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Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Stell Dir vor, Du schnippst eine Münze ein paar Mal nach oben und lässt sie auf einen Tisch fallen. Jedes Mal wird bei der Münze die Zahl-Seite oder die Kopf-Seite nach oben schauen.

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Binomialverteilung StudySmarter

Hast Du Dich schon mal gefragt, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an Kopf oder Zahl zu werfen, wenn Du die Münze mehrfach wirfst? Und wie wahrscheinlich es ist, genau diese bestimmte Anzahl an Kopf oder Zahl bei diesen Würfen zu erzielen? Diese Fragen kannst Du mit dem Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung beantworten, in der der Binomialkoeffizient einen bedeutenden Teil ausmacht. Wie genau, lernst Du in dieser Erklärung kennen.

Binomialkoeffizient – Binomialverteilung

Der Binomialkoeffizient spielt als Koeffizient in der Binomialverteilung eine Rolle, worauf auch sein Name zurückzuführen ist. In dieser Erklärung lernst Du den Binomialkoeffizienten sowie seine Anwendung in der Binomialverteilung kennen.

Die Binomialverteilung gehört zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ein binomialverteiltes Zufallsexperiment entsteht durch n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments, einem Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen.

Die Binomialverteilung gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit P ist, k Erfolge bei der n-fachen Wiederholung eines Bernoulli Experiments zu erzielen. Es gibt nur zwei mögliche Ereignisse – Erfolg oder kein Erfolg.

Die Formel für die Binomialverteilung lautet:

Die einzelnen Komponenten werden wie folgt benannt:

  • n: Anzahl der Versuche
  • k: Anzahl der erfolgreichen Versuche
  • n – k: Anzahl der nicht erfolgreichen Versuche
  • p: Wahrscheinlichkeit für erfolgreichen Versuch
  • 1 – p: Wahrscheinlichkeit für nicht erfolgreichen Versuch
  • : Binomialkoeffizient von n über k

Wenn Du n, k und p gegeben hast, kannst Du somit die Binomialverteilung berechnen. Damit Du Dir das Einsetzen von Zahlenwerten in diese Formel vorstellen kannst, schau Dir das Beispiel an:

Denke an das Beispiel aus der Einleitung mit dem Münzwurf. Auf der einen Seite der Münze befindet sich der Kopf und auf der anderen Seite ist die Zahl. Wenn Du die Münze wirfst und auf eine Seite fallen lässt, hast Du somit zwei mögliche Ereignisse: Kopf oder Zahl.

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Binomialverteilung StudySmarterAbbildung 1: zwei mögliche Ereignisse bei Münzwurf

Du überlegst Dir, wie hoch wohl die Wahrscheinlichkeit ist, dreimal Zahl zu werfen, wenn Du die Münze fünfmal wirfst.

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Binomialverteilung StudySmarterAbbildung 2: dreimal Zahl bei fünf Würfen

In diesem Beispiel gilt:

  • n=5
  • k=3

Die Wahrscheinlichkeit p, bei einem Wurf Zahl zu werfen, ist dabei 0,5. Dafür kannst Du die Formel für die Binomialverteilung heranziehen:

Für die Berechnung der Binomialverteilung mit der Formel ist nun aber die Kenntnis des Binomialkoeffizienten relevant. Was dieser ist und was seine Bedeutung in der Binomialverteilung ist, lernst Du in den folgenden Abschnitten kennen.

Binomialkoeffizient Definition

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, die unter anderem als Faktor in der Binomialverteilung auftritt. Auch in anderen Bereichen in der Stochastik, wie der Kombinatorik, findet er Anwendung.

Bei der Binomialverteilung berechnet der Binomialkoeffizient die verschiedenen Anordnungen, in welchen die Ereignisse auftreten können. Genauer gesagt wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt k Erfolge bei der n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments zu erzielen.

Der Binomialkoeffizient wird wie folgt geschrieben:

Gesprochen heißt das „n über k“ oder „k aus n“.

Dabei ist die Reihenfolge, in der die Erfolge erzielt werden, nicht relevant.

Denkst Du an das Beispiel vom Münzwurf zurück, so wolltest Du wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dreimal Zahl zu werfen, wenn Du die Münze fünfmal wirfst. Dabei ist die Reihenfolge, in der Du dreimal Zahl wirfst, irrelevant. Du kannst z. B. erst Kopf, dann zweimal Zahl, dann Kopf und dann Zahl werfen. Oder Du wirfst einmal Zahl, einmal Kopf, zweimal Zahl und einmal Kopf. Es ist nur relevant, dass Du insgesamt dreimal der fünf Male Zahl wirfst.

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Definition StudySmarterAbbildung 3: Möglichkeiten dreimal Zahl zu werfen

Der Binomialkoeffizient gibt dann an, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, 3 Erfolge (Zahl) bei der 5-fachen Wiederholung des Münzwurfs zu erzielen.

Um die Anzahl der Möglichkeiten auszurechnen und in der Binomialverteilung nutzen zu können, gibt es eine Formel, die Du anwenden kannst.

Binomialkoeffizient Formel

Da der Binomialkoeffizient eine mathematische Funktion ist, steckt hinter dem Ausdruck mehr als nur eine Klammer und zwei Buchstaben, bzw. Zahlen übereinander.

Die Formel des Binomialkoeffizienten lautet:

Der Binomialkoeffizient setzt sich also zusammen aus der Fakultät von n, geteilt durch die Fakultät von k, multipliziert mit der Fakultät von .

Zur Erinnerung: gesprochen „n Fakultät“ ist die Abkürzung für das Produkt aller natürlichen Zahlen, angefangen bei n, bis zu 1:

Mithilfe der Formel kannst Du jetzt die verschiedenen Anordnungen, in welchen die Ereignisse auftreten können, berechnen.

Binomialkoeffizient berechnen

Damit Du den Binomialkoeffizienten berechnen kannst, musst Du k und n gegeben haben. Das heißt, Du musst wissen, wie viele Erfolge k erzielt werden sollen und wie viele Wiederholungen des Experiments durchgeführt werden. Um den Binomialkoeffizienten zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ohne Taschenrechner oder unter Verwendung eines Taschenrechners.

Binomialkoeffizient ohne Taschenrechner

Um den Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner zu berechnen, wendest Du die Formel an, die Du gerade gelernt hast:

Dafür kannst Du Dir das Beispiel mit dem Münzwurf weiter ansehen:

Bei Deinem Münzwurf war die Anzahl der Erfolge k, die erzielt werden sollen, 3 und der Münzwurf sollte 5-fach ausgeführt werden.

Das heißt, es gilt:

Diese Werte setzt Du in Deine Formel ein:

Es gibt somit 10 Möglichkeiten dreimal Zahl zu werfen, wenn Du die Münze fünfmal wirfst.

Diesen Wert kannst Du dann weiter in die Formel für die Binomialverteilung einsetzen.

Binomialkoeffizient Taschenrechner

Wenn Du einen Taschenrechner benutzen darfst, kannst Du Deine Rechnung mit einer Tastenkombination verkürzen und musst nicht die ganze Formel in den Taschenrechner eintippen. Bei der Anwendung des Binomialkoeffizienten in der Binomialverteilung kann dies von Vorteil sein, um Tippfehler zu vermeiden, da die Formel für die Binomialverteilung an sich ohnehin schon aus mehreren Faktoren besteht.

Im Taschenrechner kannst Du für die Berechnung des Binomialkoeffizienten die Taste mit dem Zeichen „nCR“ benutzen.

Das C steht hierbei für „combinations“ (Kombinationen) oder auch „choices“ (Auswahlmöglichkeiten).

Zur Anwendung tippst Du zuerst die obere Zahl Deines Binomialkoeffizienten, also n, ein und drückst dann auf die Taste „nCr“. Auf Deinem Display sollte dann ein „C“ nach Deiner Zahl für n stehen. Nun tippst Du noch die untere Zahl, Dein k, ein und drückst „=“.

überträgst Du beispielsweise wie folgt in den Taschenrechner: erst drückst Du 5, dann nCR und anschließend die 3.

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient TaschenrechnerAbbildung 4: Eingabe Binomialkoeffizient im Taschenrechner

Als Ergebnis erhältst Du 10, das gleiche Ergebnis wie unter Benutzung der Formel.

Je nachdem, ob Du einen Taschenrechner benutzen darfst oder nicht, wendest Du die entsprechende Rechenweise an.

Binomialkoeffizient Beweis

Wenn Du nun beweisen möchtest, ob Dein Binomialkoeffizient stimmt, kannst Du Dir die Möglichkeiten aufschreiben, die es gibt, k Erfolge bei der n-fachen Wiederholung Deines Bernoulli Experiments zu erhalten.

Für Deinen 5-fachen Münzwurf hast Du 10 Möglichkeiten berechnet, dreimal Zahl zu werfen. Zum Beweis Deines Binomialkoeffizienten schreibst Du Dir Deine möglichen Kombinationen auf, wie in Abbildung 4 zu sehen.

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Beweis StudySmarterAbbildung 5: Möglichkeiten dreimal Zahl bei einem 5-fachen Münzwurf zu erhalten

Du hast somit 10 Möglichkeiten dreimal Zahl zu werfen, wenn Du 5 Münzwürfe durchführst. Damit konntest Du Deinen Binomialkoeffizienten beweisen.

Anwendung in Binomialverteilung

Wenn Du jetzt die Binomialverteilung, also die Wahrscheinlichkeit P berechnen willst, k Erfolge bei der n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments zu erzielen, kannst Du den berechneten Binomialkoeffizienten in Deine Formel einsetzen.

Die Formel für die Binomialverteilung lautet nach Einsetzen der Formel für den Binomialkoeffizienten:

Zur Anwendung kannst Du Dir das Beispiel mit dem Münzwurf weiter ansehen:

Wenn Du nun den Binomialkoeffizienten einsetzt, kannst Du berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dreimal Zahl zu werfen, wenn Du die Münze fünfmal wirfst:

Somit ist die Wahrscheinlichkeit P genau dreimal Zahl zu werfen, wenn Du den Münzwurf 5 Mal durchführst 31,25 %.

Binomialkoeffizient Herleitung

Die Formel des Binomialkoeffizienten hast Du in den bisherigen Abschnitten kennengelernt. Worauf die Formel zurückzuführen ist, lernst Du in diesem Abschnitt kennen.

Du hast bereits gelernt: Bei der Binomialverteilung berechnet der Binomialkoeffizient wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt k Erfolge bei der n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments erzielen.

Insgesamt hast Du n Versuche, also n-Wiederholungen des Experiments. Wenn Du genau k Erfolge erzielen willst, gibt es im ersten Versuch noch genau n Möglichkeiten, dass ein Erfolg eintritt. Im zweiten Versuch gibt es dann nur noch Möglichkeiten, bis hin zuMöglichkeiten für den n-ten Versuch.

Die Anzahl aller so zusammengestellten Möglichkeiten ist also das Produkt

von k Faktoren, das sich mithilfe der Fakultät auch als

schreiben lässt.

Allerdings sind so manche Möglichkeiten mehrfach enthalten. Die Zahl der mehrfach enthaltenen Möglichkeiten musst Du raus rechen. Dies machst Du, indem Du die Zahl aller Möglichkeiten für einen Erfolg durch die Zahl der Möglichkeiten der Umsortierung der Erfolge teilst.

Es gibt genau , also Möglichkeiten der Umsortierung.

Diese Überlegungen zum Binomialkoeffizienten kannst Du in Abbildung 5 noch einmal sehen.

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Herleitung StudySmarterAbbildung 6: Binomialkoeffizient Herleitung

Nach der Division durch die Möglichkeiten der Umsortierung der Erfolge ergibt sich die Formel für den Binomialkoeffizienten:

Somit hast Du Dir den Binomialkoeffizienten hergeleitet.

Binomialkoeffizient Rechenregeln

Um mit dem Binomialkoeffizienten rechnen zu können, gibt es einige Regeln, die zu beachten sind. Sie können Dir helfen, die Berechnung zu verstehen. Die Rechenregeln gelten für .

RegelBegründung/BeweisBeispiel
Es können nicht mehr Erfolge k erzielt werden, als Experimente durchgeführt werden.Es ist nicht möglich, 6 Mal Zahl bei 5 Münzwürfen zu erzielen.
, weshalb keine negativen Ergebnisse herauskommen können.
Zudem gilt immer: , weshalb auch für gilt:
Wenn ein Bernoulli-Experiment n-Mal durchgeführt wird, gibt es immer mindestens eine Möglichkeit, k Erfolge zu erzielen, da es immer genau zwei Ereignisse gibt und eins davon immer eintreten wird.
Wenn 5 Mal Zahl bei 5 Münzwürfen erzielt werden soll, so gibt es genau eine Anordnung: Kopf, Kopf, Kopf, Kopf, Kopf.
Wenn 0 Mal Zahl bei 5 Münzwürfen erzielt werden soll, so gibt es genau eine Anordnung: Zahl, Zahl, Zahl, Zahl, Zahl.

Binomialkoeffizient Beispiel

Der Binomialkoeffizient findet bei vielen weiteren Experimenten Anwendung. Dafür kannst Du Dir im Folgenden ein weiteres Beispiel ansehen.

Stell Dir vor, Du machst ein Praktikum in einer Firma, die Geodreiecke produziert. Die Fertigung der Geodreiecke läuft gleichbleibend mit einem Ausschussanteil von . Du bist für die Qualitätskontrolle zuständig und sollst eine Stichprobe von 10 Geodreiecken nehmen. Jedes Geodreieck kann entweder defekt oder gut sein.

Dabei möchte Dein Vorgesetzter wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass Du aus der Stichprobe genau 2 defekte Geodreiecke ziehst und wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau 2 defekte Geodreiecke enthalten sind. Das Ziehen eines defekten Geodreiecks wäre somit ein Erfolgsereignis.

Gegeben ist:

  • p=0,05

Du kannst nun als Erstes berechnen, wie viele Möglichkeiten, es gibt, dass Du aus der Stichprobe genau 2 defekte Geodreiecke ziehst. Dafür benutzt Du den Binomialkoeffizienten:

Somit gibt es 45 Möglichkeiten, dass Du aus der Stichprobe genau 2 defekte Geodreiecke ziehst.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass genau 2 defekte Geodreiecke enthalten sind, setzt Du die Werte in die Formel für die Binomialverteilung ein:

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 2 defekte Geodreiecke enthalten sind, liegt somit bei 7,5 %.

Binomialkoeffizient Aufgaben

Zur Übung der Anwendung des Binomialkoeffizienten hast Du im Folgenden ein paar Aufgaben, die Du rechnen kannst.

Aufgabe 1

Berechne den Binomialkoeffizienten .

Lösung

Um den Binomialkoeffizienten berechnen zu können, wendest Du die gelernte Formel an:

In dieser Aufgabe gilt:

Diese Werte setzte Du in die Formel ein:

Aufgabe 2

Berechne den Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner.

Lösung

Im Taschenrechner kannst Du die Taste mit dem Zeichen „nCr“ benutzen. Zur Anwendung tippst Du zuerst die obere Zahl Deines Binomialkoeffizienten, also hier 90, ein und drückst dann auf die Taste „nCr“: Auf Deinem Display sollte dann ein „C“ nach Deiner 90 stehen. Nun tippst Du noch die untere Zahl, hier 41, ein und drückst „“:

Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Taschenrechner StudySmarterAbbildung 7: Binomialkoeffizient Taschenrechner

Aufgabe 3

Du bist auf einer Kirmes und möchtest am Glücksrad drehen. Dieses ist in 6 gleich große Teile aufgeteilt und genau ein Teil davon ist ein Gewinn, das heißt . Du kaufst Dir 8 Tickets, um 8 Mal zu drehen. Wenn Du von genau 4 aus 8 Mal drehen einen Gewinn erzielst, kannst bekommst Du ein Spiel, dass Dir gefällt. Du willst davor wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 Gewinne aus 8 Mal Drehen zu erzielen und wie groß eigentlich die Wahrscheinlichkeit P ist, dass Du genau 4 Gewinne bei 8 Mal drehen erzielst. Wie lautet die Lösung der beiden Fragen?

Lösung

Für die Beantwortung der Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 Gewinne aus 8 Mal Drehen zu erzielen, berechnest Du den Binomialkoeffizient .

Um den Binomialkoeffizienten berechnen zu können, wendest Du die gelernte Formel an:

In dieser Aufgabe gilt:

Diese Werte setzte Du in die Formel ein:

Somit gibt es 70 Möglichkeiten 4 Gewinne aus 8 Mal Drehen zu erzielen.

Für die Beantwortung der Frage, wie groß eigentlich die Wahrscheinlichkeit P ist, dass Du genau 4 Gewinne bei 8 Mal drehen erzielst, setzt Du die gegebenen Werte und den berechneten Binomialkoeffizienten in die Formel für die Binomialverteilung ein:

Die Wahrscheinlichkeit P genau 4 Gewinne bei 8 Mal drehen zu erzielen, ist somit bei 2,6 %.

Binomialkoeffizient – Das Wichtigste

  • Die Binomialverteilung gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit P ist, k Erfolge bei der n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments erzielen. Es gibt nur zwei mögliche Ereignisse – Erfolg oder kein Erfolg.
  • Die Formel für die Binomialverteilung lautet:
  • Bei der Binomialverteilung berechnet der Binomialkoeffizient wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt k Erfolge bei der n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments erzielen.
  • Die Formel des Binomialkoeffizienten lautet:
  • Beim Rechnen mit dem Binomialkoeffizienten gelten einige Rechenregeln für :
    1. ,

Nachweise

  1. Keller (2021). Fakultät, Binomialkoeffizient und endliche Summen. In: Aufgaben und Lösungen zur Mathematik für den Studienstart. Springer Spektrum.
  2. Behrends (2013). Die Binomialverteilung. In: Elementare Stochastik. Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient von n über k gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Erfolge bei der n-fachen Wiederholung eines Bernoulli Experiments zu erzielen. 

Mit dem Binomialkoeffizienten kann berechnet werden, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus einer Menge n zu wählen. 

Der Binomialkoeffizient wird bei der Berechnung der Möglichkeiten verwendet, k Objekte, aus einer Menge n zu wählen. Er findet in der Binomialverteilung als Koeffizient Anwendung und wird dafür genutzt.

Der Binomialkoeffizient kann nicht 0 werden, da die Fakultät einer Zahl nie 0 werden kann.

Finales Binomialkoeffizient Quiz

Frage

Was gibt die Binomialverteilung an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Binomialverteilung gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit P ist, k Erfolge bei der n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments erzielen. Es gibt nur zwei mögliche Ereignisse – Erfolg oder kein Erfolg

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel der Binomialverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel für die Binomialverteilung lautet:


 

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedeutung hat der Binomialkoeffizient in der Binomialverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Binomialverteilung berechnet der Binomialkoeffizient wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt k Erfolge bei der n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments erzielen.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Binomialkoeffizient beschrieben?

Antwort anzeigen

Antwort

n über k

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für den Binomialkoeffizienten?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel lautet:



Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest Du den Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner?

Antwort anzeigen

Antwort

Im Taschenrechner kannst Du für die Berechnung des Binomialkoeffizienten  die Taste mit dem Zeichen „nCR“ benutzen. 

Frage anzeigen

Frage

Begründe die Rechenregel .

Antwort anzeigen

Antwort

Die Begründung lautet:



Frage anzeigen

Frage

Begründe die Rechenregel .

Antwort anzeigen

Antwort

Die Begründung lautet:



Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Binomialkoeffizient ?

Antwort anzeigen

Antwort

7

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Binomialkoeffizient .

Antwort anzeigen

Antwort

Die Lösung lautet:



Frage anzeigen

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