Satz vom Nullprodukt

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Stell Dir vor, es gibt einen Satz in der Mathematik, mit dem Du die Nullstellen einer ganzrationalen Gleichung einfach ablesen kannst, ohne die Polynomdivision oder ein anderes Lösungsverfahren anzuwenden. Nach dem Lesen dieses Artikels wird Dein mathematisches Leben viel einfacher sein und Du kannst Terme, die auf der anderen Seite ein Produkt sind, mithilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen. Cool, oder?

Satz vom Nullprodukt – Erklärung

Der Satz vom Nullprodukt ist ein Satz in der Algebra. Er ist aus dem Rechnen mit der Zahl Null als Faktor entstanden und wird Dir beim Berechnen von Nullstellen einiges erleichtern. Der Satz vom Nullprodukt besagt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

$a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 o d e r b = 0$

Den Satz vom Nullprodukt kannst Du häufig bei der Berechnung von Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen, sowie generell beim Lösen von Gleichungen nutzen. Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die Lösungen der Gleichung $f (x) = 0$ . Aufgrund des Ergebnisses 0 ist es möglich, den Satz vom Nullprodukt anzuwenden.

Es gibt aber zwei Voraussetzungen, damit dieser Satz anwendbar ist:

Auf der linken Seite der Gleichung stehen nur Faktoren.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Null.

Die Regel hilft Dir also bei einer homogenen Gleichung mit mindestens zwei Faktoren und einer Variablen. Der Faktor bzw. die Faktoren, der/die Variable enthalten, kann gleich null gesetzt werden und so wird die Gleichung stark vereinfacht.

So weit zur Theorie. Schau Dir das Ganze jetzt an einem kurzen Beispiel an.

In diesem Fall kannst Du die Regel nicht direkt anwenden. Um diese Gleichung zu lösen und die Nullstellen zu berechnen, wird zunächst $x^{3}$ ausgeklammert:

$x^{3} (x^{2} + 1) = 0 \Rightarrow x^{3} = 0 o d e r x^{2} + 1 = 0 .$

Damit sind die Lösungen der Gleichung: $x_{1} = 0$ (dreifache Nullstelle) und $x_{2} = 1$ (Berührstelle)

Folgendes kannst Du Dir merken: Wende den Satz vom Nullprodukt immer an, wenn Du ein Produkt von zwei Funktionen hast, die gleich null gesetzt wurden.

Das macht das Lösen von Gleichungen um einiges leichter, oder? Die Mitternachtsformel respektive p-q-Formel musst Du nämlich nur dann anwenden, wenn in der Gleichung neben dem $x^{2}$ auch ein x und eine Zahl ohne "x" vorhanden sind. Also nur dann, wenn Du eine Gleichung hast, die nach diesem Schema aufgebaut ist:

0 = a x^{2} + b x + c

Es könnte aber auch sein, dass eine quadratische Gleichung ohne eine einfache Zahl (Konstante) vorkommt, also:

$0 = a x^{2} + b x$

In diesem Fall kannst Du die Gleichung lösen, indem Du das x ausklammerst. Das Stichwort lautet hier Satz vom Nullprodukt! An sich darfst Du den Satz vom Nullprodukt immer dann anwenden, wenn auf einer der beiden Seiten der Gleichung ein Produkt steht und auf der anderen die Zahl 0. Manchmal lässt sich jedoch eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt verwandeln, sodass anschließend der Satz vom Nullprodukt angewendet werden kann.

$F a k t o r \cdot F a k t o r = P r o d u k t F a k t o r \cdot 0 = 0 0 \cdot F a k t o r = 0$

Da das Thema Ausklammern und Faktorisieren im Kontext des Satzes vom Nullprodukt sehr präsent ist, ist es empfehlenswert, Dir das im Folgenden genau anzuschauen.

Außerdem "nice to know" im Kontext des Satzes vom Nullprodukt: Die Linearfaktordarstellung ist eine andere Form, eine Polynomfunktion aufzuschreiben. In dieser Darstellung lassen sich die Nullstellen der Funktion ablesen.

Um dies anschaulich zu demonstrieren, ist Dir die folgende Gleichung gegeben, von der Du die Nullstellen berechnen sollst:

$3 x^{2} - 10 x = 0$

In diesem Fall kannst Du den Satz vom Nullprodukt nicht direkt anwenden, denn auf der linken Seite der Gleichung steht eine Summe!

Klammere die möglichst hohe Potenz von x aus und faktorisiere die Gleichung.

$x \cdot (3 x - 10) = 0$

Wende den Satz vom Nullprodukt an. Setze dafür die Faktoren einzeln gleich.

$x = 0$ oder $3 x - 10 = 0$

Daraus folgt:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 10 & = & 0 + 10 \\ 3 x & = & 10 : 3 \\ x & = & \frac{10}{3} \end{array}$

Die Gleichung $x = 0$ kann nicht weiter aufgelöst werden.

Du erhältst zwei Lösungen: $L = \{0; \frac{10}{3}\}$

Wie Du im Beispiel gerade gesehen hast, kannst Du in der Linearfaktordarstellung die Nullstellen mit Hilfe des Satz vom Nullprodukt bestimmen. Ebenso kannst Du aus gegebenen Lösungen eine Gleichung aufstellen, indem Du die Nullstellen in der Darstellung aufschreibst.

Dir sind zwei Nullstellen gegeben:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & 3 \\ x_{2} & = & - 1 \end{array}$

Aus den gegebenen Nullstellen sollst Du nun eine quadratische Gleichung aufstellen:

$(x - 3) \cdot (x + 1) = 0$

Du siehst, die Linearfaktordarstellung ist nichts anderes, als zwei Klammern mit jeweils "x minus Nullstelle", die miteinander malgenommen werden. Setzt Du nun die einzelnen Nullstellen in die aufgestellte Gleichung ein, wirst Du feststellen, dass die ganze Gleichung Null wird. Genau wie der Satz vom Nullprodukt besagt.

$\underset{3 - 3 = 0}{\underset{⏟}{(x - 3)}} \cdot \underset{(- 1) + 1 = 0}{\underset{⏟}{(x + 1)}} = 0$

Im Anschluss kannst Du die Gleichung auch noch ausmultiplizieren und erhältst folgende Quadratische Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Somit kannst Du jetzt auch eine Gleichung aus gegebenen Nullstellen mithilfe des Satzes vom Nullprodukt aufstellen!

Vorgehen beim Satz vom Nullprodukt

An einem kleinen Beispiel lernst Du soeben das allgemeine Vorgehen beim Satz vom Nullprodukt.

Du hast die Gleichung $0 = 3 x^{4} - 12 x^{2}$ vorliegen, von welcher Du die Nullstellen berechnen sollst.

Du suchst Dir die kleinste Hochzahl (Exponent) bei x heraus. Das ist in diesem Fall $x^{2}$ .
Das x mit der niedrigsten Hochzahl klammerst Du dann aus. Wenn Du nicht mehr genau weißt, wie Ausklammern und Ausmultiplizieren funktioniert, dann schau Dir doch unseren Artikel dazu an.
Das ausgeklammerte Ergebnis lautet: $0 = x^{2} \cdot (3 x^{2} - 12)$ → Es ist ein Produkt.
Jetzt kommt der Satz vom Nullprodukt ins Spiel. Es muss jetzt gelten, dass einer der Faktoren Null sein muss.
$x^{2} = 0$ oder $3 x^{2} - 12 = 0$
Jetzt hast Du Deine erste Lösung der Gleichung: $x_{1} = 0$ .
Die quadratische Gleichung in der Klammer kannst Du jetzt ganz einfach lösen.

$3 x^{2} - 12 = 0 / + 12 3 x^{2} = 12 / \pm 3 x^{2} = 4 / x = \pm 2$

Die Lösungen der Gleichung lauten:

$x_{1} = 0, x_{2} = 2, x_{3} = - 2$

7. Zum Schluss gibst Du noch die Lösungsmenge an und bist fertig: $L = {0; 2; - 2}$

Analysis Beispielfunktion 4. Grades StudySmarter

Abbildung 1: Nullstellen einer Funktion 4. Grades

Faktorisieren durch Anwendung der binomischen Formeln

Manche Aufgaben zum Satz vom Nullprodukt können mit binomischen Formeln gelöst werden. Dazu löst Du eine quadratische Gleichung, indem Du den Term durch Anwendung einer binomischen Formel faktorisierst (in Linearfaktordarstellung bringen) und anschließend den Satz vom Nullprodukt anwendest.

Im Folgenden siehst Du dieses Vorgehen an einem Beispiel:

Schau Dir die folgende Gleichung an und überlege Dir, was auffällig ist.

$9 x^{2} - 16 = 0$

Die Linearfaktordarstellung ist eine spezielle Art, wie Du eine quadratische Gleichung schreiben kannst, behalte das im Hinterkopf. Bei genauerem Betrachten wirst Du sehen, dass sich der Term durch Anwenden der 3. Binomischen Formel faktorisieren lässt.

3. Binomische Formel: $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$

$(3 x + 4) \cdot (3 x - 4) = 0$

Ob eine Funktion in der Linearfaktordarstellung oder in der normalen Form geschrieben wird, ist völlig egal, es bleibt die gleiche Funktion. Für die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ist die Linearfaktordarstellung allerdings sehr von Vorteil.

Nun hast Du den Term in seine faktorisierte Formel mithilfe der 3. Binomischen Formel überführt. Wende anschließend den Satz vom Nullprodukt an, indem Du beide Faktoren nacheinander Null setzt.

\to

1. Faktor gleich Null setzen und die Gleichung durch Äquivalenzumformungen nach x auflösen:

$\begin{array}{rcl} 3 x + 4 & = & 0 - 4 \\ 3 x & = & - 4 : 3 \\ x & = & - \frac{4}{3} \end{array}$

Der 1. Faktor wird bei $x = - \frac{4}{3}$ gleich Null.

$\to$ 2. Faktor gleich Null setzen und die Gleichung durch Äquivalenzumformungen nach x auflösen:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 4 & = & 0 + 4 \\ 3 x & = & 4 : 3 \\ x & = & \frac{4}{3} \end{array}$

Der 2. Faktor wird bei $x = \frac{4}{3}$ gleich Null.

Die Lösungsmenge lautet $L = \{- \frac{4}{3}; \frac{4}{3}\}$ .

Merke Dir also, dass eine quadratische Gleichung mithilfe von binomischen Formeln (meist die 3. Binomische Formel) faktorisiert werden kann, um die Linearfaktordarstellung zu erhalten. Danach kannst Du dann den Satz vom Nullprodukt anwenden, indem Du beide Faktoren gleich null setzt.

Satz vom Nullprodukt Formel – Beweis

Kannst Du Dich noch daran erinnern, wenn ein Faktor in einer Multiplikation Null ist, so ist automatisch das ganze Produkt Null. Genauso funktioniert das auch beim Satz vom Nullprodukt:

$a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 o d e r b = 0$

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Das besagt der Satz vom Nullprodukt.

Der Satz gilt für $a, b \in ℝ$ (und allgemeiner für Elemente eines Körpers, einer algebraischen Struktur also, in der dieselben Rechengesetze wie in $ℝ$ gelten).

Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt. Zwei Richtungen sind zu begründen.

$\Leftarrow$

Sei $b = 0$ , dann ist $a \cdot 0 = 0$ zu zeigen, das heißt, wenn ein Faktor null ist, so ist das Produkt null.

Hierzu wird $a \cdot (0 + 0)$ auf zwei Arten aus, distributiv und mit $c + 0 = c$ .

$\begin{array}{rcl} a \cdot \underset{0}{\underset{⏟}{(0 + 0)}} & = & a \cdot 0 + a \cdot 0 - a \cdot 0 \\ 0 & = & a \cdot 0 \end{array}$

$\Rightarrow$

Der zweite Fall wäre, dass a ungleich null ist.

Sei $a \cdot b = 0$ und $a \neq 0$ .

Mit Äquivalenzumformungen wird die Gleichung nach dem Faktor b umgestellt.

$\begin{array}{rcl} a \cdot b & = & 0 \cdot \frac{1}{a} \\ b & = & 0 \end{array}$

Das bedeutet, für den Fall, dass a nicht gleich null ist, müsste b gleich null sein.

Satz vom Nullprodukt – Anwendung

Auch wenn Dir verschiedene Funktionstypen vorliegen, kannst Du durch Tricks trotzdem den Satz vom Nullprodukt anwenden, um schnell möglichst eine Lösung zu erhalten.

Quadratische Gleichungen Satz vom Nullprodukt – Beispiel

Du sollst eine quadratische Gleichung der Form $a x^{2} + b x = 0$ lösen.

Natürlich kannst Du hier die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel anwenden. Falls Du Dir nicht mehr sicher bist, wie das funktioniert, schau Dir doch den Artikel zur p-q-Formel oder Mitternachtsformel an.

In diesem Fall kannst Du aber den oben beschriebenen Satz vom Nullprodukt anwenden, der Dir zum Lösen der Gleichung vielleicht besser gefällt:

Da in dem quadratischen Term $a x^{2} + b x$ kein konstanter Term (z.B. 5 $\to$ Zahl ohne "x") vorhanden ist, kannst Du $x$ ausklammern. Du erhältst dann die Gleichung $x \cdot (a x + b) = 0$ . Nun hast Du auf der linken Seite die Faktoren $x$ und $a x + b$ . Da die rechte Seite gleich $0$ ist, weißt Du nun, dass entweder $x$ oder $a x + b$ den Wert $0$ haben muss. Es ergeben sich also die Gleichungen $x = 0$ und $a x + b = 0$ zum Lösen.

Im Folgenden siehst Du dieses Vorgehen an Beispielen:

Du sollst die quadratische Gleichung $2 x^{2} - 4 x = 0$ lösen:

Ausklammern von $x$ führt zu $x \cdot (2 x - 4) = 0$ .
Die erste Gleichung lautet $x_{1} = 0$ . Hier kannst Du die Lösung direkt ablesen.
Die zweite Gleichung ist $2 x - 4 = 0$ . Durch Umformen erhältst Du $x_{2} = 2$ .

Im Anschluss kannst Du Dein Ergebnis überprüfen, ob der Satz vom Nullprodukt auch tatsächlich funktioniert.

$x_{1} = 0$
$x_{2} = 2$

Da Du gerade bei quadratischen Gleichungen oft auf einen geraden Exponenten im x stoßen wirst und Du in diesem Fall zum Lösen der Gleichung die Wurzel ziehen musst, wird Dir noch ein wichtiger Hinweis geben:

$\to$ Denke daran, dass Du bei Wurzeln mit einer geraden Hochzahl $x^{2}$ zwei Lösungen hast.

Die folgende Gleichung hat zwei Lösungen:

x^{2} = 9

→

x = \pm 3

Es ergibt sich eine positive und negative Lösung, wenn Du die Wurzel der quadratischen Gleichung ziehst.

Satz vom Nullprodukt e-Funktion – Beispiel

Spätestens bei der Kurvendiskussion wird Dir der Satz vom Nullprodukt im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen begegnen. Denn häufig wirst Du bei der Kurvendiskussion Funktionen zeichnen und dabei sind die Nullstellen ein wichtiger Anhaltspunkt. Doch wie findest Du die Nullstellen einer e-Funktion? Dies geschieht genau wie bei linearen oder quadratischen Funktionen mithilfe der Gleichung $f (x) = 0$ .

Analog zum Ausklammern von x, ist es ebenso wichtig, $e^{x}$ genauer gesagt sogar jede e-Funktion ausklammern zu können. Auf diese Weise stellst Du nämlich stets ein Produkt her, von dessen ein Faktor die e-Funktion ist. Wendest Du schließlich den Satz vom Nullprodukt an, so fällt die e-Funktion direkt weg, denn sie kann nicht Null werden. Du erhältst dann meist eine ganzrationale Gleichung.

Eine mögliche Gleichung, bei der eine e-Funktion vorkommt, lautet:

f (x) = e^{x} \cdot (1 + x)

Bei dieser Gleichung lässt sich der Satz vom Nullprodukt gut anwenden.

Dir soll der Satz vom Nullprodukt aber an einem anderen Beispiel demonstriert werden:

$e^{4 x} = 0$

Wie oben schon erwähnt, kann eine e-Funktion niemals null werden. Du fragst Dich, warum das so ist? Rechne einfach einmal weiter und versuche es aufzulösen. Um die e-Funktion wegzubekommen, müsstest Du auf beiden Seiten den $\ln$ anwenden. Der $\ln$ hebt die e-Funktion nämlich auf. Dann würde dort nur noch der Exponent stehen:

$4 x = \ln (0) \to S T O P P!$

Der $\ln$ kann weder von negativen Zahlen noch der Zahl null berechnet werden. Dieser ist nur von positiven Zahlen berechenbar. Eine solche Gleichung hat keine Lösung.

$\begin{array}{rcl} \ln (0) & \to & k e i n e L ö s u n g \\ \ln (n e g a t i v e Z a h l) & \to & k e i n e L ö s u n g \end{array}$

Nun möchtest Du noch eine andere Gleichung lösen:

$2 x \cdot e^{- x} = 0$

Was ist hier jetzt anders als in der vorherigen Gleichung? Du hast ein Produkt, in dem vorne (2x) und hinten ( $e^{- x}$ ) ein x drin ist. Daher wendest Du den Satz vom Nullprodukt an:

Löse dazu jede Gleichung einzeln. Entweder wird dabei $2 x = 0$ oder $e^{- x} = 0$ . Wie Du aber zuvor gelernt hast, wird $e^{x}$ niemals Null. Also kann dieser Fall ausgeschlossen werden und Du erhältst keine weitere Lösung.

Das bedeutet, nur $2 x = 0$ kann eine Lösung der Gleichung sein. Jetzt wird die Gleichung ausgerechnet:

$2 x = 0 / \div 2 x = 0$

Somit wurde eine Nullstelle der Funktion berechnet: $L = {0}$ .

Hier noch eine weitere Beispielfunktion:

f (x) = x^{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}}

Von der vorliegenden Funktion möchtest Du nun die Nullstellen bestimmen. Es liegt ein Produkt von zwei Potenzen vor. Da weder die Basen noch die Potenzen gleich sind, kannst Du mit den Potenzgesetzen nichts ausrichten. Wende deshalb den Satz vom Nullprodukt an. Das heißt einer der Faktoren muss Null werden.

1. Fall:

$x^{2} = 0 / x_{1} = 0$

Nun haben wir unsere erste Nullstelle/erste Lösung dieser Gleichung berechnet: $L = {0}$ .

2. Fall:

$e^{- \frac{x}{2}} = 0 / \ln \ln (0) i s t n i c h t d e f i n i e r t .$

Die $\ln$ -Funktion ist nur für x-Werte größer Null definiert.

Wenn Du die genannten Regeln befolgst, wird Dir das Lösen von Gleichungen mit einer e-Funktion sehr viel leichter fallen!

Satz vom Nullprodukt – Aufgaben

Um Dein Wissen zu festigen, kannst Du im Folgenden den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen von $f (x) = - 21 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3}$ .

Lösung

Gesucht sind die Lösungen von $f (x) = 0$ :

$- 21 x^{2} + x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Zuerst wird $x^{2}$ ausgeklammert:

$x^{2} \cdot (x^{2} - 4 x - 21) = 0 \Rightarrow x^{2} = 0 o d e r x^{2} - 4 x - 21 = 0$

Also $x_{1} = 0$ und mit der p-q-Formel / Mitternachtsformel folgt $x_{2} = - 3$ und $x_{3} = 7$ und es gilt:

L = {0; - 3; 7}

Aufgabe 2

Gib alle Nullstellen der Funktion $f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2}$ an.

Lösung

Du sollst die Nullstellen der Funktion 4. Grades berechnen. Dazu musst Du diese Funktion zunächst gleich null setzen. Im Anschluss klammerst Du den Faktor mit dem kleinsten Exponenten aus. Einer dieser Faktoren muss $0$ sein, damit das Produkt ergibt:

Du setzt f(x)=0:

$x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Kleinste Hochzahl ausklammern:

$x^{2} \cdot (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

Somit wird einer der beiden Faktoren des Produktes Null. In diesem Fall ist die erste Nullstelle:

$x^{2} = 0 / x_{1} = 0$

Die anderen Nullstellen bekommst Du mit der p-q-Formel oder Mitternachtsformel:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0 \to x_{2} = 2 \to x_{3} = 3$

Die Nullstellen der Gleichen sind jetzt berechnet. Jetzt schreibst Du nur noch die Lösungsmenge auf und bist fertig!

$L = {0; 2; 3}$

Satz vom Nullprodukt – Das Wichtigste

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann gleich null ist, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist.
Anwendungsbereiche: Berechnung von Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen und Gleichungen lösen.
Durch Faktorisieren kannst Du eine Summe oder Differenz in ein Produkt verwandeln und im Anschluss den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Verwende den Satz vom Nullprodukt anstatt der p-q-Formel oder Mitternachtsformel, wenn die Gleichung keinen konstanten Term (Zahl ohne „x“) hat. Damit wirst Du viel Zeit sparen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Satz vom Nullprodukt

Der Produkt-Null-Satz oder Produktsatz lautet: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Den Satz vom Nullprodukt darf man nur anwenden, wenn auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt steht. Manchmal lässt sich jedoch eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt verwandeln, sodass anschließend der Satz vom Nullprodukt angewendet werden kann.

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn (mindestens) einer der Faktoren 0 ist. Wenn also

a ⋅ b = 0 ist, muss entweder a = 0 sein, oder b = 0 oder beide gleich 0.

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Was kannst du tun, wenn du kein Produkt aus zwei Funktionen vorliegen hast?

Du kannst versuchen, eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt zu verwandeln. Danach kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Kann der Satz vom Nullprodukt auch bei e-Funktionen angewendet werden?

Es ist bei der Berechnung von Nullstellen einer e-Funktion sehr wichtig, diese ausklammern zu können. Dann ergibt sich ein Produkt und du kannst den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Was ist die Produktform?

Die Produktform bzw. Produktschreibweise ist eine andere Darstellung für eine Polynomfunktion. Der Vorteil dieser Schreibweise ist es, dass du die Nullstellen sofort ablesen kannst. Diese Form kannst du auch als Linearfaktordarstellung bezeichnen.

Wie viele Nullstellen kann eine Funktion 4. Grades haben?

Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Nullstelle und höchstens 4 Nullstellen.

Was ist die Linearfaktordarstellung?

Die Linearfaktordarstellung ist eine andere Form eine Polynomfunktion aufzuschreiben. Mit einer Darstellung in Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen der Funktion sofort ablesen.

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