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Integration durch Substitution

Integration durch Substitution

Hast du im Moment das Thema Integration durch Substitution in Mathe, aber weißt nicht genau wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel erfährst du, wie die Substitutionsregel funktioniert.

Wann wird die Substitutionsregel angewendet?

Wenn du eine verkettete Funktion ableitest, benutzt du die Kettenregel. Was beim Ableiten die Kettenregel ist, nennt man beim Integrieren (Aufleiten) die Substitutionsregel. Die lautet wie folgt: \[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du\]

Am besten merkst du dir, dass die Integration durch Substitution immer dann angewendet wird, wenn beim Ableiten die Kettenregel angewendet werden würde. Dies ist bei ineinander verschachtelten (verketteten) Funktionen der Fall.

Gut zu wissen! φ = kleines Phi (griechisches Alphabet)

Wie integriere ich durch Substitution?

Folgende Schritte solltest du befolgen, wenn du durch Substitution integrieren möchtest:

  1. Bereite die Substitution vor
    1. Bestimme den zu substituierenden Term
    2. Löse den zu substituierenden Term nach x auf
    3. Leite den Term nach x ab
    4. Ersetze die Integrationsvariablen

2. Substituiere

3. Integriere

4. Substituiere zurück

Zu Schritt 1.1:

Im ersten Schritt überlegst du dir, welcher Teil der Funktion substituiert werden soll. Das Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes bzw. einfacheres berechenbares Integral zurückzuführen.

Zu Schritt 1.2:

Im zweiten Schritt berechnest du φ(u).

Wenn du dir die Substitutionsregel genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt:\[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du \rightarrow x=\varphi(u)\] Um φ(u) zu berechnen, musst du die Gleichung aus Schritt 1.1 nach x auflösen.

Zu Schritt 1.3:

Im dritten Schritt berechnest du die Ableitung von φ(u). Also ist φ′(u) gesucht.

Zu Schritt 1.4:

Wenn du dir die Substitutionsregel nun nochmal genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt: \[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du \rightarrow dx=\varphi'(u)du\] Das heißt, die Integrationsvariable x wird zu u!

Zu Schritt 2:

Substitution ist lateinisch und bedeutet „ersetzen“. Was genau ersetzt wird, schauen wir uns jetzt in einem Beispiel an:

Beispielaufgabe

Die Funktion \(F(x) = \int e^{2x}dx\) sei gegeben. Integriere durch Substitution.

1.1. Den zu substituierenden Term bestimmen.

Gesucht ist die Stammfunktion von \(e^{2x}\).

Da im Exponenten die 2x sind, und diese uns die Integration erschwert, ersetzen wir die 2x durch die Variable u.

2x = u

1.2 Gleichung aus 1.1 nach x auflösen.

\begin{align}2x&=u\\x&=\frac{1}{2}u\\\rightarrow\varphi(u)&=\frac{1}{2}u\end{align}

1.3 Gleichung aus 1.2 ableiten.

\[\varphi(u)=\frac{1}{2}\]

1.4 Integrationsvariable einsetzen.

\begin{align}dx&=\varphi'(u)du\\\rightarrow dx&=\frac{1}{2}du\end{align}

2. Substitution.

\begin{align} &F(x) = \int e^{2x}dx \text{ mit}\\&x=\frac{1}{2}u\\&dx =\frac{1}{2}du\end{align}

ergibt\[F(u) = \frac{1}{2}\int e^{u}du\]Durch die Ersetzung eines Teil des Integranden durch Integrationsvariablen konnten wir das Integral vereinfachen. Im nächsten Schritt können wir so leichter integrieren.

3. Integrieren.

\[F(u) = \frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}e^u+C\]

4. Rücksubstitution.

\begin{align} u &=2x\\ \text{in } F(u)&=\frac{1}{2}e^u + C\\\rightarrow F(x)&=\frac{1}{2}e^{2x} + C\end{align}

Integration durch Substitution - Key takeaways

  • Zusammenfassend gilt, dass du mithilfe der Substitution das Integral vereinfachen kannst und so am Ende auf ein bekanntes oder einfacher zu berechenbares Integral zurückführen kannst
  • Dabei wird ein Teil des Integranden durch Integrationsvariablen ersetzt.
  • Folgende Schritte solltest du dabei befolgen:
    • Substitution vorbereiten → Welcher Term ist zu substituieren?
    • Substitution
    • Integration
    • Rücksubstitution

Häufig gestellte Fragen zum Thema Integration durch Substitution

Die partielle Integration kann als Produktregel der Integralrechnung betrachtet werden und ist grundsätzlich leichter auszuführen. Substitution wird häufiger genutzt, wenn es keine einfache Trennung in simpel zu integrierende Faktoren existieren. Je komplexer der Term, desto häufiger lässt sich der Term mit einer geschickten Substitution vereinfachen.

Integration ist die Umkehrung der Ableitung. Dabei entspricht nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung die Ableitung des Integrals der ursprünglich integrierten Funktion.

Durch die geschickte Substitution lässt sich das Integral einfacher ausrechnen. Ohne die Substitution sind manche Integrale nicht mit klassischen Regeln lösbar.

Lineare Substitution ist ein Sonderfall der Integration durch Substitution, bei der die Integrationsvariable durch eine lineare Funktion ersetzt wird. Die Rechnung mit linearer Substitution ist besonders einfach und folgt simplen Regeln.

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