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Summenregel

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Mathe

Häufig müssen Funktionen abgeleitet werden, um bestimmte Informationen zu erhalten. Zum Beispiel darüber, wo die Extremstellen der Funktion sind. Es wäre sehr aufwendig, jedes Mal den Differentialquotient einer Funktion zu bestimmen, um die Ableitung zu erhalten. Deshalb gibt es verschiedene Ableitungsregeln, die das Ableiten vereinfachen sollen.

Es gibt

Oftmals sind zwei Funktionen durch ein Pluszeichen miteinander verbunden und ergeben so eine neue Funktion. In diesem Artikel erfährst du, wie du eine derartige Funktion mithilfe der Summenregel ableiten kannst.

In diesem Artikel wirst die Definition der Summenregel kennenlernen und anhand von einigen Beispielen sehen, wie du diese anwenden kannst. Für ein vertieftes Verständnis werden wir uns die Herleitung und die geometrische Interpretation der Summenregel ansehen.

Wiederholung – Ableitung einfach erklärt

Bevor du die Definition der Summenregel kennenlernst, soll nochmal wiederholt werden, was die Begriffe Differenzenquotient, Differenzierbarkeit, Differentialquotient und Ableitung bedeuten.

Der Differenzenquotient ist die mittlere Änderungsrate der Funktion im Intervall :

.

Dies entspricht auch der Steigung der Sekante durch die Punkte und .

In der Abbildung kannst du ein Beispiel für eine solche Sekante sehen.

Summenregel Sekante StudySmarter

Abbildung 1: Differenzenquotient als Steigung der Sekante

Als Nächstes soll betrachtet werden, was der Differentialquotient ist.

Der Differentialquotient ist die momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle :

Summenregel, Momentane Änderungsrate StudySmarter.

Dies entspricht auch der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

In der Abbildung kannst du ein Beispiel für eine solche Tangente sehen.

Summenregel Tangente StudySmarterAbbildung 2: Differentialquotient als Steigung der Tangente

Vielleicht fragst du dich jetzt, was das ganze mit Differenzierbarkeit und Ableitung zu tun hat.

Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle , wenn der Differentialquotient an dieser Stelle existiert. Der Differentialquotient wird dann auch als Ableitung der Funktion an der Stelle bezeichnet.

Schreibweise:

Summenregel, Differentialquotient, StudySmarter .

Wenn du dir das Thema nochmal genauer ansehen möchtest, kannst du in den Artikeln mittlere Änderungsrate, Differentialquotient und Differenzierbarkeit nachschauen.

Ableiten mit der Summenregel – Definition

Die Ableitung einer Summe von Funktionen wird gebildet, indem die einzelnen Funktionen für sich abgeleitet werden und die Ableitungen addiert werden.

Seien g(x) und h(x) zwei Funktionen. Der gemeinsame Differenzierbarkeitsbereich der beiden Funktionen umfasst alle x-Werte, an denen sowohl g(x) als auch h(x) differenzierbar sind.

Summenregel

Die Summe dieser beiden Funktionen ist im gemeinsamen Differenzierbarkeitsbereich der beiden Funktionen differenzierbar und die Ableitung lautet:

Summenregel, Differenzierbarkeitsbereich, StudySmarter

Die Summenregel wird also immer dann verwendet, wenn eine Summe von Funktionen abgeleitet werden muss. Damit du die Summenregel besser verstehen und anwenden kannst, schaue dir die folgenden Beispielaufgaben an.

Analog zur Summenregel wird auch die Differenzregel definiert. Sie besagt, dass die Ableitung einer Differenz von Funktionen gebildet wird, indem die einzelnen Funktionen für sich abgeleitet werden und die Ableitungen subtrahiert werden. Dazu findest du einen eigenen Artikel.

Summenregel Aufgaben StudySmarter

Summenregel ableiten Aufgaben und Übungen

In den folgenden Übungsaufgaben zur Summenregel wird auf die anderen Ableitungsregeln zurückgegriffen. Falls du diese Regeln nicht mehr im Kopf haben solltest, dann schau dir doch noch unsere anderen Seiten dazu an.

Aufgabe 1

Leite die Funktion ab.

Lösung

Um die Funktion f(x) abzuleiten, müssen die Ableitungen der Funktionen g(x) und h(x) addiert werden. Die beiden Summanden können mit der Potenzregel und der Faktorregel abgeleitet werden.

Eine Funktion kann auch aus mehr als zwei Summanden bestehen. Auch dann kann die Summenregel angewandt werden.

Aufgabe 2

Leite die Funktion einmal ab.

Lösung

Die Funktion f(x) besteht aus vier Summanden, die alle separat mit der Faktorregel und der Potenzregel abgeleitet werden.

Nicht nur Summen werden von Potenzfunktionen gebildet. Es können auch andere Funktionen, wie beispielsweise Sinus oder Kosinus vorkommen.

Aufgabe 3

Leite die Funktion ab.

Lösung

Die Ableitung der Funktion kann wieder durch die Anwendung der Summenregel berechnet werden.

Die Funktionen, die bisher betrachtet wurden, waren alle auf ganz differenzierbar. Das ist allerdings nicht bei allen Funktionen so.

Aufgabe 4

Leite die Funktion ab.

Lösung

Die Funktion ist auf ganz differenzierbar. Die Funktion ist bei nicht definiert und dort auch nicht differenzierbar. Die Menge, in der beide Funktionen differenzierbar sind (gemeinsamer Differenzierbarkeitsbereich), ist also .

Die Ableitung der Funktion ist also auf der Menge definiert.

Bei komplexeren Ableitungen kann es sinnvoll sein, zuerst die einzelnen Ableitungen zu berechnen und sie dann in die Summe einzusetzen.

Aufgabe 5

Berechne die erste Ableitung der Funktion .

Lösung

Jetzt kannst du die Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnen.

Die Ableitung der Funktion h(x) wird mit der Quotientenregel berechnet.

Die berechneten Ableitungen können jetzt in die Summe eingesetzt werden:

Herleitung der Summenregel – Beweis

Die Summenregel kann direkt mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden. Betrachtet wird eine Stelle x, an der die Funktion g(x) und die Funktion h(x) differenzierbar sind. Betrachtest du also den Differenzialquotienten von f(x) an der Stelle x:

Die Klammern können aufgelöst werden:

Mit dem Kommutativgesetz kann der Zähler umsortiert werden:

Jetzt steht die Lösung schon fast da! Jetzt müssen nur noch die beiden Summanden als eigene Grenzwerte geschrieben werden.

Der Grenzwert einer Summe von zwei Funktionen entspricht der Summe der Grenzwerte der beiden Funktionen:

.

Da die Funktionen g(x) und h(x) an der Stelle x differenzierbar sind, folgt:

Summenregel Geometrische Interpretation Beweis

Die Summenregel kann nicht nur algebraisch hergeleitet, sondern auch geometrisch interpretiert werden. Der Graph der Funktion entsteht aus den Graphen von g und f, indem an jeder Stelle x die Funktionswerte u(x) und v(x) addiert werden.

Summenregel Funktionsgraphen addieren StudySmarterAbbildung 3: Graph der Summenfunktion

Jetzt betrachten wir die Steigungsdreiecke der Funktionen u(x), v(x) und der Summenfunktion f(x). Das Steigungsdreieck der Summenfunktion entsteht, indem die senkrechten Seiten der Steigungsdreiecke der Funktionen g(x) und h(x) addiert werden. Dabei bleibt die Länge h der waagrechten Dreiecksseite des Steigungsdreiecks unverändert.

In der Abbildung ist und .

Summenregel Steigungsdreiecke StudySmarterAbbildung 4: Steigungsdreieck der Summenfunktion

Die Steigung der Sekante der Funktion v kann durch folgenden Ausdruck berechnet werden:

Summenregel, Steigung Sekante, StudySmarter.

Die Steigung der Sekante der Funktion u wird analog berechnet.

Die Steigung der Sekante der Summenfunktion berechnet sich folgendermaßen:

Summenregel, Steigung Sekante Summenfunktion, StudySmarter

Wenn h jetzt beliebig klein wird, nähert sich die Sekanten Steigung immer mehr der Tangentensteigung an. Man sieht, dass daraufhin die Tangentensteigung (= Ableitung) der Summenfunktion der Summe der Tangentensteigungen (=Ableitungen) der Funktionen u(x) und v(x) entspricht.

Summenregel - Das Wichtigste

  • Summenregel: Die Summe von zwei Funktionen ist im gemeinsamen Differenzierbarkeitsbereich der beiden Funktionen differenzierbar und die Ableitung lautet:.
    • Die Summanden einer Summenfunktion werden einzeln abgeleitet und die jeweiligen Ableitungen addiert.
  • Anwendung: Die Summenregel wird immer dann verwendet, wenn eine Summe von Funktionen abgeleitet werden muss.
  • Die Summenregel kann direkt mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden.
  • Geometrische Interpretation: Die senkrechte Seite des Steigungsdreiecks der Summenfunktion ergibt sich durch Addieren der senkrechten Seiten der Einzelfunktionen.

Summenregel

Es gibt die Summenregel, die Differenzregel, die Faktorregel, die Potenzregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.

Wenn man die Ableitung einer Funktion berechnen möchte, kann man den Differentialqoutient der Funktion berechnen. Es gibt aber auch bestimmte Ableitungsregeln, mit deren Hilfe Ableitungen berechnet werden können.

Die Summenregel wird angewandt, wenn zwei Funktionen addiert werden. Dann wird jede Funktion einzeln abgeleitet. 

Die Produktregel wird angewandt, wenn zwei Funktionen multipliziert werden.

Die Ableitung einer Summe von Funktionen wird gebildet, indem die einzelnen Funktionen für sich abgeleitet werden und die Ableitungen addiert werden.

Finales Summenregel Quiz

Frage

Beschreibe, auf welche Funktionen die Summenregel angewandt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Anwendung: Die Summenregel wird immer dann verwendet, wenn eine Summe von differenzierbaren Funktionen abgeleitet werden muss.

Frage anzeigen
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