Stell Dir vor, Du hast als Hausaufgabe folgende Funktion \(f(x)\) gegeben:
\[f(x)=x^2+x\]
Jetzt sollst Du die Funktion spiegeln, sowohl an der x-Achse als auch an der y-Achse. Aber wie wird das gemacht?
Funktion spiegeln – Erklärung
Es gibt verschiedene Transformationen, die an einer Funktion \(f(x)\) und dem zugehörigen Graphen durchgeführt werden können. Zur Transformation einer Funktion gehören:
- Funktion strecken
- Funktion spiegeln
- Graphen verschieben
Mehr zur Streckung und Verschiebung kannst Du in den Erklärungen „Funktion strecken“ und „Graphen verschieben“ nachlesen.
Das Prinzip der Spiegelung einer Funktion ist folgendes: Die Grundzüge einer Funktion \(f(x)\) bleiben im Wesentlichen gleich, aber die Position im Koordinatensystem verändert sich. Im Gegensatz zur Verschiebung einer Funktion kann sich bei der Spiegelung auch der globale Verlauf verändern.
Dadurch verändert sich nicht nur das Schaubild der Funktion \(f(x)\), sondern auch ihr Funktionsterm.
Funktion spiegeln an Gerade
Die erste Möglichkeit, eine Funktion \(f(x)\) zu spiegeln besteht darin, diese an einer Geraden bzw. Achse zu spiegeln.
Funktion spiegeln an x-Achse
Eine Funktion \(f(x)\) wird an der x-Achse gespiegelt, indem die Funktion \(f(x)\) mit \(-1\) multipliziert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) an der x-Achse gespiegelt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:
\[g(x)=-f(x)\]
Schau Dir jetzt die direkte Auswirkung dieser Spiegelung auf eine Funktion \(f(x)\) an einem Beispiel an.
Wenn Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) an der x-Achse spiegelst, bekommst Du folgendes Schaubild der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der gespiegelten Funktion \(g(x)\).
Abb. 1 - Spiegelung einer Funktion an der x-Achse.
Du erhältst folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\), wenn Du die Spiegelung auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) anwendest.
\begin{align}g(x)&=-f(x)\\&=-(x^2+x)\\&=-x^2-x\end{align}
Neben der Spiegelung an der x-Achse gibt es noch die Spiegelung an der y-Achse.
Funktion spiegeln y-Achse
Eine Funktion \(f(x)\) wird an der y-Achse gespiegelt, indem die Variable \(x\) mit \(-1\) multipliziert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) an der y-Achse gespiegelt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:
\[g(x)=f(-x)\]
Jetzt kannst Du Dir die direkte Auswirkung einer Spiegelung an der y-Achse auf einen Graphen anschauen.
Spiegelst Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) an der y-Achse, ergibt sich folgendes Schaubild der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der gespiegelten Funktion \(g(x)\).
Abb. 2 - Spiegelung einer Funktion an der y-Achse.
Du bekommst die Funktionsgleichung \(g(x)\) durch die Anwendung der Regeln auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(-x)\\&=(-x)^2-x\\&=x^2-x\\\end{align}
Zusätzlich besteht noch die Möglichkeit eine Funktion an der \(1.\) Winkelhalbierenden zu spiegeln.
Funktion spiegeln an der Winkelhalbierenden
Das Spiegeln an der 1. Winkelhalbierenden wird für die Berechnung der Umkehrfunktion benötigt.
Wird eine Funktion \(f(x)\) an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:
\[g(x)=f^{-1}(x)\]
Schau Dir dazu noch ein kleines Beispiel an.
Wenn Du die Funktion \(f(x)=3x+14\) an der 1. Winkelhalbierenden spiegelst, erhältst Du folgendes Schaubild der alten Funktion \(f(x)\) und der neuen Funktion \(g(x)\).
Abb. 3 - Spiegelung einer Funktion an der 1. Winkelhalbierenden.
Eine Funktion \(f(x)\) an der 1. Winkelhalbierenden zu spiegeln geht nur, wenn bei der Funktion \(f(x)\) jedem y-Wert maximal ein x-Wert zugeordnet ist.
Damit ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f^{-1}(x)\\&=\frac{1}{3}x-\frac{14}{3}\end{align}
Wie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) genau gebildet wird, kannst Du der Erklärung "Umkehrfunktion" entnehmen.
Du kannst die Spiegelung einer Funktion an der x- und der y-Achse nicht nur einzeln durchführen, sondern dies auch kombinieren. Eine Spiegelung einer Funktion \(f(x)\), die gleichzeitig eine Spiegelung an der x- und der y-Achse enthält, wird auch Punktspiegelung einer Funktion genannt.
Funktion spiegeln an Punkt
Wird nun eine Funktion \(f(x)\) an der x- und y-Achse gespiegelt, auch Punktspiegelung genannt, dann wird die Funktionsgleichung \(f(x)\) und die Variable \(x\) mit \(-1\) multipliziert.
Bei der Punktspiegelung handelt es sich um die Spiegelung am Ursprung \((0|0)\).
Wird eine Punktspiegelung an einer Funktion \(f(x)\) durchgeführt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:
\[g(x)=-f(-x)\]
Um Dir das besser vorstellen zu können, betrachte die Punktspiegelung an Deinem Eingangsbeispiel.
Möchtest Du an der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) eine Punktspiegelung durchführen, erhältst Du folgendes Schaubild der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der gespiegelten Funktion \(g(x)\).
Abb. 4 - Spiegelung einer Funktion am Ursprung.
Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=-f(-x)\\&=-((-x)^2-x)\\&=-x^2+x\end{align}
Möchtest Du jetzt noch selbst ein paar Übungsaufgaben lösen? Los geht's!
Funktion spiegeln – Übungsaufgaben
Du kannst das Spiegeln einer Funktion an unterschiedlichen Funktionstypen ausprobieren. Die Formel bleibt dabei immer gleich.
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