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Im Gegensatz zur Potenzfunktion, wo die Variable in der Basis steht, steht bei der Exponentialfunktion die Variable im Exponenten.
Unter einer Exponentialfunktion mit der Basis 
versteht man eine reelle Funktion der Form:
bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x.
Weil im Exponenten die Variable steht, heißt diese Funktion „Exponentialfunktion“.
Eine Exponentialfunktion kann auch einen Vorfaktor b haben, dieser Faktor ist eine reelle Zahl, die aber nicht 0 sein sollte. Sonst wäre das gesamte Ergebnis der Funktion schließlich 0.
Die Funktionsgleichung sieht dann folgendermaßen aus: 
Im Folgenden siehst du ein paar Beispiele, wie ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion mit Vorfaktor aussehen könnte:
, hier ist a=2 und b=-3 
, hier ist a=7 und b=1,5
, dieser Term ist nicht der einer Exponentialfunktion, da die Variable nicht im Exponenten steht. Er ist der Funktionsterm einer PotenzfunktionBesonders wichtig für die Umkehrfunktion und auch die Differenzier- und Integrierbarkeitsrechnung, ist die Euler´sche Zahl e.
Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert:
e ist eine irrationale Zahl. Du kannst diese auch als Dezimalbruch schreiben. Sie ist unendlich, aber nicht periodisch und beginnt mit 2,71828…
Die zugehörige Exponentialfunktion von e heißt e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion.
Diese Zahl ist besonders wichtig bei exponentiellem Wachstum, z.B. dem Wachstum von Bakterien, oder auch exponentiellen Abnahmevorgängen.
Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form 
. Die Zahl e steht hier in der Basis statt dem Koeffizienten.
Du kannst jede Exponentialfunktion auch in eine natürliche Exponentialfunktion, die sogenannte „e-Funktion“ oder „Euler´sche Zahl“, umwandeln. Diese natürliche Exponentialfunktion hat dann die Basis e. e ist die „Euler´sche Zahl“.
Mit dieser Beziehung kannst du auch die Ableitung bestimmen. Die natürliche Logarithmusfunktion, ln-Funktion, ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Damit gilt:
Hier siehst du: Wenn du die e-Funktion an der Winkelhalbierenden (x=y) spiegelst, erhältst du die ln-Funktion.
Die Ableitung der Exponentialfunktion 
lautet:
Die Stammfunktion bzw. das Integral F(x) der Exponentialfunktion 
lautet: 
Der Graph einer Exponentialfunktion hat gewisse Eigenschaften, die immer gelten.
Er:
und umgekehrt
falls b>0 und 
falls b<0
Die blaue Funktion steigt; b > 0 und a > 1
Die türkise Funktion fällt; b > 0 und a < 1
Die blaue Funktion fällt; b < 0 und a > 1
Die türkise Funktion steigt; b < 0 und a < 1
Für das Rechnen mit Exponentialfunktionen können die Potenzgesetze sehr hilfreich sein. Wir fassen sie dir hier noch einmal zusammen!
Diese Gesetze werden durch die Beziehungen 
ergänzt.
ist eine reelle Funktion und hat die Form: 
mit 
bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x. b gibt den Vorfaktor an.
.
Unser Tipp für Euch
Ich würde dir empfehlen, dir den Artikel exponentielles Wachstum gründlich durchzulesen und die Beispielaufgaben selbst zu machen. Dort findest du spezielle Anwendungsbeispiele für die oben erlernte Theorie und siehst, dass dieses Thema im Alltag auch sehr wichtig ist. Damit verinnerlichst du das erlernte Wissen!
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