du auch diesen Faktor noch einmal zerlegt. Du erhältst nun die folgende Funktion f(x):

f(x)=(x-1)(x+1)(x2-4x-12)

5. Schritt: Nullstellen bestimmen

Von dem quadratischen Teil der Funktion kannst Du jetzt wie gewohnt die Nullstellen bestimmen:

3. Faktor: (x2-4x-12)x3/4=-(-4)2±(-42)2-(-12) =2±4+12 =2±4 x3=2+4=6x4=2-4=-2

Damit hast Du bei einer Funktion vierten Grades alle Linearfaktoren bestimmt. Die zerlegte Funktion lautet:

fx=x-1x+1x-6x+2

Polynomdivision Polynomdivision Beispiel StudySmarterAbbildung 5: Polynomdivision Beispiel 2

Polynomdivision mit Rest

Wie bei der Division (10: 3=3 Rest 1) geht nicht jede Polynomdivision ohne Rest auf. Dieses Beispiel zeigt Dir den Sonderfall einer Polynomdivision mit Restwert.

Aufgabe

Die Funktionf(x)=x3+3x2-6x-8besitzt eine Nullstelle beix=1. Führe eine Polynomdivision durch und gib die Funktion als Produkt an.

Lösung

1. Schritt: Die Funktionf(x)besitzt eine Nullstelle beix=1. Das bedeutet, einer ihrer Faktoren muss(x-1)heißen. Mit diesem Divisor führst Du nun die Polynomdivision durch.

2. Schritt: Polynomdivision in vier Teilschritten:

(x3+3x2-6x-8) : (x-1) =x2+4x-2+(-10)x-1-(x3-x2) 4x2-6x-8 -(4x2-4x) -2x-8 -(-2x+2) -10 Rest

Schritt 2.1

Teile das erste Polynom (x3) der Funktion durch den Minuenden des Divisors (x). Das Ergebnis (x2) wird hinten angeschrieben und mit(x-1)multipliziert. Diesen Term (x3-x2) subtrahierst Du jetzt schriftlich von der Funktion.

x3 : x=x2 x2 hinten anschreibenx2·(x-1)=x3-x2 den Term -(x3-x2) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.2

Wiederhole diesen Teilschritt:

4x2 : x = 4x4x hinten anschreiben4x(x-1)=4x2-4x den Term -(4x2-4x) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.3

Nutze ein letztes Mal die gleiche Vorgehensweise:

-2x : x = -2 -2 hinten anschreiben-2·(x-1)=-2x+2 den Term -(-2x+2) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.4Die letzte Subtraktion geht nicht auf Null auf. Die übrige Zahl kann aber auch nicht mehr sinnvoll dividiert und weiterberechnet werden. Es handelt sich also um einen Rest.

Bei einer Polynomdivision gibt man den Rest als Quotienten aus der Restzahl (-10) und dem Divisor (x-1) an. Man schreibt diesen Ausdruck (-10x-1) an das Ende der Rechnung. Der berechnete Faktor

x2+4x-2-10x-1

stellt aufgrund des Bruchterms am Ende eine gebrochen rationale Funktion dar.

Das Wissen über ganzrationale Funktionen reicht jetzt nicht mehr aus, um die Nullstellen zu bestimmen. Sieh Dir dazu den Artikel zu den "gebrochen rationalen Funktionen" an.

Weitere Möglichkeiten zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen sind:

Polynomdivision anwenden – Aufgaben zum Üben

Um das Gelernte noch einmal zu üben, kannst Du hier versuchen, eine Polynomdivision selbst durchzuführen.

Aufgabe

Finde die Nullstellen der Funktion f(x)=x3-3x2-10x+24, indem du eine Polynomdivision anwendest.

Tipp: Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=2.

Lösung

1. Schritt: Eine Nullstelle der Funktionf(x)liegt beix=2. In der Faktorschreibweise der Funktion muss also der Faktor(x-2)enthalten sein.

2. Schritt: Die Funktionf(x)kannst Du deshalb durch(x-2)dividieren, um einen weiteren Faktor zu ermitteln. Dies geschieht in drei Teilschritten:

(x3-3x2-10x+24) : (x-2)= x2-x-12-(x3-2x2) -1x2-10x+24 -(1x2+2x) -12x+24 -(-12x+24) 0

Schritt 2.1

Teile das erste Polynom (x3) der Funktion durch den Minuenden des Divisors (x). Das Ergebnis wird hinten angeschrieben:

x3 : x = x2 x2 hinten anschreiben

Multipliziere das Ergebnis der Rechnung mit(x-2):

x2 · (x-2) = x3-2x2

Diesen Term (x3-2x2) subtrahierst Du jetzt schriftlich von der Funktion:

-(x3-2x2) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.2

Wiederhole diese Teilschritte ein weiteres Mal:

-1x2 : x = -x -x hinten anschreiben-x(x-2)=-x2+2x den Term -(-x2+2x) schriftlich subtrahieren

Schritt 2.3 Nach dem letzten Schritt geht die Polynomdivision auf Null auf:

-12x : x = -12 -12 hinten anschreiben-12·(x-2)=-12x+24 den Term -(-12x+24) schriftlich subtrahieren

Damit kannst Du die Funktionsgleichung jetzt folgendermaßen schreiben:

f(x)=(x-2)(x2-x-12)

3. Schritt: Um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu erhalten, kannst Du wieder die pq-Formel anwenden.

2. Faktor: (x2-x-12)x2/3=-(-1)2±(-12)2-(-12) =0,5±11,75 =0,5±3,4x2=3,9x3=-2,9

Die fertig zerlegte Funktion lautet:

fx=x-2x-3,9x+2,9

Die Nullstellen der Funktionf(x)liegen beix1=2,x2=3,9undx3=-2,9.

Polynomdivision – Das Wichtigste

  • Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist eine Funktion der Form

    f(x)=an·xn+an-1·xn-1...+a1·x1+a0

    Dabei stehen die Variablenanfür Werte der Koeffizienten vonxnmit ihren Exponenten n.

  • Eine Nullstelle einer Funktionf(x)ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für dief(a)=0gilt.

    Grafisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnitt- oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

  • Die Polynomdivision ist die mathematische Vorgehensweise, durch die man zwei Polynome miteinander dividiert.

  • Vorgehen bei der Polynomdivision:

    • 1. Schritt: Finde eine Nullstellex1der Funktion. Bilde daraus einen Faktor der Funktion(x-x1).

    • 2. Schritt: Führe eine schriftliche Division aus dem Funktionstermf(x)und(x-x1)durch.

      • 2.1 Teile das erste Polynom der Funktion durch den Minuenden des Divisors. Das Ergebnis a dieser Rechnung schreibst Du hinten an.
      • 2.2 Das Ergebnis a multiplizierst Du mit dem Term des Divisors(x-x1). So erhältst Du ein Ergebnis (b-c).
      • 2.3 Das Ergebnis(b-c)subtrahierst Du schriftlich vom Funktionsterm (-(b-c)).
      • Diese Teilschritte wiederholst Du, bis die Polynomfunktion beendet ist.
    • 3. Schritt: Finde für die beiden Faktoren der Funktion die jeweiligen Nullstellen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Polynomdivision

  • 1. Schritt: Finde eine Nullstelle xder Funktion. Bilde daraus einen Faktor der Funktion (x-x1).
  • 2. Schritt: Führe eine schriftliche Division aus dem Funktionsterm f(x) und (x-x1) durch.
  • Teilschritte der Polynomdivision:
  • 2.1 Teile das erste Polynom der Funktion durch den Minuend des Divisors. Das Ergebnis a dieser Rechnung schreibst du hinten an.
  • 2.2 Das Ergebnis a multiplizierst du mit dem Term des Divisors (x-x1) und erhältst ein Ergebnis (b-c).
  • 2.3 Das Ergebnis (b-c) subtrahierst du schriftlich vom Funktionsterm (-(b-c))
  • Diese Teilschritte wiederholst du, bis die Polynomfunktion beendet ist.
  • 3. Schritt: Finde für die beiden Faktoren der Funktion die jeweiligen Nullstellen.

Hat die Polynomdivision einen Rest, gibt man den Rest als Quotienten aus der Restzahl und dem Divisor am Ende des Lösungsterms an.

Die Polynomdivision kann angewendet werden, um eine ganzrationale Funktion in ein Produkt mit mehreren Faktoren umzuwandeln. Aus diesem Produkt können dann die Nullstellen der Funktion berechnet werden.

Das Horner-Schema kann immer zur Division von zwei Polynomen verwendet werden, wenn durch ein Polynom der Form (x-Zahl) geteilt wird.

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