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Ganzrationale Funktionen Nullstellen

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Ganzrationale Funktionen Nullstellen

Stell dir vor, Du fährst auf einer kurvenreichen Landstraße entlang, welche an zwei Stellen über eine gerade Autobahn führt. Wenn Du die Verläufe der Straße und der Autobahn aus der Vogelperspektive anschaust, sehen sie ein wenig wie ein Graph und eine Koordinatenachse aus, die sich schneiden. Die Brücken der Landstraße stellen dabei die Schnittpunkte und die Autobahn die x-Achse dar. Solche Schnittpunkte eines Graphen mit einer x-Achse nennst Du Nullstellen.

Ganzrationale Funktion - Definition

Die ganzrationale Funktion ist die Art einer Funktion, die Du neben gebrochenrationalen Funktionen mit am meisten in deiner Schullaufbahn lösen wirst.

Eine ganzrationale Funktion (oder Polynomfunktion) ist eine reele Funktion ohne Brüche.

Allgemein gilt: \(n \in \mathbb{R}, a_n…a_0 \in \mathbb{R}\) und \(a_n \ne 0\)

Die allgemeine Schreibweise lautet:

\[f(x) = a_nx^n+a_{x-1}x^{x-1}+…+a_1x+a_0\]

Der Definitionsbereich jeder Polynomfunktion lautet: \(D_f = \mathbb{R}\)

Nullstelle - Definition

Eine Nullstelle ist die Stelle, an welcher ein Graph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle wird der y-Wert des Graphen 0.

Ganzrationale Funktionen Nullstellen Beispiel für Nullstellen StudySmarterAbbildung 1: Beispiel für Nullstellen

In der Abbildung siehst Du einen Beispielgraphen der Funktion \(f(x) = x^3-2x^2\), welcher die x-Achse an 2 Stellen schneidet. Diese 2 Schnittpunkte sind die Nullstellen der Funktion f(x). Geschrieben werden sie als \(x_1 = 0\) und \(x_2= 2\). Ein Graph kann keine Nullstelle oder auch unendlich viele Nullstellen haben.

Vielfachheit von Nullstellen

Eine Nullstelle muss nicht immer ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse, also eine einfache Nullstelle, sein. Es kann auch vorkommen, dass der Graph die x-Achse nur berührt, wie Du in Abbildung 1 bei der Nullstelle \(x_1\) sehen kannst. Eine Nullstelle, welche die x-Achse nur berührt, wird doppelte Nullstelle genannt.

Ist eine Nullstelle eine doppelte, vierfache, sechsfache usw. Nullstelle, liegt kein Vorzeichenwechsel, kurz VZW, vor; die x-Achse wird also nur berührt. Wenn die Nullstelle eine einfache, dreifache, fünffache usw. Nullstelle ist, wird der Graph an dieser Stelle sein Vorzeichen von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv ändern.

Nullstellen berechnen ganzrationale Funktionen

Die Nullstellen einer Funktion kannst Du mit verschiedenen Methoden berechnen. Hier werden Dir 6 davon gezeigt. Für eine genauere Erläuterung, lies Dir die Erklärung zum jeweiligen Thema durch.

Nullstellen berechnen - Faktorisierung

Die Faktorisierung ist die schnellste Möglichkeit eine Nullstelle der gegebenen Funktion herausfinden zu können. Hier stellst Du Deine Funktion durch Ausklammern so um, dass Du im besten Fall auf einen Blick eine oder alle Nullstellen herauslesen kannst.

Aufgabe 1

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 4x^3+5x^2+x\)

Lösung

Bei einer Funktion, welche kein konstantes Glied, also keine Zahl ohne eine Variable, enthält, ist Faktorisieren der schnellste Weg, um die erste Nullstelle herauszufinden.

\[\begin{align} f(x) &= 4x^3+5x^2+x \\&= x \cdot (4x^2+5x+1) \end{align}\]

Ein Produkt wird immer 0, sobald einer seiner Faktoren 0 wird. Das heißt, dass Deine erste Nullstelle \(x = 0\) ist, da das Produkt 0 wird, wenn das ausgeklammerte x 0 wird. Somit hast Du die erste Nullstelle durch Faktorisieren herausgefunden.

Die restlichen Nullstellen berechnest Du nun mit der Mitternachtsformel. Hierfür nimmst Du nur den Term zweiten Grades, welcher in den Klammern steht.

\[x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4} = \frac{-5 \pm \sqrt{25-16}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{-5 \pm 3}{8}\]

\[x_2 = \frac{-5+3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} ; x_3 = \frac{-5-3}{8} = \frac{-8}{8} = -1\]

Damit hast Du durch Faktorisieren und die Mitternachtsformel die Nullstellen \(x_1 = 0, ~~x_2 = -\frac{1}{4}\) und \(x_3 = –1\) berechnet.

Um Nullstellen durch Ausklammern herauszufinden, benötigst Du als letzten Schritt nicht immer die Mitternachtsformel. Es gibt auch Funktionen, bei welchen Du die Nullstellen rein durch Faktorisierung herausfinden kannst. Diese Vorgehensweise heißt Linearfaktorzerlegung.

Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = x^3-7x^2-2x+14\)

Lösung

Die gegebene Funktion ist ein Polynom dritten Grades und kann durch Ausklammern so umgestellt werden, dass Du auf einen Blick die Nullstellen herausfinden kannst.

\[f(x) = 0\]

\[\begin{align}x^3-7x^2-2x+14 &= 0 \\x^2\cdot(x-7)-2\cdot(x-7) &= 0 \\(x^2-2)\cdot(x-7) &= 0\end{align}\]

Die Terme (x2-2) und (x-7) sind die Linearfaktoren und gleichzeitig auch die Terme, welche Dir die Nullstellen zeigen. Wenn Du weiterrechnest, kommt folgendes als Nullstellen heraus:

\[\begin{align}x^2-2 = 0~~~~~~~~~~~~~~~~und~~~~~~~~~~~~~~~~~ x-7 = 0 \\x^2 = 2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x_3 = 7 \\x_{1,2} = \pm \sqrt{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{align}\]

Damit hast Du durch Ausklammern und Linearfaktorzerlegung die Nullstellen \(x_1 = \sqrt{2}, ~~~ x_2 = -\sqrt{2}\) und \(x_3 = 7\) herausgefunden.

Nullstellen berechnen - Satz vom Nullprodukt

Den Satz vom Nullprodukt wendest Du nur an, wenn Du z.B. aus Deiner Funktion \(f(x)\) ein \(x\) ausklammern kannst und kein konstantes Glied hast. Mit diesem Satz kannst Du schnell die erste Nullstelle, meistens \(x_1 = 0\) finden.

Aufgabe 3

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 5x^3+7x^2+2x\) mit dem Satz vom Nullprodukt.

Lösung

1. Schritt: Du solltest überprüfen, ob die Funktion \(f(x)\) ein konstantes Glied, also eine Zahl ohne \(x\) hat. Die gegebene Funktion erfüllt das nicht, weswegen Du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst.

2. Schritt: \(x\) ausklammern

\[\begin{align} 5x^3+7x^2+2x &= 0 \\x \cdot (5x^2+7x+2) &= 0 \end{align}\]

\[x_1 = 0\]

3. Schritt: restlichen Nullstellen mit der pq- oder Mitternachtsformel berechnen

\[\begin{align} x_{2,3} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{10} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{10} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm 3}{10} \end{align}\]

\[x_2 = \frac{-7 + 3}{10} = -0,4\] \[x_3 = \frac{-7-3}{10} = -1\]

Damit hast Du für die Funktion \(f(x) = 5x^3+7x^2+2x\) die Nullstellen \(x_1 = 0\); \(x_2 = -0,4\) und \(x_3 = -1\) berechnet.

Nullstellen berechnen - Substitution

Die Substitution wendest Du vorwiegend auf Funktionen höheren Grades an. Oftmals kannst Du die Funktion durch Substitution auf Grad 2 bringen und die Nullstellen mithilfe der pq- oder Mitternachtsformel lösen. Du solltest aber nicht die Resubstitution am Ende Deiner Rechnung vergessen.

Aufgabe 4

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 5x^4+8x^2+3\).

Lösung

1. Schritt: geeignete Variable zur Substitution finden

Du möchtest die gegebene Funktion vierten Grades in eine Funktion zweiten Grades umwandeln. Dies funktioniert am besten, wenn Du für \(x^2\) eine neue Variable einsetzt. \(z\) eignet sich hierfür gut.

\[x^2 = z\]

Wenn Du diese neue Variable in die Funktion \(f(x)\) einsetzt, kommt folgende neue Funktion heraus:

\[f(z) = 5z^2+8z+3\]

2. Schritt: Nullstellen berechnen

Die Nullstellen dieser neuen Funktion \(f(z)\) kannst Du durch die Mitternachtsformel berechnen.

\[\begin{align} z_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{10} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm 2}{10} \end{align}\]

\[z_1 = \frac{8+2}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[z_2 = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6\]

3. Schritt: Resubstitution

Wie oben schon erwähnt, steht als letzter Schritt die Resubstitution der berechneten Nullstellen von \(f(z)\) an. Dafür nimmst Du die Formel für die Variable \(z\), setzt jeweils eine Nullstelle ein und stellst sie nach \(x\) um.

\[\begin{align} x^2 &= z \\x^2 &= 1 \\x &= \sqrt{1} \end{align}\]\[x_1 = -1 ~~~~ x_2 = 1\]

\[\begin{align} x^2 &= z \\x^2 &= 0,6 \\x &= \sqrt{0,6} \end{align}\]

\[x_3 = -\frac{\sqrt{15}}{5} ~~~~ x_4 = \frac{\sqrt{15}}{5}\]

Durch Substitution und Resubstitution hast Du die Nullstellen \(x_1 = -1\) ; \(x_2 = 1\) ; \(x_3 = -\frac{\sqrt{15}}{5}\) und \(x_4 = \frac{\sqrt{15}}{5}\) herausgefunden.

Nullstellen berechnen - Polynomdivision

Die Polynomdivision ist eine Methode, um ganzrationale Funktionen höheren Grades auf den für die Mitternachts- oder pq-Formel nötigen zweiten Grad zu bringen.

Aufgabe 5

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = x^3-2x^2-4x+8\)

Lösung

Zuerst solltest Du eine Nullstelle durch Einsetzen verschiedener x-Werte herausfinden, um einen Dividenden für die Polynomdivision zu bekommen.

\[f(2) = 2^3-2\cdot2^2-4\cdot2+8 = 8-8-8+8 = 0\]

Wenn Du für x 2 einsetzt, wird die ganze Gleichung 0, das heißt, dass \(x_1 = 2\) eine Nullstelle der Funktion f(x) ist. Damit kannst Du die Polynomdivision mit \((x-2)\) als Dividenden durchführen.

\[\begin{align}(x^3-2x^2-4x+8) : (x-2) = x^2-4 \\-(x^3-2x^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\-(-4x+8) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}\]

Durch die Polynomdivision hast Du nun die quadratische Funktion \(g(x) = x^2-4\), welche Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, um so die letzten beiden Nullstellen zu bekommen.

b ist in der neuen Funktion g(x) 0, weswegen Du für b in der Mitternachtsformel 0 einsetzt.

\[x_{2,3} = \frac{0 \pm \sqrt{0-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1} = \frac{\pm \sqrt{16}}{2} = \frac{\pm 4}{2}\]

\[x_2 = \frac{4}{2} = 2;~~ x_3 = \frac{-4}{2} = -2\]

Dadurch, dass die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) die gleiche sind, hast Du an dieser x-Koordinate eine doppelte Nullstelle gefunden.

Damit hast Du die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) berechnet.

Nullstellen berechnen - Horner-Schema

Bei der Berechnung der Nullstellen mit dem Horner-Schema gehst Du ähnlich vor wie bei der Polynomdivision. Erst findest Du eine Nullstelle durch Probieren, anschließend stellst Du eine Tabelle auf, mit welcher Du das Polynom zweiten Grades herausfindest, und als letzten Schritt berechnest Du die letzten Nullstellen mit der Mitternachts- oder pq-Formel.

Aufgabe 6

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 4x^3+6x^2-4x-3\) mit dem Horner-Schema.

Lösung

Als ersten Schritt suchst Du eine Nullstelle, indem Du verschiedene x-Werte ausprobierst.

\[f(0) = 4\cdot0^3+6\cdot0^2-4\cdot0-3 = 0+0-0-3 = -3\]

An der x-Koordinate \(x = 0\) liegt keine Nullstellen vor.

\[\begin{align} f(-0,5) &= 4\cdot(-0,5)^3+6\cdot(-0,5)^2-4\cdot(0,5)-3 = \\&= 4\cdot(-0,125)+6\cdot0,25-4\cdot(-0,5)-3 = \\&= -0,5+1,5+2-3 = 0 \end{align}\]

An der x-Koordinate \(x = -0,5\) wird die Funktion f(x) 0, was heißt, dass hier eine Nullstelle vorliegt. Mit dieser Nullstelle kannst Du nun mit dem Horner-Schema weitermachen.

\[4\]\[6\]\[-4\]\[-3\]
\[x = -0,5\]\[-0,5\cdot4 = -2\]\[-0,5\cdot4 = -2\]\[-0,5\cdot(-6) = 3\]
\[4\]\[6-2= 4\]\[-4-2 = -6\]\[-3+3 = 0\]

Die Addition in der letzten Spalte ergibt 0, womit die Nullstelle bei \(x = -0,5\)bestätigt wurde.

Die Ergebnisse der Produkte der zweiten Zeile sind die Koeffizienten des neuen Polynoms zweiten Grades.

\[g(x) = \frac{4x^3+6x^2-4x-3}{x+0,5} = -2x^2-2x+3\]

Das neue Polynom zweiten Grades kannst Du als letzten Schritt in die Mitternachtsformel oder pq-Formel einsetzen, um die letzten zwei Nullstellen herauszufinden.

\[x_{2,3} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-2)\cdot3}}{2\cdot(-2)} = \frac{2\pm\sqrt{4+24}}{-4} = \frac{2\pm\sqrt{28}}{-4}\]

\[x_2 = \frac{2+\sqrt{28}}{-4} \approx 1,82; ~~~ x_3 = \frac{2-\sqrt{28}}{-4} \approx -0,82\]

Somit hast Du mit dem Horner-Schema die Nullstellen \(x_1 = -0,5\), \(x_2 = 1,82\) und \(x_3 = -0,82\) herausgefunden.

Nullstellen berechnen - Formel von Cardano

Die Formel von Cardano kannst Du dazu nutzen, um die Nullstellen von kubischen Funktionen direkt berechnen zu können. Dabei benötigst Du keine Polynomdivision oder Ähnliches, sondern 4 andere Schritte.

Aufgabe 7

Löse die ganzrationale Funktion \(f(x) = 2x^3 +8x^2-2x-6\) mit der Formel von Cardano.

Lösung

Wie oben erwähnt, sind für die Formel von Cardano 4 Schritte notwendig.

1. Schritt: \(x^3\) muss alleine stehen.

\[\begin{align} 2x^3+8x^2-2x-6 &= 0 ~~~~~~~~ | :2 \\x^3+4x^2-x-3 &= 0 \end{align}\]

2. Schritt: Nötige Variablen definieren

Für die Formel von Cardano sind drei neue Variablen nötig, die sich aus den Koeffizienten einer kubischen Funktion, also einer \(x^3\)-Funktion, bilden lassen. Du benötigst die Variablen p,q und D. Außerdem benötigst Du für x noch eine Gleichung in Abhängigkeit der Variable z, welche noch unbekannt ist.

\[\begin{align} p &= b - \frac{(a^2)} {3} \\p &= -1 - \frac{4^2}{3} \\p &= -1 - \frac{16}{3} \\p &= -\frac{19}{3}\end{align}\]

\[\begin{align} q &= \frac{2 \cdot a^3}{27} - \frac{a \cdot b}{3} + c \\q &= \frac{2 \cdot 4^3}{27} - \frac{4 \cdot (-1)}{3} - 3 \\q &= \frac{128}{27} - \frac{-4}{3} -3 \\q &= \frac{83}{27} \end{align}\]

\[\begin{align} D &= \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \\D &= \frac{(\frac{83}{27})^2}{4} + \frac{(-\frac{19}{3})^3}{27} \\D &= 2,36 - \frac{6859}{729} \\D &= -\frac{761}{108} \approx -7,05\end{align}\]

\[\begin{align} x = z - \frac{a}{3} \\x = z - \frac{4}{3}\end{align}\]

Damit hast Du alle nötigen Variablen berechnet und kannst mit dem dritten Schritt weitermachen.

3. Schritt: Fallunterscheidung für die Endberechnung

Bei der cardanischen Formel gibt es Fallunterscheidungen für D, falls es negativ oder positiv wird. In diesem Fall ist D negativ, also nimmst Du die Formel für das negative D. Mit dieser Formel hast Du für die drei reellen Lösungen drei verschiedene Formeln.

\[z_1 = \sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right]\]

\[z_2 = -\sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right]\]

\[z_3 = -\sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right]\]

\[\begin{align} p &= -\frac{19}{3}\\q &= \frac{83}{27}\end{align}\]

\[z_1 = \sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) \right] \approx 2,23\]

\[z_2 = -\sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right] \approx 0,51\]

\[z_3 = -\sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right] \approx -2,73\]

4. Schritt: x berechnen

Als letzten Schritt setzt Du die gerade errechneten z-Werte in die Gleichung \(x = z - \frac{4}{3}\) ein und findest damit x heraus.

\[\begin{align} x_1 &= z_1 - \frac{4}{3} \\&= 2,23 - \frac{4}{3} \approx 0,89\end{align}\]

\[\begin{align} x_2 &= z_2 - \frac{4}{3} \\&= 0,51 - \frac{4}{3} \approx -0,83\end{align}\]

\[\begin{align} x_3 &= z_3 - \frac{4}{3} \\&= -2,73 - \frac{4}{3} \approx -4,06\end{align}\]

Damit hast Du die drei Nullstellen der Funktion \(f(x) = 2x^3+8x^2-2x-6\) als \(x_1 = 0,89; ~~ x_2 = -0,83\) und \(x_3 = -4,06\) herausgefunden.

Nullstellen berechnen - Übungen

In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du Übungen zu den erklärten Methoden Nullstellen zu berechnen. Du wirst zu jedem Thema eine Übungsaufgabe finden.

Faktorisieren

Aufgabe 8

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 6x^3+9x^2-4x\)

Lösung

Bei einer Funktion, welche kein konstantes Glied, also keine Zahl ohne eine Variable, enthält, ist Faktorisieren der schnellste Weg, um die erste Nullstelle herauszufinden.

\[\begin{align} f(x) &= 6x^3+9x^2-4x \\&= x \cdot (6x^2+9x-4) \end{align}\]

\[x_1 = 0\]

Ein Produkt wird immer 0, sobald einer seiner Faktoren 0 wird.

Die letzten zwei Nullstellen berechnest Du mit dem Term, welcher in den Klammern steht.

\[x_{2,3} = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\cdot6\cdot(-4)}}{2\cdot6} = \frac{-9 \pm \sqrt{81+96}}{12} = \frac{-9 \pm \sqrt{177}}{12}\]

\[x_2 = \frac{-9+\sqrt{177}}{12} = \approx 0,36~~ ; x_3 = \frac{-9+\sqrt{177}}{12} \approx -1,86\]

Damit hast Du durch Faktorisieren und die Mitternachtsformel die Nullstellen \(x_1 = 0, ~~x_2 = 0,36\) und \(x_3 = –1,86\) berechnet.

Satz vom Nullprodukt

Aufgabe 9

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 6x^3-4x^2-5x\) mit dem Satz vom Nullprodukt.

Lösung

1. Schritt: Du solltest überprüfen, ob die Funktion \(f(x)\) ein konstantes Glied, also eine Zahl ohne \(x\) hat. Die gegebene Funktion hat nur Zahlen mit einer Variable, weswegen Du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst.

2. Schritt: \(x\) ausklammern

\[\begin{align} 6x^3-4x^2-5x &= 0 \\x \cdot (6x^2-4x-5) &= 0 \end{align}\]

\[x_1 = 0\]

3. Schritt: restlichen Nullstellen mit der pq- oder Mitternachtsformel berechnen

\[\begin{align} x_{2,3} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 6 \cdot (-5)}}{2 \cdot 6} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{16+120}}{12} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{136}}{12} \end{align}\]

\[x_2 = \frac{4+\sqrt{136}}{12} \approx 1,31; ~~~ x_3 = \frac{4-\sqrt{136}}{12} \approx -0,64\]

Damit hast Du für die Funktion \(f(x) = 6x^3-4x^2-5x\) die Nullstellen \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1,31\) und \(x_3 = -0,64\) berechnet.

Substitution

Aufgabe 10

Berechne die Nullstellen der Funktion \[f(x) = 4x^4-3x^2-6\] mit der Substitution.

Lösung

Wie oben erwähnt benötigst Du für die Nullstellenberechnung mit der Substitution 3 Schritte; eine passende Variable finden, substituieren und Nullstellen berechnen und resubstituieren.

1. Schritt: passende Variable finden

\[x^2 = z\]

2. Schritt: Substituieren und Nullstellen berechnen

\[f(z) = 4z^2-3z-6\]

\[\begin{align} z_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\&= \frac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot4\cdot(-6)}}{2\cdot4} \\&= \frac{3\pm\sqrt{9+96}}{8} \\&= \frac{3\pm\sqrt{105}}{8} \end{align}\]

\[z_1 = \frac{3+\sqrt{105}}{8} \approx = 1,66; ~~~ z_2 = \frac{3-\sqrt{105}}{8} \approx -0,91\]

3. Schritt: Resubstitution mit \(x = \pm \sqrt{z}\)

\[x_1 = \sqrt{z_1} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{105}}{8}} \approx 1,29; ~~~ x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{\frac{3+\sqrt{105}}{8}} \approx -1,29\]

Die Nullstellen \(x_3\) und \(x_4\) kannst Du nicht berechnen, da die Nullstelle \(z_2\) negativ ist und Du keine negativen Wurzeln lösen kannst.

Somit hast Du für die Funktion \(f(x) = 4x^4-3x^2-6\) die Nullstellen \(x_1 = 1,29\) und \(x_2 = -1,29\) berechnet.

Polynomdivision

Aufgabe 11

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = -5x^3+9x^2+15x+9\)

Lösung

Zuerst solltest Du eine Nullstelle durch Einsetzen verschiedener, kleiner x-Werte herausfinden, um einen Dividenden für die Polynomdivision zu bekommen.

\[f(1) = -5 \cdot 1^3+9 \cdot 1^2+15 \cdot 1 + 9 = -5+9+15+9 = 28\]

\[f(3) = -5 \cdot 3^3+9 \cdot 3^2+15 \cdot 3 +9 = -135+81+45+9 = 0\]

Wenn Du für x die Zahl 3 einsetzt, bekommst Du als Ergebnis 0 heraus, was bedeutet, dass bei \(x = 3\) eine Nullstelle vorhanden ist. Nun kannst Du also die Funktion \(f(x)\) durch den Term \(x-3\) teilen.

\[\begin{align}(-5x^3+9x^2+15x+9) : (x-3) = -5x^2-6x-3\\-(-5x^3+15x^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-6x^2+15x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-(-6x^2+18x)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-3x+9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-(-3x+9)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}\]

Durch die Polynomdivision hast Du nun die quadratische Funktion \(g(x) = -5x^2-6x-3\), welche Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, um so die letzten beiden Nullstellen zu bekommen.

\[x_{2,3} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot(-5)\cdot(-3)}}{2\cdot(-5)} = \frac{6 \pm \sqrt{36-60}}{-10} = \frac{6 \pm \sqrt{-24}}{-10}\]

Die Nullstellen \(x_2\) und \(x_3\) kannst Du nicht berechnen, da Du keine negativen Klammern lösen kannst. Somit hast Du die einzige Nullstelle der Funktion \(f(x) = -5x^3+9x^2+15x+9\) bei \(x_1 = 3\) gefunden.

Satz von Cardano

Aufgabe 12

Löse die ganzrationale Funktion \(f(x) = 4x^3+16x^2-4x+32\) mit der Formel von Cardano.

Lösung

Wie oben erwähnt, sind für die Formel von Cardano 4 Schritte notwendig.

1. Schritt: Vor \(x^3\) darf keine Zahl stehen.

\[\begin{align} 4x^3+16x^2-4x+32 &= 0 ~~~~~~~~ | :4 \\x^3+4x^2-x+8 &= 0 \end{align}\]

2. Schritt: Nötige Variablen definieren

Für die Formel von Cardano sind drei neue Variablen nötig, die sich aus den Koeffizienten der kubischen Funktion bilden lassen. Du benötigst die Variablen p,q und D. Außerdem benötigst Du für x noch eine Gleichung in Abhängigkeit der Variable z, welche noch unbekannt ist.

\[\begin{align} p &= b - \frac{(a^2)} {3} \\p &= -1 - \frac{4^2}{3} \\p &= -1 - \frac{16}{3} \\p &= -\frac{19}{3}\end{align}\]

\[\begin{align} q &= \frac{2 \cdot a^3}{27} - \frac{a \cdot b}{3} + c \\q &= \frac{2 \cdot 4^3}{27} - \frac{4 \cdot (-1)}{3} + 8 \\q &= \frac{128}{27} - \frac{-4}{3} + 8 \\q &= \frac{380}{27} \end{align}\]

\[\begin{align} D &= \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \\D &= \frac{(\frac{380}{27})^2}{4} + \frac{(-\frac{19}{3})^3}{27} \\D &= \frac{361}{9} \\D &\approx 40,11 \end{align}\]

\[\begin{align} x = z - \frac{a}{3} \\x = z - \frac{4}{3}\end{align}\]

Damit hast Du alle nötigen Variablen berechnet und kannst mit dem dritten Schritt weitermachen.

3. Schritt: Fallunterscheidung für D

Anders als im Beispiel oben ist hier D positiv. Das heißt, dass es eine reelle und zwei komplexe Lösungen gibt. Hier wird nur die reelle Lösung berechnet.

\[\begin{align} z&= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}} \\z &= \sqrt[3]{-\frac{\frac{380}{27}}{2} + \sqrt{\frac{361}{9}}} + \sqrt[3]{-\frac{\frac{380}{27}}{2} - \sqrt{\frac{361}{9}}} \\z &= \sqrt[3]{-\frac{19}{27}} + \sqrt[3]{-\frac{361}{27}} \\z &\approx -3,26\end{align}\]

4. Schritt: x berechnen

Als letzten Schritt setzt Du das gerade errechnete z in die Gleichung aus Schritt 2 ein und findest damit x heraus.

\[\begin{align} x &= z - \frac{a}{3} \\x &= -3,26 - \frac{4}{3} \\x &\approx -4,60 \end{align}\]

Damit hast Du die einzige reelle Nullstelle der Funktion \(f(x) = 4x^3+16x^2-4x+32\) als \(x = -4,6\) herausgefunden.

Horner-Schema

Aufgabe 13

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = -5x^3+3x^2+7x+14\) mit dem Horner-Schema.

Lösung

Als ersten Schritt suchst Du eine Nullstelle, indem Du verschiedene x-Werte ausprobierst.

\[f(2) = -5\cdot2^3+3\cdot2^2+7\cdot2+14 = -40+12+14+14 = 0\]

An der x-Koordinate \(x = 2\)liegt also eine Nullstelle vor. Mit dieser Nullstelle kannst Du nun mit dem nächsten Schritt des Horner-Schemas weitermachen.

\[-5\]\[3\]\[7\]\[14\]
\[x = 2\]\[2\cdot(-5) = -10\]\[2\cdot(-7) = -14\]\[2\cdot(-7) = -14\]
\[-5\]\[3-10 = -7\]\[7-14 = -7\]\[14-14 = 0\]

Die Addition in der letzten Spalte ergibt 0, womit die Nullstelle bei \(x = 2\)bestätigt wurde.

Die Ergebnisse der Produkte der zweiten Zeile der Tabelle geben Dir die Koeffizienten des neuen Polynoms zweiten Grades.

\[g(x) = \frac{-5x^3+3x^2+7x+14}{x-2} = -10x^2-14x-14\]

Als letzten Schritt berechnest Du die letzten zwei Nullstellen des neuen Polynoms zweiten Grades mit der Mitternachtsformel.

\[x_{2,3} = \frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot(-10)\cdot(-14)}}{2\cdot(-10)} = \frac{14\pm\sqrt{196-560}}{-20} = \frac{14\pm\sqrt{-364}}{-20}\]

Die letzten zwei Nullstellen kannst Du nicht berechnen, da unter der Wurzel eine negative Zahl herauskommt.

Somit hat die Funktion \(f(x) = -5x^3+3x^2+7x+14\) nur die Nullstelle bei \(x = 2\).

Der oftmals schnellste Weg die Nullstellen einer Funktion herauszufinden ist, diese vom Graphen abzulesen. Dazu benötigst Du keine Funktion, sondern nur ein Bild des Graphen. Du schaust, wo der Graph die x-Achse schneidet oder berührt und hast schon die Nullstellen herausgefunden.

Ganzrationale Funktionen Nullstellen Beispiel für Nullstellen ablesen StudySmarterAbbildung 2: Beispiel für Nullstellen ablesen

In der Abbildung siehst Du den Graphen einer kubischen Funktion. Dieser Graph hat 2 Schnittpunkte mit der x-Achse, weswegen er 2 Nullstellen besitzt, eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x_1 = -2\) und eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x_2 = 2\).

Nullstellen ganzrationaler Funktionen / Polynomfunktionen berechnen - Das Wichtigste

  • Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, welche keine Brüche enthält
  • Der Definitionsbereich jeder ganzrationalen Funktion ist \(D_f = \mathbb{R}\)
  • Eine Nullstelle ist die Stelle, an welcher der Graph die x-Achse des Koordinatensystems schneidet
  • Jede Nullstelle wird berechnet, indem Du die Funktion \(f(x)\) gleich 0 setzt
  • Die Nullstellen einer Funktion können auf sehr verschiedene Weisen berechnet werden, einige davon sind: die Formel von Cardano, Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung oder der Satz vom Nullprodukt

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ganzrationale Funktionen Nullstellen

Nullstellen ganzrationaler Funktionen sind die Stellen, an welchen der Graph die x-Achse des Koordinatensystems schneidet.

Eine ganzrationale Funktion hat entweder 0, 1 oder so viele einfache Nullstellen, wie ihr Grad ist. Beispielsweise hat eine Funktion sechsten Grades mindestens 1 oder maximal 6 einfache Nullstellen. Bei doppelten Nullstellen verringert sich die Zahl der Nullstellen um 1. So hat eine Funktion dritten Grades mit einer doppelten Nullstelle insgesamt 2 Nullstellen.

Nullstellen kannst Du am Graphen der dazugehörigen Funktion ablesen. Du suchst nach Stellen, an denen der Graph die x-Achse des Koordinatensystems schneidet oder berührt. Dort liegt eine Nullstelle vor.

Ein Polynom 4. Grades hat mindestens 1 und maximal 4 Nullstellen.

Finales Ganzrationale Funktionen Nullstellen Quiz

Frage

Wie wird die Polynomdivision noch genannt?

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Antwort

 Partialdivision

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Frage

Wozu brauchen wir die Polynomdivision?

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Antwort

Zur Berechnung von Nullstellen bei Polynomen, die eine höhere Potenz besitzen als x²

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Frage

Was muss gegeben sein um die Polynomdivision anzuwenden?

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Antwort

Bei einem Polynom 3. Grades muss eine Nullstelle der Funktion bereits gegeben sein, um die restlichen beiden mithilfe der Polynomdivision zu bestimmen.

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Frage

Wie wende ich die Polynomdivision an?

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Antwort

  1. Linearfaktor mit gegebenen NS bestimmen.
  2.  Funktion durch Linearfaktor teilen.
  3. Herauskommenden Term mit pq- oder abc-Formel lösen und NS bestimmen.

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Frage

Wozu brauchen wir den Linearfaktor?

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Antwort

Den 1. Linearfaktor deiner Funktion ermittelst du, indem du einen Term in der Form (x ± a) konstruierst und a so bestimmst, dass beim Einsetzten der Nullstelle für x der Term 0 wird. Er wird bestimmt mit der ersten gegeben NS. Er wird benutzt in der Polynomdivision.

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Frage

Wende die Polynomdivision an: f(x) = (4 x³ – 13 x + 6) : (x + 2) = ?

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Antwort

4x² - 8x + 3

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Frage

Ist eine Polynomdivision bei Funktionen 4. Grades und höher möglich?

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Antwort

Ja, man benötigt alle Nullstellen dieser Funktion, mit Ausnahme der letzten zwei. Dann kann die Funktion Schritt für Schritt durch Polynomdivision in kleinere Teile aufgebrochen werden, bis man eine quadratische Funktion erhält.

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Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision x³-6x²-x+6/ (x-1) = ?

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Antwort

x² -5x -6

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Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: x³-3x²-10x+24/(x-2)=?

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Antwort

x²-x-12

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Frage

Was ist der Satz vom Nullprodukt? 

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Antwort

Der Satz vom Nullprodukt besagt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist

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Frage

Wann darf man Satz vom Nullprodukt anwenden? 

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Antwort

Der Satz vom Nullprodukt darf nur bei einem Produkt angewendet werden, von dem einer der Faktoren Null werden kann. Faktoren des Produktes sind jeweils die Ausdrücke, die zwischen den Multiplikationszeichen stehen.


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Frage

Wie funktioniert der Satz vom Nullprodukt? 

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Antwort

Wenn a ⋅ b=0, so ist a = 0 und/oder b = 0.  

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Frage

Was kannst du tun, wenn du kein Produkt aus zwei Funktionen vorliegen hast?

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Antwort

Du kannst versuchen, eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt zu verwandeln. Danach kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. 

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Frage

Anhand welcher Kriterien entscheidest du, ob du die pq-Formel/Mitternachtsformel oder den Satz vom Nullprodukt anwendest?

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Antwort

Sobald eine quadratische Gleichung  keine Konstante (z.B. 3) hat, wendest du den Satz vom Nullprodukt an.

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Frage

Kann der Satz vom Nullprodukt auch bei e-Funktionen angewendet werden?

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Antwort

Es ist bei der Berechnung von Nullstellen einer e-Funktion sehr wichtig, diese ausklammern zu können. Dann ergibt sich ein Produkt und du kannst den Satz vom Nullprodukt anwenden.

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Frage

Was ist die Produktform?

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Antwort

Die Produktform bzw. Produktschreibweise ist eine andere Darstellung für eine Polynomfunktion. Der Vorteil dieser Schreibweise ist es, dass du die Nullstellen sofort ablesen kannst. Diese Form kannst du auch als Linearfaktordarstellung bezeichnen.

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Frage

Was ist ein Produkt?

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Antwort

Ein Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation, aber auch ein Term, der eine Multiplikation darstellt. Die verknüpften Elemente nennen sich Faktoren.

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Frage

Wie viele Nullstellen kann eine Funktion 4. Grades haben?

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Antwort

Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Nullstelle und höchstens 4 Nullstellen.

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Frage

Wie kannst du ausklammern?

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Antwort

Um einen Koeffizienten (eine Zahl) auszuklammern zu können, muss dieser als Faktor (d.h. als Teiler) in allen Koeffizienten im Term vorkommen. Du kannst also stets den größten gemeinsamen Teiler aller Koeffizienten ausklammern.

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Frage

Was ist die Linearfaktordarstellung?

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Antwort

Die Linearfaktordarstellung ist eine andere Form eine Polynomfunktion aufzuschreiben. Mit einer Darstellung in Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen der Funktion sofort ablesen.

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Frage

Beschreibe, was mit dem Horner-Schema berechnet werden kann. 

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Antwort

Das Horner-Schema ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern, also eine Alternative zur Polynomdivision. Außerdem dient es der Nullstellenberechnung.

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Frage

Nenne, welche Alternative es zur Polynomdivision gibt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das Horner-Schema ist eine einfache Alternative zur Polynomdivision.

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Frage

Wähle aus, welches Ergebnis das Horner-Schema direkt liefert, ohne weitere Verfahren anzuwenden.

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Antwort

Nullstellen der Funktion

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Frage

Wie kann man die Substitution an einer ganzrationalen Funktion anwenden?

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Antwort

Für die Substitution einer ganzrationalen Funktion benötigst du 4.Schritte:


1.Schritt:

Im ersten Schritt ersetzt du jedes xdurch ein z.


2.Schritt

Da du nun eine Gleichung mit z hast, welche du mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel berechnen kannst, kannst du die sie nun nach z auflösen


3.Schritt

Nun kommst du zur Resubstitution,  bei welcher du den Parameter z wieder mit x2 tauschst.


4.Schritt

Nun musst du nur noch die Wurzel ziehen, um x zu erhalten

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Frage

Was ist die Formel von Cardano?

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Antwort

Die Formel von Cardano ist eine Formel zum exakten Lösen von kubischen Gleichungen.

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Frage

Wie lauten die Schritte bei der Anwendung der cardanischen Formel?

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Antwort

  1. Gleichung in die richtige Form bringen
  2. Definition der Variablen p, q, D, x
  3. Fallunterscheidung
  4. Berechnung von x

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Frage

Welche Fälle gibt es bei der Anwendung der cardanischen Formeln?

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Antwort

Es gibt die Fälle:


  1. D>0
  2. D=0, p ungleich 0
  3. D=0, p=0
  4. D<0

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