Vielleicht kennst Du diese Situation: Du bist gerade dabei zu überlegen, wie viel Du bereits in diesem Monat ausgegeben hast. Da waren die Getränke der letzten gemütlichen Grillfeier, die Kosten für die Mensa und Dein Mobilfunktarif. Dem gegenüber kannst Du ein kleines Plus vom monatlichen Taschengeld und Deiner kleinen Beschäftigung im Café verzeichnen. Du zeichnest Dir ein Koordinatensystem mit der x-Achse als Angabe, dass Du in einem Zeitraum keinen Gewinn oder Verlust gemacht hast. Wenn Du wissen willst, an welchem Tag Du nun Verlust machen wirst, oder auch Gewinn, ist dafür das Wissen über Nullstellen für Dich wichtig.
Du kannst für eine Funktion, unabhängig, ob es lineare Funktionen, quadratische Funktionen oder Funktionen mit einer Wurzel sind, Nullstellen ermitteln. Sie sind auch oftmals Teil einer Kurvendiskussion. Zum einen kannst Du damit den Schnittpunkt mit der x-Achse, aber auch das Maximum oder Minimum einer Ableitungsfunktion ermitteln. Deshalb soll es sich in dieser Erklärung um Folgendes drehen: Nullstellen berechnen. Viel Spaß!
Nullstellen berechnen – Grundlagenwissen
Die Nullstelle ist einer der wichtigsten Schnittpunkte einer Funktion. Sie gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen. Die Nullstelle ist ein Teil der Kurvendiskussion. Diese hilft bei einer besseren Vorstellung des Funktionsgraphen, um die Funktion später in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können und ist auch rechnerisch ein bedeutendes Werkzeug in der Mathematik.
Eine Nullstelle einer Funktion 
ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt 
.
Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.
Du suchst also den x-Wert der Funktion f, für den 
wird.
Da 
auch als y geschrieben werden kann, ist die Nullstelle also der Punkt, an dem 
wird, der also auf der x-Achse liegt.
Deshalb kannst Du auch die Nullstellen als Punkte auf der x-Achse einer aufgezeichneten Funktion ablesen.
Die Funktion f schneidet die x-Achse im Punkt S(2|0).
Da Schnittpunkte mit der x-Achse jedoch immer den y-Wert 0 haben, interessiert Dich nur der x-Wert.
Diesen x-Wert des Schnittpunktes mit der x-Achse kannst Du dann als Nullstelle bezeichnen.
Die Nullstelle der Funktion f liegt also bei 
.
Nullstellen berechnen – Schnittpunkt oder Berührpunkt
Bei Nullstellen kann es sich um Schnittpunkte oder Berührpunkte handeln. Die Namen verraten Dir schon, wie die Funktionsgraphen an der Nullstelle aussehen:
- Nullstellen als ein Schnittpunkt sind ein Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet.
- Nullstellen als Berührpunkt sind ein Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse nur berührt. Dieser Graph bleibt also im Positiven, bzw. Negativen und besitzt an dem Berührpunkt auch die Steigung 0.
- Nullstellen als Sattelpunkt sind ein Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Der Unterschied zu einem Schnittpunkt ist allerdings, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle auch den Wert 0 hat.
Im Folgenden werden Dir Nullstellen für drei Funktionen angegeben. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion mit einem Schnittpunkt mit der x-Achse, eine Quadratische und eine Ganzrationale Funktion mit Sattelpunkt.
Abbildung 1: Schnittpunkte für lineare, quadratische und Ganzrationale Funktionen
Möchtest Du noch Näheres zu Nullstellen und zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen erfahren, dann schau doch gerne bei den Artikeln Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Nullstelle vorbei. Wenn Du einen Überblick über alle Berechnungen mit Funktionen erhalten möchtest, kannst Du auch gerne die Erklärung Kurvendiskussion ansehen.
Nullstellen berechnen – Anzahl der Nullstellen einer Funktion
Es gibt eine Regel, mit der Du Dir merken kannst, wie viele Nullstellen eine Funktion maximal hat:
Eine Funktion hat maximal n Nullstellen, wobei n der höchste Exponent der Variablen der Funktion ist.
Eine Funktion 
kann also maximal n Nullstellen (aber auch weniger) haben.
Eine Ausnahme bilden die trigonometrischen Funktionen. Sie können auch unendlich viele Nullstellen besitzen.
Eine Funktion kann also eine, mehrere oder sogar unendlich viele Nullstellen besitzen. Das hängt ganz vom Funktionstyp ab. Es gibt sogar Funktionen, deren Graph die x-Achse gar nicht berührt, es also keine Nullstelle gibt.
Nullstellen berechnen – Vielfachheit der Nullstelle
Zudem kann eine einzelne Nullstelle auch ganz besondere Eigenschaften besitzen: Neben den einfachen Nullstellen, welche für lineare Funktionen immer der Fall ist, gibt es auch noch doppelte, dreifache, vierfache, bzw. insgesamt n-fache Nullstellen.
Eine doppelte Nullstelle beispielsweise ist ein x-Wert, für den ein quadrierter Faktor (zum Beispiel 
) Null wird. Auch die gezeigte Funktion aus dem vorherigen Bild, nämlich die Parabel 
besitzt am x-Wert 10 eine doppelte Nullstelle.
Du erkennst die vielfachen Nullstellen auch an ihrem Aussehen. Im Folgenden Bild gibt es zwei verschiedene quadratische Funktionen mit der Vielfachheit 2 und 4. Dabei steigt die Funktion mit der 4-fachen Nullstelle in der Nähe der Nullstelle geringer an, danach aber umso mehr.
Abbildung 2: Vielfachheit von zwei quadratischen Funktionen
Achtung: die Vielfachheit einer einzelnen Nullstelle hat nichts mit der Anzahl der Nullstellen einer Funktion zu tun. Lies Dir auch gerne die Erklärung zur Vielfachheit von Nullstellen durch, um Dich mit den Nullstellen für quadratische Funktionen bzw. auch Ganzrationale Funktionen vertraut zu machen.
Nullstellen berechnen – Nullstelle und y-Achsenabschnitt
Die Nullstelle und der y-Achsenabschnitt gehören zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.
Wie Du jetzt schon weißt, ist die Nullstelle der Schnittpunkt mit der x-Achse. Der y-Achsenabschnitt dagegen ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
| Nullstelle | y-Achsenabschnitt |
| Eine Funktion kann keine, eine, mehrere oder unendlich viele Nullstellen haben (siehe Regel zur Anzahl der Nullstellen). | Es gibt nur maximal einen y-Achsenabschnitt (egal, welche Funktion vorliegt). |
Am Schnittpunkt mit der x-Achse ist der y-Wert immer Null. | Am y-Achsenabschnitt ist der x-Wert immer Null. |
Laut Definition wird bei einer Funktion jedem x-Wert genau ein bestimmter y-Wert zugeordnet. Für den x-Wert x=0 (y-Achse) kann es also auch nur einen y-Wert geben. Näheres findest Du wie bereits erwähnt unter Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Nullstellen berechnen – Formel
Um Nullstellen zu berechnen, nutze diese Definition dafür aus:
An der Nullstelle ist der Funktionswert 
immer gleich null (
).
Zum Berechnen der Nullstelle benötigst Du die Funktionsgleichung in der Form 
.
Auch hier gehst Du wieder nach einem Schema vor:
Du setzt in die Funktionsgleichung an der Stelle von eine 0 ein.
Danach stellst Du die Gleichung nach x um, sodass du eine Lösung der Form 
bekommst.
Obwohl das Vorgehen grundsätzlich immer nach dem gleichen Schema abläuft, gibt es bei jedem Funktionstypen doch Besonderheiten und weitere Dinge zu beachten.
Nullstellen berechnen – Ganzrationale Funktionen
Unter den Begriff der Ganzrationalen Funktion zählen unter anderem die linearen und quadratischen Funktionen. Für Werte größer 2 sprichst Du von Ganzrationalen Funktionen ab Grad 3.
Beispiele für bekannte Ganzrationale Funktionen sind die lineare Funktion oder die quadratische Funktion.
Schau Dir im Folgenden anhand von Beispielen an, wie Du bei den unterschiedlichen Ganzrationalen Funktionen die Nullstellen berechnest.
Nullstellen berechnen – Lineare Funktion
Lineare Funktionen sind eine der elementarsten Funktionen und sind in der Anwendung zur Berechnung der Nullstellen durch Äquivalenzumformungen zu erledigen.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form 
.
Die Nullstellen für lineare Funktionen herauszufinden, ist damit erreicht, indem Du die Gleichung auf Null setzt. Dabei ist die x-Koordinate des Schnittpunkts mit der x-Achse Deine Nullstelle. Dieses Verfahren soll Dir im Folgenden für lineare Funktionen erläutert werden.
Betrachte die Funktion 
.
Schritt 1:
Statt f(x) eine 0 setzen.
Schritt 2:
Nach x auflösen.
Damit liegt die Nullstelle dieser linearen Funktion bei 
.
Falls Du noch etwas Schwierigkeiten mit den Umformungsschritten gehabt hast, dann kannst Du gerne auf den Seiten Äquivalenzumformungen und lineare Gleichungen lösen vorbei sehen.
Abbildung 3: Nullstelle für Lineare Funktion
Der Graph einer linearen Funktion hat im Normalfall genau eine Nullstelle, mit Ausnahme der konstanten Funktionen wie y = 2. Sie sind Parallelen zur x-Achse und haben keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, und damit keine Nullstelle.
Ausnahme: Die konstante Funktion f(x)=0 ist identisch mit der x-Achse und hat unendlich viele Schnittpunkte.
Weitere Informationen zur linearen Funktion und wie Du anhand einer Zeichnung die Geradengleichung erstellst, findest Du unter lineare Funktionen und Geradengleichung aufstellen.
Nullstellen berechnen – Quadratische Funktion (Parabel)
Um eine quadratische Funktion zu berechnen, benötigst Du ein wenig Vorwissen zu eventuell bekannten Rechenschritten der Mitternachtsformel, oder auch der pq-Formel.
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form 
.
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Nullstellen zu berechnen. Das Vorgehen ist abhängig davon, wie der Funktionsterm aussieht.
Möchtest Du allgemeines zum Zeichnen von Parabeln und auch zum Berechnen eines Scheitelpunktes erfahren? Dann schau gerne auf den folgenden Seiten vorbei: Parabeln, Scheitelpunkt berechnen.
Nullstellen berechnen – Mitternachtsformel
Wenn die Gleichung die allgemeine Form (
) besitzt, dann wendest Du die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstelle an.
Für die Mitternachtsformel bzw. Lösungsformel gilt folgende Formel aus den Angaben einer Gleichung in der allgemeinen Form:
Die Mitternachtsformel kann Dir dabei helfen, für die allgemeine Form die Nullstellen zu berechnen.
Dir ist im Folgenden eine quadratische Funktion gegeben. Als Unterstützung ist auch noch die allgemeine Form gegeben. Orientiere Dich auch ein wenig an der farblichen Markierung:
Setze die Werte für die Koeffizienten a, b und c in die Mitternachtsformel ein:
Vereinfache den Term.
Berechne den Term zunächst als Addition und anschließend als Subtraktion.
Das bedeutet also, die Nullstellen sind bei -1 und 1,5.
Abbildung 4: Nullstellen für quadratische Funktion über Mitternachtsformel
Nullstellen berechnen – pq-Formel
Die Gleichung kann auch in der Normalform vorliegen, es steht also vor dem 
keine Zahl a mehr (
).
In diesem Fall verwendest Du zur Lösung der Nullstellen die pq-Formel.
Die pq-Formel lässt sich über eine Normalform in dieser Weise berechnen:
Auch zu diesem Thema gibt es einen separaten Artikel, den Du Dir zum besseren Verständnis gerne durchlesen kannst.
Im Folgenden ist Dir eine Funktion in Normalform gegeben.
Berechnung der Nullstelle
Schritt 1:
Setze f(x) gleich Null.
Schritt 2:
Setze die entsprechenden Zahlen für p und q mit den richtigen Vorzeichen in die pq-Formel ein.
Schritt 3:
Führe die Rechnung so weit wie möglich durch.
Schritt 4:
Um 
zu berechnen, führst Du jetzt eine Addition durch.
Um wiederum 
zu bekommen, führst Du eine Subtraktion durch.
Abbildung 5: Nullstellen für quadratische Funktion über pq-Formel
Die p/q-Formel hat Dir also beim Berechnen der Nullstellen geholfen.
Nullstellen berechnen – Funktion 3. Grades und höher
Beim Lösen von Ganzrationalen Funktionen dritten Grades oder höher gibt es keine Lösungsformel zum Berechnen der Nullstellen mehr. Deshalb gibt es ein paar kleine Tricks, mit denen Du doch auf eine Lösung für diesen Typ von Funktion kommen kannst.
Nullstellen berechnen durch Ausklammern
Wenn die Funktion 3. Grades oder höher es ermöglicht, kann wie bei den Ganzrationalen Funktionen ausgeklammert werden.
Berechne die Nullstellen zu dieser Funktion:
Im ersten Schritt klammerst Du aus, da Du mit einer Funktion Dritten Grades keine Lösungsformel verwenden kannst.
Der erste Faktor ist also x. Dabei wird mit dem Wert 0 hierbei auch die Gleichung zu 0 evaluieren.
Also gilt: 
Der zweite Faktor lässt sich über die pq-Formel berechnen:
Die Werte also in die pq-Formel einsetzen:
Die Nullstellen befinden sich also bei den x-Werten -3, -1 und 0.
Abbildung 6: Nullstellen für Funktion 3. Grades
Nullstellen berechnen durch Substitution
Handelt es sich um eine sogenannte biquadratische Gleichung (beispielsweise vierten Grades mit ausschließlich geraden Potenzen von x), kannst Du diese mithilfe der Substitution in eine quadratische Funktion umwandeln und mit den bekannten Methoden lösen.
Als Erstes kannst Du eine neue Variable, in diesem Fall z, erstellen. Du kannst dabei eine Funktion in Normalform oder in der allgemeinen Form mit Grad 2 erhalten.
Nun löst Du diese Funktion auf, wie für eine quadratische Funktion.
Insgesamt erhältst Du die Werte 3 und 16 für z. Danach kannst Du wieder rückwärtssubstituieren.
Außerdem gilt noch das weitere:
Die Lösungsmenge lautet also:
Sieh Dir dazu am besten den Artikel zur Substitution genauer an, falls Du nicht genau weißt, wie das Ergebnis zustande gekommen ist.
Nullstellen berechnen durch Polynomdivision
Bei der Polynomdivision wird ebenfalls versucht, eine beliebige Ganzrationale Funktion in ein Produkt mit mehreren Faktoren umzuwandeln, um dann für jeden Faktor die zugehörige Nullstelle bestimmen zu können.
Sie erinnert ein wenig an das schriftliche Dividieren, wobei Du den ersten Faktor durch Probieren herausfindest. Oftmals gibt es in der Schule dazu bereits Nullstellen mit kleinen Zahlen. Probiere deshalb am besten zum Beispiel die Zahlen 0, 1 oder 2, oder andere kleinere aus.
Gegen ist die nachfolgende Funktion. Löse hierbei durch Polynomdivision.
Du kannst durch Ausprobieren herausfinden, dass für x = 2 die Gleichung zu 0 evaluiert.
Damit kannst Du die Funktion durch diese Nullstelle teilen:
Im nächsten Schritt kannst Du das erhaltene Ergebnis als quadratische Funktion auffassen und die Nullstellen über die pq-Formel oder Mitternachtsformel ermitteln.
Ergebnis für NS: -2, 1, 2
Weitere Informationen findest Du in der Erklärung Polynomdivision und unter Nullstellen ganzrationaler Funktionen / Polynomfunktionen berechnen. Allgemeineres zu den Ganzrationalen Funktionen, auch mit höheren Graden, erfährst Du unter Ganzrationale Funktionen.
Nullstellen berechnen – weitere Beispiele
Auch andere Funktionen haben Nullstellen, für die Du auch noch anderes Wissen benötigst, zum Beispiel über e-Funktionen.
Nullstellen berechnen – e-Funktion
Die E-Funktion allein besitzt keine Nullstellen, da sie entweder positiv oder negativ an die x-Achse herangeht, die x-Achse ist also eine Grenze, die nie überschritten wird. Somit kann es nur Nullstellen geben, wenn die e-Funktion zusätzlich mit einem Faktor verknüpft ist.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion hat dagegen eine Nullstelle. Dieser natürliche Logarithmus wird nur für die Zahl 1 zu Null.
Die Nullstelle für den natürlichen Logarithmus ist wie folgt:
Die Nullstellen einer e-Funktion sind die Nullstellen des jeweiligen Produktes mit der e-Funktion.
Das kannst Du Dir hierbei praktisch erarbeiten.
Berechne für folgende Funktion die Nullstellen:
In diesem Fall teilst Du die Funktion in zwei Faktoren auf. Jeden Faktor setzt Du gleich 0.
Abbildung 7: Nullstelle für ln-Funktion
Auch für eine e-Funktion teilst Du sie in die jeweiligen Faktoren auf. Nur für den Faktor, indem die e-Funktion dabei ist, gibt es keine Nullstelle.
Möchtest Du noch mehr über Exponentialfunktionen und deren Nullstellen herausfinden, dann schau doch gerne vorbei:
Die natürliche Exponentialfunktion / e-Funktion, Allgemeine Logarithmusfunktion, In Funktion
Nullstellen berechnen – Wurzelfunktion
Um die Nullstellen einer Wurzelfunktion zu berechnen, solltest Du Folgendes wissen:
Der Wert der Wurzelfunktion wird Null, wenn der Radikand (was unter der Wurzel steht) gleich Null wird.
Die Wurzelfunktion erhält eine Nullstelle, wenn der Radikand unterhalb der Wurzel 0 ergibt.
Dies soll noch eine der letzten Übungen sein, hierbei nun zur Wurzelfunktion. Eine Definitionsmenge brauchst Du in diesem Fall nicht zu bestimmen.
Bestimme die Nullstelle zu folgender Wurzelfunktion:
Um die Nullstelle zu berechnen, nimmst Du nur den Radikand, also den Term unterhalb der Wurzel und setzt ihn gleich 0.
Die Nullstelle befindet sich also am x-Wert 2.
Abbildung 8: Nullstelle für Wurzelfunktion
Vor allem bei nicht linearen Funktionen bietet sich das Newtonverfahren an, während auch der Zwischenwertsatz eine wichtige Rolle spielen kann bei der Bestimmung jeglicher Funktionen. Sieh Dir dazu gerne die Erklärungen aus diesem Kapitel an: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren
Nullstellen berechnen – Übungsaufgaben
Nun kannst Du Dein Wissen praktisch auf die Probe stellen. Viel Spaß!
Aufgabe 1
Im Folgenden sind Dir eine lineare und eine quadratische Funktion gegeben. Berechne hierzu die Nullstellen.
a) 
b) 
Lösung
a)
Schau Dir zuerst die erste Funktion an. Dabei setzt Du immer diese Funktionen gleich 0. Also gehe zum Beispiel wie folgt vor:
Das bedeutet, die Nullstelle befindet sich bei -8.
b)
Für die zweite Funktion kannst Du sofort die pq-Formel anwenden, da es keinen Faktor a vor 
gibt.
Die Nullstellen befinden sich bei den x-Werten -1 und -3.
Aufgabe 2
Berechne die Nullstellen zu folgenden Funktionen:
a) 
b) 
Lösung
a)
In diesem Fall kannst Du zuvor ausklammern, wobei Du dann einen Faktor und eine quadratische Funktion als zweiten Faktor hast, die Du dann durch die pq-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst.
Der erste Faktor wird 0, wenn der x-Wert gleich 0 ist. Das ist bereits die erste NS.
Nun kannst Du die Mitternachtsformel anwenden.
Insgesamt gibt es also Nullstellen bei den x-Werten -2; -0,5; 0.
b)
Für die zweite Funktion siehst Du Dir nur den Radikand unterhalb der Wurzel an und setzt ihn gleich 0.
Die Nullstelle befindet sich also bei 
.
Nullstellen berechnen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Nullstellen für eine Funktion sind die Punkte, an dem die Funktion die x-Achse schneidet. Es gilt also .
- Bei einer Nullstelle handelt es sich um einen Schnittpunkt, falls die x-Achse geschnitten wird. Bei einem Berührpunkt bleibt die Funktion im Positiven oder Negativen. Bei einem Sattelpunkt wird die x-Achse geschnitten, allerdings besitzt die Funktion an dieser Stelle die Steigung 0.
- Vor allem bei einem Berührpunkt kann auch die Vielfachheit einer Nullstelle wichtig sein. So besitzt eine Parabel mit Grad 2 höchstens eine 2-fache Nullstelle, für Grad 4 ist maximal eine 4-fache Nullstelle möglich.
- Nullstellen berechnest Du, indem Du die Funktion gleich 0 setzt. Für lineare Funktionen werden die Äquivalenzumformungen genutzt.
- Bei Parabeln, bzw. quadratischen Funktionen brauchst Du oftmals die Mitternachtsformel bzw. die pq-Formel zum Lösen.
- Bei Ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher benötigst Du zusätzliche Methoden. Eventuell kannst Du eine Variable ausklammern, um danach eine quadratische Funktion zu erhalten. Es ist aber auch die Substitution oder auch die Polynomdivision möglich.
- Bei einer e-Funktion oder ln-Funktion schaust Du Dir die Faktoren separat an und löst diese. Die Nullstelle der ln-Funktion liegt bei 1.
- Für Wurzelfunktionen setzt Du den Radikand auf 0.
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