Was ist eine Polynomfunktion n-ten Grades?

Eine Polynomfunktion n-ten Grades nennt man die Polynomfunktion in der allgemeinen Formel axn+bxn-1+cx+d. Für n setzt du hier deine verschiedenen, den Grad bestimmenden, Exponenten ein.

Polynomfunktion

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In dieser Abbildung ist der Graph einer ganz-rationalen Funktion dargestellt. Diese ganz-rationalen Funktionen nennt man auch Polynome oder Polynomfunktionen. Die genaue Polynomfunktion des Graphen lautet $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 4$ . Was genau ein Polynom ist, welche speziellen Eigenschaften es hat und wie Du es richtig berechnest, erfährst Du in diesem Artikel.

Polynomfunktion Graph eines Beispielpolynoms StudySmarter Abbildung 1: Graph eines Polynoms

Polynomfunktion – Formel & Definition

Eine Polynomfunktion wird wie folgt definiert:

Ein Polynom ist ein Term, der aus Summanden und/oder Subtrahenden bestehen kann. Diese sind innerhalb des Terms an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden. Die allgemeine Formel für Polynome ist $f (x) = a x^{n} + b x^{n - 1} + c x^{n - 2} + d$ , wobei Polynome unendlich lang sein können.

Polynome können in der allgemeinen Form auftreten, müssen sie aber nicht. Genauso müssen die Exponenten der Variablen auch nicht immer in 1-Schritten nach unten laufen.

Die Funktion $f (x) = 5 x^{5} + x^{3} + 3$ ist ein Polynom, genauso wie $g (x) = 4 x^{3} + 5 x^{2} + x - 6$ auch.

Leitkoeffizienten

Jedes Polynom, egal ob es eine quadratische ( $x^{2}$ ) oder eine kubische ( $x^{3}$ ) Funktion ist, hat einen Leitkoeffizienten "a". Jede Zahl außer 0 kann ein Leitkoeffizient sein und bestimmt mit dem Vorzeichen, von wo der Graph kommt und in welche Richtung er verläuft.

In der allgemeinen Formel für ein Polynom steht der Leitkoeffizient immer vor der höchsten, den Grad bestimmenden Variable. $f (x) = a x^{n} + b x^{n - 1} + c x^{n - 2} + d$

Bei einer Parabel, dem Graphen einer quadratischen Funktion, bestimmt der Leitkoeffizient mit seinem Vorzeichen, in welche Richtung der Graph geöffnet ist. Bei einem positiven Vorzeichen ist er nach oben geöffnet, bei einem negativen nach unten.

Grad einer Polynomfunktion erkennen

Der Grad einer Polynomfunktion wird durch ihren höchsten Exponenten bestimmt, wobei die Exponenten nicht in geordneter Reihenfolge stehen müssen.

Aufgabe 1

Bestimme den Grad der gegebenen Polynomfunktionen

$f (x) = 5 x^{3} + 3 x^{2} + 8$

$g (x) = 7 x^{2} + 4 x^{6} + 9 x^{4} + 5$

$h (x) = 7 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 8$

Lösung

Die Polynomfunktion:

f(x) ist ein Polynom dritten Grades, da der größte Exponent 3 ist.
g(x) ist ein Polynom sechsten Grades, da der größte Exponent 6 ist.
h(x) ist ein Polynom fünften Grades, da der größte Exponent 5 ist.

Grad erkennen anhand der Symmetrie

Die Symmetrie des Graphen einer Polynomfunktion kannst Du am Grad ablesen. Hat die Polynomfunktion eine Gerade Zahl als Gradzahl, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Hat das Polynom eine ungerade Zahl als Gradzahl, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Achsensymmetrie zur y-Achse darf das gegebene Polynom nur Gerade Exponenten haben. Für eine Punktsymmetrie zum Ursprung darf das Polynom nur ungerade Exponenten besitzen.

Rechnen mit Polynomfunktionen

In den meisten Aufgaben, in denen Du Polynomfunktionen lösen sollst, benötigst Du die Berechnung der Nullstellen.

Nullstellen eines Polynoms berechnen

Die Nullstellen eines Polynoms berechnest Du, indem Du das ganze Polynom gleich 0 setzt. Wenn Du die Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades berechnen sollst, nimmst Du die Mitternachtsformel. Bei Polynomfunktionen größeren Grades kannst Du entweder substituieren oder die Polynomdivision durchführen. Polynome haben immer so viele Nullstellen, wie ihr Grad ist.

Die Substitution eignet sich am besten für Polynome, die eine gerade Gradzahl haben. Die Polynomdivision hingegen eignet sich am besten für Polynome ungeraden Grades.

1. Möglichkeit: Mitternachtsformel

Die Berechnung der Nullstellen mit der Mitternachtsformel funktioniert nur bei quadratischen Funktionen und ist die schnellste Methode, um die gesuchten Nullstellen zu finden.

Die allgemeine Form der Mitternachtsformel lautet $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen des gegebenen Polynoms.

Lösung

Nullstellenberechnung mit der Mitternachtsformel

Die allgemeine quadratische Funktion, die Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, lautet $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Die Konstanten a und b sind in diesem Beispiel in der Funktion und in der Mitternachtsformel farblich markiert, um Dir das richtige Einsetzen leichter zeigen zu können.

$f (x) = 1 x^{2} - 5 x + 4$

$x_{1, 2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$x_{1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$ $x_{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

2. Möglichkeit: Substitution

Die Substitution wendest Du nur bei geraden Polynomen höheren Grades an. Du führst immer dieselben 3 Schritte aus: Erst substituierst Du mit einer geeigneten neuen Variable, dann wendest Du auf die neue quadratische Funktion die Mitternachtsformel an. Anschließend resubstituierst Du die zwei gefundenen Nullstellen.

Aufgabe 3

Berechne die Nullstellen mithilfe der Substitution

$g (z) = z^{4} - 6 z^{2} + 2, 75$

Lösung

1. Schritt: Substituieren mit $z^{2} = u$

$g (u) = u^{2} - 6 u + 2, 75$

2. Schritt: Mitternachtsformel

$u_{1, 2} = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 2, 75}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 11}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{6 \pm 5}{2}$

$u_{1} = \frac{6 + 5}{2} = \frac{11}{2}$ $u_{2} = \frac{6 - 5}{2} = \frac{1}{2}$

3. Schritt: Resubstituieren mit $z = \pm \sqrt{u}$

$z_{1} = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2} \approx 2, 35$ $z_{2} = - \sqrt{\frac{11}{2}} = - \frac{\sqrt{22}}{2} \approx - 2, 35$

$z_{3} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0, 71$ $z_{4} = - \sqrt{\frac{1}{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx - 0, 71$

3. Möglichkeit: Polynomdivision

Die Polynomdivision wendest Du nur bei Polynomen ungeraden Grades an. Genauso, wie bei Möglichkeit 2, wendest Du hier immer dieselben 3 Schritte an. Erst suchst Du durch Probieren die erste Nullstelle. Setze hier niedrige Zahlen, wie 0, 1 oder 2 ein, von denen Du denkst, dass sie eine Nullstelle sein könnten. Diese Nullstelle wird Dein Divisor für die Polynomdivision, was Dein zweiter Schritt ist. Bei der Polynomdivision sollte immer eine quadratische Funktion als Ergebnis rauskommen, da Du im letzten Schritt die Mitternachtsformel anwenden musst, um die letzten Nullstellen zu ermitteln.

Aufgabe 4

Berechne die Nullstellen mithilfe der Polynomdivision:

$h (i) = i^{3} - 6 i^{2} + 11 i - 6$

Lösung

1. Schritt: Durch Probieren erste Nullstelle finden:

$h (2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 - 6 = 0$

Nullstelle durch Probieren: $i_{1} = 2$

2. Schritt: Polynomdivision mit $(i - 2)$

$(i^{3} - 6 i^{2} + 11 i - 6) : (i - 2) = i^{2} - 4 i + 3 - i^{3} + 2 i^{2} - 4 i^{2} + 11 i 4 i^{2} - 8 i 3 i - 6 - 3 i + 6$

Ergebnis der Polynomdivision: $k (i) = i^{2} - 4 i + 3$

3. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

$i_{2, 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$i_{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $i_{3} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Polynomfunktion aufstellen

Der zweite Aufgabentyp, der häufig in Verbindung mit Polynomfunktionen oder Polynomen auftritt, behandelt das Aufstellen von Polynomfunktionen anhand von vorgegebenen Punkten. In diesen Aufgaben suchst Du die Konstanten a, b, c usw., da Du x und y als Variablen durch die Kriterien gegeben hast, die das gesuchte Polynom erfüllen muss.

Aufgabe 5

Stelle die Polynomfunktion dritten Grades zu folgenden Punkten auf.

Die gesuchte Polynomfunktion hat:

eine Nullstelle bei $x = 2$
ein Extremum bei $x = - 2$
einen Wendepunkt bei $(0 | - 4)$

Lösung

1. Schritt: allgemeine Form aufstellen und wichtige Ableitungen bilden

Wie die Überschrift sagt, beginnst Du damit, dass Du die allgemeine Form des Polynoms so aufstellst, dass sie den gesuchten Grad hat. Da Du in diesem Beispiel noch die ersten beiden Ableitungen für das Extremum und den Wendepunkt benötigst, bildest Du diese gleich mit.

$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

$f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

$f'' (x) = 6 a x + 2 b$

2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen

Nachdem Du die allgemeine Form des Polynoms aufgestellt hast, nimmst Du Dir nun die gegebenen Kriterien vor. Für jedes Kriterium stellst Du eine eigene Gleichung.

1. Gleichung: Nullstelle bei $x = 2$

$f (2) = 0 \Leftrightarrow 2^{3} a + 2^{2} b + 2 c + d = 8 a + 6 b + 2 c + d = 0$

2. Gleichung: Extremum bei $x = - 2$

$f' (- 2) = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot {(- 2)}^{2} a + 2 \cdot (- 2) b + c = 12 a - 4 b + c = 0$

3. Gleichung: Wendestelle bei $x = 0$

$f'' (0) = 0 \Leftrightarrow 6 \cdot 0 a + 2 b = 2 b = 0$

4. Gleichung: Wendepunkt bei (0/-4)

$f (0) = - 4 \Leftrightarrow 0^{3} a + 0^{2} b + 0 c + d = d = - 4$

3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach a und c auflösen

Durch das Aufstellen der vier Gleichungen für die vier Kriterien erkennst Du schnell, dass Du die Werte für die Konstanten b und d schon berechnet hast: b ist 0 und d ist -4. Deshalb musst Du nur noch die Konstanten a und c mit einem linearen Gleichungssystem berechnen.

Dieses lineare Gleichungssystem stellst Du auf, indem Du zwei Gleichungen gleich setzt, die möglichst nur a und c enthalten oder aus denen Du die anderen, störenden Variablen leicht entfernen kannst. Die zwei am besten geeigneten Gleichungen sind Gleichung 1 und Gleichung 2, da Du in beiden das b entfernen kannst und der Konstante d ein fester Wert zugewiesen wird.

So ergeben sich zwei abgewandelte Gleichungen

1*: $8 a + 2 c - 4 = 0$

2*: $12 a + c = 0$

Gleichung 2* kannst Du leicht nach c umstellen, wodurch Du die Gleichung 2**: $c = - 12 a$ erhältst. Dieses c kannst Du in die erste Gleichung 1* einsetzen und dann nach a auflösen.

$\begin{array}{rcl} 8 a + 2 \cdot (- 12 a) - 4 & = & 0 \begin{matrix} | + 4 \end{matrix} \\ 8 a - 24 a & = & 4 \\ - 16 a & = & 4 \begin{matrix} | \div (- 16) \end{matrix} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} a & = & - \frac{4}{16} = - \frac{1}{4} = - 0, 25 \end{array}$

Nun kannst Du a in die Gleichung 2** einsetzen, um so c zu erhalten.

$c = - 12 \cdot (- \frac{1}{4}) = \frac{12}{4} = 3$

Wenn Du nun alle berechneten Werte für die Konstanten a, b, c und d in die allgemeine Gleichung eines Polynoms dritten Grades einsetzt, erhältst Du folgendes Polynom:

$f (x) = - 0, 25 x^{3} + 3 x - 4$

Polynomfunktion zeichnen – 2., 3. und 4. Grades

In diesem Abschnitt findest Du eine Tabelle mit einigen Graphen für verschiedene Polynomfunktionen.

Funktionsgleichung	Graph der Funktion	Beschreibung
$f (x) = 3$	Abbildung 2: Graph eines Polynoms nullten Grades	Ein Polynom nullten Grades stellt immer eine Parallele zur x-Achse dar und hat keine Nullstellen.
$f (x) = x$	Abbildung 3: Graph eines Polynoms ersten Grades	Ein Polynom ersten Grades verläuft immer im 45° Winkel und hat nur 1 Nullstelle.
$f (x) = x^{2}$	Abbildung 4: Graph eines Polynoms zweiten Grades	Ein Polynom zweiten Grades ist immer eine Parabel. Wenn das gegebene Polynom ein positives Vorzeichen hat, ist sie nach oben geöffnet, wenn nicht, ist sie nach unten geöffnet.
$f (x) = x^{3}$	Abbildung 5: Graph eines Polynoms dritten Grades	Ein Polynom dritten Grades ist durch die ungerade Gradzahl immer punktsymmetrisch und hat einen Terrassenpunkt als Wendepunkt.
$f (x) = x^{4}$	Abbildung 6: Graph eines Polynoms vierten Grades	Der Graph eines Polynoms vierten Grades sieht fast aus, wie der Graph eines Polynoms zweiten Grades. Auch hier ist der Wendepunkt ein Terrassenpunkt. Da die Gradzahl gerade ist, hast Du hier eine Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegen.

Punkt- und Achsensymmetrie wechseln sich immer ab, wenn man zwischen ungerader und gerader Gradzahl unterscheidet. Dieses Schema zieht sich bei den Polynomen höheren Grades weiter.

Eine detaillierte Anleitung zum Zeichnen einer Polynomfunktion findest Du im Artikel zur Kurvendiskussion von Polynomfunktionen.

Polynomfunktion – Aufgaben

Im Folgenden findest Du ein paar Übungsaufgaben, anhand derer Du Dein Wissen vertiefen kannst.

Aufgabe 6

Bestimme den Grad der folgenden Polynomfunktionen

$f (x) = 64 x^{5} - 42 x^{3} + 36 x^{8} + 144$

$g (x) = 8 x^{10} + 5 x^{8} - 3 x^{6} - 7 x^{4} + x^{2} - 25$

$h (x) = x^{90} + x^{87} - x^{100} - x^{60} + x^{101}$

Lösung

Das Polynom f(x) ist ein Polynom achten Grades.

Das Polynom g(x) ist zehnten Grades.

Das Polynom h(x) ist 101. Grades.

Aufgabe 7

Berechne die Nullstellen von f(x)

$f (x) = 5 x^{2} - 13 x + 7, 2$

Lösung

Die Funktion f(x) ist eine einfache, quadratische Funktion. Hier kannst Du die allgemeine Mitternachtsformel verwenden und die Werte einsetzen.

$x_{1, 2} = \frac{13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 7, 2}}{2 \cdot 5} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{10} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{10} = \frac{13 \pm 5}{10}$

$x_{1} = \frac{13 + 5}{10} = \frac{18}{10} = 1, 8$ $x_{2} = \frac{13 - 5}{10} = \frac{8}{10} = 0, 8$

Nun hast Du für die Funktion f(x) die Nullstellen $x_{1} = 1, 8$ und $x_{2} = 0, 8$ berechnet.

Aufgabe 8

Berechne die Nullstellen von g(x)

g (x) = - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 16 x - 16

Lösung

Die Funktion g(x) ist eine Funktion dritten Grades, bei der Du kein x ausklammern kannst, um die erste Nullstelle zu finden. Deshalb muss zuerst durch Probieren die erste Nullstelle gefunden werden.

1. Schritt: erste Nullstelle durch Probieren finden

$g (4) = - 2 \cdot 4^{3} + 5 \cdot 4^{2} + 16 \cdot 4 - 16 = - 128 + 80 + 64 - 16 = 0$

2. Schritt: Polynomdivision mit der gefundenen Nullstelle durchführen

$(- 2 x^{3} + 5 x^{2} + 16 x - 16) : (x - 4) = - 2 x^{2} - 3 x + 4 2 x^{3} - 8 x^{2} - 3 x^{2} + 16 x - (- 3 x^{2} + 12 x) 4 x - 16 - (4 x - 16) 0$

3. Schritt: Mitternachtsformel auf das Ergebnis der Polynomdivision anwenden

Wenn Du die Polynomdivision richtig durchgeführt hast, solltest Du eine quadratische Funktion als Ergebnis erhalten. Diese setzt Du in die Mitternachtsformel ein und berechnest damit die letzten zwei Nullstellen.

$x_{2, 3} = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{- 4} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{- 4}$

$x_{2} = \frac{3 + \sqrt{41}}{- 4} \approx - 2, 35$ $x_{3} = \frac{3 - \sqrt{41}}{- 4} \approx 0, 85$

Damit hast Du die Nullstellen $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 2, 35$ und $x_{3} = 0, 85$ herausgefunden.

Aufgabe 9

Berechne die Nullstellen von h(x)

h (x) = 5 x^{4} - 17 x^{2} + 11, 25

Lösung

Die Funktion h(x) ist eine Funktion vierten Grades, die nur eine weitere Variable zweiten Grades enthält. Diese Art von Funktion eignet sich am besten, um sie zu substituieren und danach die Mitternachtsformel anzuwenden.

1. Schritt: Substituieren mit $z = x^{2}$

$h (z) = 5 z^{2} - 17 z + 11, 25$

2. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

$z_{1, 2} = \frac{17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 11, 25}}{2 \cdot 5} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 225}}{10} = \frac{17 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{17 \pm 8}{10}$

$z_{1} = \frac{17 + 8}{10} = \frac{25}{10} = 2, 5$ $z_{2} = \frac{17 - 8}{10} = \frac{9}{10} = 0, 9$

3. Schritt: Resubstituieren mit $x = \pm \sqrt{z}$

$x_{1} = \sqrt{2, 5} \approx 1, 58$ $x_{2} = - \sqrt{2, 5} \approx - 1, 58$

$x_{3} = \sqrt{0, 9} \approx 0, 95$ $x_{4} = - \sqrt{0, 9} \approx - 0, 95$

Für die Funktion h(x) hast Du nun die Nullstellen $x_{1} = 1, 58; x_{2} = - 1, 58; x_{3} = 0, 95; x_{4} = - 0, 95$ berechnet.

Polynomfunktion – Das Wichtigste

Die allgemeine Form einer Polynomfunktion lautet: $f (x) = a x^{n} + b x^{n - 1} + c x^{n - 2} + d$
Der Grad einer Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
Der Leitkoeffizient und sein Vorzeichen geben die Richtung des Graphen an.
Nullstellen werden immer mit der Mitternachtsformel berechnet.
Bei Polynomen höheren Grades muss vorher entweder substituiert oder die Polynomdivision angewandt werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Polynomfunktion

Eine Funktion ist eine Polynomfunktion, wenn sie aus mehreren Summanden und Subtrahenden besteht, die alle mit derselben Variable mit unterschiedlichen Exponenten verbunden sind.

Gebrochenrationale oder quadratische Funktionen sind keine Polynomfunktionen.

Nein, nicht jede Polynomfunktion hat eine Nullstelle. Die Polynomfunktion nullten Grades ist hier die Ausnahme.

Eine Polynomfunktion n-ten Grades nennt man die Polynomfunktion in der allgemeinen Formel axⁿ+bx^n-1+cx+d. Für n setzt du hier deine verschiedenen, den Grad bestimmenden, Exponenten ein.

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Wieviele Nullstellen hat ein Polynom 6. Grades?

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Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Substitution berechnen musst?

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Antwort

1. Schritt: Substituieren der Variable durch eine geeignete andere Variable, sodass eine quadratische Funktion übrig bleibt

2. Schritt: Mitternachtsformel mit der neuen quadratischen Funktion durchführen

3. Schritt: Resubstituieren

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Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Polynomdivision berechnen musst?

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Antwort

1. Schritt: Erste Nullstelle durch Probieren finden.

2. Schritt: Diese Nullstelle als Divisor für die Polynomdivision verwenden, sodass ein Polynom zweiten Grades herauskommt.

3. Schritt: Die quadratische Funktion in die Mitternachtsformel einsetzen und berechnen.

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Erläutere, warum sich bei Polynomen geraden und ungeraden Grades die Symmetrie unterscheidet.

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Die Symmetrie bei Polynomen ist von dem, den Grad bestimmenden, Exponenten abhängig. Ist der Grad bestimmende Exponenten gerade, liegt eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor; ist er ungerade, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

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Wieviele Nullstellen hat ein Polynom 6. Grades?

Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Substitution berechnen musst?

1. Schritt: Substituieren der Variable durch eine geeignete andere Variable, sodass eine quadratische Funktion übrig bleibt

2. Schritt: Mitternachtsformel mit der neuen quadratischen Funktion durchführen

3. Schritt: Resubstituieren

Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Polynomdivision berechnen musst?

1. Schritt: Erste Nullstelle durch Probieren finden.

2. Schritt: Diese Nullstelle als Divisor für die Polynomdivision verwenden, sodass ein Polynom zweiten Grades herauskommt.

3. Schritt: Die quadratische Funktion in die Mitternachtsformel einsetzen und berechnen.

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