\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Du kannst für eine Funktion, unabhängig, ob es lineare Funktionen, quadratische Funktionen oder Funktionen mit einer Wurzel sind, Nullstellen ermitteln. Sie sind auch oftmals Teil einer Kurvendiskussion. In dieser Erklärung erhältst Du einen Überblick, wie Du die Nullstellen einer Funktion berechnen kannst.
Nullstellen berechnen – Formeln & Übersicht
Nullstellen findest Du immer, indem Du die Funktion mit null gleichsetzt und die Gleichung für x löst.
| Funktionstyp | Nullstellen berechnen – Formeln |
| Lineare Funktion | - Ansatz \(f(x) = 0\)
- Auflösen nach x
|
| Quadratische Funktion | |
| Ganzrationale Funktion 3. Grades oder höher | |
| e-Funktion | - Ansatz \(f(x) = 0\)
- Auflösen nach x durch Anwenden der ln-Funktion
|
| Wurzelfunktion | - Ansatz \(f(x) = 0\)
- Radikand 0 setzen
|
Nullstellen berechnen – Ansatz
Berührt oder schneidet eine Funktion an einer Stelle \(x_0\) die x-Achse, so gilt an dieser Stelle \(f(x_0)=0\). Die Stelle \(x_0\) nennt man dann auch Nullstelle.
Um die Nullstellen einer Funktion zu finden, nutzt Du den Ansatz \[f(x) = 0\] oder auch \[y=0\]
Nullstellen berechnen – Lineare Funktion
Lineare Funktionen sind Funktionen der Form \(y = mx+t\). Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Nullstelle dieser Gerade kann berechnet werden, indem die Funktion mit 0 gleichgesetzt wird. \[0=mx + t\]
Vorgehen bei linearen Funktionen:
- Gleichsetzen der Funktion mit 0
- Auflösen nach x
- Das Ergebnis für x ist die Nullstelle
Abb. 1 - Nullstelle für lineare Funktion.
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion \(f(x)=2x-4\). Gleichsetzen mit 0 und auflösen nach x:
\begin{align} 2x-4&=0\\2x&=4\\x&=2\end{align}
Die Nullstelle lautet \(x=2\).
Nullstellen berechnen – Quadratische Funktion (Parabel)
Quadratische Funktionen haben die Form \(y= ax^2+bx +c\). Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel Die Nullstellen einer quadratischen Funktion findest Du, indem Du die Funktion mit 0 gleichsetzt. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen der Funktion.
Die Gleichung kannst Du mit der Mitternachtsformel lösen.
\[\text{Mitternachtsformel:}\quad x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Die Nullstellen der Funktion \(f(x)=x^2-x-12\).
Gleichsetzen mit 0:
\[0=x^2-x-12\]
Anwenden der Mitternachtsformel mit a=1, b=-1 und c = -12:
\begin{align}x_{1/2}&=\frac{1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-12)}}{2\cdot 1}\\&=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}\\&=\frac{1\pm 7}{2}\\\\x_1&=4\\x_2&=-3\end{align}
Nullstellen berechnen – pq-Formel
Die pq-Formel ist eine Methode zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Gleichungen der Form \(x^2+px+q=0\)
Die pq-Formel lautet:
\[x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm{\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}}\]
Anwenden der pq-Formel:
- Schreibe die quadratische Gleichung in die Form \(x^2+px+q=0\)
- Setze p und q in die Formel ein
- Berechne einmal mit „+“ und einmal mit „-“ für Deine zwei Lösungen
Die Nullstellen der Funktion \(f(x)= x^2-x-12\) sollen mit der pq-Formel bestimmt werden.
Gleichsetzen mit 0:
\[0=x^2-x-12\]
Bestimmen von p und q: \[p=-1\]\[q=-12\]
Einsetzen in die Formel:
\begin{align} x_{1/2}&=-\frac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2-(-12)}\\&=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+12}\\&=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}}\\&=\frac{1}{2}\pm\frac{7}{2}\\\\x_1&=4\\x_2&=-3\end{align}
Nullstellen berechnen – Funktion 3. Grades
Die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion mit Grad 3 oder höher ist im Allgemeinen mit der Polynomdivision möglich. Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat die Form:\[f(x)=a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0\]
Die Polynomdivision läuft wie folgt ab:
- Finde eine Nullstelle \(x_0\) durch Ausprobieren
- Teile Deinen Term durch \((x-x_0)\)
- Wiederhole die Prozedur mit dem Ergebnisterm
- Alle Nullstellen, die Du so findest, sind Nullstellen Deines Ausgangspolynoms
Gegen ist die nachfolgende Funktion. Löse hierbei durch Polynomdivision.
\[f(x)=x^3-x^2-4x+4\]
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Du kannst durch Ausprobieren herausfinden, dass für x = 2 die Gleichung zu 0 evaluiert.
\begin{align} 2^3-2^2-4\cdot2+4&=\\8-4-4\cdot 2+4&=\\4-8+&=0 (w)\end{align}
Damit kannst Du die Funktion durch diese Nullstelle teilen:
\begin{array}{ccc}(x^3-x^2&-4x&+4&):(x-2)=x^2+x-2\\-(x^3-2x^2)\\\hline\\x^2&-4x&+4&\\-(x^2&-2x)\\\hline\\ &(-2x&+4)&\\&-(-2x&+4)&\\\hline & & 0&\end{array}
Im nächsten Schritt kannst Du das erhaltene Ergebnis als quadratische Funktion auffassen und die Nullstellen über die pq-Formel oder Mitternachtsformel ermitteln.
\begin{align}x_{1/2}&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot 1}\\&=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}\\x_1&=1\\x_2&=-2\end{align}
Ergebnis für NS: -2, 1, 2
Weitere Informationen findest Du in der Erklärung Polynomdivision und unter Nullstellen ganzrationaler Funktionen / Polynomfunktionen berechnen. Allgemeineres zu den Ganzrationalen Funktionen, auch mit höheren Graden, erfährst Du unter Ganzrationale Funktionen.
Nullstellen berechnen – weitere Beispiele
Auch andere Funktionen haben Nullstellen, für die Du auch noch anderes Wissen benötigst, zum Beispiel über e-Funktionen.
Nullstellen berechnen – e-Funktion
Die e-Funktion allein besitzt keine Nullstellen, da sie entweder positiv oder negativ an die x-Achse herangeht, die x-Achse ist also eine Grenze, die nie überschritten wird. Somit kann es nur Nullstellen geben, wenn die e-Funktion zusätzlich mit einem Faktor verknüpft ist.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion hat dagegen eine Nullstelle. Dieser natürliche Logarithmus wird nur für die Zahl 1 zu Null.
Die Nullstelle für den natürlichen Logarithmus ist wie folgt:
\[ln(1)=0\]
Die Nullstellen einer e-Funktion sind die Nullstellen des jeweiligen Produktes mit der e-Funktion.
Nullstellen berechnen – Wurzelfunktion
Der Wert einer Wurzel ist null, wenn der Radikand (der Wert unter der Wurzel) null ist.
Bestimme die Nullstelle zu folgender Wurzelfunktion:
\[f(x)=\sqrt{3x-6}\]
Um die Nullstelle zu berechnen, nimmst Du nur den Radikand, also den Term unterhalb der Wurzel und setzt ihn gleich 0.
\begin{align} 3x-6&=0\\3x&=6\\x &= 2\end{align}
Die Nullstelle befindet sich also am x-Wert 2.
Abbildung 8: Nullstelle für Wurzelfunktion
Nullstellen berechnen – Aufgaben
Nullstellen berechnen – Aufgabe 1
Im Folgenden sind Dir eine lineare und eine quadratische Funktion gegeben. Berechne hierzu die Nullstellen.
a) \(f(x) = \frac{1}{2}x+4\)
b) \(g(x)=x^2+4x+3\)
Lösung
a)
Schau Dir zuerst die erste Funktion an. Dabei setzt Du immer diese Funktionen gleich 0. Also gehe zum Beispiel wie folgt vor:
\begin{align}\frac{1}{2}x+4&=0\\\frac{1}{2}x&=-4\\x&=-8\end{align}
Das bedeutet, die Nullstelle befindet sich bei -8.
b)
Für die zweite Funktion kannst Du sofort die pq-Formel anwenden, da es keinen Faktor a vor \(x^2\) gibt.
\begin{align}x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\&=-2\pm\sqrt{4-3}\\&=-2\pm 1 \\x_1&=-3\\x_2&=-1\end{align}
Die Nullstellen befinden sich bei den x-Werten -1 und -3.
Nullstellen berechnen – Aufgabe 2
Berechne die Nullstellen zu folgenden Funktionen:
a) \(f(x) =2x^3+5x^2+2x\)
b) \(g(x) = \sqrt{2x+5}\)
Lösung
a)
In diesem Fall kannst Du zuvor ausklammern, wobei Du dann einen Faktor und eine quadratische Funktion als zweiten Faktor hast, die Du dann durch die pq-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst.
\begin{align}0&=2x^3+5x^2+2x\\0&=2x(x^2+2{,}5x+1)\end{align}
Der erste Faktor wird 0, wenn der x-Wert gleich 0 ist. Das ist bereits die erste NS.
Nun kannst Du die Mitternachtsformel anwenden.
\begin{align}x_{1/2}&=\frac{-2{,}5\pm\sqrt{2{,}5^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\\&=\frac{-2{,}5\pm \sqrt{2{,}25}}{2}\\x_2&=-0{,}5\\x_3&=-2\end{align}
Insgesamt gibt es also Nullstellen bei den x-Werten -2; -0,5; 0.
b)
Für die zweite Funktion siehst Du Dir nur den Radikand unterhalb der Wurzel an und setzt ihn gleich 0.
\begin{align} 2x+5&=0\\2x&=-5\\x&=-\frac{5}{2}\end{align}
Die Nullstelle befindet sich also bei \(-\frac{5}{2}\).
Nullstellen berechnen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Nullstellen für eine Funktion sind die Punkte, an dem die Funktion die x-Achse schneidet. Es gilt also \(f(x)=0\).
- Nullstellen berechnest Du, indem Du die Funktion gleich 0 setzt.
- Bei Parabeln, bzw. quadratischen Funktionen benötigst Du oftmals die Mitternachtsformel oder die pq-Formel zum Lösen.
- Bei Ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher benötigst Du andere Methoden, zum Beispiel die Polynomdivision.
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