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Exponentialfunktion

Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion hast Du bestimmt schon einmal im Fernsehen gesehen:

Die schnelle Verbreitung eines ansteckenden Virus (zum Beispiel des Coronavirus) kann durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden und wird in den Nachrichten deshalb oft mithilfe dieser dargestellt.

In dieser Erklärung lernst Du, was eine Exponentialfunktion ist, wie ihre Formel und Eigenschaften lauten, was die natürliche Exponentialfunktion ist und wie man eine Exponentialfunktion ableitet und löst.

Exponentialfunktion Formel

Unter einer Exponentialfunktion versteht die Mathematik eine Funktion mit einem rapiden Wachstum in positive oder einem rapiden Abfall in negative Richtung (oft auch Zerfall genannt).

Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet:

\[f(x) = {\color{#1478c8}a} \cdot {\color{#fa3273}b}^{\color{#00dcb4}x}\]

  • \({\color{#1478c8}a}\) stellt den Anfangswert der Funktion dar.
  • \({\color{#fa3273}b}\) ist der Wachstumsfaktor und bestimmt, wie schnell die Funktion wächst oder fällt.
  • Die Variable \({\color{#00dcb4}x}\) ist immer im Exponenten des Wachstumsfaktors zu finden.

Hierbei gelten folgende Regeln für \({\color{#1478c8}a}\) und \({\color{#fa3273}b}\): \({\color{#1478c8}a} \ne 0~ \text{und}~ {\color{#fa3273}b} \in \mathbb{R^+}\)

Diese Regeln besagen, dass a niemals 0 sein darf und b immer größer als 0 sein muss.

Exponentialfunktion Eigenschaften

Die Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion lauten:

  • Definitionsbereich liegt bei \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
  • keine Nullstelle
  • y-Achsenabschnitt bei \(y = 1\)
  • streng monoton steigend
  • nähert sich als untere Grenze der x-Achse an
  • die obere Grenze ist \(\infty\)

Wenn Du allerdings verschiedenen Werte für \(a\) und \(b\) einsetzt, erhältst Du verschiedene steigende oder fallende Funktionsgraphen der Exponentialfunktion, welche im Folgenden genauer erläutert werden.

Form

Exponentialfunktion der Form \(f(x) = a \cdot b^x\)

Exponentialfunktion der Form \(f(x) = b^x\)

Funktionsgleichung mit Parameter d

Erklärung
  • Der Anfangswert \(a\) gibt den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen vor
  • Es gibt zwei Fälle: die Graphen für \(a > 0\) steigen, während Graphen für \(a < 0\) fallen.
  • Wenn \(a\) den Wert 1 annimmt, wird nur das Wachstum des Graphen betrachtet.
  • Der Punkt \(P(0|1)\) ist für \(a=1\) der y-Achsenschnitt jedes Graphen.
  • \[f(x) = a \cdot b^x + d\]
  • Der Parameter \(d\) verschiebt den Funktionsgraphen in y-Richtung, also nach oben oder unten.
BeispielgraphenGraphen für \(a > 0\):Exponentialfunktion verschiedene Graphen bei unterschiedlichem, positiven a StudySmarterGraphen für \(a < 0\):Exponentialfunktion verschiedene Graphen bei unterschiedlichem, negativen a StudySmarterGraphen für \(b > 1\): Exponentialfunktion verschiedene Graphen für unterschiedliche b größer als 1 StudySmarterGraphen für \(0 < b < 1\):Exponentialfunktion verschiedene Graphen für unterschiedliche b zwischen 0 und 1 StudySmarterExponentialfunktion Spezialfall Parameter d StudySmarter

Weiteres zur grundlegenden Form der Exponentialfunktionen findest Du in der Erklärung "Allgemeine Exponentialfunktion".

Exponentialfunktion ableiten

Wie jede andere Funktion kann auch die Exponentialfunktion abgleitet werden. Dabei wendest Du die Kettenregel an.

Wenn Du die allgemeine Exponentialfunktion \(f(x) = a \cdot b^{g(x)}\) ableiten möchtest, schreibst Du das wie folgt:

\[\begin{align} f(x) &= a \cdot {\color{#1478c8}b}^{\color{#00dcb4}g(x)}\\ f'(x) &= a \cdot {\color{#fa3273}ln(b)} \cdot {\color{#00dcb4}g'(x)} \cdot {\color{#1478c8}b^{g(x)}}\end{align}\]

Das ist die allgemeine Regel, wie Du jede Exponentialfunktion ableitest.

Wende diese Regeln einmal an einem Beispiel an.

Aufgabe 1

Bilde die erste Ableitung der folgenden Exponentialfunktion.

\[f(x) = 2^{3x}\]

Lösung

Bestimmte zuerst, was in der gegebenen Funktionsgleichung den Teilen aus einer allgemeinen Exponentialfunktion entspricht.

\[\begin{align}b &= 2\\\text{Exponent} &= 3x\end{align}\]

Da in der Aufgabe kein Anfangswert \(a\) gegeben ist, wird zuerst die Basis \(b\) abgeleitet.

\[f'(x) = ln(2)\]

Anschließend leitest Du den Exponenten einzeln ab und schreibst ihn als weiteren Faktor hinter die Ableitung der Basis.

\[f'(x) = ln(2) \cdot 3\]

Dann schreibst Du die nicht abgeleitete Basis inklusive des Exponenten erneut als Faktor hinten an.

\[f'(x) = ln(2) \cdot 3 \cdot 2^{3x}\]

Zuletzt vereinfachst Du noch die bestehende Rechnung und bist fertig. Den \(ln(2)\) kannst Du so stehen lassen.

\[f'(x) = ln(2) \cdot 6^{3x}\]

Exponentialfunktion zeichnen

Die Eigenschaften einer Exponentialfunktion sind essenziell, um den Graphen einer solchen Exponentialfunktion zeichnen zu können.

Als Beispiel dient der Graph der Funktion: \[f(x) = {\color{#1478c8}2} \cdot {\color{#00dcb4}3}^{\color{#fa3273}x} + {\color{#8363e2}1}\]

Zunächst solltest Du Dir alle Informationen herausschreiben, die Dir die Funktionsgleichung gibt und weitere Kenngrößen berechnen.

1. Y-Achsenabschnitt

Der Faktor \({\color{#1478c8}a}\) gibt den y-Achsenabschnitt des Graphen an.

Die gegebene Beispielfunktion ist allerdings um den Faktor \({\color{#8363e2}d} = 1\) nach oben verschoben. Dementsprechend ist der y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen bei \({\color{#1478c8}a} + {\color{#8363e2}d} = {\color{#1478c8}2} + {\color{#8363e2}1} = 3\).

Exponentialfunktion abgelesener y-Achsenabschnitt StudySmarter
2. Limes

Der Faktor \({\color{#8363e2}d}\) gibt einen Limes der Exponentialfunktion an. Dieser Limes ist für \({\color{#00dcb4}b} > 0\) also:

\[\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} (2 \cdot 3^x + {\color{#8363e2}1}) = 1\]

3. Berechnung für \(\lim\limits_{x\to\infty}\)

Berechne dann den zweiten Limes \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)\) (auch Grenzwert genannt).

\[\lim \limits_{x\to\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\infty} (2 \cdot 3^x + 1) = \lim\limits_{x\to\infty} 2 \cdot 3^{100000000} - 1 = \infty\]

Wenn Du Deine Kenntnisse zum Limes und seiner Berechnung noch einmal auffrischen möchtest, schau bei der Erklärung "Limes" vorbei.

4. Monotonieberechnung

Für die Berechnung des Monotonieverhaltens benötigst Du die erste Ableitung der Funktionsgleichung.

\begin{align}f(x) &= 2 \cdot 3^x + 1 \\ f'(x) &= 2 \cdot ln(3) \cdot 3^x\end{align}

Das Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion findest Du folgendermaßen heraus:

Setze einmal Werte größer als 0 und danach Werte kleiner als 0 in die erste Ableitung für x ein. Berechne dadurch, ob das Ergebnis positiv (streng monoton steigend) oder negativ (streng monoton fallend) ist.

Überprüfe zuerst x-Werte größer als 0.

\[f'(5) = 2 \cdot ln(3) \cdot 3^5 \approx 533,93 \text{ } \rightarrow \text{streng monoton steigend}\]

Überprüfe danach die x-Werte kleiner als 0.

\[f'(-5) = 2 \cdot ln(3) \cdot 3^{-5} \approx 0,00904 \text{ } \rightarrow \text{monoton steigend}\]

5. Einzeichnen

Damit hast Du alle nötigen Informationen herausgefunden und kannst den Funktiongraphen in ein Koordinatensystem zeichnen.

Exponentialfunktion Funktionsgraph zu den berechneten Werten StudySmarter

Am Graphen kannst Du das Berechnete überprüfen.

Im Bereich \(x > 0\) steigt der Graph schneller als im Bereich \(x < 0\). Außerdem liegt der y-Achsenabschnitt bei \(y = 3\) und der untere Grenzwert bei \(y = 1\).

Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) ist ein Spezialfall der Exponentialfunktion. Diese enthält die Euler'sche Zahl \(e\), weswegen sie natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion genannt wird.

Exponentialfunktion Graph einer e-Funktion StudySmarterAbbildung 1: Graph einer e-Funktion

Eine wichtige Besonderheit der natürlichen Exponentialfunktion ist, dass die Ableitung der Euler'schen Zahl immer die Euler'sche Zahl selbst ist. Das einzige, was Du sonst ableiten musst, sind mögliche Parameter in der Gleichung.

\[\begin{align} f(x) = e^x \\ f'(x) = e^x\end{align}\]

Eine detaillierte Erklärung findest Du im Artikel zur e-Funktion.

Exponentialfunktion aufstellen und lösen

In manchen Aufgaben kommt es vor, dass Du erst eine Exponentialfunktion aufstellen sollst, bevor Du die eigentliche Aufgabe lösen kannst.

Meist handeln diese Aufgaben um Halbwerts- oder Verdopplungszeiten, bei denen Du den Wachstums- oder Zerfallsfaktor berechnen sollst.

Aufgabe 2

Beim Reaktorunglück 1986 in Tschernobyl wurden \(26{,}4 \,\text{kg}\) vom radioaktiven Element Cäsium-\(137\), mit einer Halbwertszeit von \(30\) Jahren, in den umliegenden Wäldern verstreut. Das Unglück war im Jahr 2016 genau \(30\) Jahre her. Stelle eine Funktionsgleichung auf und berechne, wie viel Gramm im Jahr 2022 noch vom radioaktiven Stoff übrig ist.

Lösung

Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus.

\[\begin{align} a &= 26{,}4 \,\text{kg} = 26\,400 \,\text{g}\\x &= 36\end{align}\]

Der Zerfallsfaktor \(b\) ist nicht gegeben.

Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach \(30\) Jahren halbiert hat. Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach \(b\) auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu bekommen.

\[\begin{align}f(x) = 26\,400 \,\text{g} \cdot b^{30} &= 13\,200 \,\text{g}~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :26\,400 \,\text{g}\\b^{30} &= \frac{13\,200 \,\text{g}}{26\,400 \,\text{g}} = \frac{1}{2}~~~~~~~| \sqrt[30]{} \\b &= \sqrt[30]{\frac{1}{2}} \approx 0,977\end{align}\]

Damit hast Du den Zerfallsfaktor \(b\) als \(0,977\) berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die Menge an radioaktivem Material im Jahr 2022 berechnen.

\[\begin{align} 26\,400 \,\text{g} \cdot 0,997^x \\26\,400 \,\text{g} \cdot 0,977^{36} \approx 11\,424 \,\text{g}\end{align}\]

Mit dieser Rechnung hast Du die in 2022 verbliebene Menge an radioaktivem Cäsium-\(137\) berechnet. Es liegen noch \(11\,424\,\text{kg}\) dieses Stoffes in den umliegenden Wäldern Tschernobyls.

Exponentialfunktion Aufgaben

In diesem Abschnitt findest Du noch weitere Aufgaben rund um die Exponentialfunktion.

Aufgabe 3

Eine Bakterienkultur wächst in 1 Stunde um das Dreifache an. Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind, wenn die Kultur bei 5000 Bakterien gestartet ist.

Lösung

Als Erstes solltest Du die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu hast Du im Text alle nötigen Informationen gegeben.

Der Startwert \(a\) sind 5000 Bakterien. Nach einer Stunde steigt die Bakterienkultur um das Dreifache an. Das heißt, dass der Wachstumsfaktor \(b\) 3 ist. Damit kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

\[f(x) = 5000 \cdot 3^x\]

Nun sollst Du noch berechnen, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind. Dafür setzt Du für x (Zeitvariable) die 6 ein und berechnest die Gleichung.

\[f(x) = 5000 \cdot 3^6 = 3.645.000\]

Nach 6 Stunden hat sich die Bakterienkultur auf 3.645.000 Bakterien erhöht.

Aufgabe 4

Uran-\(234\) hat eine Halbwertszeit von \(245\,500\) Jahren. Stelle eine Formel auf, welche berechnet, wie viel Gramm einer Probe mit der Masse von \(1\,\text{kg}\) nach der durchschnittlichen Lebensdauer eines Menschen von circa \(80\) Jahre übrig ist.

Lösung

Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus.

\[\begin{align} a &= 1 \,\text{kg} = 1\,000 \,\text{g}\\x &= 80\end{align}\]

Der Zerfallsfaktor \(b\) ist hier nicht gegeben.

Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach \(245\,500\) Jahren halbiert hat.

Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach \(b\) auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu erhalten.

\[\begin{align}f(x) = 1\,000 \,\text{g} \cdot b^{245\,500} &= 500 \,\text{g}~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :500 \,\text{g}\\b^{245\,500} &= \frac{500 \,\text{g}}{1\,000 \,\text{g}} = \frac{1}{2}~~~~~~~| \sqrt[245\,500]{} \\b &= \sqrt[245\,500]{\frac{1}{2}} \approx 0,999\,997\end{align}\]

Damit hast Du den Zerfallsfaktor \(b\) als \(0,999\,997\) berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die heutige Menge an radioaktivem Material berechnen.

\[\begin{align} 1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^x \\1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^{80} \approx 999{,}76 \,\text{g}\end{align}\]

Nach \(80\) Jahren sind also noch \(999{,76}\,\text{g}\) dieses Stoffes übrig.

Exponentialfunktion – Das Wichtigste

  • Die allgemeine Exponentialfunktion lautet \(f(x) = a \cdot b^x\).
  • \(a\) ist hier der Anfangswert und \(b\) ist der Wachstumsfaktor
  • Es kann vorkommen, dass die Funktionsgleichung noch den Parameter d enthält, welcher den Funktionsgraphen in y-Richtung verschiebt.
  • Der Parameter \(a\) gibt den y-Achsenabschnitt an, kann aber durch den Parameter d verändert werden.
  • Verschiedene Werte für \(a\) und \(b\) verändern den Verlauf des Funktionsgraphen.
  • Eine Exponentialfunktion wird immer nach der Kettenregel abgeleitet.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion ist jede Funktion, bei der die Variable im Exponenten einer Zahl steht.

Die allgemeine Exponentialfunktion hat folgende Eigenschaften:

  • keine Nullstelle
  • 1 y-Achsenabschnitt
  • streng monoton steigend oder fallend
  • unterer Grenzwert geht gegen null
  • oberer Grenzwert führt ins positiv Unendliche

Der Anfangswert der allgemeinen Exponentialfunktion nähert sich der 0 an, wird aber nie 0.

Viele Werte, die fürs Zeichnen wichtig sind, kannst Du schon aus der Funktionsgleichung herauslesen. Die restlichen berechnest Du selbst und zeichnest dann auf Grundlage derer die Funktion in ein Koordinatensystem.

Finales Exponentialfunktion Quiz

Frage

Wie viele Nachkommastellen hat die e-Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Die e-Funktion hat unendlich viele Nachkommastellen!

Frage anzeigen

Frage

Was stellt die Basis b und die Konstante a dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Basis b stellt die Steigung der Funktion dar und die Konstante a den Anfangswert/y-Achsenabschnitt.

Frage anzeigen

Frage

Was kannst du mithilfe der Exponentialfunktion beschreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der Exponentialfunktion lässt sich das exponentielle Wachstum oder exponentielle Verfall beschreiben.

Frage anzeigen

Frage

Welche Werte kann die Basis b annehmen und wie verändert sie sich anhand dieser?

Antwort anzeigen

Antwort

Allgemein unterscheidest du zwischen Exponentialfunktionen, deren Basis b zwischen 0 und 1 liegt und Exponentialfunktionen, deren Basis b größer als 1 ist.

Wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, fällt der Graph der Funktion. Ist die Basis jedoch größer als 1, dann steigt der Graph der Funktion!

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat der Graph, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt?

Antwort anzeigen

Antwort

Sobald die Basis der Exponentialfunktion zwischen 0 und 1 liegt , fällt der Funktionsgraph der Funktion. Das heißt der Graph ist streng monoton fallend, je kleiner die Basis b ist.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat der Graph, wenn die Basis b größer 1 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Sobald die Basis b der Exponentialfunktion größer als 1 ist, steigt der Funktionsgraph. Dabei kannst du dir merken, dass umso größer a ist, die Funktion immer steiler verläuft. Das heißt der Graph steigt streng monoton.

Frage anzeigen

Frage

Besitzt die allgemeine Exponentialfunkton Nullstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen, da die x-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion darstellt.

Das heißt, die Funktion schneidet die x-Achse in keinem Punkt. Die Funktion nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt sie aber nie.

Frage anzeigen

Frage

Schneidet die allgemeine Exponentialfunktion die y-Achse?

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Exponentialfunktion schneidet die y-Achse bei dem Wert a.


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