Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe
Eine Bakterienkultur wächst in 1 Stunde um das Dreifache an. Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind, wenn die Kultur bei 5000 Bakterien gestartet ist.
Lösung
Als Erstes solltest Du die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu hast Du im Text alle nötigen Informationen gegeben.
Der Startwert \(a\) sind 5000 Bakterien. Nach einer Stunde steigt die Bakterienkultur um das Dreifache an. Das heißt, dass der Wachstumsfaktor \(b\) 3 ist. Damit kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.
\[f(x) = 5000 \cdot 3^x\]
Nun sollst Du noch berechnen, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind. Dafür setzt Du für x (Zeitvariable) die 6 ein und berechnest die Gleichung.
\[f(x) = 5000 \cdot 3^6 = 3.645.000\]
Nach 6 Stunden hat sich die Bakterienkultur auf 3.645.000 Bakterien erhöht.
Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe
Uran-\(234\) hat eine Halbwertszeit von \(245\,500\) Jahren. Stelle eine Formel auf, welche berechnet, wie viel Gramm einer Probe mit der Masse von \(1\,\text{kg}\) nach der durchschnittlichen Lebensdauer eines Menschen von circa \(80\) Jahre übrig ist.
Lösung
Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus.
\[\begin{align} a &= 1 \,\text{kg} = 1\,000 \,\text{g}\\x &= 80\end{align}\]
Der Zerfallsfaktor \(b\) ist hier nicht gegeben.
Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach \(245\,500\) Jahren halbiert hat.
Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach \(b\) auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu erhalten.
\[\begin{align}f(x) = 1\,000 \,\text{g} \cdot b^{245\,500} &= 500 \,\text{g}~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :500 \,\text{g}\\b^{245\,500} &= \frac{500 \,\text{g}}{1\,000 \,\text{g}} = \frac{1}{2}~~~~~~~| \sqrt[245\,500]{} \\b &= \sqrt[245\,500]{\frac{1}{2}} \approx 0,999\,997\end{align}\]
Damit hast Du den Zerfallsfaktor \(b\) als \(0,999\,997\) berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die heutige Menge an radioaktivem Material berechnen.
\[\begin{align} 1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^x \\1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^{80} \approx 999{,}76 \,\text{g}\end{align}\]
Nach \(80\) Jahren sind also noch \(999{,76}\,\text{g}\) dieses Stoffes übrig.
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