Produktregel

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Ein Produkt ist ein Term, bei dem Ausdrücke miteinander multipliziert werden. Doch was hat ein Produkt nun mit der Ableitung zu tun? Und wie kannst Du dieses dann ableiten?

Antworten auf diese und noch viel mehr Fragen findest Du in dieser Erklärung.

Ableitungsregel Produktregel – Definition und Anwendung

Einige Funktionen $f (x)$ bestehen aus dem Produkt zweier einzelner Funktionen $g (x)$ und $h (x)$ . Hast Du so eine Art Funktion vor Dir liegen, so kannst Du sie mit der Produktregel ableiten. Doch bei welchen Funktionen lässt sich allgemein die Ableitung mit der Produktregel bestimmen?

Die Produktregel kann bei Funktionen $f (x)$ angewandt werden, die folgende Form besitzen:

$f (x) = g (x) \cdot h (x)$

Sobald Du zwei Teilfunktionen $g (x)$ und $h (x)$ in einer Funktion $f (x)$ erkennen kannst, kannst Du die Produktregel anwenden. Das ist theoretisch auch bei einer Funktion $f (x) = 2 \cdot x$ möglich. Dort bieten sich aber andere Ableitungsregeln an.

Wie lautet denn nun die Produktregel?

Die Ableitung $f' (x)$ mithilfe der Produktregel einer Funktion $f (x)$ mit $f (x) = g (x) \cdot h (x)$ lautet:

$f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$

Wende jetzt die gelernte Produktregel direkt mal bei einer Funktion $f (x)$ an.

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = (2 x - 3) \cdot (5 x + 1)$ .

Theoretisch könntest Du die Funktion $f (x)$ auch ausmultiplizieren, um so die Produktregel zu umgehen. Zur Übung kannst Du hier aber direkt die Produktregel anwenden.

Lösung

Identifiziere zuerst die Funktionen $g (x)$ und $h (x)$ .

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 2 x - 3 \\ h (x) & = & 5 x + 1 \end{array}$

Bilde davon jeweils die Ableitung.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & 2 \\ h' (x) & = & 5 \end{array}$

Nutzt Du anschließend die Formel der Produktregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x) \\ = & 2 \cdot (5 x + 1) + (2 x - 3) \cdot 5 \\ = & 10 x + 2 + 10 x - 15 \\ = & 20 x - 13 \end{array}$

Ableitung Produktregel – Beweis

Nun kennst Du bereits die Formel der Produktregel. Doch warum gilt die Produktregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Produktregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.

Im vorherigen Abschnitt wurde die Produktregel als gegeben eingeführt, aber jetzt wird die Herleitung dieser genauer unter die Lupe genommen. Mithilfe der h-Methode kann die Ableitung $f' (x)$ jeglicher Funktionen $f (x)$ durchgeführt werden.

Der Differenzialquotient einer Funktion $f (x)$ sieht wie folgt aus.

$f' (\begin{array}{rcl} x_{0} \end{array}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Jetzt setzt Du die Funktion $f (x)$ eines Produkts mit $f (x) = g (x) \cdot t (x)$ in den Differenzialquotienten ein.

Da es sich hierbei um die h-Methode handelt, wird statt der Funktion

h (x)

die Funktion

t (x)

betrachtet, sodass es bei der Bezeichnung „h“ nicht zur Verwirrung führt.

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & \lim_{h \to 0} \frac{g (x_{0} + h) \cdot t (x_{0} + h) - g (x_{0}) \cdot t (x_{0})}{h} \end{array}$

Danach kannst Du einen kleinen Trick anwenden, um den Term weiter zu vereinfachen. Dabei fügst Du einen Term ein, der $0$ ergibt und somit nicht das Ergebnis ändert.

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & \lim_{h \to 0} \frac{g (x_{0} + h) \cdot t (x_{0} + h) - g (x_{0}) \cdot t (x_{0} + h) + g (x_{0}) \cdot t (x_{0} + h) - g (x_{0}) \cdot t (x_{0})}{h} \end{array}$

Nun kann $g (x_{0})$ aus dem hinteren Teil und $t (x_{0} + h)$ aus dem vorderen Teil ausgeklammert werden:

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & \lim_{h \to 0} \frac{t (x_{0} + h) \cdot [g (x_{0} + h) - g (x_{0})] + g (x_{0}) \cdot [t (x_{0} + h) - t (x_{0})]}{h} \end{array}$

Jetzt wendest Du verschiedene Rechenregeln von Grenzwerte an, um die einzelnen Grenzwerte zu berechnen.

Zur Erinnerung:

Summenregel: $\lim_{x \to 0} (g (x) + h (x)) = \lim_{x \to 0} g (x) + \lim_{x \to 0} h (x)$
f'x0=limh→0hx0+h·gx0+h-gx0h+limh→0gx0·hx0+h-hx0h=limh→0hx0+h·gx0+h-gx0h+limh→0gx0·hx0+h-hx0hProduktregel: $\lim_{x \to 0} (g (x) \cdot h (x)) = \lim_{x \to 0} g (x) \cdot \lim_{x \to 0} h (x)$

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & \lim_{h \to 0} \frac{t (x_{0} + h) \cdot [g (x_{0} + h) - g (x_{0})]}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{g (x_{0}) \cdot [t (x_{0} + h) - t (x_{0})]}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} t (x_{0} + h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g (x_{0} + h) - g (x_{0})}{h} + \lim_{h \to 0} g (x_{0}) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{t (x_{0} + h) - t (x_{0})}{h} \end{array}$

Der Ausdruck $g (x_{0})$ , der unabhängig von h ist, kann mit Hilfe der Faktorregel von Grenzwerten aus dem Grenzwert Term herausgezogen werden.

Zur Erinnerung:

Produktregel: $\lim_{x \to 0} (a \cdot g (x)) = a \cdot \lim_{x \to 0} g (x)$

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & \lim_{h \to 0} t (x_{0} + h) \cdot \underset{h \to 0}{l i m} \frac{g (x_{0} + h) - g (x_{0})}{h} + g (x_{0}) \cdot \underset{h \to 0}{l i m} \frac{t (x_{0} + h) - t (x_{0})}{h} \end{array}$

Zweimal stehen die Differenzialquotienten der jeweiligen Funktionen $g (x)$ und $t (x)$ . Diese kannst Du als Ableitung hinschreiben.

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & \lim_{h \to 0} t (x_{0} + h) \cdot g' (x_{0}) + g (x_{0}) \cdot t' (x_{0}) \end{array}$

Jetzt fehlt nur noch der Grenzwert des ersten Ausdrucks. Wenn h gegen 0 läuft, dann ist $\lim_{h \to 0} (x + h) = x$ . Damit ergibt sich folgender Ausdruck.

$\begin{array}{rcl} f' (x_{0}) & = & t (x_{0}) \cdot g' (x_{0}) + g (x_{0}) \cdot t' (x_{0}) \end{array}$

Wie kannst Du die Ableitung $f' (x)$ aus Funktionen berechnen, bei denen ein Produkt aus mehr als zwei Termen besteht?

Produktregel – Mehrere Funktionen

Bei einer Funktion $f (x)$ , in der mehrere Funktionen miteinander multipliziert werden, kann ebenfalls die Produktregel angewandt werden. Doch wie kann eine solche Funktion $f (x)$ aussehen und wie lautet ihrer Ableitung $f' (x)$ ?

Bei einer Funktion $f (x)$ mit $f (x) = g (x) \cdot h (x) \cdot t (x)$ lautet die Ableitung $f' (x)$ :

$f' (x) = g' (x) \cdot h (x) \cdot t (x) + g (x) \cdot h' (x) \cdot t (x) + g (x) \cdot h (x) \cdot t' (x)$

Versuch, dieses Prinzip direkt mal bei einer Funktion $f (x)$ anzuwenden.

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung $f' (x)$ von der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = x \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$ .

Lösung

Identifiziere zuerst die Funktionen $g (x)$ , $h (x)$ und $t (x)$ .

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x \\ h (x) & = & \sin (x) \\ t (x) & = & \cos (x) \end{array}$

Bilde danach jeweils die Ableitung davon.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & 1 \\ h' (x) & = & \cos (x) \\ t' (x) & = & - \sin (x) \end{array}$

Als letzten Schritt kannst Du alles zusammenführen und erhältst dann folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (x) \cdot h (x) \cdot t (x) + g (x) \cdot h' (x) \cdot t (x) + g (x) \cdot h (x) \cdot t' (x) \\ = & 1 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x) + x \cdot \cos (x) \cdot \cos (x) + x \cdot \sin (x) \cdot (- \sin (x)) \\ = & \sin (x) \cdot \cos (x) + x \cdot \cos^{2} (x) - x \cdot \sin^{2} (x) \\ = & \sin (x) \cdot \cos (x) + x \cdot (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) \end{array}$

Das Prinzip kann für beliebig viele weitere Funktionen, die miteinander multipliziert werden, weitergeführt werden.

Bei einer Funktion, bei der beliebig viele weitere Funktionen miteinander multipliziert werden, lautet die Regel wie folgt.

Bei einer Funktion

f (x)

mit

f (x) = g_{1} (x) \cdot g_{2} (x) \cdot . . . \cdot g_{n} (x)

lautet die Ableitung

f' (x)

$f' (x) = g_{1}' (x) \cdot g_{2} (x) \cdot . . . \cdot g_{n} (x) + g_{1} (x) \cdot g_{2}' (x) \cdot . . . \cdot g_{n} (x) + . . . + g_{1} (x) \cdot g_{2} (x) \cdot . . . \cdot g_{n}' (x)$

Tipp:

Um die Produktregel bei beliebig vielen Funktionen, die miteinander multipliziert werden, anzuwenden, kannst Du Dir Folgendes merken: Von jeder einzelnen Funktion muss die Ableitung gebildet und diese mit den anderen Funktionen multipliziert werden.

Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen.

Produktregel ableiten – Beispiele und Aufgaben

Schreibe Dir gerne die Formel für die Produktregel heraus und lege sie Dir daneben oder lerne sie direkt auswendig.

Frage Deine Lehrerin oder Deinen Lehrer, welche Formelsammlung Du benutzen darfst.

Produktregel – Wurzelfunktion ableiten

Auch eine Wurzelfunktion kann mit einer anderen Funktion ein Produkt bilden.

Aufgabe 3

Berechne die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = π x \cdot \sqrt{x}$ .

Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.

Lösung

Zuerst kannst Du die Funktionen $g (x)$ und $h (x)$ identifizieren.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & πx \\ h (x) & = & \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{array}$

Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitung davon. Bei der Funktion $h (x)$ wird die Kettenregel angewandt.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & π \\ h' (x) & = & \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$

Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x) \\ = & π \cdot x^{\frac{1}{2}} + πx \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} \\ = & π \cdot x^{\frac{1}{2}} + {πx}^{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} \\ = & π \cdot x^{\frac{1}{2}} + {πx}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} \\ = & π \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot (1 + \frac{1}{2}) \\ = & \frac{3 π}{2} \cdot \sqrt{x} \end{array}$

e-Funktion ableiten Produktregel

Hast Du ein Produkt mit einer e-Funktion gegeben? Auch diese Art Funktionen kannst Du mit der Produktregel ableiten.

Aufgabe 4

Bilde die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$ .

Lösung

Identifiziere wieder zuerst die Funktionen $g (x)$ und $h (x)$ .

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x^{2} + 3 \\ h (x) & = & e^{2 x} \end{array}$

Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & 2 x \\ h' (x) & = & 2 \cdot e^{2 x} \end{array}$

Wendest Du nun die Formel der Produktregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x) \\ = & 2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot 2 \cdot e^{2 x} \\ = & 2 e^{2 x} \cdot (x + x^{2} + 3) \end{array}$

Brüche ableiten Produktregel

Jede Funktion $f (x)$ , die als Bruch dargestellt ist, mit $f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}$ kann auch als Produkt geschrieben werden.

$f (x) = u (x) \cdot v^{- 1} (x)$

Somit kann auch bei umgeschriebenen Brüchen die Produktregel angewandt werden.

Aufgabe 5

Bilde die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ mithilfe der Produktregel.

Lösung

Schreibe zuerst den Bruch in ein Produkt um.

$f (x) = x \cdot e^{- x}$

Im nächsten Schritt kannst Du die Funktionen $g (x)$ und $h (x)$ identifizieren.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x \\ h (x) & = & e^{- x} \end{array}$

Als Nächstes wird jeweils die Ableitung davon gebildet. Bei der e-Funktion wird die Kettenregel angewandt.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & 1 \\ h' (x) & = & - e^{- x} \end{array}$

Wendest Du die Produktregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x) \\ = & 1 \cdot e^{- x} + x \cdot (- e^{- x}) \\ = & \frac{1}{e^{x}} - \frac{x}{e^{x}} \\ = & \frac{1 - x}{e^{x}} \end{array}$

In den Karteikarten zur Produktregel findest Du noch weitere Übungsaufgaben und kannst Dein Wissen anhand von Anwendungs- und Rechenaufgaben überprüfen!

Produktregel – Das Wichtigste

Die Produktregel wird angewandt bei Funktionen $f (x)$ der Form: $f (x) = g (x) \cdot h (x)$
Aus der Produktregel ergibt sich die Ableitung: $f (x) = g (x) \cdot h (x) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$
Die Produktregel kann auch angewandt werden, wenn mehr als zwei Funktionen miteinander multipliziert werden.
- Bei einer Funktion $f (x)$ mit $f (x) = g (x) \cdot h (x) \cdot t (x)$ lautet die Ableitung $f' (x)$ : $f' (x) = g' (x) \cdot h (x) \cdot t (x) + g (x) \cdot h' (x) \cdot t (x) + g (x) \cdot h (x) \cdot t' (x)$
Jede Funktion $f (x)$ , die als Bruch dargestellt ist, mit $f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}$ kann auch als Produkt geschrieben werden $f (x) = u (x) \cdot v^{- 1} (x)$ . Somit kann auch bei umgeschriebenen Brüchen die Produktregel angewandt werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Produktregel

Die Ableitung f'(x) mit Hilfe der Produktregel einer Funktion f(x) mit f(x) = g(x) · h(x) lautet:

f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x)

Die Produktregel kann bei Funktionen f(x) angewandt werden, die folgende Form besitzen:

f(x) = g(x) · h(x)

Ein Produkt kann mit Hilfe der Produktregel abgeleitet werden. Die Ableitung f'(x) mit Hilfe der Produktregel einer Funktion f(x) mit f(x) = g(x) · h(x) lautet:

f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x)

Die Ableitung f'(x) mit Hilfe der Produktregel einer Funktion f(x) mit f(x) = g(x) · h(x) lautet:

f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x)

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