Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Ein bekanntes Zufallsexperiment ist zum Beispiel der Münzwurf, bei dem als mögliche Ergebnisse entweder Kopf oder Zahl geworfen werden kann.
Warum es sich bei einem Münzwurf um ein Zufallsexperiment handelt, eine Definition über die Grundbegriffe sowie wichtige Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfährst Du in dieser Erklärung.
Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt
In diesem Abschnitt erfährst Du, wie Du etwa Deinen Mitschülern die Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärst.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition
Die Definition der Wahrscheinlichkeitsrechnung beruht auf drei grundlegenden Sätzen, sogenannten Axiomen, welche Grundlage aller Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind.
Die drei Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung lauten:
- Jedem Ereignis \(A\) ist eine konkrete Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) zugeordnet, für die gilt: \(0\leq P(A)\leq 1\)
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem Falle auftritt, ist 1.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei verschiedenen Ereignissen eins von beiden eintritt, entspricht der Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. \(P\,(A_1 \cup A_2)=P\,(A_1)+P\,(A_2)\)
Was die einzelnen Begriffe bedeuten, erfährst Du im nächsten Abschnitt.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe
Zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört das Zufallsexperiment, das Ergebnis sowie das Ereignis und der Wahrscheinlichkeitsbegriff.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe | Definition | Beispiel |
Zufallsexperiment | Versuchsvorgang,- der einen genau festgelegten Plan zur Durchführung besitzt
- bei dem bereits mögliche Ergebnisse des Experiments vorab bekannt sind
- der nur Ergebnisse besitzt, die vorab nicht vorhergesagt werden können (Zufälligkeit).
| Münzwurf |
Wahrscheinlichkeitsrechnung – Ergebnis und Ereignis | - Ergebnisse oder Elementarereignisse sind die einzelnen möglichen Versuchsausgänge
- Ereignisse sind Versuchsaufgänge, die aus mehreren Ergebnissen bestehen
| - Mit einem Würfel wird die Zahl 1 gewürfelt, das Ergebnis ist also 1
- Mit einem Würfel wird erst eine 2 und dann eine 5 gewürfelt, das sind zwei verschiedene Ergebnisse, zusammen ergeben sie aber das Ereignis, dass zuerst eine 2 und dann eine 5 gewürfelt wurde.
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Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit | - Die Wahrscheinlichkeit misst, wie häufig ein Ergebnis bei mehreren Wiederholungen eines Zufallsexperiments eintritt
- Die Gegenwahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt
| - Die Wahrscheinlichkeit eine Eins mit einem sechsseitigen Würfel zu werfen steht 1 zu 6
- Die Gegenwahrscheinlichkeit zur Zahl Eins steht 5 zu 6
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In einem Zufallsexperiment können verschiedene Versuchsausgänge, die sogenannten Elementarereignisse \({\omega}_i\) erreicht werden. Wenn Du einen oder mehrere davon zusammenfasst, erhältst Du ein Ereignis \(A\) des Zufallsexperiments. Wiederum die Gesamtmenge aller Elementarereignisse wird als Ergebnismenge \(\Omega = \{{\omega}_1,\ldots {\omega}_i\}\) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) beschreibt dann entsprechend, wie wahrscheinlich das jeweilige Ereignis \(A\) auftritt.
Zu der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) solltest Du Dir folgende Eigenschaften merken:
- Der Zahlenwert der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) liegt immer zwischen 0 und 1
- \(P(A)=1 \rightarrow\) Ereignis trifft zu 100 % zu.
- \(P(A)=0\rightarrow\) Ereignis trifft zu 0 % zu.
- Wiederholst Du ein Zufallsexperiment oft genug, dann kann die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) über die relative Häufigkeit \(h_n (A)\) angegeben werden: \(P(A)\approx h_n (A)\)
- Bei Laplace-Experimenten wird die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) über die Laplace-Regel berechnet: \(P(A)=\frac{|E|}{|\omega|}\)
Würfelst Du zum Beispiel mit einem sechsseitigen Würfel, dann hast Du eine Ergebnismenge \(\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\). Ist es jetzt Dein Ziel eine 1 zu würfeln, dann ist Dein Ergebnis \(E=1\). Da es auf dem Würfel sechs Seiten gibt und jede gleich wahrscheinlich ist, erhältst Du für die Wahrscheinlichkeit \(P(1)=\frac{1}{6}\)
Wenn Du noch mehr zu den Grundlagen erfahren möchtest, dann schau Dir doch die Erklärung „Wahrscheinlichkeit“ an.
Wahrscheinlichkeitsberechnung Formel
Die Formel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung beruht auf dem Prinzip, dass die Anzahl an möglichen Ergebnissen im Verhältnis zu den gewollten Ergebnissen gesetzt wird.
Die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit lautet:
\[P(A)\,=\frac{\text{Zahl der günstigen Fälle}}{\text{Zahl der möglichen Fälle}}\]
Um die Wahrscheinlichkeit in einem simplen Zufallsexperiment zu berechnen, brauchst Du also nur die Angaben zu der Anzahl an günstigen Fällen und der Anzahl an möglichen Fällen.
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem sechsseitigen Würfel eine 1 zu werfen, entspricht dann dem Bruch \(\frac{1}{6}\).
Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt es bestimmte Regeln einzuhalten.
Regel | Formel | Erklärung |
Additionsregel | \[P\,(A\text{ oder }B)\equiv P\,(A\cup B)\equiv P\,(A\lor B)=P\,(A)+P\,(B)\] | Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei verschiedenen Ereignissen eins von beiden eintritt, entspricht der Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. |
Gegenwahrscheinlichkeit | \[P\,(\overline{A})=1-P\,(A)\] | Die Gegenwahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt. |
Normierung der Wahrscheinlichkeiten | \[P\,(A_1)+P\,(A_2)+P\,(A_3)+\ldots\,=1\] | Werden die Wahrscheinlichkeiten aller Versuchsausgänge addiert, so ist das Ergebnis 1. |
Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse | \[P\,(A\text{ und }B)\equiv P\,(A\cap B)\equiv P\,(A\land B)=P\,(A)\cdot P\,(B) \] | Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ergebnisse auftreten, entspricht dem Produkt der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. |
Besonders die letzten zwei Regeln sind wichtig, wenn es um den Umgang mit einem Baumdiagramm geht.
Mehrstufige Zufallsexperimente
Ein Mehrstufiges Zufallsexperiment ist ein Experiment, dass mehrmals hintereinander wiederholt wird. In diesem treten anders als beim einstufigen Zufallsexperiment nur abhängige Ereignisse auf.
- Die unabhängigen Ergebnisse entstehen nur bei einstufigen Zufallsexperimenten. Die Wahrscheinlichkeiten verschiedenerer Pfade (siehe Baumdiagramm) können miteinander addiert werden. Dies wird 2. Pfadregel oder die Summenregel genannt.
- Die abhängigen Ergebnisse entstehen stattdessen nur bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Das liegt daran, dass zwei aufeinanderfolgende Ergebnisse voneinander abhängig sind, weshalb die Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines Pfades miteinander multipliziert werden müsse.
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums \(|\Omega|\). Sie gibt an, wie viele Elemente in der Ergebnismenge \(\Omega\) liegen.
Diese Ergebnismenge kann durch andere Auswahl der Ergebnisse verändert werden. Dort wird entschieden zwischen der Vergröberung und der Verfeinerung von Omega \(\Omega\). Eine grobe Einteilung wäre beispielsweise, wenn die Ergebnisse „Alle geraden Zahlen“ umfassen würde. Eine feinere Einteilung wäre die spezifische Nennung von Werten wie \(\Omega=\{2,4,6\}\).
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit, die nur bei mehrstufigen Zufallsexperimenten auftritt.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach Eintritt eines Ereignis \(A\) danach auch ein Ereignis \(B\) ein tritt. Diese Wahrscheinlichkeit wird mit \(P_A (B)\) beschrieben und besagt, dass die Wahrscheinlichkeit \(B\) unter der Bedingung \(A\) eintritt.
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, des gesuchten Ergebnisses dann mit folgender Formel:
\[P_B (A)=\frac{p(A\cap B)}{P(B)}\]
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kannst Du durch Baumdiagramme und Vierfeldertafeln darstellen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm – Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ein Baumdiagramm ist ein Weg, ein mehrstufiges Zufallsexperiment visuell darzustellen. Dabei wird jede Stufe einzeln behandelt, sodass die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten klar aufeinander aufbauen.
- Zu den ersten beiden Ergebnissen \(B\) und \(\overline{B}\) führen die „Pfade“ oder Wahrscheinlichkeiten \(P(B)\) und \(P(\overline{B})\).
- Nachdem entweder \(B\) oder \(\overline{B}\) eingetreten ist, kann nun entweder \(A\) oder \(\overline{A}\) eintreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_B (A)\) und \(P_B (\overline{A})\) oder \(P_{\overline{B}} (A)\) und \(P_{\overline{B}} (\overline{A})\).
Wahrscheinlichkeitsrechnung Vierfeldertafel – Bedingte Wahrscheinlichkeit
Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In dieser lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.
Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit \(A\) und \(\overline{A}\) beschriftet ist und je eine Spalte mit \(B\) und \(\overline{B}\) (oder andersherum). Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100 %.
| \(B\) | \(\overline{B}\) | \(\Sigma\) |
\(A\) | \(p(A\cap B)\) | \(P(A\cap \overline{B})\) | \(P(A)\) |
\(\overline{A}\) | \(P(\overline{A}\cap B)\) | \(P(\overline{A}\cap \overline{B})\) | \(P(\overline{A})\) |
\(\Sigma\) | \(P(B)\) | \(P(\overline{B})\) | 1 |
Merke: Bei stochastisch unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und die Wahrscheinlichkeit der Menge \(\text{A ∩ B}\) entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\).
Simulation
In der Stochastik verstehst Du unter Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann. Zu diesen Gründen zählen unter anderem ein zu hoher Aufwand, zu hohe Kosten oder auch eine sehr große Menge an benötigten Materialien.
In solchen Fällen wird dann ein einfacheres Zufallsexperiment als „Ersatz“ gesucht, dass nicht nur repräsentativ für das eigentliche Zufallsexperiment ist, sondern auch ohne großen Aufwand und unabhängig voneinander mehrmals durchgeführt werden kann.
Eine Simulation muss unabhängig voneinander hinreichend oft realisiert werden. Nur dann kann aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen näherungsweise Angaben zur gesuchten Wahrscheinlichkeit gemacht werden.
Kombinatorik
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (auch Permutationen genannt) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen genannt) von Objekten bei Versuchsausgängen.
Bei einer Anordnung bzw. Permutation werden dabei alle Elemente der Grundmenge betrachtet, wohingegen bei Auswahlen, entweder Variationen oder Kombinationen, nur eine Stichprobe der Grundmenge im Fokus des Interesses liegt. Es gibt weiterhin geordnete und ungeordnete Stichproben, je nachdem, ob die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird, wie bei der Variation, oder nicht, wie bei der Kombination. Bei Anordnungen bzw. Permutationen wird die Reihenfolge immer berücksichtigt.
Zur Berechnung der Anzahlen in den verschiedenen Fällen dienen verschiedene Formeln:
| ohne Wiederholung | mit Wiederholung |
| Permutation | \(n!\) | \(\dfrac{n!}{k_1 !\cdot k_2 !\cdot \ldots \cdot k_n !}\) |
| Variation | \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) | \(n^k\) |
| Kombination | \(\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) | \(\dfrac{(n+k-1)!}{(n-1)! \cdot k!}\) |
Wenn Du noch mehr über dieses Thema erfahren möchtest, dann schau Dir doch die Erklärung „Kombinatorik“ an.
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