Natürlicher Logarithmus

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Beim "Natürlichen Logarithmus", handelt es sich um eine spezielle Funktion. In diesem Artikel erfährst Du, wie sie definiert wird, welche Eigenschaften sie hat und wie Du die Funktion ableiten kannst.

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne den Artikel "Allgemeine Logarithmusfunktion" durch!

Definition der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:

Die Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = \ln (x)$ $f (x) = \ln (x)$

wird natürliche Logarithmusfunktion genannt, wobei $x \in ℝ^{+}$ .

Gesprochen wird das als "Natürlicher Logarithmus von $x$ ". Die Variable $x$ muss dabei immer größer $0$ sein.

Erklärung der natürlichen Logarithmusfunktion

Was unterscheidet die natürliche Logarithmusfunktion von der allgemeinen Logarithmusfunktion? Die ln-Funktion ist lediglich ein Spezialfall der allgemeinen Logarithmusfunktion, bei der die Basis $b$ der Eulerschen Zahl $e$ entspricht.

Die Eulersche Zahl $e$ entspricht dem Wert $e \approx 2, 7182818$ .

Damit kann die ln-Funktion auch wie folgt geschrieben werden:

$f (x) = \ln (x) = \log_{e} (x)$

Genau wie die allgemeine Logarithmusfunktion, kannst Du auch die ln-Funktion nutzen, um eine bestimmte Gleichung zu lösen. Dabei gilt:

Die Zahl $y = f (x) = \ln (x)$ ist die Zahl, für die die folgende Gleichung gilt:

$e^{y} = x$

Im Folgenden findest Du dazu Anwendungsbeispiele.

Die folgende Gleichung ist gegeben:

$e^{y} = 10$ $e^{y} = 10$

Um solche Gleichungen zu lösen und zu ermitteln, womit e potenziert werden muss, um 10 zu erhalten, greift hier der Logarithmus. Dies wird wie folgt notiert:

$\ln (10) = y$

Gibst Du nun den Ausdruck $\ln (10)$ in den Taschenrechner ein, erhältst Du folgende Lösung:

$y \approx 2, 30$

Beim natürlichen Logarithmus kannst Du Dir folgende Frage stellen: "Mit welcher Zahl $y$ muss ich $e$ potenzieren, um $x$ als Lösung zu erhalten?"

Weil aus $y = \ln (x)$ die Gleichung $e^{y} = x$ folgt, kannst Du Dir die beiden Gesetze des natürlichen Logarithmus' merken:

$e^{\ln (x)} = x und \ln (e^{y}) = y$

Regeln und Gesetze der natürlichen Logarithmusfunktion

Bei dem Rechnen mit dem natürlichen Logarithmus gibt es verschiedene Rechenregeln:

	Gesetze des Natürlicher Logarithmus
Produktregel	$\ln (x) + \ln (z) = \ln (x \cdot z)$
Quotientenregel	$\ln (x) - \ln (z) = \ln (\frac{x}{z})$
1. Potenzregel	$\ln (x^{z}) = z \cdot \ln (x)$
2. Potenzregel	$\ln (\sqrt[n]{z}) = \frac{1}{n} \cdot \ln (z)$
Basiswechsel	$\ln (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (e)}$

Um mehr zu den Rechenregeln zu erfahren, lies Dir den Artikel "Logarithmusgesetze" durch.

Der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion

In der folgenden Abbildung findest Du den Graph einer natürlichen Logarithmusfunktion.

Natürlicher Logarithmus Graph StudySmarter Abbildung 1: Graph der natürlichen Logarithmusfunktion

Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion besitzt ähnliche Eigenschaften wie die allgemeine Logarithmusfunktion. Diese findest Du im Folgenden.

Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion

Da die natürliche Logarithmusfunktion die Basis $e$ hat, hängt diese eng mit der e-Funktion zusammen. Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Zur Erinnerung:

Eine Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$ .
Zusätzlich müssen die Variablen $x$ und $y$ getauscht werden.
Die Umkehrfunktion wird mit $f^{- 1} (x)$ bezeichnet.

Die Funktion $f^{- 1} (x)$ mit

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

wird als Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ bezeichnet.

Natürlicher Logarithmus Umkehrfunktion StudySmarter Abbildung 2: Umkehrfunktion

Diese Abbildung verdeutlicht, dass die Umkehrfunktion $f^{- 1} (x)$ durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$ entstanden ist.

Definitionsbereich der natürlichen Logarithmusfunktion

Basierend auf dem Definitionsbereich des allgemeinen Logarithmus und der Definition des natürlichen Logarithmus' gilt, dass für $x$ lediglich positive Werte eingesetzt werden dürfen. Damit ergibt sich für die ln-Funktion folgender Definitionsbereich:

$D_{f} = ℝ^{+}$

Wertebereich der natürlichen Logarithmusfunktion

Da die natürliche Logarithmusfunktion, genau wie die allgemeine Logarithmusfunktion, weder nach oben noch nach unten beschränkt ist, besitzt sie folgenden Wertebereich:

$W_{f} = ℝ$

Nullstellen der natürlichen Logarithmusfunktion

Um die Nullstellen der natürliche Logarithmusfunktion zu bestimmen, setzt Du die Funktionsgleichung $f (x) = \ln (x)$ gleich $0$ :

$f (x) = \ln (x) = 0$

Zur Erinnerung: Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, muss diese gleich $0$ gesetzt werden.

Wendest Du nun die Umkehrfunktion an, erhältst Du folgenden Ausdruck:

$\ln (x) = 0 \overset{U m k e h r f u n k t i o n}{\to} e^{0} = x$

Löst Du diese Gleichung voll auf, erhältst Du folgende Nullstelle:

$\begin{array}{rcl} x & = & e^{0} \\ x & = & 1 \end{array}$

Damit besitzt die natürliche Logarithmusfunktion die Nullstelle $x = 1$ , genau wie jede allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis $b$ .

Monotonie der natürlichen Logarithmusfunktion

Die Monotonie der allgemeinen Logarithmusfunktion hängt von der Basis $b$ ab.

Zur Erinnerung:

Für $b > 1$ ist die allgemeine Logarithmusfunktion streng monoton wachsend.
Für $b < 1$ ist die allgemeine Logarithmusfunktion streng monoton fallend.

Die ln-Funktion ist streng monoton wachsend, da bei der natürlichen Logarithmusfunktion die Basis $b = e > 1$ ist.

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Um die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion zu erhalten, musst Du die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion nutzen:

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (e)}$

Um mehr zu dieser Ableitung zu erfahren, lies Dir den Artikel "Ln ableiten" durch.

Zur Erinnerung: Die Ableitung $f' (x)$ der allgemeinen Logarithmusfunktion lautet: $f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (b)}$

Der Ausdruck $\ln (e)$ ergibt die Zahl $1$ . Dementsprechend kannst Du die Ableitung noch etwas vereinfachen:

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Die ln-Funktion besitzt nun die Ableitung $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Die Ableitung $f' (x)$ der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ lautet:

$f' (x) = \frac{1}{x}$

ln Funktion - Das Wichtigste

Natürliche Logarithmusfunktion: f(x)=ln(x)
- Sprich: "Natürlicher Logarithmus von $x$ ."
- Weitere mögliche Schreibweise: $f (x) = \ln (x) = \log_{e} (x)$
Die Zahl y=f(x)=ln(x) ist die Zahl, für die die folgende Gleichung gilt: ey=x
- Damit gilt folgendes: $e^{\ln (x)} = x und \ln (e^{y}) = y$
Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion
Natürliche Logarithmusfunktion
Funktionsgleichung $f (x) = \ln (x)$
Definitionsmenge $D_{f} = ℝ^{+}$
Wertebereich $W_{f} = ℝ$
Nullstelle $x = 1$
Monotonie Streng monoton wachsend
Ableitung $f' (x) = \frac{1}{x}$
Umkehrfunktion $f^{- 1} (x) = e^{x}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Natürlicher Logarithmus

Die Ableitung der ln-Funktion ist f'(x)=1/x.

Der natürliche Logarithmus kommt dann zum Einsatz, wenn die Basis e beträgt. Zum Beispiel auch, um die Gleichung e^x=4 zu lösen.

Die Ausdruck ln(e) beträgt 1.

Die ln-Funktion ist für x>0 definiert.

	Natürliche Logarithmusfunktion
Funktionsgleichung	$f (x) = \ln (x)$
Definitionsmenge	$D_{f} = ℝ^{+}$
Wertebereich	$W_{f} = ℝ$
Nullstelle	$x = 1$
Monotonie	Streng monoton wachsend
Ableitung	$f' (x) = \frac{1}{x}$
Umkehrfunktion	$f^{- 1} (x) = e^{x}$

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