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Kombinationen

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Kombinationen

Bei einer Kombination handelt es sich um eines von mehreren Modellen der Kombinatorik. Als Teil der Stochastik befasst sich die Kombinatorik mit der Frage, auf wie viele verschiedene Arten k Dinge auf n Plätze verteilt werden können.

In diesem Artikel erklären wir dir anhand von Beispielen, was eine Kombination ist, wie man damit rechnet und welche unterschiedlichen Arten von Kombinationen es gibt.

Tipp: In diesem Artikel setzen wir voraus, dass du das allgemeine Zählprinzip verstanden hast. Falls du hier noch Probleme oder Fragen haben solltest, empfehlen wir dir, auf unserer Seite Allgemeines Zählprinzip vorbeizuschauen, bevor du dich mit Kombinationen beschäftigst. Dort findest du Beispiele, Übungsaufgaben und vieles mehr!

Was sind Kombinationen überhaupt?

Kombinationen beschreiben mit Permutationen und Variationen die drei grundlegenden Modelle der Kombinatorik. Ziel dieser Modelle ist es, Vorgänge oder Zufallsexperimente zu kategorisieren, um dann im zweiten Schritt die Anzahl an möglichen Anordnungen von Ereignissen zu ermitteln.

Kombinationen werden auch „ungeordnete Stichproben“ genannt und fassen all solche Vorgänge zusammen, bei denen k < n Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge aus n Elementen ausgewählt werden.

Beispiel zu Kombinationen

Aufgabe:

„Aus einem Elefanten-Gehege mit 6 Elefanten sollen drei Elefanten ausgewählt und in ein neues Gehege gebracht werden. Wie viele unterschiedliche 3er Gruppen lassen sich mit den 6 Elefanten bilden?“

Lösung

Hierbei handelt es sich um eine Kombination, da nur k = 3 Elefanten aus der n = 6 Elefanten großen Herde ausgewählt werden sollen und die Reihenfolge, in der die Elefanten aus dem Gehege geholt werden dabei nicht relevant ist.

Übrigens: Um eine Variation würde es sich bei dieser Aufgabe handeln, wenn dabei z.B. zusätzlich auf die Reihenfolge geachtet würde, in der die Elefanten aus dem Gehege geführt werden. Eine Permutation wäre es, wenn alle Elefanten umgesiedelt würden und nur die Reihenfolge entscheidend ist.

Um dir erstmal einen groben Überblick über die Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Kombinatorik zu verschaffen, schau bei unserem Artikel Wahrscheinlichkeitsrechnung vorbei!

Kombination mit oder ohne Wiederholung?

Jetzt, wo du weißt, dass es sich bei deiner Aufgabe um eine Kombination handelt, muss noch eine Sache geklärt werden, bevor du mit dem Rechnen loslegen kannst: die Wiederholung.

Ob bei einem Vorgang eine Wiederholung stattfindet, oder nicht, entscheidet sich danach, ob ein „Zug“ während eines Experiments den nächsten beeinflusst.

  • Wenn du nach dem Eintreten eines Ereignisses jedes Mal wieder die gleiche Anzahl an Ergebnissen zur Auswahl hast, sich also an der Ergebnismenge nichts verändert, handelt es sich um einen Vorgang mit Wiederholung.
  • Findet eine Verkleinerung von statt, gibt es keine Wiederholung (der Ergebnismenge).

Verständnisbeispiel

Stell dir vor, du und deine Familie veranstaltet ein kleines „Spiel“, um die Verteilung der Haushaltsaufgaben etwas aufzumischen. Dabei werden 10 kleine Murmeln in ein Säckchen gegeben, 2 rote und 8 blaue. Die unter euch, die eine rote Murmel ziehen, müssen 1 Woche lang nicht im Haushalt helfen. Die Übrigen müssen dann die Aufgaben der Glücklichen unter sich aufteilen.

Bei diesem Zufallsexperiment ist es entscheidend, wie beim Ziehen vorgegangen wird:

  • Wenn alle nacheinander ziehen und danach ihre Murmel in der Hand behalten, können nur maximal 2 Leute eine rote Murmel ziehen. Denn wenn beide erstmal gezogen sind, befinden sich keine weiteren roten Murmeln im Säckchen, die gezogen werden könnten.Außerdem würde sich die Wahrscheinlichkeit, eine rote oder blaue Murmel zu ziehen nach jedem Zug verändern, da sich auch das Verhältnis zwischen roten und blauen Murmeln nach jedem Zug ändert. Hierbei würde es sich um einen Vorgang ohne Wiederholung, oder auch „ohne Zurücklegen“, handeln.
  • Wenn nun aber jeder seine Murmel, die er gezogen hat, in das Säckchen zurücklegt, bieten sich für den nächsten wieder dieselben Chancen, eine rote Murmel zu ziehen, wie für den Vorangegangenen. So wäre es möglich, dass alle eine rote Murmel ziehen und damit keiner in dieser Woche im Haushalt helfen muss.Es könnte also durch ein „Spiel“ mit Wiederholung ein großes Problem entstehen!

Super! Jetzt kann es auch schon mit der Berechnung der Möglichkeiten losgehen.

Kombinationen ohne Wiederholung

Dein Ziel ist es, herauszufinden, auf wie viele verschiedene Arten man k unterscheidbare Elemente aus einer Menge von n Elementen gruppieren kann. Hierfür kannst du ganz einfach den Binomialkoeffizienten nutzen! Die Formel lautet:

Wenn du den schnellen Weg gehen möchtest, kannst du dein n und k einfach in diese Gleichung einsetzen und damit die Anzahl der Möglichkeiten ausrechnen. Achte dabei darauf, n und k nicht zu vertauschen! k sollte immer kleiner sein als n!

Falls du aber genauer verstehen möchtest, wie man ausgerechnet auf diese Formel gekommen ist und wie du ganz leicht anhand deiner Aufgabe alleine darauf kommen kannst, sieh dir mit uns gemeinsam das folgende Beispiel an.

Rechenbeispiel

Für ein Umweltprojekt soll an deiner Schule jede Klasse 5 Schüler stellen, die sich zusätzlich zum Unterricht einer bestimmten Aufgabe widmen sollen. Deine Klasse hat 25 Schüler. Du fragst dich jetzt, wie viele verschiedene 5er-Gruppen könnte man theoretisch mit den Schülern deiner Klasse bilden.

Gehen wir das mal Schritt für Schritt durch:

Der erste aus deiner Klasse soll für die 5er Gruppe ausgewählt werden. Deine Lehrerin hat hierfür 25 Schüler zur Auswahl. Wenn sie nun einen von euch ausgewählt hat, ist der nächste an der Reihe. Um den auszuwählen, bleiben ihr nur noch 24 Schüler zur Auswahl, da ja bereits einer in die Gruppe gewählt wurde. Für den nächsten Platz gibt es nur noch 23 Möglichkeiten usw., bis alle 5 Plätze in der Gruppe besetzt sind.

Wenn man nach dem allgemeinen Zählprinzip all diese Möglichkeiten zusammenrechnet, erhält man:

Diese Zahl besteht jetzt aus zwei Komponenten:

  1. Die Anzahl aller unterschiedlichen 5er Gruppen
  2. die Anzahl aller unterschiedlichen Reihenfolgen innerhalb dieser 5er Gruppen. Hierbei wird also beachtet, welcher der Schüler zuerst ausgewählt wird usw. Da es dich allerdings nur interessiert, wie viele unterschiedliche 5er Gruppen es geben könnte, musst du den 2. Bestandteil der oben beschriebenen Möglichkeiten herausrechnen.

Dein Ziel ist es nun also, herauszufinden, wie viele unterschiedliche Anordnungen es für jede der möglichen 5er-Gruppen gibt. Wenn du das dann weißt, kannst du die Anzahl der Gesamtmöglichkeiten durch diese Zahl teilen und erhältst die Anzahl unterschiedlicher 5er Gruppen.

Es ist dabei vielleicht hilfreich zu wissen, dass die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen für jede 5er Gruppe gleich ist. Warum? Der Grund dafür ist, dass zur Berechnung der Anordnungen nur relevant ist, wie viele Leute in der Gruppe sind, hier also immer 5.

Indem wir uns fragen, wie viele Arten es gibt, 5 Schüler auf 5 Plätze (Zeitpunkte der Auswahl) aufzuteilen, schaffen wir ein anderes Modell der Kombinatorik: eine Permutation. Denn hier werden k = 5 Elemente auf 5 Plätzen angeordnet und die Reihenfolge ist dabei entscheidend.

Durch das allgemeine Zählprinzip weißt du, dass sich die Anzahl der Möglichkeiten mit

berechnen lässt.

Im Beispiel bedeutet das, es gibt

Möglichkeiten pro 5er Gruppe, die Schüler innerhalb der Gruppe zu unterschiedlichen Zeitpunkten auszuwählen.

Super! Im letzten Schritt musst du nur noch die Zahl oben durch diese 120 Möglichkeiten teilen und erhältst die Anzahl der unterschiedlichen Gruppen:

Cool! Wie du siehst, sind das nun schon deutlich weniger Möglichkeiten. Allerdings trotzdem noch ganz schön viele verschiedene Gruppen…

Kombination mit Wiederholung

Bei einer Kombination mit Wiederholung werden k Objekte aus einer Menge von n Objekten so ausgewählt, dass die Reihenfolge egal ist und nach jedem Ziehen wieder alle n Objekte für den Zug zur Auswahl stehen. Die Anzahl aller Möglichkeiten, das zu tun, kannst du mit dieser Formel berechnen:

Wenn du k und n (k < n) identifiziert hast, kannst du sie einfach in die obenstehende Formel einsetzen und die Möglichkeiten ausrechnen.

Wenn du aber verstehen möchtest, wie es zu dieser Formel kommt, sieh dir mit uns gemeinsam ein Rechenbeispiel an.

Rechenbeispiel

Achtung: Der Weg zu dieser Formel ist etwas verwegen und es braucht ein wenig Fantasie, um sich alles vorzustellen. Es ist also nicht schlimm, wenn du das folgende Beispiel mehrmals durchliest oder dir dazu Zeichnungen und Notizen machen musst, im Gegenteil!

Stell dir vor, du besitzt 3 kleine Steine, die du bei Wanderungen im Urlaub gesammelt hast. Du möchtest diese Steine gerne sicher aufbewahren, damit sie nicht verloren gehen. Da fällt dir ein, dass du in einer Schreibtischschublade noch einen alten Karteikasten hast, in den du früher deine Vokabeln sortiert hast. Du nimmst dir den Karteikasten und öffnest ihn.

Darin befinden sich 7 gleichgroße Fächer, die durch 6 verschiebbare Plastiktrennwände voneinander getrennt sind. Die Fächer sind groß genug, dass auch alle 3 Steine in eines davon passen würden. Du fragst dich, auf wie viele unterschiedliche Arten du die drei Steine auf diese 7 Fächer verteilen könntest, wenn auch mehrere Steine pro Fach möglich sind.

Mathematisch betrachtet gibt es n = 7 Fächer und k = 3 Steine. Die Anzahl der Trennwände beträgt 6 = (7 - 1) = (n -1). Die unterschiedlichen Möglichkeiten, die Steine anzuordnen kannst du dir in einer Tabelle notieren. Natürlich kannst du nicht alle Möglichkeiten aufmalen, da es sehr lange dauern würde, aber veranschauliche dir am besten deine Aufgabe. Jede Zeile in deiner Tabelle sollte eine Möglichkeit der Anordnung darstellen.

Mit etwas Fantasie lässt sich diese Tabelle nun in einen Code umwandeln. Dabei nehmen Nullen („0“) den Platz der Steine ein und Einsen („1“) den Platz der Trennwände. Die äußere Begrenzung durch den Karteikasten selbst wird dabei nicht beachtet, da es sich dabei ja nicht um die verschiebbaren Plastiktrennwände handelt.

Jede der Zeilen im Code stellt weiterhin eine Möglichkeit der Anordnung der 3 Steine auf die 7 Fächer des Karteikastens dar. Wir können feststellen, dass der Code in jeder Zeile aus 9 Elementen besteht: k = 3 Steinen und (n - 1) = 6 Trennwänden. Dieser Code ist für die Berechnung entscheidend, denn er vereinfacht unser Problem: Nun müssen wir nur noch herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 teilweise identische Objekte auf die 9 Plätze für Zahlen im Code zu verteilen.

Merkst du, was gerade passiert ist?

Wir haben eine Kombination in eine Permutation verwandelt! Und zwar in eine Permutation mit mehreren in sich identischen Gruppen: Steine und Trennwände.

Wenn wir all diese Parameter nun in die Formel für Permutationen mit Wiederholung und Gruppen einsetzen, erhalten wir:

Super! Das Ergebnis dieser beiden Formeln ist also dasselbe! Für deinen Karteikasten bedeutet das, es gibt

Möglichkeiten, deine Steine in den 7 Fächern anzuordnen.

Deine Ultimative Checkliste zu Kombinationen

Wir haben für dich folgende Checkliste erstellt, damit du bei der Bearbeitung deiner Aufgaben nicht den Überblick verlierst. Arbeite sie sorgfältig ab und gelange so garantiert zum richtigen Ergebnis!

  • Handelt es sich bei meinem Vorgang um eine Kombination? Ja, wenn:

k < n

Reihenfolge ist nicht wichtig!

  • Findet eine Wiederholung statt oder nicht?

Nein:

Ja:

Drucke diese Liste aus oder schreibe sie dir ab, damit du sie bei der Bearbeitung deiner Aufgaben immer dabei hast!

Kombinationen - Alles Wichtige auf einen Blick

Eine Kombination ist eine:

  • ungeordnete Stichprobe,
  • bei der aus n Elementen k Elemente ausgewählt werden,
  • mit oder ohne Zurücklegen,
  • ohne dabei die Reihenfolge zu beachten.

Eine Wiederholung (oder ein Zurücklegen) liegt vor, wenn ein Zug den nächsten Zug nicht beeinflusst.

Unsere Empfehlung

Richte deine Lerntechnik nach deinem Lerntyp aus. Manche Leute können gut Formeln und ähnliches auswendig lernen. Wenn du dieser Lerntyp bist, empfehlen wir dir, die Formeln für Kombinationen mit und ohne Wiederholung auswendig zu lernen. Beachte dabei, dass du nicht mit den anderen Modellen der Kombinatorik durcheinanderkommst und male dir zu diesem Zweck zum Beispiel ein Baumdiagramm mit den einzelnen Modellen und den zugehörigen Formeln auf.

Wenn du eher der Verständnistyp bist, also dir Dinge erst merken kannst, wenn du sie ganzheitlich verstanden hast, lies dir unsere Beispiele besonders aufmerksam durch. Durch Beispiele und Übungsaufgaben verinnerlichst du die Ideen hinter den Formeln und kannst dir diese auch ohne auswendig lernen erschließen!

Insider Tipp:

Wusstest du, dass es egal ist, ob man sagt „k Dinge auf n Plätze verteilen“ oder „k Objekte aus einer Menge von n Objekten auswählen“? Lass dich von unterschiedlichen Fragestellungen nicht kleinkriegen, denn diese beiden bedeuten für die Mathematik hinter der Aufgabe genau dasselbe!

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