Partielle Integration

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Pascalsches Dreieck

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Hast du gerade das Thema partielle Integration in Mathe, weißt aber nicht mehr genau worum es ging? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, was eine partielle Integration ist und wie du sie anwenden kannst. Dazu zeigen wir dir Schritt für Schritt die einzelnen Rechenschritte, sodass du keine Probleme beim Rechnen haben wirst :) Das Thema kann dem Fach Integrationsrechnung und genauer dem Unterthema Integrationsregeln zugeordnet werden.

Was ist die partielle Integration?

Bei der Integration gibt es zu jeder Funktion eine bestimmte Regel zur Ableitung. In diesem Fall ist bei der partiellen Integration die korrespondierende Regel die Produktregel. Dabei wird die partielle Integration verwendet, um Funktionen zu integrieren, die aus zwei oder mehreren Faktoren besteht. Ein anderer Name für die partielle Integration ist die Produktintegration. Die Definition lautet wie folgt:

Wichtig! Bei der partiellen Integration musst du selbst entscheiden, welcher Faktor f(x) und welcher g(x) sein soll. Da du bei der partiellen Integration f(x) ableitest und g(x) integrierst, solltest du dich für den Faktor entscheiden, der leichter abzuleiten bzw. zu integrieren ist.

Häufig schreibst du die ursprüngliche Funktion dann so um, dass die neue Funktion einfacher zu integrieren ist.

Die Wahl von f(x) und g’(x) bei der partiellen Integration

Ausschlaggebend bei der partiellen Integration ist die Wahl von f(x) und g’(x). Wenn du dich falsch entscheidest, kann dies unter Umständen dazu führen, dass das Integral noch komplizierter wird. Falls dies passieren sollte, ist es sehr wahrscheinlich, dass du f(x) und g’(x) vertauschen solltest.

Es gibt dazu einfache und hilfreiche Faustregeln:

L = logarithmische Funktionen (, …)
I = inverse Winkelfunktionen (asin, acos, atan, asec, …)
A = algebraische Funktionen (x², 5x³, …)
T = trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, csc)
E = Exponentialfunktionen (, )

Entsprechend des Rangs solltest du f(x) auswählen. Willst du zum Beispiel x²・cos(x) integrieren, so müsstest du x² für f(x) wählen und cos(x) für g’(x), denn algebraische Funktionen wie x² höher in der Liste stehen als trigonometrische Funktionen.

Achte darauf, dass es sich hierbei nur um eine Faustregel handelt. In den meisten Fällen wird sie gute Ergebnisse liefern, es kann jedoch zu Ausnahmefällen kommen.

Eselsbrücke: Wenn du dir LIATE nicht so gut merken kannst, kannst du dir vielleicht DETAIL (LIATE rückwärts ohne D) besser merken.

Beispiel Aufgabe zur partiellen Integration

Nun geben wir dir eine Beispiel Aufgabe. Du sollst folgende Funktion integrieren:

Schritt für Schritt wollen wir dir jetzt den Lösungsrechenweg erklären:

Zu aller erst musst du festlegen, welcher der beiden Faktoren f(x) und welcher g(x) sein soll. Weil f(x) abgeleitet und g(x) integriert wird, solltest du deine Wahl so treffen, dass die einfachsten Funktionen für die entsprechende Operation ausgewählt werden. Nach der Faustregel LIATE entscheiden wir uns für:

2. Jetzt musst du die Ableitung von f(x) und die Stammfunktion von g(x) finden:

3.Nach der Formel für partielle Integration schreibst du nun: