Bestimmtes Integral

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Die Integralrechnung, insbesondere das Rechnen mit bestimmten Integralen, findest Du in vielen Berufen. So müssen bei Konstruktionen beispielsweise die Flächen von bestimmten Formen berechnet oder in der Produktherstellung die Menge an Materialien für gewisse Produkte bestimmt werden.

In dieser Erklärung erfährst Du, wie Flächen und bestimmte Integrale zusammenhängen, wie Du ein bestimmtes Integral berechnen kannst, welche Regeln es für bestimmte Integrale gibt und was die partielle Integration ist. Außerdem findest Du hier für ein bestimmtes Integral Aufgaben.

Alles rund um das Thema Integrale findest Du in der Erklärung „Integralrechnung“.

Bestimmtes Integral Definition

Das bestimmte Integral \[\int_a^b{f(x)\,dx}\] beschreibt die Integration einer Funktion \(f(x)\) mit den Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\).

Das Ergebnis eines bestimmten Integrals einer reellen Funktion \(f(x)\) lässt sich im zweidimensionalen Koordinatensystem als Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) deuten.

Diese Fläche kannst Du Dir zum Beispiel so vorstellen, wie in der Abbildung \(1\). Hierbei kann die blaue Fläche über das bestimmte Integral berechnet werden.

Bestimmtes Integral Fläche StudySmarter Abb. 1 - Fläche unter der Kurve.

Aber wie kannst Du diese Fläche berechnen? Dazu benötigst Du eine Formel.

Bestimmtes Integral ausrechnen – Formel

Die Formel für die Berechnung bestimmter Integrale liefert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Bestimmte Integral lassen sich über die Formel

\[\int_a^b{f(x)\,dx}=\left[ F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)\]

lösen, indem die Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) in eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) eingesetzt werden und die Differenz berechnet wird.

Die Integrationskonstante \(C\) entfällt bei der Berechnung, da:

\[F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a)\]

Zum Ausrechnen machst Du also folgende Schritte:

Berechne eine Stammfunktion \(F(x)\).
Setze die Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) ein und berechne die Differenz \(F(b)-F(a)\).

Wie Du die Stammfunktion berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Stammfunktion bilden“.

Zum besseren Verständnis kannst Du Dir im nächsten Kapitel direkt ein Beispiel zum bestimmten Integral ansehen.

Bestimmtes Integral berechnen – Bestimmtes Integral Beispiel

Lege Dir die Formelsammlung gerne daneben, wenn Du eine benutzen darfst!

Berechne das Integral \(\int_1^2{4x\,dx}\).

Lösung

Die zu integrierende Funktion \(f(x)\) lautet \(f(x)=4x\). Hierfür berechnest Du also zunächst die Stammfunktionen \(F(x)+C\). Diese lauten in dem Fall \[F(x)=2x^2+C,\] denn es gilt:

\[F'(x)=\left[ 2x^2+C\right]'=4x=f(x)\]

Nun kannst Du die Integrationsgrenzen \(a=1\) und \(b=2\) in die Stammfunktion \(F(x)=2x^2\) einsetzen und voneinander abziehen: \begin{align}F(b)-F(a)&=2\cdot 2^2-2\cdot 1^2\\[0.1cm] &= 8-2 \\[0.1cm] &=6\end{align}

Damit hast Du das bestimmte Integral ausgerechnet und es gilt: \[\int_1^2{4x\,dx}=6\]

Die Fläche \(A\), die von den Integrationsgrenzen \(1\) und \(2\) sowie vom Funktionsgraph der Funktion \(f(x)=4x\) und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird, beträgt also \(6\,FE\) (Flächeneinheiten).

In der folgenden Abbildung kannst Du die Berechnung noch einmal nachvollziehen.

Bestimmtes Integral Beispiel StudySmarter Abb. 2 – Beispiel bestimmtes Integral.

Rechnest Du mit bestimmten Integralen, so sind einige Regeln zu beachten.

Bestimmtes Integral Regeln

Beim Rechnen mit bestimmten Integralen gibt es gewisse Regeln oder auch Eigenschaften, die Dir bei der Berechnung helfen.

Beschreibung	Regel	Beispiel
Gleiche obere und untere Integrationsgrenze	\(\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#FA3273}a}{f(x)\,dx}=0\)	\(\int_{\color{#FA3273}2}^{\color{#FA3273}2}{3x^2\,dx}=0\)
Vertauschung der Integrationsgrenzen	\(\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#8363e2}b}{f(x)\,dx}=-\int_{\color{#8363e2}b}^{\color{#FA3273}a}{f(x)\,dx}\)	\(\int_{\color{#FA3273}-1}^{\color{#8363e2}4}{6x\,dx}=-\int_{\color{#8363e2}4}^{\color{#FA3273}-1}{6x\,dx}\)
Faktorregel	\(\int_a^b {\color{#FA3273}k} \cdot {f(x)\,dx}= {\color{#FA3273}k}\cdot \int_a^b{f(x)\,dx}\)	\(\int_1^2 {\color{#FA3273}3} \cdot {e^x\,dx}= {\color{#FA3273}3} \cdot \int_1^2{e^x\,dx}\)
Summenregel	\(\int_a^b{{\color{#FA3273}f(x)}+{\color{#8363e2}g(x)}\,dx}=\int_a^b{{\color{#FA3273}f(x)}\,dx+\int_a^b{{\color{#8363e2}g(x)}\,dx}}\)	\(\int_a^b{({\color{#FA3273}3x^2}+{\color{#8363e2}7x})\,dx}=\int_a^b{{\color{#FA3273}3x^2}\,dx+\int_a^b{{\color{#8363e2}7x}\,dx}}\)
Zusammenfassen von Integrationsintervallen	\(\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#8363e2}b}{f(x)\,dx}+\int_{\color{#8363e2}b}^{\color{#00dcb4}c}{f(x)\,dx}=\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#00dcb4}c}{f(x)\,dx}\)	\(\int_{\color{#FA3273}-2}^{\color{#8363e2}1}{x^3\,dx}+\int_{\color{#8363e2}1}^{\color{#00dcb4}2}{x^3\,dx}=\int_{\color{#FA3273}-2}^{\color{#00dcb4}2}{x^3\,dx}\)

Ein weiteres Hilfsmittel bei der Integration von bestimmten Integralen kann die sogenannte partielle Integration sein. Sieh Dir dazu gerne folgende Vertiefung an!

Partielle Integration bestimmtes Integral

Beim Integrieren bestimmter Funktionen bietet sich die sogenannte „partielle Integration“ an. Das ist der Fall, wenn Du ein Produkt von Funktionen integrieren möchtest. Was für das Differenzieren, also das Ableiten, die Produktregel ist, ist beim Integrieren die partielle Integration: \[\int{f(x)\cdot g'(x)\,dx}=f(x)\cdot g(x)-\int{f'(x)\cdot g(x)\,dx}\]

Das Ziel der partiellen Integration ist es, das zu integrierende Produkt möglichst zu vereinfachen.

Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Partielle Integration“.

Bestimmtes Integral Aufgaben

Teste hier Dein Wissen über bestimmte Integrale anhand der folgenden Aufgaben!

Aufgabe 1

Berechne das Integral \(\int_1^4{3x^2+2x\,dx}\).

Lösung

Mit der Summenregel gilt: \[\int_1^4{3x^2+2x\,dx}=\int_1^4{3x^2\,dx+\int_1^4{2x\,dx}}\]

Du kannst also beide Stammfunktionen einzeln berechnen und die Integrationsgrenzen einsetzen. Dann gilt: \begin{align} \int_1^4{3x^2+2x\,dx}&=\int_1^4{3x^2\,dx+\int_1^4{2x\,dx}} \\[0.2cm] &=\left[x^3 \right]_1^4+ \left[x^2 \right]_1^4 \\[0.2cm] &= 4^3-1^3+(4^2-1^2) \\[0.2cm] &=64-1+(16-1) \\[0.2cm] &= 78\end{align}

Aufgabe 2

Bestimme den Wert des folgenden Integrals anhand des Funktionsgraphen und der beiden Integrationsgrenzen: \[\int_1^5{f(x)\,dx}\]

Ein Kästchen ist dabei \(1\) Flächeneinheit (FE).

Bestimmtes Integral Aufgabe StudySmarter Abb. 3 – Aufgabe 3.

Lösung

Da der Wert des bestimmten Integrals dem Flächeninhalt entspricht, den der Graph der Funktion \(f(x)\) in den Integrationsgrenzen mit der \(x\)-Achse einschließt, kann der Wert des Integrals als Dreiecksfläche bestimmt werden.

Alternativ kannst Du die Funktion \(f(x)\) auch über die Geradengleichung \(y=mx+t\) ermitteln und anschließend integrieren. Wie Du die Werte \(t\) und \(m\) ermittelst, erfährst Du im Artikel „Geradengleichung aufstellen“.

Dazu benötigst Du die Formel für die Fläche eines Dreiecks. Diese lautet \[A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h,\]wobei \(g\) die Länge der Grundseite und \(h\) die Höhe des Dreiecks sind.

Diese beiden Größen kannst Du am Koordinatensystem ablesen: Die Höhe beträgt \(h=4\,LE\), die Grundseite \(g=5\,LE\). Setze dies nun in die Formel ein: \begin{align}A&=\frac{1}{2}\cdot 5\,LE\cdot 4\,LE \\[0.1cm] &= 10\,FE \end{align}

Damit gilt dann für das Integral: \[\int_1^5{f(x)\,dx=10}\]

Bestimmtes Integral – Das Wichtigste

Das bestimmte Integral ist definiert über die Form \[\int_a^b{f(x)\,dx}\] mit den Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\).
Das Ergebnis eines bestimmten Integrals einer reellen Funktion beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\).
Ein bestimmtes Integral wird berechnet über die Formel: \[\int_a^b{f(x)dx}=\left[ F(x)+C\right]_a^b=F(b)-F(a)\]
Verschiedene Regeln und Integrationstechniken, wie die Summenregel, Faktorregel und die partielle Integration, helfen bei der Berechnung von bestimmten Integralen.

Nachweise

Papula (2006). Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer-Verlag.
Luderer, Würker (2008). Einstieg in die Wirtschaftsmathematik. Springer-Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bestimmtes Integral

Ein bestimmtes Integral beschreibt die Integration einer Funktion f(x) mit den Integrationsgrenzen a und b.

Das bestimmte Integral einer Funktion gibt die Fläche an, die der Graph der Funktion f(x) im Intervall [a,b] mit der x-Achse einschließt.

Es gibt sowohl bestimmte als auch unbestimmte Integrale. Zudem gibt es uneigentliche Integrale.

Die obere und untere Grenze des Integrals beschreiben das Intervall [a,b], das die Fläche begrenzt, die der Graph der Funktion mit der x-Achse einschließt.

Finales Bestimmtes Integral Quiz

Bestimmtes Integral Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Ein bestimmtes Integral ist ein unbestimmtes Integral mit konkreten Integrationsgrenzen.

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Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welches der folgenden Integrale kein bestimmtes Integral ist.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\int_a^b{f(x)dx}\]

Frage anzeigen

Frage

Fülle die Lücke im Text:

Das Ergebnis eines bestimmten Integrals einer reellen Funktion lässt sich im zweidimensionalen Koordinatensystem als ______ zwischen dem Graphen der Funktion und der \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) deuten.

Antwort anzeigen

Antwort

Fläche

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zum Ausrechnen des Integrals \[\int_a^b{f(x)\,dx}.\]

Antwort anzeigen

Antwort

Ein bestimmtes Integral kannst Du mit der Formel \[\int_a^b{f(x)\,dx}=F(b)-F(a)\] ausrechnen.

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Frage

Entscheide, welcher der erste Schritt beim Ausrechnen von bestimmten Integralen ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Stammfunktionen berechnen.

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Frage

Berechne das Integral \(\int_0^1{2x\,dx}\).

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Antwort

Berechne die Stammfunktion von \(f(x)=x\) und setze sie mit den Integrationsgrenzen in die Formel zur Berechnung bestimmter Integrale ein. Du erhältst Folgendes: \begin{align}\int_0^1{2x\,dx}&=\left[x^2\right]_0^1 \\[0.1cm] &=1^2-0^2 \\[0.1cm] &=1\end{align}

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Frage

Benenne, für was die LIATE-Regel wichtig ist.

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Antwort

Partielle Integration

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Frage

Beschreibe, wofür das „E“ in der LIATE-Regel steht.

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Antwort

Es steht für die Exponentialfunktionen wie z. B. \(e^x\) oder \(2^x\).

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Frage

Beschreibe, wann Du die partielle Integration gebrauchen kannst.

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Antwort

Die partielle Integration hilft Dir bei der Integration eines Produkts zweier Funktionen, z. B. \(\int_2^4{3x \cdot e^x\,dx}\)

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Frage

Entscheide, welche der Formeln die partielle Integration des Integrals \[\int{f(x)\cdot g'(x)\,dx}\]beschreibt.

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Antwort

\[f(x)\cdot g(x)-\int{f'(x)\cdot g(x)\,dx}\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was die Faktorregel für bestimmte Integrale aussagt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Faktorregel beschreibt, dass ein konstanter Faktor innerhalb des Integrals auch vor das Integral gezogen werden kann, da er bei der Integration nichts verändert: \[\int_a^b k \cdot {f(x)dx}= k \cdot \int_a^b{f(x)dx}\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie folgende Integrale zusammengefasst werden können:

\[\int_2^4{3x\,dx}+\int_4^7{3x\,dx}\]

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Integrale können zusammengefasst werden, indem ihre Integrationsgrenzen zusammengefasst werden, da die obere Grenze des ersten Integrals mit der unteren Grenze des zweiten Integrals übereinstimmt: \[\int_2^4{3x\,dx}+\int_4^7{3x\,dx}=\int_2^7{3x\,dx}\]

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Frage

Beschreibe, was sich am Wert eines bestimmten Integrals verändert, wenn seine untere und obere Integrationsgrenze getauscht werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Wert des Integrals wird dann negativ: \[\int_a^b{f(x)dx}=-\int_b^a{f(x)dx}\]

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Frage

Berechne das Integral \(\int_2^2{7x \cdot 2e^3x\, dx}\).

Antwort anzeigen

Antwort

Auf den ersten Blick sieht das Integral kompliziert aus, allerdings besitzt es zwei gleiche Integrationsgrenzen. Damit ist der Wert des Integrals automatisch \(0\): \[\int_2^2{7x \cdot 2e^3x\,dx}=0\]

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Ein bestimmtes Integral ist ein unbestimmtes Integral mit konkreten Integrationsgrenzen.

Wahr

Entscheide, welches der folgenden Integrale kein bestimmtes Integral ist.

\[\int_a^b{f(x)dx}\]

Fülle die Lücke im Text:

Fläche

Nenne die Formel zum Ausrechnen des Integrals \[\int_a^b{f(x)\,dx}.\]

Ein bestimmtes Integral kannst Du mit der Formel \[\int_a^b{f(x)\,dx}=F(b)-F(a)\] ausrechnen.

Entscheide, welcher der erste Schritt beim Ausrechnen von bestimmten Integralen ist.

Die Stammfunktionen berechnen.

Berechne das Integral \(\int_0^1{2x\,dx}\).

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