Stell Dir vor, dein Schulfreund und Du, ihr kommt morgens zu spät zum Unterricht und bekommt eine Strafarbeit. Die Strafarbeiten sind aber unterschiedlich umfangreich. Du empfindest das als unfair und tauschst deshalb Deine Strafarbeit heimlich mit der Deines Freundes aus, als er nicht im Klassenzimmer ist. Nun musst Du statt der schweren Strafarbeit die viel leichtere bearbeiten und kannst Dich heute Nachmittag sogar noch mit Deinen Freunden treffen!
Aber was hat das nun alles mit der Substitution zu tun? Die Substitution funktioniert ganz ähnlich.
Substitution – Definition
Wenn Du in der Mathearbeit einer komplizierten Gleichung begegnest, kannst Du diese durch Substitution vereinfachen. Damit das dann auch wirklich klappt, lernst Du im Folgenden, was unter der Substitution zu verstehen ist.
Unter der Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen neuen Term zu verstehen, \[x^2=u\]Dabei wird in deiner Formel an jeder Stelle \(x^2\) durch \(u\) ersetzt. Die Resubstitution oder Rücksubstitution bezeichnet das Rückgängigmachen dieses Vorgangs.\[u\rightarrow x^2\]
Das Ziel der Substitution ist es, eine komplexe Gleichung in eine einfachere und lösbare Form zu überführen und so die Gleichung zu lösen. Oft kannst Du durch eine Substitution ein Problem und somit die Rechnung vereinfachen.
Abbildung 1: Schema der Substitution
Das Wort "Substitution" kommt von lateinisch "substituiere" und bedeutet "ersetzen".
Das Substitutionsverfahren ist eine Möglichkeit, Gleichungen nach x aufzulösen und die Nullstellen einer Gleichung höherer Ordnung zu finden. Oft kannst Du nach einer Substitution zum Beispiel die p-q-Formel / Mitternachtsformel anwenden, um dadurch eine Polynomdivision zu umgehen.
In einer Gleichung höherer Ordnung taucht die Potenz \(x^3\) oder sogar eine noch höhere Potenz auf. Oft wird diese Art der Gleichung auch als Polynom bezeichnet.
Eine Gleichung höherer Ordnung:\[5x^3-4x^2+6x+4 = 0\]
Da Du nun weißt, was eine Substitution ist, soll diese im Folgenden gleich mal durchgeführt werden.
Das Substitutionsverfahren mit Rücksubstitution
Manchmal lassen sich Gleichungen durch ein geeignetes Substitutionsverfahren auf eine einfachere Gleichung zurückführen. Das bekannteste Beispiel dafür ist die sogenannte biquadratische Gleichung (Gleichung 4. Grades).
Voraussetzung für die Substitution ist, dass eine Potenz von x in einer Gleichung gerade und eine weitere ein Vielfaches des ersten Potenz ist.
Kurz gesagt:
- Für vereinfachtes Lösen von Gleichungen.
- Nur bei Gleichungen mit ausschließlich geraden Potenzen möglich oder zumindest muss die erste Potenz der Gleichung gerade sein.
- Hochzahl des einen Terms ist doppelt so hoch wie die Hochzahl des anderen Terms.
Die erste Potenz der Gleichung ist gerade, die zweite Potenz jedoch ungerade. Die Substitution darf trotzdem angewandt werden:\[ax^6+bx^3+c=0\]
Insgesamt gibt es vier Schritte bei der Substitution:
1. Schritt: Substitution
Im ersten Schritt ersetzt Du jedes x2 durch ein u. Folglich ist u2 auch x4.
2. Schritt: Löse die Gleichung mit u
Nun hast Du eine Gleichung mit u. Du löst die passende Gleichung durch die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel und löst sie nach u auf.
3. Schritt: Resubstitution
Aus der Variable u wird wieder x2 und Du tauschst die beiden Variablen aus.
4. Schritt: Wurzel ziehen
Ziehe die passende Wurzel, um x zu erhalten.
Damit Du das Prinzip hinter der Substitution auch verstehst, siehst Du hier, warum Du überhaupt substituieren darfst:
Die Vorsilbe "bi-" bei biquadratischen Gleichungen kommt aus dem Lateinischen und bedeutet, dass etwas doppelt vorkommt. \[\underbrace{ax^2+bx+c}_{\text{Quadratische Gleichung}}\rightarrow \underbrace{a(x^2)^2+b(x)^2 +c = 0}_{\text{Biquadratische Gleichung}}\]
Du siehst, das ist eine quadratische Gleichung in x2. Mit den Potenzgesetzen ist das Prinzip der Substitution leicht erklärbar. Die Hochzahl (Exponent) ist die Anzahl der Multiplikationen der Basis x.\[x^2=0\rightarrow x\cdot x = u \quad x^4=u^2 \rightarrow x\cdot x\cdot x \cdot x = u^2\]
Das bedeutet, die Substitution klappt immer nur dann, wenn eine Hochzahl doppelt so groß ist wie die andere. Die kleinere Hochzahl wird u, die größere Hochzahl wird u². Die Substitutionsvariable kannst Du natürlich nennen, wie Du möchtest. Die meistgenutzten Variablen sind jedoch u und z.
Das sind die Fälle, die in der Schule am häufigsten vorkommen:
\begin{align} \dots x^4+\dots x^2+\dots &= 0\\\dots x^6+\dots x^3+ \dots &= 0\end{align}
Jede Gleichung, die Du substituierst, führt immer zu einer Gleichung der Form:\[\dots u^2 + \dots u + \dots = 0\]
Was zum Beispiel NICHT funktioniert, ist \(2x^4-x^3+4 = 0\)
Du erhältst also in der Schule immer Gleichungen, die sich über Spezialfälle wie zum Beispiel der Substitution lösen lassen. Entweder ist die eine Hochzahl immer doppelt so groß wie die andere, oder hinten steht eine Zahl ohne Variable, dann kannst Du ausklammern.
Wie Du die Substitution durchführst, siehst Du im nächsten Abschnitt Schritt für Schritt.
Substitution in Mathe – Beispiel
Damit Du die Substitution besser verstehst, folgt nun ein Beispiel, indem diese Schritte angewendet werden.
Anhand der Gleichung \(2x^4-18x^2=-40\) lernst Du, wie eine Substitution funktioniert. Ziel ist es dabei immer, die Lösung der Gleichung zu bestimmen.
Da Du die Gleichung nicht einfach so nach x auflösen kannst, substituierst Du die Gleichung zur Vereinfachung.\begin{align}2x^4-18x^2&=-40 \quad |\,+40\end{align}
Bringe alles auf eine Seite und setze gleich 0.\begin{align}2x^4-18x^2&+40=0\end{align}
1. Schritt: Substitution
Die gegebene Gleichung wird substituiert, indem Du alle x² durch u ersetzt.
→ Substitution \(x^2 = 0\)
\begin{align}2x^2\cdot x^2 -18x^2+40=0\\ 2u^2-18u+40=0\end{align}
2. Schritt: Löse die Gleichung mit u
Diese Gleichung kannst Du mit der Mitternachtsformel oder p-q-Formel lösen. Schau Dir hierzu gerne nochmal die passenden Artikel an, falls Du die beiden Lösungsverfahren wiederholen möchtest. Da vor dem höchsten Exponenten eine Zahl steht, kannst Du die Mitternachtsformel anwenden:\begin{align}u_{1/2}&=\frac{-(-18)\pm\sqrt{(-18)^2-4\cdot 2\cdot 40}}{2\cdot 2}=\frac{18\pm\sqrt{4}}{4}=\frac{18\pm 2}{4}\\u_1&=\frac{18+2}{4}=5\\u_2&=\frac{18-2}{4}=4\end{align}
3. Schritt: Resubstitution
Jetzt ganz wichtig: Du bist nun noch nicht fertig, denn Du hast nur die Lösungen für u rausgefunden! Dich interessieren aber die Lösungen für x. Am Anfang hast Du x² durch u substituiert. Das musst Du jetzt wieder resubstituieren.
Nun kannst Du x aus den Lösungen für u berechnen. Dazu ersetzt Du u mit x2:\begin{align} u_1=5 &\leftrightarrow x^2=5\\u_2=4&\leftrightarrow x^2 = 4\end{align}
4. Schritt: Wurzel ziehen
Im letzten Schritt nimmst Du die ursprüngliche Gleichung und formst sie um. Da du vorhin x² für u gesetzt hast, ist x einfach die Wurzel aus u. Um x zu erhalten, ziehst Du die passende Wurzel. Beachte, dass Du beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen hast und die Wurzel aus negativen Zahlen nicht existiert.
\begin{align}x^2&=5\qquad|\sqrt{ }\\x_{1/2}&=\pm\sqrt{5}\end{align}
\begin{align}x^2&=4\qquad|\sqrt{ }\\x_{1/2}&=\pm 2\end{align}
Insgesamt hat die Gleichung vier Lösungen.
Substitution – Wurzel substituieren
Hin und wieder wirst Du in einer Gleichung auf einen Wurzelausdruck stoßen. Es kann hilfreich sein, in so einem Fall die Substitution anzuwenden, die das Lösen der Gleichung sehr vereinfachen kann.
Die Substitution ist anwendbar, wenn die Radikanden gleich sind. Als Radikand wird die Zahl bezeichnet, die unter der Wurzel steht.
Dabei gehst Du folgendermaßen vor:
- Betrachte die Wurzel zunächst als normalen Term, welcher ausgetauscht werden soll, aber achte dabei darauf, dass die Radikanden gleich sind.
- Hilfreich ist es, Dir in Erinnerung zu rufen, dass Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens ist. Das folgende Beispiel zeigt Dir diese Tatsache:
- Verfahre bis zur Resubstitution wie gewohnt. Löse die Gleichung standardmäßig auf und resubstituiere anschließend die Lösung. Dazu setzt Du die Lösung in die Substitutionsgleichung ein und löst nach x auf.
- Wichtig: Die Gleichung, nach der Du auflösen musst, wird der Term mit der Wurzel sein.
Um es Dir anschaulicher zu erklären, wird eine Wurzelgleichung nun ausführlich substituiert.
Berechne die Nullstellen folgender Gleichung:\[2\cdot\left(\underbrace{\sqrt[4]{(x-3)}}_u\right)^2+\underbrace{\sqrt[4]{x-3}}_u-3=0\]
Wie Du siehst, sind hier zwei gleiche Wurzeln vorhanden und deshalb kann die Substitution durchgeführt werden:
1. Schritt: Substitution
Du setzt also \(\sqrt[4]{x-3}\), um mit dem Wurzelausdruck leichter rechnen zu können.
Jetzt erhältst du eine quadratische Gleichung:\[2u^2+u-3=0\]
2. Schritt: Löse die Gleichung mit u
In diesem Fall ist es geschickter, die Mitternachtsformel anzuwenden, um komplizierte Bruchausdrücke zu vermeiden. Hier nochmal zu Erinnerung die allgemeine Form der Mitternachtsformel:\[u_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}{2a}\]
In die kannst Du jetzt die Zahlen aus deiner substituierten Gleichung einsetzen:\begin{align}u_{1/2}&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}\\u_{1/2} &= \frac{-1\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{-1\pm 5}{4}\\u_1&=1\quad ; \quad u_2=-\frac{3}{2}\end{align}
3. Schritt: Resubstitution
Für \(u_1\): Du führst die Resubstitution für \(u_1\) durch, d.h. Du setzt das erste gefundene Ergebnis \(u_1\) in die Substitutionsgleichung und löst die Gleichung nach x auf.
Substitutionsgleichung:\[\sqrt[4]{x-3} = u\]
Darin \(u_1\) einsetzen: \[\sqrt[4]{x-3}=1\]
Nun löst Du die Wurzelgleichung: \begin{align}\sqrt[4]{x-3}&=1\\\left(\sqrt[4]{x-3}\right)^4&=1^4\\x-3&=1\\x_1 &= 4\end{align}
Für u_2=-\frac{3}{2}: Jetzt führst Du die Resubstitution auch für das zweite Ergebnis durch. Es entsteht eine Gleichung, die keine Lösung haben kann. Der Grund hierfür ist, dass auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, der Wert unter der Wurzel aber nicht negativ sein darf und somit für kein x ein negatives Ergebnis entstehen würde.\[\sqrt[4]{x-3}=-\frac{3}{2}\]
Die Lösung der Gleichung lautet also: \(\mathbb{L}=\{4\}\).
Substitution – Aufgaben zum Üben
Damit du alles noch besser verstehst, folgen nun ein paar Übungsaufgaben!
Die folgende Gleichung soll nun mit dem Substitutionsverfahren gelöst werden. Dazu sollen die Nullstellen berechnet werden:
- \(f(x) = x^6 + 2x^3 +1 \)
- \(g(x) = x^4 -4x^2+4\)
- \(h(x) = 2x^4+4x^2-4\)
Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 1
Um die Nullstellen zu berechnen, musst Du die Gleichung gleich 0 setzen und alles auf eine Seite bringen.Es gilt also: \(f(x) = 0\)\[x^6+2x^3+1=0\]
1. Schritt: Substitution mit \(x^3 = u\)
Folglich wird \(x^6 = u^2\)!\[u^2+2u+1=0\]
2. Schritt: Lösen mit Mitternachtsformel.\begin{align}u_{1/2} &=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\\u_{1/2}&=\frac{-2\pm0}{2}\\u&=-1\end{align}
3. Schritt: Resubstitution
Du ersetzt nun u wieder mit x3:\[u=-1\leftrightarrow x^3=-1\]
4. Schritt: Wurzel ziehen
Ziehe nun die dritte Wurzel, um x zu erhalten, In diesem Fall darfst Du die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, indem Du das Minus vor die Wurzel schreibst, denn die dritte Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl.\begin{align}x^3&=-1\quad |\sqrt[3]{ }\\x&=-\sqrt[3]{1}\\x&=-1\end{align}
Zum Schluss schreibst Du nur noch die Nullstellen der Funktion \(f(x)\) auf:\[\mathbb{L}=\{1\}\]
Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 2
Setze die Gleichung null: \[x^4-4x^2+4=0\]
1. Schritt: Substitution mit \(x^2\)=u.
Hier wird somit auch wieder \(x^4=u^2\)\[u^2-4u+4=0\]
2. Schritt: Anwendung der p-q/ Mitternachtsformel.\begin{align}u_{1/2}&=\frac{4\pm\sqrt{(-\frac{4}{2})^2-4\cdot 1 \cdot 4}{2\cdot 1}\\&=2\pm 0\\ u &= 2\end{align}
3. Schritt: Resubstitution
Du ersetzt nun u mit \(x^2\).\[u=2 \leftrightarrow x^2 = 2\]
4. Schritt: Wurzel ziehen
Ziehe nun die Quadratwurzel, um x zu erhalten.\begin{align}x^2&=2\quad|\sqrt{ }\\x_1&=\sqrt{2}\\x_2&=-\sqrt{2}\end{align}
Beim Wurzel ziehen ergeben sich hier zwei Lösungen für x.\[\mathbb{L}=\{\sqrt{2}; -\sqrt{2}\}
Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 3
Um auch hier die Nullstellen zu berechnen, musst Du die Gleichung null setzen. \begin{align}2x^4+4x^2-4&=0\quad | : 2\\x^4+2x^2-2&=0\end{align}
1. Schritt: Substitution mit \(x^2=0\) und \(x^4=u^2\).\[u^2+2u-2=0\]
2. Schritt: Anwendung p-q/ Mitternachtsformel.\begin{align}u_{1/2}&=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{(\frac{2}{2})^2+2}\\&=-1\pm\sqrt{1+2}\\&=-1\pm\sqrt{3}\\u_1&=1+\sqrt{3}\\u_2&=1-\sqrt{3}\end{align}
3. Schritt: Resubstitution
Du ersetzt u wieder mit \(x^2\).
In diesem Fall muss Du nur \(u_1\) resubstituieren, da Du von einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen darfst.\[u_1=-1+\sqrt{3}\leftrightarrow x^2=-1+\sqrt{3}\]
4. Schritt: Wurzel ziehen
Ziehe nun die Quadratwurzel, um x zu erhalten.\begin{align}x^2&=-1+\sqrt{3}\quad | \sqrt{ }\\x_1&=\sqrt{-1+\sqrt{3}}\\x_2&= -\sqrt{-1+\sqrt{3}}\end{align}
Beim Wurzel ziehen ergeben sich hier zwei Lösungen für x.\[\mathbb{L}=-\{\sqrt{1+\sqrt{3}}; -\sqrt{-1+\sqrt{3}}\}\]
Substitution – Das Wichtigste
- Substituieren bedeutet: Term durch anderen Term ersetzen.
- Bei der Substitution vertauschst Du einen schwierigen Term mit einem einfachen (z.B. u). Damit lässt sich einfacher rechnen und so mit bekannten Formeln, wie der p-q/ Mitternachtsformel die Gleichung auflösen.
- Hast Du dann eine Lösung für u raus, musst Du noch Resubstituieren, damit Du auch wirklich Deine Lösungen für x bekommst.
- Achtung: Hin und wieder wird anstelle der Variable u die Variable z verwendet. Lass Dich davon nichtbeirren!
- Folgende Schritte solltest Du dabei befolgen:
- Alles auf eine Seite bringen.
- Substituieren: Jedes x² durch u ersetzen. x² = u.
- Mit bekannten Formeln die Gleichung lösen.
- Resubstitution. x² = u auflösen.
- Lösungsmenge aufschreiben.
- Vergiss niemals das Resubstituieren!
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