Summe und Differenz von Funktionen

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Dass $4 + 3 = 7$ ist, lernst Du bereits in der Grundschule. Aber nicht nur aus einfachen Zahlen können Summe und Differenz gebildet werden. Auch Funktionen können addiert und subtrahiert werden. Wie das funktioniert und worauf Du dabei achten musst, erfährst Du in diesem Artikel.

Summe und Differenz von Funktionen berechnen

In der Mathematik gibt es vier Grundrechenarten:

Addieren
Subtrahieren
Multiplizieren
Dividieren

Zahlen können durch diese vier Grundrechenarten miteinander verbunden werden. Allerdings können auch ganze Funktionen durch die Anwendung von

Plus (+)
Minus (-)
Mal (•)
Geteilt durch(:)

verknüpft werden.

Um Funktionen miteinander verknüpfen zu können, ist es erforderlich, dass sie den gleichen Definitionsbereich besitzen oder die Definitionsbereiche der einzelnen Funktionen einen Schnittbereich haben, der als Definitionsbereich der neuen, verknüpften Funktion angegeben werden kann. Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte Du in Deine Funktion einsetzen darfst.

Innerhalb der Funktionen selbst werden oft Grundrechenoperationen angewandt und eine Summe oder Differenz gebildet. So entstehen zum Beispiel ganzrationale Funktionen.

Bei der Verknüpfung von Funktionen gibt es neben der Addition und der Subtraktion auch noch weitere Möglichkeiten. Dazu zählen die beiden Grundrechenarten Multiplizieren und Dividieren, zusätzlich gibt es auch noch die Möglichkeit die Verkettung.

Rechenoperation	Prinzip	Beispiel
Summe	$h (x) = f (x) + g (x)$	$h (x) = x + 1$
Differenz	$h (x) = f (x) - g (x)$	$h (x) = x^{3} - 3 x$
Produkt	$h (x) = f (x) \cdot g (x)$	$h (x) = e^{x} \cdot x^{2}$
Quotient	$h (x) = f (x) \div g (x)$	$h (x) = e^{x} \div 2 x$
Verkettung	$h (x) = f (x) \circ g (x)$	$h (x) = \sin (2 x)$

Summe von Funktionen

Im Folgenden erfährst Du, wie sich Funktionen addieren lassen. Zur einfacheren Erklärung werden in den nachfolgenden Kapiteln $f (x)$ und $g (x)$ als Funktionen festgelegt.

Summenfunktion Erklärung

Bei der Summierung zweier Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ entsteht eine neue Funktion $p (x)$ . Diese Funktion wird Summenfunktion genannt.

Wenn zwei Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ addiert werden, nennt man die verknüpfte Funktion Summenfunktion $p (x)$ . Sie ist als die Summe ihrer Funktionsterme definiert. Die Definitionsmenge der Summenfunktion $D_{p}$ entspricht der Schnittmenge von $D_{f}$ und $D_{g}$ .

Es gilt folgende Formel:

$\begin{matrix} p (x) = f (x) + g (x) & mit & D_{p} = D_{f + g} = D_{f} \cap D_{g} \end{matrix}$

Beim Addieren von Funktionen gelten wie bei der Addition von Zahlen das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

Um Dich in das Thema zu vertiefen, schau Dir den Artikel "Rechengesetze" an.

Kommutativgesetz:

$f (x) + g (x) = g (x) + f (x)$

Das Kommutativgesetz gibt an, dass die Summanden in der Reihenfolge beliebig vertauscht werden können, ohne das Ergebnis beim Addieren zu verändern.

Assoziativgesetz:

$(f (x) + g (x)) + h (x) = f (x) + (g (x) + h (x))$

Das Assoziativgesetz gibt an, welche Funktionen Du zuerst addierst. Das Ergebnis beim Addieren ist dasselbe.

Die Bildung der Summe von Funktionen ist relevant bei:

Ableitung von Summenfunktionen
Integration von Summenfunktionen

Summenfunktion Berechnen

Die Berechnung der Summenfunktion erfolgt in 4 Schritten:

Definieren
Substituieren
Klammern entfernen
Kombinieren

Im ersten Schritt wird festgelegt, welche Funktionen addiert werden und die Stammfunktion bilden sollen. Beim Substituieren (Ersetzen) werden die Buchstaben durch die rechte Seite des Gleichzeichens der gegebenen Funktionen ersetzt. Danach können die Klammern aufgelöst werden. Hier musst Du darauf achten, ob ein Minuszeichen vor der Klammer gegeben ist (Vorzeichen drehen sich um!). Im Anschluss kannst Du zur Vereinfachung gleichartige Terme kombinieren (z. B. aus $x + x$ wird $2 x$ ).

Gegeben sind die Funktionen:

$\begin{matrix} f (x) = x + 1 & mit & D_{f} = ℝ \\ g (x) = x^{2} + x - 2 & mit & D_{g} = ℝ \end{matrix}$

Es soll die Summenfunktion $p (x)$ gebildet werden. Dazu gehst Du wie folgt vor:

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & f (x) + g (x) \end{array}$
2. Substituieren	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & (x + 1) + (x^{2} + x - 2) \end{array}$
3. Klammern entfernen	$p (x) \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} 1 \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array}$ ²+x-2
4. Kombinieren	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & x^{2} + 2 x - 1 \end{array}$

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion $p (x)$ gilt:

$D_{p} = D_{f} \cap D_{g} = ℝ \cap ℝ = ℝ$

$\cap$ heißt mathematisch geschnitten. Die Werte der Definitionsmenge $D_{p}$ sind also die Werte, die sowohl in $D_{f}$ als auch in $D_{g}$ enthalten sind. Der Definitionsbereich der neuen Summenfunktion ist der Schnittbereich der Definitionsbereiche der Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ . Da beide den gleichen Definitionsbereich $ℝ$ haben, ist der Schnittbereich beider Definitionsbereiche auch $ℝ$ .

Die Graphen der Funktionen und ihre Summenfunktion sehen wie folgt aus:

Summe und Differenz von Funktionen Summenfunktion StudySmarter Abbildung 1: Funktionen f(x) und g(x) und ihre Summenfunktion p(x)

Im Folgenden findest Du ein weiteres Beispiel zur Berechnung der Summenfunktion.

Gesucht ist die Summenfunktion $p (x)$ der folgenden Funktionen:

$f (x) = x^{2} - 2 x + 3 g (x) = x^{2} + x - 1$

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & f (x) + g (x) \end{array}$
2. Substituieren	$p (x) = (x^{2} - 2 x + 3) + (x^{2} + x - 1)$
3. Klammern entfernen	$p (x) = x^{2} - 2 x + 3 + x^{2} + x - 1$
4. Kombinieren	$p (x) = 2 x^{2} - x + 2$

Damit hast Du die Summenfunktion $p (x) = 2 x^{2} - x + 2$ gebildet.

Differenz von Funktionen

Im Folgenden erfährst Du, wie die Differenz von Funktionen gebildet wird. Das Subtrahieren von Funktionen findet nach dem gleichen Prinzip wie das Addieren statt, allerdings mit der Rechenoperation "Minus". Anwendung findet die Differenzfunktion auch für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen.

Differenzfunktion Erklärung

Beim Subtrahieren zweier Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ entsteht eine neue Funktion $p (x)$ .

Wenn Du zwei Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ voneinander subtrahierst, heißt die neu entstandene Funktion Differenzfunktion $p (x)$ . Sie ist als die Differenz ihrer Funktionsterme definiert. Die Definitionsmenge der Summenfunktion $D_{p}$ entspricht der Schnittmenge von $D_{f}$ und $D_{g}$ .

Es gilt folgende Formel:

$\begin{matrix} p (x) = f (x) - g (x) & mit & D_{p} = D_{f - g} = D_{f} \cap D_{g} \end{matrix}$

Beim Subtrahieren von Funktionen gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz nicht.

Differenzfunktion Berechnen

Die Berechnung der Differenzfunktion erfolgt nach denselben 4 Schritten wie bei der Summenfunktion:

Definieren
Substituieren
Klammern entfernen
Kombinieren

Steht das Minuszeichen vor der Klammer, so drehen sich die Vorzeichen um.

Gegeben sind die Funktionen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} f (x) = x + 1 & mit & D_{f} = ℝ \\ g (x) = x^{2} - 3 & mit & D_{g} = ℝ \end{matrix} \end{array}$

Es soll die Differenzfunktion $p (x) = f (x) - g (x)$ entstehen. Dazu gehst Du wie folgt vor:

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & f (x) - g (x) \end{array}$
2. Substituieren	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & (x + 1) - (x^{2} - 3) \end{array}$
3. Klammern entfernen	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & x + 1 - x^{2} + 3 \end{array}$
4. Kombinieren	$\begin{array}{rcl} p (x) & = & - x^{2} + x + 4 \end{array}$

Für die Definitionsmenge der Differenzfunktion $p (x)$ gilt:

$D_{p} = D_{f} \cap D_{g} = ℝ \cap ℝ = ℝ$

Der Definitionsbereich der neuen Differenzfunktion entspricht dem Schnittbereich der Definitionsbereiche der Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ . Da beide den gleichen Definitionsbereich $ℝ$ haben, ist der Schnittbereich beider Definitionsbereiche auch $ℝ$ .

Die Graphen der Funktionen und der Differenzfunktion findest Du hier. Die neue Differenzfunktion p ist in türkis dargestellt. Für jeden Punkt im Graphen kannst Du die Subtraktion durchführen, um diesen zu ermitteln.

Summe und Differenz von Funktionen Differenzfunktion Beispiele StudySmarter Abbildung 2: Funktionen f(x) und g(x) und ihre Differenzfunktion p(x)

Im Folgenden findest Du ein weiteres Beispiel zur Übung der Berechnung der Summenfunktion.

Gesucht ist die Differenzfunktion $p (x) = f (x) - g (x)$ der folgenden Funktionen:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - x - 3 \\ g (x) & = & x^{2} + 3 x - 9 \end{array}$

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$p (x) = g (x) - f (x)$
2. Substituieren	$p (x) = (- x - 3) - (x^{2} + 3 x - 9)$
3. Klammern entfernen	$p (x) = - x - 3 - x^{2} - 3 x + 9$
4. Kombinieren	$p (x) = - x^{2} - 4 x + 6$

Differenzfunktion Anwendung

Anwendung findet die Differenzfunktion zum Beispiel bei der Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen. So kann die Berechnung der Fläche vereinfacht werden und Du musst nicht immer zwei bestimmte Integrale ausrechnen. Statt die Flächen am Ende zu subtrahieren, kannst Du am Anfang die Differenz Deiner beiden Funktionen bilden.

Die Fläche zwischen zwei Graphen entspricht dem bestimmten Integral ihrer Differenzfunktion im Intervall ihrer Schnittpunkte. Die Nullstellen der Differenzfunktion sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Beachte, welche Funktion unterhalb und oberhalb liegt.

Die Integralrechnung gehört zur Analysis. Es wird zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen unterschieden. Das bestimmte Integral ist als die Fläche unter einem Graphen in einem bestimmten Intervall definiert. Das unbestimmte Integral ist die Umkehrung der Differenzialrechnung, also die Stammfunktion.

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir den Artikel "Integralrechnung" durch.

Die untere Funktion wird bei der Bildung der Differenzfunktion von der oberen abgezogen. Anschließend werden die Nullstellen der Differenzfunktion und das Integral der Stammfunktion der Differenzfunktion im Intervall ihrer Schnittpunkte berechnet.

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$f (x) = x^{2} g (x) = - x^{2} + 3$

Gesucht ist die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen. Grafisch kann das wie folgt verdeutlicht werden:

Summe und Differenz von Funktionen Differenzfunktion Beispiele StudySmarter Abbildung 3: Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x)

Die Funktion $f (x)$ liegt unterhalb der Funktion $g (x)$ , also rechnest Du bei der Bildung der Differenzfunktion $g (x) - f (x)$ . Jetzt führst Du die bereits bekannten Schritte durch:

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$p (x) = g (x) - f (x)$
2. Substituieren	$p (x) = (- x^{2} + 3) - (x^{2})$
3. Klammern entfernen	$p (x) = - x^{2} + 3 - x^{2}$
4. Kombinieren	$p (x) = - 2 x^{2} + 3$

Den Graphen der Differenzfunktion siehst Du in türkis:

Summe und Differenz von Funktionen Differenzfunktion Beispiele StudySmarter Abbildung 4: Differenzfunktion p(x) der Funktionen f(x) und g(x)

Nun berechnest Du die Nullstellen der Differenzfunktion p.

Um Dich in das Thema zu vertiefen, schau Dir gerne die Erklärung zu "Nullstellen berechnen" an!

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} p (x) = 0 \\ - 2 x^{2} + 3 = 0 \\ x_{\frac{1}{2}} = \mp \sqrt{\frac{3}{2}} \end{matrix}\} \begin{matrix} x_{1} = - 1, 225 x_{2} = 1, 225 \end{matrix} \end{array}$

Du hast nun die Schnittpunkte der beiden Funktionen ermittelt sowie das Intervall.

Als Nächstes bildest Du die Stammfunktion. Sie ist das unbestimmte Integral von $f (x)$ nach $d x$ . Die Stammfunktion wird durch Aufleiten ermittelt. Da das Aufleiten das Gegenteil zum Ableiten bildet, ist die abgeleitete Stammfunktion wieder Deine Funktion:

$F (x) = \int f (x) d x F' (x) = f (x)$

Im Artikel "Stammfunktion" erfährst Du mehr zu Begriffen wie Stammfunktion, Ableiten und unbestimmtes Integral.

Die Stammfunktion lautet dementsprechend

$P (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x$

da gilt:

$P' (x) = - 2 x^{2} + 3 = p (x)$

Die Fläche berechnest Du durch das bestimmte Integral:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Dabei ist a die linke Grenze (auch untere Grenze genannt) und entspricht dem zuvor berechneten -1,225. Die rechte (obere) Grenze ist 1,225. Jetzt musst Du nur noch einsetzen:

$A = \int_{- 1, 225}^{1, 225} p (x) = P (1, 225) - P (- 1, 225) = (- \frac{2}{3} {(1, 225)}^{3} + 3 (1, 225)) - (- \frac{2}{3} {(- 1, 225)}^{3} + 3 (- 1, 225)) = 4, 889$

Der Betrag des bestimmten Integrals ist 4,89. So hast Du die Fläche unterhalb der x-Achse gefunden.

Wenn die Flächen auch Teile unterhalb der x-Achse besitzen, musst Du diese wieder separat berechnen.

Summe und Differenz von Funktionen - Kombination

Du kannst auch mehrere Funktionen mit den Rechenoperationen $+ / -$ verknüpfen. Dies erfolgt ähnlich wie das einzelne Addieren und Subtrahieren.

Gesucht ist die neue Funktion $p (x) = f (x) + g (x) - h (x)$ der folgenden Funktionen:

$f (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1 g (x) = - x^{2} + 4 x - 6 h (x) = x + 9$

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$p (x) = f (x) + g (x) - h (x)$
2. Substituieren	$p (x) = (x^{3} + x^{2} + x + 1) + (- x^{2} + 4 x - 6) - (x + 9)$
3. Klammern entfernen	$p (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1 - x^{2} + 4 x - 6 - x - 9$
4. Kombinieren	$p (x) = x^{3} + 4 x - 14$

Somit hast Du drei Funktionen durch die Bildung der Summe und Differenz kombiniert.

Summen- und Differenzfunktion - Aufgaben und Beispiele

Im Folgenden findest Du noch einige Aufgaben zur Anwendung.

Aufgabe 1

Gesucht ist die Summenfunktion p(x) der folgenden Funktionen:

$f (x) = - x^{3} - x + 9 g (x) = x^{2} + 5 x - 6$

Lösung

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$p (x) = f (x) + g (x)$
2. Substituieren	$p (x) = (- x^{3} - x + 9) + (x^{2} + 5 x - 6)$
3. Klammern entfernen	$p (x) = - x^{3} - x + 9 + x^{2} + 5 x - 6$
4. Kombinieren	$p (x) = - x^{3} + x^{2} + 4 x + 3$

Aufgabe 2

Gesucht ist die Differenzfunktion $p (x) = (f - g) (x)$ der folgenden Funktionen:

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 2 g (x) = x^{3} - x^{2} + 4 x - 6$

Lösung

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$p (x) = f (x) - g (x)$
2. Substituieren	$p (x) = (x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 2) - (x^{3} - x^{2} + 4 x - 6)$
3. Klammern entfernen	$p (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 2 - x^{3} + x^{2} - 4 x + 6$
4. Kombinieren	$p (x) = 6 x^{2} - 7 x + 4$

Aufgabe 3

Gesucht ist die neue Funktion der folgenden Funktionen:

$f (x) = - 5 x^{3} - x^{2} + x + 8 g (x) = - x^{2} + 9 x - 3 h (x) = x + 1$

Lösung

Schritt	Rechnung
1. Definieren	$p (x) = f (x) - g (x) + h (x)$
2. Substituieren	$p (x) = (- 5 x^{3} - x^{2} + x + 8) - (- x^{2} + 9 x - 3) + (x + 1)$
3. Klammern entfernen	$p (x) = - 5 x^{3} - x^{2} + x + 8 + x^{2} - 9 x + 3 + x + 1$
4. Kombinieren	$p (x) = - 5 x^{3} - 7 x + 12$

Summe und Differenz von Funktionen - Das Wichtigste

Die Summe und Differenz von Funktionen ist Teil der Analysis.
Die Funktion, die durch das Addieren von Funktionen entsteht, heißt Summenfunktion.
Die Formel für die Summenfunktion lautet: $p (x) = f (x) + g (x)$
Die Funktion, die durch das Subtrahieren von Funktionen entsteht, heißt Differenzfunktion.
Die Formel für die Differenzfunktion lautet: $p (x) = f (x) - g (x)$
Die Summe und Differenz von Funktionen brauchst Du bei der Ableitung und dem Integral von Funktionen.
Durch die Differenzfunktion kannst Du die Fläche zwischen zwei Graphen leichter bestimmen.
Es können auch mehrere Funktionen summiert und zusätzlich subtrahiert werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Summe und Differenz von Funktionen

Wenn Du zwei Funktionen f und g subtrahierst werden die bekannten Rechenregeln angewendet. Die neue Funktion ist so definiert: p(x) = (f-g)(x)=f(x)-g(x)

Achtung, die Vorzeichen der zweiten Funktion drehen sich durch das Minus um! Außerdem ist die Reihenfolge in der subtrahiert wird wichtig.

Wenn Du zwei Funktionen f und g addierst, werden sie durch das "Plus" verknüpft und einfach die Summe aus beiden Funktionen gebildet. Die neue Funktion ist definiert als: p(x) = (f+g)(x)=f(x)+g(x)

Die Differenzfunktion braucht Du, um die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen zu können. Die ist definiert als das Integral der Differenzfunktion über ein bestimmtes Intervall.

Zwei Funktionen können durch addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und verketten miteinander verknüpft werden. Dazu werden die Grundrechenoperationen angewandt.

Finales Summe und Differenz von Funktionen Quiz

Summe und Differenz von Funktionen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Definiere Summenfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn Du zwei Funktionen f(x) und g(x) addierst, heißt die verknüpfte Funktion Summenfunktion p(x).

Frage anzeigen

Frage

Definiere Differenzfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn Du zwei Funktionen f(x) und g(x) voneinander subtrahierst, heißt die neu entstandene Funktion Differenzfunktion p(x).

Frage anzeigen

Frage

Wie heißen die Schritte bei der Bildung von Summen oder Differenzen von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Definieren
Substituieren
Klammern entfernen
Kombinieren

Frage anzeigen

Frage

Welche Gesetze gelten bei der Summe von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Distributivgesetz

Frage anzeigen

Frage

Welche Gesetze gelten bei der Subtraktion von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Distributivgesetz

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Nullstellen der Differenzfunktion zweier Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Nullstellen der Differenzfunktion sind die Schnittpunkte zweier Funktionen.

Frage anzeigen

Frage

Wird bei der Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen die untere von der oberen Funktion subtrahiert, oder andersherum?

Antwort anzeigen

Antwort

Die untere Funktion wird von der oberen subtrahiert.

Frage anzeigen

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