Unbestimmtes Integral

Nichts ist unbegrenzt. - Gunther Ross

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Oder etwa doch? In der Integralrechnung stolperst Du früher oder später über den Begriff der unbestimmten Integrale. Was genau es mit diesen unbegrenzten Integralen auf sich hat, erfährst Du in diesem Artikel.

    Integral- und Differentialrechnung – Grundlagenwissen

    Aus der Differentialrechnung ist bereits bekannt, dass Du etwa eine Funktion f(x) differenzieren (ableiten) kannst und dadurch eine Ableitungsfunktion f'(x) erhältst.

    Unbestimmtes Integral Integration und Differentiation StudySmarterAbbildung 1: Integration und Ableitung

    Etwas anders verhält es sich bei der Integration. Möchtest Du eine Funktion f(x) integrieren, so wird die Ableitung umgekehrt und das Ergebnis ist nicht eine Stammfunktion F(x), sondern unendlich viele Stammfunktionen F(x), die sich anhand einer Konstante C unterscheiden. Leitest Du sämtliche Stammfunktionen wieder ab, so erhältst Du erneut jeweils die ursprüngliche Funktion f(x). Dies lässt sich anhand eines Beispiels überprüfen.

    Die folgenden (Stamm-)Funktionen F1(x), F2(x) und F3(x) sollen abgeleitet werden.

    F1(x)=2x+3 F2(x)=2x+5 F3(x)=2x-1

    Nach der Ableitung der drei Funktionen ergibt sich:

    f(x)=F1'(x)=F2'(x)=F3'(x)=2

    Im Artikel Differentialrechnung findest Du noch einmal alle Infos rund um das Thema Ableiten.

    Obwohl drei unterschiedliche (Stamm-)Funktionen abgeleitet wurden, so erhältst Du als Ergebnis jeweils dieselbe Ableitungsfunktion f(x). Das liegt daran, dass die Konstante C bei der Ableitung wegfällt.

    Möchtest Du überprüfen, ob es sich bei einer Funktion F(x) um eine Stammfunktion einer Funktion f(x) handelt, so kannst Du Dich an Folgendem orientieren:

    Eine Funktion F(x) ist eine Stammfunktion einer Funktion f(x), wenn gilt:

    F'(x)=f(x)

    Wird die abgeleitete Funktion f(x) nun wieder integriert, so kommt das unbestimmte Integral ins Spiel.

    Unbestimmtes Integral – Erklärung und Definition

    Die Integration einer Funktion f(x) bedeutet das Ermitteln von allen Stammfunktionen F(x), die nach Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion f(x) liefern. So wie Du das bereits im Beispiel zuvor gesehen hast. Gekennzeichnet wird die Integration über ein Integralzeichen .

    Das unbestimmte Integral entspricht der Menge aller Stammfunktionen F(x), die sich durch eine Konstante C unterscheiden.

    f(x) dx =F(x)+ C

    Dabei wird f(x) der Begriff Integrand zugewiesen, also die Funktion, die integriert werden soll.

    Weshalb wird dieses Integral als unbestimmt bezeichnet? Dies liegt daran, dass beim Integralzeichen keine Integrationsgrenzen festgelegt sind. Ganz im Gegensatz zum bestimmten Integral. Das nächste Kapitel zeigt Dir kurz den Unterschied auf.

    Unterschied bestimmtes und unbestimmtes Integral

    Wenn Du Dir den Unterschied zwischen einem bestimmten Integral und einem unbestimmten ansehen möchtest, soll Dir diese Tabelle eine kleine Hilfestellung sein.

    Unbestimmtes IntegralBestimmtes Integral
    Definitionf(x) dxabf(x) dx
    Integrationsgrenzen
    • keine / unbestimmt
    • bestimmt
    • obere Integrationsgrenze b
    • untere Integrationsgrenze a
    Ergebnis der Integration
    • Menge aller Stammfunktionen
    • Konkreter Zahlenwert

    Beispiel gefällig? Na dann los.

    Abbildung 2 zeigt eine lineare Funktion f(x), die zusammen mit der x-Achse eine Dreiecksfläche A einschließt, wenn für die Grenzen gilt:

    a=-4 und b=0

    Der Flächeninhalt A der eingeschlossenen Fläche kann hier beispielsweise über Dreiecksberechnungen ermittelt werden. Ebenso ist es möglich, die Fläche durch Integration der linearen Funktion f(x) zu bestimmen, indem das bestimmte Integral berechnet wird.

    A=-40f(x) dx

    Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral Beispiel StudySmarterAbbildung 2: Bestimmtes Integral mit Integrationsgrenzen

    Als Ergebnis der Integration erhältst Du einen konkreten Zahlenwert für die Fläche A.

    Für mehr Informationen und die Berechnung bestimmter Integrale lies gerne im Artikel bestimmtes Integral nach.

    Sowohl für die Berechnung des bestimmten Integrals als auch des unbestimmten Integrals brauchst Du die Stammfunktionen der gegebenen Funktion.

    Unbestimmtes Integral bestimmen

    Wie Du bereits in der Definition des unbestimmten Integrals gesehen hast, so handelt es sich beim unbestimmten Integral um die Menge aller Stammfunktionen F(x) einer Funktion f(x). Demnach müssen für die Lösung des Integrals die Stammfunktionen ermittelt werden.

    Stammfunktion bilden – Integrationshilfsmittel

    Damit Du die Stammfunktionen einer Funktion f(x) bestimmen kannst, bedarf es einiger Hilfsmittel zur Integration. Je nach Bedarf können zur Ermittlung der Stammfunktionen folgende Mittel angewandt werden:

    Die Grund- oder Stammintegrale sind Funktionen, deren Stammfunktionen in tabellarischer Form aufgelistet sind und anhand ihrer Ableitung direkt bestimmt werden können.

    Integrationsregeln und -methoden sollen dazu dienen, die Funktion f(x) zu vereinfachen bzw. im Idealfall sogar in eine Form der Grund- oder Stammintegrale zu überführen und somit zu integrieren.

    Im Artikel Stammfunktion bilden und wichtige Stammfunktionen erfährst Du alles zur Bildung der Stammfunktionen und kannst sogar in einer Tabelle einige Grund- oder Stammintegrale nachschlagen.

    Zeit für ein Beispiel zur Lösung eines unbestimmten Integrals.

    Unbestimmtes Integral bestimmen – Einführungsbeispiel

    Wie Du bei einem unbestimmten Integral vorgehen kannst, wird Dir im Folgenden Schritt für Schritt erläutert.

    Ermittelt werden soll das folgende unbestimmte Integral der Funktion f(x)=2x+3.

    2x+3 dx

    Zunächst kannst Du das unbestimmte Integral durch die Summenregel in zwei Integrale aufteilen.

    Zur Erinnerung: Summenregel: g(x)+h(x) dx=g(x) dx +h(x) dx

    Durch die Umformung erhältst Du:

    2x+3 dx=2x dx+3 dx

    Im nächsten Schritt kannst Du noch eine weitere Umformung vornehmen, indem Du die Faktorregel anwendest und konstante Faktoren vor das Integral ziehst.

    Zur Erinnerung: Faktorregel: a·f(x) dx=a·f(x) dx

    2x dx+3 dx=2·x dx+3·1 dx

    Ein Blick in die Tabelle der Grund- oder Stammintegrale ergibt für die Integration:

    2·x dx+3·1 dx=2·x22+3·x+C

    Nicht zu vergessen ist die Konstante C. Damit erhältst Du als Ergebnis:

    2x+3 dx=x2+3x+C

    In der Abbildung 3 siehst Du die Funktion f(x) und zwei beispielhafte Stammfunktionen F1(x) für C1=2 und F2(x) für C2=-1.

    Unbestimmtes Integral Beispiel Funktion und Stammfunktionen StudySmarterAbbildung 3: Funktion und Stammfunktionen

    Für die Integration verschiedener Funktionen benötigst Du unterschiedliche Grund- oder Stammintegrale und Integrationsregeln. Im nächsten Abschnitt findest Du mehrere Beispiele zu unbestimmten Integralen.

    Unbestimmtes Integral bestimmen – Beispiele

    Damit Du die nachfolgenden Beispiele besser nachvollziehen kannst, ist hier eine kleine Tabelle mit zwei Integrationsregeln für Dich, die bei den Beispielen immer wieder benötigt werden.

    Summen- und Faktorregel
    g(x)+h(x) dx=g(x) dx +h(x) dx (Summenregel)
    a·f(x) dx=a·f(x) dx (Faktorregel)

    Eine ausführliche Tabelle mit Grund- oder Stammintegralen findest Du im Artikel wichtige Stammfunktionen. Die Regeln aus der Tabelle und weitere Integrationsregeln kannst Du ebenfalls im Artikel Integrationsregeln vertiefen.

    Unbestimmtes Integral bestimmen – Beispiel Polynomfunktion

    Polynomfunktionen kennzeichnen ganzrationale Funktionen, die mehrere Terme mit Potenzen beinhalten. Darunter fallen beispielsweise lineare oder quadratische Funktionen.

    Aufgabe 1

    Gib das unbestimmte Integral zu der folgenden Funktion f(x) an.

    f(x)=3x6+2x2+5

    Lösung

    Zunächst kannst Du das gesamte Integral in Einzelintegrale aufteilen aufgrund der Summenregel.

    3x6+2x2+5 dx=3x6 dx+2x2 dx+5 dx

    Danach wendest Du die Faktorregel an, um konstante Faktoren vor das Integral zu ziehen.

    3x6 dx+2x2 dx+5 dx=3·x6 dx+2·x2 dx+5·1 dx

    Hier kannst Du nun die Potenzregel anwenden oder in den Grund- oder Stammintegralen nachsehen.

    Zur Erinnerung: Potenzregel: xn dx=1n+1·xn+1+C

    3·x6 dx+2·x2 dx+5·1 dx=3·16+1x6+1+2·12+1x2+1+5·x+C

    Damit ergibt sich für das unbestimmte Integral der Funktion f(x):

    3x6+2x2+5 dx=37x7+23x3+5x+C

    Vergiss die Konstante C zum Schluss nicht.

    Unbestimmtes Integral bestimmen – Beispiel e-Funktion

    Natürliche Exponentialfunktionen (kurz: e-Funktion) sind Exponentialfunktionen, deren Basis die Eulersche Zahl e ist und deren Exponent eine Variable x ist.

    Aufgabe 2

    Bestimme eine Stammfunktion der folgenden Funktion f(x).

    f(x)=2·ex+e

    Lösung

    Auch in diesem Fall lässt sich das unbestimmte Integral zunächst aufgrund der Summenregel aufteilen.

    2·ex +e dx=2·ex dx+e dx

    Konstante Faktoren kannst Du mit der Faktorregel vor das Integral ziehen. Beim zweiten Term ist die Zahl e lediglich eine Konstante, weshalb sie ebenfalls vorgezogen werden kann.

    2·ex dx+e dx=2·ex dx+e·1 dx

    Jetzt kannst Du wieder in der Tabelle für Grund- oder Stammintegrale nachschlagen und erhältst:

    2·ex dx+e·1 dx=2·ex+e·x+C

    Da in der Aufgabe nur nach einer Stammfunktion gefragt wurde, kannst Du für die Konstante C einen beliebigen Wert einsetzen, zum Beispiel C=0.

    F0(x)=2·ex+e dx=2·ex+e·x

    Unbestimmtes Integral bestimmen – Beispiel Funktion mit Bruch

    Musst Du in der Schule eine Funktion integrieren, die Brüche enthält, so ist darauf zu achten, ob die Variable x im Zähler oder im Nenner steht. Je nachdem, kann die Funktion unterschiedlich integriert werden.

    Aufgabe 3

    Löse das unbestimmte Integral der Funktion f(x).

    f(x) dx=3x42dx

    Lösung

    Bei der Funktion f(x) steht die Variable x im Zähler. Demnach kann dies umgeschrieben werden zu:

    3x42dx=32·x4 dx

    Nach Anwenden der Faktorregel und der Potenzregel erhältst Du:

    32·x4 dx=32·x4 dx=32·14+1x4+1+C32·x4 dx=310x5+C

    Aufgabe 4

    Löse das unbestimmte Integral der Funktion g(x).

    g(x) dx=7x dx

    Lösung

    Die Funktion g(x) enthält die Variable x im Nenner. Auch hier wird zunächst eine Umformung vorgenommen.

    7x dx=7·1x dx

    Durch die Faktorregel wird hier ebenfalls der Faktor 7 vor das Integral gezogen.

    7·1x dx=7·1x dx

    Ein Blick in die Tabelle der Grund- oder Stammintegrale zeigt, dass die Integration der Funktion 1x die natürliche Logarithmusfunktion ergibt.

    7·1x dx=7·ln(x)+C

    Das Integrieren von gebrochenrationalen Funktionen bedarf anderer Vorgehensweisen. Dazu kannst Du alles im Artikel Integration durch Partialbruchzerlegung nachlesen.

    Unbestimmtes Integral bestimmen – Beispiel trigonometrische Funktion

    Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen), wie etwa sin(x) oder cos(x) können durch die Tabelle der Grund- oder Stammintegrale integriert werden, solange sie keine Parameter enthalten.

    Aufgabe 5

    Bestimme die Stammfunktion F1(x) der Funktion f(x) für C1=0,5 und stelle diese grafisch dar.

    f(x)=2 cos(x)

    Lösung

    Zur Berechnung der Stammfunktion F1(x) wird zunächst das unbestimmte Integral gelöst und die entsprechende Konstante C1 eingesetzt. Durch die Faktorregel kannst Du den Faktor 2 vor das Integral ziehen.

    2 cos(x) dx=2·cos(x) dx

    Aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale lässt sich entnehmen:

    2·cos(x) dx=2·sin(x)+C

    Nach Einsetzen der gegebenen additiven Konstante C1 erhältst Du:

    F1(x)=2·sin(x)+0,5

    In der folgenden Abbildung 4 siehst Du die Funktion f(x) und die Stammfunktion F1(x) eingezeichnet.

    Unbestimmtes Integral Beispiel trigonometrische Funktion StudySmarterAbbildung 4: Funktion und Stammfunktion

    Unbestimmtes Integral bestimmen – Weiterführende Beispiele

    Lassen sich Funktionen durch die Integrationsregeln und die Grund- oder Stammintegrale nicht integrieren, so müssen Integrationstechniken angewandt werden, wie beispielsweise die partielle Integration und die Substitution. Die folgende Vertiefung zeigt Dir dabei einen kleinen Einblick.

    Die folgenden zwei Beispiele sollen Dir lediglich Aufgabentypen zeigen, die durch Integrationstechniken gelöst werden können. Auf die vollständige Lösung mit Lösungsweg der Aufgaben wird an dieser Stelle verzichtet.

    Aufgabe 6

    Ermittle das unbestimmte Integral der Funktionen f(x) und k(x).

    f(x)=4x·exk(x)=3x+54

    Lösungsansatz

    Die Funktion f(x) enthält ein Produkt aus zwei Teilfunktionen. Mithilfe der partiellen Integration kann dies genutzt werden, um das Gesamtintegral in ein sogenanntes Hilfsintegral zu überführen, bei dem eine Funktion g(x) und eine Ableitungsfunktion h'(x) deklariert wird.

    Zur Erinnerung: Partielle Integration: g(x)·h'(x) dx=g(x)·h(x)-g'(x)·h(x) dx

    f(x) dx=g(x)·h'(x) dx4x·ex dx=4x·ex dx

    Jetzt könnte dieses Integral über die Formel der partiellen Integration gelöst werden. Als Lösung dieser Aufgabe ergibt sich folgende Gleichung.

    4x·ex dx=4x·ex-4ex+C

    Nun zur zweiten Funktion k(x). Die Funktion k(x) enthält eine Potenz; die Anwendung der Potenzregel ist so aber nicht möglich. Daher wird der Ausdruck innerhalb der Klammer substituiert.

    k(x) dx=(3x+5)4dx mit u=3x+5

    Nach Umformung entsteht so ein Integral, dass durch die Potenzregel gelöst werden kann. Als Endergebnis erhältst Du:

    (3x+5)4 dx=115(3x+5)5+C

    In den Artikeln Substitution und Partielle Integration kannst Du Dir die Integrationstechniken näher ansehen.

    Möchtest Du direkt noch ein paar Übungsaufgaben zu unbestimmten Integralen lösen? Dann sieh Dir gerne den nachfolgenden Abschnitt an.

    Unbestimmtes Integral – Übungsaufgaben mit Lösungen

    Als Hilfestellung kannst Du Dir eine Tabelle mit Grund- oder Stammintegralen danebenlegen, wenn Du die Aufgaben löst.

    Aufgabe 7

    Bilde das unbestimmte Integral zu 2x dx.

    Lösung

    Durch eine Umformung kann die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion umgewandelt werden.

    2x dx= 2·x12 dx

    Nun nutzt Du wieder die Faktorregel und die Potenzregel. Zum Schluss kannst Du die Funktion wieder zurück in eine Wurzelfunktion umwandeln.

    2·x12 dx=2·x12 dx=2·112+1x12+1+C=2·23x32+C=43x32+C=43x3+C

    Aufgabe 8

    Gegeben ist die Funktion f(x) = 4x2 + 5x - 2.

    a) Gib das unbestimmte Integral für diese Funktion f(x) an.

    b) Welche Stammfunktion F1(x) hat an der Stelle x=1 den Funktionswert F1(1)=2 ?

    Lösung

    a) Für die Lösung ist hier die Summenregel, Faktorregel und Potenzregel entscheidend.

    4x2+5x-2 dx=4x2 dx+5x dx-2 dx=4x2 dx+5x dx-21 dx= 413x3+512x2-2x+C=43x3+52x2-2x+C

    b) Für diese Aufgabe ist die Lösung aus a) wichtig. Du nutzt die Lösung für das unbestimmte Integral.

    F(x)=43x3 + 52x2 - 2x + C

    Nun fügst Du x=1 und F1(1)=2 in die Gleichung ein.

    F1(1)=43·13+52·12-2·1+C2=43+52-2+C2=116+C -11616=C

    Damit hast Du die entsprechende additive Konstante C ermittelt und kannst die Stammfunktion F1(x) vervollständigen.

    F1(x) =43x3 + 52x2 - 2x + 16

    Im folgenden Abschnitt findest Du noch eine kurze Zusammenfassung zum Thema unbestimmtes Integral.

    Unbestimmtes Integral – Das Wichtigste

    • Das unbestimmte Integral hat keine Integrationsgrenzen und entspricht der Menge aller Stammfunktionen einer Funktionf(x), die sich lediglich durch eine Konstante C unterscheiden.
      • f(x) dx =F(x)+C
    • Eine FunktionF(x) ist eine Stammfunktion einer Funktionf(x), wenn gilt: F'(x)=f(x).
    • Um das unbestimmte Integral zu lösen, werden die Stammfunktionen gebildet. Dies ist durch verschiedene Integrationshilfsmittel möglich:
      • Grund- oder Stammintegrale
      • Integrationsregeln
      • Integrationstechniken

    Nachweise

    1. Bronstein et al. (2020). Taschenbuch der Mathematik. Europa-Lehrmittel Verlag.
    2. Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg Verlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Unbestimmtes Integral

    Was ist ein unbestimmtes Integral? 

    Ein unbestimmtes Integral ist die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x). 

    ∫ f(x) dx = F(x) + C

    Durch Einsetzen einer Zahl für die Konstante C ergibt sich eine konkrete Stammfunktion.

    Wie sieht ein unbestimmtes Integral aus? 

    Ein unbestimmtes Integral ist an einem Graphen nicht unmittelbar ablesbar, da ein unbestimmtes Integral keine Integrationsgrenzen besitzt. 

    Ein unbestimmtes Integral bildet die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) ab. 

    Wie berechne ich das unbestimmte Integral? 

    Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x). Um das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) zu berechnen, muss die Stammfunktion gebildet und eine Konstante C addiert werden. Als Hilfsmittel dienen dazu verschiedene Integrationsregeln und -techniken sowie die Grund- oder Stammintegrale.

    Was ist der Unterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmten Integral? 

    Während ein unbestimmtes Integral keine Integrationsgrenzen besitzt, so hat das bestimmte Integral Integrationsgrenzen.

    Das bestimmte Integral liefert als Ergebnis einen konkreten Zahlenwert. Das unbestimmte Integrale ermitteln alle Stammfunktionen der Funktion.

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