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Kombinatorik

Kombinatorik

Mithilfe der Kombinatorik kannst Du in der Stochastik beispielsweise herausfinden, wie viele unterschiedliche Anordnungen Du mit \(8\) verschiedenen Bonbons bilden kannst. Dabei lässt sich das händische Abzählen von Möglichkeiten durch Kombinatorik Formeln ersetzen. In dieser Erklärung findest Du sowohl eine Definition und Erklärung der Kombinatorik, als auch eine Übersicht der einzelnen Abzählmethoden in einer Kombinatorik Tabelle. Am Ende kannst Du Dein Wissen zur Kombinatorik direkt noch an Aufgaben mit Lösungen testen.

Stochastik Kombinatorik – Kombinatorik Erklärung

Wie viele mögliche Anordnungen kannst Du denn mit \(8\) verschiedenfarbigen Bonbons bilden?

Um das herauszufinden, können alle \(8\) Bonbons beispielsweise so oft neu angeordnet werden, bis sich schließlich alle Möglichkeiten ermitteln lassen.

Eine Zusammenfassung von \(n\) Objekten in einer bestimmten Reihenfolge wird als \(n\)-Tupel bezeichnet. So ist die Anordnung \(({\color{#00DCB4}grün},\, {\color{#FA3273}rot},\, {\color{#8363E2}lila})\) ein Beispiel für ein \(3\)-Tupel aus verschiedenen Farben.

Um das händische Abzählen zu umgehen, kannst Du Dich in der Kombinatorik verschiedener Hilfsmittel bedienen.

Kombinatorik Definition

Mithilfe der Kombinatorik kannst Du verschiedene Abzählmethoden unterscheiden und sogar durch Formeln die entsprechende Anzahl an Möglichkeiten ermitteln.

Durch Urnenmodelle lassen sich Auswahlprozesse gedanklich veranschaulichen. Dabei werden Kugeln aus einer Urne entnommen und so als Zufallsexperiment simuliert.

Allgemein kann zusammengefasst werden:

Die Kombinatorik als Teilgebiet der Stochastik beschäftigt sich mit unterschiedlichen Abzählmethoden und der Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten. Dabei wird zwischen Permutationen, Kombinationen und Variationen unterschieden.

Wie sich aus der Definition entnehmen lässt, begegnen Dir in der Kombinatorik im Allgemeinen drei verschiedene Abzählmethoden:

  • Permutation
  • Kombinationen
  • Variation

Aber was genau unterscheidet diese Abzählmethoden voneinander und welche Formeln kannst Du dazu nutzen? Im nächsten Abschnitt findest Du eine Übersicht über all diese Auswahlprozesse.

Kombinatorik Übersicht

Es wird dabei nicht nur zwischen den drei Abzählmethoden Permutation, Variation und Kombination unterschieden, sondern noch weiter sortiert zwischen „ohne Wiederholung“ und „mit Wiederholung“. Dadurch ergeben sich:

  • Permutation ohne Wiederholung
  • Permutation mit Wiederholung
  • Variation ohne Wiederholung
  • Variation mit Wiederholung
  • Kombination ohne Wiederholung
  • Kombination mit Wiederholung

In den einzelnen Erklärungen findest Du alle Informationen und Eigenschaften dieser Abzählmethoden.

Um die Unterscheidung besser nachvollziehen zu können, zunächst ein kleines Beispiel.

In einem Gefäß befinden sich \(14\) Bonbons, die zur Ermittlung von Abzählmethoden verwendet werden.

Zu bestimmen ist die Abzählmethode, wenn ...

\(a)\) ... nacheinander alle \(14\) Bonbons aus dem Gefäß entnommen und in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet werden, wobei alle \(14\) Bonbons voneinander unterscheidbar sind.

\(b)\) ... nacheinander \(5\) Bonbons aus dem Gefäß entnommen werden, wobei das gezogene Bonbon nach jedem Zug wieder zurück in das Gefäß gelegt wird. Hierbei spielt die Reihenfolge der Bonbons keine Rolle.

Lösung

\(a)\) Wenn alle \(n=14\) Bonbons entnommen werden, handelt es sich um eine Permutation. Da alle Süßigkeiten voneinander unterscheidbar sind, tritt kein Element mehrfach auf und es muss eine Permutation ohne Wiederholung sein.

\(b)\) Es werden hier lediglich \(k=5\) Bonbons entnommen, also eine Stichprobe. Somit kann es nur eine Variation oder Kombination sein. Da die Reihenfolge aber keine Rolle spielt, handelt es sich um eine Kombination. Durch das Zurücklegen der Bonbons nach jedem Zug kann jedes Bonbon erneut gezogen werden. In diesem Fall lässt sich die Abzählmethode Kombination mit Wiederholung ermitteln.

Zusammengefasst kannst Du Dich also bei der Frage nach der Abzählmethode an folgenden Fragen orientieren:

  • Werden alle \(n\) Elemente aus einer Menge mit \(n\) Objekten genutzt oder nur eine Auswahl \(k\)?
  • Ist die Reihenfolge von Bedeutung oder nicht?
  • Darf ein Element mehrfach vorkommen oder nicht?

Hast Du die entsprechende Abzählmethode ermittelt, so gibt sie aber noch keinen Aufschluss über die Anzahl der Permutationen, Kombinationen oder Variationen. Im nächsten Abschnitt kannst Du anhand einer Tabelle die verschiedenen Formeln nachschlagen.

Kombinatorik Tabelle – Kombinatorik Formeln

Um die Anzahlen der Abzählmethoden rechnerisch ermitteln zu können, lassen sich aus dem sogenannten allgemeinen Zählprinzip verschiedene Formeln ableiten.

In der Erklärung „Produktregel Kombinatorik“ kannst Du alles rund um das allgemeine Zählprinzip nachlesen.

Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir eine kurze Übersicht über die entsprechenden Formeln der jeweiligen Abzählmethoden.

Stichprobeohne Wiederholungmit Wiederholung
Permutationnein

\[n!\]

\[\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\,\cdot\, ...\, \cdot \,k_r!}\]

Variationja, geordnet

\[\dfrac{n!}{(n-k)!}\]

\[n^k\]

Kombinationja, ungeordnet

\[\left(\begin{array}{c} n \\ k\\\end{array}\right)\]

\[\left(\begin{array}{c} n+k-1 \\ k\\\end{array}\right)\]

Der Ausdruck \(\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)\) wird übrigens als Binomialkoeffizient bezeichnet. Mehr darüber kannst Du in der Erklärung „Binomialkoeffizient Kombinatorik“ nachlesen.

Wie Du diese Formeln anwendest, erfährst Du in jeweiligen Erklärungen zur „Permutation“, „Kombinationen“ und „Variation“. Die Tabelle hier soll Dir nur einen kleinen Überblick über die verschiedenen Abzählmethoden und ihre Formeln geben.

Kannst Du bereits alle Abzählmethoden voneinander unterscheiden und einordnen? Dann teste Dein Wissen gerne an den nachfolgenden Übungsaufgaben!

Kombinatorik Übungen – Kombinatorik Aufgaben mit Lösungen

Benutze als Hilfestellung zur Lösung der Aufgaben die graphische Darstellung aus Abbildung \(2\) oder orientiere Dich an den entsprechenden Hilfsfragen.

Aufgabe 1

Beim Regal einräumen werden alle \(7\) farbigen Tassen zurück in das Regal gestellt.

\(({\color{#1478C8}blau},\,{\color{#00DCB4}grün},\, {\color{#FA3273}rot},\, {\color{#FFCD00}gelb},\, {\color{#8363E2}lila},\, {\color{#FA3273}rot} ,\, {\color{#5E7387}grau})\)

\(a)\) Bestimme die Abzählmethode.

\(b)\) Nenne eine mögliche Anordnung.

Lösung

\(a)\) Bei der Abzählmethode handelt es sich um eine Permutation, denn alle \(n=7\) Elemente werden in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet. Die rote Tasse ist mehrfach vorhanden, weshalb es eine Permutation mit Wiederholung ist.

\(b)\) Ein \(7\)-Tupel wäre hier beispielsweise: \(({\color{#1478C8}blau},\, {\color{#FFCD00}gelb},\, {\color{#FA3273}rot},\, {\color{#FA3273}rot},\, {\color{#00DCB4}grün},\, {\color{#5E7387}grau}, \, {\color{#8363E2}lila})\).

Aufgabe 2

Aus den Zahlen \(1\) bis \(9\) werden vierstellige Zahlen gebildet, wie beispielsweise \(2168\). Bestimme die entsprechende Abzählmethode, wenn jede Zahl in der Tausender-Zahl nur einmalig verwendet werden darf.

Lösung

Insgesamt stehen \(n=9\) Zahlen zur Verfügung. Es werden jedoch nur \(k=4\) unterschiedliche Zahlen ausgewählt. Die Reihenfolge der Zahlen spielt hierbei eine Rolle, da sich beim Vertauschen andere Tausender bilden lassen. Somit handelt es sich hierbei um eine Variation ohne Wiederholung.

In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben rund um das Themengebiet der Kombinatorik.

Kombinatorik – Das Wichtigste

  • Die Kombinatorik als Teilgebiet der Stochastik beschäftigt sich mit unterschiedlichen Abzählmethoden und der Berechnung der Anzahlen.
  • Zur Unterscheidung der Abzählmethoden können folgende Hilfsfragen geklärt werden:
    • Werden alle \(n\) Elemente genutzt oder nur eine Auswahl mit \(k\) Elementen?
    • Ist die Reihenfolge von Bedeutung oder nicht?

    • Darf ein Element mehrfach vorkommen oder nicht?

  • Formeln der Abzählmethoden:
    Stichprobeohne Wiederholungmit Wiederholung
    Permutationnein

    \[n!\]

    \[\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\,\cdot\, ...\, \cdot \,k_r!}\]

    Variationja, geordnet

    \[\dfrac{n!}{(n-k)!}\]

    \[n^k\]

    Kombinationja, ungeordnet

    \[\left(\begin{array}{c} n \\ k\\\end{array}\right)\]

    \[\left(\begin{array}{c} n+k-1 \\ k\\\end{array}\right)\]

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit unterschiedlichen Abzählmethoden (Permutation, Kombination und Variation). Über verschiedene Formeln kann die Anzahl rechnerisch ermittelt werden (beispielsweise die Anzahl der Kombinationen), sodass kein händisches Abzählen notwendig ist.

In der Kombinatorik steht n für die Anzahl aller Elemente aus der Grundmenge. Aus dieser Menge kann ebenfalls eine Stichprobe mit nur k Elementen ausgewählt werden.

Die Kombinatorik ist ein Teilbereich in der Stochastik, der sich mit unterschiedlichen Abzählmethoden beschäftigt sowie die Bestimmung der Anzahlen. Zu unterscheiden sind Permutationen, Kombinationen und Variationen.

Die Anzahl der Möglichkeiten hängt davon ab, um welche Abzählmethode es sich handelt. Es wird zwischen Permutation, Kombination und Variation unterschieden. Zudem ist noch zwischen „ohne Wiederholung“ und „mit Wiederholung“ zu unterscheiden. 

Finales Kombinatorik Quiz

Frage

Was gibt die Fakultät einer Zahl an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Fakultät einer Zahl gibt die maximale Anzahl von Platzierungsmöglichkeiten ihrer Elemente an.

Frage anzeigen

Frage

Gebe 3 Besonderheiten bei der Berechnung der Fakultät an:

Antwort anzeigen

Antwort

  • 0! = 1
  • 1! = 1
  • Kreisanordnung: (n - 1)!

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wo eine Permutation ohne Wiederholung vorliegt:

Antwort anzeigen

Antwort

Du hast 6 verschiedene Kugeln vor dir liegen und sollst diese in einer bestimmten Reihenfolge anordnen.

Frage anzeigen

Frage

Ordne die Permutation ohne Wiederholung dem richtigen Bereich der Mathematik zu:

Antwort anzeigen

Antwort

Kombinatorik

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Unterschied zwischen Permutationen, Variation und Kombination in Bezug auf die zu betrachtenden Elemente.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Variation und Kombination wird nur eine Auswahl von Elementen aus der Gesamtmenge betrachtet. Bei Permutationen werden alle Elemente der Gesamtmenge betrachtet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formen, in die sich Permutationen einteilen lassen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Permutation ohne Wiederholung
  • Permutation mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Permutation ohne Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine mögliche Anordnung von n Elementen einer Menge von n Elementen, bei der alle Elemente verschieden sind.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Elemente n einer Menge n werden bei Permutationen betrachtet?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Permutationen werden alle Elemente n aus einer Menge n betrachtet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Voraussetzungen für das Vorliegen einer Permutation ohne Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Anordnung aller n Elemente einer Menge aus n Elementen
  • alle n Elemente der Menge müssen voneinander zu unterscheiden sein
  • kein Element darf mehrfach verwendet werden
  • die Reihenfolge der n Elemente wird beachtet

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie du am Baumdiagramm die Anzahl der möglichen Permutationen ablesen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Anzahl der möglichen Permutationen werden am Baumdiagramm abgelesen, indem die einzelnen Pfade verfolgt werden.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Permutation.

Antwort anzeigen

Antwort

Als Permutation wird jede mögliche Anordnung von n verschiedenen Elementen aus einer Menge von Elementen bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die zwei Arten der Permutation.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Permutation ohne Wiederholung
  • Permutation mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den wesentlichen Unterschied zwischen Permutation mit und ohne Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Permutation mit Wiederholung können Objekte mehrfach vorkommen, bzw. sind nicht alle unterscheidbar.

Bei der Permutation ohne Wiederholung sind Objekte jeweils nur einmal vorhanden, also alle voneinander zu unterscheiden.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Permutation mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Permutation mit Wiederholung ist eine mögliche Anordnung von n Elementen einer Menge n, die dabei eine Anzahl von k identischen Elementen aufweist. Eine Vertauschung der k identischen Elemente untereinander ergibt keine neuen Permutationen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Voraussetzungen zum Vorliegen einer Permutation mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Anordnung von allen n Elementen einer Menge aus n Elementen
  • Anzahl von k identischen Elementen
  • Vertauschen identischer Elemente ist keine neue Permutation
  • Reihenfolge unterschiedlicher Elemente ist wichtig

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, ob durch Vertauschen von identischen Elementen eine neue Permutation entsteht.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, es entsteht durch tauschen identischer Elemente keine neue Permutation, da das Ergebnis sich dadurch nicht verändert.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie viele Elemente einer Menge bei der Permutation mit Wiederholung genutzt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

es werden alle Elemente der Menge genutzt

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den wesentlichen Unterschied zwischen Permutation ohne Wiederholung und Permutation mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Permutation ohnw Wiederholung ist jedes Element nur ein mal vorhanden und alle Elemente sind somit voneinander unterscheidbar.

Bei der Permutation mit Wiederholung gibt es mehrere identische Elemente.

Frage anzeigen

Frage

Wofür steht das Wort Wiederholung in der Variation mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wiederholung steht hier für Ziehen mit Zurücklegen. Nachdem eine Option (beispielsweise eine blaue Kugel) gewählt wurde, kann sie im nächsten Zug wieder gewählt werden, da sie zurückgelegt wurde.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung gilt für die Variation mit Wiederholung NICHT?

Antwort anzeigen

Antwort

n Elemente aus k werden ausgewählt

Frage anzeigen

Frage

6 aus 49. Gilt für das Lotto-Spiel die Variation mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da hier die Reihenfolge keine Rolle spielt und auch eine ausgewählte Zahl nicht wieder in die Urne gelegt wird, sondern aus dem Spiel ist.

Frage anzeigen

Frage

In einer Schlange steht vorne Hans, dann kommt Leonie und Lina. Die Eisdiele hat Unmengen an Eis. Gilt hier die Variation mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja. Eis kann mehrfach ausgewählt werden, da alle Jugendlichen theoretisch Erdbeereis essen können. Außerdem ist die Reihenfolge entscheidend, da Du die Leute unterscheidest.

Frage anzeigen

Frage

Das gewählte Passwort hat 8 Zeichen. Für die Wahl der Zeichen gelten keine Einschränkungen. Worum handelt es sich?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Im Ternärsystem können pro Stelle immer die Zahlen 0, 1 oder 2 gewählt werden. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es für 4 Stellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 81 Möglichkeiten.

Frage anzeigen

Frage

Worin unterscheiden sich die Variationen mit und ohne Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Elemente können mehrfach gewählt werden oder nur einmal.

Frage anzeigen

Frage

Es soll eine Kombination mit Wiederholung betrachtet werden. Welcher Fall trifft zu?

Antwort anzeigen

Antwort

10 grüne Kugeln werden aus einem Sack entnommen. Du darfst sie zurücklegen.

Frage anzeigen

Frage

Eine PIN (nur Zahlen erlaubt) besteht aus 6 Zeichen. Wie viele Kombinationen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 1 Million mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage gilt für die Kombination mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Keine Beachtung der Reihenfolge; mit Zurücklegen

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die Variation ohne Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Reihenfolge spielt eine Rolle

Frage anzeigen

Frage

Du ziehst aus einer Urne mit sechs Kugeln zwei Stück ohne Zurücklegen. Dabei ist die Reihenfolge für Dich wichtig. Berechne die Anzahl an möglichen Ergebnissen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 30 mögliche Ergebnisse.

Frage anzeigen

Frage

Du erstellst für Freitag einen Plan, welche Aktivitäten Du gerne unternehmen möchtest. Du wählst aus 15 Aktivitäten 3 aus. Wie viele Kombinationen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 2730 mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Welchen Fall aus der Kombinatorik nutzt Du für eine PIN (4 stelliges Passwort mit Zahlen)?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Du gehst in ein Geschäft und kaufst Kleidungsstücke. Du kannst ein Teil auch mehrfach kaufen. Welches Zufallsexperiment aus der Kombinatorik passt für diesen Fall?

Antwort anzeigen

Antwort

Kombination mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

In einem Preisausschreiben bekommen die besten 5 Personen ein Geschenk. Der erste eine Reise und der zweite bis fünfte jeweils eine immer geringer werdende Anzahl an Kinotickets. Welches Zufallsexperiment passt zu diesem Fall?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Welche Taste musst Du vor nCr drücken, um den Binomialkoeffizient zu berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

[SHIFT]

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage stimmt für die Hypergeometrische Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Du benötigst vier Angaben N, M, k, n

Frage anzeigen

Frage

Du ziehst aus einer Urne mit 10 grünen Kugeln 5 Stück ohne Zurücklegen. Welche Aussagen stimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Reihenfolge ist nicht entscheidend

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fall aus der Kombinatorik ist für ein Wettrennen der richtige?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die Kombination mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Reihenfolge spielt keine Rolle

Frage anzeigen

Frage

Du kaufst ein paar Lebensmittel im Discounter. In deinem Korb befinden sich unter anderem drei Äpfel. Welches Zufallsexperiment gilt?

Antwort anzeigen

Antwort

Kombination mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Du wählst Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge, allerdings weniger als sich in der Urne befinden. Welches Zufallsexperiment aus der Kombinatorik trifft zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Welches Zufallsexperiment gilt für die Platzierungen eines Laufes?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Fall A: Ein 100m Lauf mit Platzierung.

Fall B: Eine PIN-Nummer.

Worin unterscheiden sich die beiden Fälle?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit oder ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

In einem Topf befinden sich 7 unterschiedlich gefärbte Lose. Du möchtest dabei 3 Stück wählen. Berechne die Kombination mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 84 mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Du möchtest zufällig 3 Tafeln Schokolade auf sechs Tellern verteilen. Es können auch drei Tafeln auf einem Teller liegen. Berechne die Kombination mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 56 mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fall aus der Kombinatorik gilt für das Glücksspiel 6 aus 49?

Antwort anzeigen

Antwort

Kombination ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für eine Kombination?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Reihenfolge ist nicht wichtig.

Frage anzeigen

Frage

Welches Konzept aus der Kombinatorik gilt für ein Sprintrennen?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Worum handelt es sich bei einer PIN?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für eine Anordnung von Schülern auf Sitzplätze?

Antwort anzeigen

Antwort

Permutation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

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