Polynomfunktion

Die Funktion $f\left(x\right)=5x^5+x^3+3$ ist ein Polynom, genauso wie $g\left(x\right)=4x^3+5x^2+x-6$ auch.

Aufgabe 1

Bestimme den Grad der gegebenen Polynomfunktionen

$f\left(x\right)=5x^3+3x^2+8$

$g\left(x\right)=7x^2+4x^6+9x^4+5$

$h\left(x\right)=7x^5-2x^3-x^2+8$

Lösung

Die Polynomfunktion:

• f(x) ist ein Polynom dritten Grades, da der größte Exponent 3 ist.
• g(x) ist ein Polynom sechsten Grades, da der größte Exponent 6 ist.
• h(x) ist ein Polynom fünften Grades, da der größte Exponent 5 ist.

Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen des gegebenen Polynoms.

Lösung

Nullstellenberechnung mit der Mitternachtsformel

Die allgemeine quadratische Funktion, die Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, lautet $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$. Die Konstanten a und b sind in diesem Beispiel in der Funktion und in der Mitternachtsformel farblich markiert, um Dir das richtige Einsetzen leichter zeigen zu können.

$f\left(x\right)=1x^2-5x+4$

$x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{{(-5)}^2-4·1·4}}{2·1}=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}$

$x_1=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$ $x_2=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$

Aufgabe 3

Berechne die Nullstellen mithilfe der Substitution

$g\left(z\right)=z^4-6z^2+2,75$

Lösung

1. Schritt: Substituieren mit $z^2=u$

$g\left(u\right)=u^2-6u+2,75$

2. Schritt: Mitternachtsformel

$u_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{6^2-4·2,75}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{36-11}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{6\pm 5}{2}$

$u_1=\frac{6+5}{2}=\frac{11}{2}$ $u_2=\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}$

3. Schritt: Resubstituieren mit $z=\pm \sqrt{u}$

$z_1=\sqrt{\frac{11}{2}}=\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{22}}{2}\approx 2,35$ $z_2=-\sqrt{\frac{11}{2}}=-\frac{\sqrt{22}}{2}\approx -2,35$

$z_3=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$ $z_4=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,71$

Aufgabe 4

Berechne die Nullstellen mithilfe der Polynomdivision:

$h\left(i\right)=i^3-6i^2+11i-6$

Lösung

1. Schritt: Durch Probieren erste Nullstelle finden:

$h\left(2\right)=2^3-6·2^2+11·2-6=0$

Nullstelle durch Probieren: $i_1=2$

2. Schritt: Polynomdivision mit $(i-2)$

$(i^3-6i^2+11i-6):(i-2)=i^2-4i+3-i^3+2i^2-4i^2+11i4i^2-8i3i-6-3i+6$

Ergebnis der Polynomdivision: $k\left(i\right)=i^2-4i+3$

3. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

$i_{2,3}=\frac{4\pm \sqrt{16-4·3}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}$

$i_2=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$ $i_3=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=\hspace{0.17em}1$

Aufgabe 5

Stelle die Polynomfunktion dritten Grades zu folgenden Punkten auf.

Die gesuchte Polynomfunktion hat:

• eine Nullstelle bei $x=2$
• ein Extremum bei $x=-2$
• einen Wendepunkt bei $\left(0\right|-4)$

Lösung

1. Schritt: allgemeine Form aufstellen und wichtige Ableitungen bilden

Wie die Überschrift sagt, beginnst Du damit, dass Du die allgemeine Form des Polynoms so aufstellst, dass sie den gesuchten Grad hat. Da Du in diesem Beispiel noch die ersten beiden Ableitungen für das Extremum und den Wendepunkt benötigst, bildest Du diese gleich mit.

$f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

$f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c$

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6ax+2b$

2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen

Nachdem Du die allgemeine Form des Polynoms aufgestellt hast, nimmst Du Dir nun die gegebenen Kriterien vor. Für jedes Kriterium stellst Du eine eigene Gleichung.

1. Gleichung: Nullstelle bei $x=2$

$f\left(2\right)=0\iff 2^{3}a+2^{2}b+2c+d=8a+6b+2c+d=0$

2. Gleichung: Extremum bei $x=-2$

$f\text{'}(-2)=0\iff 3·{(-2)}^{2}a+2·(-2)b+c=12a-4b+c=0$

3. Gleichung: Wendestelle bei $x=0$

$f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0\iff 6·0a+2b=2b=0$

4. Gleichung: Wendepunkt bei (0/-4)

$f\left(0\right)=-4\iff 0^{3}a+0^{2}b+0c+d=d=-4$

3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach a und c auflösen

Durch das Aufstellen der vier Gleichungen für die vier Kriterien erkennst Du schnell, dass Du die Werte für die Konstanten b und d schon berechnet hast: b ist 0 und d ist -4. Deshalb musst Du nur noch die Konstanten a und c mit einem linearen Gleichungssystem berechnen.

Dieses lineare Gleichungssystem stellst Du auf, indem Du zwei Gleichungen gleich setzt, die möglichst nur a und c enthalten oder aus denen Du die anderen, störenden Variablen leicht entfernen kannst. Die zwei am besten geeigneten Gleichungen sind Gleichung 1 und Gleichung 2, da Du in beiden das b entfernen kannst und der Konstante d ein fester Wert zugewiesen wird.

So ergeben sich zwei abgewandelte Gleichungen

1*: $8a+2c-4=0$

2*: $12a+c=0$

Gleichung 2* kannst Du leicht nach c umstellen, wodurch Du die Gleichung 2**: $c=-12a$ erhältst. Dieses c kannst Du in die erste Gleichung 1* einsetzen und dann nach a auflösen.

$\begin{array}{rcl}8a+2·(-12a)-4& =& 0\begin{array}{c}|+4\end{array}\\ 8a-24a& =& 4\\ -16a& =& 4\begin{array}{c}|÷(-16)\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}a\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4}=-0,25\end{array}$

Nun kannst Du a in die Gleichung 2** einsetzen, um so c zu erhalten.

$c=-12·(-\frac{1}{4})=\frac{12}{4}=3$

Wenn Du nun alle berechneten Werte für die Konstanten a, b, c und d in die allgemeine Gleichung eines Polynoms dritten Grades einsetzt, erhältst Du folgendes Polynom:

$f\left(x\right)=-0,25x^3+3x-4$

Aufgabe 6

Bestimme den Grad der folgenden Polynomfunktionen

$f\left(x\right)=64x^5-42x^3+36x^8+144$

$g\left(x\right)=8x^{10}+5x^8-3x^6-7x^4+x^2-25$

$h\left(x\right)=x^{90}+x^{87}-x^{100}-x^{60}+x^{101}$

Lösung

Das Polynom f(x) ist ein Polynom achten Grades.

Das Polynom g(x) ist zehnten Grades.

Das Polynom h(x) ist 101. Grades.

Aufgabe 7

Berechne die Nullstellen von f(x)

$f\left(x\right)=5x^2-13x+7,2$

Lösung

Die Funktion f(x) ist eine einfache, quadratische Funktion. Hier kannst Du die allgemeine Mitternachtsformel verwenden und die Werte einsetzen.

$x_{1,2}=\frac{13\pm \sqrt{{13}^2-4·5·7,2}}{2·5}=\frac{13\pm \sqrt{169-144}}{10}=\frac{13\pm \sqrt{25}}{10}=\frac{13\pm 5}{10}$

$x_1=\frac{13+5}{10}=\frac{18}{10}=1,8$ $x_2=\frac{13-5}{10}=\frac{8}{10}=0,8$

Nun hast Du für die Funktion f(x) die Nullstellen $x_1=1,8$ und $x_2=0,8$ berechnet.

Aufgabe 8

Berechne die Nullstellen von g(x)

Lösung

Die Funktion g(x) ist eine Funktion dritten Grades, bei der Du kein x ausklammern kannst, um die erste Nullstelle zu finden. Deshalb muss zuerst durch Probieren die erste Nullstelle gefunden werden.

1. Schritt: erste Nullstelle durch Probieren finden

$g\left(4\right)=-2·4^3+5·4^2+16·4-16=-128+80+64-16=0$

2. Schritt: Polynomdivision mit der gefundenen Nullstelle durchführen

$(-2x^3+5x^2+16x-16):(x-4)=-2x^2-3x+42x^3-8x^2-3x^2+16x-(-3x^2+12x)4x-16-(4x-16)0$

3. Schritt: Mitternachtsformel auf das Ergebnis der Polynomdivision anwenden

Wenn Du die Polynomdivision richtig durchgeführt hast, solltest Du eine quadratische Funktion als Ergebnis erhalten. Diese setzt Du in die Mitternachtsformel ein und berechnest damit die letzten zwei Nullstellen.

$x_{2,3}=\frac{3\pm \sqrt{3^2-4·(-2)·4}}{2·(-2)}=\frac{3\pm \sqrt{9+32}}{-4}=\frac{3\pm \sqrt{41}}{-4}$

$x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{-4}\approx -2,35$ $x_3=\frac{3-\sqrt{41}}{-4}\approx 0,85$

Damit hast Du die Nullstellen $x_1=4$, $x_2=-2,35$ und $x_3=0,85$ herausgefunden.

Aufgabe 9

Berechne die Nullstellen von h(x)

Lösung

Die Funktion h(x) ist eine Funktion vierten Grades, die nur eine weitere Variable zweiten Grades enthält. Diese Art von Funktion eignet sich am besten, um sie zu substituieren und danach die Mitternachtsformel anzuwenden.

1. Schritt: Substituieren mit $z=x^2$

$h\left(z\right)=5z^2-17z+11,25$

2. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

$z_{1,2}=\frac{17\pm \sqrt{{17}^2-4·5·11,25}}{2·5}=\frac{17\pm \sqrt{289-225}}{10}=\frac{17\pm \sqrt{64}}{10}=\frac{17\pm 8}{10}$

$z_1=\frac{17+8}{10}=\frac{25}{10}=2,5$ $z_2=\frac{17-8}{10}=\frac{9}{10}=0,9$

3. Schritt: Resubstituieren mit $x=\pm \sqrt{z}$

$x_1=\sqrt{2,5}\approx 1,58$ $x_2=-\sqrt{2,5}\approx -1,58$

$x_3=\sqrt{0,9}\approx 0,95$ $x_4=-\sqrt{0,9}\approx -0,95$

Für die Funktion h(x) hast Du nun die Nullstellen $x_1=1,58;x_2=-1,58;x_3=0,95;x_4=-0,95$ berechnet.