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Graphen zeichnen

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Mathe

Du willst wissen, wie du Funktionsgraphen zeichnen kannst? Dann bist du hier genau richtig!

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zum Thema "Graph zeichnen" wissen musst. Das Zeichnen von Funktionsgraphen ist thematisch den Funktionen im Fach Mathematik zuzuordnen. Weil es häufig vorkommt, dass du auch in anderen Fächern wie Physik oder Geographie einen Funktionsgraphen zeichnen musst, ist es besonders wichtig, dass du dieses Thema beherrschst!

Graph zeichnen - Erklärung

Der Funktionsgraph - oder auch kurz: Graph - einer Funktion f ist die grafische Darstellung dieser Funktion in einem Koordinatensystem. Durch das Zeichnen des Funktionsgraphen wird die zugrundeliegende Funktion f nicht durch eine abstrakte Funktionsgleichung f(x), die nur aus Zahlen und Variablen besteht, sondern bildlich dargestellt. 


Um einen Funktionsgraphen zeichnen zu können, benötigst du entweder eine Wertetabelle des zugrundeliegenden Datensatzes oder eine Funktionsgleichung f(x) als Grundlage.


Graph zeichnen mithilfe einer Wertetabelle

Eine Möglichkeit, einen Funktionsgraphen zu zeichnen ist es, eine vorliegende Wertetabelle als Grundlage zu nehmen. 

In der Wertetabelle sind verschiedene Ausprägungen der Variablen x und die dazugehörigen Funktionswerte einer Funktion f(x) eingetragen. Eine Wertetabelle kann zum Beispiel so aussehen:


xf(x)
02
26
410
614
818


Aus den Werten aus der Tabelle kannst du Punkte ablesen, durch die der Graph der Funktion läuft. 

Die Punkte, die du aus der oben dargestellten Wertetabelle ablesen kannst, sind:  


Graph zeichnen mithilfe einer Wertetabelle - Vorgehensweise

Um aus der vorliegenden Wertetabelle den Funktionsgraphen zu zeichnen, solltest du in diesen Schritten vorgehen:


  • Schau dir die Werte für die Variablen x und y an. In welchem Bereich liegen sie? Du solltest die Extremwerte der Variablen beim Zeichnen und der Skalierung des Koordinatensystems berücksichtigen. 
  • Der nächste Schritt ist es, ein leeres Koordinatensystem zu zeichnen. 
  • Jetzt kannst du alle Punkte, die du aus der Wertetabelle ablesen kannst, in das Koordinatensystem einzeichnen. 
  • Anschließend musst du nur noch die eingetragenen Punkte verbinden. Und schon ist der Graph der Funktion fertig!


Du weißt jetzt, wie du in der Theorie der Graph einer Funktion aus einer Wertetabelle gezeichnet wird. 

Damit du das Gelernte auch in der Praxis umsetzen kannst, kannst du das im Folgenden an einem Beispiel üben einen Funktionsgraphen zu zeichnen. 

Graph zeichnen mithilfe einer Wertetabelle - Beispiel

Stell dir vor, du sollst den Graph einer Funktion zeichnen. Dir liegt diese Wertetabelle vor:


x
f(x)
0
-2
1
-1,5
5
0,5
8
2
10
3

Um daraus einen Funktionsgraphen zu zeichnen, gehst du in den vier oben erklärten Schritten vor:


  • Da der höchste x-Wert 10 beträgt, sollte die x-Achse mindestens zum Wert 10 gehen. Bei der Skalierung der y-Achse solltest du den y-Wert von 3 berücksichtigen. 
  • Nun zeichnest du ein Koordinatensystem mit geeigneter Achsenskalierung für den Datensatz. Das kann zum Beispiel so aussehen:




  • Zum Schluss musst du die Punkte nur noch mit einer Geraden verbinden, um den Funktionsgraphen zu erhalten:


  • Und schon hast du den Funktionsgraphen gezeichnet! Super! Wie du siehst, handelt es sich bei diesem Graph um eine lineare Funktion


Du hast nun gelernt, wie du einen Funktionsgraphen zeichnest, wenn dir eine Wertetabelle vorliegt. 

Im Folgenden lernst du, wie du den Funktionsgraphen alleine auf Basis einer Funktionsgleichung zeichnen kannst. Du kannst aber natürlich jederzeit eine eigene kleine Wertetabelle aus der vorgegebenen Funktionsgleichung aufstellen, die die Grundlage für die Zeichnung des Funktionsgraphen ist. 

Graph einer linearen Funktion zeichnen

Wenn du ohne eine vorgegebene Wertetabelle eine lineare Funktion f(x) in ein Koordinatensystem einzeichnen möchtest, benötigst du ihre Funktionsgleichung. Eine lineare Funktion hat immer eine Funktionsgleichung in dieser Form:  

Dabei gibt m die Steigung der Funktion an. b repräsentiert den y-Achsenabschnitt, also den Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse berührt. 


Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Wenn du diese Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen möchtest, empfiehlt es sich in diesen Schritten vorzugehen:


  1. Bestimme den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x). 
  2. Zeichne - ausgehend von y-Achsenabschnitt - die Steigung m ein. 
  3. Verbinde die beiden Punkte mithilfe einer Geraden. Und schon ist der Graph fertig gezeichnet!


Im nächsten Abschnitt lernst du das Zeichnen von Funktionsgraphen in der Praxis. Die Funktionsgleichung in diesem Beispiel lautet:


1. Schritt: y-Achsenabschnitt bestimmen

Zuerst musst du den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) bestimmen. Diesen kannst du ermitteln, indem du den Wert b aus der Funktionsgleichung abliest. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt P(0|b).


Wenn die Gleichung der Funktion  ist, dann beträgt b = 7. Der y-Achsenabschnitt ist demnach der Punkt P(0|7). Diesen Punkt kannst du nun in das Koordinatensystem einzeichnen:




2. Schritt: Einzeichnen der Steigung m

Nun zeichnest du - ausgehend vom y-Achsenabschnitt - die Steigung m in das Koordinatensystem ein. Dafür betrachtest du den Faktor m der Funktionsgleichung. 

Das Vorzeichen verrät, ob es sich um eine positive (+) oder negative (-) Steigung handelt. 


Die Steigung m wird häufig als Bruch dargestellt. Die Zahl im Zähler - also über dem Bruchstrich - signalisiert, wie viele Einheiten du ausgehend vom Punkt P nach oben (bei positiver Steigung) bzw. unten (bei negativer Steigung) gehen musst. Die Zahl im Nenner gibt an, wie viele Einheiten du ausgehend vom Punkt P nach rechts gehen musst. Dort kannst du dann den Punkt Q einzeichnen. 


Manchmal ist die Steigung m nicht als Bruch angegeben. Das ist aber kein Problem, denn du kannst jede Zahl in die Form eines Bruchs umschreiben und dir somit das Einzeichnen der Steigung m vereinfachen. 

Zur Erinnerung: Eine Steigung von 2 kannst du auch als  schreiben.

Im Beispiel beträgt die Steigung . Es handelt sich also um eine negative Steigung. Das bedeutet, dass der Graph bei Ansteigen der Variablen x abfällt.

Ausgehend vom Punkt P gehst du nun drei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach unten. Dort zeichnest du den Punkt Q ein:




3. Schritt: Gerade zeichnen

Abschließend verbindest du die beiden Punkte P und Q mithilfe einer Geraden. Und schon hast du die lineare Funktion als Graph dargestellt!




Graph einer konstanten Funktion zeichnen

Das Zeichnen von konstanten Funktionen sollte dir recht einfach fallen. Die Besonderheit von konstanten Funktionen liegt darin, dass die Funktion für alle Werte im Definitionsbereich den selben Funktionswert c annimmt. Die Variable x ist demnach in der Funktionsgleichung gar nicht vorhanden.

Die Funktionsgleichung lautet: , wobei c eine Konstante ist.


Wenn du den Funktionsgraphen einer konstanten Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen möchtest, musst du nur eine horizontale Gerade auf der Höhe von c zeichnen. 

Für die konstante Funktion mit der Funktionsgleichung  sieht das zum Beispiel folgendermaßen aus:

Graph einer quadratischen Funktion zeichnen

Nachdem du nun erfahren hast, wie es funktioniert die Funktionsgraphen von linearen und konstanten Funktionen zu zeichnen, lernst du in diesem Abschnitt das Zeichnen von quadratischen Funktionsgraphen. 


Der Graph einer quadratischen Funktion hat immer die Form einer Parabel. Die Funktionsgleichung von quadratischen Funktionen folgt diesem Schema:

Ist a positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a allerdings negativ, dann ist die Parabel nach unten hin offen. 


Quadratische Funktionen sind am einfachsten zu zeichnen, wenn du dir im Vorfeld eine Wertetabelle mit einigen Werten der Funktion erstellst. Dafür setzt du einfach Werte für die Variable x in die Funktionsgleichung ein und erhältst dadurch die dazugehörigen Funktionswerte. Auf Basis dieser Punkte kannst du nun die quadratische Funktion zeichnen.


Graph einer quadratischen Funktion zeichnen - Beispiel

Stell dir vor, du sollst den Funktionsgraphen dieser quadratischen Funktion zeichnen: Zunächst erstellst du eine Wertetabelle mit einigen Werten, die sich in etwa um den Scheitelpunkt der Funktion verteilen. Die Wertetabelle könnte zum Beispiel folgendermaßen aussehen:


xf(x)
-2-3
-12
05
16
32
4-3

Im Anschluss kannst du nun die berechneten Punkte in ein leeres Koordinatensystem einzeichnen:


Abschließend musst du nur noch die Punkte verbinden um den Funktionsgraphen zu erhalten:



Graphen zeichnen - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Du kannst einen Funktionsgraphen entweder auf Basis einer Wertetabelle oder mithilfe seiner Funktionsgleichung zeichnen. 
  • Die Vorgehensweise beim Zeichnen des Funktionsgraphen hängt davon ab, ob du eine lineare Funktion, eine konstante Funktion oder eine quadratische Funktion zeichnen möchtest. 
  • Bei linearen und konstanten Funktionen ist der Graph der Funktion eine Gerade, bei quadratischen Funktionen hat der Graph der Funktion die Form einer Parabel. 
  • Wenn du beim bloßen Betrachten einer Funktionsgleichung keine Ahnung hast, wie der Graph verläuft, hilft es meistens, eine kleine Wertetabelle zu erstellen. Nun kannst du den Graph mithilfe dieser Punkte zeichnen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Graphen zeichnen

Graphen lassen sich zeichnen, indem man zuerst eine Wertetabelle anlegt, und die x-Werte in die Funktion einsetzt, um die y-Werte zu erhalten. Danach legt man ein Koordinatensystem an. In dieses trägt man die Punkte aus der Wertetabelle ein und verbindet sie.

Der Graph ist die grafische Darstellung einer Funktion f(x). Er wird in einem Koordinatensystem dargestellt, das in der Regel zwei Achsen hat, auf denen die Werte für die Variablen x und y abgetragen werden.

Der Funktionsgraph ist die grafische Darstellung einer Funktion f(x). Er wird in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Funktionsgraph kann verschiedene Formen annehmen. Häufig hat der Graph einer Funktion die Form einer Gerade oder Parabel.

Um eine Gerade in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, müssen mindestens 2 Punkte bekannt sein, durch die die Gerade läuft. Diese können entweder angegeben sein oder durch das Einsetzen von zwei verschiedenen x-Werten in die Funktionsgleichung ermittelt werden. Die beiden Punkte werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und im Anschluss miteinander verbunden.

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