In diesem Artikel erfährst du alles, was du zur Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse wissen musst. Die Berechnung der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphs hat vielfältige Anwendungen. Daher solltest du wissen wie du dies am Effektivsten errechnen kannst und das wird dir hier erklärt!
Die Flächenberechnung – Integral
Die Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse lässt sich zurückführen auf die Berechnung bestimmter Integrale. Dieser Sachverhalt ist eine der zentralen Erkenntnisse des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Das Bilden von Stammfunktion und Verwenden des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sind für die Flächenberechnung also essentiell.
Falls du damit noch Probleme hast, dann schau' dir dir den Artikel Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an!
Unter anderem kannst du die Integralrechnung bei deinen zukünftigen Jobs gebrauchen. Dazu hier mal ein Beispiel:
Stelle dir vor, du hast einen Malerbetrieb und sollst die Fassade dieser Kirche mit neuer Farbe anstreichen. Damit du nicht jede Stunde zum Baumarkt fährst, da deine Farbe schon wieder leer ist oder du am Ende noch fünf Farbeimer übrig hast, solltest du die zu streichende Fläche berechnen.
Abbildung 1: Der Eingang der Kirche
Im Folgenden werden wir dieses Beispiel fortführen, aber etwas vereinfacht. Die große Tür braucht nicht gestrichen zu werden, daher müssen wir diese bei der Berechnung der Fläche abziehen. Abstrakter kann der Sachverhalt auch in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Hier ist die Tür die blau schraffierte Fläche und die orange Fläche entspricht der gesamten Fassade.
Abbildung 2: Der Torbogen des Eingangs im Koordinatensystem
Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse
Du weißt bereits, dass die Fläche einer Funktion in einem abgeschlossenen Intervall dem bestimmten Integral mit den gegebenen Integrationsgrenzen entspricht. Dies gilt aber nur, wenn der Funktionsgraph oberhalb der x-Achse verläuft. Sollte das nicht der Fall sein, musst du anders vorgehen.
Fläche oberhalb der x-Achse berechnen
Hier wird das Beispiel von oben fortgeführt. Die Gesamtfläche entspricht dem orangen Rechteck, somit kann der Flächeninhalt berechnet werden, indem die Länge des Rechtecks mit der Breite multipliziert wird. In dem Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter.
Allerdings wird nicht die ganze Fläche gebraucht, da die Tür nicht gestrichen wird. Im Folgenden berechnen wir die Fläche der Tür:
Die Tür wird durch die Funktion dargestellt:
Der Abbildung können die Integrationsgrenzen entnommen werden: 
.
Die Funktion kannst du ableiten, da es sich um eine Polynomfunktion handelt, und das Intervall ist abgeschlossen. Daher dürfen wir dir Fläche nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen:
Nun weißt du, wie groß die Tür und wie groß die Gesamtfläche ist. Subtrahieren wir diese Werte voneinander, dann ergibt sich die zu streichende Fläche:
Wir stellen fest:
Sind alle Funktionswerte der Funktion positiv oder gleich null in einem vorgegebenen Intervall 
, dann entspricht die Fläche zwischen Graph und x-Achse dem bestimmten Integral:
Fläche unterhalb der x-Achse berechnen
Nicht immer wird nach der Fläche oberhalb der x-Achse gesucht. Allerdings braucht keine Panik aufzukommen, da die Berechnung fast die Gleiche ist, wie oben. Da das Integral unterhalb der x-Achse verläuft, ist der errechnete Flächeninhalt negativ. Eine negative Fläche existiert nicht, daher wird der Betrag dieses Wertes genommen.
Sind alle Funktionswerte der Funktion negativ oder gleich null in einem vorgegebenen Intervall 
, dann entspricht die Fläche zwischen Graph und x-Achse dem Betrag des bestimmten Integrals:
Um dies nochmal zu verdeutlichen, schauen wir uns folgendes Beispiel an:
Der Querschnitt eines Flusses wird durch die Funktion approximiert:
Abbildung 3: Die Funktion f(x) mit der gesuchten Fläche
Auch hier können wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden, da für die Funktion eine Ableitung existiert und das Intervall 
abgeschlossen ist. Also suchen wir wieder eine Stammfunktion der Funktion und wenden dann den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an:
Durch die Betragsstriche wird der negative Zahlenwert in einen positiven umgewandelt, weil eine Fläche nicht negativ sein kann.
Eine andere Möglichkeit das Vorzeichen bei negativen Flächen zu wechseln, ist, ein Minus vor das Integralzeichen zu schreiben, statt das Integral in Betrag zu setzen. Schlussendlich kommst du aber mit beiden Methoden auf die richtige Lösung!
Das Integral als Flächenbilanz
Vielleicht hast du dir schon die Frage gestellt was passiert, wenn die Funktion sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft. Dann ist die Berechnung etwas aufwendiger. Warum zeigen wir dir in einem Beispiel:
Gegeben sei die lineare Funktion und die Intervallgrenzen 
.
Angenommen wir rechnen wie bisher, dann stellen wir fest, dass wir den Hauptsatz benutzen dürfen, da die Funktion differenzierbar und das Intervall abgeschlossen ist. Demnach berechnet sich die Fläche durch:
Nun haben wir ausgerechnet, dass die Fläche null ist, es also keine Fläche gibt, aber wenn wir die Aufgabe graphisch lösen, dann sehen wir, dass es eine Fläche gibt:
Abbildung 4: Die gesuchte Fläche der Funktion f(x)
Die Fläche unterhalb der x-Achse ist genauso groß wie die Fläche oberhalb der x-Achse. Das Integral nimmt davon dann die Bilanz, sprich in dem Fall werden die beiden Flächen aufaddiert. Allerdings ist eine Fläche vermeintlich negativ. Du weißt von oben aber schon, was dann zu tun ist, nämlich den Betrag nehmen für die Fläche unterhalb der x-Achse. Übrigens spricht man dann auch vom gerichteten Flächeninhalt:
Nachdem wir uns diese Besonderheit angeschaut haben, kommen wir zum abschließenden Beispiel und einer kleinen Anleitung, wie du bei der Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse vorgehen kannst.
Fläche zwischen Graph und x-Achse – Übungen
Um dein Verständnis zu der Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse zu vertiefen, haben wir hier noch zwei weitere Übungsaufgaben:
Aufgabe 1
Berechne die Fläche zwischen und der x-Achse im abgeschlossenen Intervall 
!
Lösung
1. Schritt: Bestimme die Nullstellen der Funktion:
Dazu müssen diejenigen x-Werte bestimmt werden, für die gilt:
Jetzt weißt du, dass bei die Funktion eine Nullstelle hat. Das heißt, das Vorzeichen der y-Werte wird sich an der Stelle mit ziemlich großer Sicherheit ändern.
2. Schritt: Bestimme das Vorzeichen der y-Werte:
Oben haben wir festgestellt, dass es wichtig ist, ob die Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Genau das untersuchst du in diesem Schritt.
Setzen wir den äußeren Intervallwert 0 ein, dann ist der Funktionswert -1, also negativ. Dann weißt du, dass die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, zumindest bis zur Nullstelle . Wenn du dann noch den anderen äußeren Intervallwert 2 in die Funktionsgleichung einsetzt, dann kommt dort ein positiver Wert raus. Das heißt, die Funktion verläuft in 
oberhalb der x-Achse!
Alternativ kannst du das auch zeichnerisch lösen:
Abbildung 5: Die verschobene Wurzelfunktion
3. Schritt: Bestimme eine Stammfunktion der gegebenen Funktion:
4. Schritt: Berechne die bestimmten Integrale unter Beachtung des Verlaufs der Funktion:
Dazu muss in diesem Fall die Fläche unterhalb der x-Achse im Intervall berechnet werden und die Fläche oberhalb der x-Achse im Intervall . Anschließend addierst du beide Flächen!
Zur Berechnung wird wieder der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendet:
Aufgabe 2
Berechne die Fläche zwischen des Graphens der Funktion und der x-Achse im Intervall 
!
Lösung
Die Sinusfunktion verläuft im besagten Intervall oberhalb der x-Achse, daher kann die Fläche durch das bestimmte Integral berechnet werden. Außerdem wissen wir, dass die Sinusfunktion differenzierbar ist, daher verwenden wir zur Berechnung des bestimmten Integrals den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Die gesuchte Fläche beträgt also rund 5,14 Flächeneinheiten.
Fläche zwischen Graph und x-Achse – Das Wichtigste
- Die Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse ist zurückzuführen auf die Berechnung des bestimmten Integrals.
- Bei der Berechnung ist der Verlauf des Funktionsgraphen entscheidend!
- Verläuft die Funktion oberhalb der x-Achse, dann entspricht die Fläche dem bestimmten Integral.
- Verläuft die Funktion unterhalb der x-Achse, dann entspricht die Fläche dem Betrag des bestimmten Integrals.
- Verläuft die Funktion sowohl unterhalb als auch oberhalb der x-Achse im vorgegebenen Intervall, müssen die Nullstellen berechnet werden und die Flächen einzeln berechnet werden.
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