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Stetigkeit

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Mathe

Die Stetigkeit von Funktionen drückt aus, dass eine Funktion im Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden kann. Diese Stetigkeit wird bei Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben meist vorausgesetzt, daher stellt die Stetigkeit einen wichtigen Bestandteil der Analysis dar.

Stetigkeit Definition

Was bedeutet Stetigkeit?

Die Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, vereinfacht kann man sie sich als Sprungfreiheit vorstellen: wenn du den Graphen der Funktion zeichnen kannst, ohne ihn abzusetzen, dann ist die Funktion stetig. Es gibt also keine Unterbrechung und keine Sprünge.

Stetigkeit, stetige Funktion, StudySmarterAbbildung 1: stetige Funktion

Wenn ein Funktionsgraph nicht ohne Unterbrechung gezeichnet werden kann, du also dein Stift absetzen und neu ansetzen musst, dann handelt es sich um eine unstetige Funktion.

Es handelt sich also um eine allgemein stetige Funktion, wenn sie an jeder Stelle in ihrem Definitionsbereich stetig ist. Das heißt, ihr Graph weist im gesamten Definitionsbereich der Funktion keine Sprungstellen auf.

Meist musst du in der Schule die Stetigkeit einer Funktion an einem bestimmten Punkt prüfen. Um das zu überprüfen, benötigst du Grenzwerte. Daher wiederholen wir zunächst, was ein Grenzwert ist:

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer größer wird, so heißt die Zahl c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen + (sprich "plus unendlich").

Man schreibt: l i m x + f x = c .

Betrachtet man dasselbe für immer kleiner werdende x-Werte, so ist c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen - .

Man schreibt dann: l i m x - f x = c .

Einen Grenzwert einer Funktion f kann man aber nicht nur im Unendlichen bestimmen. Man kann auch einen Grenzwert an einer bestimmten Stelle berechnen.

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer näher an den Wert x0 kommt, so heißt die Zahl c Grenzwert oder Limes der Funktion gegen x0.

Man schreibt: limxx0fx=c.

Dabei kann man den links- und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen:

  • für den linksseitigen Grenzwert geht man "von unten" gegen x0, setzt also x-Werte ein, die immer ein wenig kleiner als x0 sind.
  • für den rechtsseitigen Grenzwert geht man "von oben" gegen x0, setzt also x-Werte ein, die immer ein wenig größer als x0 sind.

Wenn du mehr über Grenzwerte erfahren möchtest, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Wenn du diese Infos zum Grenzwert verstanden hast, dann kannst du dir nun die Stetigkeit genauer ansehen.

Möchtest du überprüfen, ob eine Funktion an einer gegebenen Stelle x0 stetig ist, musst du dort den links- und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen. Diese beiden Grenzwerte müssen identisch sein, damit die Funktion an der Stelle stetig ist.

Eine stetige Funktion wird also wie folgt definiert:

Eine Funktion f ( x ) ist stetig, wenn sie an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig ist.

Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x0, wenn gilt:

limxx0f(x)=f(x0)

Das sagt aus, wenn x nahe x0 ist, muss f ( x ) nahe an f(x0) sein.

Unstetigkeit von Funktionen

Auch wenn die meisten Funktionen, die in der Schule behandelt werden, stetig sind, sind das natürlich nicht alle Funktionen, die es gibt. Eine Funktion ist unstetig, wenn ihr Graph nicht in einer Linie gezeichnet werden kann.

Eine Funktion f ( x ) ist unstetig, wenn der Graph eine Unterbrechung aufweist.

Dabei müssen folgende Bedingungen gegeben sein:

1. f(x0) ist definiert

2. es existiert kein limxx0f(x)

3. limxx0f(x)f(x0).

Im Gegensatz zu einer stetigen Funktion stimmen die Grenzwerte einer unstetigen Funktion meist nicht überein oder nicht mit dem Funktionswert an der Stelle x0. Daher ist die Funktion unstetig, da sie Lücken oder Sprünge aufweist, an denen der Funktionsgraph nicht mehr konstant verläuft. Man muss also mit dem Stift absetzen, um weiter zu zeichnen.

Bekannte unstetige Funktionen sind die sogenannten Treppenfunktionen. In der folgenden Abbildung siehst du eine davon.

Stetigkeit, unstetige Treppenfunktion, StudySmarterAbbildung 2: unstetige Treppenfunktion

Stetigkeit von Funktionen Beispiele

Die meisten Funktionen, welche du in der Schule kennenlernst, sind stetig und es gibt dahin gehend sehr viele stetige Funktionen. In dieser Tabelle kannst du die wichtigsten finden.

Stetige FunktionenBeispiel
Ganzrationale Funktionf(x)=anxn+...+a1x1+a0
Gebrochen rationale Funktionf(x)=anxn+...+a1x1+a0bmxm+...+b1x1+b0
Wurzelfunktionf(x)=xmn
Trigonometrische Funktion f ( x ) = sin x ; g ( x ) = cos x ; h ( x ) = tan x
Logarithmusfunktionf(x)=logax für a>0
Exponentialfunktionf(x)=ax für a0

Bei den gebrochen rationalen Funktionen musst du beachten, dass sie unbedingt die graphische Bedingung erfüllen, dass man sie in einer Linie zeichnen kann. Es handelt sich jedoch trotzdem um stetige Funktionen.

Der Grund dafür ist, dass gebrochen rationale Funktion an unstetigen Stellen, wie zum Beispiel Definitionslücken oder Unendlichkeitsstellen, nicht definiert sind. Daher sind die im Definitionsbereich Dfstetig, aber nicht auf ganz .

Stetigkeit, gebrochen rationale Funktion, StudySmarterAbbildung 3: Gebrochen rationale Funktion

Bei der oben erwähnten Treppenfunktion gilt dies hingegen nicht. Die Treppenfunktion ist im Gegensatz zu gebrochen rationale Funktion auf ganz definiert. Das heißt, auch die Sprungstellen, an denen der Stift abgesetzt werden muss, sind Teil des Definitionsbereichs. Daher sind Treppenfunktionen nicht stetig.

Stetigkeit an einer Stelle beweisen Beispiele

Nun lernst du, wie man die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle x0 überprüfen oder beweisen kann.

Für die Stetigkeit an einer Stelle gibt ist drei Bedingungen:

1. Bedingung

Zunächst musst du schauen, ob der Punkt x0 überhaupt ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.

2. Bedingung

Die zweite Bedingung sagt aus, dass f ( x ) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x0 besitzt.

Dabei muss sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht.

3. Bedingung

Nun musst du prüfen, ob der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle x0 übereinstimmt.

Dies muss der Fall sein, damit eine Funktion überhaupt stetig sein kann, da ohne die Übereinstimmung eine Unterbrechung des Funktionsgraphen vorliegt.

Schauen wir uns in zwei Beispielen an, wie du diese Bedingungen überprüfen kannst.

Aufgabe 1

Ist die Funktion

f ( x ) = - 1 f ü r x < 0 0 f ü r x = 0 1 f ü r x > 0

an der Stelle x0=0 stetig?

Lösung

1. Bedingung

Überprüfen, ob x0=0 ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.

x0=0gehört zur Definitionsmenge.

2. Bedingung

Überprüfen, ob x0=0 einen beidseitigen Grenzwert besitzt.

Rechtsseitiger Grenzwert:

limx0+=limx0+(1)=1

Wenn du dich der Stelle x0=0 von größeren Zahlen näherst, geht die Funktion gegen 1 .

Linksseitiger Grenzwert:

limx0-=limx0-(-1)=-1

Wenn du dich der Stelle x0=0 von kleineren Zahlen näherst, geht die Funktion gegen - 1 .

Da der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert voneinander abweichen, liegt an der Stelle x0=0 kein Grenzwert vor!

Da die 2. Bedingung an der Stelle x0=0 nicht erfüllt wurde, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig.

Aufgabe 2

Ist die Funktion f(x)=x3 an der Stelle x0=0 stetig?

Lösung

1. Bedingung

Überprüfen, ob x0=0 ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.

x0=0 gehört zur Definitionsmenge.

2. Bedingung

Überprüfen, ob x0=0 einen beidseitigen Grenzwert besitzt.

Rechtsseitiger Grenzwert:

limx0+=limx0+(x3)=0

Wenn du dich der Stelle x0=0 von größeren Zahlen näherst, geht die Funktion f(x)=x3 gegen 0.

Linksseitiger Grenzwert:

limx0-=limx0-(x3)=0

Wenn du dich der Stelle x0=0 von kleineren Zahlen näherst, geht die Funktion f(x)=x3 gegen 0.

Die Stelle x0=0 existiert ein beidseitiger Grenzwert.

3. Bedingung

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.

Funktionswert:

f(x0)=f(0)=0

Grenzwert:

limx0f(x)=0

Der Funktionswert und Grenzwert stimmen an der Stelle x0=0 überein, das heißt, die Funktion ist an dieser Stelle stetig.

Zwischenwertsatz Definition

Nun lernst du den Zwischenwertsatz kennen.

Zwischenwertsatz:

Eine stetige Funktion f(x) besitzt im Intervall a;b mindestens eine Nullstelle, wenn f(a) und f(b)verschiedene Vorzeichen besitzen.

Das heißt, es gibt mindestens ein ca;b für das f(c)=0 gilt.

Dies kann man auch mit einer beliebigen Stelle f(c)=d ausdrücken. Das heißt, jeder Wert d, der zwischen f(a)und f(b) liegt, wird auch wirklich angenommen. Diese Stelle zwischen a und b drückt f(c) aus.

Das heißt außerdem, dass jeder Wert d, der zwischen f ( a ) und f ( b ) liegt, im Intervall a ; b auch wirklich angenommen wird. Es gibt also eine Stelle c zwischen a und b , für die f ( c ) = d gilt.

Stetigkeit, Zwischenwertsatz, StudySmarterAbbildung 4: Zwischenwertsatz

In diesem Beispiel kannst du sehen, dass die Funktion im Intervall - 2 , 5 ; 2 eine Nullstelle bei Punkt A besitzt.

Wenn du mehr über den Zwischenwertsatz erfahren möchtest, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Da du nun alles Wichtige über den Begriff Stetigkeit erfahren hast, lernst du nun den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit kennen.

Die Differenzierbarkeit sagt aus, ob sich eine Funktion f ( x ) ableiten lässt und an welcher Stelle das möglich ist. Dabei ist eine stetige Funktion f ( x ) differenzierbar, wenn die Grenzwerte rechts und links mit der Ableitung der Funktion übereinstimmen:

limxx0-f'(x)=limxx0+f'(x)

Wenn du mehr über die Differenzierbarkeit erfahren möchtest, dann schau dir den dazugehörigen Artikel an.

Jede Funktion, die an einer Stelle x0 differenzierbar ist, ist an dieser Stelle auch stetig:

f ( x ) ist an einer Stelle a differenzierbar f ( x ) ist an der Stelle a stetig

Jedoch ist nicht jede stetige Funktion auch gleich differenzierbar:

f ( x ) ist an einer Stelle a stetig f ( x ) ist an der Stelle a differenzierbar.

Um zu überprüfen, ob eine Funktion stetig und differenzierbar ist, verwendet man folgende Formel:

limh0f(x0+h)-f(x0)h=f'(x0)

Laut der Definition muss also die rechtsseitige und linksseitige Annäherung mit der ersten Ableitung der Funktion übereinstimmen. Wenn diese nicht übereinstimmen, handelt es sich zwar um eine stetige Funktion, jedoch nicht um eine differenzierbare.

Ein Beispiel für eine Funktion, die stetig, aber nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion f ( x ) = x .

Stetigkeit, nicht differenzierbare stetige Funktion, StudySmarterAbbildung 5: Nicht differenzierbare stetige Funktion

Die Funktion ist an der Stelle x0=0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Der Grund für die fehlende Differenzierbarkeit bei 0 ist, dass der Graph am Punkt (0|0) plötzlich seine Richtung ändert und es daher keine Tangente gibt.

Aufgabe

Ist die Funktion f ( x ) = x an der Stelle x0=0stetig und differenzierbar?

Lösung

1. Schritt

Überprüfen, ob der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmt.

Rechtsseitiger Grenzwert:

limx0+x=0

Linksseitiger Grenzwert:

limx0-x=0

Da die Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion stetig.

2. Schritt

Differenzierbarkeit überprüfen.

Um die Differenzierbarkeit zu prüfen, gibt es eine bestimmte Formel:

limh0f(x0+h)-f(x0)h=f'(x0)

Das heißt, die erste Ableitung muss mit der Annäherung übereinstimmen.

f ' ( x ) = 1

Linksseitige Annäherung:

limh0--0-h+0--0+0-hlimh0-h-h=-1

Da die erste Ableitung und die linksseitige Annäherung nicht übereinstimmen, liegt keine Differenzierbarkeit vor und du musst nicht die rechtsseitige Annäherung überprüfen.

Stetigkeit Das Wichtigste

  • Eine stetige Funktion hat einen Graphen ohne Unterbrechung.
  • Um eine stetige Funktion zu beweisen, musst du den beidseitigen. Grenzwert herausfinden und dieser muss mit dem Funktionswert übereinstimmen.
  • Eine stetige Funktion ist nicht immer differenzierbar.
  • Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine Funktion im Intervall mit verschiedenen Vorzeichen einen Nullpunkt besitzt.
  • Um zu überprüfen, ob eine Funktion stetig und differenzierbar ist, verwendest du folgende Formel: limh0f(x0+h)-f(x0)h=f'(x0).
  • Bei gebrochen rationalen Funktionen ist die Stetigkeit meist graphisch nicht sichtbar, aber trotzdem vorhanden.
  • Bei einer stetigen Funktion muss folgende Bedingung gegeben sein: limxaf(x)=f(a).

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph keine Unterbrechungen aufzeigt. Dabei muss die Stelle der Funktion ein Bestandteil der Definitionsmenge sein und sie muss beidseitige Grenzwerte besitzen die mit dem Funktionswert übereinstimmen.

Eine Funktion ist nicht stetig sobald der Graph eine Unterbrechung aufweist und kein beidseitiger, gleicher Grenzwert exisitiert.

Nicht jede stetige Funktion ist auch gleich immer differenzierbar. So ist die Betragsfunktion mit f(x)=|x| stetig, aber allgemein nicht differenzierbar.

Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist muss sie drei Bedingung erfüllen. Zum einen muss die Stelle in der Definitionsmenge vorhanden sein und einen beidseitigen Grenzwert besitzen. Dieser Grenzwert muss mit dem Funktionwert übereinstimmen.

Finales Stetigkeit Quiz

Frage

Ist die Funktion an der Stelle stetig?



Antwort anzeigen

Antwort

1.Bedingung:

 befindet sich in der Definitionsmenge


2.Bedingung:



Die Funktion ist an dieser Stelle nicht stetig.


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Frage

Wann ist eine Funktion stetig?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne Unterbrechung zeichnen kann.

Das heißt, sie ist an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig.



Das sagt aus, wenn x nahe  ist, muss  nahe an  sein.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die erste Bedingung einer stetigen Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Die erste Bedingung einer stetigen Funktion ist, dass die Stelle  in der Definitionsmenge enthalten sein muss.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die zweite Bedingung einer stetigen Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grenzwerte der Funktion müssen beidseitig übereinstimmen (Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht) und mit dem Funktionswert identisch sein.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter dem Zwischenwertsatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine Funktion in einem Intervall mit Vorzeichenwechsel mindestens eine Nullstelle besitzt.

Das heißt außerdem, dass jeder Wert d, der zwischen   und   liegt, im Intervall  auch wirklich angenommen wird. Es gibt also eine Stelle c  zwischen  a und  b, für die gilt .

Frage anzeigen

Frage

Ist eine differenzierbare Funktion auch stetig? Und ist eine stetige Funktion auch differenzierbar?


Nun folgen verschiedene Antwortmöglichkeiten


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


2.Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Antworten sind richtig:


1. Eine differenzierbare Funktion ist an der Stelle  stetig


3.Eine stetige Funktion ist nicht immer auch differenzierbar

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher gegen einen Punkt läuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer näher an den Wert x0 kommt, so heißt die Zahl c Grenzwert oder Limes der Funktion gegen x0.




Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition des Grenzwertes, welcher Unendlich läuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer größer wird, so heißt die Zahl c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen  (sprich "plus unendlich").



Betrachtet man dasselbe für immer kleiner werdende x-Werte, so ist c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen .



Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition einer unstetigen Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion ist unstetig, wenn der Graph eine Unterbrechung aufweist. 


Im Gegensatz zu einer stetigen Funktion, stimmen die Grenzwerte einer unstetigen Funktion meist nicht überein oder nicht mit dem Funktionswert an der Stelle . Daher ist die Funktion unstetig, da sie Lücken oder Sprünge aufweist, an denen der Funktionsgraph nicht mehr konstant verläuft. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Treppenfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Treppenfunktion ist eine bekannte unstetige Funktion, welche endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist.

Bei der oben erwähnten Treppenfunktion gilt dies hingegen nicht. Die Treppenfunktion ist im Gegensatz zu gebrochen rationale Funktion auf ganz  definiert. Das heißt auch die Sprungstellen, an denen der Stift abgesetzt werden muss, sind Teil des Definitionsbereichs. Daher sind Treppenfunktionen nicht stetig.


Frage anzeigen

Frage

Nenne das Vorgehen zur Bestimmung der Stetigkeit an einem bestimmten Punkt!

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Bestimmung der Stetigkeit an einem Punkt gibt es drei Bedingungen:


1. Bedingung

Zunächst musst du schauen, ob der Punkt  überhaupt ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


2. Bedingung

Die zweite Bedingung sagt aus, dass   einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle  besitzt.

Dabei muss sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht.


3. Bedingung

Nun musst du prüfen ob der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle  übereinstimmt.

Dies muss der Fall sein damit eine Funktion überhaupt stetig sein kann, da ohne die Übereinstimmung eine Unterbrechung des Funktionsgraphen vorliegt.


Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmt man den links- und rechtsseitigen Grenzwert einer Funktion gegen einen Punkt?

Antwort anzeigen

Antwort

Man kann den links- und rechtsseitigen Grenzwert wie folgt bestimmen:


  • für den linksseitigen Grenzwert geht man "von unten" gegen x0, setzt also x-Werte ein, die immer ein bisschen kleiner als x0 sind.
  • für den rechtsseitigen Grenzwert geht man "von oben" gegen x0, setzt also x-Werte ein, die immer ein bisschen größer als x0 sind. 
Frage anzeigen

Frage

Was musst du bei gebrochen rationalen Funktionen beachten?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei den gebrochen rationalen Funktionen musst du beachten, dass sie nicht unbedingt der graphischen Bedingung entsprechen, dass man sie in einer Linie zeichnen kann. Es handelt sich jedoch trotzdem um stetige Funktionen.

Der Grund dafür ist, dass gebrochen rationale Funktion an unstetigen Stellen, wie zum Beispiel Definitionslücken oder Unendlichkeitsstellen, nicht definiert sind. Daher sind die im Definitionsbereich  stetig, aber nicht auf ganz .


Frage anzeigen

Frage

Ist die Funktion  an der Stelle  stetig?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Bedingung

Überprüfen, ob  ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.


 gehört zur Definitionsmenge.


2. Bedingung

Überprüfen ob  einen beidseitigen Grenzwert besitzt.


Rechtsseitiger Grenzwert:


 


Linksseitiger Grenzwert:



Die Stelle  existiert ein beidseitiger Grenzwert.


3. Bedingung

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.


Funktionswert:



Grenzwert:



Der Funktionswert und Grenzwert stimmen an der Stelle  überein, das heißt die Funktion ist an dieser Stelle stetig.




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