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Der Begriff Nullstelle sagt dir noch Null Komma gar nichts?
Bei einer Kurvendiskussion geht ohne die Nullstellenberechnung jedoch gar nichts. Man benötigt sie, um die Maxima und Minima einer Funktion mithilfe der Nullstelle/n der Ableitung zu bestimmen oder wenn ganz einfach die Schnittpunkte einer Funktion mit den Achsen gefragt sind.
In diesem Artikel erfährst du deshalb, was genau eine Nullstelle ist, wie du sie ablesen kannst und wie du sie berechnen kannst.
Die Nullstelle ist einer der wichtigsten Schnittpunkte einer Funktion. Sie gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen. Die Nullstelle ist ein wichtiger Aspekt der Kurvendiskussion. Sie hilft bei einer besseren Vorstellung des Funktionsgraphen, dabei die Funktion später in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können und ist auch rechnerisch ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik.
Eine Nullstelle einer Funktion 
ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt 
.
Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.
Einfacher gesagt suchst du also den x-Wert der Funktion f, für den 
wird.
Da f(x) ja auch als y geschrieben werden kann, ist die Nullstelle also der Punkt, an dem y=0 wird, der also auf der x-Achse liegt.
Deshalb kannst du auch einfach die Nullstellen als Punkte auf der x-Achse einer aufgezeichneten Funktion ablesen.
Die Funktion f schneidet die x-Achse im Punkt S(2/0).
Da Schnittpunkte mit der x-Achse jedoch immer den y-Wert 0 haben, interessiert uns nur der der x-Wert.
Diesen x-Wert des Schnittpunktes mit der x-Achse bezeichnet man dann als Nullstelle.
Bild
Die Nullstelle der Funktion f liegt also bei 
.
Andersrum: hast du die Nullstelle bereits abgelesen oder ausgerechnet, brauchst du nur noch für y Null schreiben und du erhältst den ausführlichen Schnittpunkt S (x|0) der Funktion mit der x-Achse.
Bei Nullstellen kann es sich um Schnittpunkte oder Berührpunkte handeln. Die Namen verraten dir schon, wie die Funktionsgraphen an der Nullstelle aussehen:
Bild
Bild
Es gibt eine Regel, mit der du dir ganz leicht merken kannst, wie viele Nullstellen eine Funktion maximal hat:
Eine Funktion hat maximal n Nullstellen, wobei n der höchste Exponent der Variable der Funktion ist.
Eine Funktion 
kann also maximal n Nullstellen (aber auch weniger) haben.
Eine Ausnahme bilden die trigonometrischen Funktionen. Sie können auch unendlich viele Nullstellen besitzen (siehe unten).
Eine Funktion kann also eine, mehrere oder sogar unendlich viele Nullstellen haben. Das hängt ganz vom Funktionstyp ab.
Es gibt sogar auch Funktionen, deren Graph die x-Achse gar nicht berührt, es also keine Nullstelle gibt.
Zudem kann eine einzelne Nullstelle auch ganz besondere Eigenschaften haben: Neben den einfachen Nullstellen, welche wir zum Beispiel immer bei linearen Funktionen haben, gibt es auch noch doppelte, dreifache, vierfache, n-fache Nullstellen.
Eine doppelte Nullstelle beispielsweise ist ein x-Wert, für den ein quadrierter Faktor (zum Beispiel 
) Null wird.
Man erkennt die vielfachen Nullstellen auch an ihrem Aussehen.
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Lies dir dazu aber am Besten nochmal den Artikel zu der Vielfachheit der Nullstelle genauer durch.
Achtung: die Vielfachheit einer einzelnen Nullstelle hat nichts mit der Anzahl der Nullstellen einer Funktion zu tun.
Wie du jetzt schon weißt, ist die Nullstelle der Schnittpunkt mit der x-Achse.
Der y-Achsenabschnitt dagegen ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
Laut Definition wird bei einer Funktion jedem x-Wert genau ein bestimmter y-Wert zugeordnet. Für den x-Wert x=0 (y-Achse) kann es also auch nur einen y-Wert geben.
Bild
Beschäftigen wir uns jetzt aber mit dem Bestimmen von Nullstellen.
Um die Nullstelle zu berechnen machen wir uns diesen Teil der Definition zu Nutze:
An der Nullstelle ist der Funktionswert f(x) immer gleich null (
).
Zum Berechnen der Nullstelle benötigst du die Funktionsgleichung in der Form 
.
Auch hier gehst du wieder nach einem Schema vor:
Da f(x) ja Null sein muss, setzt du in die Funktionsgleichung an Stelle von f(x) eine 0 ein.
Danach stellst du die Gleichung nach x um, sodass du eine Lösung der Form x=... bekommst.
Obwohl das Vorgehen grundsätzlich immer nach dem gleichen Schema abläuft, gibt es bei jedem Funktionstypen doch Besonderheiten und weitere Dinge zu beachten.
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form
Beispiele für bekannte ganzrationale Funktionen sind die lineare Funktion oder die quadratische Funktion.
Schauen wir uns im folgenden anhand von Beispielen an, wie man bei den unterschiedlichen ganzrationalen Funktionen die Nullstellen berechnet.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form 
.
Betrachte die Funktion 
.
1. Schritt: Statt f(x) eine 0 setzen.
2. Schritt: nach x auflösen.
Damit liegt die Nullstelle dieser linearen Funktion bei 
.
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Der Graph einer linearen Funktion hat im Normalfall genau eine Nullstelle, mit Ausnahme der konstanten Funktionen. Sie sind Parallelen zur x-Achse und haben keinen Schnittpunkt mit der Achse, und damit keine Nullstelle.
Ausnahme der Ausnahme: Die konstante Funktion f(x)=0 ist identisch mit der x-Achse und hat unendlich viele Schnittpunkte.
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form 
.
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Nullstellen zu berechnen. Das Vorgehen ist abhängig davon, wie der Funktionsterm aussieht.
1. Option: Mitternachtsformel
Wenn die Gleichung die allgemeine Form (
) besitzt, dann wendest du die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstelle an.
Für mehr Hintergründe zur Mitternachtsformel und detaillierte Rechenbeispiele sieh dir den zugehörigen Artikel Mitternachtsformel an.
Setze die Werte für die Koeffizienten a, b und c in die Mitternachtsformel ein
↓
Vereinfache den Term.
↓
Berechne den Term zunächst als Addition und anschließend als Subtraktion.
↓
Bild
2. Option: pq-Formel
Die Gleichung kann auch in der Normalform vorliegen, es steht also vor dem 
keine Zahl a mehr (
).
In diesem Fall verwendest du zur Lösung der Nullstellen die p/q-Formel.
p/q-Formel
Auch zu diesem Thema gibt es einen extra Artikel, den du dir zum besseren Verständnis gerne durchlesen solltest.
Beispiel
Berechnung der Nullstelle
1. Schritt: Setze f(x) gleich Null.
2. Schritt: Setze die entsprechenden Zahlen für p und q mit den richtigen Vorzeichen in die p/q-Formel ein.
3. Schritt: Führe die Rechnung so weit wie möglich durch.
4. Schritt:
Um 
zu berechnen, führst du jetzt eine Addition durch.
Um wiederum 
zu bekommen, führst du eine Subtraktion durch.
Die p/q-Formel hat dir also beim Berechnen der Nullstellen geholfen.
Bild
Beim Lösen von ganzrationalen Funktionen dritten Grades oder höher, gibt es das Problem, dass es keine Lösungsformel zum Berechnen der Nullstellen mehr gibt.
Auf diese Art kannst du ganzrationalen Funktionen trotzdem lösen:
1. Option: Ausklammern
Wenn die Funktion 3. Grades oder höher es hergibt, kann wie bei den ganzrationalen Funktionen ausgeklammert werden.
Wie du dabei genau vorgehst, was du beachten musst und wie das Ganze anhand eines Beispiels aussieht, kannst du im Artikel Nullstellen berechnen Quadratische Funktion nachlesen.
Beispiel
↓
↓
2. Option: Substitution
Sieh dir dazu am besten den Artikel zur Substitution genauer an.
Handelt es sich um eine sogenannten biquadratischen Gleichungen (beispielsweise vierten Grades mit ausschließlich geraden Potenzen von x) kann man diese mithilfe der Substitution in eine quadratische Funktion umwandeln und mit den bekannten Methoden lösen.
Beispiel
↓
3. Option: Polynomdivision
Sieh dir auch zu diesem Thema den Artikel Polynomdivision nochmal genauer an.
Bei der Polynomdivision wird ebenfalls versucht eine beliebige ganzrationale Funktion in ein Produkt mit mehreren Faktoren Umzuwandeln, um dann für jeden Faktor die zugehörige Nullstelle bestimmen zu können.
Sie erinnert eine wenig an das schriftliche Dividieren.
Beispiel
↓
Die E-Funktion selbst besitzt keine Nullstellen. Enthält der Funktionsterm neben e noch weitere Ausdrücke (wie etwa ein Polynom), kann es sein, dass aufgrund dessen doch Nullstellen vorhanden sind. Diese können dann jedoch unabhängig von e berechnet werden.
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Die Umkehrfunktion der e-Funktion hat dagegen schon eine Nullstelle.
Der natürliche Logarithmus wird nur für die Zahl 1 zu Null.
Beispiel
↓
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Um die Nullstellen einer Wurzelfunktion zu berechnen, muss man Folgendes wissen:
Der Wert der Wurzelfunktion wird Null, wenn der Radikant (das was unter der Wurzel steht) gleich Null wird.
Beispiel
↓
Bild
Die Sinusfunktion ist ein Sonderfall, denn sie hat unendlich viele Nullstellen.
Sie ist periodisch und berührt während einer Periode zweimal die x-Achse.
Die einfachste Sinusfunktion 
, hat also bei Null, bei 
und so weiter einige ihrer Nullstellen.
Man schreibt das so:
("der x-Wert für die Nullstellen ist Element von allen x-Werten für die gilt 
")
Dabei steht k für eine beliebige Ganze Zahl.
Zudem kann der Term am Ende bedingt durch Stauchungen/Streckungen oder Verschiebungen entsprechend verändert werden (zum Beispiel: 
durch eine Streckung in x-Richtung ( 
) und eine Verschiebung um in x-Richtung (-1).
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