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Funktion spiegeln

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Mathe

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zum Thema "Funktion spiegeln" wissen musst. Die Spiegelung von Funktionen ist inhaltlich der Transformation von Funktionen im Fach Mathematik zuzuordnen.


Funktion spiegeln - Erklärung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Funktion zu transformieren. Transformieren bedeutet, die ursprüngliche Funktion zu verändern. 

Eine dieser Möglichkeiten ist die Spiegelung der Funktion. Um das Prinzip zu verstehen, dem die Spiegelung einer Funktion folgt, kannst du dir vorstellen, einen kleinen Handspiegel hochkant an ein Koordinatensystem mit einer eingezeichneten Funktion anzulegen. Je nachdem, wo du den Handspiegel anlegst, verändert sich die Position der Funktion, die Form der Funktion bleibt jedoch gleich. 


Weitere Transformationsmöglichkeiten neben der Spiegelung sind die Verschiebung und das Stauchen bzw. Strecken der Funktion.


Bei der Spiegelung einer Funktion verändert sich sowohl der Graph der Funktion als auch sein Funktionsterm. Man spricht von geometrischer Transformation (Veränderung des Graphen der Funktion) und algebraischer Transformation (Veränderung des Funktionsterms der Funktion). 


Die Spiegelung einer Funktion ist prinzipiell an jeder Geraden und an jedem Punkt im Koordinatensystem möglich. Am häufigsten wird eine Funktion jedoch an der y-Achse, der x-Achse, am Ursprung und an der Winkelhalbierenden gespiegelt.

Wie sich der Funktionsgraph und der Funktionsterm durch die Spiegelung verändern, hängt davon ab, an welcher Stelle die Funktion gespiegelt wird. 

Spiegelung einer Funktion an der y-Achse

Zunächst lernst du alles zur Spiegelung einer Funktion an der y-Achse. 

Spiegelung einer Funktion an der y-Achse - Vorgehensweise

Stell dir vor, du sollst den Graphen der Funktion  an der y-Achse spiegeln. Dafür zeichnest du zunächst den Graphen der Funktion f(x) in ein Koordinatensystem ein:




Als nächstes markierst du markante Punkte der Funktion f(x). Diese benötigst du für die Spiegelung der Funktion im Anschluss. 



Im nächsten Schritt werden die einzelnen Punkte  bis  an der y-Achse gespiegelt. Schau dir zum Beispiel den Punkt  einmal genauer an. Der Punkt  liegt vier Einheiten rechts von der y-Achse. Dieser Punkt wird gespiegelt, indem du den Punkt  vier Einheiten links von der y-Achse einzeichnest. Der y-Wert bleibt konstant.

Der Punkt  hat also die Koordinaten (-4|0). Die anderen vier Punkte werden nach dem selben Prinzip gespiegelt. Zum Schluss verbindest du nur noch die Punkte, sodass der Graph der Funktion g(x) in Form einer Parabel entsteht. Und schon hast du den Graphen fertig gespiegelt!



Spiegelung einer Funktion an der y-Achse - Funktionsterm von g(x)

Um zu verstehen, wie du den Funktionsterm der gespiegelten Funktion g(x) ermitteln kannst, ist es sinnvoll, die Wertetabellen der beiden Funktionen zu vergleichen:


xf(x)
xg(x)
0,8410-0,8410
24-24
40-40
64-64
7,1610-7,1610


Wie du siehst, sind die Funktionswerte von g(x) an der Stelle -x gleich den Funktionswerten von f(x) an der Stelle x. Daraus lässt sich für den Funktionsterm g(x) schließen:


Das bedeutet in unserem Beispiel: 


Spiegelung einer Funktion an der x-Achse

Als Nächstes lernst du, wie du den Graphen einer Funktion an der x-Achse spiegeln kannst. 

Spiegelung einer Funktion an der x-Achse - Vorgehensweise

Die Vorgehensweise bei der Spiegelung einer Funktion an der x-Achse ist sehr ähnlich wie bei der Spiegelung an der y-Achse. Der einzige Unterschied liegt darin, dass hier bei der Spiegelung der einzelnen Punkte der x-Wert konstant bleibt und sich nur der y-Wert verändert. 


Zunächst zeichnest du wieder die Funktion f(x) in ein Koordinatensystem ein und markierst einige markante Punkte:


Als Nächstes werden die Punkte  bis  an der x-Achse gespiegelt. Der Punkt  liegt in diesem Fall schon auf der x-Achse und muss deshalb nicht gespiegelt werden.  liegt vier Einheiten über der x-Achse. Der gespiegelte Punkt  liegt deshalb bei (2|-4). Trägst du alle gespiegelten Punkte bis in das Koordinatensystem ein und verbindest sie zu einer Parabel, ergibt sich der Graph der Funktion g(x):

Spiegelung einer Funktion an der x-Achse - Funktionsterm von g(x)

Auch hier bietet es sich an, die Wertetabellen von den Funktionen f(x) und g(x) miteinander zu vergleichen, um zu verstehen, wie man den Funktionsterm der Funktion g(x) ermittelt:



xf(x)
xg(x)
0,84100,84-10
242-4
4040
646-4
7,16107,16-10


Wie du siehst, sind die Funktionswerte von f(x) an der Stelle x gleich den Funktionswerten von -g(x) an der Stelle x. Daraus lässt sich für den Funktionsterm der Funktion g(x) schließen: g(x) = -f(x)


Das bedeutet in unserem Beispiel: g(x) = - (x-4)2

Spiegelung einer Funktion am Ursprung

Du kannst den Graphen einer Funktion auch am Ursprung des Koordinatensystems, also am Punkt P (0|0) spiegeln. 

Dafür wird der Graph der Funktion f(x) zuerst an der x-Achse und dann an der y-Achse gespiegelt. 

Spiegelung einer Funktion am Ursprung - Vorgehensweise

Um den Graphen der Funktion f(x) am Ursprung zu spiegeln, zeichnest du zuerst die Funktion f(x) in ein Koordinatensystem und markierst einige markante Punkte. Diese Punkte werden zunächst an der x-Achse gespiegelt. Die an der x-Achse gespiegelten Punkte werden anschließend an der y-Achse gespiegelt. Die Punkte P'''1 bis P'''5 werden abschließend zu einem Graphen der Funktion g(x) verbunden. 


Für die Funktion f(x) = (x-4)2 sieht die Spiegelung folgendermaßen aus:


Spiegelung einer Funktion am Ursprung - Funktionsterm von g(x)

Auch bei der Spiegelung einer Funktion am Koordinatenursprung bietet es sich an, die Wertetabellen der Funktionen f(x) und g(x) miteinander zu vergleichen, um zu verstehen, wie man den Funktionsterm der Funktion g(x) ermittelt:


xf(x)
xg(x)
0,8410-0,84-10
24-2-4
40-40
64-6-4
7,1610-7,16-10

Wie du siehst, sind die Funktionswerte der Funktion f(x) an der Stelle x gleich den Funktionswerten der Funktion -g(x) an der Stelle -x. Daraus lässt sich für den Funktionsterm der Funktion g(x) schließen: g(x) = -f(-x)


Das bedeutet in unserem Beispiel für den Funktionsterm von g(x): g(x) = -(-x-4)2 = -(x+4)2

Spiegelung einer Funktion an der ersten Winkelhalbierenden

Abschließend lernst du in diesem Abschnitt, wie eine Funktion an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten gespiegelt wird. Diese Winkelhalbierende wird auch erste Winkelhalbierende genannt.

Die erste Winkelhalbierende, ist die Gerade, die den ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems genau in der Mitte teilt. Sie hat den Funktionsterm h(x) = x und sieht folgendermaßen aus:


Nur eine eineindeutige Funktion kann an der Winkelhalbierenden gespiegelt werden. Das liegt daran, dass die an der Winkelhalbierenden gespiegelte Funktion g(x) die Umkehrfunktion der Funktion f(x) ist. 

Eine Funktion ist eineindeutig, wenn jedem Funktionswert y nur ein x-Wert zugeordnet werden kann.

Eine quadratische Funktion ist nicht eineindeutig. Das kannst du zum Beispiel an der Normalparabel mit dem Funktionsterm f(x) = x2 erkennen: Der Funktionswert y=4 kann zwei unterschiedlichen x-Werten, nämlich x=2 und x=-2, zugeordnet werden. Eine quadratische Funktion kannst du deshalb nicht an der ersten Winkelhalbierenden spiegeln.

Um die Umkehrfunktion f-1(x) einer Funktion zu ermitteln, tauschst du die Variablen x und y im Funktionsterm und löst den Funktionsterm anschließend nach y auf.


Spiegelung einer Funktion an der ersten Winkelhalbierenden - Beispiel

Stell dir vor, du möchtest du Funktion f(x) = 0.5x -2 an der ersten Winkelhalbierenden spiegeln.

Zunächst ermittelst du den Funktionsterm für die Umkehrfunktion f-1(x):


vor Variablentausch:y = 0,5x -2 nach Variablentausch:x = 0,5y -2x+2 = 0,5y2x+4 =y


Der Funktionsterm für die Umkehrfunktion lautet: f-1(x) = 2x+4


Anschließend kannst du einfach die beiden Funktionen f(x) und g(x) und die Winkelhalbierende h(x) in ein Koordinatensystem einzeichnen:


Es gilt also für den Funktionsterm g(x): g(x) = f-1(x)

Funktion spiegeln - alles Wichtige auf einen Blick!

In diesem Artikel hast du eine Menge zum Thema "Funktion spiegeln" gelernt. Hier findest du eine Zusammenfassung der Punkte, die du dir unbedingt merken solltest:


  • Die Spiegelung einer Funktion ist eine von drei Möglichkeiten eine Funktion zu transformieren. Weitere Möglichkeiten sind das Verschieben und Stauchen bzw. Strecken der Funktion
  • Am häufigsten wird eine Funktion an der y-Achse, der x-Achse, dem Ursprung oder der Winkelhalbierenden gespiegelt.
  • Bei der Spiegelung an der y-Achse gilt für den Funktionsterm g(x): g(x) = f(-x)
  • Bei der Spiegelung an der x-Achse gilt für den Funktionsterm g(x): g(x) = -f(x)
  • Bei der Spiegelung am Ursprung gilt für den Funktionsterm g(x): g(x) = -f(-x)
  • Bei der Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden gilt für den Funktionsterm g(x): g(x) = f-1(x)



julia.ross@studysmarter.de

FAQ

1. Wann ist eine Funktion gespiegelt?

Das Spiegeln von Funktionen ist eine Möglichkeit eine Funktion zu transformieren. Eine Funktion kann an einem Punkt oder einer Geraden gespiegelt werden. Durch das Spiegeln der Funktion verändert sich sowohl der Funktionsgraph als auch der Funktionsterm. 


2. Wie spiegelt man an der Winkelhalbierenden?

Man kann eine Funktion an der Winkelhalbierenden spiegeln, indem man die Umkehrfunktion der Ausgangsfunktion zeichnet. Dabei muss beachtet werden, dass nur eineindeutige Funktionen an der Winkelhalbierenden gespiegelt werden können. 


3. Was heißt am Ursprung spiegeln?

Eine Funktion am Ursprung zu spiegeln bedeutet, sie am Punkt (0|0) zu spiegeln. Dafür wird die Funktion zuerst an der x-Achse und danach an der y-Achse gespiegelt. Für den Funktionsterm der gespiegelten Funktion g(x) gilt: g(x) = -f(-x)


4. Wie spiegelt man an einer Geraden?

Man kann eine Funktion an jeder Geraden spiegeln. Am häufigsten kommt es vor, dass man eine Funktion an den Geraden spiegelt, die durch die x-Achse, die y-Achse und die Winkelhalbierende verlaufen. 

Um eine Funktion an einer Geraden zu spiegeln, spiegelt man zunächst einzelne Punkte der Funktion an der Geraden und verbindet diese im Anschluss. 

11:34 26.08.2021

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