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Kombinationen

Kombinationen

Mit Bonbons kannst Du verschiedene Abzählmethoden der Kombinatorik zeigen, unter anderem auch die Kombination in Mathe. Wie das geht? Schnapp Dir einfach ein paar Bonbons und erlebe mit dieser Erklärung hautnah mit, wie der Begriff Kombination definiert ist, welche Formel für Dich wichtig ist und wie Du mit dieser Formel in einem Beispiel Kombinationen berechnen kannst. Außerdem erfährst Du, was eine Kombination mit Wiederholung und eine Kombination ohne Wiederholung unterscheidet.

Kombination Mathe – Kombination Kombinatorik

In der Kombinatorik begegnen Dir verschiedene Abzählmethoden, die sich aus dem allgemeinen Zählprinzip ableiten lassen. Darunter folgende Auswahlprozesse:

Mit dem allgemeinen Zählprinzip kannst Du herausfinden, wie viele Ausgänge in einem mehrstufigen Zufallsexperiment möglich sind. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Produktregel Kombinatorik“.

Eine Kombination in der Kombinatorik lässt sich anhand zweier Kriterien beschreiben:

  • Stichprobe: Aus einer Menge \(n\) werden \(k\) Elemente ausgewählt.
  • Ungeordnet: Die Anordnung der \(k\) Elemente spielt keine Rolle.

Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von \(k\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen.

Bevor Du Dir direkt Beispiele dazu ansehen kannst, muss zunächst noch zwischen zwei verschiedenen Kombinationen unterschieden werden. Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir dabei eine kurze Übersicht zur Unterscheidung der Kombinationen.

  • alle \(k\) Elemente werden nur einmal verwendet
  • Ziehen ohne Zurücklegen
  • alle \(k\) Elemente dürfen auch mehrfach verwendet werden
  • Ziehen mit Zurücklegen

Zunächst zur Kombination ohne Wiederholung.

Kombination ohne Wiederholung

Eine Kombination ohne Wiederholung beschreibt das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge der gezogenen \(k\) Elemente spielt hierbei keine Rolle, weshalb dies auch als „ungeordnet“ bezeichnet wird.

Eine ungeordnete Stichprobe mit \(k\) aus \(n\) Elementen, wobei jedes der \(k\) Elemente nur einmalig verwendet wird, wird als Kombination ohne Wiederholung bezeichnet.

Über eine Formel kannst Du sogar berechnen, wie viele mögliche Kombinationen es konkret in diesem Fall gibt.

Kombination Formel – Kombination ohne Wiederholung

Möchtest Du die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten bei einer Kombination ohne Wiederholung herausfinden, so kannst Du diese beispielsweise bei wenigen Objekten durch Ausprobieren finden. Damit Du besonders bei einer hohen Anzahl von Elementen nicht alle Möglichkeiten in einem Versuch bestimmen musst, kannst Du sie über eine Formel berechnen.

Für die Anzahl der möglichen Kombinationen \(C(n;\,k)\) mit \(k\) aus \(n\) Elementen bei einer Kombination ohne Wiederholung gilt:

\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right) \hspace{2cm} \text{mit}\, k\leq n\]

Der Ausdruck \(\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)\) steht für den Binomialkoeffizienten. Erfahre mehr darüber in der Erklärung „Binomialkoeffizient Kombinatorik“.

Zeit für ein kleines Beispiel, bei der Du die Anzahl berechnen kannst!

Kombinationen berechnen – Kombination ohne Wiederholung Beispiel

Stell Dir vor, in einem Behälter befinden sich etwa \(14\) Bonbons. Jede Süßigkeit hat dabei eine unterschiedliche Farbe. Du kannst also alle Bonbons voneinander unterscheiden.

Aus diesem Gefäß nimmst Du nun vier Bonbons und legst sie vor Dir auf den Tisch. Du ziehst etwa ein gelbes, rotes, ein grünes und ein blaues Bonbon.

Das zufällige Ziehen eines Bonbons aus dem Behälter ist übrigens ein Zufallsexperiment. Lies gerne alles rund um das Thema in der Erklärung „Zufallsexperiment“.

Diese vier Farben spiegeln eine mögliche Kombination wider, egal ob zuerst das gelbe oder das rote Bonbon gezogen wurde, da die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Soll die Anzahl aller möglichen Kombinationen ermittelt werden, so gelingt dies über:

\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]

Das „!“ steht hier für Fakultäten. Alles rund um das Thema kannst Du in der Erklärung „Fakultät“ nachlesen.

Nach Einsetzen der Werte für \(n=14\) und \(k=4\) ergibt sich:

\begin{align}C(14;\,4)&=\left(\begin{array}{cc} 14 \\ 4\end{array}\right)=\dfrac{14!}{4!\cdot (14-4)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{14!}{4!\cdot (14-4)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{14!}{4!\cdot 10!}\\[0.2cm]&=1\,001\end{align}

Entnimmst Du also \(4\) Bonbons aus der Schale mit \(14\) Bonbons, so gibt es \(1\,001\) Kombinationen.

Wirf doch einen Blick in die Erklärung „Kombination ohne Wiederholung“ für vertiefende Informationen und weitere Übungsaufgaben!

Was aber, wenn Du in Deiner Aufgabe die Anzahl der Kombinationen bestimmen sollst, bei der Objekte mehrfach verwendet werden dürfen? Dann handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung.

Kombination mit Wiederholung

Bei der Kombination mit Wiederholung dürfen Elemente mehrfach verwendet werden. Das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen, aber ohne Beachtung der Reihenfolge, spiegelt genau diesen Fall wider.

Eine ungeordnete Stichprobe mit \(k\) aus \(n\) Elementen, wobei jedes der \(k\) Elemente mehrfach verwendet werden darf, wird als Kombination mit Wiederholung bezeichnet.

So kann es beispielsweise sein, dass Du ein Gefäß mit Bonbons hast, ein Bonbon ziehst und danach aber wieder zurück in den Behälter legst, damit die Süßigkeit erneut gezogen werden kann.

Auch in diesem Fall kannst Du die Anzahl der Kombinationen über eine Formel berechnen.

Kombination Formel – Kombination mit Wiederholung

Möchtest Du die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten bei einer Kombination mit Wiederholung herausfinden, so musst Du die Formel erweitern, woraus sich ergibt:

Für die Anzahl der möglichen Kombinationen \(C_W(n;\,k)\) mit \(k\) aus \(n\) Elementen bei einer Kombination mit Wiederholung gilt:

\[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)\]

Sieh Dir dazu gleich ein Beispiel an!

Kombinationen berechnen – Kombination mit Wiederholung Beispiel

Es wird wieder das Bonbonglas mit insgesamt \(14\) Bonbons betrachtet. Dieses Mal werden \(3\) Süßigkeiten entnommen, wobei jede Süßigkeit vor dem nächsten Zug wieder zurück in das Glas gelegt wird.

Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es in diesem Fall?

Dazu wird die entsprechende Formel für die Kombination mit Wiederholung herangezogen:

\[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\]

Nach Einsetzen der Werte für \(n=14\) und \(k=3\) ergibt sich:

\begin{align}C_W(14;\,3)&=\left(\begin{array}{cc} 14+3-1 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 16 \\ 3\end{array}\right)\\[0.2cm]&=\dfrac{(14+3-1)!}{3!\cdot (14-1)!}\\[0.2cm]&=\dfrac{16!}{3!\cdot 13!}\\[0.2cm]&=560\end{align}

Bei dieser Aufgabe zur Kombination mit Wiederholung gibt es demnach \(560\) Kombinationsmöglichkeiten.

Wirf doch einen Blick in die Erklärung „Kombination mit Wiederholung“ für vertiefende Informationen und weitere Übungsaufgaben!

In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben, um Dein Wissen zu den Kombinationen überprüfen zu können. Viel Spaß!

Kombinationen - Das Wichtigste

  • Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von \(k\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen:
    • Stichprobe: Aus einer Menge \(n\) werden \(k\) Elemente ausgewählt.
    • Ungeordnet: Die Anordnung der \(k\) Elemente spielt keine Rolle.
  • Es wird zwischen zwei Kombinationen unterschieden:
    Kombination ohne Wiederholung
    Kombination mit Wiederholung
    • alle Elemente \(k\) dürfen nur einmalig verwendet werden

    • Ziehen ohne Zurücklegen

    • alle Elemente \(k\) dürfen auch mehrfach verwendet werden

    • Ziehen mit Zurücklegen

    Anzahl der Kombinationen \(C(n;\,k)\):\[C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right) \hspace{1cm} \text{mit}\, k\leq n\]

    Anzahl der Kombinationen \(C_W(n;\,k)\):

    \[C_W(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n+k-1 \\ k\end{array}\right)\]

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kombinationen

Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen.

Die Anzahl der Kombinationen unterscheidet sich je nachdem, ob es sich um eine Kombination ohne Wiederholung oder eine Kombination mit Wiederholung handelt.

Die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination ohne Wiederholung berechnet sich über den Binomialkoeffizienten n über k. Bei einer Kombination mit Wiederholung wird n+k-1 über k berechnet.

Die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination ohne Wiederholung wird über den Binomialkoeffizienten berechnet (n über k). 

Die Anzahl der Kombinationen unterscheidet sich je nachdem, ob es sich um eine Kombination ohne Wiederholung oder eine Kombination mit Wiederholung handelt.

Die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination ohne Wiederholung berechnet sich über den Binomialkoeffizienten n über k. Bei einer Kombination mit Wiederholung wird n+k-1 über k berechnet.

Finales Kombinationen Quiz

Frage

Die Anzahl der Kombinationen soll über folgende Berechnung ermittelt werden:

\[C(10;\,3)=\dfrac{10!}{3!\cdot (10-1)!}\]

Prüfe die Berechnung und korrigiere gegebenenfalls.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Berechnung ist nicht korrekt. 

Frage anzeigen

Frage

Eine Buntstift-Sammlung enthält insgesamt \(25\) verschiedene Buntstifte.

Berechne die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten, wenn nacheinander \(4\) Buntstifte entnommen werden, ohne sie nach jedem Zug zurückzulegen.

Antwort anzeigen

Antwort

\[C(25;\,4)=12\,650\]

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Frage

Der Begriff Kombination \(k\)-ter Ordnung beschreibt...

Antwort anzeigen

Antwort

... eine ungeordnete Stichprobe von \(k\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen.

Frage anzeigen

Frage

Ein Klassenkamerad berechnet die Anzahl der Kombinationen \(C_W(n;\,k)\) bei einer Kombination mit Wiederholung wie folgt:

\[C_W(8;\,3)=\left(\begin{array}{cc} 10 \\ 3\end{array}\right)\]

Entscheide, ob die Berechnung korrekt ist und korrigiere gegebenenfalls.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Berechnung ist korrekt. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne den passenden Ausdruck für folgende Aussage:


„Eine Kombination ________ Wiederholung entspricht dem Ziehen aus 

einer Urne ohne Reihenfolge, aber mit Zurücklegen.“

Antwort anzeigen

Antwort

mit

Frage anzeigen

Frage

Verschiedenfarbige Tee-Tassen werden im Schrank gelagert.

Zur Berechnung der Kombinationsmöglichkeiten wird folgende Formel genutzt:

\[C_W(n;\,3)=\left(\begin{array}{cc} 9 \\ 3\end{array}\right)\]

Ermittle die Anzahl \(n\) der Tassen.

Antwort anzeigen

Antwort

\(7\) Tassen

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Anzahl der Kombinationen \(C(12;\,5)\).

Antwort anzeigen

Antwort

\[C(12;\,5)=792\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, worin sich die Kombination von der Variation unterscheidet. 

Antwort anzeigen

Antwort

Sowohl bei einer Kombination als auch bei einer Variation wird eine Stichprobe mit \(k\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen betrachtet. 

Bei einer Kombination wird jedoch die Reihenfolge der gezogenen \(k\) Elemente nicht beachtet. 

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff „Kombination“.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Kombination ist eine ungeordnete Stichprobe von \(k\) aus \(n\) Elementen.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie sich die Anzahl der Kombinationen bei einer Kombination mit Wiederholung berechnen lässt.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\]

Frage anzeigen

Frage

Statt mit dem Taschenrechner kann der Binomialkoeffizient \(C(n;\,k)=\left(\begin{array}{cc} n \\ k\end{array}\right)\) einer Kombination ohne Wiederholung auch über folgende Formel berechnet werden:

Antwort anzeigen

Antwort

\[\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\]

Frage anzeigen

Frage

In einem Supermarkt wird ein neues Regal mit verschiedenen Marmeladengläsern eingeräumt. Dazu werden alle \(10\) Gläser in beliebiger Reihenfolge angeordnet.

Prüfe, ob es sich hierbei um die Abzählmethode der Kombination handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, es handelt sich nicht um eine Kombination, da alle Gläser verwendet werden. Eine Kombination beschreibt lediglich eine ungeordnete Stichprobe aus Elementen. 

Frage anzeigen

Frage

Beim Sportunterricht werden von \(18\) verschiedenfarbige Bällen wahllos \(9\) Bälle an die Schüler und Schülerinnen ausgegeben.

Prüfe, ob der Auswahlprozess eine Kombination ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, es handelt sich um eine Kombination. Es werden von \(n=18\) lediglich \(k=9\) Bälle ausgewählt. Es handelt sich somit um eine Stichprobe.

Frage anzeigen

Frage

Bei einer Geburtstagsfeier kann ein Gast zwischen verschiedenen Gerichten wählen. Insgesamt stehen \(7\) Speisen zur Auswahl, wobei \(3\) davon gewählt werden dürfen.

Berechne die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten.

Antwort anzeigen

Antwort

\[C(7;\,3)=35\]

Frage anzeigen

Frage

In einem Bonbonglas befinden sich \(23\) verschiedene Süßigkeiten, wobei mehrere Bonbons entnommen, aber nicht zurückgelegt werden.

Berechne die Anzahl der Kombination, wenn \(8\) Bonbons nicht ausgewählt werden. 

Antwort anzeigen

Antwort

\[C(23;\,15)=490\,314\]

Frage anzeigen

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