Additionstheoreme

Additionstheoreme werden in der Analysis im Zusammenhang mit Sinus, Cosinus oder Tangens verwendet. Sie können Dir bei der Berechnung von Summen und Differenzen von Winkeln in der Trigonometrie behilflich sein. Welche Additionstheoreme es gibt und wie sie definiert werden, lernst Du in der folgenden Erklärung kennen.

Additionstheoreme sind in der Mathematik bestimmte Formeln, die bei Sinus, Cosinus und Tangens angewandt werden.

Je nachdem, ob es sich bei der Winkelfunktion um eine Sinus-, Cosinus- oder eine Tangensfunktion handelt, gibt es verschiedene Additionstheoreme.

Additionstheoreme Sinus

Für die Sinusfunktion gibt es mehrere Additionstheoreme, die Du im Folgenden kennenlernst.

Die Anwendung der Additionstheoreme des Sinus kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.

Aus den Additionstheoremen von Sinus, Cosinus und Tangens ergeben sich auch die Doppelwinkelfunktion. Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.

Woher stammen die Additionstheoreme eigentlich? Interessiert Dich die Herleitung der Additionstheoreme? Dann auf zum nächsten Abschnitt.

Additionstheoreme Herleitung

Bei der Herleitung der Additionstheoreme muss wieder zwischen Sinus-, Cosinus- oder Tangens unterschieden werden.

Additionstheoreme Beweis – Sinus Cosinus

Den Beweis der Additionstheoreme des Sinus und Cosinus kannst Du Dir mithilfe des Einheitskreises mit dem Radius \(r=1\) ansehen (Abbildung 1).

Abb 1. - Additionstheoreme Herleitung Sinus Cosinus

Gegeben sind die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) innerhalb des Einheitskreises. Die Strecke \(\overline{OB}\) hat die Länge 1 und die Dreiecke \(\bigtriangleup OAB\), \(\bigtriangleup ODB\), \(\bigtriangleup OCD\) und \(\bigtriangleup EDB\) sind rechtwinklig.

Additionstheorem Sinus – Summe von zwei Winkeln

Als Erstes kannst Du Dir den Beweis für \(\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)\) ansehen.

Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup OAB\) gilt für die Strecke \(\overline{AB}\):$$\text{I.} \quad \sin(\alpha+\beta)=\frac{\overline{AB}}{1}=\overline{AB}$$

Zusätzlich gilt: $$ \text{II.} \quad \overline{AB}=\overline{CD}+\overline{BE} $$

Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup ODB\) gilt:\begin{align} \text{III.} \quad \sin(\beta)=\frac{\overline{BD}}{1}=\overline{BD}\\[0.2cm]\text{IV.} \quad \cos(\beta)=\frac{\overline{OD}}{1}=\overline{OD}\\ \end{align}

Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup OCD\) gilt:$$\text{V.} \quad \sin(\alpha)=\frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}$$

\(\text{IV.}\) in \(\text{V.}\) eingesetzt:\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\overline{CD}}{\cos(\beta)} \hspace{1cm} |\cdot(\cos(\beta)\\ \\ \text{V.a} \hspace{1cm}\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)&=\overline{CD} \end{align}

Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup EDB\) gilt:$$\text{VI.} \quad \cos(\alpha)=\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}$$

\(\text{III.}\) in \(\text{VI.}\) eingesetzt:\begin{align}\cos(\alpha)&=\frac{\overline{BE}}{\sin(\beta)} \hspace{1cm} |\cdot \sin(\beta)\\ \\ \text{VI.a} \quad \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)&=\overline{BE} \end{align}

\(\text{V.a}\) und \(\text{VI.a}\) in \(\text{II.}\) eingesetzt:$$\text{II.a} \quad \overline{AB}=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)$$

\(\text{II.a}\) in \(\text{I.}\) eingesetzt:$$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)$$

Somit konntest Du das erste Theorem des Sinus herleiten und beweisen.

Additionstheorem Sinus – Differenz von zwei Winkeln

Um \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)\) zu beweisen gehst Du davon aus das \(\beta\) negativ ist:

\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\sin(\alpha)\cdot\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\cdot\cos(\alpha) \\[0.2cm] &=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha) \end{align}

Somit konntest Du die Additionstheoreme des Sinus herleiten und beweisen. Der Beweis der Additionstheoreme des Cosinus funktioniert nach demselben Prinzip.

Additionstheoreme Beweis – Tangens

Die Additionstheoreme des Tangens lassen sich mittels der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus, sowie den Eigenschaften des Tangens herleiten.

Für den Tangens gilt: $$\text{I.} \quad \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

Die relevanten Additionstheoreme des Sinus und Cosinus für die Herleitung und den Beweis der Additionstheoreme des Tangens sind:\begin{align} \text{II.} \quad \sin(\alpha\pm \beta )&=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) \\ \text{III.} \quad \cos(\alpha \pm \beta)&=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) \end{align}

Für die Herleitung kannst Du als Erstes die Gleichung \(\text{I.}\) anwenden und erhältst damit den ersten Teil des Additionstheorems des Tangens: $$\tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)} $$

Nun kannst Du Gleichung \(\text{II.}\) und \(\text{III.}\) in die eben erhaltene Gleichung einsetzen:\begin{align} \tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) }{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) } \end{align}

Teilst Du jetzt alle Elemente der Gleichung durch \(\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)\), ergibt sich:

\begin{align} \tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}&=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) }{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) } \\ \\&=\frac{\frac{\sin(\alpha)\cdot \cancel{\cos(\beta)}}{\cos(\alpha)\cdot \cancel{\cos(\beta)}} \pm \frac{\cancel{\cos(\alpha)}\cdot \sin(\beta) }{\cancel{\cos(\alpha)}\cdot \cos(\beta)}}{\frac{\cancel{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)}}{\cancel{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)}} \mp \frac{\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)} } \\ \\&=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \pm \frac{\sin(\beta) }{\cos(\beta)}}{1 \mp \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}} \\ \\&=\frac{\tan(\alpha)\pm\tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)} \end{align}Damit konntest Du die Additionstheoreme des Tangens der Summe und Differenz von zwei Winkeln herleiten.

Additionstheoreme Sinus Cosinus Tangens – Tabelle

Um einen Gesamtüberblick über die Additionstheoreme von Sinus, Cosinus und Tangens zu erhalten findest Du im Folgenden eine Tabelle zur Übersicht.

Additionstheoreme – Aufgaben

Im Folgenden findest Du eine Übungsaufgabe, mit der Du die Anwendung der Additionstheoreme üben kannst.

Noch mehr Übungsaufgaben findest Du in den Karteikarten zu den Additionstheoremen.