Mittelwert

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Bei großen und/oder unübersichtlichen Datenmengen ist es nützlich, einige wenige Werte zu haben, die die Datenmenge möglichst passend beschreiben. In der beschreibenden (deskriptiven) Statistik werden Datenreihen zum Beispiel mithilfe von Lagemaßen und Streumaßen zusammengefasst.

Mit dem Begriff Mittelwert ist in diesem Artikel das arithmetische Mittel gemeint. Das arithmetische Mittel ist ein Lagemaß und dient dazu, die Mitte einer Datenmenge zu beschreiben.

Manchmal wird der Mittelwert auch ähnlich wie das Lagemaß als Oberbegriff verwendet. Dann werden etwa das arithmetische Mittel, der Median oder der Modus als Mittelwerte zusammengefasst.

Arithmetischer Mittelwert – Definition

Der Mittelwert ist das im Alltag gebräuchlichste und bekannteste Lagemaß.

Der Mittelwert wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird:

$x = \frac{S u m m e d e r e i n z e l n e n T e s t w e r t e}{A n z a h l d e r e r h o b e n e n T e s t s} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ .

Der Mittelwert wird auch arithmetisches Mittel genannt. Umgangssprachlich wird der Mittelwert auch oft als Durchschnitt bezeichnet. Der Mittelwert kann mit einem x mit einem Querstrich ( $x$ ), "x quer" genannt, beschrieben werden.

Der Mittelwert wird beispielsweise genutzt, wenn der Notendurchschnitt einer Schulaufgabe berechnet wird. Daher kennst du ihn bereits.

Wir wollen uns jetzt aber ein anderes Beispiel ansehen.

Aufgabe 1

Nach den Sommerferien wird in einer Klasse ermittelt, wie viele Tage während der Ferien im Ausland verbracht wurden. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle notiert:

Berechne den Mittelwert.

Lösung

Insgesamt wurden 15 Daten erhoben: $n = 15$

$x = \frac{21 + 0 + 6 + 4 + 14 + 25 + 19 + 2 + 14 + 9 + 0 + 7 + 18 + 12 + 14}{15} x = \frac{165}{15} x = 11 \frac{}{}$

Durchschnittlich ist also jede/r Schüler*in 11 Tage im Ausland gewesen.

Mittelwert berechnen

Nicht immer stehen die "Rohdaten" (unverarbeiteten Daten) zur Verfügung. Deshalb müssen Mittelwerte manchmal auch aus Häufigkeitsverteilungen, die beispielsweise in Balken-, Säulen- oder Kreisdiagrammen dargestellt werden, bestimmt werden.

Eine Häufigkeitsverteilung gibt an, wie oft ein bestimmter Wert in der Urliste vorkommt.

Mittelwert mit der absoluten Häufigkeitsverteilung berechnen

Wenn die absoluten Häufigkeiten gegeben sind, kannst du das arithmetische Mittel berechnen.

Berechnen des arithmetischen Mittels aus einer absoluten Häufigkeitsverteilung:

Dazu multiplizierst du die absoluten Häufigkeiten mit der entsprechenden Anzahl dieses Wertes und addierst diese Produkte. Das teilst du dann durch die Summe der absoluten Häufigkeiten.

$x = \frac{x_{1} \cdot H_{1} + x_{2} \cdot H_{2} + \dots + x_{n} \cdot H_{n}}{H_{1} + H_{2} + \dots + H_{n}}$

Die absoluten Häufigkeiten $H_{1}, \dots, H_{n}$ geben an, wie häufig die entsprechende Merkmalsausprägung in der Urliste vorkommt.

Oft klingen Formeln kompliziert, wenn man sie so allgemein aufgeschrieben sieht. Aber wenn du dir das Beispiel ansiehst, wird klar, wie es funktioniert.

Aufgabe 2

Die Anzahl der Geschwister der Schüler*innen der siebten Klassen wurde erhoben. Im Säulendiagramm kannst du die Ergebnisse sehen.

Mittelwert Säulendiagramm StudySmarter Abbildung 1: Säulendiagramm - Anzahl der Geschwister der Schüler*innen der siebten Klasse

Berechne anschließend das arithmetische Mittel.

Wenn du nicht genau weißt, was ein Säulendiagramm ist, kannst du das im entsprechenden Artikel noch einmal nachlesen.

Lösung

Um den Zähler zu berechnen, musst du immer das Produkt aus Wert und Anzahl bilden und diese Produkte addieren.
Um den Nenner zu berechnen, musst du die Anzahl aller Werte berechnen.

$x = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1}{2 + 12 + 12 + 2 + 1 + 1} x = \frac{51 : 3}{30 : 3} x = \frac{17}{10} x = 1, 7 \frac{}{}$

Durchschnittlich hat ein/e Schüler*in dieser siebten Klasse 1,7 Geschwister.

Mittelwert mit der relativen Häufigkeitsverteilung berechnen

Du kannst den Mittelwert aber nicht nur aus einer absoluten Häufigkeitsverteilung bestimmen, sondern auch berechnen, wenn relative Häufigkeiten angegeben sind.

Die relative Häufigkeitsverteilung gibt an, welchen Anteil eine bestimmte Merkmalsausprägung an der Gesamtheit der Daten hat.

Oft werden relative Häufigkeiten durch Prozentwerte angegeben.

Berechnen des arithmetischen Mittels aus einer relativen Häufigkeitsverteilung:

Das arithmetische Mittel lässt sich berechnen, indem die Werte mit ihren relativen Häufigkeiten multipliziert werden und diese Produkte dann addiert werden.

$x = x_{1} \cdot h_{1} + x_{2} \cdot h_{2} + \dots + x_{n} \cdot h_{n}$

Im nächsten Beispiel wird dir gezeigt, wie du das arithmetische Mittel berechnen kannst, wenn Prozentwerte beziehungsweise relative Häufigkeiten gegeben sind.

Aufgabe 3

Das Kreisdiagramm zeigt die Notenverteilung der letzten Schulaufgabe.

Mittelwert Kreisdiagramm StudySmarter Abbildung 2: Kreisdiagramm - Notenverteilung einer Schulaufgabe

Berechne den Notendurchschnitt der Klasse.

Wenn du nicht genau weißt, was ein Kreisdiagramm ist, kannst und das im entsprechenden Artikel nachlesen.

Lösung

Wenn relative Häufigkeiten gegeben sind, berechnest du den Mittelwert, indem du die Produkte aus Wert und relativer Häufigkeit addierst.

Achtung! Du musst die Prozentwerte erst in Dezimalzahlen umrechnen. Das funktioniert, indem du das Komma um 2 Stellen nach links verschiebst. Zum Beispiel: $1 % = \frac{1}{100} = 0, 01$

$x = 1 \cdot 0, 05 + 2 \cdot 0, 3 + 3 \cdot 0, 3 + 4 \cdot 0, 15 + 5 \cdot 0, 15 + 6 \cdot 0, 05 x = 3, 2 \frac{}{}$

Der Notendurchschnitt in der Schulaufgabe ist 3,2.

Besondere Mittelwerte

Das arithmetische Mittel stellt nicht immer die beste Möglichkeit dar, um Daten zu beschreiben. Deshalb gibt es auch andere Mittelwerte.

Gewichteter Mittelwert

Beim arithmetischen Mittel werden alle Daten gleich gewichtet. Wenn die Werte einer Datenreihe jedoch nicht gleichermaßen gewichtet werden sollen, sondern einige vielleicht ein höheres oder geringeres Gewicht haben als andere, so wird auf den gewichteten Mittelwert und nicht das arithmetische Mittel zurückgegriffen.

Du kennst diese Art der Berechnung auch schon, denn deine Note in einem Schulfach setzt sich aus Schulaufgabennoten, mündlichen Noten und Exen zusammen. Die Schulaufgabe wird dabei höher gewichtet (doppelt) als die anderen Noten.

Der gewichtete Mittelwert oder das gewogene arithmetische Mittel wird berechnet, indem die Datenwerte mit ihrem Gewicht multipliziert werden und die Summe dieser Produkte durch die Summe der Gewichte geteilt wird:

$x_{g} = \frac{g_{1} \cdot x_{1} + g_{2} \cdot x_{2} + \dots + g_{n} \cdot x_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}}$ .

Dabei sind $x_{1}, \dots, x_{n}$ die Daten und $g_{1}, \dots, g_{n}$ die zugehörigen Gewichte.

Sieh die dieses Beispiel an, bei dem die Daten des Datensatzes unterschiedlich gewichtet werden.

Aufgabe 4

Der durchschnittliche Ölverbrauch in Finnland beträgt ungefähr 5.925 kg pro Kopf, in Norwegen 5.820 kg pro Kopf und in Schweden, 5.102 kg pro Kopf.

Wenn du den mittleren Ölverbrauch der drei Länder berechnen müsstest, könntest du das arithmetische Mittel der drei Werte bilden. Dies spiegelt die wirkliche Situation aber nicht gut wider, weil die Länder unterschiedlich viele Einwohner*innen haben.

Deshalb ist es besser, die einzelnen Werte mit den Einwohnerzahlen zu gewichten.

Norwegen: 5 Mio. Einwohner
Schweden: 10 Mio. Einwohner
Finnland: 5 Mio. Einwohner

Berechne den mittleren Ölverbrauch der drei Länder.

Lösung

Du musst jetzt also das mit den Einwohnerzahlen gewichtete Mittel berechnen.

$\frac{5 \cdot 5820 k g + 10 \cdot 5102 k g + 5 \cdot 5925 k g}{5 + 10 + 5} = \frac{29100 k g + 51020 k g + 29625 k g}{20} = 5487, 25 k g \approx 5487 k g$

Im Schnitt verbraucht ein Einwohner der drei Länder also 5487 kg,

Gleitender Mittelwert

Der gleitende Mittelwert wird hergenommen, wenn Daten in Abhängigkeit von der Zeit gemessen werden. Bei dieser Methode wird das arithmetische Mittel immer über die gleiche Anzahl an Werten gebildet. Es wird immer der Wert zu einem bestimmten Messzeitpunkt und eine bestimmte Anzahl an Werten davor und danach zusammengefasst. Aus den Werten innerhalb dieses gleitenden Messfensters wird das arithmetische Mittel gebildet.

Das Ziel ist, Schwankungen auszugleichen und so die Kurve der gemessenen Daten zu glätten.

Betrachte die blaue Kurve, die den Niederschlag pro Monat für Deutschland im Jahr 2021 zeigt.

Mittelwert gleitender Mittelwert StudySmarter

Abbildung 3: Niederschlag in Deutschland 2021 monatlich und mit gleitendem Mittelwert angegeben

Bei der orangen, geglätteten Kurve wurde der gleitende Mittelwert angewandt. Jeder orange Punkt ist das Mittel aus drei Messwerten.

Der erste orange Wert ist somit das Mittel der Werte für Januar, Februar und März
Der zweite orange Punkt ist dann das Mittel der Werte für Februar, März und April
...

Unterschied zwischen Median und Mittelwert

Neben dem Mittelwert gibt es noch weitere Lagemaße wie den Median. Sowohl der Median als auch das arithmetische Mittel stellen einfache Möglichkeiten dar, einen Datensatz zusammenzufassen.

Der Median ist der Wert, der in einem geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt. Geordnet bedeutet, dass die Werte der Größe nach aufgeschrieben sind.

Manchmal wird der Median auch als Zentralwert bezeichnet. Als Symbol wird oft $\tilde{x}$ , $x_{0, 5}$ oder $x_{m e d}$ verwendet.

Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels werden alle Daten des Datensatzes mitberücksichtigt. Deshalb reagiert der Mittelwert stark auf Ausreißer, also auf Werte, die wesentlich kleiner oder größer sind als die anderen. Man sagt dazu auch, dass das arithmetische Mittel nicht robust gegenüber Ausreißern ist.

Bei der Bestimmung des Median hingegen gehen nur ein oder zwei Daten der Datenreihe ein. Der Median ist damit robust gegenüber Ausreißern, da sich sein Wert nicht durch einen besonders großen oder kleinen Wert ändert.

Schauen wir uns dieses Beispiel an, bei dem Median und arithmetisches Mittel bestimmt werden sollen.

Aufgabe 5

Ein Pharmaunternehmen möchte testen, ob das neue Medikament zur Blutdrucksenkung besser geeignet ist als das alte. Dazu haben sie den Blutdruck vor und nach Einnahme des Medikaments gemessen. In der Tabelle siehst du die Höhe der Blutdrucksenkung (in mmHg).

Altes Medikament	Neues Medikament
15	17
4	7
9	6
19	14
17	15
6	17
51	17
14	18
9	15

Die Blutdrucksenkung eines Medikaments wird dann als erfolgreich eingeschätzt, wenn der Blutdruck mindestens 15 mmHg gesenkt wurde.

Bestimme Median und Mittelwert und entscheide, ob das neue Medikament besser ist als das alte.

Lösung

Altes Medikament	Neues Medikament
Mittelwert berechnen
$x = \frac{15 + 4 + 9 + 19 + 17 + 6 + 51 + 14 + 9}{9} x = \frac{144}{9} x = 16$	$x = \frac{17 + 7 + 6 + 14 + 15 + 17 + 17 + 18 + 15}{9} x = \frac{126}{9} x = 14$
Median berechnen Um den Median zu bestimmen, wird die Datenmenge sortiert und dann der mittlere Wert abgelesen.

Wie du sehen kannst, ist beim alten Medikament der Mittelwert höher als beim neuen Medikament. Beim Median hingegen ist es umgekehrt. Welches Medikament ist nun also besser?

Wenn du dich erinnerst, wurde ein Medikament als erfolgreich angesehen, wenn der Blutdruck um mindestens 15 mmHg gesenkt wurde.

Da der Median des alten Medikaments bei 14 mmHg liegt, ist das Medikament in mindestens der Hälfte der Fälle wirkungslos. Tatsächlich war das Medikament nur in 4 von 9 Fällen wirkungsvoll.
Der Median des neuen Medikaments hingegen liegt bei 15 mmHg, sodass die Blutdrucksenkung bei mindestens der Hälfte der Fälle erfolgreich war. Tatsächlich war sogar bei 6 von 9 Versuchen das Medikament wirkungsvoll.

Warum ist also der Mittelwert des alten Medikaments so viel höher als der des neuen Medikaments?

Das liegt daran, dass der Wert 51 mmHg so weit von den anderen Werten entfernt liegt und damit das arithmetische Mittel stark beeinflusst. Aber nur weil das Medikament in einem Fall sehr gut gewirkt hat, ist es insgesamt kein besseres Medikament. Außerdem könnte man sich überlegen, ob der Messwert vielleicht fehlerhaft ist, da er so weit von den anderen abweicht.

Insgesamt kann man sagen, dass das neue Medikament besser zur Blutdrucksenkung geeignet ist als das alte.

Mittelwert - Das Wichtigste

Der Mittelwert beziehungsweise das arithmetische Mittel ist der durchschnittliche Wert in einem Datensatz.
- Berechnen des Mittelwerts aus den Rohdaten: $x = \frac{S u m m e d e r e i n z e \ln e n T e s t w e r t e}{A n z a h l d e r e r h o b e n e n T e s t s} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$
- Berechnen des Mittelwerts aus einer absoluten Häufigkeitsverteilung: $x = \frac{x_{1} \cdot H_{1} + x_{2} \cdot H_{2} + \dots + x_{n} \cdot H_{n}}{H_{1} + H_{2} + \dots + H_{n}}$
- Berechnen des Mittelwerts aus einer relativen Häufigkeitsverteilung: $x = x_{1} \cdot h_{1} + x_{2} \cdot h_{2} + \dots + x_{n} \cdot h_{n}$
- Der Mittelwert hat eine geringe Robustheit gegenüber Ausreißern.
Der gewichtete Mittelwert wird berechnet, indem die Datenwerte mit ihrem Gewicht multipliziert werden und die Summe dieser Produkte durch die Summe der Gewichte geteilt wird:
- $x_{g} = \frac{g_{1} \cdot x_{1} + g_{2} \cdot x_{2} + \dots + g_{n} \cdot x_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}}$
Gleitender Mittelwert: Der gleitende Mittelwert wird hergenommen, wenn Daten in Abhängigkeit von der Zeit gemessen werden. Bei dieser Methode wird das arithmetische Mittel immer über den Wert zu einem bestimmten Messzeitpunkt und eine bestimmte Anzahl an Werten davor und danach gebildet.
Der Median ist der Wert, der in einem geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt.
- Es besteht ein Unterschied zwischen Median und Mittelwert.
- Der Median ist nicht so anfällig gegenüber Ausreißern.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittelwert

Den Mittelwert rechnet man aus, indem man

Der Unterschied zwischen Median und Mittelwert ist

Es gibt den Modalwert, den Median, das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel. Als Mittelwert wird für gewöhnlich das arithmetische Mittel bezeichnet.

Das Zeichen für den Mittelwert ist normalerweise

Karteikarten in Mittelwert2 Lerne jetzt

Wofür wird der Mittelwert verwendet?

Das arithmetische Mittel ist ein Lagemaß und dient dazu, die Mitte beziehungsweise zentrale Tendenz einer Datenmenge zu beschreiben.

Erkläre, was die Robustheit gegenüber Ausreißern bedeutet.

Die Robustheit gegenüber Ausreißern beschreibt die Eigenschaft, schwach oder stark auf Ausreißer, also auf Werte, die wesentlich kleiner oder größer als die anderen Werte sind, zu reagieren.

Das arithmetische Mittel beispielsweise ist nicht robust gegenüber Ausreißern ist.
Der Median hingegen ist robust gegenüber Ausreißern.

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