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Produktregel

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Mathe

Für verschiedene Arten von Funktionen brauchst du verschiedene Ableitungsregeln in der Mathe.

Eine Funktion kann auch durch die Multiplikation zweier Funktionen g(x) und h(x) entstehen. Eine Funktion dieser Art kannst du mithilfe der Produktregel differenzieren.

Diese Regel haben wir an verschiedenen Beispielen weiter unten verdeutlicht.

Die allgemeine Formel der Produktregel

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können auch zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie multipliziert. Wir wenden diese Regel an, wenn links und rechts vom Malzeichen ein Term mit „x“ steht.

Die Ableitungsregel für Produktfunktionen lautet:

Tipp:

Hier ist es besonders sinnvoll, wenn du g(x) und h(x) zuerst separat in einer Nebenrechnung ableitest. Der Term f'(x) ist am Ende meistens sehr lange und so kannst du Fehler vermeiden und einen guten Überblick behalten.

Die Produktregel bei mehr als zwei Termen

Wir benutzen die Produktregel auch, wenn mehr als zwei Funktionen durch ein Malzeichen miteinander verknüpft sind.

Rechenbeispiele zur Produktregel

Beispielaufgabe 1:

Die Funktion, die wir nun ableiten, lautet:

1. Schritt: Zuerst leiten wir die Funktionen g(x) und h(x) links und rechts vom Malzeichen ab:

2. Schritt: Jetzt setzen wir diese Funktionen in die Formel zur Produktregel ein und erhalten:

Der Term wurde mit Hilfe der Potenzgesetze zusammengefasst.

Hinweis: Dieser Term könnte auch schon vor dem Ableiten mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfacht werden

Beispielaufgabe 2:

Die nächste Funktion, die wir mithilfe der Produktregel differenzieren wollen, lautet:

1. Schritt: Zuerst leiten wir wieder die Funktionen g(x) und h(x) links und rechts vom Malzeichen ab:

2. Schritt: Jetzt setzen wir diese Funktionen in unsere Formel zur Produktregel ein und erhalten:

Alternative:

Du kannst auch die Produktfunktion auflösen und dann die Summenregel anwenden.

Meistens wird sich aber aufgrund der Komplexität des Funktionsterms für die Produktregel entschieden. So kannst du dein Ergebnis auch überprüfen.

Kombination von Produktregel und Kettenregel

Beispielaufgabe 4

Folgende Funktion wollen wir mithilfe der Produkt- und Kettenregel ableiten:

1. Schritt: Zuerst leiten wir die Funktionen g(x) und h(x) links und rechts vom Malzeichen ab:

→ Anwendung der Kettenregel: innere Ableitung nicht vergessen!

2. Schritt: Die vollständige Ableitung erhalten wir jetzt mithilfe der Produktregel. Wir setzen diese Funktionen in unsere Formel ein:

Produktregel - das Wichtigste auf einen Blick

Falls du zwei Funktionen miteinander multiplizierst, also auf beiden Seiten (!) des Malzeichens ein “x” vorkommt, musst du diese Regel anwenden.

Hier musst du zwei Schritte beachten:

  1. Bilde zunächst die Ableitungen der Teilfunktionen g(x) und h(x)
  2. Setze die einzelnen Teilfunktionen in die Formel ein:

Unser Tipp für Euch

Ich würde dir empfehlen zuerst g(x) und h(x) in einer Nebenrechnung abzuleiten und dann erst in die Formel einzusetzen. Außerdem macht es Sinn g(x) mit der zugehörigen Ableitung g´(x) farbig zu markieren. So behältst du einen Überblick über die Rechnung und vermeidest Flüchtigkeitsfehler, die dich Punkte kosten!

Finales Produktregel Quiz

Frage

Überprüfe die vier möglichen Antworten und entscheide welche der zur Wahl stehenden Ausdrücke die 1. Ableitung der Funktion von f(x) darstellt.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist die folgende Funktion:




Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

1) Leite die folgenden Funktionen mit der Summenregel ab.



2) Leite die folgenden Funktionen mithilfe der Produktregel ab.



Antwort anzeigen

Antwort

Lösungen zu 1



Lösungen zu 2






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Frage

Bestimme mit Hilfe der Produktregel die 1.Ableitung!


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung der Funktion f!



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung der Funktion f!



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Antwort



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Frage

Bestimme die erste Ableitung der Funktion f!



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Antwort


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Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f!



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Antwort


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Frage

Berechne die ersten beiden Ableitungen der Funktion f!





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Antwort


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Frage

Bestimme die erste Ableitung der Funktion f!


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Antwort


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Frage

Bestimme die folgenden Ableitungen!

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Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimme die erste Ableitung der Funktion von f!


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Antwort


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Frage

Löse die folgenden Aufgaben!



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f!


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist die Funktion f(x). Löse die folgenden Aufgaben: 


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f(x)!




Antwort anzeigen

Antwort


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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Produktregel?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.


Antwort anzeigen

Antwort

Für die Einzelfunktionen und ihre Ableitungen gilt:


Die Ableitung von f(x) erhält man dann nach der Produktregel durch kreuzweises Multiplizieren und Bilden der Summe:


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.


Antwort anzeigen

Antwort

Für den ersten Faktor und seine Ableitung erhält man (Kettenregel anwenden):



Für den zweiten Faktor gilt:


Die Ableitung von f(x) erhält man dann mithilfe der Produktregel:


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f'(x). Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie die Ableitungen der Einzelfunktionen u(x) und v(x) zuerst separat aufstellen.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Löse die folgenden Aufgaben:



Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die erste Ableitung der Funktion f(x)


Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

In welchen Fällen ist eine Anwendung der Produktregel möglich?

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Antwort


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