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Exponentialfunktion

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Mathe

Im Gegensatz zur Potenzfunktion, wo die Variable in der Basis steht, steht bei der Exponentialfunktion die Variable im Exponenten.

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion

Unter einer Exponentialfunktion mit der Basis versteht man eine reelle Funktion der Form:

bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x.

Weil im Exponenten die Variable steht, heißt diese Funktion „Exponentialfunktion“.

Die Exponentialfunktion mit einem Vorfaktor b

Eine Exponentialfunktion kann auch einen Vorfaktor b haben, dieser Faktor ist eine reelle Zahl, die aber nicht 0 sein sollte. Sonst wäre das gesamte Ergebnis der Funktion schließlich 0.

Die Funktionsgleichung sieht dann folgendermaßen aus:

Im Folgenden siehst du ein paar Beispiele, wie ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion mit Vorfaktor aussehen könnte:

  • , hier ist a=2 und b=-3
  • , hier ist a=7 und b=1,5
  • , dieser Term ist nicht der einer Exponentialfunktion, da die Variable nicht im Exponenten steht. Er ist der Funktionsterm einer Potenzfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion und die Euler´sche Zahl

Besonders wichtig für die Umkehrfunktion und auch die Differenzier- und Integrierbarkeitsrechnung, ist die Euler´sche Zahl e.

Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert:

e ist eine irrationale Zahl. Du kannst diese auch als Dezimalbruch schreiben. Sie ist unendlich, aber nicht periodisch und beginnt mit 2,71828…

Die zugehörige Exponentialfunktion von e heißt e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion.

Diese Zahl ist besonders wichtig bei exponentiellem Wachstum, z.B. dem Wachstum von Bakterien, oder auch exponentiellen Abnahmevorgängen.

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form . Die Zahl e steht hier in der Basis statt dem Koeffizienten.

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Du kannst jede Exponentialfunktion auch in eine natürliche Exponentialfunktion, die sogenannte „e-Funktion“ oder „Euler´sche Zahl“, umwandeln. Diese natürliche Exponentialfunktion hat dann die Basis e. e ist die „Euler´sche Zahl“.

Mit dieser Beziehung kannst du auch die Ableitung bestimmen. Die natürliche Logarithmusfunktion, ln-Funktion, ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Damit gilt:

Hier siehst du: Wenn du die e-Funktion an der Winkelhalbierenden (x=y) spiegelst, erhältst du die ln-Funktion.

Die Ableitung der Exponentialfunktion

Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet:

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion

Die Stammfunktion bzw. das Integral F(x) der Exponentialfunktion lautet:

Der Graph einer Exponentialfunktion – die Eigenschaften

Der Graph einer Exponentialfunktion hat gewisse Eigenschaften, die immer gelten.

Er:

  • verläuft immer über der x-Achse;
  • geht immer durch den Punkt (0|1);
  • ist stets monoton: Er steigt streng monoton für a>1 und fällt streng monoton für 0<a<1;
  • ist stets linksgekrümmt;
  • geht durch Spiegelung an der y-Achse über in den Graphen der Funktion x ⟼ und umgekehrt
  • der maximale Definitionsbereich ist ganz ℝ
  • der maximale Wertebereich ist falls b>0 und falls b<0
  • die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen

Die blaue Funktion steigt; b > 0 und a > 1

Die türkise Funktion fällt; b > 0 und a < 1

Die blaue Funktion fällt; b < 0 und a > 1

Die türkise Funktion steigt; b < 0 und a < 1

Zur Erinnerung: Die Potenzgesetze

Für das Rechnen mit Exponentialfunktionen können die Potenzgesetze sehr hilfreich sein. Wir fassen sie dir hier noch einmal zusammen!

Diese Gesetze werden durch die Beziehungen ergänzt.

Das wichtigste auf einen Blick

  • Eine Exponentialfunktion mit der Basis ist eine reelle Funktion und hat die Form: mit
  • bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x. b gibt den Vorfaktor an.
  • Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert:
  • Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form .
  • Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die ln-Funktion:
  • Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet:
  • Die Stammfunktion der Exponentialfunktion lautet:

Unser Tipp für Euch

Ich würde dir empfehlen, dir den Artikel exponentielles Wachstum gründlich durchzulesen und die Beispielaufgaben selbst zu machen. Dort findest du spezielle Anwendungsbeispiele für die oben erlernte Theorie und siehst, dass dieses Thema im Alltag auch sehr wichtig ist. Damit verinnerlichst du das erlernte Wissen!

Finales Exponentialfunktion Quiz

Frage

Wie viele Nachkommastellen hat die e-Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Die e-Funktion hat unendlich viele Nachkommastellen!

Frage anzeigen

Frage

Was stellt die Basis b und die Konstante a dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Basis b stellt die Steigung der Funktion dar und die Konstante a den Anfangswert/y-Achsenabschnitt.

Frage anzeigen

Frage

Was kannst du mithilfe der Exponentialfunktion beschreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der Exponentialfunktion lässt sich das exponentielle Wachstum oder exponentielle Verfall beschreiben.

Frage anzeigen

Frage

Welche Werte kann die Basis b annehmen und wie verändert sie sich anhand dieser?

Antwort anzeigen

Antwort

Allgemein unterscheidet man zwischen Exponentialfunktionen, deren Basis b zwischen 0 und 1 liegt und Exponentialfunktionen, deren Basis b größer als 1 ist.

Wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, fällt der Graph der Funktion. Ist die Basis jedoch größer als 1, dann steigt der Graph der Funktion!

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Frage

Welche Eigenschaften hat der Graph, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt?

Antwort anzeigen

Antwort

Sobald die Basis der Exponentialfunktion zwischen 0 und 1 liegt , fällt der Funktionsgraph der Funktion. Das heißt der Graph ist streng monoton fallend, je kleiner die Basis b ist.

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Frage

Welche Eigenschaften hat der Graph, wenn die Basis b größer 1 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Sobald die Basis b der Exponentialfunktion größer als 1 ist, steigt der Funktionsgraph. Dabei kannst du dir merken, dass umso größer a ist, die Funktion immer steiler verläuft. Das heißt der Graph steigt streng monoton.

Frage anzeigen

Frage

Besitzt die allgemeine Exponentialfunkton Nullstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen, da die x-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion darstellt.

Das heißt, die Funktion schneidet die x-Achse in keinem Punkt. Die Funktion nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt sie aber nie.

Frage anzeigen

Frage

Schneidet die allgemeine Exponentialfunktion die y-Achse?

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Exponentialfunktion schneidet die y-Achse bei dem Wert a.


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