Login Anmelden

Select your language

Suggested languages for you:
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Ein bekanntes Zufallsexperiment ist zum Beispiel der Münzwurf, bei dem als mögliche Ergebnisse entweder Kopf oder Zahl geworfen werden kann.

Warum es sich bei einem Münzwurf um ein Zufallsexperiment handelt, eine Definition über die Grundbegriffe sowie wichtige Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung erfährst Du in dieser Erklärung.

Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt

In diesem Abschnitt erfährst Du, wie Du etwa Deinen Mitschülern die Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärst.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition

Die Definition der Wahrscheinlichkeitsrechnung beruht auf drei grundlegenden Sätzen, sogenannten Axiomen, welche Grundlage aller Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind.

Die drei Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung lauten:

  1. Jedem Ereignis \(A\) ist eine konkrete Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) zugeordnet, für die gilt: \(0\leq P(A)\leq 1\)
  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem Falle auftritt, ist 1.
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei verschiedenen Ereignissen eins von beiden eintritt, entspricht der Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. \(P\,(A_1 \cup A_2)=P\,(A_1)+P\,(A_2)\)

Was die einzelnen Begriffe bedeuten, erfährst Du im nächsten Abschnitt.

Mehr zu diesem Thema findest Du in der Erklärung "Axiome von Kolmogorow"

Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe

Zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehört das Zufallsexperiment, das Ergebnis sowie das Ereignis und der Wahrscheinlichkeitsbegriff.


Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe

Definition

Beispiel

Zufallsexperiment

Versuchsvorgang,
  • der einen genau festgelegten Plan zur Durchführung besitzt
  • bei dem bereits mögliche Ergebnisse des Experiments vorab bekannt sind
  • der nur Ergebnisse besitzt, die vorab nicht vorhergesagt werden können (Zufälligkeit).
Münzwurf

Wahrscheinlichkeitsrechnung – Ergebnis und Ereignis

  • Ergebnisse oder Elementarereignisse sind die einzelnen möglichen Versuchsausgänge
  • Ereignisse sind Versuchsaufgänge, die aus mehreren Ergebnissen bestehen
  • Mit einem Würfel wird die Zahl 1 gewürfelt, das Ergebnis ist also 1
  • Mit einem Würfel wird erst eine 2 und dann eine 5 gewürfelt, das sind zwei verschiedene Ergebnisse, zusammen ergeben sie aber das Ereignis, dass zuerst eine 2 und dann eine 5 gewürfelt wurde.

Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit

  • Die Wahrscheinlichkeit misst, wie häufig ein Ergebnis bei mehreren Wiederholungen eines Zufallsexperiments eintritt
  • Die Gegenwahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt
  • Die Wahrscheinlichkeit eine Eins mit einem sechsseitigen Würfel zu werfen steht 1 zu 6
  • Die Gegenwahrscheinlichkeit zur Zahl Eins steht 5 zu 6

In einem Zufallsexperiment können verschiedene Versuchsausgänge, die sogenannten Elementarereignisse \({\omega}_i\) erreicht werden. Wenn Du einen oder mehrere davon zusammenfasst, erhältst Du ein Ereignis \(A\) des Zufallsexperiments. Wiederum die Gesamtmenge aller Elementarereignisse wird als Ergebnismenge \(\Omega = \{{\omega}_1,\ldots {\omega}_i\}\) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) beschreibt dann entsprechend, wie wahrscheinlich das jeweilige Ereignis \(A\) auftritt.

Zu der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) solltest Du Dir folgende Eigenschaften merken:

  • Der Zahlenwert der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) liegt immer zwischen 0 und 1
    • \(P(A)=1 \rightarrow\) Ereignis trifft zu 100 % zu.
    • \(P(A)=0\rightarrow\) Ereignis trifft zu 0 % zu.
  • Wiederholst Du ein Zufallsexperiment oft genug, dann kann die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) über die relative Häufigkeit \(h_n (A)\) angegeben werden: \(P(A)\approx h_n (A)\)
  • Bei Laplace-Experimenten wird die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) über die Laplace-Regel berechnet: \(P(A)=\frac{|E|}{|\omega|}\)

Würfelst Du zum Beispiel mit einem sechsseitigen Würfel, dann hast Du eine Ergebnismenge \(\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\). Ist es jetzt Dein Ziel eine 1 zu würfeln, dann ist Dein Ergebnis \(E=1\). Da es auf dem Würfel sechs Seiten gibt und jede gleich wahrscheinlich ist, erhältst Du für die Wahrscheinlichkeit \(P(1)=\frac{1}{6}\)

Wenn Du noch mehr zu den Grundlagen erfahren möchtest, dann schau Dir doch die Erklärung „Wahrscheinlichkeit“ an.

Wahrscheinlichkeitsberechnung Formel

Die Formel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung beruht auf dem Prinzip, dass die Anzahl an möglichen Ergebnissen im Verhältnis zu den gewollten Ergebnissen gesetzt wird.

Die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit lautet:

\[P(A)\,=\frac{\text{Zahl der günstigen Fälle}}{\text{Zahl der möglichen Fälle}}\]

Um die Wahrscheinlichkeit in einem simplen Zufallsexperiment zu berechnen, brauchst Du also nur die Angaben zu der Anzahl an günstigen Fällen und der Anzahl an möglichen Fällen.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem sechsseitigen Würfel eine 1 zu werfen, entspricht dann dem Bruch \(\frac{1}{6}\).

Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt es bestimmte Regeln einzuhalten.

Regel
Formel
Erklärung
Additionsregel
\[P\,(A\text{ oder }B)\equiv P\,(A\cup B)\equiv P\,(A\lor B)=P\,(A)+P\,(B)\]
Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei verschiedenen Ereignissen eins von beiden eintritt, entspricht der Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
Gegenwahrscheinlichkeit
\[P\,(\overline{A})=1-P\,(A)\]

Die Gegenwahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt.

Normierung der Wahrscheinlichkeiten
\[P\,(A_1)+P\,(A_2)+P\,(A_3)+\ldots\,=1\]
Werden die Wahrscheinlichkeiten aller Versuchsausgänge addiert, so ist das Ergebnis 1.
Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse
\[P\,(A\text{ und }B)\equiv P\,(A\cap B)\equiv P\,(A\land B)=P\,(A)\cdot P\,(B) \]
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ergebnisse auftreten, entspricht dem Produkt der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Besonders die letzten zwei Regeln sind wichtig, wenn es um den Umgang mit einem Baumdiagramm geht.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Ein Mehrstufiges Zufallsexperiment ist ein Experiment, dass mehrmals hintereinander wiederholt wird. In diesem treten anders als beim einstufigen Zufallsexperiment nur abhängige Ereignisse auf.

  • Die unabhängigen Ergebnisse entstehen nur bei einstufigen Zufallsexperimenten. Die Wahrscheinlichkeiten verschiedenerer Pfade (siehe Baumdiagramm) können miteinander addiert werden. Dies wird 2. Pfadregel oder die Summenregel genannt.
  • Die abhängigen Ergebnisse entstehen stattdessen nur bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Das liegt daran, dass zwei aufeinanderfolgende Ergebnisse voneinander abhängig sind, weshalb die Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines Pfades miteinander multipliziert werden müsse.

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums \(|\Omega|\). Sie gibt an, wie viele Elemente in der Ergebnismenge \(\Omega\) liegen.

Diese Ergebnismenge kann durch andere Auswahl der Ergebnisse verändert werden. Dort wird entschieden zwischen der Vergröberung und der Verfeinerung von Omega \(\Omega\). Eine grobe Einteilung wäre beispielsweise, wenn die Ergebnisse „Alle geraden Zahlen“ umfassen würde. Eine feinere Einteilung wäre die spezifische Nennung von Werten wie \(\Omega=\{2,4,6\}\).

Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung Mehrstufiges Zufallsexperiment.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit, die nur bei mehrstufigen Zufallsexperimenten auftritt.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach Eintritt eines Ereignis \(A\) danach auch ein Ereignis \(B\) ein tritt. Diese Wahrscheinlichkeit wird mit \(P_A (B)\) beschrieben und besagt, dass die Wahrscheinlichkeit \(B\) unter der Bedingung \(A\) eintritt.

Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, des gesuchten Ergebnisses dann mit folgender Formel:

\[P_B (A)=\frac{p(A\cap B)}{P(B)}\]

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kannst Du durch Baumdiagramme und Vierfeldertafeln darstellen.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm – Bedingte Wahrscheinlichkeit

Ein Baumdiagramm ist ein Weg, ein mehrstufiges Zufallsexperiment visuell darzustellen. Dabei wird jede Stufe einzeln behandelt, sodass die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten klar aufeinander aufbauen.

  • Zu den ersten beiden Ergebnissen \(B\) und \(\overline{B}\) führen die „Pfade“ oder Wahrscheinlichkeiten \(P(B)\) und \(P(\overline{B})\).
  • Nachdem entweder \(B\) oder \(\overline{B}\) eingetreten ist, kann nun entweder \(A\) oder \(\overline{A}\) eintreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_B (A)\) und \(P_B (\overline{A})\) oder \(P_{\overline{B}} (A)\) und \(P_{\overline{B}} (\overline{A})\).

Wahrscheinlichkeitsrechnung Vierfeldertafel – Bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In dieser lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.

Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit \(A\) und \(\overline{A}\) beschriftet ist und je eine Spalte mit \(B\) und \(\overline{B}\) (oder andersherum). Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100 %.

\(B\)

\(\overline{B}\)

\(\Sigma\)

\(A\)

\(p(A\cap B)\)

\(P(A\cap \overline{B})\)

\(P(A)\)

\(\overline{A}\)

\(P(\overline{A}\cap B)\)

\(P(\overline{A}\cap \overline{B})\)

\(P(\overline{A})\)

\(\Sigma\)

\(P(B)\)

\(P(\overline{B})\)

1


Merke: Bei stochastisch unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und die Wahrscheinlichkeit der Menge \(\text{A ∩ B}\) entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\).

Mehr dazu findest Du in der Erklärung „Vierfeldertafel“.

Simulation

In der Stochastik verstehst Du unter Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann. Zu diesen Gründen zählen unter anderem ein zu hoher Aufwand, zu hohe Kosten oder auch eine sehr große Menge an benötigten Materialien.

In solchen Fällen wird dann ein einfacheres Zufallsexperiment als „Ersatz“ gesucht, dass nicht nur repräsentativ für das eigentliche Zufallsexperiment ist, sondern auch ohne großen Aufwand und unabhängig voneinander mehrmals durchgeführt werden kann.

Eine Simulation muss unabhängig voneinander hinreichend oft realisiert werden. Nur dann kann aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen näherungsweise Angaben zur gesuchten Wahrscheinlichkeit gemacht werden.

Mehr zum Thema Simulation kannst Du in der Erklärung Simulation Wahrscheinlichkeit nachlesen.

Kombinatorik

Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (auch Permutationen genannt) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen genannt) von Objekten bei Versuchsausgängen.

Bei einer Anordnung bzw. Permutation werden dabei alle Elemente der Grundmenge betrachtet, wohingegen bei Auswahlen, entweder Variationen oder Kombinationen, nur eine Stichprobe der Grundmenge im Fokus des Interesses liegt. Es gibt weiterhin geordnete und ungeordnete Stichproben, je nachdem, ob die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt wird, wie bei der Variation, oder nicht, wie bei der Kombination. Bei Anordnungen bzw. Permutationen wird die Reihenfolge immer berücksichtigt.

Zur Berechnung der Anzahlen in den verschiedenen Fällen dienen verschiedene Formeln:

ohne Wiederholungmit Wiederholung
Permutation\(n!\)\(\dfrac{n!}{k_1 !\cdot k_2 !\cdot \ldots \cdot k_n !}\)
Variation\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)\(n^k\)
Kombination\(\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)\(\dfrac{(n+k-1)!}{(n-1)! \cdot k!}\)

Wenn Du noch mehr über dieses Thema erfahren möchtest, dann schau Dir doch die Erklärung „Kombinatorik“ an.

Wahrscheinlichkeitsrechnung – Das Wichtigste

  • Die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) beschreibt, wie wahrscheinlich das jeweilige Ereignis \(A\) auftritt.
  • Die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit lautet:

    \[P(A)\,=\frac{\text{Zahl der günstigen Fälle}}{\text{Zahl der möglichen Fälle}}\]

  • Zu der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) solltest Du Dir folgende Eigenschaften merken:
    • Der Zahlenwert der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) liegt immer zwischen 0 und 1
      • \(P(A)=1 \rightarrow\) Ereignis trifft zu 100 % zu.
      • \(P(A)=0\rightarrow\) Ereignis trifft zu 0 % zu.
    • Wiederholst Du ein Zufallsexperiment oft genug, dann kann die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) über die relative Häufigkeit \(h_n (E)\) angegeben werden: \(P(E)\approx h_n (E)\)
  • Die unabhängigen Ergebnisse entstehen nur bei einstufigen Zufallsexperimenten. Die Wahrscheinlichkeiten verschiedenerer Pfade (siehe Baumdiagramm) können miteinander addiert werden. Dies wird Summenregel genannt.
  • Die abhängigen Ergebnisse entstehen stattdessen nur bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Das liegt daran, dass zwei aufeinanderfolgende Ergebnisse voneinander abhängig sind, weshalb die Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines Pfades miteinander multipliziert werden müssen.
  • Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach Eintritt eines Ereignis \(A\) danach auch ein Ereignis \(B\) eintritt. Diese Wahrscheinlichkeit wird mit \(P_A (B)\) beschrieben und besagt, dass die Wahrscheinlichkeit \(B\) unter der Bedingung \(A\) eintritt.
  • Ein Baumdiagramm ist ein Weg, ein mehrstufiges Zufallsexperiment visuell darzustellen. Dabei wird jede Stufe einzeln behandelt, sodass die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten klar aufeinander aufbauen.
  • Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.
  • In der Stochastik verstehst Du unter Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle
    • Ein „Ersatz“-Zufallsexperiment muss unabhängig voneinander hinreichend oft realisiert werden. Nur dann kann aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen näherungsweise Angaben zur gesuchten Wahrscheinlichkeit gemacht werden.
  • Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (auch Permutationen genannt) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen genannt) von Objekten bei Versuchsausgängen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeit berechnest Du, indem Du die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle teilst.

Ein Baumdiagramm erstellst Du, indem Du zuerst von einem Ausgangspunkt aus zwei Pfade zu den ersten beiden möglichen Ergebnissen zeichnest. Von diesen Ergebnissen führen dann wieder jeweils zwei Pfade weiter zu den nächsten Ergebnissen, von denen aus du wieder das Gleiche zeichnen könntest. Wie viele Pfade Du am Ende zeichnest, hängt von dem Zufallsexperiment ab.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Ereignis B das Ereignis A eintritt, berechnest Du, indem Du die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit, dass nur B eintritt, teilst.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Wie Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst, hängt davon ab, ob es sich um ein einstufiges oder mehrstufiges Zufallsexperiment handelt. Bei einstufigen Zufallsexperimenten ist von der einfachen Wahrscheinlichkeit die Rede, bei mehrstufigen von der bedingten Wahrscheinlichkeit. 

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten. Ein sicheres Ereignis hat dabei eine Wahrscheinlichkeit von 1 bzw. von 100 %. Bei einem unmöglichen Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit dagegen 0 %.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst Du immer dann benutzen, wenn Du die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses bestimmen möchtest. So kannst Du zum Beispiel die möglichen Ergebnisse bei einem Glücksspiel, wie etwa das Drehen an einem Glücksrad, besser einschätzen.

Finales Wahrscheinlichkeitsrechnung Quiz

Frage

Was ist die Verzweigungsregel bei Baumdiagrammen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem vollständigen Baumdiagramm beträgt die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, stets 1

Frage anzeigen

Frage

Wie werden bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm dargestellt?


Antwort anzeigen

Antwort

Ab der 2. Stufe stehen im Baumdiagramm auf den Ästen bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Frage anzeigen

Frage

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.


Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein befragtes Kind lieber Schokolade isst.

Antwort anzeigen

Antwort

P(S) = P (M ∩ S) + P (J∩S)
P(S) = 12 / 30 * 8 /12 + 18 / 30 * 8 /18 = 8 / 15 = 53,33%

Frage anzeigen

Frage

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.


Untersuchen, ob die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ stochastisch unabhängig sind.

Antwort anzeigen

Antwort

P (M∩S) = P(M) * PM(S) = 12 / 30 * 8 / 12 = 4 / 15 

P(M) * P(S) =12 / 30 * 8 /15 = 16 / 75

P(M∩S) != P(M) * P(S)

Die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ sind stochastisch abhängig.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet stochastisch unabhängig?

Antwort anzeigen

Antwort

Dass sich die Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet stochastisch unvereinbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Dass nicht beide Ereignisse gleichzeitig eintreten können.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen PB(A) und P(A ∩ B)?

Antwort anzeigen

Antwort

PB(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B bereits erfüllt ist. 


P(A ∩ B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten.

Frage anzeigen

Frage

Kann man bedingte Wahrscheinlichkeiten direkt in Vierfeldertafeln eintragen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich in der Vierfeldertafel nicht direkt eintragen. Jedoch können P(A ∩ B) und P(B) direkt aus der Vierfeldertafel abgelesen werden.

Frage anzeigen

Frage

Bei der Produktion eines Spielzeugs für Kinder können zwei Fehler auftreten. 10 % der produzierten Spielzeuge haben einen Funktions- fehler (F1), 20 % haben einen Farbfehler (F2). 25 % aller Spielzeuge haben mindestens einen Fehler


Überprüfe die Ereignisse F1 und F2 auf stochastische Unabhängigkeit

Antwort anzeigen

Antwort

P(F1 ∩ F2) = 0,05 P(F1) * P(F2) = 0,1 * 0,2 = 0,02
Also: P(F1 ∩ F2) = 0,05 != 0,02 = P(F1) * P(F2)

Die Ereignisse F1 und F2 sind stochastisch abhängig.

Frage anzeigen

Frage

Eine Fernsehredaktion will wissen, wie bekannt ihre neue Sendung „Wissenschaft für alle“ ist, und hat deshalb eine Umfrage durchgeführt. 45 % der Befragten waren männlich, 15 % der befragten Personen gaben an, dass sie die Sendung kennen. Unter denjenigen, die die Sendung kannten, waren 40 % männlich.


Eine befragte Person ist männlich. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie die Sendung kannte.

Antwort anzeigen

Antwort

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine befragte Person die Sendung kannte, wenn man bereits weiß, dass sie männlich ist.


PM(B) = P(M∩B) / P(M) = 0,06 / 0,45 = 0,133

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 13,3 % kannte ein männlicher Befragter die Sendung.

Frage anzeigen

Frage

Was lässt sich mit Baumdiagrammen darstellen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Mehrstufige Zufallsexperimente

Frage anzeigen

Frage

Was ergeben die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen?



Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben in der Summe immer 1

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 1. Pfadregel? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Zufallsexperiments erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen des Pfades multipliziert, der zu dem Ergebnis führt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 2. Pfadregel?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse (Pfade) addiert, die zu dem Ereignis gehören.

Frage anzeigen

Frage

Per Losverfahren werden zwei Schüler einer Klasse ausgewählt, die gemeinsam den Vortrag über ein Klassenprojekt halten müssen. In der Klasse sind 12 Mädchen und 15 Jungen.


Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst der Name eines Jungen und dann der eines Mädchens gezogen wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Ereignis A: „Es wird erst ein Junge und dann ein Mädchen gezogen.“ Das gesuchte Ergebnis ist also JM. Mit der 1. Pfadregel erhält man:


P(A) = P(JM) = 15 / 27 * 12 / 26 = 0,2564 = 25,64%

Frage anzeigen

Frage

Was sagt die Anzahl der Pfade in einem Baumdiagramm aus? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Anzahl der Pfade zeigt an, wie viele Ergebnisse das Zufallsexperiment enthält. Mit ihnen lässt sich der Ergebnisraum aufstellen.

Frage anzeigen

Frage

In welchen Aufgaben finden Baumdiagramme typischerweise Anwendung? 

Antwort anzeigen

Antwort

In Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit und zur stochastischen Unabhängigkeit

Frage anzeigen

Frage

Beim Würfeln seien die Ereignisse A = {6} und B = {2; 4; 6} definiert. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Antwort anzeigen

Antwort

Wegen A ∩ B = {6} gilt Pb(A) = P (A ∩ B) / P(B) = ( 1 / 6 ) / (3 / 6) = 1 / 3


Durch die Zusatzinformation, dass die gewürfelte Zahl gerade ist, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs auf 1 / 3

Frage anzeigen

Frage

Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn die spezielle Produktformel P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) gilt.

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Möglichkeiten gibt es um A und B auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Man prüft, ob die spezielle Produktformel gilt
  • Man prüft, ob die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

A und B seien stochastisch unabhängig, es gelte P(A) = 0,4. 

Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von A und B betrage 0,1. 

Wie groß ist P(B)?

Antwort anzeigen

Antwort

Wegen der stochastischen Unabhängigkeit gilt P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).


P(B) = P(A ∩ B) / P(A) = 0,1 / 0,4 = 0,25 

Frage anzeigen

Frage

Ein Wurf mit einem Würfel kostet 1€ Einsatz. Ist das Produkt der beiden Augenzahlen größer als zwanzig, werden 3€ ausgezahlt. 

a. Ist das Spiel fair?

b. Wie müsste das Spiel geändert werden, damit das Spiel fair ist?

Antwort anzeigen

Antwort

a. Nein

b. Die Auszahlung müsste 7€ betragen

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten!



Ein neuer Test für das Anoroc Virus weist das Virus bei 95% der infizierten Personen zuverlässig nach. Auch bei 10% der Patienten, die nicht mit dem Virus infiziert sind, liefert der Test ein positives Ergebnis.

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein positive getesteter Patient tatsächlich infiziert ist, wenn davon ausgegangen wird, dass 3% der Bevölkerung erkrankt sind. 
  2. Wie verändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn 6% der Bevölkerung erkrankt sind? 
  3. Der Test wurde so verbessert, dass er auch bei 95% der nicht infizierten Patienten richtig ausfällt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit aus b. erneut und begründe, warum es zu einer Veränderung kommt.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 22,7%
  2. 37,7%
  3. 54,8%
    Durch die Verbesserung kommt es zu weniger falsch positiv getesteten Patienten, daher wird es wahrscheinlicher, dass ein positives Testergebnis tatsächlich auf eine Erkrankung basiert.

Frage anzeigen

Frage

Ein Lehrer möchte ermitteln, wie viele seiner Schüler beim letzten Test geschummelt haben. Da er damit rechnet, dass die Schüler auf eine direkte Frage nicht wahrheitsgemäß antworten lässt er sie zunächst verdeckt würfeln. Schüler, die eine gerade Zahl gewürfelt haben, antworten grundsätzlich mit „ja“, bei einem ungeraden Würfelergebnis antwortet der Schüler wahrheitsgemäß.


  1. Bestimme den Anteil der Schüler, die beim letzten Test vermutlich geschummelt haben, wenn 19 von 32 Schülern, nach dem Würfeln die Frage mit „ja“ beantworten. 
  2. Wie zuverlässig ist dieses Ergebnis einzuordnen?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 18,75%
  2. Selbst wenn man davon ausgeht, dass die Schüler nach den Regeln des Experiments wahrheitsgemäß antworten ist die Stichprobe zu klein, um zuverlässige Ergebnisse zu erhalten.

Frage anzeigen

Frage

In der Hundezucht WOUF hat es Nachwuchs gegeben. Hündin Bella hat sechs zuckersüße Welpen, von denen zwei gescheckt, einer schwarz und drei braun sind. Diese Verteilung ist typisch für Hundepapa Rumo. Bei Würfen von Rüde Waldemar ist in der Regel die Hälfte der Welpen gescheckt, 35% sind weiß und die restlichen braun. Beide Rüden kommen abwechselnd zum Einsatz.


  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Rumo der Vater eines beliebigen gescheckten Welpen? 
  2. Maja und Goofy sind zwei braune Hunde aus der Hundezucht WOUF, mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden denselben Vater?

Antwort anzeigen

Antwort

  1.  57,14%
  2.  64,50%

Frage anzeigen

Frage

Es werden zwei faire Würfel (mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5 und 6) geworfen. 


  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Würfel eine 3 zeigt?
  2. Es sei bekannt, dass mindestens ein Würfel eine 3 zeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Würfel auch eine 3 zeigt?
  3. Es sei bekannt, dass die Summe der beiden Würfel gleich 8 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den beiden Würfeln mindestens eine 3 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 11/36
  2. 1/11
  3. 2/5

Frage anzeigen

Frage

Es werden 3 faire Münzen (mit den Seiten Kopf und Zahl) geworfen.


  1. Nenne alle Kombinationen, die beim Werfen von 3 Münzen auftreten können. Wie viele gibt es?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?
  3. Es sei bekannt, dass die 3. Münze Kopf zeigt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. (KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ) , also insgesamt 8 Kombinationen
  2. 3/8
  3. 1/2

Frage anzeigen

Frage

Womit befasst sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in Zufallsexperimenten.

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Mathematiker gelten als die Gründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mathematiker Blaise Pascal und Pierre de Fermat.

Frage anzeigen

Frage

Warum kannst du nicht einfach sagen, in der zweiten Runde der Gameshow triffst du zu 50% die Tür mit dem Gewinn?

Antwort anzeigen

Antwort

Weil der Moderator weiß, hinter welcher Türe der Gewinn ist und mit Absicht eine Tür mit Niete geöffnet hat. Aus diesem Grund handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit und du musst die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Runde mit einbeziehen.

Frage anzeigen

Frage

In der Vierfeldertafel hast du 5 Felder mit dem gewünschten Ereignis und 4 Felder mit dem unerwünschten Ereignis. Wie hoch steht die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Ereignis eintritt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 55,56%.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten auf dem Baumdiagramm ausrechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Äste, die vom selben Punkt ausgehen, müssen zusammen immer 1 ergeben. Also kannst du 1 minus die bereits gegebene Zahl rechnen und erhältst die fehlende Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Wozu ist die Vierfeldertafel gut?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Vierfeldertafel ist ein einfaches und dennoch hilfreiches Tool um Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen zu untersuchen. Du kannst sie jedoch nur bei unabhängigen Ereignissen anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist stochastische Unabhängigkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Stochastische Unabhängigkeit sagt aus, dass zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten können und sich durch das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse werden einfach miteinander multipliziert.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du überprüfen, ob du in der Vierfeldertafel richtig gerechnet hast?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle 4 Felder zusammen müssen immer 1 ergeben. Ist die Summer größer oder kleiner als 1, hast du dich irgendwo verrechnet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Die absolute Häufigkeit gibt die Anzahl bestimmter Ereignisse an, während die relative Häufigkeit nur den Anteil bestimmter Ereignisse an der Gesamtzahl der Ereignisse angibt.

Frage anzeigen

Frage

Von 20 Hasen sind 10 weiß und 15 fressen am liebsten Karotten.

Reichen dir diese Angaben schon, um die fehlenden Zahlen auszurechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, denn von 20 Hasen sind 10 weiß, also sind die anderen 10 nicht weiß. 15 Hasen mögen Karotten, also fressen 5 Hasen lieber etwas anderes. Nun hast du alle Angaben, die du brauchst.

Frage anzeigen

Frage

Kannst du eine Vierfeldertafel auch ohne ein Baumdiagramm erstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, allerdings musst du dann aufpassen, dass du nicht durcheinander kommst, weil du vieles erst im Kopf ausrechnen musst, bevor du es in die Felder der Vierfeldertafel schreibst. Es empfiehlt sich also immer, zumindest eine grobe Skizze vom Baumdiagramm zu machen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Regel braucht man für die Vierfeldertafel?

Antwort anzeigen

Antwort

Summenregel

Frage anzeigen

Frage

Wie ist der Ablauf der Show, auf der das Ziegenproblem basiert?

Antwort anzeigen

Antwort

In einer Show mit dem Namen "Let's make a deal" gab es 3 Türen. Hinter einer von ihnen stand ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege. Nun fragte der Moderator den Kandidaten, hinter welcher Tür das Auto sei. Nachdem der Kandidat sich für eine Tür entschieden hatte, öffnete der Moderator eine Tür mit einer Ziege dahinter und frage den Kandidaten, ob er seine Entscheidung ändern wolle. 

Frage anzeigen

Frage

Was antwortete Marylin ihren Lesern auf die Frage, ob es klug sei, bei der zuerst gewählten Tür zu bleiben?

Antwort anzeigen

Antwort

"Wechseln Sie. Sie verdoppeln sich damit Ihre Chance, zu gewinnen."

Frage anzeigen

Frage

Welche Art von Wahrscheinlichkeit stellt ein Würfelwurf dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich hier um eine einfache Wahrscheinlichkeit, da jede Seite die selbe Wahrscheinlichkeit hat, oben zu liegen. Die einfache Wahrscheinlichkeit wird als p geschrieben.

Frage anzeigen

Frage

Warum musst du beim Ziegenproblem mit der bedingten Wahrscheinlichkeit rechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Du musst die bedingte Wahrscheinlichkeit anwenden, weil der Moderator bewusst eine Tür mit einer Ziege öffnet. Daher steigt in der 2. Runde die Chance auf den Gewinn.

Frage anzeigen

Frage

Warum kannst du das Baumdiagramm vereinfachen, wenn der Kandidat bei seiner zuerst getroffenen Entscheidung bleibt?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Kandidat sich nicht umentscheidet, sind die Wahrscheinlichkeiten aus der 2. Runde irrelevant.

Frage anzeigen

Frage

Wie rechnest du Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Im Baumdiagramm wendest du bedingte Wahrscheinlichkeiten an und brauchst deshalb die 1. Pfadregel (Produktregel), um die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die Produktregel.

Antwort anzeigen

Antwort

Die 1. Pfadregel - auch Produktregel genannt - wird verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Ereignisses zu berechnen. Dazu werden die Äste, die dorthin führen, miteinander multipliziert.

Frage anzeigen

Frage

Wozu ist die Vierfeldertafel gut?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit einer Vierfeldertafel kannst du die Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen und deren Ausprägungen untersuchen. Sie ist ein einfaches und effektives Instrument in der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Frage anzeigen

Frage

Glaubst du, ein Wechsel der Tür in der 2. Runde erhöht die Chance auf das Auto?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja. diese Tatsache lässt sich mathematisch beweisen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung
60%

der Nutzer schaffen das Wahrscheinlichkeitsrechnung Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Get FREE ACCESS to all of our study material, tailor-made!

Over 10 million students from across the world are already learning smarter.

Get Started for Free
Illustration