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Nullstellen berechnen

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Mathe

Der Begriff Nullstelle sagt dir noch Null Komma gar nichts?

Bei einer Kurvendiskussion geht ohne die Nullstellenberechnung jedoch gar nichts. Man benötigt sie, um die Maxima und Minima einer Funktion mithilfe der Nullstelle/n der Ableitung zu bestimmen oder wenn ganz einfach die Schnittpunkte einer Funktion mit den Achsen gefragt sind.

In diesem Artikel erfährst du deshalb, was genau eine Nullstelle ist, wie du sie ablesen kannst und wie du sie berechnen kannst.

Nullstelle - Grundlagen

Die Nullstelle ist einer der wichtigsten Schnittpunkte einer Funktion. Sie gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen. Die Nullstelle ist ein wichtiger Aspekt der Kurvendiskussion. Sie hilft bei einer besseren Vorstellung des Funktionsgraphen, dabei die Funktion später in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können und ist auch rechnerisch ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik.

Eine Nullstelle einer Funktion ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt .

Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

Einfacher gesagt suchst du also den x-Wert der Funktion f, für den wird.

Da f(x) ja auch als y geschrieben werden kann, ist die Nullstelle also der Punkt, an dem y=0 wird, der also auf der x-Achse liegt.

Deshalb kannst du auch einfach die Nullstellen als Punkte auf der x-Achse einer aufgezeichneten Funktion ablesen.

Die Funktion f schneidet die x-Achse im Punkt S(2/0).

Da Schnittpunkte mit der x-Achse jedoch immer den y-Wert 0 haben, interessiert uns nur der der x-Wert.

Diesen x-Wert des Schnittpunktes mit der x-Achse bezeichnet man dann als Nullstelle.

Bild

Die Nullstelle der Funktion f liegt also bei .

Andersrum: hast du die Nullstelle bereits abgelesen oder ausgerechnet, brauchst du nur noch für y Null schreiben und du erhältst den ausführlichen Schnittpunkt S (x|0) der Funktion mit der x-Achse.

Schnittpunkt oder Berührpunkt

Bei Nullstellen kann es sich um Schnittpunkte oder Berührpunkte handeln. Die Namen verraten dir schon, wie die Funktionsgraphen an der Nullstelle aussehen:

  • Der Schnittpunkt ist ein Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet.

Bild

  • Der Berührpunkt ist ein Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse nur berührt, dann jedoch auf der gleichen Seite der x-Achse bleibt. Er schneidet sie also nicht.

Bild

Anzahl der Nullstellen einer Funktion

Es gibt eine Regel, mit der du dir ganz leicht merken kannst, wie viele Nullstellen eine Funktion maximal hat:

Eine Funktion hat maximal n Nullstellen, wobei n der höchste Exponent der Variable der Funktion ist.

Eine Funktion kann also maximal n Nullstellen (aber auch weniger) haben.

Eine Ausnahme bilden die trigonometrischen Funktionen. Sie können auch unendlich viele Nullstellen besitzen (siehe unten).

Eine Funktion kann also eine, mehrere oder sogar unendlich viele Nullstellen haben. Das hängt ganz vom Funktionstyp ab.

Es gibt sogar auch Funktionen, deren Graph die x-Achse gar nicht berührt, es also keine Nullstelle gibt.

Vielfachheit der Nullstelle

Zudem kann eine einzelne Nullstelle auch ganz besondere Eigenschaften haben: Neben den einfachen Nullstellen, welche wir zum Beispiel immer bei linearen Funktionen haben, gibt es auch noch doppelte, dreifache, vierfache, n-fache Nullstellen.

Eine doppelte Nullstelle beispielsweise ist ein x-Wert, für den ein quadrierter Faktor (zum Beispiel ) Null wird.

Man erkennt die vielfachen Nullstellen auch an ihrem Aussehen.

Bild

Lies dir dazu aber am Besten nochmal den Artikel zu der Vielfachheit der Nullstelle genauer durch.

Achtung: die Vielfachheit einer einzelnen Nullstelle hat nichts mit der Anzahl der Nullstellen einer Funktion zu tun.

Nullstelle und y-Achsenabschnitt

Wie du jetzt schon weißt, ist die Nullstelle der Schnittpunkt mit der x-Achse.

  • Eine Funktion kann keine, eine, mehrere oder unendlich viele Nullstellen haben (siehe Regel zur Anzahl der Nullstellen)
  • Am Schnittpunkt mit der x-Achse ist der y-Wert immer Null.

Der y-Achsenabschnitt dagegen ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.

  • Es gibt nur maximal einen y-Achsenabschnitt (egal welche Funktion vorliegt).

Laut Definition wird bei einer Funktion jedem x-Wert genau ein bestimmter y-Wert zugeordnet. Für den x-Wert x=0 (y-Achse) kann es also auch nur einen y-Wert geben.

  • Am Schnittpunkt mit der y-Achse ist der x-Wert immer Null.

Bild

Beschäftigen wir uns jetzt aber mit dem Bestimmen von Nullstellen.

Nullstelle berechnen

Um die Nullstelle zu berechnen machen wir uns diesen Teil der Definition zu Nutze:

An der Nullstelle ist der Funktionswert f(x) immer gleich null ().

Zum Berechnen der Nullstelle benötigst du die Funktionsgleichung in der Form .

Auch hier gehst du wieder nach einem Schema vor:

  1. Da f(x) ja Null sein muss, setzt du in die Funktionsgleichung an Stelle von f(x) eine 0 ein.

  2. Danach stellst du die Gleichung nach x um, sodass du eine Lösung der Form x=... bekommst.

Obwohl das Vorgehen grundsätzlich immer nach dem gleichen Schema abläuft, gibt es bei jedem Funktionstypen doch Besonderheiten und weitere Dinge zu beachten.

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form

Nullstelle berechnen Ganzrationale Funktion StudySmarter

Beispiele für bekannte ganzrationale Funktionen sind die lineare Funktion oder die quadratische Funktion.

Schauen wir uns im folgenden anhand von Beispielen an, wie man bei den unterschiedlichen ganzrationalen Funktionen die Nullstellen berechnet.

Nullstelle einer linearen Funktion berechnen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form Nullstelle berechnen lineare Funktion StudySmarter.

Betrachte die Funktion .

1. Schritt: Statt f(x) eine 0 setzen.

2. Schritt: nach x auflösen.

Damit liegt die Nullstelle dieser linearen Funktion bei .

Bild

Der Graph einer linearen Funktion hat im Normalfall genau eine Nullstelle, mit Ausnahme der konstanten Funktionen. Sie sind Parallelen zur x-Achse und haben keinen Schnittpunkt mit der Achse, und damit keine Nullstelle.

Ausnahme der Ausnahme: Die konstante Funktion f(x)=0 ist identisch mit der x-Achse und hat unendlich viele Schnittpunkte.

Nullstelle einer quadratischen Funktion berechnen

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form Nullstelle berechnen quadratische Funktion StudySmarter.

Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Nullstellen zu berechnen. Das Vorgehen ist abhängig davon, wie der Funktionsterm aussieht.

1. Option: Mitternachtsformel

Wenn die Gleichung die allgemeine Form () besitzt, dann wendest du die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstelle an.

Für mehr Hintergründe zur Mitternachtsformel und detaillierte Rechenbeispiele sieh dir den zugehörigen Artikel Mitternachtsformel an.

Setze die Werte für die Koeffizienten a, b und c in die Mitternachtsformel ein

Vereinfache den Term.

Berechne den Term zunächst als Addition und anschließend als Subtraktion.

Bild

2. Option: pq-Formel

Die Gleichung kann auch in der Normalform vorliegen, es steht also vor dem keine Zahl a mehr ().

In diesem Fall verwendest du zur Lösung der Nullstellen die p/q-Formel.

p/q-Formel

Auch zu diesem Thema gibt es einen extra Artikel, den du dir zum besseren Verständnis gerne durchlesen solltest.

Beispiel

Berechnung der Nullstelle

1. Schritt: Setze f(x) gleich Null.

2. Schritt: Setze die entsprechenden Zahlen für p und q mit den richtigen Vorzeichen in die p/q-Formel ein.

3. Schritt: Führe die Rechnung so weit wie möglich durch.

4. Schritt:

Um zu berechnen, führst du jetzt eine Addition durch.

Um wiederum zu bekommen, führst du eine Subtraktion durch.

Die p/q-Formel hat dir also beim Berechnen der Nullstellen geholfen.

Bild

Ganzrationale Funktionen dritten Grades und höher

Beim Lösen von ganzrationalen Funktionen dritten Grades oder höher, gibt es das Problem, dass es keine Lösungsformel zum Berechnen der Nullstellen mehr gibt.

Auf diese Art kannst du ganzrationalen Funktionen trotzdem lösen:

1. Option: Ausklammern

Wenn die Funktion 3. Grades oder höher es hergibt, kann wie bei den ganzrationalen Funktionen ausgeklammert werden.

Wie du dabei genau vorgehst, was du beachten musst und wie das Ganze anhand eines Beispiels aussieht, kannst du im Artikel Nullstellen berechnen Quadratische Funktion nachlesen.

Beispiel

2. Option: Substitution

Sieh dir dazu am besten den Artikel zur Substitution genauer an.

Handelt es sich um eine sogenannten biquadratischen Gleichungen (beispielsweise vierten Grades mit ausschließlich geraden Potenzen von x) kann man diese mithilfe der Substitution in eine quadratische Funktion umwandeln und mit den bekannten Methoden lösen.

Beispiel

3. Option: Polynomdivision

Sieh dir auch zu diesem Thema den Artikel Polynomdivision nochmal genauer an.

Bei der Polynomdivision wird ebenfalls versucht eine beliebige ganzrationale Funktion in ein Produkt mit mehreren Faktoren Umzuwandeln, um dann für jeden Faktor die zugehörige Nullstelle bestimmen zu können.

Sie erinnert eine wenig an das schriftliche Dividieren.

Beispiel

Natürliche Exponentialfunktion

Die E-Funktion selbst besitzt keine Nullstellen. Enthält der Funktionsterm neben e noch weitere Ausdrücke (wie etwa ein Polynom), kann es sein, dass aufgrund dessen doch Nullstellen vorhanden sind. Diese können dann jedoch unabhängig von e berechnet werden.

Bild

Natürliche Logarithmusfunktion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion hat dagegen schon eine Nullstelle.

Der natürliche Logarithmus wird nur für die Zahl 1 zu Null.

Beispiel

Bild

Wurzelfunktion

Um die Nullstellen einer Wurzelfunktion zu berechnen, muss man Folgendes wissen:

Der Wert der Wurzelfunktion wird Null, wenn der Radikant (das was unter der Wurzel steht) gleich Null wird.

Beispiel

Bild

Sinusfunktion

Die Sinusfunktion ist ein Sonderfall, denn sie hat unendlich viele Nullstellen.

Sie ist periodisch und berührt während einer Periode zweimal die x-Achse.

Die einfachste Sinusfunktion , hat also bei Null, bei und so weiter einige ihrer Nullstellen.

Man schreibt das so:

("der x-Wert für die Nullstellen ist Element von allen x-Werten für die gilt ")

Dabei steht k für eine beliebige Ganze Zahl.

Zudem kann der Term am Ende bedingt durch Stauchungen/Streckungen oder Verschiebungen entsprechend verändert werden (zum Beispiel: durch eine Streckung in x-Richtung ( ) und eine Verschiebung um in x-Richtung (-1).

Finales Nullstellen berechnen Quiz

Frage

Wie berechnet man eine Nullstelle?

Antwort anzeigen

Antwort

Man erhält sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt, also f(x) = 0, und diese Gleichung nach x auflöst.

Frage anzeigen

Frage

Welche Verfahren zur Nullstellen Bestimmung gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt drei Wege, wie du die NS berechnen kannst:

  • Mit der quadratischen Ergänzung
  • Mit der Substitution
  • Mit Ausklammern
Frage anzeigen

Frage

Nenne einen anderen Namen für das Newton-Verfahren

Antwort anzeigen

Antwort

Das Newton-Verfahren wird auch Newton Raphson Verfahren genannt. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe was ein Näherungsverfahren ist.  

Antwort anzeigen

Antwort

Näherungsverfahren können angewendet werden, um die Nullstelle einer Funktion näherungsweise zu bestimmen. Die Näherungsverfahren werden auch Iterationsverfahren genannt. Bei diesen Verfahren wird die Nullstelle niemals exakt bestimmt, sondern nur stetig weiter angenähert.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie das Newton-Verfahren funktioniert. 

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Newton Verfahren wird zunächst grob eingeschätzt, in welchem Bereich sich die Nullstelle der Funktion befindet. Dieser Wert wird als Startwert in die Iterationsformel eingesetzt. Als Ergebnis erhält man eine erste Annäherung, die bereits näher an der wahren Nullstelle der Funktion liegt. Dieser Vorgang wird im Iterationsverfahren mehrfach wiederholt, bis sich die Annäherungen nur noch um wenige Nachkommastellen unterscheiden.

Frage anzeigen

Frage

Gliedere die Vorgehensweise beim Newton-Verfahren in fünf Schritte.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Erste Ableitung der Funktion bestimmen
  2. Überlegung, in welchem Bereich sich die Nullstelle der Funktion befindet, z.B. mit Wertetabelle
  3. Wahl des Startwerts x0; dieser wird in die Iterationsvorschrift als xn eingesetzt und daraus der erste Annäherungswert x1 ermittelt
  4. Wiederholung von Schritt 3, bis sich die ersten Nachkommastellen der Annäherungen nur noch kaum unterscheiden 
  5. Überprüfe deine Berechnung durch Einsetzen des errechneten Wertes in die Funktionsgleichung oder durch Zeichnen des Funktionsgraphen
Frage anzeigen

Frage

Stelle die drei möglichen Konsequenzen dar, wenn der gewählte Startwert nicht im Konvergenzbereich der Nullstelle liegt. 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte konvergieren nicht gegen den x-Wert der gesuchten Nullstelle, sondern gegen den x-Wert einer anderen Nullstelle der Funktion
  • Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte divergieren, das heißt sie nähern sich keinen Grenzwert.
  • Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte oszillieren, das heißt sie schwanken unendlich lange innerhalb eines bestimmten Intervalls. 
Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle von linearen Funktionen nicht geeignet ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Im Rahmen des Newton-Verfahrens wird für eine Stelle x jeweils eine lineare Näherungsfunktion ermittelt, die der Funktion an dieser Stelle sehr nahe kommt. Da die lineare Näherungsfunktion einer linearen Funktion der Funktionsgleichung dieser Funktion entspricht, ist dieses Vorgehen wenig sinnvoll. Viel leichter ist es, die Funktionsgleichung einer linearen Funktion direkt im ersten Schritt mit Null gleichzusetzen, um die Nullstelle zu ermitteln. 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob das Newton-Verfahren immer funktioniert.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, das Newton-Verfahren funktioniert nicht immer. Damit das Newton-Verfahren funktionieren kann, ist es wichtig, dass der Startwert nahe genug an der gesuchten Nullstelle, das heißt im Konvergenzbereich, liegt.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

"Wenn eine Funktion mehr als eine Nullstelle hat, kann das Newton-Verfahren nicht angewendet werden."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Das Newton-Verfahren kann dennoch angewendet werden, es müssen nur vor jeder Nullstellungbestimmung Vorüberlegungen gemacht werden, in welchem Bereich sich die jeweils gesuchte Nullstelle befindet, damit der Startwert des Newton-Verfahrens immer im Konvergenzbereich der jeweiligen Nullstelle liegt. 

Frage anzeigen

Frage

Fasse die beiden Möglichkeiten, um zu überprüfen, ob eine Nullstelle richtig bestimmt wurde, kurz zusammen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Überprüfung mithilfe einer grafischen Abbildung der Funktion und ihres Schnittpunkts mit der x-Achse
  2. Überprüfung durch Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung; der y-Wert sollte (ziemlich) genau 0 ergeben 
Frage anzeigen

Frage

Bei einer Nullstelle gerader Ordnung ...

Antwort anzeigen

Antwort

hat der Graph der Funktion keinen Vorzeichenwechsel.

Frage anzeigen

Frage

Bei einer Nullstelle ungerader Ordnung ...

Antwort anzeigen

Antwort

hat der Graph einen Vorzeichenwechsel.

Frage anzeigen
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