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Kombinatorik

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Kombinatorik

Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (auch Permutationen genannt) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen genannt) von Objekten bei Versuchsausgängen.

Bei einer Anordnung bzw. Permutation werden dabei alle Elemente der Grundmenge betrachtet, wohingegen bei Auswahlen, entweder Variationen oder Kombinationen, nur eine Stichprobe der Grundmenge im Fokus des Interesses liegt. Es gibt weiterhin geordnete und ungeordnete Stichproben, je nachdem, ob die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird, wie bei der Variation, oder nicht, wie bei der Kombination. Bei Anordnungen bzw. Permutationen wird die Reihenfolge immer berücksichtigt.

Die Kombinatorik hat zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Gebieten der Mathematik, wie der Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Algebra, Mengenlehre und Topologie. Außerdem wird sie auch in der Informatik und der theoretischen Physik angewendet.

Wichtige Begriffe der Kombinatorik

Um die konkreten Fälle und Formeln zu verstehen, solltest du zunächst einen guten Überblick über die wichtigsten Grundbegriffe in der Kombinatorik haben.

Was ist eine Fakultät?

Die Schreibweise der Fakultät ist n! (gesprochen: „n Fakultät“). Mit der Fakultät, manchmal auch Faktorielle genannt, lässt sich bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, n Objekte einer Menge anzuordnen. Die Fakultät lässt sich berechnen, indem man alle natürlichen Zahlen von 1 bis n miteinander multipliziert:

„n“ steht dabei für die Zahl, von der die Fakultät gebildet werden soll.

Was ist der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Ausgeschrieben sieht die Formel für den Koeffizienten folgendermaßen aus:

N über k setzt sich zusammen aus der Fakultät von n, geteilt durch die Fakultät von k, multipliziert mit der Fakultät von n-k.

Was ist das k-Tupel?

Ein k-Tupel ist eine Zusammenfassung von k Zahlen, die sich wiederholen dürfen, und deren Reihenfolge wichtig ist. Zum Beispiel: (1,2,3,4) ist ein 4-Tupel und es gilt (1,2,3,4) (1,2,4,3)

Was ist die k-Menge?

Eine k-Menge ist eine Zusammenfassung von k Zahlen, wobei weder Wiederholungen noch die Reihenfolge beachtet werden. Zum Beispiel: {6,6,5} = {6,5} und {7,3,1} = {1,3,7}

k-Permutation (H3)

Was ist eine Permutation?

Eine k-Permutation ist eine Zusammenfassung von k Zahlen, die sich nicht wiederholen dürfen, und deren Reihenfolge wichtig ist. k-Permutationen sind damit ein Spezialfall von k-Tupeln. Zum Beispiel: (1,2,3,4) ist eine 4-Permutation, aber (1,2,3,3) nicht, da die 3 doppelt vorkommt.

Was ist eine Kombination?

Eine k-Kombination ist eine Zusammenfassung von k Zahlen wobei die Reihenfolge nicht beachtet wird, es aber Wiederholungen gibt. k-Kombinationen sind damit ein Spezialfall von k-Mengen. Zum Beispiel: {6,6,5} {6,5} und {7,3,1} = {1,3,7}

Formeln der Kombinatorik

Für die Berechnungen der Kombinatorik werden verschiedene Formeln bei Permutationen, Kombinationen und Variationen benötigt. Das n in den Formeln steht immer für die Anzahl aller Elemente, also für die Grundgesamtheit. Das k gibt die Anzahl an Ziehungen an.

Um herauszufinden, welche Formel verwendet werden soll, sind folgende Fragen sinnvoll:

  • Betrachte ich alle Elemente oder nur eine Stichprobe?
  • Spielt die Reihenfolge eine Rolle?
  • Können die Elemente mit Wiederholung vorkommen?

Die Grafik gibt einen Überblick darüber, welche Formeln wann zum Einsatz kommen:

via studyhelp.de

Wir schauen uns dazu nun noch die konkreten Fälle an.

Permutationen

Bei Permutationen gilt allgemein, dass alle Elemente der Grundgesamtheit beachtet werden. Es gilt also n = k. Auch die Reihenfolge wird hier immer berücksichtigt. Man muss nun zwischen den Fällen mit Wiederholung und ohne Wiederholung unterscheiden.

Bei der Permutation ohne Wiederholung handelt es sich um die Anordnung von Objekten, die alle verschieden sind. Das Ziel ist es, alle Objekte in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen. Zu Beginn sind noch alle Plätze frei, für das zweite Objekt verbleiben jedoch nur noch n-1 Möglichkeiten, für das dritte analog n-2 und immer so weiter. Führt man diese Reihe fort, so ergibt sich die Fakultät n!, die Formel zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten. Zentral ist, dass alle Objekte der Menge verschieden sind und dadurch kein Objekt mit den gleichen Merkmalen zwei Mal vorkommen kann.

Im Falle einer Permutation mit Wiederholung sind dagegen nicht mehr alle Objekte voneinander unterscheidbar. Es kann also vorkommen, dass sich die Reihenfolge an sich nicht ändert, auch wenn zwei Objekte mit den gleichen Merkmalen getauscht werden. Man kann dabei Gruppen bilden, die die Objekte mit gleichen Merkmalen zusammenfassen.

Die Anzahl der Möglichkeiten wird dann mit folgender Formel berechnet:

Variationen

Bei Variationen gilt k < n. Für die Berechnungen werden also nur einige Objekte aus der Grundmenge gewählt, es handelt sich also um eine Stichprobe. Dabei sollte man beachten, dass die Reihenfolge der Auswahl entscheidend für das Ergebnis ist.

Bei der Variation ohne Wiederholung kommt jedes Objekt nur einmal vor, das Objekt darf nicht zurückgelegt werden. Für das erste Objekt gibt es noch n Platzierungsmöglichkeiten, für das zweite bleiben n-1 Möglichkeiten und so weiter. Für das letzte Objekt gibt es folglich noch n-k+1 Möglichkeiten.

Man erhält für die Variationen folgende Formel:

Es gibt auch eine Variation mit Wiederholung. In diesem Fall können Objekte auch mehrmals ausgewählt werden. Das bedeutet, dass manche Objekte nicht unterscheidbar sind. Das kann auch der Fall sein, wenn das Objekt nach der Auswahl wieder zu den anderen Elementen zurückgelegt wird. Wie zuvor gibt es für das erste Objekt n Auswahlmöglichkeiten, aufgrund der Mehrfachauswahl gilt das nun auch für alle weiteren Objekte.

Man rechnet also:

Kombinationen

Betrachtet man nun die Kombinationen, so gilt erneut k < n. Es handelt sich also wieder um eine Auswahl von Objekten aus der Grundmenge. Der Unterschied zu den Variationen besteht darin, dass hier die Reihenfolge keine Rolle spielt. Auch hier gibt es den Fall ohne Wiederholung und den Fall mit Wiederholung.

Hat man ein Objekt einmal ausgewählt, so kann dieses nicht wieder vorkommen. Es können also die ausgewählten Objekte k nur auf k! verschiedene Plätze verteilt werden. Mit der Formel für Variationen ohne Wiederholung im Hinterkopf kann man leicht die Formel für diesen Fall herleiten.

Die Formel zu den Kombinationen lautet:

Ein weiteres mögliches Szenario ist, dass die Reihenfolge der Ergebnisse des Zufallsexperimentes keine Rolle spielt und das Ergebnis erneut eintreten kann, wenn es bereits aufgetreten ist. Die Formel für den Fall ohne Wiederholung kann man leicht anpassen.

So ergibt sich folgende Formel:

Wie löst man Kombinatorik-Aufgaben?

Nun schauen wir uns zwei konkrete Beispiele für Kombinatorik-Aufgaben an, damit du die Formeln nicht nur theoretisch beherrschst, sondern auch gut anwenden kannst.

Aufgabe 1:

Du hast den Code für dein Handy vergessen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du zumindest noch weißt, dass dein Code vier Zeichen lang war?

Beim Rechnen von Kombinatorik-Aufgaben sind nun folgende Fragen hilfreich:

  1. Betrachte ich alle Elemente oder nur eine Stichprobe?

Man betrachtet nur eine Stichprobe, da man von den 10 möglichen Ziffern von 0-9 nur 4 auswählt.

  1. Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

Ja, die Reihenfolge spielt natürlich eine Rolle, um das Handy zu entsperren.

  1. Können die Elemente mit Wiederholung vorkommen?

Ja, man kann theoretisch auch vier Mal die gleiche Ziffer verwenden.

Folgt man nun dem Lösungsbaum, der weiter oben im Artikel abgebildet ist, gelangt man zur Formel und der dazugehörigen Lösung mit .

Aufgabe 2:

Du hast vor dir einen Teller Buchstabensuppe. Du siehst, dass in deinem Teller noch genau die Buchstaben schwimmen, um das Wort Mississippi zu bilden. Wie viele Möglichkeiten hast, du die Buchstaben anzuordnen?

Auch hier stellst du dir die gleichen Fragen wie bei der vorherigen Aufgabe. Man betrachtet hier alle Elemente, da in dem neuen Wort schließlich alle Buchstaben verbaut werden sollen. Die Reihenfolge spielt auch in diesem Fall eine Rolle.

Aufgabe 3:

Es handelt sich hier nicht etwa um ein Urnenmodell mit Zurücklegen, aber die Elemente können trotzdem wiederholt vorkommen, es macht keinen Unterschied, ob du zuerst das erste oder das zweite s verwendest. Man benutzt zur Berechnung also folgende Formel:

Man erhält damit das Ergebnis:

Alles Wichtige zur Kombinatorik auf einen Blick:

Damit hast du die wichtigsten Fakten, Formeln und Beispiele im Bereich der Kombinatorik bereits verstanden. Damit du für deine nächste Prüfung bestens vorbereitet bist und nichts mehr vergisst, gibt es hier nochmals die wichtigsten Informationen im Überblick. Deiner nächsten erfolgreichen Prüfung steht also nichts mehr im Weg!

  • Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen/Permutationen oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten bei Versuchsausgängen.
  • Für die Berechnungen der Kombinatorik werden verschiedene Formeln bei Permutationen, Kombinationen und Variationen benötigt. Das n in den Formeln steht immer für die Anzahl aller Elemente, also für die Grundgesamtheit. Das k gibt die Anzahl an Ziehungen an.
  • Um herauszufinden, welche Formel verwendet werden soll, sind folgende Fragen sinnvoll: Betrachte ich alle Elemente oder nur eine Stichprobe? Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Können die Elemente mit Wiederholung vorkommen?
  • Bei Permutationen gilt n = k. Auch die Reihenfolge wird hier immer berücksichtigt.
  • Bei Variationen gilt k < n, die Reihenfolge ist entscheidend für das Ergebnis.
  • Bei Kombinationen gilt erneut k < n, die Reihenfolge spielt hier aber keine Rolle.

Finales Kombinatorik Quiz

Frage

Was gibt die Fakultät einer Zahl an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Fakultät einer Zahl gibt die maximale Anzahl von Platzierungsmöglichkeiten ihrer Elemente an.

Frage anzeigen

Frage

Gebe 3 Besonderheiten bei der Berechnung der Fakultät an:

Antwort anzeigen

Antwort

  • 0! = 1
  • 1! = 1
  • Kreisanordnung: (n - 1)!
Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wo eine Permutation ohne Wiederholung vorliegt:

Antwort anzeigen

Antwort

Du hast 6 verschiedene Kugeln vor dir liegen und sollst diese in einer bestimmten Reihenfolge anordnen.

Frage anzeigen

Frage

Ordne die Permutation ohne Wiederholung dem richtigen Bereich der Mathematik zu:

Antwort anzeigen

Antwort

Kombinatorik

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Unterschied zwischen Permutationen, Variation und Kombination in Bezug auf die zu betrachtenden Elemente.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Variation und Kombination wird nur eine Auswahl von Elementen aus der Gesamtmenge betrachtet. Bei Permutationen werden alle Elemente der Gesamtmenge betrachtet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formen, in die sich Permutationen einteilen lassen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Permutation ohne Wiederholung
  • Permutation mit Wiederholung
Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Permutation ohne Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine mögliche Anordnung von n Elementen einer Menge von n Elementen, bei der alle Elemente verschieden sind.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Elemente n einer Menge n werden bei Permutationen betrachtet?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Permutationen werden alle Elemente n aus einer Menge n betrachtet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Voraussetzungen für das Vorliegen einer Permutation ohne Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Anordnung aller n Elemente einer Menge aus n Elementen
  • alle n Elemente der Menge müssen voneinander zu unterscheiden sein
  • kein Element darf mehrfach verwendet werden
  • die Reihenfolge der n Elemente wird beachtet
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie du am Baumdiagramm die Anzahl der möglichen Permutationen ablesen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Anzahl der möglichen Permutationen werden am Baumdiagramm abgelesen, indem die einzelnen Pfade verfolgt werden.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Permutation.

Antwort anzeigen

Antwort

Als Permutation wird jede mögliche Anordnung von n verschiedenen Elementen aus einer Menge von Elementen bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die zwei Arten der Permutation.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Permutation ohne Wiederholung
  • Permutation mit Wiederholung
Frage anzeigen

Frage

Erkläre den wesentlichen Unterschied zwischen Permutation mit und ohne Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Permutation mit Wiederholung können Objekte mehrfach vorkommen, bzw. sind nicht alle unterscheidbar.

Bei der Permutation ohne Wiederholung sind Objekte jeweils nur einmal vorhanden, also alle voneinander zu unterscheiden.

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Permutation mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Permutation mit Wiederholung ist eine mögliche Anordnung von n Elementen einer Menge n, die dabei eine Anzahl von k identischen Elementen aufweist. Eine Vertauschung der k identischen Elemente untereinander ergibt keine neuen Permutationen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Voraussetzungen zum Vorliegen einer Permutation mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Anordnung von allen n Elementen einer Menge aus n Elementen
  • Anzahl von k identischen Elementen
  • Vertauschen identischer Elemente ist keine neue Permutation
  • Reihenfolge unterschiedlicher Elemente ist wichtig
Frage anzeigen

Frage

Erkläre, ob durch Vertauschen von identischen Elementen eine neue Permutation entsteht.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, es entsteht durch tauschen identischer Elemente keine neue Permutation, da das Ergebnis sich dadurch nicht verändert.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie viele Elemente einer Menge bei der Permutation mit Wiederholung genutzt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

es werden alle Elemente der Menge genutzt

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den wesentlichen Unterschied zwischen Permutation ohne Wiederholung und Permutation mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Permutation ohnw Wiederholung ist jedes Element nur ein mal vorhanden und alle Elemente sind somit voneinander unterscheidbar.

Bei der Permutation mit Wiederholung gibt es mehrere identische Elemente.

Frage anzeigen

Frage

Wofür steht das Wort Wiederholung in der Variation mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wiederholung steht hier für Ziehen mit Zurücklegen. Nachdem eine Option (beispielsweise eine blaue Kugel) gewählt wurde, kann sie im nächsten Zug wieder gewählt werden, da sie zurückgelegt wurde.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung gilt für die Variation mit Wiederholung NICHT?

Antwort anzeigen

Antwort

n Elemente aus k werden ausgewählt

Frage anzeigen

Frage

6 aus 49. Gilt für das Lotto-Spiel die Variation mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da hier die Reihenfolge keine Rolle spielt und auch eine ausgewählte Zahl nicht wieder in die Urne gelegt wird, sondern aus dem Spiel ist.

Frage anzeigen

Frage

In einer Schlange steht vorne Hans, dann kommt Leonie und Lina. Die Eisdiele hat Unmengen an Eis. Gilt hier die Variation mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja. Eis kann mehrfach ausgewählt werden, da alle Jugendlichen theoretisch Erdbeereis essen können. Außerdem ist die Reihenfolge entscheidend, da Du die Leute unterscheidest.

Frage anzeigen

Frage

Das gewählte Passwort hat 8 Zeichen. Für die Wahl der Zeichen gelten keine Einschränkungen. Worum handelt es sich?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Im Ternärsystem können pro Stelle immer die Zahlen 0, 1 oder 2 gewählt werden. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es für 4 Stellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 81 Möglichkeiten.

Frage anzeigen

Frage

Worin unterscheiden sich die Variationen mit und ohne Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Elemente können mehrfach gewählt werden oder nur einmal.

Frage anzeigen

Frage

Es soll eine Kombination mit Wiederholung betrachtet werden. Welcher Fall trifft zu?

Antwort anzeigen

Antwort

10 grüne Kugeln werden aus einem Sack entnommen. Du darfst sie zurücklegen.

Frage anzeigen

Frage

Eine PIN (nur Zahlen erlaubt) besteht aus 6 Zeichen. Wie viele Kombinationen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 1 Million mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage gilt für die Kombination mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Keine Beachtung der Reihenfolge; mit Zurücklegen

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die Variation ohne Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Reihenfolge spielt eine Rolle

Frage anzeigen

Frage

Du ziehst aus einer Urne mit sechs Kugeln zwei Stück ohne Zurücklegen. Dabei ist die Reihenfolge für Dich wichtig. Berechne die Anzahl an möglichen Ergebnissen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 30 mögliche Ergebnisse.

Frage anzeigen

Frage

Du erstellst für Freitag einen Plan, welche Aktivitäten Du gerne unternehmen möchtest. Du wählst aus 15 Aktivitäten 3 aus. Wie viele Kombinationen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 2730 mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Welchen Fall aus der Kombinatorik nutzt Du für eine PIN (4 stelliges Passwort mit Zahlen)?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Du gehst in ein Geschäft und kaufst Kleidungsstücke. Du kannst ein Teil auch mehrfach kaufen. Welches Zufallsexperiment aus der Kombinatorik passt für diesen Fall?

Antwort anzeigen

Antwort

Kombination mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

In einem Preisausschreiben bekommen die besten 5 Personen ein Geschenk. Der erste eine Reise und der zweite bis fünfte jeweils eine immer geringer werdende Anzahl an Kinotickets. Welches Zufallsexperiment passt zu diesem Fall?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Welche Taste musst Du vor nCr drücken, um den Binomialkoeffizient zu berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

[SHIFT]

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage stimmt für die Hypergeometrische Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Du benötigst vier Angaben N, M, k, n

Frage anzeigen

Frage

Du ziehst aus einer Urne mit 10 grünen Kugeln 5 Stück ohne Zurücklegen. Welche Aussagen stimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Reihenfolge ist nicht entscheidend

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fall aus der Kombinatorik ist für ein Wettrennen der richtige?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die Kombination mit Wiederholung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Reihenfolge spielt keine Rolle

Frage anzeigen

Frage

Du kaufst ein paar Lebensmittel im Discounter. In deinem Korb befinden sich unter anderem drei Äpfel. Welches Zufallsexperiment gilt?

Antwort anzeigen

Antwort

Kombination mit Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Du wählst Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge, allerdings weniger als sich in der Urne befinden. Welches Zufallsexperiment aus der Kombinatorik trifft zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Welches Zufallsexperiment gilt für die Platzierungen eines Laufes?

Antwort anzeigen

Antwort

Variation ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

Fall A: Ein 100m Lauf mit Platzierung.

Fall B: Eine PIN-Nummer.

Worin unterscheiden sich die beiden Fälle?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit oder ohne Wiederholung

Frage anzeigen

Frage

In einem Topf befinden sich 7 unterschiedlich gefärbte Lose. Du möchtest dabei 3 Stück wählen. Berechne die Kombination mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 84 mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Du möchtest zufällig 3 Tafeln Schokolade auf sechs Tellern verteilen. Es können auch drei Tafeln auf einem Teller liegen. Berechne die Kombination mit Wiederholung.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 56 mögliche Kombinationen.

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fall aus der Kombinatorik gilt für das Glücksspiel 6 aus 49?

Antwort anzeigen

Antwort

Kombination ohne Wiederholung

Frage anzeigen
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