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Funktion spiegeln

Funktion spiegeln

Stell Dir vor, Du hast als Hausaufgabe folgende Funktion \(f(x)\) gegeben:

\[f(x)=x^2+x\]

Jetzt sollst Du die Funktion spiegeln, sowohl an der x-Achse als auch an der y-Achse. Aber wie wird das gemacht?

Funktion spiegeln – Erklärung

Es gibt verschiedene Transformationen, die an einer Funktion \(f(x)\) und dem zugehörigen Graphen durchgeführt werden können. Zur Transformation einer Funktion gehören:

  • Funktion strecken
  • Funktion spiegeln
  • Graphen verschieben

Mehr zur Streckung und Verschiebung kannst Du in den Erklärungen „Funktion strecken“ und „Graphen verschieben“ nachlesen.

Das Prinzip der Spiegelung einer Funktion ist folgendes: Die Grundzüge einer Funktion \(f(x)\) bleiben im Wesentlichen gleich, aber die Position im Koordinatensystem verändert sich. Im Gegensatz zur Verschiebung einer Funktion kann sich bei der Spiegelung auch der globale Verlauf verändern.

Dadurch verändert sich nicht nur das Schaubild der Funktion \(f(x)\), sondern auch ihr Funktionsterm.

Funktion spiegeln an Gerade

Die erste Möglichkeit, eine Funktion \(f(x)\) zu spiegeln besteht darin, diese an einer Geraden bzw. Achse zu spiegeln.

Funktion spiegeln an x-Achse

Eine Funktion \(f(x)\) wird an der x-Achse gespiegelt, indem die Funktion \(f(x)\) mit \(-1\) multipliziert wird.

Wird eine Funktion \(f(x)\) an der x-Achse gespiegelt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:

\[g(x)=-f(x)\]

Schau Dir jetzt die direkte Auswirkung dieser Spiegelung auf eine Funktion \(f(x)\) an einem Beispiel an.

Wenn Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) an der x-Achse spiegelst, bekommst Du folgendes Schaubild der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der gespiegelten Funktion \(g(x)\).

Funktion spiegeln x-Achse StudySmarterAbb. 1 - Spiegelung einer Funktion an der x-Achse.

Du erhältst folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\), wenn Du die Spiegelung auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) anwendest.

\begin{align}g(x)&=-f(x)\\&=-(x^2+x)\\&=-x^2-x\end{align}

Neben der Spiegelung an der x-Achse gibt es noch die Spiegelung an der y-Achse.

Funktion spiegeln y-Achse

Eine Funktion \(f(x)\) wird an der y-Achse gespiegelt, indem die Variable \(x\) mit \(-1\) multipliziert wird.

Wird eine Funktion \(f(x)\) an der y-Achse gespiegelt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:

\[g(x)=f(-x)\]

Jetzt kannst Du Dir die direkte Auswirkung einer Spiegelung an der y-Achse auf einen Graphen anschauen.

Spiegelst Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) an der y-Achse, ergibt sich folgendes Schaubild der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der gespiegelten Funktion \(g(x)\).

Funktion spiegeln y-Achse StudySmarterAbb. 2 - Spiegelung einer Funktion an der y-Achse.

Du bekommst die Funktionsgleichung \(g(x)\) durch die Anwendung der Regeln auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\).

\begin{align}g(x)&=f(-x)\\&=(-x)^2-x\\&=x^2-x\\\end{align}

Zusätzlich besteht noch die Möglichkeit eine Funktion an der \(1.\) Winkelhalbierenden zu spiegeln.

Funktion spiegeln an der Winkelhalbierenden

Das Spiegeln an der 1. Winkelhalbierenden wird für die Berechnung der Umkehrfunktion benötigt.

Wird eine Funktion \(f(x)\) an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:

\[g(x)=f^{-1}(x)\]

Schau Dir dazu noch ein kleines Beispiel an.

Wenn Du die Funktion \(f(x)=3x+14\) an der 1. Winkelhalbierenden spiegelst, erhältst Du folgendes Schaubild der alten Funktion \(f(x)\) und der neuen Funktion \(g(x)\).

Funktion spiegeln Winkelhalbierenden StudySmarterAbb. 3 - Spiegelung einer Funktion an der 1. Winkelhalbierenden.

Eine Funktion \(f(x)\) an der 1. Winkelhalbierenden zu spiegeln geht nur, wenn bei der Funktion \(f(x)\) jedem y-Wert maximal ein x-Wert zugeordnet ist.

Damit ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).

\begin{align}g(x)&=f^{-1}(x)\\&=\frac{1}{3}x-\frac{14}{3}\end{align}

Wie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) genau gebildet wird, kannst Du der Erklärung "Umkehrfunktion" entnehmen.

Du kannst die Spiegelung einer Funktion an der x- und der y-Achse nicht nur einzeln durchführen, sondern dies auch kombinieren. Eine Spiegelung einer Funktion \(f(x)\), die gleichzeitig eine Spiegelung an der x- und der y-Achse enthält, wird auch Punktspiegelung einer Funktion genannt.

Funktion spiegeln an Punkt

Wird nun eine Funktion \(f(x)\) an der x- und y-Achse gespiegelt, auch Punktspiegelung genannt, dann wird die Funktionsgleichung \(f(x)\) und die Variable \(x\) mit \(-1\) multipliziert.

Bei der Punktspiegelung handelt es sich um die Spiegelung am Ursprung \((0|0)\).

Wird eine Punktspiegelung an einer Funktion \(f(x)\) durchgeführt, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\) mit folgender Funktionsgleichung:

\[g(x)=-f(-x)\]

Um Dir das besser vorstellen zu können, betrachte die Punktspiegelung an Deinem Eingangsbeispiel.

Möchtest Du an der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) eine Punktspiegelung durchführen, erhältst Du folgendes Schaubild der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der gespiegelten Funktion \(g(x)\).

Funktion spiegeln Punktspiegelung Funktion StudySmarterAbb. 4 - Spiegelung einer Funktion am Ursprung.

Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).

\begin{align}g(x)&=-f(-x)\\&=-((-x)^2-x)\\&=-x^2+x\end{align}

Möchtest Du jetzt noch selbst ein paar Übungsaufgaben lösen? Los geht's!

Funktion spiegeln – Übungsaufgaben

Du kannst das Spiegeln einer Funktion an unterschiedlichen Funktionstypen ausprobieren. Die Formel bleibt dabei immer gleich.

Frag gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, ob Du eine Formelsammlung benutzten darfst.

Normalparabel spiegeln – Aufgabe

Versuch Dich als Erstes an einer Normalparabel.

Aufgabe 1

Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) durch Spiegelung am Ursprung hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).

Lösung

Die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2\) wird am Ursprung gespiegelt. Damit ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).

\begin{align}g(x)&=-f(-x)\\&=-(-x)^2\\&=-x^2\end{align}

Zeichnest Du die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\), ergibt sich folgendes Schaubild.

Funktion spiegeln Normalparabel spiegeln StudySmarterAbb. 5 - Spiegelung einer Normalparabel am Ursprung.

e-Funktion spiegeln – Aufgabe

Wende die Spiegelung als Nächstes an einer e-Funktion an.

Aufgabe 2

Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=3e^{14x+1}\) durch Spiegelung an der x- und y-Achse hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).

Lösung

Die Funktion \(f(x)=3e^{14x+1}\) wird am Ursprung gespiegelt. Damit bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).

\begin{align}g(x)&=-f(-x)\\&=-3e^{14(-x)+1} \\&=-3e^{-14x+1}\end{align}

Jetzt kannst Du die Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) zeichnen.

Funktion spiegeln e-Funktion spiegeln StudySmarterAbb. 6 - Spiegelung einer e-Funktion am Ursprung.

Logarithmusfunktion spiegeln – Aufgabe

Die natürliche Logarithmusfunktion \(f(x)=ln(x)\) ist eine spezielle Form der allgemeinen Logarithmusfunktion \(f(x)=\log_b(x)\). Dabei entspricht die Basis \(b\) der Eulerschen Zahl \(e\).

Aufgabe 3

Die Funktion \(g(x)=-ln(-x^3-x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)= ln(x^3+x) \) hervor. Erläutere die einzelnen Schritte, die zu dieser Transformation führen und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).

Lösung

Schau Dir zuerst die Entstehung der neuen Funktionsgleichung \(g(x)\) an.

\begin{align}g(x)&=-ln(-x^3-x) \\&=-(ln((-x)^3+(-x))) \\&=-f(-x)\end{align}

Damit ergibt sich eine Spiegelung am Ursprung.

Folgende Schritte wurden vorgenommen, um die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) zu erhalten.

  • Spiegelung an der x-Achse.
  • Spiegelung an der y-Achse.

Dabei ist es egal, ob zuerst an der x- oder an der y-Achse gespiegelt wird.

Zeichne zum Schluss noch das Schaubild der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).

Funktion spiegeln Logarithmusfunktion spiegeln StudySmarterAbb. 7 - Spiegelung einer Logarithmusfunktion am Ursprung.

Funktion spiegeln – Das Wichtigste

  • Spiegelung einer Funktion \(f(x)\):
    Art der SpiegelungFunktionsgleichung \(g(x)\)
    Funktion spiegeln an x-Achse\(g(x)=-f(x)\)
    Funktion spiegeln y-Achse\(g(x)=f(-x)\)
    Punktspiegelung Funktion\(g(x)=-f(-x)\)
    Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden\(g(x)=f^{-1}(x)\)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktion spiegeln

Eine Funktion g(x) geht von einer Funktion f(x) wie folgt hervor:

  • Spiegelung an der x-Achse: g(x) = - f(x)
  • Spiegelung an der y-Achse: g(x) = f(-x)
  • Spiegelung am Ursprung: g(x) = - f(-x)
  • Spiegelung an 1. Winkelhalbierenden: g(x) = f-1(x)

Eine Funktion g(x) geht von einer Funktion f(x) durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden wie folgt hervor: g(x) = f-1(x)

Wird eine Funktion f(x) am Ursprung gespiegelt, bedeutet das, dass die Funktion f(x) sowohl an der x-Achse als auch an der y-Achse gespiegelt wird. Für die gespiegelte Funktion g(x) bedeutet das für den Funktionsterm: g(x) = - f(-x)

Meistens bedeutet das, dass entweder an der x-Achse (y=0), an der y-Achse (x=0) oder der 1. Winkelhalbierenden (y=x) gespiegelt wird.

Eine Funktion g(x) geht von einer Funktion f(x) wie folgt hervor:

  • Spiegelung an der x-Achse: g(x) = - f(x)
  • Spiegelung an der y-Achse: g(x) = f(-x)
  • Spiegelung an 1. Winkelhalbierenden: g(x) = f-1(x)

Finales Funktion spiegeln Quiz

Frage

Gib den veränderten Funktionsterm \(g(x)\) der Funktion \(f(x)\) an, wenn diese an der x-Achse gespiegelt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Funktionsterm \(g(x)\) lautet:


\[g(x)=-f(x)\]

Frage anzeigen

Frage

Gib den veränderten Funktionsterm \(g(x)\) der Funktion \(f(x)\) an, wenn diese an der y-Achse gespiegelt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Funktionsterm \(g(x)\) lautet:


\[g(x)=f(-x)\]

Frage anzeigen

Frage

Gib den veränderten Funktionsterm \(g(x)\) der Funktion \(f(x)\) an, wenn diese an der x-Achse und an der y-Achse gespiegelt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Funktionsterm \(g(x)\) lautet:


\[g(x)=-f(-x)\]

Frage anzeigen

Frage

Gib den veränderten Funktionsterm \(g(x)\) der Funktion \(f(x)\) an, wenn diese an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Funktionsterm \(g(x)\) lautet:


\[g(x)=-f^{-1}(x)\]

Frage anzeigen

Frage

Identifiziere die richtige Aussage bezüglich der Spiegelung am Ursprung.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst muss an der x-Achse, danach an der y-Achse gespiegelt werden.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, unter welchen Umständen eine Funktion \(f(x)\) an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion \(f(x)\) an der 1. Winkelhalbierenden zu spiegeln geht nur, wenn bei der Funktion \(f(x)\) jedem y-Wert maximal ein x-Wert zugeordnet ist.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Art der Spiegelung an, die durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden kann:


\[g(x)=-f(-x)\]

Antwort anzeigen

Antwort

Spiegelung am Ursprung

Frage anzeigen

Frage

Gib die Art der Spiegelung an, die durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden kann:


\[g(x)=f(-x)\]

Antwort anzeigen

Antwort

Spiegelung an der y-Achse

Frage anzeigen

Frage

Gib die Art der Spiegelung an, die durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden kann:


\[g(x)=-f(x)\]

Antwort anzeigen

Antwort

Spiegelung an der x-Achse

Frage anzeigen

Frage

Die Funktion \(f(x)=sin(3x)\) soll an der y-Achse gespiegelt werden. Bestimme die gespiegelte Funktionsgleichung \(g(x)\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die gespiegelte Funktionsgleichung \(g(x)\) lautet:


\[g(x)=f(-x)=sin(-3x)\]

Frage anzeigen

Frage

Die Funktion \(f(x)=cos(31x+4)\) soll an der x-Achse gespiegelt werden. Bestimme die gespiegelte Funktionsgleichung \(g(x)\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die gespiegelte Funktionsgleichung \(g(x)\) lautet:


\[g(x)=-f(x)=-cos(31x+4 )\]

Frage anzeigen

Frage

Die Funktion \(f(x)=\sqrt{3x^2+x}\) soll am Ursprung gespiegelt werden. Bestimme die gespiegelte Funktionsgleichung \(g(x)\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die gespiegelte Funktionsgleichung \(g(x)\) lautet:


\[g(x)=-f(-x)=-\sqrt{3x^2-x}\]

Frage anzeigen

Frage

Identifiziere die gespiegelte Funktion \(g(x)\), die durch Spiegelung am Ursprung aus der Funktion \(f(x)=sin(4x+3)-cos(-3x)\) hervorgeht.

Antwort anzeigen

Antwort

\[g(x)=-sin(3-4x)+cos(3x)\]

Frage anzeigen

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