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In einer unsortierten Pinselkiste befinden sich 5 kleine, 10 mittlere und 5 große Pinsel. Sie nehmen sich, um ein einzigartiges Bild zu erstellen, einen zufälligen Pinsel aus der Kiste und legen ihn nach Gebrauch wieder zurück.


  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen mittleren Pinsel zu ziehen?
  2. Sie ziehen zweimal einen Pinsel mit zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zweimal einen großen Pinsel zu ziehen?
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Antwort

  1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 10/20 = 50%
  2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 6,25%
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Welche sind die üblichen Verfahren beim Urnenmodell?

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Antwort

  • Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
  • Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge
  • Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
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Wie lässt sich der Begriff der Kombinatorik definieren?

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Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten.

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Wie lässt sich der Begriff der Permutationen definieren?

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Gegeben sei eine Menge A der Mächtigkeit | A | = n. Eine Anordnung aller n Elemente in einer bestimmten Reihenfolge heißt Permutation der Elemente aus A.

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Wie lässt sich die Zahl der Permutationen berechnen?

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Antwort

Um die Zahl der Permutationen zu berechnen, braucht man den Begriff der Fakultät.


Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, falls n ≠ 0 und n ≠ 1. Man schreibt n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ (n – 3) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n! und liest „n Fakultät“. Für 0 und 1 wird 0! = 1 und 1! = 1 festgelegt.

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Frage

Mit welchem Modell kann die Auswahlsituation verdeutlicht werden?

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Mit dem Urnenmodell.


Hat man eine Auswahlsituation, die einer Urne mit n nummerierten Kugeln entspricht, die alle nacheinander ohne Zurücklegen gezogen werden, so reduziert sich bei jedem Ziehen die Zahl der noch verbleibenden Möglichkeiten um eins.

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Wie können bei einem Wettlauf acht Bahnen auf acht Läufer aufgeteilt werden? Die Startposition wird per Losziehung (Urne, ohne Zurücklegen) ermittelt.

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Der erste Läufer zieht eins von acht Losen, der zweite hat nur noch sieben zur Auswahl und so weiter: Jeder hat bei seiner Ziehung ein Los weniger in der Urne als sein Vorgänger. Der achte Läufer zieht schließlich unweigerlich die zuletzt übrig gebliebene Bahn. Wendet man das allgemeine Zählprinzip an, kommt man auf 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 8! = 40 320 mögliche Startaufstellungen.

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Welche Arten von Urnenmodelle unterscheidet man?

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  • Ziehen mit Zurücklegen 
  • Ziehen ohne Zurücklegen 
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Was ist ein Urnenmodell?

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Es befindet sich eine bestimmte Anzahl von Kugeln mit unterschiedlichen Merkmalen in einer Urne, aus der zufällig Kugeln gezogen werden

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Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, n unterschiedliche Kugeln zu ziehen (ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge)

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Fakultät n!

n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1

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Frage

Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, k Kugeln aus insgesamt n unterschiedlichen Kugeln zu ziehen (ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge)

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k-Permutation = n! / (n -k)!

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Berechne die Anzahl Möglichkeiten k Kugeln aus insgesamt n unterschiedlichen Kugeln zu ziehen (mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge)  

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k-Tupel: n^k 

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Mia denkt sich einen Code für ihr Zahlenschloss am Fahrrad aus. Er muss aus 4 Zahlen zwischen 0 und 9 bestehen.


Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, wenn jede Ziffer nur maximal einmal vorkommen darf.

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Antwort

Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge


10! / (10 - 4)! = 10! / 6! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5.040 Möglichkeiten 

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Mia denkt sich einen Code für ihr Zahlenschloss am Fahrrad aus. Er muss aus 4 Zahlen zwischen 0 und 9 bestehen.


Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Code aus vier gleichen Zahlen besteht, wenn Ziffern mehrfach vorkommen dürfen. 

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Antwort

Das Ereignis „vier gleiche Ziffern“ beinhaltet folgende Ergebnisse: 0000, 1111, …, 9999 ⇒ 10 günstige Ergebnisse


P(vier gleiche Ziffer) = 10 / 10^4 = 1 / 10^3 = 0,001 = 0,1%

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Frage

Definiere den Begriff Permutation

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Gegeben sei eine Menge A der Mächtigkeit | A | = n. Eine Anordnung aller n Elemente in einer bestimmten Reihenfolge heißt Permutation der Elemente aus A.

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Vor einem Wettlauf werden acht Bahnen unter den acht Läufern ausgelost, indem jeder ein Los aus einer Urne zieht (ohne Zurückle- gen). 


Wie viele Startaufstellungen sind möglich?

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Der erste Läufer zieht eins von acht Losen, der zweite hat nur noch sie- ben zur Auswahl und so weiter: Jeder hat bei seiner Ziehung ein Los weniger in der Urne als sein Vorgänger


Der achte Läufer zieht schließlich unweigerlich die zuletzt übrig gebliebene Bahn. Wendet man das allgemeine Zählprinzip an, kommt man auf 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 8! = 40 320 mögliche Startaufstellungen.

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Frage

Auf wie viele Arten können sich drei Schüler in einer Reihe aufstellen?

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Es gilt 3! = 6, dies ist die Anzahl der möglichen Aufstellungen bei drei Schülern.

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Auf wie viele Arten können sich zehn Schüler aufstellen?

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10! = 3.628.800

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Bei einer Fernsehshow qualifiziert sich der Kandidat, der als erster vier Antworten in die richtige Reihenfolge bringt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch bloßen Zufall die Reihenfolge zu erraten?

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Die vier Antworten lassen sich auf 4! = 24 Arten in eine Reihenfolge bringen, die „Zahl der möglichen Fälle“ ist also 24. 


Nur eine Reihenfolge bildet die richtige Lösung, also ist die „Zahl der günstigen Fälle“ eins. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich 1 / 24 ≈ 4,2 %.

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Wie viele Sitzordnungen sind möglich, wenn die sechs Jungen auf den sechs Stühlen in der letzten Reihe sitzen müssen

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Die 6 Jungen haben 6! Möglichkeiten, sich in der letzten Reihe zu verteilen. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es 8! mögliche Sitzordnungen der Mädchen auf den übrigen Stühlen. 


Nach dem allgemeinen Zählprinzip ergibt sich 6! ⋅ 8! = 29 030 400 für die Zahl der möglichen Sitzordnungen.

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Frage

Wann spricht man von k-Permutationen?

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Wenn aus einer Urne mit n Kugeln k-mal ohne Zurücklegen gezogen wird, redet man von k-Permutationen.


Das heißt nennt ein aus einer n-Menge ausgewähltes k-Tupel, wenn sich kein Element des Tupels wiederholt, k-Permutation.

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Von 20 Schwimmern werden die 6 schnellsten ermittelt. Wie viele Ausgänge sind möglich?

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Für den schnellsten gibt es 20 Möglichkeiten, für den zweitschnellsten 19 usw. Damit gibt es insgesamt x = 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 = 27 907 200 Möglichkeiten. 


x = 20! / 14! = 20! / (20 - 6)! = 27.907.200 Möglichkeiten

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Von 7 Kandidaten wird ein Kurssprecher und sein Stellvertreter gewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

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Für den Gewinner der Wahl gibt es 7 Möglichkeiten, der zweite Sieger stammt aus dem Kreise der 6 übrigen Kandidaten. 


Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es für das Gespann Kurssprecher / Stellvertreter daher 7 ⋅ 6 = 42 Möglichkeiten.

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Aus 12 Toren werden die drei Tore des Jahres ausgewählt. Wie viele verschiedene Tipps sind möglich, wenn es auch auf die Reihenfolge der drei Siegertore ankommt?

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Für das „schönste“ Tor gibt es 12 Möglichkeiten. Da es nicht auch noch auf Platz 2 gewählt werden kann, gibt es für das zweite Tor nur noch 11 Möglichkeiten, während das dritte Tor aus den verbliebenen 10 Vorschlägen stammt. 


Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es also 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1 320 verschiedene Tipps.

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Frage

Firma Lampe setzt Gewinne für ein Preisausschreiben aus. Die besten drei Teilnehmer dürfen sich nacheinander eins von 10 verschiedenen Elektrogeräten aussuchen. 


Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es?

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Es gibt 10! / (10 - 3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720 Möglichkeiten der Verteilung. 

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Aus einer Klasse werden 4 Personen ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben sie an verschiedenen Wochentagen Geburtstag?

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Für den ersten sind noch alle 7 Wochentage „frei“, für den zweiten 6, für den dritten 5 und für den vierten noch 4. 


Da alle Wochentage für einen Geburtstag gleichwahrscheinlich sind, gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:


(7 * 6 * 5 * 4) / 7^4 = 120 / 7^3 = 0,35 = 35%

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Eine Mauer aus farblosen und roten Glasbausteinen wird errichtet, wobei in einer Reihe jeweils drei rote und fünf farblose eingebaut werden. 


Wie viele verschiedene Reihen könnte man theoretisch übereinanderbauen, bevor sich das Muster wiederholt?

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Die Anzahl der Möglichkeiten, drei aus den acht Plätzen auszuwählen und mit roten Steinen zu bebauen, wird mit x bezeichnet. 


Also gilt nach dem allgemeinen Zählprinzip:

x * 3! = 8! / (8 - 3)! = 56

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Der Kartenverkäufer im Kino verteilt vier Besucher auf sieben freie Plätze.


Im Kino stellt sich heraus, dass die letzten drei Plätze frei bleiben. Die vier Besucher beschließen, sich umzusetzen. Auf wie viele Arten ist dies möglich? 

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Für die Kinobesucher ist auch relevant, welcher Platz von wem besetzt wird. 


Es gibt entsprechend 7! / (7 - 4)! = 840 Möglichkeiten, 4 der 7 Plätze zu belegen. Also gibt es 839 Möglichkeiten für die vier Besucher, sich umzusetzen.

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Welche Auswahlbedingungen müssen bei Urnenmodellen unterschieden werden?

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Antwort

  • Werden die Kugeln nach dem Ziehen in die Urne zurückgelegt?
  • Wird die Reihenfolge der gezogenen Kugeln berücksichtigt?
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Wie kann man überprüfen ob man die Formeln für das Ziehen 

ohne Zurücklegen richtig aufgestellt hat?

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Um zu überprüfen, ob man die Formel für das Ziehen ohne Zurücklegen richtig aufgestellt hat, addiert man im Zähler die beiden oberen Zahlen in den Binomialkoeffizienten sowie die beiden unteren. Damit muss sich der Binomialkoeffizient im Nenner ergeben.

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Ein Händler bietet zehn Flaschen „Süßen Wein“ zum Sonderpreis an, obwohl er weiß, dass in vier Flaschen der Inhalt bereits vergoren und sauer ist. Ein Kunde will die zehn Flaschen kaufen, probiert aber vorher den Inhalt zweier Flaschen. Die Zufallsgröße Z gibt die Zahl der probierten Weine an, die sich als vergoren herausstellen. 


Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde den Betrug bemerkt?

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Antwort

Der Kunde merkt den Betrug, wenn er mindestens eine Flasche mit vergorenem Wein testet. Dies ist für Z = 1 und Z = 2 der Fall.


Es gilt P(Z => 1) = P(Z=1) + P(Z=2) = 8 / 15 + 2 / 15 = 2 / 3

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Bei welchen Arten von Urnenmodellen kommt die Bernoulli-Formel zum Einsatz?

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Bei Urnenmodellen mit Ziehen mit Zurücklegen

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Frage

Ein Koch hat in seinem Menü 3 Suppen, 4 Hauptgerichte und 3 Desserts zur Auswahl.

  1. Wieviele verschiedene Menüs, bestehend aus einer Suppe, einem Hauptgericht, und einem Dessert, kann der Koch anbieten?
  2. Der Koch bietet nun als Alternative zur Suppe nun noch 4 Salate an (man kann entweder eine Suppe oder einen Salat wählen, zusätzlich noch ein Hauptgericht und ein Dessert). Wieviele Menüs gibt es jetzt?
  3. Der Koch führt ein Supermenü ein, wo man jetzt sowohl einen Salat als auch eine Suppe bekommt, sowie ein Hauptgericht und ein Dessert. Wieviele verschiedene Supermenüs gibt es?
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  1. Es 36 verschiedene Menüs.
  2. Es gibt 84 verschiedene Menüs.
  3. Es gibt 144 verschiedene Supermenüs
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Tina hat in ihrem Kleiderschrank 4 T-Shirts, 5 Röcke, und 3 Paar Schuhe.

 

  1. Wieviele Tage kann sie sich unterschiedlich anziehen, bevor sie ein zweites Mal das gleiche anziehen muss?
  2. Jetzt kauft sie sich noch 3 Hosen. Wieviele Tage kann sie sich jetzt unterschiedlich anziehen (sie trägt natürlich entweder Rock ODER Hose)?
  3. Jetzt Sie kauft sich noch einen Schal, den sie tragen kann, aber nicht muss. Wieviele Tage kann sie sich jetzt unterschiedlich anziehen?
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Antwort

  1. sie kann sich an 60 Tagen verschieden anziehen.
  2. jetzt kann sie sich an 96 Tagen verschieden anziehen.
  3. sie kann sich an 192 Tagen verschieden anziehen.
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In einer Ebene sind 7 Punkte gegeben. Eine Gerade wird durch zwei unterschiedliche und ein Kreis durch drei unterschiedliche Punkte bestimmt. 

a. Bestimme die Anzahl an Möglichkeiten, eine Gerade zu bestimmen.

b. Bestimme die Anzahl an Möglichkeiten, einen Kreis zu bestimmen.

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a. 21

b. 35

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Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, dass unter 5 Personen genau zwei in demselben Monat Geburtstag haben. Nehmen Sie an, dass alle Monate dieselbe Anzahl Tage haben.

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11880 Möglichkeiten bestehen.

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In einer Urne sind 3 rote  und 4 blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 2 blaue und eine rote Kugel, wenn man 3 Mal

  1. mit zurücklegen zieht?
  2. ohne zurücklegen zieht?


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Antwort

  1. 144/343
  2. 18/35
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In einer Urne sind 3 weiße und 5 schwarze Kugeln. Es wird so lange ohne zurücklegen gezogen, bis eine weiße Kugel erscheint.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 3 Kugeln zu ziehen?
  2. Es wird eine weiße Kugel herausgenommen und einige schwarze Kugeln hinzugefügt. Wie viele schwarze Kugeln müssen mindestens in der Urne sein, damit die Wahrscheinlichkeit, mehr als 3 Kugeln zu ziehen, größer oder gleich  50 % ist?(Es wird wieder so lange gezogen, bis man eine weiße Kugel zieht)
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Antwort

  1. 5/28
  2. Es müssen mindestens 9 schwarze Kugeln in der Urne sein.
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Frage

In einer Urne befinden sich 1 rote Kugel, 1 grüne Kugel, und eine blaue Kugel. Es wird 3 Mal mit zurücklegen gezogen.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Mal dieselbe Kugel gezogen wird?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Kugel genau 1 Mal gezogen wird?


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  1. 1/9
  2. 2/9
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Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Kugeln in einer Reihe anzuordnen, wenn

  1. alle Kugeln verschiedenfarbig sind?
  2. 3 Kugeln rot und 3 Kugeln blau sind?
  3. 2 Kugeln rot, 3 Kugeln blau und eine Kugel schwarz ist?
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  1. 720 Möglichkeiten
  2. 20 Möglichkeiten
  3. 60 Möglichkeiten
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Entscheide, ob es sich bei den in a und b gegebenen Fragestellungen um eine Kombination oder Variation handelt. Berechne die entsprechende Anzahl der Möglichkeiten.

a. Aus einer Schulklasse von 32 Schülern soll eine Abordnung von 5 Schülern zum Direktor geschickt werden. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, um diese Abordnung zu bilden. 

b. Ein Hotel hat 12 freie Einzelzimmer. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten 8 Hotelgäste auf diese zu verteilen.


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a. Kombination: 201376

b. Variation: 11880

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Beim WM Finale muss ein Trainer 5 Spieler aus 11 Spielern auswählen, die schießen dürfen.

a. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten diese Spieler auszuwählen.

b. Es gibt eine spezielle Reihenfolge der Schützen. Bestimme die Anzahl der möglichen Reihenfolgen.

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a. 462

b. 120

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Frage

Bei der Fußball WM 2002 nahmen 32 Mannschaften teil. 

a. Bestimme die Anzahl der möglichen Kombinationen für das Finale.

b. Bestimme die Anzahl der möglichen Kombinationen der Mannschaften auf Platz 1, 2 und drei.

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a. 35900 Möglichkeiten

b. 29760 Möglichkeiten

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Eine binäre Zahl hat fünf Stellen, diese können unabhängig voneinander 0 oder 1 sein.


Bestimme die Anzahl der Möglichen Varianten von 0 und 1.

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32

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In einem Regal stehen 6 französische, 7 englische und 12 deutsche Bücher.

a. Auf wie viele Arten lassen sich zwei Bücher in verschiedenen Sprachen aus dem Regal nehmen?

b. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten eins oder mehrere französische Bücher aus dem Regal zu ziehen.

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a. 198

b. 64

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Bestimmen die Anzahl der Möglichkeiten eines der folgenden Gewinne bei einer Ziehung im Lotto "6 aus 49"

a. 4 Richtige

b. 6 Richtige

c. 4 Richtige und die Zusatzzahl

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a. 13545

b. 1

c. 12915

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Das deutsche Alphabet hat 24 Buchstaben.


Bestimme die Mögliche Anzahl der geordneten Teilmengen der Buchstabenanordnungen

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16777216

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Das Kartenspiel "Schnauz" wird mit einem 32-Karten-Deck gespielt (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass von jeweils Herz, Karo, Pik und Kreuz). Jeder Spieler hat  immer 3 Karten auf seiner Hand. 

  1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 3 Karten aus dem Deck zu ziehen?
  2. Wenn man 3 Asse auf der Hand hat, hat man "Feuer". Wie viele Möglichkeiten gibt es für "Feuer?
  3. Wenn man ein As und 2 der Karten {10 , Bube, Dame, König} auf der Hand hat, und diese alle dieselbe Farbe haben (also alle Pik, oder alle Karo usw. , dann hat man "Schnauz".  Wieviele Möglichkeiten gibt es für Schnauz?
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  1. 4960 Möglichkeiten
  2. 4 Möglichkeiten
  3. 24 Möglichkeiten
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An einem Rennen nehmen 10 Menschen teil. 

  1. Die ersten 3 kommen auf das Siegerpodest (der Sieger in die Mitte, der zweite nach links, der dritte nach rechts;). Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es auf dem Siegerpodest?
  2. Die besten 5 bekommen jeweils "besser als der Durchschnitt"-Urkunde. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, diese 5 Urkunden zu verteilen?
  3. Vor dem Rennen werden 2 Läufer disqualifiziert. Wie viele verschiedene Anordnungen gibt jetzt es auf dem Siegerpodest?
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  1. 720 Anordnungen
  2. 252 Möglichkeiten
  3. 336 Möglichkeiten
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Luise möchte mit ihren 5 Freundinnen ins Kino gehen. Sie kaufen sich 5 Tickets und wollen diese nun unter sich aufteilen.


  1. Handelt es sich hierbei um eine Permutation? Begründe!
  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich die Mädchen im Kino auf ihre Plätze setzen?
  3. Luise und Marie sind beste Freundinnen und wollen unbedingt nebeneinander sitzen. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, die Tickets zu verteilen?
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Antwort

  1. Es handelt sich um eine Permutation, da alle Mädchen jeweils ein Ticket erhalten, somit gibt es keine Auswahl.
  2. 6!=720
  3. 5!+5!=240
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