Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Produktregel

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Produktregel

Ein Produkt ist ein Term, bei dem zwei Ausdrücke miteinander multipliziert werden. Doch was hat ein Produkt nun mit der Ableitung zu tun? Und wie kannst Du dieses dann ableiten?

Antworten auf diese und noch viel mehr Fragen findest Du in dieser Erklärung.

Ableitungsregeln - Produktregel ableiten

Viele Funktionen bestehen aus dem Produkt zweier einzelner Funktionen. Doch welche Funktionen lassen sich alle mit der Produktregel ableiten?

Die Produktregel kann bei Funktionen angewandt werden, die folgende Form besitzen:

Produktregel Funktionsgleichung Produkt StudySmarter

Tipp:

Du kannst die Produktregel bei Funktionen immer dann anwenden, wenn zwei Ausdrücke, die jeweils ein "x" enthalten, miteinander multipliziert werden.

Wie lautet denn nun die Produktregel?

Die Ableitung mit Hilfe der Produktregel einer Funktion mit lautet:

Produktregel Produktregel StudySmarter

Wende jetzt die gelernte Produktregel direkt mal bei einer Funktion an.

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion mit .

Theoretisch könntest Du die Funktion auch ausmultiplizieren, um so die Produktregel zu umgehen. Zur Übung kannst Du hier aber direkt die Produktregel anwenden.

Lösung

Identifiziere zuerst die Funktionen und .

Bilde davon jeweils die Ableitung.

Nutzt Du anschließend die Formel der Produktregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.

Nun kennst Du bereits die Formel der Produktregel. Doch warum gilt die Produktregel überhaupt?

Ableiten Produktregel Beweis

Im vorherigen Abschnitt wurde die Produktregel als gegeben eingeführt, aber jetzt wird die Herleitung dieser genauer unter die Lupe genommen. Mit Hilfe der h-Methode kann die Ableitung jeglicher Funktionen durchgeführt werden.

Der Differenzialquotient einer Funktion sieht wie folgt aus.

Jetzt setzt Du die Funktion mit in den Differenzialquotienten ein.

Danach kannst Du einen kleinen Trick anwenden, um den Term weiter zu vereinfachen. Dabei fügst Du einen Term ein, der 0 ergibt und somit nicht das Ergebnis ändert.

Nun kann und ausgeklammert werden:

Jetzt wendest Du verschiedene Rechenregeln von Grenzwerte an, um die einzelnen Grenzwerte zu berechnen.

Zur Erinnerung:

Der Ausdruck , der unabhängig von h ist, kann mit Hilfe der Faktorregel von Grenzwerten aus dem Grenzwert Term herausgezogen werden.

Zur Erinnerung:

  • Produktregel:

Zweimal stehen die Differenzialquotienten der jeweiligen Funktionen und . Diese kannst Du als Ableitung hinschreiben.

Jetzt fehlt nur noch der Grenzwert des ersten Ausdrucks. Wenn h gegen 0 läuft, dann ist . Damit ergibt sich folgender Ausdruck.

Produktregel bei mehreren Funktionen

Bei einer Funktion , in der mehrere Funktionen miteinander multipliziert werden, kann ebenfalls die Produktregel angewandt werden. Doch wie kann eine solche Funktion aussehen und wie lautet ihrer Ableitung ?

Bei einer Funktion mit lautet die Ableitung :

Produktregel Produktregel mit drei Funktionen StudySmarter

Versuch, dieses Prinzip direkt mal bei einer Funktion anzuwenden.

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung von der Funktion mit .

Lösung

Identifiziere zuerst die Funktionen , und .

Bilde danach jeweils die Ableitung davon.

Als letzten Schritt kannst Du alles zusammenführen und erhältst dann folgende gesamte Ableitung .

Das Prinzip kann für beliebig viele weitere Funktionen , die miteinander multipliziert werden, weitergeführt werden.

Bei einer Funktion mit lautet die Ableitung :

Produktregel Produktregel mit n Funktionen StudySmarter

Tipp:

Um die Produktregel bei beliebig vielen Funktionen, die miteinander multipliziert werden, anzuwenden, kannst Du Dir Folgendes merken: Von jeder einzelnen Funktion muss die Ableitung gebildet und diese mit den anderen Funktionen multipliziert werden.

Produktregel ableiten - Beispiele und Aufgaben

Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen.

Wurzelfunktion ableiten Produktregel

Auch eine Wurzelfunktion kann mit einer anderen Funktion ein Produkt bilden.

Aufgabe 3

Berechne die Ableitung der Funktion mit .

Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.

Lösung

Zuerst kannst Du die Funktionen und identifizieren.

Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitung davon. Bei der Funktion wird die Kettenregel angewandt.

Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung .

e-Funktion ableiten Produktregel

Oftmals, vor allem in Anwendungsaufgaben, wird die e-Funktion mit einer weiteren Funktion multipliziert.

Aufgabe 4

Bilde die Ableitung der Funktion mit .

Lösung

Identifiziere wieder zuerst die Funktionen und .

Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.

Wendest Du nun die Formel der Produktregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung .

Brüche ableiten Produktregel

Jede Funktion , die als Bruch dargestellt ist, mit kann auch als Produkt geschrieben werden.

Somit kann auch bei umgeschriebenen Brüchen die Produktregel angewandt werden.

Aufgabe 5

Bilde die Ableitung der Funktion mit mit Hilfe der Produktregel.

Lösung

Schreibe zuerst den Bruch in ein Produkt um.

Im nächsten Schritt kannst Du die Funktionen und identifizieren.

Als Nächstes wird jeweils die Ableitung davon gebildet. Bei der e-Funktion wird die Kettenregel angewandt.

Wendest Du die Produktregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung .

Produktregel - Das Wichtigste

  • Die Produktregel wird angewandt bei .
    • Du kannst die Produktregel bei Funktionen immer dann anwenden, wenn zwei Ausdrücke, die jeweils ein "x" enthalten, miteinander multipliziert werden.
  • Die Produktregel lautet:
  • Die Produktregel kann auch angewandt werden, wenn mehr als zwei Funktionen miteinander multipliziert werden.
    • Bei einer Funktion mit lautet die Ableitung :
    • Bei einer Funktion mit lautet die Ableitung :
  • Jede Funktion , die als Bruch dargestellt ist, mit kann auch als Produkt geschrieben werden . Somit kann auch bei umgeschriebenen Brüchen die Produktregel angewandt werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Produktregel

Die Ableitung mit Hilfe der Produktregel einer Funktion  mit lautet:


Die Produktregel kann bei Funktionen  angewandt werden, die folgende Form besitzen:


Ein Produkt kann mit Hilfe der Produktregel abgeleitet werden. Die Ableitung mit Hilfe der Produktregel einer Funktion  mit  lautet:


Die Ableitung mit Hilfe der Produktregel einer Funktion  mit  lautet:


Finales Produktregel Quiz

Frage

Nenne die Produktregel, wenn die Funktion  abgeleitet werden soll.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung der Funktion  lautet:



Frage anzeigen

Frage

Gib die Form von Funktionen an, bei denen die Produktregel angewandt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Produktregel kann bei Funktionen  angewandt werden, die folgende Form besitzen:




Frage anzeigen

Frage

Identifiziere die richtigen Aussagen.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Produktregel kann auch dann angewandt werden, wenn mehr als zwei Funktionen miteinander multipliziert werden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Ableitung  der Funktion mit Hilfe der Produktregel.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung  lautet:



Frage anzeigen

Frage

Gib die Ableitung einer Funktion  mit , bei der beliebig viele Funktionen miteinander multipliziert werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung  lautet:



Frage anzeigen

Frage

Identifiziere die Funktionen, bei denen die Produktregel sinnvoll angewandt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie die Funktion mit Hilfe der Produktregel abgeleitet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion  kann folgendermaßen umgeschrieben werden.



Somit kann die Produktregel angewandt werden.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Ableitung der Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne exakt die Ableitung der Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung  lautet:



Frage anzeigen

Frage

Identifiziere die richtige Ableitung der Funktion .

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen
Mehr zum Thema Produktregel
60%

der Nutzer schaffen das Produktregel Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.