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Dass 4+3=7 ist, lernst Du bereits in der Grundschule. Aber nicht nur aus einfachen Zahlen können Summe und Differenz gebildet werden. Auch Funktionen können addiert und subtrahiert werden. Wie das funktioniert und worauf Du dabei achten musst, erfährst Du in diesem Artikel.In der Mathematik gibt es vier Grundrechenarten:AddierenSubtrahierenMultiplizierenDividierenZahlen können durch diese vier Grundrechenarten miteinander verbunden werden. Allerdings können auch ganze…
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Jetzt kostenlos anmeldenDass ist, lernst Du bereits in der Grundschule. Aber nicht nur aus einfachen Zahlen können Summe und Differenz gebildet werden. Auch Funktionen können addiert und subtrahiert werden. Wie das funktioniert und worauf Du dabei achten musst, erfährst Du in diesem Artikel.
In der Mathematik gibt es vier Grundrechenarten:
Zahlen können durch diese vier Grundrechenarten miteinander verbunden werden. Allerdings können auch ganze Funktionen durch die Anwendung von
verknüpft werden.
Um Funktionen miteinander verknüpfen zu können, ist es erforderlich, dass sie den gleichen Definitionsbereich besitzen oder die Definitionsbereiche der einzelnen Funktionen einen Schnittbereich haben, der als Definitionsbereich der neuen, verknüpften Funktion angegeben werden kann. Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte Du in Deine Funktion einsetzen darfst.
Innerhalb der Funktionen selbst werden oft Grundrechenoperationen angewandt und eine Summe oder Differenz gebildet. So entstehen zum Beispiel ganzrationale Funktionen.
Bei der Verknüpfung von Funktionen gibt es neben der Addition und der Subtraktion auch noch weitere Möglichkeiten. Dazu zählen die beiden Grundrechenarten Multiplizieren und Dividieren, zusätzlich gibt es auch noch die Möglichkeit die Verkettung.
Rechenoperation | Prinzip | Beispiel |
Summe | ||
Differenz | ||
Produkt | ||
Quotient | ||
Verkettung |
Im Folgenden erfährst Du, wie sich Funktionen addieren lassen. Zur einfacheren Erklärung werden in den nachfolgenden Kapiteln und als Funktionen festgelegt.
Bei der Summierung zweier Funktionen und entsteht eine neue Funktion . Diese Funktion wird Summenfunktion genannt.
Wenn zwei Funktionen und addiert werden, nennt man die verknüpfte Funktion Summenfunktion . Sie ist als die Summe ihrer Funktionsterme definiert. Die Definitionsmenge der Summenfunktion entspricht der Schnittmenge von und .
Es gilt folgende Formel:
Beim Addieren von Funktionen gelten wie bei der Addition von Zahlen das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
Um Dich in das Thema zu vertiefen, schau Dir den Artikel "Rechengesetze" an.
Das Assoziativgesetz gibt an, welche Funktionen Du zuerst addierst. Das Ergebnis beim Addieren ist dasselbe.
Die Bildung der Summe von Funktionen ist relevant bei:
Die Berechnung der Summenfunktion erfolgt in 4 Schritten:
Im ersten Schritt wird festgelegt, welche Funktionen addiert werden und die Stammfunktion bilden sollen. Beim Substituieren (Ersetzen) werden die Buchstaben durch die rechte Seite des Gleichzeichens der gegebenen Funktionen ersetzt. Danach können die Klammern aufgelöst werden. Hier musst Du darauf achten, ob ein Minuszeichen vor der Klammer gegeben ist (Vorzeichen drehen sich um!). Im Anschluss kannst Du zur Vereinfachung gleichartige Terme kombinieren (z. B. aus wird ).
Gegeben sind die Funktionen:
Es soll die Summenfunktion gebildet werden. Dazu gehst Du wie folgt vor:
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Für die Definitionsmenge der Summenfunktion gilt:
heißt mathematisch geschnitten. Die Werte der Definitionsmenge sind also die Werte, die sowohl in als auch in enthalten sind. Der Definitionsbereich der neuen Summenfunktion ist der Schnittbereich der Definitionsbereiche der Funktionen und . Da beide den gleichen Definitionsbereich haben, ist der Schnittbereich beider Definitionsbereiche auch .
Die Graphen der Funktionen und ihre Summenfunktion sehen wie folgt aus:
Abbildung 1: Funktionen f(x) und g(x) und ihre Summenfunktion p(x)
Im Folgenden findest Du ein weiteres Beispiel zur Berechnung der Summenfunktion.
Gesucht ist die Summenfunktion der folgenden Funktionen:
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Im Folgenden erfährst Du, wie die Differenz von Funktionen gebildet wird. Das Subtrahieren von Funktionen findet nach dem gleichen Prinzip wie das Addieren statt, allerdings mit der Rechenoperation "Minus". Anwendung findet die Differenzfunktion auch für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen.
Beim Subtrahieren zweier Funktionen und entsteht eine neue Funktion.
Wenn Du zwei Funktionen und voneinander subtrahierst, heißt die neu entstandene Funktion Differenzfunktion . Sie ist als die Differenz ihrer Funktionsterme definiert. Die Definitionsmenge der Summenfunktion entspricht der Schnittmenge von und .
Es gilt folgende Formel:
Beim Subtrahieren von Funktionen gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz nicht.
Die Berechnung der Differenzfunktion erfolgt nach denselben 4 Schritten wie bei der Summenfunktion:
Steht das Minuszeichen vor der Klammer, so drehen sich die Vorzeichen um.
Gegeben sind die Funktionen:
Es soll die Differenzfunktion entstehen. Dazu gehst Du wie folgt vor:
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Für die Definitionsmenge der Differenzfunktion gilt:
Der Definitionsbereich der neuen Differenzfunktion entspricht dem Schnittbereich der Definitionsbereiche der Funktionen und . Da beide den gleichen Definitionsbereich haben, ist der Schnittbereich beider Definitionsbereiche auch .
Die Graphen der Funktionen und der Differenzfunktion findest Du hier. Die neue Differenzfunktion p ist in türkis dargestellt. Für jeden Punkt im Graphen kannst Du die Subtraktion durchführen, um diesen zu ermitteln.
Abbildung 2: Funktionen f(x) und g(x) und ihre Differenzfunktion p(x)
Im Folgenden findest Du ein weiteres Beispiel zur Übung der Berechnung der Summenfunktion.
Gesucht ist die Differenzfunktion der folgenden Funktionen:
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Anwendung findet die Differenzfunktion zum Beispiel bei der Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen. So kann die Berechnung der Fläche vereinfacht werden und Du musst nicht immer zwei bestimmte Integrale ausrechnen. Statt die Flächen am Ende zu subtrahieren, kannst Du am Anfang die Differenz Deiner beiden Funktionen bilden.
Die Fläche zwischen zwei Graphen entspricht dem bestimmten Integral ihrer Differenzfunktion im Intervall ihrer Schnittpunkte. Die Nullstellen der Differenzfunktion sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Beachte, welche Funktion unterhalb und oberhalb liegt.
Die Integralrechnung gehört zur Analysis. Es wird zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen unterschieden. Das bestimmte Integral ist als die Fläche unter einem Graphen in einem bestimmten Intervall definiert. Das unbestimmte Integral ist die Umkehrung der Differenzialrechnung, also die Stammfunktion.
Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir den Artikel "Integralrechnung" durch.
Die untere Funktion wird bei der Bildung der Differenzfunktion von der oberen abgezogen. Anschließend werden die Nullstellen der Differenzfunktion und das Integral der Stammfunktion der Differenzfunktion im Intervall ihrer Schnittpunkte berechnet.
Gegeben sind die beiden Funktionen:
Gesucht ist die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen. Grafisch kann das wie folgt verdeutlicht werden:
Abbildung 3: Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x)
Die Funktion liegt unterhalb der Funktion , also rechnest Du bei der Bildung der Differenzfunktion . Jetzt führst Du die bereits bekannten Schritte durch:
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Den Graphen der Differenzfunktion siehst Du in türkis:
Abbildung 4: Differenzfunktion p(x) der Funktionen f(x) und g(x)
Nun berechnest Du die Nullstellen der Differenzfunktion p.
Um Dich in das Thema zu vertiefen, schau Dir gerne die Erklärung zu "Nullstellen berechnen" an!
Du hast nun die Schnittpunkte der beiden Funktionen ermittelt sowie das Intervall.
Als Nächstes bildest Du die Stammfunktion. Sie ist das unbestimmte Integral von nach . Die Stammfunktion wird durch Aufleiten ermittelt. Da das Aufleiten das Gegenteil zum Ableiten bildet, ist die abgeleitete Stammfunktion wieder Deine Funktion:
Im Artikel "Stammfunktion" erfährst Du mehr zu Begriffen wie Stammfunktion, Ableiten und unbestimmtes Integral.
Die Stammfunktion lautet dementsprechend
da gilt:
Die Fläche berechnest Du durch das bestimmte Integral:
Dabei ist a die linke Grenze (auch untere Grenze genannt) und entspricht dem zuvor berechneten -1,225. Die rechte (obere) Grenze ist 1,225. Jetzt musst Du nur noch einsetzen:
Der Betrag des bestimmten Integrals ist 4,89. So hast Du die Fläche unterhalb der x-Achse gefunden.
Wenn die Flächen auch Teile unterhalb der x-Achse besitzen, musst Du diese wieder separat berechnen.
Du kannst auch mehrere Funktionen mit den Rechenoperationen verknüpfen. Dies erfolgt ähnlich wie das einzelne Addieren und Subtrahieren.
Gesucht ist die neue Funktion der folgenden Funktionen:
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Somit hast Du drei Funktionen durch die Bildung der Summe und Differenz kombiniert.
Im Folgenden findest Du noch einige Aufgaben zur Anwendung.
Aufgabe 1
Gesucht ist die Summenfunktion p(x) der folgenden Funktionen:
Lösung
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Aufgabe 2
Gesucht ist die Differenzfunktion der folgenden Funktionen:
Lösung
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Aufgabe 3
Gesucht ist die neue Funktion der folgenden Funktionen:
Lösung
Schritt | Rechnung |
1. Definieren | |
2. Substituieren | |
3. Klammern entfernen | |
4. Kombinieren |
Wenn Du zwei Funktionen f und g subtrahierst werden die bekannten Rechenregeln angewendet. Die neue Funktion ist so definiert: p(x) = (f-g)(x)=f(x)-g(x)
Achtung, die Vorzeichen der zweiten Funktion drehen sich durch das Minus um! Außerdem ist die Reihenfolge in der subtrahiert wird wichtig.
Wenn Du zwei Funktionen f und g addierst, werden sie durch das "Plus" verknüpft und einfach die Summe aus beiden Funktionen gebildet. Die neue Funktion ist definiert als: p(x) = (f+g)(x)=f(x)+g(x)
Die Differenzfunktion braucht Du, um die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen zu können. Die ist definiert als das Integral der Differenzfunktion über ein bestimmtes Intervall.
Zwei Funktionen können durch addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und verketten miteinander verknüpft werden. Dazu werden die Grundrechenoperationen angewandt.
der Nutzer schaffen das Summe und Differenz von Funktionen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?
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Damit hast Du die Summenfunktion gebildet.