Das Allgemeine Zählprinzip, manchmal auch Produktregel der Kombinatorik genannt, beschreibt die grundlegende Überlegung, auf welche Weise sich die Anzahl von Kombinationen bei Vorgängen der Kombinatorik berechnen lässt. Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.
Die Regel
Die Frage, die sich in der Kombinatorik stellt, ist, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, Dinge auf unterschiedliche Weise miteinander zu kombinieren. Dem zugrunde liegt die Produktregel der Kombinatorik:
Du möchtest herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus k unterschiedlichen Mengen
eine Kombination mit jeweils einem Element aus jeder Menge zu erzeugen. Diese Kombinationen werden k-Tupel genannt und werden mit (
) notiert. Jeder der k Mengen sind 
Elemente zugeordnet.
Die Anzahl der k-Tupel berechnet sich, indem die Elemente 
aller k Mengen miteinander multipliziert werden:
Übrigens: Ein k-Tupel kann auch mehrere gleiche Elemente enthalten und im Unterschied zu einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente in dem k-Tupel entscheidend. Denn das Element, dass an erster Stelle im Tupel steht ist ein Element der Menge 
.
Jetzt, wo du die Theorie kennst, veranschaulichen wir das Allgemeine Zählprinzip mal an einem Beispiel!
Beispielaufgabe zum Allgemeinen Zählprinzip
In einem Klamottengeschäft gibt es seit neuestem die Möglichkeit, personalisierte T-Shirts zu bestellen. Dabei können Kunden sich unter mehreren Optionen bezüglich Form, Farbe und Aufdruck der T-Shirts für jeweils eines entscheiden.
Frage: Wie viele unterschiedliche Form-Farbe-Aufdruck Kombinationen lassen sich auf diese Weise erstellen?
Ganz einfach: Die Menge 
: „Form“ enthält 2 Elemente, also entspricht 
. Dasselbe notierst du für die anderen beiden Mengen und erhältst: 
und 
. Alles zusammen setzt du dann in die Formel ein:
Super! Der Klamottenladen kann also 24 unterschiedliche T-Shirts mit diesem Konzept anbieten. Eines davon könnte so aussehen:
Das dazugehörige 3-Tupel könnte dann lauten: (langarm, grün, ok).
Wichtig: Das Tupel könnte nicht (grün, langarm, ok) lauten, denn „grün“ ist kein Element der Menge 
= Form und „langarm“ ist kein Element der Menge 
= Farbe.
Übungsaufgaben zum Allgemeinen Zählprinzip
Damit du ein bisschen Übung im Berechnen von Kombinationsmöglichkeiten bekommst, siehst du hier zwei Übungsaufgaben, die du für dich lösen kannst. Unten siehst du dann die Lösung!
- In deinem Kleiderschrank befinden sich 5 Hosen, 2 Gürtel und 6 Paar Socken (mit unterschiedlichen Farben). Wie viele unterschiedliche Hose-Gürtel-Socken-Kombinationen kannst du mit diesen Sachen zusammenstellen?
- Im Gemüseladen um die Ecke werden neuerdings Smoothies angeboten. Für 5€ kann der Kunde sich zwischen 3 verschiedenen Obst-Sorten und 4 verschiedenen Nusssorten entscheiden. Der Smoothie enthält dann 1x Obst, 1x Nüsse und wird entweder mit Soja-Milch, Milch oder Wasser gemixt. Wie viele Smoothies könntest du maximal bestellen, wenn du jedes Mal einen anderen bestellst?
Lösungen
- Die Mengen
= „Hosen“, 
= „Gürtel“ und 
= „Socken“ enthalten 
Elemente. Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten entspricht:
- Die Mengen
= „Obst“, 
= „Nüsse“ und 
= „Flüssigkeit“ enthalten 
Elemente. Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten entspricht:
Allgemeine Zählprinzipien - Alles Wichtige auf einen Blick
- Das allgemeine Zählprinzip wird auch Produktregel der Kombinatorik genannt.
- Zentrale Fragestellung: Wie lässt sich die Kombinationsanzahl von Elementen verschiedener Mengen miteinander berechnen?
- Das Prinzip wird in der Kombinatorik eingesetzt und die einzelnen Anordnungsmöglichkeiten bei Permutationen, Variationen und Kombinationen zu bestimmen.
- Die Anzahl der Möglichkeiten berechnet sich aus der Summe der Anzahl der Elemente der unterschiedlichen Mengen.
Unsere Empfehlung
Versuche, dir dieses Prinzip bildlich vor Augen zu führen, bevor du dich mit den Themen der Kombinatorik befasst. So kannst du die dort behandelten Sachverhalte viel besser einordnen und nachvollziehen. Es lohnt sich außerdem, die Formel zur Berechnung der Möglichkeiten auswendig zu lernen.
Die Tupel-Anzahl lässt sich auch durch die Erstellung eines Baumdiagramms darstellen.
Insider Tipp:
Lass dich nicht verwirren! Häufig stellen Lehrer oder Professoren Aufgaben, in denen unwichtige aber ablenkende Informationen vorkommen! Sei darauf vorbereitet, damit du nicht auf die falsche Spur geführt wirst.
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