Mit Bonbons kannst Du verschiedene Abzählmethoden der Kombinatorik zeigen, unter anderem auch die Kombination in Mathe. Wie das geht? Schnapp Dir einfach ein paar Bonbons und erlebe mit dieser Erklärung hautnah mit, wie der Begriff Kombination definiert ist, welche Formel für Dich wichtig ist und wie Du mit dieser Formel in einem Beispiel Kombinationen berechnen kannst. Außerdem erfährst Du, was eine Kombination mit Wiederholung und eine Kombination ohne Wiederholung unterscheidet.
Kombination – Kombinatorik
In der Kombinatorik begegnen Dir verschiedene Abzählmethoden, die sich aus dem allgemeinen Zählprinzip ableiten lassen. Darunter folgende Auswahlprozesse:
Eine Kombination in der Kombinatorik lässt sich anhand zweier Kriterien beschreiben:
- Stichprobe: Aus einer Menge \(n\) werden \(k\) Elemente ausgewählt.
- Ungeordnet: Die Anordnung der \(k\) Elemente spielt keine Rolle.
Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von \(k\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen.
Bevor Du Dir direkt Beispiele dazu ansehen kannst, muss zunächst noch zwischen zwei verschiedenen Kombinationen unterschieden werden. Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir dabei eine kurze Übersicht zur Unterscheidung der Kombinationen.
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- alle \(k\) Elemente werden nur einmal verwendet
- Ziehen ohne Zurücklegen
| - alle \(k\) Elemente dürfen auch mehrfach verwendet werden
- Ziehen mit Zurücklegen
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Zunächst zur Kombination ohne Wiederholung.
Kombination ohne Wiederholung
Eine Kombination ohne Wiederholung beschreibt das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge der gezogenen \(k\) Elemente spielt hierbei keine Rolle, weshalb dies auch als „ungeordnet“ bezeichnet wird.
Eine ungeordnete Stichprobe mit \(k\) aus \(n\) Elementen, wobei jedes der \(k\) Elemente nur einmalig verwendet wird, wird als Kombination ohne Wiederholung bezeichnet.
Über eine Formel kannst Du sogar berechnen, wie viele mögliche Kombinationen es konkret in diesem Fall gibt.
Kombination Formel – Kombination ohne Wiederholung
Möchtest Du die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten bei einer Kombination ohne Wiederholung herausfinden, so kannst Du diese beispielsweise bei wenigen Objekten durch Ausprobieren finden. Damit Du besonders bei einer hohen Anzahl von Elementen nicht alle Möglichkeiten in einem Versuch bestimmen musst, kannst Du sie über eine Formel berechnen.
Für die Anzahl der möglichen Kombinationen \(C(n;\,k)\) mit \(k\) aus \(n\) Elementen bei einer Kombination ohne Wiederholung gilt:
\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right) \hspace{2cm} \text{mit}\, k\leq n\]
Der Ausdruck \(\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)\) steht für den Binomialkoeffizienten. Erfahre mehr darüber in der Erklärung „Binomialkoeffizient Kombinatorik“.
Zeit für ein kleines Beispiel, bei der Du die Anzahl berechnen kannst!
Kombinationen berechnen – Kombination ohne Wiederholung Beispiel
Stell Dir vor, in einem Behälter befinden sich etwa \(14\) Bonbons. Jede Süßigkeit hat dabei eine unterschiedliche Farbe. Du kannst also alle Bonbons voneinander unterscheiden.
Aus diesem Gefäß nimmst Du nun vier Bonbons und legst sie vor Dir auf den Tisch. Du ziehst etwa ein gelbes, rotes, ein grünes und ein blaues Bonbon.
Das zufällige Ziehen eines Bonbons aus dem Behälter ist übrigens ein Zufallsexperiment. Lies gerne alles rund um das Thema in der Erklärung „Zufallsexperiment“.
Diese vier Farben spiegeln eine mögliche Kombination wider, egal ob zuerst das gelbe oder das rote Bonbon gezogen wurde, da die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Soll die Anzahl aller möglichen Kombinationen ermittelt werden, so gelingt dies über:
\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]
Das „!“ steht hier für Fakultäten. Alles rund um das Thema kannst Du in der Erklärung „Fakultät“ nachlesen.
Nach Einsetzen der Werte für \(n=14\) und \(k=4\) ergibt sich:
\begin{align}C(14;\,4)&=\left(\begin{array}{cc} 14 \\ 4\end{array}\right)=\dfrac{14!}{4!\cdot (14-4)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{14!}{4!\cdot (14-4)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{14!}{4!\cdot 10!}\\[0.2cm]&=1\,001\end{align}
Entnimmst Du also \(4\) Bonbons aus der Schale mit \(14\) Bonbons, so gibt es \(1\,001\) Kombinationen.
Wirf doch einen Blick in die Erklärung „Kombination ohne Wiederholung“ für vertiefende Informationen und weitere Übungsaufgaben!
Was aber, wenn Du in Deiner Aufgabe die Anzahl der Kombinationen bestimmen sollst, bei der Objekte mehrfach verwendet werden dürfen? Dann handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung.
Kombination mit Wiederholung
Bei der Kombination mit Wiederholung dürfen Elemente mehrfach verwendet werden. Das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen, aber ohne Beachtung der Reihenfolge, spiegelt genau diesen Fall wider.
Eine ungeordnete Stichprobe mit \(k\) aus \(n\) Elementen, wobei jedes der \(k\) Elemente mehrfach verwendet werden darf, wird als Kombination mit Wiederholung bezeichnet.
So kann es beispielsweise sein, dass Du ein Gefäß mit Bonbons hast, ein Bonbon ziehst und danach aber wieder zurück in den Behälter legst, damit die Süßigkeit erneut gezogen werden kann.
Auch in diesem Fall kannst Du die Anzahl der Kombinationen über eine Formel berechnen.
Kombination Formel – Kombination mit Wiederholung
Möchtest Du die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten bei einer Kombination mit Wiederholung herausfinden, so musst Du die Formel erweitern, woraus sich ergibt:
Für die Anzahl der möglichen Kombinationen \(C_W(n;\,k)\) mit \(k\) aus \(n\) Elementen bei einer Kombination mit Wiederholung gilt:
\[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)\]
Sieh Dir dazu gleich ein Beispiel an!
Kombinationen berechnen – Kombination mit Wiederholung Beispiel
Es wird wieder das Bonbonglas mit insgesamt \(14\) Bonbons betrachtet. Dieses Mal werden \(3\) Süßigkeiten entnommen, wobei jede Süßigkeit vor dem nächsten Zug wieder zurück in das Glas gelegt wird.
Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es in diesem Fall?
Dazu wird die entsprechende Formel für die Kombination mit Wiederholung herangezogen:
\[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\]
Nach Einsetzen der Werte für \(n=14\) und \(k=3\) ergibt sich:
\begin{align}C_W(14;\,3)&=\left(\begin{array}{cc} 14+3-1 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 16 \\ 3\end{array}\right)\\[0.2cm]&=\dfrac{(14+3-1)!}{3!\cdot (14-1)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{16!}{3!\cdot 13!}\\[0.2cm]&=560\end{align}
Bei dieser Aufgabe zur Kombination mit Wiederholung gibt es demnach \(560\) Kombinationsmöglichkeiten.
Wirf doch einen Blick in die Erklärung „Kombination mit Wiederholung“ für vertiefende Informationen und weitere Übungsaufgaben!
In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben, um Dein Wissen zu den Kombinationen überprüfen zu können. Viel Spaß!
Kombinationen - Das Wichtigste
- Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von \(k\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen:
- Stichprobe: Aus einer Menge \(n\) werden \(k\) Elemente ausgewählt.
- Ungeordnet: Die Anordnung der \(k\) Elemente spielt keine Rolle.
- Es wird zwischen zwei Kombinationen unterschieden:
Kombination ohne Wiederholung | Kombination mit Wiederholung |
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Anzahl der Kombinationen \(C(n;\,k)\):\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right) \hspace{1cm} \text{mit}\, k\leq n\] | Anzahl der Kombinationen \(C_W(n;\,k)\): \[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)\] |
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