Integration durch Substitution

Wie integriere ich durch Substitution?

Folgende Schritte solltest du befolgen, wenn du durch Substitution integrieren möchtest:

1. Bereite die Substitution vor
   1. Bestimme den zu substituierenden Term
   2. Löse den zu substituierenden Term nach x auf
   3. Leite den Term nach x ab
   4. Ersetze die Integrationsvariablen

2. Substituiere

3. Integriere

4. Substituiere zurück

Zu Schritt 1.1:

Im ersten Schritt überlegst du dir, welcher Teil der Funktion substituiert werden soll. Das Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes bzw. einfacheres berechenbares Integral zurückzuführen.

Zu Schritt 1.2:

Im zweiten Schritt berechnest du φ(u).

Wenn du dir die Substitutionsregel genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt:\[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du \rightarrow x=\varphi(u)\] Um φ(u) zu berechnen, musst du die Gleichung aus Schritt 1.1 nach x auflösen.

Zu Schritt 1.3:

Im dritten Schritt berechnest du die Ableitung von φ(u). Also ist φ′(u) gesucht.

Zu Schritt 1.4:

Wenn du dir die Substitutionsregel nun nochmal genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt: \[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du \rightarrow dx=\varphi'(u)du\] Das heißt, die Integrationsvariable x wird zu u!

Zu Schritt 2:

Substitution ist lateinisch und bedeutet „ersetzen“. Was genau ersetzt wird, schauen wir uns jetzt in einem Beispiel an:

Beispielaufgabe

Die Funktion \(F(x) = \int e^{2x}dx\) sei gegeben. Integriere durch Substitution.

1.1. Den zu substituierenden Term bestimmen.

Gesucht ist die Stammfunktion von \(e^{2x}\).

Da im Exponenten die 2x sind, und diese uns die Integration erschwert, ersetzen wir die 2x durch die Variable u.

2x = u

1.2 Gleichung aus 1.1 nach x auflösen.

\begin{align}2x&=u\\x&=\frac{1}{2}u\\\rightarrow\varphi(u)&=\frac{1}{2}u\end{align}

1.3 Gleichung aus 1.2 ableiten.

\[\varphi(u)=\frac{1}{2}\]

1.4 Integrationsvariable einsetzen.

\begin{align}dx&=\varphi'(u)du\\\rightarrow dx&=\frac{1}{2}du\end{align}

2. Substitution.

\begin{align} &F(x) = \int e^{2x}dx \text{ mit}\\&x=\frac{1}{2}u\\&dx =\frac{1}{2}du\end{align}

ergibt\[F(u) = \frac{1}{2}\int e^{u}du\]Durch die Ersetzung eines Teil des Integranden durch Integrationsvariablen konnten wir das Integral vereinfachen. Im nächsten Schritt können wir so leichter integrieren.

3. Integrieren.

\[F(u) = \frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}e^u+C\]

4. Rücksubstitution.

\begin{align} u &=2x\\ \text{in } F(u)&=\frac{1}{2}e^u + C\\\rightarrow F(x)&=\frac{1}{2}e^{2x} + C\end{align}