Logarithmusfunktion: Eigenschaften & Formel

Inhaltsangabe

Logarithmusfunktion Geld Umkehr StudySmarter

Logarithmus Formel

Doch wie genau sieht diese Umkehrfunktion aus? Wie der Name bereits andeutet, handelt es sich bei der Logarithmusfunktion um eine Funktion, bei der jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet wird.

Die Logarithmusfunktion löst bei gegebenen b und x die Gleichung $b^{y} = x$ mit der Rechnung:

$f (x) = \log_{b} (x) = y$

Gesprochen wird diese Rechnung als Logarithmus von x zur Basis b und beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl $y$ musst Du $b$ potenzieren, um das Ergebnis $x$ zu erhalten?

Aber Achtung! Die Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ löst zwar die Gleichung $b^{y} = x$ , sie ist jedoch nicht ihre Umkehrfunktion! Die Umkehrfunktion entspricht einer zu verwechseln ähnlichen Exponentialfunktion mit der Form

$f^{- 1} (x) = b^{x} = y$ .

Wenn Du die Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ und deren Umkehrfunktion $f^{- 1} (x) = b^{x}$ in ein Koordinatensystem einzeichnest, erhältst Du zwei Graphen, die sich an der Gerade x=y spiegeln.

Logarithmusfunktion Umkehrfunktion Graph StudySmarter Abbildung 1: Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion

Die Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion liegen entsprechend im folgenden Verhältnis:

$b^{\log_{b} (x)} = x = \log_{b} (b^{x})$

Logarithmusfunktion Eigenschaften

Um den Logarithmus in der Mathematik anwenden zu können, solltest Du Dich mit einigen Eigenschaften der Logarithmusfunktion bekannt machen.

Logarithmusfunktion Definitionsbereich

Bevor Du anfängst, willkürlich Werte in die Logarithmusfunktion einzusetzen, solltest Du wissen, dass die Logarithmusfunktion nur für positive Basen b>1 und positive x-Werte definiert ist. Das heißt, dass Du für etwa eine negative Basis kein Ergebnis erhalten wirst.

Zwar ist die Logarithmusfunktion allgemein gesagt für positive Basen b definiert, jedoch mit einer Ausnahme – der Zahl 1. Die Zahl 1 gehört für die Basen nicht zum Definitionsbereich!

Anders ist das jedoch beim Wertebereich, also den y-Werten. Diese können auch negative Werte annehmen, was bedeutet, dass alle reellen Zahlen zum Wertebereich gehören.

Logarithmusfunktion Monotonie

Die Logarithmusfunktion wird in der Monotonie mit zwei Eigenschaften beschrieben:

Die Logarithmusfunktion ist streng monoton
Die Logarithmusfunktion ist nicht beschränkt

Dabei wird die Logarithmusfunktion in zwei Intervallen betrachtet:

1. $0 < b < 1$

In dem Intervall von 0 bis 1 ist die Logarithmusfunktion streng fallend. Für die x-Werte nahe der Null nähert sich die Funktion zudem immer mehr an die y-Achse an, weshalb diese als (einzige) Asymptote auftritt. Es gilt:

$\lim_{x \to 0} \log_{b} (x) = \infty$ und $\lim_{x \to \infty} \log_{b} (x) = - \infty$

Logarithmusfunktion Logarithmusfunktion b zwischen null und eins StudySmarter Abbildung 2: Logarithmusfunktion 0 < b < 1

2. $b > 1$

Für Basen größer 1 gilt:

$\lim_{x \to 0} \log_{b} (x) = - \infty$ und $\lim_{x \to \infty} \log_{b} (x) = - \infty$

Logarithmusfunktion Logarithmusfunktion mit b > 1 StudySmarter Abbildung 3: Logarithmusfunktion mit b > 1

Mehr zu den Eigenschaften der Logarithmusfunktion findest Du auch in der Erklärung „Allgemeine Logarithmusfunktion“.

Logarithmusfunktion Nullstellen

Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, muss diese gleich null gesetzt und anschließend nach x aufgelöst werden. Für die Nullstellen der allgemeinen Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ ist also eine Lösung für x in der folgenden Gleichung gesucht:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ \log_{b} (x) & = & 0 \end{array}$

Um diese Gleichung zu lösen, formst Du den Logarithmus in die Potenzschreibweise um. Es gilt:

$\log_{b} (x) = y \Leftrightarrow b^{y} = x$

Angewendet auf die Gleichung folgt daraus:

$\begin{array}{rcl} \log_{b} (x) & = & 0 \\ b^{0} & = & x \\ 1 & = & x \end{array}$

Jede Logarithmusfunktion der Form $f (x) = \log_{b} (x)$ hat unabhängig von ihrer Basis b eine Nullstelle bei

$x = 1$ .

Da jede Zahl, die Du hoch 0 rechnest, 1 ergibt, ist die Nullstelle unabhängig von der Basis b.

Logarithmus Rechenregeln

Zur Berechnung von Logarithmusfunktionen kommt weiter unten noch ein Abschnitt, damit Du sie dann auch direkt anwenden kannst, siehst Du hier einmal einen Überblick über die Rechenregeln der Logarithmusfunktion.

Gesetz	Logarithmus
Produktregel	$\log_{b} (x) + \log_{b} (z) = \log_{b} (x \cdot z)$
Quotientenregel	$\log_{b} (x) - \log_{b} (z) = \log_{b} (\frac{x}{z})$
1. Potenzregel	$\log_{b} (x^{z}) = z \cdot \log_{b} (x)$
2. Potenzregel	$\log_{b} (\sqrt[n]{z}) = \frac{1}{n} \cdot \log_{b} (z)$
Basiswechsel	$\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$

Genaueres zu dem Thema Rechenregeln findest Du in der Erklärung „Rechenregeln / Potenzgesetze / Logarithmusgesetze“.

Logarithmus naturalis

Der Logarithmus naturalis oder auch natürliche Logarithmusfunktion ist eine Sonderform der Logarithmusfunktion.

Der Logarithmus naturalis beschreibt eine Logarithmusfunktion zur Basis der Eulerschen Zahl $e = 2, 7182 . .$

$\log_{e} (x) = \ln (x)$

Jeder Logarithmus lässt sich in den Logarithmus naturalis überführen, was besonders bei den Ableitungen und Stammfunktion von Bedeutung ist.Umformen kannst Du den Logarithmus durch folgende Formel:

$\log_{b} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (b)}$

Für den Logarithmus naturalis ist die Ableitung wie folgt definiert:

$f (x) = \ln (x)$ besitzt die Ableitung $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Mehr zu dem natürlichen Logarithmus findest Du in der Erklärung „ln Funktion“.

Logarithmus berechnen – Anwendung

Die Theorie hast Du jetzt schon kennengelernt, aber wie wendest Du den Logarithmus überhaupt an?

Logarithmus umformen

Zwar wirst Du in der weiterführenden Schule wahrscheinlich einen Taschenrechner an Deiner Seite haben, jedoch solltest Du Dir einmal die Berechnung des Logarithmus per Hand ansehen, um auch wirklich zu verstehen, wie der Logarithmus funktioniert. Da es sich hier um eine Logarithmusfunktion handelt, liegt der Schwerpunkt der Berechnungen meistens darauf, die Funktionswerte der Logarithmusfunktion zu berechnen.

Dabei gehst Du in der Regel in folgenden Schritten vor:

Notiere Dir aus der Aufgabenstellung die gegebenen Werte für die Basis b und den x-Wert $\to y (x) = \log_{b} (x)$
Schreibe die gegebenen Werte in der Exponentialschreibweise auf $\to b^{y} = x$
Ermittle durch Rechnen oder systematisches Ausprobieren den fehlenden Wert y.

Aufgabe 1

Berechne den Funktionswert $y (x)$ für folgende Gleichung:

$y (x) = \log_{2} (16)$

Lösung

1. Schritt:

Schreibe Dir zuerst auf, welche Werte gegeben sind. Wie am Anfang der Erklärung erwähnt, wird die Logarithmusfunktion in folgender Form geschrieben: $y (x) = \log_{b} (x)$ .

Gegeben sind also $b = 2$ und $x = 16$ .

2. Schritt:

Diese Formel könntest Du theoretisch in den Taschenrechner eingeben, doch wie rechnest Du so einen Logarithmus mit der Hand? Tatsächlich musst Du dafür wieder einen Schritt zurück machen, denn die einzige Möglichkeit den Logarithmus per Hand zu lösen, ist es, sich die Exponentialfunktion anzusehen. Solltest Du also einmal nur die fertige Logarithmusfunktion gegeben bekommen, und musst sie per Hand lösen, dann setzt Du sie in die Exponentialschreibweise um und löst sie so:

Als Erstes kannst Du die gegebenen Werte in die allgemeine Form für den Logarithmus einsetzen, diese lautet:

$b^{y} = x$

Du erhältst also für die Exponentialfunktion:

$2^{y} = 16$

3. Schritt:

Jetzt nimmst Du Dir die Gleichung $2^{y} = 16$ vor. Gesucht ist die Zahl, mit der Du 2 potenzieren musst, um 16 zu erhalten. Bei kleinen Zahlen kennst Du vielleicht das Ergebnis aus dem Kopf, doch wenn Du Dir nicht ganz sicher bist, kannst Du es mit Ausprobieren lösen. Multipliziere doch einmal 2 so lange mit sich selbst, bis 8 herauskommt:

$\overset{= 8}{\overset{⏞}{\underset{= 4}{\underset{⏟}{2 \cdot 2}} \cdot 2}} \cdot 2 = 16$

16 4Du musst also die Zahl 2 mit der Zahl 4 potenzieren, um 16 herauszubekommen. Somit ist das Ergebnis $y = 4$ und Du hast folglich den Punkt $(16 4)$ für Deine Logarithmusfunktion berechnet.

Auf diese Art kannst Du auch Aufgaben lösen, in denen nur Werte für b und y oder Werte für x und y gegeben sind. Wenn Du diese Aufgaben ohne Taschenrechner löst, verwendest Du immer die Exponentialschreibweise und berechnest oder probierst die richtige Lösung.

Logarithmusfunktion ableiten

Den Logarithmus leitest Du mithilfe des Logarithmus naturalis ab. Wie vorher schon gezeigt, kannst Du jeden Logarithmus in den Logarithmus naturalis umformen.

Es gilt also allgemein:

$f (x) = \log_{b} (x) = \frac{1}{\ln (b)} \ln (x)$ und daraus folgt für die Ableitung: $f' (x) = \frac{1}{\ln (b)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\ln (b) \cdot x}$

Falls Du mehr über diese Thematik wissen möchtest, kannst Du Dir die Erklärung "Allgemeine Logarithmusfunktion“ durchlesen.

Logarithmusfunktion Übungsaufgaben

Damit Du das bisher gelernte verfestigen kannst, stehen Dir in diesem Abschnitt ein paar Beispielaufgaben zur Verfügung.

Aufgabe 2

Berechne $x$ für folgende Gleichung:

$\log_{3} (x) = 4$

Lösung

1. Schritt:

Schreibe die gegebene Gleichung in der Exponentialschreibweise auf:

$3^{4} = x$

2. Schritt:

Durch das Umstellen der Gleichung kannst Du jetzt den Wert für x berechnen:

$\begin{array}{rcl} 3^{4} & = & x \\ 12 & = & x \end{array}$

Das Ergebnis für x entspricht also 12.

Aufgabe 3

Berechne b für die folgende Gleichung:

$\log_{b} (25) = 2$

Lösung

1. Schritt:

Schreibe die Gleichung in Exponentialschreibweise auf:

$b^{2} = 25$

2. Schritt:

In diesem Fall probierst Du, welche Zahl mit sich selbst multipliziert 25 ergibt. Hier weißt Du vielleicht schon aus dem kleinen Einmaleins, dass $5 \cdot 5$ gleich 25 ergibt. Das Ergebnis für b ist also:

$b = 5$

Aufgabe 3

Berechne die Ableitung von der folgenden Logarithmusfunktion:

$f (x) = \log_{7} (x)$

Lösung

1. Schritt:

Als Erstes formst Du die Logarithmusfunktion zum Logarithmus naturalis um:

$f (x) = \log_{7} (x) = \frac{1}{\ln (7)} \cdot \ln (x)$

2. Schritt:

Jetzt bildest Du die Ableitung von $f (x)$ nach der Variable x ab.

$f' (x) = \frac{1}{\ln (7)} \cdot \frac{1}{x}$

Logarithmus Funktion - Das Wichtigste

Die Logarithmusfunktion löst bei gegebenen b und x die Gleichung $b^{y} = x$ mit der Rechnung: $f (x) = \log_{b} (x) = y$
Gesprochen wird diese Rechnung als Logarithmus von x zur Basis b und beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl $y$ musst Du $b$ potenzieren, um das Ergebnis $x$ zu erhalten?
Wenn Du die Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ und deren Umkehrfunktion $f^{- 1} (x) = b^{x}$ in ein Koordinatensystem einzeichnest, erhältst Du zwei Graphen, die sich an der Gerade x=y spiegeln.
Die Logarithmusfunktion wird in der Monotonie mit zwei Eigenschaften beschrieben:
- Die Logarithmusfunktion ist streng monoton
- Die Logarithmusfunktion ist nicht beschränkt
In dem Intervall von 0 bis 1 ist die Logarithmusfunktion streng fallend. Für die x-Werte nahe der Null nähert sich die Funktion zudem immer mehr an die y-Achse an, weshalb diese als (einzige) Asymptote auftritt. Es gilt:
$\lim_{x \to 0} \log_{b} (x) = \infty$ und $\lim_{x \to \infty} \log_{b} (x) = - \infty$
Für Basen größer 1 gilt:
$\lim_{x \to 0} \log_{b} (x) = - \infty$ und $\lim_{x \to \infty} \log_{b} (x) = - \infty$
Rechenregeln für den Logarithmus:
- $\log_{b} (x \cdot a) = \log_{b} (x) + \log_{b} (a)$
- $\log_{b} (\frac{x}{a}) = \log_{b} (x) - \log_{b} (a)$
- $\log_{b} (x^{a}) = a \cdot \log_{b} (x)$
Der Logarithmus naturalis beschreibt eine Logarithmusfunktion zur Basis der Eulerschen Zahl e=2,7182.. mit logex=lnx
- Den allgemeinen Logarithmus kannst Du so zum Logarithmus naturalis umformen: $\log_{b} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (b)}$
- $f (x) = \ln (x)$ besitzt die Ableitung $f' (x) = \frac{1}{x}$
Für den allgemeinen Logarithmus gilt : $f (x) = \log_{b} (x) = \frac{1}{\ln (b)} \ln (x)$ und daraus folgt für die Ableitung: $f' (x) = \frac{1}{\ln (b)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\ln (b) \cdot x}$

Nachweise

Klaus Jänich (2004). Funktionentheorie: Eine Einführung. Springer

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmusfunktion

Wann nimmt man log und wann ln?

Du verwendest den Logarithmus naturalis, wenn Du die eulersche Zahl als Basis verwendest. In allen anderen Fällen nimmst Du den allgemeinen Logarithmus.

Was ist die Logarithmusfunktion?

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und gibt die Antowrt auf die Frage, mit welcher Zahl y du b potenzieren musst, um das Ergebnis x zu erhalten.

Was berechnet der Logarithmus?

Der Logarithmus berechnet, mit welcher Zahl y du b potenzieren musst, um das Ergebnis x zu erhalten.

Ist der Logarithmus beschränkt?

Der Logarithmus ist nicht beschränkt und streng monoton.

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