\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Was die Summenregel ist, wie ihre Definition lautet, wie Du mit der Summenregel eine Ableitung für die e-Funktion bildest und vieles mehr erfährst Du in dieser Erklärung. Hier wird Dir die Summenregel für Ableitungen einfach erklärt!
Summenregel – Grundwissen
Die Summenregel ist eine der Ableitungsregeln. Davon gibt es mehrere:
Sie helfen Dir dabei, die Ableitungen von verschiedenen Funktionsarten zu bilden.
Summenregel – Ableitung einfach erklärt
Die Summenregel der Ableitung ist eine der fundamentalen Regeln für das Ableiten von Funktionen. Sie besagt, dass die Ableitung einer Summe nichts anderes ist, als die Summe der Ableitungen der einzelnen Summanden
Stell Dir vor, Deine Funktion lautet zum Beispiel \(f(x)={\color{bl}4x^2}+{\color{gr}5x}\). Dann ist diese Funktion die Summe der beiden Funktionen \(g(x)={\color{bl}4x^2}\) und \(h(x)={\color{gr}5x}\).
Die Ableitung \(f'(x)\) ist dann nichts anderes als die Summe der Ableitungen \(g'(x) = {\color{bl}8x} \) und \(h'(x)={\color{gr}5}\). Also \(f'(x) = {\color{bl}8x}+{\color{gr}5}\)
Wie Du mit der Summenregel ableiten kannst, erfährst Du jetzt.
Summenregel Ableitung Definition
Die Summenregel besagt, dass die Summe von Funktionen abgeleitet werden kann, indem die einzelnen Funktionen abgeleitet werden und ihre Summe gebildet wird.
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion\(f(x)={\color{bl}g(x)}+{\color{gr}h(x)}\) als Summe der beiden Funktionen \({\color{bl}g(x)}\) und \({\color{gr}h(x)}\) wie folgt lautet: \[f^\prime(x)={\color{bl}g'(x)}+{\color{gr}h'(x)}\]
Du kannst also einzeln die Ableitungen der Funktionen \(g\) und \(h\) bestimmen und sie dann addieren, um die Ableitung von \(f\) zu erhalten.
Die Summenregel ist ebenso bei einer Differenz anwendbar, also wenn statt dem \(+\) ein \(-\) zwischen den Funktionen \({\color{bl}g(x)}\) und \({\color{gr}h(x)}\) steht: \[f(x)={\color{bl}g(x)}-{\color{gr}h(x)}\]
Das liegt daran, dass eine Subtraktion auch als Addition einer negativen Zahl, Variable oder Funktion geschrieben werden kann, z. B.: \[-x=+(-x)\]
In dem Fall heißt die Regel allerdings nicht mehr Summenregel, sondern Differenzregel, und es gilt: \[f'(x)={\color{bl}g'(x)}-{\color{gr}h'(x)}\]
Mehr zur Ableitungsregel für die Differenz zweier Funktionen findest Du in der Erklärung Differenzregel.
Summenregel Ableitung Beispiel
Sieh Dir dazu am besten direkt das Beispiel mit den oben genannten Funktionen an.
Gegeben ist die Funktion \(f(x)={\color{bl}4x^2}+{\color{gr}5x}\) als Summe der beiden Funktionen \(g(x)={\color{bl}4x^2}\) und \(h(x)={\color{gr}5x}\). Bestimme die Ableitung \(f^\prime\) der Funktion \(f\).
Dazu berechnest Du die Ableitungen der Funktionen \(g\) und \(h\): \begin{align}g^\prime (x)&={\color{bl}2 \cdot 4x^{2-1}}={\color{bl}8x} \\[0.1cm] h^\prime (x)&={\color{gr}5\cdot 1x^{1-1}}={\color{gr}5}\end{align}
Hierfür wurden die Potenzregel und die Faktorregel verwendet.
Die Ableitung von \(f(x)\) lautet also \[f^\prime (x)={\color{bl}8x}+{\color{gr}5}.\]
Beweis Summenregel Ableitung
Doch woher kommt diese Regel? Hier findest Du den Beweis bzw. die Herleitung der Summenregel.
| Beschreibung | Beweis |
| 1. Die Ableitung wird ursprünglich mithilfe des Differentialquotienten berechnet. Daher wird zunächst die Ableitung der Funktion \(f(x)=g(x)+h(x)\) als Differentialquotient mit der h-Methode dargestellt und die Klammer aufgelöst. | \begin{align} f'(x)&=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[0.2cm] &= \lim \limits_{h\to 0} \frac{{\color{bl}g(x+h)}+{\color{gr}h(x+h)}-({\color{bl}g(x)}+{\color{gr}h(x)})}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h\to 0} \frac{{\color{bl}g(x+h)}+{\color{gr}h(x+h)}-{\color{bl}g(x)}-{\color{gr}h(x)}}{h} \end{align} |
| 2. Nun kann das Kommutativgesetz angewendet werden, welches für die Addition und Subtraktion gilt. Es werden dabei einzelne Summanden im Zähler vertauscht. | \[f'(x)= \lim \limits_{h\to 0} \frac{{\color{bl}g(x+h)}-{\color{bl}g(x)}+{\color{gr}h(x+h)}-{\color{gr}h(x)}}{h} \] |
| 3. Als Nächstes kann der Bruch in zwei separate Brüche aufgeteilt werden, die beide den gleichen Nenner haben. | \[f'(x)= \lim \limits_{h\to 0} \left({\color{bl}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}+{\color{gr}\frac{h(x+h)-h(x)}{h}} \right)\] |
| 4. Somit können für diese beiden Brüche die Grenzwerte ebenfalls einzeln berechnet werden. | \[f'(x)={\color{bl} \lim \limits_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}+{\color{gr} \lim \limits_{h\to 0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h}} \] |
| 5. Diese beiden Grenzwerte bilden nun jeweils den Differentialquotienten von \(g(x)\) bzw. \(h(x)\). Sie können daher als Ableitung der einzelnen Funktionen geschrieben werden. | \[f'(x)={\color{bl}g'(x)}+{\color{gr}h'(x)} \] |
Tatsächlich gilt die Summenregel nicht nur für zwei Funktionen, sondern auch für beliebig viele Funktionen in einer Summe. Das liegt daran, dass der Zähler des Differentialquotienten wie in dieser Herleitung beliebig sortiert und in verschiedene Brüche auseinandergezogen werden kann, da der Nenner immer \(h\) lautet.
Summenregel – Ableitung e-Funktion
Die Summenregel kannst Du bei der Ableitung einer e-Funktion ebenso anwenden, wie z. B. bei einer ganzrationalen Funktion.
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=3e^x+e^{2x}\).
Zunächst solltest Du die zwei Funktionen benennen, die in dieser Summe enthalten sind:
\begin{align} g(x)&={\color{bl}3e^x} \\[0.1cm] h(x)&={\color{gr}e^{2x}} \end{align}
Bestimme nun die Ableitungen von \(g\) und \(h\). Dafür solltest Du wissen, wie e-Funktionen im Allgemeinen abgeleitet werden. \begin{align}g^\prime (x)&={\color{bl}3e^x} \\[0.1cm] h^\prime (x)&={\color{gr}2\cdot e^{2x}}\end{align}
Entsprechend lautet also die Ableitung der Funktion \(f\):
\[f'(x)={\color{bl}3e^x}+{\color{gr}2e^{2x}}.\]
Mehr über das Ableiten der e-Funktion erfährst Du in der Erklärung e-Funktion ableiten.
Summenregel – Ableitung Aufgaben und Übungen
Du möchtest direkt testen, ob Du die Summenregel anwenden kannst? Dann findest Du hier ein paar Aufgaben mit Lösungen!
Aufgabe 2
Bestimme die erste Ableitung der Funktion \(f(x)=2x^2+7x+2\).
Lösung
Die Funktion \(f\) kann als Summe der Funktionen \(g(x)={\color{bl}2x^2}\), \(h(x)={\color{gr}7x}\) und einer Konstanten \(c={\color{r}2}\) interpretiert werden.
Es gilt \begin{align}g'(x)&= {\color{bl}2\cdot 2x^{2-1}}={\color{bl}4x} \\[0.1cm] h'(x)&={\color{gr}7}\end{align}
Da die Ableitung der Konstanten \(c'={\color{r}0}\) beträgt, gilt daher \[f'(x)={\color{bl}4x}+{\color{gr}7} \]
Aufgabe 3
Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion \(f(x)=3x^2+7x^3\).
Lösung
Bestimme zunächst die ersten Ableitungen der Funktionen \(g(x)={\color{bl}3x^2}\) und \(h(x)={\color{gr}7x^3}\) einzeln:
\begin{align}g'(x)&= {\color{bl}2\cdot 3x^{2-1}}= {\color{bl}6x}\\[0.1cm] h'(x)&={\color{gr}3 \cdot 7x^{3-1}}={\color{gr} 21x^2}\end{align}
Die erste Ableitung von \(f\) lautet also:
\[f'(x)={\color{bl}6x}+{\color{gr}21x^2}\]
Bestimme dann auch die zweiten Ableitungen einzeln: \begin{align}g''(x)&= {\color{bl}6}\\[0.1cm] h''(x)&={\color{gr}2 \cdot 21x^{2-1}}={\color{gr} 42x}\end{align}
Die erste Ableitung von \(f\) lautet also:
\[f'(x)={\color{bl}6x}+{\color{gr}21x^2}.\]
Die zweite Ableitung von \(f\) lautet dann:
\[f''(x)={\color{bl}6}+{\color{gr}42x}.\]
Summenregel – Das Wichtigste
- Summenregel: Die Ableitung der Funktion \(f(x)={\color{bl}g(x)}+{\color{gr}h(x)}\) lautet \[f^\prime(x)={\color{bl}g'(x)}+{\color{gr}h'(x)}.\] Sie gilt für beliebig viele Funktionen in der Summe.
- Die Summenregel ist ebenso bei einer Differenz anwendbar, sie lautet dann jedoch Differenzregel.
- Als Beweis der Summenregel dient der Differentialquotient mit der h-Methode.
- Die Summenregel kannst Du auch für Ableitung einer e-Funktion nutzen.
Nachweise
- Modler, Kreh (2009). Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1. Springer-Verlag.
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