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Das Allgemeine Zählprinzip, manchmal auch Produktregel der Kombinatorik genannt, beschreibt die grundlegende Überlegung, auf welche Weise sich die Anzahl von Kombinationen bei Vorgängen der Kombinatorik berechnen lässt. Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik. Die Frage, die sich in der Kombinatorik stellt, ist, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, Dinge auf unterschiedliche Weise miteinander zu kombinieren. Dem zugrunde…
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Jetzt kostenlos anmeldenDas Allgemeine Zählprinzip, manchmal auch Produktregel der Kombinatorik genannt, beschreibt die grundlegende Überlegung, auf welche Weise sich die Anzahl von Kombinationen bei Vorgängen der Kombinatorik berechnen lässt. Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.
Die Frage, die sich in der Kombinatorik stellt, ist, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, Dinge auf unterschiedliche Weise miteinander zu kombinieren. Dem zugrunde liegt die Produktregel der Kombinatorik:
Du möchtest herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus k unterschiedlichen Mengeneine Kombination mit jeweils einem Element aus jeder Menge zu erzeugen. Diese Kombinationen werden k-Tupel genannt und werden mit (
) notiert. Jeder der k Mengen sind
Elemente zugeordnet.
Die Anzahl der k-Tupel berechnet sich, indem die Elemente aller k Mengen miteinander multipliziert werden:
Übrigens: Ein k-Tupel kann auch mehrere gleiche Elemente enthalten und im Unterschied zu einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente in dem k-Tupel entscheidend. Denn das Element, dass an erster Stelle im Tupel steht ist ein Element der Menge .
Jetzt, wo du die Theorie kennst, veranschaulichen wir das Allgemeine Zählprinzip mal an einem Beispiel!
In einem Klamottengeschäft gibt es seit neuestem die Möglichkeit, personalisierte T-Shirts zu bestellen. Dabei können Kunden sich unter mehreren Optionen bezüglich Form, Farbe und Aufdruck der T-Shirts für jeweils eines entscheiden.
Frage: Wie viele unterschiedliche Form-Farbe-Aufdruck Kombinationen lassen sich auf diese Weise erstellen?
Ganz einfach: Die Menge : „Form“ enthält 2 Elemente, also entspricht
. Dasselbe notierst du für die anderen beiden Mengen und erhältst:
und
. Alles zusammen setzt du dann in die Formel ein:
Super! Der Klamottenladen kann also 24 unterschiedliche T-Shirts mit diesem Konzept anbieten. Eines davon könnte so aussehen:
Das dazugehörige 3-Tupel könnte dann lauten: (langarm, grün, ok).
Wichtig: Das Tupel könnte nicht (grün, langarm, ok) lauten, denn „grün“ ist kein Element der Menge = Form und „langarm“ ist kein Element der Menge
= Farbe.
Damit du ein bisschen Übung im Berechnen von Kombinationsmöglichkeiten bekommst, siehst du hier zwei Übungsaufgaben, die du für dich lösen kannst. Unten siehst du dann die Lösung!
Versuche, dir dieses Prinzip bildlich vor Augen zu führen, bevor du dich mit den Themen der Kombinatorik befasst. So kannst du die dort behandelten Sachverhalte viel besser einordnen und nachvollziehen. Es lohnt sich außerdem, die Formel zur Berechnung der Möglichkeiten auswendig zu lernen.
Die Tupel-Anzahl lässt sich auch durch die Erstellung eines Baumdiagramms darstellen.
Lass dich nicht verwirren! Häufig stellen Lehrer oder Professoren Aufgaben, in denen unwichtige aber ablenkende Informationen vorkommen! Sei darauf vorbereitet, damit du nicht auf die falsche Spur geführt wirst.
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