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Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Mathe


Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Stochastik im Fach Mathematik. Sie befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Daher ist es oftmals schwer zu fassen, denn Zufallsexperimente können immer anders ausgehen, als man es vermutet oder als es die Wahrscheinlichkeit vorhersagt. 


Die Wahrscheinlichkeitsrechnung entstand vermutlich aus dem Wunsch, Glücksspiele beeinflussen zu können. Das Jahr 1654 wird als das Jahr des Beginns der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet: ein französischer Philosoph schrieb in diesem Jahr einen Brief an seinen Freund, den Mathematiker Blaise Pascal, und beklagte sich darüber, dass er bei einem Würfelspiel regelmäßig falsch liegt. Daraufhin stellte Pascal mithilfe des Mathematikers Pierre de Fermat einige Rechnungen auf, die als Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelten. 


 

 


Was lernst du im Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Grundlange der Wahrscheinlichkeitsrechnung


Im ersten Abschnitt wirst du die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen. Hier erfährst du, was die Begriffe Zufallsexperiment bzw. Zufallsversuch, Ereignis, Laplace-Experiment und Wahrscheinlichkeit bedeuten. Daneben wirst du die Gesetze von de Morgan, das Gesetz der großen Zahlen und sogenannte Venn-Diagramme kennenlernen. Auch die relative und absolute Häufigkeit wird behandelt. Zuletzt findest du einen Artikel, in dem Regeln und Sätze für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten zusammengefasst sind.


Mehrstufige Zufallsexperimente


Wiederholt man ein Zufallsexperiment mehrmals, so kann man daraus ein mehrstufiges Zufallsexperiment schaffen. Eine genaue Erklärung, was mehrstufige Zufallsexperimente sind, erfährst du im Artikel mehrstufige Zufallsexperimente - Grundlagen. Zudem lernst du in diesem Abschnitt die Pfadregeln kennen, die essentiell sind für mehrstufige Zufallsexperimente und den Umgang mit Baumdiagrammen ziemlich erleichtern! Was den Unterschied zwischen erster und zweiter Pfadregel ausmacht, kannst du hier ganz leicht nachlesen!


Bedingte Wahrscheinlichkeit


Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man, wenn bei einem Zufallsexperiment der Eintritt eines Ereignisses von dem Eintreten eines anderen Ereignisses abhängt. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person die Schuhgröße 35 hat, wesentlich höher unter der Bedingung, dass die Person jünger ist als 15, als unter der Bedingung, dass die Person mindestens 16 Jahre alt ist. 


Da für bedingte Wahrscheinlichkeiten die Vierfelder-Tafel und das Baumdiagramm von hoher Bedeutung sind, werden diese beiden Themen in diesem Kapitel aufgegriffen. Zudem kannst du den Multiplikationssatz bzw. Produktsatz kennenlernen, erfährst, was die stochastische Unabhängigkeit ist, und was der Satz von Bayes aussagt. Zudem findest du jeweils einen Artikel über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und den Additionssatz.


Zuletzt gibt es einen Artikel über das Ziegenproblem, das auf Grundlage einer Fernsehshow entstanden ist, und über das sich viele Mathematiker jahrelang den Kopf zerbrochen haben! 


Simulation


Eine Simulation ist eine Nachbildung eines Zufallsexperimentes. Das Urnenexperiment ist eine beliebte und häufig verwendete Simulation von Zufallsexperimenten. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, aus der Urne zu ziehen: mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge. Diese Optionen lernst du im Abschnitt Kombinatorik kennen. Im Kapitel Simulation konzentrieren wir uns zunächst auf einige Grundlagen zur Simulation und anschließend lernst du die sogenannte Monte-Carlo-Methode kennen, bei der ein Zufallsversuch mithilfe von Zufallsziffern simuliert wird.


Kombinatorik


Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das nicht nur Anwendung in der Stochastik, sondern auch in der Mengenlehre und Gruppentheorie findet. Wichtige Mathematiker, die den Bereich der Kombinatorik prägten, waren Pascal, Fermat, Leibniz und Bernoulli.


In diesem Abschnitt lernst du zunächst die Produktregel der Kombinatorik und das allgemeine Zählprinzip kennen. Dann kannst du dich mit Permutationen, Kombinationen und Variationen auseinandersetzen - alles Möglichkeiten, ein Urnenexperiment zu betrachten. Zudem wirst du den Binomialkoeffizienten kennenlernen.



Schau dir doch mal die verschiedenen Artikel an! 


Viel Spaß beim Lernen!  

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung

Diese Frage kann nicht pauschal beantwortet werden, denn die Berechnung der Wahrscheinlichkeit hängt immer von der Art des Zufallsexperiments ab. 

Baumdiagramme braucht man bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Meistens zeichnet man einen Startpunkt und von ihm aus Linien zu den möglichen Ergebnissen der ersten Stufe des Experimentes. Von jedem dieser Ergebnisse werden dann wiederum Linien zu den möglichen Ergebnissen der zweiten Stufe des Experimentes gezeichnet. Dies kann man für eine beliebige Anzahl an Stufen fortführen.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet: 

P(B|A)=P(AnB):P(A)

Finales Wahrscheinlichkeitsrechnung Quiz

Frage

Was ist die Verzweigungsregel bei Baumdiagrammen?

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Antwort

Bei einem vollständigen Baumdiagramm beträgt die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, stets 1

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Frage

Wie werden bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm dargestellt?


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Antwort

Ab der 2. Stufe stehen im Baumdiagramm auf den Ästen bedingte Wahrscheinlichkeiten.

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Frage

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.


Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein befragtes Kind lieber Schokolade isst.

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Antwort

P(S) = P (M ∩ S) + P (J∩S)
P(S) = 12 / 30 * 8 /12 + 18 / 30 * 8 /18 = 8 / 15 = 53,33%

Frage anzeigen

Frage

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.


Untersuchen, ob die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ stochastisch unabhängig sind.

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Antwort

P (M∩S) = P(M) * PM(S) = 12 / 30 * 8 / 12 = 4 / 15 

P(M) * P(S) =12 / 30 * 8 /15 = 16 / 75

P(M∩S) != P(M) * P(S)

Die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ sind stochastisch abhängig.

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Frage

Was bedeutet stochastisch unabhängig?

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Antwort

Dass sich die Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen

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Frage

Was bedeutet stochastisch unvereinbar?

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Antwort

Dass nicht beide Ereignisse gleichzeitig eintreten können.

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen PB(A) und P(A ∩ B)?

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Antwort

PB(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B bereits erfüllt ist. 


P(A ∩ B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten.

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Frage

Kann man bedingte Wahrscheinlichkeiten direkt in Vierfeldertafeln eintragen?

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Antwort

Nein. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich in der Vierfeldertafel nicht direkt eintragen. Jedoch können P(A ∩ B) und P(B) direkt aus der Vierfeldertafel abgelesen werden.

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Frage

Bei der Produktion eines Spielzeugs für Kinder können zwei Fehler auftreten. 10 % der produzierten Spielzeuge haben einen Funktions- fehler (F1), 20 % haben einen Farbfehler (F2). 25 % aller Spielzeuge haben mindestens einen Fehler


Überprüfe die Ereignisse F1 und F2 auf stochastische Unabhängigkeit

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Antwort

P(F1 ∩ F2) = 0,05 P(F1) * P(F2) = 0,1 * 0,2 = 0,02
Also: P(F1 ∩ F2) = 0,05 != 0,02 = P(F1) * P(F2)

Die Ereignisse F1 und F2 sind stochastisch abhängig.

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Frage

Eine Fernsehredaktion will wissen, wie bekannt ihre neue Sendung „Wissenschaft für alle“ ist, und hat deshalb eine Umfrage durchgeführt. 45 % der Befragten waren männlich, 15 % der befragten Personen gaben an, dass sie die Sendung kennen. Unter denjenigen, die die Sendung kannten, waren 40 % männlich.


Eine befragte Person ist männlich. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie die Sendung kannte.

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Antwort

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine befragte Person die Sendung kannte, wenn man bereits weiß, dass sie männlich ist.


PM(B) = P(M∩B) / P(M) = 0,06 / 0,45 = 0,133

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 13,3 % kannte ein männlicher Befragter die Sendung.

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Frage

Was lässt sich mit Baumdiagrammen darstellen? 

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Antwort

Mehrstufige Zufallsexperimente

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Frage

Was ergeben die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen?



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Antwort

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben in der Summe immer 1

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Frage

Was ist die 1. Pfadregel? 

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Antwort

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Zufallsexperiments erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen des Pfades multipliziert, der zu dem Ergebnis führt.

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Frage

Was ist die 2. Pfadregel?

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Antwort

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse (Pfade) addiert, die zu dem Ereignis gehören.

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Frage

Per Losverfahren werden zwei Schüler einer Klasse ausgewählt, die gemeinsam den Vortrag über ein Klassenprojekt halten müssen. In der Klasse sind 12 Mädchen und 15 Jungen.


Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst der Name eines Jungen und dann der eines Mädchens gezogen wird.

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Antwort

Ereignis A: „Es wird erst ein Junge und dann ein Mädchen gezogen.“ Das gesuchte Ergebnis ist also JM. Mit der 1. Pfadregel erhält man:


P(A) = P(JM) = 15 / 27 * 12 / 26 = 0,2564 = 25,64%

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Frage

Was sagt die Anzahl der Pfade in einem Baumdiagramm aus? 

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Antwort

Die Anzahl der Pfade zeigt an, wie viele Ergebnisse das Zufallsexperiment enthält. Mit ihnen lässt sich der Ergebnisraum aufstellen.

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Frage

In welchen Aufgaben finden Baumdiagramme typischerweise Anwendung? 

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Antwort

In Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit und zur stochastischen Unabhängigkeit

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Frage

Was ist ein Laplace-Experiment?

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Antwort

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse des Ergebnisraums gleich wahrscheinlich sind

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Frage

Was gilt bei Laplace-Experimenten?

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Antwort

da alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, gilt: 

Ω = {ω1; ω2; …; ωm} mit P(ω1) = P(ω2) = … = P(ωm)

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Frage

Was ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit?

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Antwort

Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ωk des Ergebnisraums


P(ωk) = 1 / Ω = 1 / Anzahl aller möglichen Ergebnisse = 1 / m


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Frage

Was ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis A in einem Laplace-Experiment?

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Antwort

P(A) = A / Ω = Anzahl aller günstigen Ereignisse / Anzahl aller möglichen Ereignisse

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Frage

Ein zufällig ausgewählter Schüler wird befragt, ob er an einem Werktag oder an einem Wochenende geboren ist.


Stelle den Ergebnisraum so auf, dass es sich um ein Laplace-Experiment handelt.

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Antwort

Ω = {Montag; Dienstag; Mittwoch; Donnerstag; Freitag; Samstag; Sonntag}


Wählt man Ω = {Werktag; Wochenende} als Ergebnisraum, so sind die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich. Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment.

Frage anzeigen

Frage

Ein zufällig ausgewählter Schüler wird befragt, ob er an einem Werktag oder an einem Wochenende geboren ist. 


Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler an einem Wochenende geboren ist.

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Antwort

Für das Ereignis W: „Wochenende“ gilt: günstige Ergebnisse: W = {Samstag; Sonntag} 


Anzahl aller günstigen Ergebnisse: | W | = 2 

Anzahl aller möglichen Ergebnisse: | Ω | = 7


P(Wochenende) = I W I / | Ω | = 2 / 7 = 28,57%

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Frage

Eine Münze wird zweimal geworfen. Es wird jeweils notiert, ob „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt.


Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den beiden Würfen unterschiedliche Seiten oben liegen.

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Antwort

Für das Ereignis U: „unterschiedliche Seiten“ gilt: günstige Ergebnisse: U = {KZ; ZK} 


Anzahl aller günstigen Ergebnisse: | U | = 2 

Anzahl aller möglichen Ergebnisse: | Ω | = 4


P(unterschiedliche Seiten) = I U I /  | Ω | = Anzahl aller günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse = 2 / 4 = 50%

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Frage

Eine Münze wird zweimal geworfen. Es wird jeweils notiert, ob „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt.


Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal „Kopf“ angezeigt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Für das Ereignis M: „mindestens einmal Kopf“ gilt: günstige Ergebnisse: M = {KK; KZ; ZK} 


Anzahl aller günstigen Ergebnisse: | M | = 3 

Anzahl aller möglichen Ergebnisse: | Ω | = 4


P(mindestens einmal Kopf) = I M I / | Ω | = Anzahl aller günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse = 3 / 4 = 0,75 = 75%

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Frage

Nenne Beispiele für Laplace-Experimente?

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Antwort

Zum Beispiel Würfel oder Münzen

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Frage

Beim Würfeln seien die Ereignisse A = {6} und B = {2; 4; 6} definiert. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B. Interpretieren Sie das Ergebnis.

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Antwort

Wegen A ∩ B = {6} gilt Pb(A) = P (A ∩ B) / P(B) = ( 1 / 6 ) / (3 / 6) = 1 / 3


Durch die Zusatzinformation, dass die gewürfelte Zahl gerade ist, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs auf 1 / 3

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Frage

Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?

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Antwort

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn die spezielle Produktformel P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) gilt.

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Frage

Welche zwei Möglichkeiten gibt es um A und B auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen?

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Antwort

  • Man prüft, ob die spezielle Produktformel gilt
  • Man prüft, ob die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen.
Frage anzeigen

Frage

A und B seien stochastisch unabhängig, es gelte P(A) = 0,4. 

Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von A und B betrage 0,1. 

Wie groß ist P(B)?

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Antwort

Wegen der stochastischen Unabhängigkeit gilt P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).


P(B) = P(A ∩ B) / P(A) = 0,1 / 0,4 = 0,25 

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Frage

Ein Wurf mit einem Würfel kostet 1€ Einsatz. Ist das Produkt der beiden Augenzahlen größer als zwanzig, werden 3€ ausgezahlt. 

a. Ist das Spiel fair?

b. Wie müsste das Spiel geändert werden, damit das Spiel fair ist?

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Antwort

a. Nein

b. Die Auszahlung müsste 7€ betragen

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten!



Ein neuer Test für das Anoroc Virus weist das Virus bei 95% der infizierten Personen zuverlässig nach. Auch bei 10% der Patienten, die nicht mit dem Virus infiziert sind, liefert der Test ein positives Ergebnis.

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein positive getesteter Patient tatsächlich infiziert ist, wenn davon ausgegangen wird, dass 3% der Bevölkerung erkrankt sind. 
  2. Wie verändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn 6% der Bevölkerung erkrankt sind? 
  3. Der Test wurde so verbessert, dass er auch bei 95% der nicht infizierten Patienten richtig ausfällt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit aus b. erneut und begründe, warum es zu einer Veränderung kommt.
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 22,7%
  2. 37,7%
  3. 54,8%
    Durch die Verbesserung kommt es zu weniger falsch positiv getesteten Patienten, daher wird es wahrscheinlicher, dass ein positives Testergebnis tatsächlich auf eine Erkrankung basiert.
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Frage

Ein Lehrer möchte ermitteln, wie viele seiner Schüler beim letzten Test geschummelt haben. Da er damit rechnet, dass die Schüler auf eine direkte Frage nicht wahrheitsgemäß antworten lässt er sie zunächst verdeckt würfeln. Schüler, die eine gerade Zahl gewürfelt haben, antworten grundsätzlich mit „ja“, bei einem ungeraden Würfelergebnis antwortet der Schüler wahrheitsgemäß.


  1. Bestimme den Anteil der Schüler, die beim letzten Test vermutlich geschummelt haben, wenn 19 von 32 Schülern, nach dem Würfeln die Frage mit „ja“ beantworten. 
  2. Wie zuverlässig ist dieses Ergebnis einzuordnen?

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Antwort

  1. 18,75%
  2. Selbst wenn man davon ausgeht, dass die Schüler nach den Regeln des Experiments wahrheitsgemäß antworten ist die Stichprobe zu klein, um zuverlässige Ergebnisse zu erhalten.
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Frage

In der Hundezucht WOUF hat es Nachwuchs gegeben. Hündin Bella hat sechs zuckersüße Welpen, von denen zwei gescheckt, einer schwarz und drei braun sind. Diese Verteilung ist typisch für Hundepapa Rumo. Bei Würfen von Rüde Waldemar ist in der Regel die Hälfte der Welpen gescheckt, 35% sind weiß und die restlichen braun. Beide Rüden kommen abwechselnd zum Einsatz.


  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Rumo der Vater eines beliebigen gescheckten Welpen? 
  2. Maja und Goofy sind zwei braune Hunde aus der Hundezucht WOUF, mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden denselben Vater?
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Antwort

  1.  57,14%
  2.  64,50%
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Frage

Es werden zwei faire Würfel (mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5 und 6) geworfen. 


  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Würfel eine 3 zeigt?
  2. Es sei bekannt, dass mindestens ein Würfel eine 3 zeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Würfel auch eine 3 zeigt?
  3. Es sei bekannt, dass die Summe der beiden Würfel gleich 8 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den beiden Würfeln mindestens eine 3 ist?
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Antwort

  1. 11/36
  2. 1/11
  3. 2/5
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Frage

Es werden 3 faire Münzen (mit den Seiten Kopf und Zahl) geworfen.


  1. Nenne alle Kombinationen, die beim Werfen von 3 Münzen auftreten können. Wie viele gibt es?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?
  3. Es sei bekannt, dass die 3. Münze Kopf zeigt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?
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Antwort

  1. (KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ) , also insgesamt 8 Kombinationen
  2. 3/8
  3. 1/2
Frage anzeigen
60%

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