4.8 • +11k Ratings
Speichern
Drucken
Bearbeiten
Ein Produkt ist ein Term, bei dem zwei Ausdrücke miteinander multipliziert werden. Doch was hat ein Produkt nun mit der Ableitung zu tun? Und wie kannst Du dieses dann ableiten?
Antworten auf diese und noch viel mehr Fragen findest Du in dieser Erklärung.
Viele Funktionen bestehen aus dem Produkt zweier einzelner Funktionen. Doch welche Funktionen lassen sich alle mit der Produktregel ableiten?
Die Produktregel kann bei Funktionen 
angewandt werden, die folgende Form besitzen:
Tipp:
Du kannst die Produktregel bei Funktionen immer dann anwenden, wenn zwei Ausdrücke, die jeweils ein "x" enthalten, miteinander multipliziert werden.
Wie lautet denn nun die Produktregel?
Die Ableitung 
mit Hilfe der Produktregel einer Funktion 
mit 
lautet:
Wende jetzt die gelernte Produktregel direkt mal bei einer Funktion 
an.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung 
der Funktion 
mit 
.
Theoretisch könntest Du die Funktion 
auch ausmultiplizieren, um so die Produktregel zu umgehen. Zur Übung kannst Du hier aber direkt die Produktregel anwenden.
Lösung
Identifiziere zuerst die Funktionen 
und 
.
Bilde davon jeweils die Ableitung.
Nutzt Du anschließend die Formel der Produktregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.
Nun kennst Du bereits die Formel der Produktregel. Doch warum gilt die Produktregel überhaupt?
Im vorherigen Abschnitt wurde die Produktregel als gegeben eingeführt, aber jetzt wird die Herleitung dieser genauer unter die Lupe genommen. Mit Hilfe der h-Methode kann die Ableitung 
jeglicher Funktionen 
durchgeführt werden.
Der Differenzialquotient einer Funktion 
sieht wie folgt aus.
Jetzt setzt Du die Funktion 
mit 
in den Differenzialquotienten ein.
Danach kannst Du einen kleinen Trick anwenden, um den Term weiter zu vereinfachen. Dabei fügst Du einen Term ein, der 0 ergibt und somit nicht das Ergebnis ändert.
Nun kann 
und 
ausgeklammert werden:
Jetzt wendest Du verschiedene Rechenregeln von Grenzwerte an, um die einzelnen Grenzwerte zu berechnen.
Zur Erinnerung:
Der Ausdruck 
, der unabhängig von h ist, kann mit Hilfe der Faktorregel von Grenzwerten aus dem Grenzwert Term herausgezogen werden.
Zur Erinnerung:
Zweimal stehen die Differenzialquotienten der jeweiligen Funktionen 
und 
. Diese kannst Du als Ableitung hinschreiben.
Jetzt fehlt nur noch der Grenzwert des ersten Ausdrucks. Wenn h gegen 0 läuft, dann ist 
. Damit ergibt sich folgender Ausdruck.
Bei einer Funktion 
, in der mehrere Funktionen miteinander multipliziert werden, kann ebenfalls die Produktregel angewandt werden. Doch wie kann eine solche Funktion 
aussehen und wie lautet ihrer Ableitung 
?
Bei einer Funktion 
mit 
lautet die Ableitung 
:
Versuch, dieses Prinzip direkt mal bei einer Funktion 
anzuwenden.
Aufgabe 2
Bilde die Ableitung 
von der Funktion 
mit 
.
Lösung
Identifiziere zuerst die Funktionen 
, 
und 
.
Bilde danach jeweils die Ableitung davon.
Als letzten Schritt kannst Du alles zusammenführen und erhältst dann folgende gesamte Ableitung 
.
Das Prinzip kann für beliebig viele weitere Funktionen , die miteinander multipliziert werden, weitergeführt werden.
Tipp:
Um die Produktregel bei beliebig vielen Funktionen, die miteinander multipliziert werden, anzuwenden, kannst Du Dir Folgendes merken: Von jeder einzelnen Funktion muss die Ableitung gebildet und diese mit den anderen Funktionen multipliziert werden.
Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen.
Auch eine Wurzelfunktion kann mit einer anderen Funktion ein Produkt bilden.
Aufgabe 3
Berechne die Ableitung 
der Funktion 
mit 
.
Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.
Lösung
Zuerst kannst Du die Funktionen 
und 
identifizieren.
Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitung davon. Bei der Funktion 
wird die Kettenregel angewandt.
Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung 
.
Oftmals, vor allem in Anwendungsaufgaben, wird die e-Funktion mit einer weiteren Funktion multipliziert.
Aufgabe 4
Bilde die Ableitung 
der Funktion 
mit 
.
Lösung
Identifiziere wieder zuerst die Funktionen 
und 
.
Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.
Wendest Du nun die Formel der Produktregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung 
.
Jede Funktion 
, die als Bruch dargestellt ist, mit 
kann auch als Produkt geschrieben werden.
Somit kann auch bei umgeschriebenen Brüchen die Produktregel angewandt werden.
Aufgabe 5
Bilde die Ableitung 
der Funktion 
mit 
mit Hilfe der Produktregel.
Lösung
Schreibe zuerst den Bruch in ein Produkt um.
Im nächsten Schritt kannst Du die Funktionen 
und 
identifizieren.
Als Nächstes wird jeweils die Ableitung davon gebildet. Bei der e-Funktion wird die Kettenregel angewandt.
Wendest Du die Produktregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung 
.
.
, die als Bruch dargestellt ist, mit 
kann auch als Produkt geschrieben werden 
. Somit kann auch bei umgeschriebenen Brüchen die Produktregel angewandt werden.Ein Produkt kann mit Hilfe der Produktregel abgeleitet werden. Die Ableitung 
mit Hilfe der Produktregel einer Funktion 
mit 
lautet:
Frage
Nenne die Produktregel, wenn die Funktion abgeleitet werden soll.
Antwort
Die Ableitung der Funktion lautet:
Frage
Gib die Form von Funktionen an, bei denen die Produktregel angewandt werden kann.
Antwort
Die Produktregel kann bei Funktionen angewandt werden, die folgende Form besitzen:
Frage
Nenne die Ableitung der Funktion
mit Hilfe der Produktregel.
Antwort
Die Ableitung lautet:
Frage
Gib die Ableitung einer Funktion
mit
, bei der beliebig viele Funktionen miteinander multipliziert werden.
Antwort
Die Ableitung lautet:
Frage
Identifiziere die Funktionen, bei denen die Produktregel sinnvoll angewandt werden kann.
Antwort
Frage
Erläutere, wie die Funktion mit Hilfe der Produktregel abgeleitet werden kann.
Antwort
Die Funktion kann folgendermaßen umgeschrieben werden.
Somit kann die Produktregel angewandt werden.
Frage
Bestimme die Ableitung der Funktion
.
Antwort
Frage
Berechne exakt die Ableitung der Funktion
.
Antwort
Die Ableitung lautet:
Frage
Identifiziere die richtige Ableitung der Funktion
.
Antwort
Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.
Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.
Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.
Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.
Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.
Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.
Kenne deine Schwächen und Stärken.
Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.
Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.
Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.
Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
mit 
lautet die Ableitung 
:
mit 
lautet die Ableitung 
: 
mit 
lautet die Ableitung 
: 
angewandt werden, die folgende Form besitzen:
