Der Name Isaac Newton kommt dir nur deshalb bekannt vor, weil er durch einen herabfallenden Apfel das Prinzip der Schwerkraft entdeckt hat?
Der Mathematiker und Physiker hat jedoch noch einige andere Entdeckungen und Erfindungen gemacht. Dazu gehört unter anderem das nach ihm benannte Newton Verfahren.
Newton Verfahren – Definition
Schau dir direkt erstmal die Definition des Newton Verfahrens an!
Das Newton Verfahren – auch Newton Raphson Verfahren genannt – ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstelle einer Funktion.
Das Newton Verfahren gehört zu den Iterationsverfahren, bei denen die Nullstelle schrittweise immer weiter angenähert, aber niemals exakt bestimmt werden kann.
Das Newton Verfahren eignet sich vor allem zur Annäherung der Nullstellen bei nichtlinearen Funktionen.
Für das Verständnis des Newton Verfahrens ist es wichtig, dass du mit dem Thema Nullstelle und ihrer Berechnung im Allgemeinen vertraut bist. Falls du zu diesem Thema nochmal etwas nachlesen möchtest, haben wir einen eigenen Artikel nur zum Thema Nullstellen berechnen für dich vorbereitet.
Newton Verfahren – Erklärung
Bevor du lernst, wie du das Newton-Verfahren praktisch anwenden kannst, erfährst du zunächst alles Wichtige über die Grundlagen des Newton Verfahren und seine Herleitung.
Newton Verfahren – Grundlagen
Das Newton Verfahren wird zur Annäherung der Nullstellen einer Funktion verwendet.
Dabei handelt es sich um ein Iterationsverfahren. Dabei wird zunächst grob eingeschätzt, in welchem Bereich sich die Nullstelle der Funktion befindet. Dieser Wert wird als Startwert in die Iterationsvorschrift eingesetzt. Als Ergebnis erhält man eine erste Annäherung, die bereits näher an der wahren Nullstelle der Funktion liegt als der Startwert. Dieser Vorgang wird im Iterationsverfahren mehrfach wiederholt, bis sich die Annäherungen nur noch um wenige Nachkommastellen unterscheiden.
Iterationsverfahren sind Verfahren in der Mathematik, bei denen ein und derselbe Schritt immer wieder wiederholt wird. Sie werden verwendet, um die Lösung einer Gleichung schrittweise anzunähern.
Die exakte Nullstelle wird daher mithilfe eines Iterationsverfahren niemals bestimmt. Von Schätzer zu Schätzer wird der Wert der wahren Nullstelle aber immer weiter angenähert und genauer.
Newton Verfahren – Konvergenz
Das Newton Verfahren funktioniert nur, wenn sich der gewählte Startwert 
nahe genug an der wahren Nullstelle befindet. Die Werte, die durch die Iterationsvorschrift bestimmt werden, konvergieren nur gegen den Wert der Nullstelle, wenn sich der Startwert
bereits im sogenannten Konvergenzbereich befindet.
Eine Zahlenfolge ist konvergent, wenn sie sich mit jedem weiteren Glied der Zahlenfolge einem bestimmten Wert immer weiter annähert. Dieser Wert wird auch als Grenzwert der Folge bezeichnet.
Ist eine Zahlenfolge nicht konvergent, so ist sie divergent.
Wenn der Startwert 
außerhalb des Konvergenzbereichs der gesuchten Nullstelle liegt, funktioniert das Newton-Verfahren nicht. Stattdessen hat das Newton Verfahren dann eine dieser drei Konsequenzen zur Folge:
- Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte konvergieren nicht gegen den x-Wert der gesuchten Nullstelle, sondern gegen den x-Wert einer anderen Nullstelle der Funktion.
- Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte divergieren, das heißt sie nähern sich keinen Grenzwert.
- Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte oszillieren, das heißt sie schwanken unendlich lange innerhalb eines bestimmten Intervalls.
Deshalb ist es wichtig, sich vor der Anwendung des Newton-Verfahrens zu überlegen, in welchem Bereich die Nullstelle etwa liegt und nicht einfach irgendeinen Startwert 
zu wählen. Aber keine Sorgen – wie du dabei konkret vorgehen solltest, erfährst du nach dem Abschnitt zu Herleitung des Newton-Verfahrens.
Du möchtest mehr über Konvergenz und Divergenz wissen? Dazu haben wir einen eigenen Artikel zum Thema Verhalten im Unendlichen geschrieben, den du dir bei Interesse jederzeit anschauen kannst.
Newton Verfahren – Herleitung
Die Herleitung des Verfahrens wird in den grafischen und den mathematischen Teil untergliedert.
Newton Verfahren – Grafische Herleitung
Die Grundidee ist folgende:
Es wird zuerst ein Punkt 
mit 
von der Funktion f(x) bestimmt, der bereits sehr nah an der Nullstelle der Funktion liegt.
Abbildung 1: Ausgangssituation
In diesem Fall wird für den Punkt 
die Koordinaten 
gewählt.
Um sich der Nullstelle im nächsten Schritt annähern zu können, soll eine Tangente der Funktion f(x) an der Stelle 
eingezeichnet werden. Diese Tangente ist eine lineare Näherungsfunktion der Funktion an dieser Stelle.
Abbildung 2: Tangente t1
Bei der Nullstelle dieser Tangente handelt es sich um den Punkt 
mit 
.
Abbildung 3: Punkt P1 als Nullstelle der Tangente t1
Vom Punkt 
kann nun die Nullstelle der Funktion f(x) erneut angenähert werden. Dazu wird als nächstes die Tangente der Funktion f(x) an der Stelle 
eingezeichnet.
Abbildung 4: Tangente t2
Auch diese Tangente hat eine Nullstelle. Die Nullstelle dieser Tangente liegt am Punkt 
. Dieser Punkt stellt den Ausgangspunkt für den nächsten Schritt der Annäherung der Nullstelle dar.
Abbildung 5: Punkt P2 als Nullstelle der Tangente t2
Wie du siehst nähern sich die Punkte 
bis 
immer weiter an die wahre Nullstelle der Funktion an.
Dieses Verfahren wird so lange wiederholt, bis man sich der Nullstelle der Funktion ausreichend angenähert hat.
Newton Verfahren – Mathematische Herleitung
Aus den Ideen der grafischen Herleitung, kann abschließend die Iterationsvorschrift des Newton Verfahrens geschlussfolgert werden. Bei der Iterationsvorschrift handelt es sich um eine Formel, die zur Annäherung der Nullstelle verwendet wird. Diese Formel wird mehrmals hintereinander verwendet, nur die Werte, die in die Formel eingesetzt werden, variieren von Durchgang zu Durchgang.
| Zuerst wird der Wert für den Startwert festgelegt. Ausgehend davon kann die Tangentengleichung am Punkt mit ermittelt werden. Wenn die Funktion f, deren Nullstelle angenähert werden soll, differenzierbar ist, gilt für die Tangente am Punkt : | |
| Um den neuen Näherungswert zu bestimmen, muss die Nullstelle der Tangente ermittelt werden.Dafür wird die Tangentengleichung von mit 0 gleichgesetzt: | |
| Durch Auflösen der Formel nach x ergibt sich: | |
Der errechnete x-Wert ist der neue Annäherungswert . |
| Dieses Vorgehen wird nun für den Wert wiederholt: Am Punkt wird die Tangente aufgestellt. | |
| Durch Bestimmung der Nullstelle der Tangente kann nun der Wert für ermittelt werden: | |
Der errechnete x-Wert ist der neue Annäherungswert . |
| Dieses Verfahren kann endlos weitergeführt werden. Deshalb kann ganz allgemein der Wert verwendet werden, aus dem man den Wert für ermitteln kann: |
Die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) an der Stelle  hat an dieser Stelle die Steigung  . Wie die Tangentengleichung aussieht, siehst du in der rechten Spalte der Tabelle. Das Newton-Verfahren und damit auch die Aufstellung der Tangentengleichung ist allerdings nur möglich, wenn die Funktion f differenzierbar ist. Das heißt man muss die Ableitung an jeder Stelle x bilden können. | |
Den Wert  erhält man, indem man die Nullstelle der Tangente berechnet. Es muss daher gelten: | |
| Daraus folgt: | |
Die Gleichung wird nun in mehreren Schritten nach  aufgelöst.Dafür werden zunächst die Klammern ausmultipliziert.Es resultiert: | |
Anschließend wird auf beiden Seiten der Gleichung  addiert. Es ergibt sich: | |
Danach wird auf beiden Seiten der Gleichung  subtrahiert.Daraus folgt: | 
|
Abschließend werden beide Seiten der Gleichung durch  dividiert. Das ist möglich, da für die Steigung der Tangente an der Stelle  gilt  . Die Ursache dafür liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung des Newton-Verfahrens: die Funktion darf nicht konstant sein und muss differenzierbar sein. | |
| Nach Kürzen und Umstellen der Gleichung ergibt sich die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: | |
Fassen wir diese Herleitung zusammen:
Ist eine Funktion f differenzierbar und hat sie eine Nullstelle, so kann die Nullstelle näherungsweise mit dem Newton-Verfahren bestimmt werden.
Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens mit dem Startwert
lautet folgendermaßen:
Newton Verfahren – Vorgehensweise
Du weißt jetzt alles, was du über die Theorie des Newton Verfahrens wissen solltest. Als nächstes lernst du, wie du selbst mithilfe des Newton Verfahrens die Nullstellen einer Funktion bestimmen kannst.
Zuerst werden dir die einzelnen Bestandteile der Iterationsvorschrift noch einmal erklärt und abschließend erfährst du, in welchen Schritten du bei der Nullstellenberechnung mit dem Newton Verfahren vorgehen kannst.
Newton Verfahren – Iterationsvorschrift
Das wichtigste Instrument bei der Anwendung des Newton Verfahrens ist die Iterationsvorschrift. Wie du bereits in der Herleitung des Newton Verfahrens gelernt hast, lautet die Iterationsvorschrift wie folgt:
Die Bestandteile der Iterationsvorschrift sind die folgenden:
ist die neue Annäherung der Nullstelle, die im nächsten Schritt berechnet werden soll.
ist die alte Annäherung, die entweder der Startwert 
ist oder die Annäherung, die im letzten Schritt bestimmt wurde.
ist die Funktion, deren Nullstelle berechnet werden soll.
ist die erste Ableitung der Funktion, deren Nullstelle berechnet werden soll.
Um das Newton Verfahren anwenden zu können, musst du die erste Ableitung der Funktion f(x) bestimmen.
Du weißt nicht mehr genau, wie man eine Funktion ableitet? Kein Problem, zu diesem Thema haben wir bereits einige Artikel über sämtliche Ableitungsregeln und besondere Ableitungen geschrieben, die du dir bei Bedarf jederzeit anschauen kannst.
Newton Verfahren – schrittweises Vorgehen
Um die Nullstelle einer Funktion mithilfe des Newton Verfahrens anzunähern, bietet es sich an, in den folgenden fünf Schritten vorzugehen:
Schritt 1:
Bestimme die erste Ableitung der Funktion, deren Nullstelle angenähert werden soll. Diese brauchst du im Folgenden, da sie Teil der Iterationsvorschrift ist und deshalb in für die Berechnung der Werte 
benötigt wird.
Schritt 2:
Erstelle eine Wertetabelle, aus der du ablesen kannst, in welchem Bereich sich etwa die Nullstelle der Funktion befindet. In diesem Schritt wählst du den Wert für 
so, dass er in einem Intervall liegt, an dessen einer Grenze der Funktionswert positiv und an der anderen Grenze negativ ist. Dadurch, dass in diesem Intervall ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte stattfinden, liegt nach dem Zwischenwertsatz die Nullstelle auf jedem Fall in diesem Intervall. Dafür ist es aber wichtig, dass die Funktion im ausgewählten Intervall stetig ist, also in diesem Intervall keine Definitionslücke vorliegt.
Wenn du mehr über den Zwischenwertsatz wissen möchtest, solltest du unbedingt einen Blick in unseren dazugehörigen Artikel werfen!
Schritt 3:
Ausgehend von den Informationen, die du aus der Wertetabelle gewonnen hast, wählst du den Startwert 
.
Zur Erinnerung: Den Wert für den Startwert 
wählst du so, dass er nahe am wahren Nullpunkt der Funktion liegt.
Diesen setzt du in die Iterationsvorschrift als 
ein. Du erhältst den Annäherungswert 
als 
.
Schritt 4:
Diese Vorgehensweise wiederholst du so lange, bis sich die resultierenden Annäherungswerte nur noch minimal in ihren Nachkommastellen unterscheiden. Dieses Vorgehen ist typisch für Iterationsverfahren.
Wenn es sich die Annäherungswerte nur noch kaum unterscheiden, kannst du diesen Wert als den x-Wert der angenäherten Nullstelle betrachten. Da der y-Wert bei Nullstellen immer 0 beträgt, kannst du aus diesen Informationen die Koordinaten der Nullstelle in der Form 
angeben.
Schritt 5:
Abschließend überprüfst du entweder durch Einsetzen des errechneten Wertes in die Funktionsgleichung oder durch Zeichnen der Funktion, ob es sich bei dem ermittelten Wert tatsächlich um eine Nullstelle der Funktion handelt.
Wie diese fünf Schritte praktisch umgesetzt werden können, kannst du dir im folgenden Beispiel anschauen.
Newton Verfahren Rezept an einem Beispiel
Die Nullstelle der folgenden Funktion soll mithilfe des Newton-Verfahrens angenähert werden:
Dafür gehst du folgendermaßen vor:
Schritt 1
Zuerst bildest du die erste Ableitung der Funktion. Diese lautet:
Schritt 2
Im nächsten Schritt überlegst du dir, in welchem Bereich etwa die Nullstelle der Funktion liegen könnte. Dafür erstellst du eine Wertetabelle:
Da bei einer Nullstelle gilt 
, liegt die Nullstelle der Funktion irgendwo zwischen 0 und 1. Daher wird in diesem Fall für den Startwert 
der Wert 0,5 - also die Mitte des Intervalls - gewählt.
Schritt 3
Dieser Wert wird nun in die Iterationsvorschrift eingesetzt:
Schritt 4
Im nächsten Schritt wird der gerade ermittelte Wert für 
als 
in die Iterationsvorschrift eingesetzt, um den Wert für die nächste Annäherung
als 
zu bestimmen:
Mit dem Wert für 
wird nun der Wert für 
berechnet:
Wie du siehst, unterscheiden sich die Werte für 
und 
in den ersten 5 Nachkommastellen nicht mehr.
Daher wird die Näherung der Nullstelle für die Funktion f(x) an dieser Stelle beendet.
Die Nullstelle der Funktion f(x) befindet sich in etwa am Punkt 
.
Schritt 5
Zur Kontrolle wird der Graph der Funktion f(x) gezeichnet:
Abbildung 6: Überprüfung der Nullstelle
Wie du anhand des Funktionsverlaufs erkennen kannst, liegt die Nullstelle ziemlich genau am errechneten Punkt.
Eine weitere Möglichkeit, um zu testen, ob es sich bei dem errechneten Wert wirklich um die Nullstelle handelt, ist es den errechneten Wert als x-Wert der Funktion in die Funktionsgleichung einzusetzen. Wenn der daraus ermittelte y-Wert der Funktion an dieser Stelle ziemlich genau 0 beträgt, dann handelt es sich tatsächlich um eine Nullstelle der Funktion.
Die Annäherung der Nullstelle mithilfe des Newton-Verfahrens ist also richtig.
Newton Verfahren – Beispielaufgaben
Nachdem du nun gelernt hast, wie das Newton Verfahren angewendet werden kann, kannst du in den folgenden beiden Beispielaufgaben üben, ob du die Anwendung des Verfahrens wirklich verstanden hast.
Aufgabe 1
Nähere die Nullstelle der folgenden Funktion f(x) mit dem Newton-Verfahren an:
Bestimme die Näherungen so lange, bis sie sich in den ersten 5 Nachkommastellen nicht mehr unterscheiden.
Lösung
Schritt 1
Die erste Ableitung der Funktion f(x) lautet: 
Schritt 2
Als nächstes wird eine kleine Wertetabelle erstellt, um die ungefähre Lage der Nullstelle zu Schätzen:
Der x-Wert der Nullstelle liegt irgendwo im Bereich zwischen 0 und 1, da die Funktionswerte in diesem Intervall vom negativen Bereich in den positiven Bereich wechseln. Daher muss der die Nullstelle mit 
in diesem Intervall liegen.
Aus diesem Grund wird für den Startwert 
gewählt.
Schritt 3 + Schritt 4
Nun wird das Newton-Verfahren so lange angewendet, bis die ersten 5 Nachkommastellen zweier aufeinanderfolgender Annäherungen nicht mehr voneinander abweichen:
Die Nullstelle liegt etwa am Punkt 
.
Schritt 5
Zur Überprüfung wird der Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt:
Die Annäherung der Nullstelle mithilfe des Newton-Verfahrens ist also richtig.
Aufgabe 2
Die Funktion 
hat zwei Nullstellen. Nähere diejenige Nullstelle mit dem Newton-Verfahren an, die einen x-Wert im Bereich von -2 bis -1 hat.
Es reicht, wenn du die Werte für die Annäherungen 
bis 
bestimmst.
Lösung
Schritt 1
Die erste Ableitung der Funktion lautet: 
Schritt 2
Eine Wertetabelle muss in diesem Beispiel nicht erstellt werden, da aus der Aufgabenstellung bereits bekannt ist, dass der x-Wert der Nullstelle zwischen -2 und -1 liegt. Daher wird für den Startwert 
gewählt.
Schritt 3 + Schritt 4
Nun werden die nächsten drei Annäherungen der Nullstelle mit der Iterationsvorschrift berechnet:
Die Nullstelle liegt etwa am Punkt 
.
Schritt 5
Zur Überprüfung wird der Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt:
Die Annäherung der Nullstelle mithilfe des Newton-Verfahrens ist also richtig.
Newton Verfahren - Das Wichtigste auf einen Blick
- Das Newton Verfahren ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen einer Funktion.
- Das Newton Verfahren ist ein Iterationsverfahren. Mit diesem Verfahren wird die Nullstelle schrittweise angenähert, aber nie exakt ermittelt.
- Das Newton Verfahren funktioniert nur, wenn sich der gewählte Startwert nahe genug an der wahren Nullstelle befindet.
- Die Iterationsvorschrift lautet:
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