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Integration durch Substitution

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Integration durch Substitution

Hast du gerade das Thema Integration durch Substitution in Mathe, aber weißt nicht genau wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie die Substitutionsregel funktioniert. :) Das Thema kann dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Integralrechnung zugeordnet werden.

Wann wird die Substitutionsregel angewendet?

Wenn du eine verkettete Funktion ableitest, benutzt du die Kettenregel. Was beim Ableiten die Kettenregel ist, nennt man beim Integrieren (Aufleiten) die Substitutionsregel. Die lautet wie folgt:

Am besten merkst du dir, dass die Integration durch Substitution immer dann angewendet wird, wenn beim Ableiten die Kettenregel angewendet werden würde. Dies ist bei ineinander verschachtelten (verketteten) Funktionen der Fall.

Gut zu wissen! φ = kleines Phi (griechisches Alphabet)

Wie integriere ich durch Substitution?

Folgende Schritte solltest du befolgen, wenn du durch Substitution integrieren möchtest:

  1. Bereite die Substitution vor

1.1. Bestimme den zu substituierenden Term 1.2. Löse die Gleichung aus 1.1 nach x auf

1.3. Leite die Gleichung aus 1.2 ab

1.4. Ersetze die Integrationsvariablen

2. Substituiere

3. Integriere

4. Substituiere zurück

Zu Schritt 1.1:

Im ersten Schritt überlegst du dir, welcher Teil der Funktion substituiert werden soll. Das Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes bzw. einfacheres berechenbares Integral zurückzuführen.

Zu Schritt 1.2:

Im zweiten Schritt berechnest du φ(u).

Wenn du dir die Substitutionsregel genauer anschaust, kannst du erkennen das gilt:

Um φ(u) zu berechnen, musst du die Gleichung aus Schritt 1.1 nach x auflösen.

Zu Schritt 1.3:

Im dritten Schritt berechnest du die Ableitung von φ(u). Also ist φ′(u) gesucht.

Zu Schritt 1.4:

Wenn du dir die Substitutionsregel nun nochmal genauer anschaust, kannst du erkennen das gilt:

Das heißt, die Integrationsvariable x wird zu u!

Zu Schritt 2:

Substitution ist lateinisch und bedeutet “ersetzen”. Was genau ersetzt wird schauen wir uns jetzt in einem Beispiel an:

Beispielaufgabe

Die Funktion sei gegeben. Integriere durch Substitution.

1.1. Den zu substituierenden Term bestimmen.

Gesucht ist die Stammfunktion von .

Da im Exponenten die 2x sind, und diese uns die Integration erschwert, ersetzen wir die 2x durch die Variable u.

2x = u

1.2 Gleichung aus 1.1 nach x auflösen.

1.3 Gleichung aus 1.2 ableiten.

1.4 Integrationsvariable einsetzen.

2. Substitution.

mit

  • 2x = u

ergibt

Durch die Ersetzung eines Teil des Integranden durch Integrationsvariablen konnten wir das Integral vereinfachen. Im nächsten Schritt können wir so leichter integrieren.

3. Integrieren.

4. Rücksubstitution.

Integration durch Substitution - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Zusammenfassend gilt, dass du mithilfe der Substitution das Integral vereinfachen kannst und so am Ende auf ein bekanntes oder einfacher zu berechenbares Integral zurückführen kannst.
  • Dabei wird ein Teil des Integranden durch Integrationsvariablen ersetzt.
  • Folgende Schritte solltest du dabei befolgen:
  1. Substitution vorbereiten → Welcher Term ist zu substituieren?
  2. Substitution
  3. Integration
  4. Rücksubstitution.

Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du die Substitutionsregel anwenden kannst. :) Weiter so!

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