Stell dir vor, Du fährst auf einer kurvenreichen Landstraße entlang, welche an zwei Stellen über eine gerade Autobahn führt. Wenn Du die Verläufe der Straße und der Autobahn aus der Vogelperspektive anschaust, sehen sie ein wenig wie ein Graph und eine Koordinatenachse aus, die sich schneiden. Die Brücken der Landstraße stellen dabei die Schnittpunkte und die Autobahn die x-Achse dar. Solche Schnittpunkte eines Graphen mit einer x-Achse nennst Du Nullstellen.
Ganzrationale Funktion – Definition
Die ganzrationale Funktion ist die Art einer Funktion, die Du neben gebrochenrationalen Funktionen mit am meisten in deiner Schullaufbahn lösen wirst.
Eine ganzrationale Funktion (oder Polynomfunktion) ist eine reele Funktion ohne Brüche.
Allgemein gilt: \(n \in \mathbb{R}, a_n…a_0 \in \mathbb{R}\) und \(a_n \ne 0\)
Die allgemeine Schreibweise lautet:
\[f(x) = a_nx^n+a_{x-1}x^{x-1}+…+a_1x+a_0\]
Der Definitionsbereich jeder Polynomfunktion lautet: \(D_f = \mathbb{R}\)
Nullstelle – Definition
Eine Nullstelle ist die Stelle, an welcher ein Graph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle wird der y-Wert des Graphen 0.
Abbildung 1: Beispiel für Nullstellen
In der Abbildung siehst Du einen Beispielgraphen der Funktion \(f(x) = x^3-2x^2\), welcher die x-Achse an 2 Stellen schneidet. Diese 2 Schnittpunkte sind die Nullstellen der Funktion f(x). Geschrieben werden sie als \(x_1 = 0\) und \(x_2= 2\). Ein Graph kann keine Nullstelle oder auch unendlich viele Nullstellen haben.
Vielfachheit von Nullstellen
Eine Nullstelle muss nicht immer ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse, also eine einfache Nullstelle, sein. Es kann auch vorkommen, dass der Graph die x-Achse nur berührt, wie Du in Abbildung 1 bei der Nullstelle \(x_1\) sehen kannst. Eine Nullstelle, welche die x-Achse nur berührt, wird doppelte Nullstelle genannt.
Ist eine Nullstelle eine doppelte, vierfache, sechsfache usw. Nullstelle, liegt kein Vorzeichenwechsel, kurz VZW, vor; die x-Achse wird also nur berührt. Wenn die Nullstelle eine einfache, dreifache, fünffache usw. Nullstelle ist, wird der Graph an dieser Stelle sein Vorzeichen von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv ändern.
Ganzrationale Funktionen Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion kannst Du mit verschiedenen Methoden berechnen. Hier werden Dir 6 davon gezeigt. Für eine genauere Erläuterung, lies Dir die Erklärung zum jeweiligen Thema durch.
Ganzrationale Funktionen Nullstellen ausklammern (Faktorisierung)
Die Faktorisierung ist die schnellste Möglichkeit eine Nullstelle der gegebenen Funktion herausfinden zu können. Hier stellst Du Deine Funktion durch Ausklammern so um, dass Du im besten Fall auf einen Blick eine oder alle Nullstellen herauslesen kannst.
Aufgabe 1
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 4x^3+5x^2+x\)
Lösung
Bei einer Funktion, welche kein konstantes Glied, also keine Zahl ohne eine Variable, enthält, ist Faktorisieren der schnellste Weg, um die erste Nullstelle herauszufinden.
\[\begin{align} f(x) &= 4x^3+5x^2+x \\&= x \cdot (4x^2+5x+1) \end{align}\]
Ein Produkt wird immer 0, sobald einer seiner Faktoren 0 wird. Das heißt, dass Deine erste Nullstelle \(x = 0\) ist, da das Produkt 0 wird, wenn das ausgeklammerte x 0 wird. Somit hast Du die erste Nullstelle durch Faktorisieren herausgefunden.
Die restlichen Nullstellen berechnest Du nun mit der Mitternachtsformel. Hierfür nimmst Du nur den Term zweiten Grades, welcher in den Klammern steht.
\[x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4} = \frac{-5 \pm \sqrt{25-16}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{-5 \pm 3}{8}\]
\[x_2 = \frac{-5+3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} ; x_3 = \frac{-5-3}{8} = \frac{-8}{8} = -1\]
Damit hast Du durch Faktorisieren und die Mitternachtsformel die Nullstellen \(x_1 = 0, ~~x_2 = -\frac{1}{4}\) und \(x_3 = –1\) berechnet.
Um Nullstellen durch Ausklammern herauszufinden, benötigst Du als letzten Schritt nicht immer die Mitternachtsformel. Es gibt auch Funktionen, bei welchen Du die Nullstellen rein durch Faktorisierung herausfinden kannst. Diese Vorgehensweise heißt Linearfaktorzerlegung.
Aufgabe 2
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = x^3-7x^2-2x+14\)
Lösung
Die gegebene Funktion ist ein Polynom dritten Grades und kann durch Ausklammern so umgestellt werden, dass Du auf einen Blick die Nullstellen herausfinden kannst.
\[f(x) = 0\]
\[\begin{align}x^3-7x^2-2x+14 &= 0 \\x^2\cdot(x-7)-2\cdot(x-7) &= 0 \\(x^2-2)\cdot(x-7) &= 0\end{align}\]
Die Terme und sind die Linearfaktoren und gleichzeitig auch die Terme, welche Dir die Nullstellen zeigen. Wenn Du weiterrechnest, kommt folgendes als Nullstellen heraus:
\[\begin{align}x^2-2 = 0~~~~~~~~~~~~~~~~und~~~~~~~~~~~~~~~~~ x-7 = 0 \\x^2 = 2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x_3 = 7 \\x_{1,2} = \pm \sqrt{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{align}\]
Damit hast Du durch Ausklammern und Linearfaktorzerlegung die Nullstellen \(x_1 = \sqrt{2}, ~~~ x_2 = -\sqrt{2}\) und \(x_3 = 7\) herausgefunden.
Nullstellen berechnen – Satz vom Nullprodukt
Den Satz vom Nullprodukt wendest Du nur an, wenn Du z.B. aus Deiner Funktion \(f(x)\) ein \(x\) ausklammern kannst und kein konstantes Glied hast. Mit diesem Satz kannst Du schnell die erste Nullstelle, meistens \(x_1 = 0\) finden.
Aufgabe 3
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 5x^3+7x^2+2x\) mit dem Satz vom Nullprodukt.
Lösung
1. Schritt: Du solltest überprüfen, ob die Funktion \(f(x)\) ein konstantes Glied, also eine Zahl ohne \(x\) hat. Die gegebene Funktion erfüllt das nicht, weswegen Du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst.
2. Schritt: \(x\) ausklammern
\[\begin{align} 5x^3+7x^2+2x &= 0 \\x \cdot (5x^2+7x+2) &= 0 \end{align}\]
\[x_1 = 0\]
3. Schritt: restlichen Nullstellen mit der pq- oder Mitternachtsformel berechnen
\[\begin{align} x_{2,3} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{10} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{10} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm 3}{10} \end{align}\]
\[x_2 = \frac{-7 + 3}{10} = -0,4\] \[x_3 = \frac{-7-3}{10} = -1\]
Damit hast Du für die Funktion \(f(x) = 5x^3+7x^2+2x\) die Nullstellen \(x_1 = 0\); \(x_2 = -0,4\) und \(x_3 = -1\) berechnet.
Nullstellen berechnen – Substitution
Die Substitution wendest Du vorwiegend auf Funktionen höheren Grades an. Oftmals kannst Du die Funktion durch Substitution auf Grad 2 bringen und die Nullstellen mithilfe der pq- oder Mitternachtsformel lösen. Du solltest aber nicht die Resubstitution am Ende Deiner Rechnung vergessen.
Aufgabe 4
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 5x^4+8x^2+3\).
Lösung
1. Schritt: geeignete Variable zur Substitution finden
Du möchtest die gegebene Funktion vierten Grades in eine Funktion zweiten Grades umwandeln. Dies funktioniert am besten, wenn Du für \(x^2\) eine neue Variable einsetzt. \(z\) eignet sich hierfür gut.
\[x^2 = z\]
Wenn Du diese neue Variable in die Funktion \(f(x)\) einsetzt, kommt folgende neue Funktion heraus:
\[f(z) = 5z^2+8z+3\]
2. Schritt: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen dieser neuen Funktion \(f(z)\) kannst Du durch die Mitternachtsformel berechnen.
\[\begin{align} z_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{10} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm 2}{10} \end{align}\]
\[z_1 = \frac{8+2}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[z_2 = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6\]
3. Schritt: Resubstitution
Wie oben schon erwähnt, steht als letzter Schritt die Resubstitution der berechneten Nullstellen von \(f(z)\) an. Dafür nimmst Du die Formel für die Variable \(z\), setzt jeweils eine Nullstelle ein und stellst sie nach \(x\) um.
\[\begin{align} x^2 &= z \\x^2 &= 1 \\x &= \sqrt{1} \end{align}\]\[x_1 = -1 ~~~~ x_2 = 1\]
\[\begin{align} x^2 &= z \\x^2 &= 0,6 \\x &= \sqrt{0,6} \end{align}\]
\[x_3 = -\frac{\sqrt{15}}{5} ~~~~ x_4 = \frac{\sqrt{15}}{5}\]
Durch Substitution und Resubstitution hast Du die Nullstellen \(x_1 = -1\) ; \(x_2 = 1\) ; \(x_3 = -\frac{\sqrt{15}}{5}\) und \(x_4 = \frac{\sqrt{15}}{5}\) herausgefunden.
Ganzrationale Funktionen Nullstellen Polynomdivision
Die Polynomdivision ist eine Methode, um ganzrationale Funktionen höheren Grades auf den für die Mitternachts- oder pq-Formel nötigen zweiten Grad zu bringen.
Aufgabe 5
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = x^3-2x^2-4x+8\)
Lösung
Zuerst solltest Du eine Nullstelle durch Einsetzen verschiedener x-Werte herausfinden, um einen Dividenden für die Polynomdivision zu bekommen.
\[f(2) = 2^3-2\cdot2^2-4\cdot2+8 = 8-8-8+8 = 0\]
Wenn Du für x 2 einsetzt, wird die ganze Gleichung 0, das heißt, dass \(x_1 = 2\) eine Nullstelle der Funktion f(x) ist. Damit kannst Du die Polynomdivision mit \((x-2)\) als Dividenden durchführen.
\[\begin{align}(x^3-2x^2-4x+8) : (x-2) = x^2-4 \\-(x^3-2x^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\-(-4x+8) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}\]
Durch die Polynomdivision hast Du nun die quadratische Funktion \(g(x) = x^2-4\), welche Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, um so die letzten beiden Nullstellen zu bekommen.
b ist in der neuen Funktion g(x) 0, weswegen Du für b in der Mitternachtsformel 0 einsetzt.
\[x_{2,3} = \frac{0 \pm \sqrt{0-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1} = \frac{\pm \sqrt{16}}{2} = \frac{\pm 4}{2}\]
\[x_2 = \frac{4}{2} = 2;~~ x_3 = \frac{-4}{2} = -2\]
Dadurch, dass die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) die gleiche sind, hast Du an dieser x-Koordinate eine doppelte Nullstelle gefunden.
Damit hast Du die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) berechnet.
Nullstellen berechnen – Horner-Schema
Bei der Berechnung der Nullstellen mit dem Horner-Schema gehst Du ähnlich vor wie bei der Polynomdivision. Erst findest Du eine Nullstelle durch Probieren, anschließend stellst Du eine Tabelle auf, mit welcher Du das Polynom zweiten Grades herausfindest, und als letzten Schritt berechnest Du die letzten Nullstellen mit der Mitternachts- oder pq-Formel.
Aufgabe 6
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 4x^3+6x^2-4x-3\) mit dem Horner-Schema.
Lösung
Als ersten Schritt suchst Du eine Nullstelle, indem Du verschiedene x-Werte ausprobierst.
\[f(0) = 4\cdot0^3+6\cdot0^2-4\cdot0-3 = 0+0-0-3 = -3\]
An der x-Koordinate \(x = 0\) liegt keine Nullstellen vor.
\[\begin{align} f(-0,5) &= 4\cdot(-0,5)^3+6\cdot(-0,5)^2-4\cdot(0,5)-3 = \\&= 4\cdot(-0,125)+6\cdot0,25-4\cdot(-0,5)-3 = \\&= -0,5+1,5+2-3 = 0 \end{align}\]
An der x-Koordinate \(x = -0,5\) wird die Funktion f(x) 0, was heißt, dass hier eine Nullstelle vorliegt. Mit dieser Nullstelle kannst Du nun mit dem Horner-Schema weitermachen.
| \[4\] | \[6\] | \[-4\] | \[-3\] |
| \[x = -0,5\] | | \[-0,5\cdot4 = -2\] | \[-0,5\cdot4 = -2\] | \[-0,5\cdot(-6) = 3\] |
| \[4\] | \[6-2= 4\] | \[-4-2 = -6\] | \[-3+3 = 0\] |
Die Addition in der letzten Spalte ergibt 0, womit die Nullstelle bei \(x = -0,5\)bestätigt wurde.
Die Ergebnisse der Produkte der zweiten Zeile sind die Koeffizienten des neuen Polynoms zweiten Grades.
\[g(x) = \frac{4x^3+6x^2-4x-3}{x+0,5} = -2x^2-2x+3\]
Das neue Polynom zweiten Grades kannst Du als letzten Schritt in die Mitternachtsformel oder pq-Formel einsetzen, um die letzten zwei Nullstellen herauszufinden.
\[x_{2,3} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-2)\cdot3}}{2\cdot(-2)} = \frac{2\pm\sqrt{4+24}}{-4} = \frac{2\pm\sqrt{28}}{-4}\]
\[x_2 = \frac{2+\sqrt{28}}{-4} \approx 1,82; ~~~ x_3 = \frac{2-\sqrt{28}}{-4} \approx -0,82\]
Somit hast Du mit dem Horner-Schema die Nullstellen \(x_1 = -0,5\), \(x_2 = 1,82\) und \(x_3 = -0,82\) herausgefunden.
Nullstellen berechnen – Formel von Cardano
Die Formel von Cardano kannst Du dazu nutzen, um die Nullstellen von kubischen Funktionen direkt berechnen zu können. Dabei benötigst Du keine Polynomdivision oder Ähnliches, sondern 4 andere Schritte.
Aufgabe 7
Löse die ganzrationale Funktion \(f(x) = 2x^3 +8x^2-2x-6\) mit der Formel von Cardano.
Lösung
Wie oben erwähnt, sind für die Formel von Cardano 4 Schritte notwendig.
1. Schritt: \(x^3\) muss alleine stehen.
\[\begin{align} 2x^3+8x^2-2x-6 &= 0 ~~~~~~~~ | :2 \\x^3+4x^2-x-3 &= 0 \end{align}\]
2. Schritt: Nötige Variablen definieren
Für die Formel von Cardano sind drei neue Variablen nötig, die sich aus den Koeffizienten einer kubischen Funktion, also einer \(x^3\)-Funktion, bilden lassen. Du benötigst die Variablen p,q und D. Außerdem benötigst Du für x noch eine Gleichung in Abhängigkeit der Variable z, welche noch unbekannt ist.
\[\begin{align} p &= b - \frac{(a^2)} {3} \\p &= -1 - \frac{4^2}{3} \\p &= -1 - \frac{16}{3} \\p &= -\frac{19}{3}\end{align}\]
\[\begin{align} q &= \frac{2 \cdot a^3}{27} - \frac{a \cdot b}{3} + c \\q &= \frac{2 \cdot 4^3}{27} - \frac{4 \cdot (-1)}{3} - 3 \\q &= \frac{128}{27} - \frac{-4}{3} -3 \\q &= \frac{83}{27} \end{align}\]
\[\begin{align} D &= \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \\D &= \frac{(\frac{83}{27})^2}{4} + \frac{(-\frac{19}{3})^3}{27} \\D &= 2,36 - \frac{6859}{729} \\D &= -\frac{761}{108} \approx -7,05\end{align}\]
\[\begin{align} x = z - \frac{a}{3} \\x = z - \frac{4}{3}\end{align}\]
Damit hast Du alle nötigen Variablen berechnet und kannst mit dem dritten Schritt weitermachen.
3. Schritt: Fallunterscheidung für die Endberechnung
Bei der cardanischen Formel gibt es Fallunterscheidungen für D, falls es negativ oder positiv wird. In diesem Fall ist D negativ, also nimmst Du die Formel für das negative D. Mit dieser Formel hast Du für die drei reellen Lösungen drei verschiedene Formeln.
\[z_1 = \sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right]\]
\[z_2 = -\sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right]\]
\[z_3 = -\sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right]\]
\[\begin{align} p &= -\frac{19}{3}\\q &= \frac{83}{27}\end{align}\]
\[z_1 = \sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) \right] \approx 2,23\]
\[z_2 = -\sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right] \approx 0,51\]
\[z_3 = -\sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right] \approx -2,73\]
4. Schritt: x berechnen
Als letzten Schritt setzt Du die gerade errechneten z-Werte in die Gleichung \(x = z - \frac{4}{3}\) ein und findest damit x heraus.
\[\begin{align} x_1 &= z_1 - \frac{4}{3} \\&= 2,23 - \frac{4}{3} \approx 0,89\end{align}\]
\[\begin{align} x_2 &= z_2 - \frac{4}{3} \\&= 0,51 - \frac{4}{3} \approx -0,83\end{align}\]
\[\begin{align} x_3 &= z_3 - \frac{4}{3} \\&= -2,73 - \frac{4}{3} \approx -4,06\end{align}\]
Damit hast Du die drei Nullstellen der Funktion \(f(x) = 2x^3+8x^2-2x-6\) als \(x_1 = 0,89; ~~ x_2 = -0,83\) und \(x_3 = -4,06\) herausgefunden.
Ganzrationale Funktionen Nullstellen – Aufgaben
In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du Übungen zu den erklärten Methoden Nullstellen zu berechnen. Du wirst zu jedem Thema eine Übungsaufgabe finden.
Faktorisieren
Aufgabe 8
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 6x^3+9x^2-4x\)
Lösung
Bei einer Funktion, welche kein konstantes Glied, also keine Zahl ohne eine Variable, enthält, ist Faktorisieren der schnellste Weg, um die erste Nullstelle herauszufinden.
\[\begin{align} f(x) &= 6x^3+9x^2-4x \\&= x \cdot (6x^2+9x-4) \end{align}\]
\[x_1 = 0\]
Ein Produkt wird immer 0, sobald einer seiner Faktoren 0 wird.
Die letzten zwei Nullstellen berechnest Du mit dem Term, welcher in den Klammern steht.
\[x_{2,3} = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\cdot6\cdot(-4)}}{2\cdot6} = \frac{-9 \pm \sqrt{81+96}}{12} = \frac{-9 \pm \sqrt{177}}{12}\]
\[x_2 = \frac{-9+\sqrt{177}}{12} = \approx 0,36~~ ; x_3 = \frac{-9+\sqrt{177}}{12} \approx -1,86\]
Damit hast Du durch Faktorisieren und die Mitternachtsformel die Nullstellen \(x_1 = 0, ~~x_2 = 0,36\) und \(x_3 = –1,86\) berechnet.
Satz vom Nullprodukt
Aufgabe 9
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 6x^3-4x^2-5x\) mit dem Satz vom Nullprodukt.
Lösung
1. Schritt: Du solltest überprüfen, ob die Funktion \(f(x)\) ein konstantes Glied, also eine Zahl ohne \(x\) hat. Die gegebene Funktion hat nur Zahlen mit einer Variable, weswegen Du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst.
2. Schritt: \(x\) ausklammern
\[\begin{align} 6x^3-4x^2-5x &= 0 \\x \cdot (6x^2-4x-5) &= 0 \end{align}\]
\[x_1 = 0\]
3. Schritt: restlichen Nullstellen mit der pq- oder Mitternachtsformel berechnen
\[\begin{align} x_{2,3} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 6 \cdot (-5)}}{2 \cdot 6} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{16+120}}{12} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{136}}{12} \end{align}\]
\[x_2 = \frac{4+\sqrt{136}}{12} \approx 1,31; ~~~ x_3 = \frac{4-\sqrt{136}}{12} \approx -0,64\]
Damit hast Du für die Funktion \(f(x) = 6x^3-4x^2-5x\) die Nullstellen \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1,31\) und \(x_3 = -0,64\) berechnet.
Substitution
Aufgabe 10
Berechne die Nullstellen der Funktion \[f(x) = 4x^4-3x^2-6\] mit der Substitution.
Lösung
Wie oben erwähnt benötigst Du für die Nullstellenberechnung mit der Substitution 3 Schritte; eine passende Variable finden, substituieren und Nullstellen berechnen und resubstituieren.
1. Schritt: passende Variable finden
\[x^2 = z\]
2. Schritt: Substituieren und Nullstellen berechnen
\[f(z) = 4z^2-3z-6\]
\[\begin{align} z_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\&= \frac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot4\cdot(-6)}}{2\cdot4} \\&= \frac{3\pm\sqrt{9+96}}{8} \\&= \frac{3\pm\sqrt{105}}{8} \end{align}\]
\[z_1 = \frac{3+\sqrt{105}}{8} \approx = 1,66; ~~~ z_2 = \frac{3-\sqrt{105}}{8} \approx -0,91\]
3. Schritt: Resubstitution mit \(x = \pm \sqrt{z}\)
\[x_1 = \sqrt{z_1} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{105}}{8}} \approx 1,29; ~~~ x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{\frac{3+\sqrt{105}}{8}} \approx -1,29\]
Die Nullstellen \(x_3\) und \(x_4\) kannst Du nicht berechnen, da die Nullstelle \(z_2\) negativ ist und Du keine negativen Wurzeln lösen kannst.
Somit hast Du für die Funktion \(f(x) = 4x^4-3x^2-6\) die Nullstellen \(x_1 = 1,29\) und \(x_2 = -1,29\) berechnet.
Polynomdivision
Aufgabe 11
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = -5x^3+9x^2+15x+9\)
Lösung
Zuerst solltest Du eine Nullstelle durch Einsetzen verschiedener, kleiner x-Werte herausfinden, um einen Dividenden für die Polynomdivision zu bekommen.
\[f(1) = -5 \cdot 1^3+9 \cdot 1^2+15 \cdot 1 + 9 = -5+9+15+9 = 28\]
\[f(3) = -5 \cdot 3^3+9 \cdot 3^2+15 \cdot 3 +9 = -135+81+45+9 = 0\]
Wenn Du für x die Zahl 3 einsetzt, bekommst Du als Ergebnis 0 heraus, was bedeutet, dass bei \(x = 3\) eine Nullstelle vorhanden ist. Nun kannst Du also die Funktion \(f(x)\) durch den Term \(x-3\) teilen.
\[\begin{align}(-5x^3+9x^2+15x+9) : (x-3) = -5x^2-6x-3\\-(-5x^3+15x^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-6x^2+15x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-(-6x^2+18x)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-3x+9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-(-3x+9)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}\]
Durch die Polynomdivision hast Du nun die quadratische Funktion \(g(x) = -5x^2-6x-3\), welche Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, um so die letzten beiden Nullstellen zu bekommen.
\[x_{2,3} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot(-5)\cdot(-3)}}{2\cdot(-5)} = \frac{6 \pm \sqrt{36-60}}{-10} = \frac{6 \pm \sqrt{-24}}{-10}\]
Die Nullstellen \(x_2\) und \(x_3\) kannst Du nicht berechnen, da Du keine negativen Klammern lösen kannst. Somit hast Du die einzige Nullstelle der Funktion \(f(x) = -5x^3+9x^2+15x+9\) bei \(x_1 = 3\) gefunden.
Satz von Cardano
Aufgabe 12
Löse die ganzrationale Funktion \(f(x) = 4x^3+16x^2-4x+32\) mit der Formel von Cardano.
Lösung
Wie oben erwähnt, sind für die Formel von Cardano 4 Schritte notwendig.
1. Schritt: Vor \(x^3\) darf keine Zahl stehen.
\[\begin{align} 4x^3+16x^2-4x+32 &= 0 ~~~~~~~~ | :4 \\x^3+4x^2-x+8 &= 0 \end{align}\]
2. Schritt: Nötige Variablen definieren
Für die Formel von Cardano sind drei neue Variablen nötig, die sich aus den Koeffizienten der kubischen Funktion bilden lassen. Du benötigst die Variablen p,q und D. Außerdem benötigst Du für x noch eine Gleichung in Abhängigkeit der Variable z, welche noch unbekannt ist.
\[\begin{align} p &= b - \frac{(a^2)} {3} \\p &= -1 - \frac{4^2}{3} \\p &= -1 - \frac{16}{3} \\p &= -\frac{19}{3}\end{align}\]
\[\begin{align} q &= \frac{2 \cdot a^3}{27} - \frac{a \cdot b}{3} + c \\q &= \frac{2 \cdot 4^3}{27} - \frac{4 \cdot (-1)}{3} + 8 \\q &= \frac{128}{27} - \frac{-4}{3} + 8 \\q &= \frac{380}{27} \end{align}\]
\[\begin{align} D &= \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \\D &= \frac{(\frac{380}{27})^2}{4} + \frac{(-\frac{19}{3})^3}{27} \\D &= \frac{361}{9} \\D &\approx 40,11 \end{align}\]
\[\begin{align} x = z - \frac{a}{3} \\x = z - \frac{4}{3}\end{align}\]
Damit hast Du alle nötigen Variablen berechnet und kannst mit dem dritten Schritt weitermachen.
3. Schritt: Fallunterscheidung für D
Anders als im Beispiel oben ist hier D positiv. Das heißt, dass es eine reelle und zwei komplexe Lösungen gibt. Hier wird nur die reelle Lösung berechnet.
\[\begin{align} z&= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}} \\z &= \sqrt[3]{-\frac{\frac{380}{27}}{2} + \sqrt{\frac{361}{9}}} + \sqrt[3]{-\frac{\frac{380}{27}}{2} - \sqrt{\frac{361}{9}}} \\z &= \sqrt[3]{-\frac{19}{27}} + \sqrt[3]{-\frac{361}{27}} \\z &\approx -3,26\end{align}\]
4. Schritt: x berechnen
Als letzten Schritt setzt Du das gerade errechnete z in die Gleichung aus Schritt 2 ein und findest damit x heraus.
\[\begin{align} x &= z - \frac{a}{3} \\x &= -3,26 - \frac{4}{3} \\x &\approx -4,60 \end{align}\]
Damit hast Du die einzige reelle Nullstelle der Funktion \(f(x) = 4x^3+16x^2-4x+32\) als \(x = -4,6\) herausgefunden.
Horner-Schema
Aufgabe 13
Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = -5x^3+3x^2+7x+14\) mit dem Horner-Schema.
Lösung
Als ersten Schritt suchst Du eine Nullstelle, indem Du verschiedene x-Werte ausprobierst.
\[f(2) = -5\cdot2^3+3\cdot2^2+7\cdot2+14 = -40+12+14+14 = 0\]
An der x-Koordinate \(x = 2\)liegt also eine Nullstelle vor. Mit dieser Nullstelle kannst Du nun mit dem nächsten Schritt des Horner-Schemas weitermachen.
| \[-5\] | \[3\] | \[7\] | \[14\] |
| \[x = 2\] | | \[2\cdot(-5) = -10\] | \[2\cdot(-7) = -14\] | \[2\cdot(-7) = -14\] |
| \[-5\] | \[3-10 = -7\] | \[7-14 = -7\] | \[14-14 = 0\] |
Die Addition in der letzten Spalte ergibt 0, womit die Nullstelle bei \(x = 2\)bestätigt wurde.
Die Ergebnisse der Produkte der zweiten Zeile der Tabelle geben Dir die Koeffizienten des neuen Polynoms zweiten Grades.
\[g(x) = \frac{-5x^3+3x^2+7x+14}{x-2} = -10x^2-14x-14\]
Als letzten Schritt berechnest Du die letzten zwei Nullstellen des neuen Polynoms zweiten Grades mit der Mitternachtsformel.
\[x_{2,3} = \frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot(-10)\cdot(-14)}}{2\cdot(-10)} = \frac{14\pm\sqrt{196-560}}{-20} = \frac{14\pm\sqrt{-364}}{-20}\]
Die letzten zwei Nullstellen kannst Du nicht berechnen, da unter der Wurzel eine negative Zahl herauskommt.
Somit hat die Funktion \(f(x) = -5x^3+3x^2+7x+14\) nur die Nullstelle bei \(x = 2\).
Der oftmals schnellste Weg die Nullstellen einer Funktion herauszufinden ist, diese vom Graphen abzulesen. Dazu benötigst Du keine Funktion, sondern nur ein Bild des Graphen. Du schaust, wo der Graph die x-Achse schneidet oder berührt und hast schon die Nullstellen herausgefunden.
Abbildung 2: Beispiel für Nullstellen ablesen
In der Abbildung siehst Du den Graphen einer kubischen Funktion. Dieser Graph hat 2 Schnittpunkte mit der x-Achse, weswegen er 2 Nullstellen besitzt, eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x_1 = -2\) und eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x_2 = 2\).
Ganzrationale Funktionen Nullstellen – Das Wichtigste
- Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, welche keine Brüche enthält
- Der Definitionsbereich jeder ganzrationalen Funktion ist \(D_f = \mathbb{R}\)
- Eine Nullstelle ist die Stelle, an welcher der Graph die x-Achse des Koordinatensystems schneidet
- Jede Nullstelle wird berechnet, indem Du die Funktion \(f(x)\) gleich 0 setzt
- Die Nullstellen einer Funktion können auf sehr verschiedene Weisen berechnet werden, einige davon sind: die Formel von Cardano, Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung oder der Satz vom Nullprodukt
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