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Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben

Vielleicht hast Du Dich schon mal mit der Frage beschäftigt, welche Maße ein Haus haben sollte – etwa ein Gartenhaus – damit Du für die Mauern so wenig Material wie nötig verwenden kannst. Oder Du fragst Dich bei einem Pool, wann das Wasser den höchsten Stand hatte und wann Du diesen wieder auffüllen solltest.

Das alles sind Fragen zum Thema von Extremwertproblemen. Denn es gibt einen Umfang, bei dem die Grundfläche des Hauses maximal ist oder auch der Pegel des Wassers. In dieser Erklärung erfährst Du, wie Du Extremwertaufgaben am besten löst und welche Rolle Nebenbedingungen spielen.

Extremwertaufgaben Grundlagen

Möchtest Du einen Extremwert berechnen, benötigst Du vor allem eines: Extrempunkte. Also lokale und globale Maxima und Minima einer Funktion, denn an dieser Stelle befindet sich der größte oder kleinste mögliche Wert, der in der Aufgabenstellung gesucht ist.

Eine Wiederholung zu diesen Themen findest Du in

Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Wenn etwa ein Tiergehege eine möglichst große Fläche haben soll, das Material für den Zaun aber begrenzt ist, gibt es zwei Bedingungen. Nämlich einmal die maximale Fläche und andererseits die begrenzte Länge des Zauns.

Extremwertprobleme/Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung sind Aufgaben, die mehr als eine Variable enthalten.

Daher setzen sie sich aus Haupt- und Nebenbedingung zusammen, mittels derer die unbekannten Variablen auf nur noch eine Unbekannte reduziert werden können.

Diese resultierende Funktion wird als Zielfunktion bezeichnet.

Genauer gesagt:

\[\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200}\definecolor{türkies}{RGB}{0,220,180}\text{Hauptbedingung + Nebenbedingung = Zielfunktion}\]

Es gibt dabei mehrere Schritte auf dem Weg zur Lösung.

1. Hauptbedingung

Du benötigst zuerst eine Hauptbedingung, um eine Extremwertaufgabe zu lösen.

Die Hauptbedingung beschreibt bei Extremwertproblemen immer die Größe, welche maximal oder minimal werden soll.

Meist handelt es sich dabei um eine Fläche, ein Volumen oder einen Umfang.

Ein Bauer hat ein neues Grundstück gekauft und dazu Material, um einen Zaun mit einer Länge von bis zu \(500\,\text{m}\) zu bauen. Daraus soll eine neue Weide für seine Rinder werden. Er möchte, dass die Fläche der Weide so groß wie möglich wird, sie muss aber rechteckig sein, sodass er daneben noch neue Felder anlegen kann.

Wie kann er nun herausfinden, wie er den Zaun bauen muss, damit seine Rinder möglichst viel Platz haben?

Der Bauer benötigt also zuerst eine Funktion, die den Flächeninhalt der neuen Weide darstellt.

Extremwertaufgaben Rechteck StudySmarterAbb. 1 - Recheck

Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen, multiplizierst Du die Seite \({\color{blau}a}\) mit der Seite \({\color{türkies}b}\).

\[A={\color{blau}a}\cdot{\color{türkies}b}\]

Das ist nun die Hauptbedingung.

2. Nebenbedingung

Wenn Du Dich erinnerst, hat der Bauer aber nur Material für einen \(500\,\text{m}\) langen Zaun. Das ist in diesem Fall die Nebenbedingung, die die Hauptbedingung eingrenzt.

Die Nebenbedingung liefert Informationen, welche dabei helfen, die Zielfunktion aufzustellen. Genauer gesagt grenzt sie die Hauptbedingung ein.

Du kannst eine Nebenbedingung daran erkennen, dass von ihr kein Extremwert gesucht wird.

Die Nebenbedingung sorgt also dafür, dass Du eine Funktion aufstellen kannst, die maximal oder minimal werden kann. Denn die Hauptbedingung allein wäre in diesem Fall eine lineare Funktion und kann dementsprechend unendlich groß werden. Das allein hilft also nicht weiter.

Der Bauer kann also einen \(500\,\text{m}\) langen Zaun bauen. Dafür benötigst Du den Umfang des Rechtecks:

Extremwertaufgaben Rechteck StudySmarterAbb. 2 - Rechteck

Für den Umfang addierst Du alle Seiten des Rechtecks miteinander. Da die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, kannst Du ihnen denselben Namen geben.

\[U={\color{blau}a}+{\color{türkies}b}+{\color{blau}a}+{\color{türkies}b}=2({\color{blau}a}+{\color{türkies}b})=500\,\text{m}\]

Damit hast Du soeben auch die Nebenbedingung gefunden.

Versuche immer so wenig Variablen wie möglich zu verwenden, denn andernfalls hast Du am Ende mehr Variablen als Gleichungen und kannst das Gleichungssystem nicht mehr lösen!

3. Zielfunktion

Haupt- und Nebenbedingung hast Du also aufgestellt, jetzt kannst Du mit ihnen die Zielfunktion aufstellen.

Die Zielfunktion ist eine Kombination aus Haupt- und Nebenbedingung, wobei sie möglichst nur eine Unbekannte enthält.

Um zu erreichen, dass nur noch eine Variable vorhanden ist, löst Du die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setzt das Ergebnis in die Hauptbedingung ein.

Die Nebenbedingung ist der Umfang der Weide, der \(500\,\text{m}\) betragen soll. Diese Gleichung kannst Du nach einer Variablen auflösen

\begin{align}2(a+b)&=500&&\vert:2\\a+b&=250&&\vert-b\\a&=250-b\end{align}

Du kannst hier auch nach \(b\) auflösen und damit weiter rechnen. Das macht keinen Unterschied, denn das Endergebnis bleibt das Gleiche.

und in die Hauptbedingung einsetzen:

\begin{align}A&=a\cdot b\\A&=(250-b)\cdot b=250b-b^2\\\end{align}

Damit ist die Zielfunktion gefunden.

4. Extremstellen

Um eine Extremstelle zu finden, benötigst Du die 1. und 2. Ableitung der Zielfunktion.

Die Ableitung zeigt Dir, wie steil eine Funktion an einem bestimmten Punkt ist, also welche Steigung sie hat.

Durch die Ableitung kannst Du Extrempunkte finden und diese durch erneutes Ableiten weiter spezifizieren.

An der Stelle eines Extrempunktes ist die Steigung 0, da der Graph nach diesem Punkt wieder abfällt oder ansteigt, je nachdem, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.

Die Zielfunktion \(A=250b-b^2\) muss also abgeleitet und mit 0 gleichgesetzt werden, um die Stelle zu finden, an der ein Extrempunkt vorliegt, also die Fläche ihren maximalen Wert hat.

\begin{align}A'&=250-2b\\\\0&=250-2b&&\vert+2b\\2b&=250&&\vert:2\\b&=125\,[\text{m}]\\\end{align}

Die Funktion hat also eine Extremstelle bei \(b=125\,\text{m}\). Um sicherzugehen, dass es sich wirklich um ein Maximum handelt, kannst Du noch die 2. Ableitung bilden und überprüfen, welche Steigung sie hat.

\[A''=-2<0\]

Die Steigung ist kleiner als 0. Das heißt, es handelt sich wirklich um ein Maximum, da der Graph danach nicht weiter ansteigt, sondern wieder abfällt.

5. Ergebnis

Nachdem Du eine (oder mehrere) Extremstellen gefunden hast, kannst Du das Ergebnis in die Nebenbedingung einsetzen, um den Wert der 2. Variable zu erhalten. Damit kannst Du dann die Gleichung der Hauptbedingung lösen und hast den gesuchten Wert gefunden.

Du hast berechnet, dass an der Stelle von \(b=125\) ein Extrempunkt existiert. Setzt Du diesen Wert nun in die Gleichung der Nebenbedingung ein, erhältst Du:

\begin{align}U&=2(a+b)\\500&=2(a+125)&&\vert:2\\250&=a+125&&\vert-125\\a&=125\,[\text{m}]\\\end{align}

Eingesetzt in die Gleichung der Hauptbedingung ergibt das:

\begin{align}A&=a\cdot b\\A&=125\cdot 125=15\,625\,[\text{m}^2]\\\end{align}

Die größtmögliche Weide mit \(500\,\text{m}\) Zaun hat also eine Fläche von \(15\,625\,\text{m}^2\), was umgerechnet etwa \(\text{1,6 ha}\) entspricht.

Übersicht der Vorgehensweise

Möchtest Du also eine Extremwertaufgabe lösen, gehst Du so vor:

  1. Bestimme die Hauptbedingung.
  2. Bestimme die Nebenbedingung.
  3. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen (\(a\)) auf.
  4. Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
  5. Berechne die Extremstellen der Zielfunktion, indem Du deren Ableitung bestimmst und sie anschließend gleich 0 setzt. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable (\(b\)).
  6. Setze den errechneten Wert (von \(b\)) in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable (\(a\)) zu erhalten.
  7. Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.

Extremwertaufgaben Beispiele

Meist wird ist bei Extremwertaufgaben das Maximum (oder auch Minimum) einer Strecke, einer Fläche oder eines Volumens unter einer bestimmten Bedingung gesucht. Das heißt, meist geht es um geometrische Figuren oder Körper.

Falls Du nicht mehr so genau weißt, wie Du die Oberfläche oder das Volumen eines geometrischen Körpers berechnest, schau doch mal bei den Erklärungen geometrische Figuren oder geometrische Körper vorbei!

Extremwertaufgaben Rechteck

Wie Du den Extremwert eines Rechtecks berechnest, kannst Du unter der Überschrift Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen nachlesen. Dort war der Umfang die Nebenbedingung. Es kann aber beispielsweise auch das Seitenverhältnis die Nebenbedingung sein.

Extremwertaufgaben quadratische Funktionen

Auch eine quadratische Funktion hat einen Extrempunkt, nämlich ihren Scheitel. Um diesen zu finden, leitest Du die Funktion ab – dadurch erhältst Du die Steigung – und setzt diese dann mit \(0\) gleich, denn am Scheitelpunkt ist die Steigung gleich \(0\).

Wenn Du also die Extremstelle von beispielsweise der Funktion \({\color{blau}f(x)=(x-2)^2+1}\) suchst, leitest Du die Funktion ab, setzt sie mit \(0\) gleich und löst nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=(x-2)^2+1\\[0.2 cm]f'(x)&=2(x-2)\\f'(x)&=2x-4\\[0.2 cm]\rightarrow\quad 2x-4&=0&&|+4&&&|:2\\x&=2\\\end{align}

Also existiert ein Extrempunkt bei \(x=2\). In diesem Fall handelt es sich um ein Minimum, weil die Paralbel positiv, also nach oben geöffnet ist.

Das \(x\) kannst Du nun noch in \({\color{blau}f(x)}\) einsetzen, um den genauen Punkt zu berechnen:

\begin{align}f(2)&=(2-2)^2+1\\f(2)&=1\quad\Rightarrow\quad{\color{türkies}P\,(2|1)}\end{align}

Extremwertaufgaben quadratische Funktionen StudySmarterAbb. 3 - Minimum quadratische Funktion

Extremwertaufgaben Dreieck

Extremwertaufgaben für Dreiecke lassen sich nach demselben Prinzip lösen, wie Extremwerte von Rechtecken. Auch hierbei wird eine Funktion gesucht, die nur noch von einer Variablen abhängig ist. Dazu benötigst Du oft eine Nebenbedingung, um eine Variable zu eliminieren.

Ein Dreieck soll im ersten Quadranten unterhalb des Graphen \(f(x)\) liegen. Die Grundseite des Dreiecks liegt auf der x-Achse und vom rechten Ende geht eine Parallele zur y-Achse bis zum Schnittpunkt mit \(f(x)\) wie in der folgenden Abbildung. Die Funktion lautet \(f(x)=-\frac{2}{15} x^2+10\).

Extremwertaufgaben Dreieck StudySmarterAbb. 4 - maximales Dreieck unter Funktion Skizze

Berechne die maximale Fläche des Dreiecks und gib den Schnittpunkt mit dem Graphen von \({\color{blau}f(x)}\) an.


Schritt 1: Hauptbedingung aufstellen

Die Hauptbedingung ist die Fläche des Dreiecks, die maximal werden soll. Die Fläche eines Dreiecks berechnest Du mit:

\[A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\]

Schritt 2: Nebenbedingung aufstellen:

Die Nebenbedingung ist, dass das Dreieck unterhalb der Funktion \(f(x)\) liegen muss. Somit liegt die Spitze des Dreiecks genau auf dem Graphen der Funktion \(f(x)\). Da Du diesen Punkt erst berechnen musst, setzt du für die Grundseite \(g\) ein \(x\) ein (da die Grundseite auf der x-Achse liegt) und für die Höhe \(h\) die Funktion \(f(x)\).

\begin{align}g & = x\\h & = f(x) = - \frac{2}{15} x^2 + 10\end{align}

Extremwertaufgaben Dreieck StudySmarterAbb. 5 - maximales Dreieck unter Funktion Seitenlängen

Schritt 3: Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen:

Nun setzt Du \(g\) und \(h\) in die Formel für das Dreieck ein:

\begin{align}A &= \frac{1}{2} \cdot x \cdot (- \frac{2}{15} x^2 + 10) \\&= - \frac{1}{15} x^3 + 5 \cdot x\end{align}

Schritt 4: Extremstellen der Zielfunktion berechnen:

Dazu wird wieder die Ableitung der erhaltenen Funktion ermittelt.

\begin{align}A'&= -3 \cdot \frac{1}{15} x^2 + 5 \\&= - \frac{1}{5} x^2 + 5\end{align}

Um die Extremstellen zu ermitteln, wird nun die Ableitung mit Null gleichgesetzt.

\begin{align}- \frac{1}{5} x^2 + 5 &= 0 &&| - 5 \\- \frac{1}{5} x^2 &= - 5 &&\left| : \left(-\frac{1}{5}\right)\right. \\ x^2 &= 25 &&\left|\sqrt{\quad}\right.\\[0.2cm]x_{1/2}&=\pm5\\\\\Rightarrow\quad&x_1 = -5\qquad x_2= 5\end{align}

Hier macht allerdings nur \(5\) Sinn, weil das Dreieck im 1. Quadranten liegen soll, in dem alle Werte nur positiv sein können.

Schritt 5: Werte bestimmen:

Nun kannst Du das gefundene \(x\) in die Zielfunktion einsetzen und damit den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:

\begin{align}A &= - \frac{1}{15} x^3 + 5 x \\[0.2 cm]&= \frac{50}{3} \approx \text {16,7 FE}\end{align}

Genauso wie \(g\) und \(h\) setzt sich der Schnittpunkt zusammen aus \(x\) und \(f(x)\):

\begin{align}P \, (5| f(5)) &= P \, \left(5\left| -\frac{2}{15}\cdot 5^2 + 10\right.\right) \\[0.2cm]&= P \, \left(5\left| \frac{20}{3}\right.\right)\end{align}

Das gesuchte Dreieck besitzt eine maximale Fläche von \(\text {16,7 FE}\). Seine Spitze liegt auf dem Punkt \(P \, \left(5\left| \frac{20}{3}\right.\right)\).

Extremwertaufgaben Dreieck StudySmarterAbb. 6 - maximales Dreieck unter Funktion Ergebnis

Extremwertaufgaben Volumen

Neben Flächen kann aber auch das Volumen maximiert oder minimiert werden. Da es hier allerdings meist drei Variablen gibt, kannst Du diese oftmals geschickt auf zwei Variablen reduzieren und so die Aufgabe lösen. Im Folgenden siehst Du das Prinzip anhand eines Quaders.

Eine Schachtel soll gebastelt werden. Zur Verfügung stehen \(40\text{ cm}^2\) Pappe. Die Schachtel soll ein Quader sein, dessen Volumen \(40 \text{ cm}^3\) entspricht. Die Seitenlänge \(a\) beträgt \(4 \text{ cm}\). Reicht die Pappe aus?

Schritt 1: Hauptbedingung aufstellen

Hierbei ist die Oberfläche der Schachtel die Hauptbedingung. In diese Formel kannst Du auch gleich den Wert für \(a\) einsetzen.

\begin{align}O &= 2ab + 2bc + 2ac \\&= 2 \cdot 4b + 2bc + 2 \cdot 4c \\&= 8b + 2bc + 8c\end{align}

Schritt 2: Nebenbedingung aufstellen

Das Volumen ist angegeben. Dieses teilt sich wiederum aus den drei Komponenten der Länge, Breite und Höhe auf. Wie auch im vorherigen Schritt kannst Du den Wert für \(a\) einsetzen. Danach kannst Du nach einer Variablen auflösen. Hier wird nach \(b\) aufgelöst.

\begin{align}V &= abc \\[0.4cm]40 &= 4bc &&|:(4c)\\[0.2cm]\frac{10}{c}&=b\end{align}

Schritt 3: Zielfunktion

Nun kannst Du \(b\) in die Hauptfunktion einsetzen und erhältst die Zielfunktion.

\begin{align}O &= 8b + 2bc + 8c \\&= 8\cdot\frac{10}{c} + 2\cdot\frac{10}{c}\cdot c + 8c \\&= \frac{80}{c} + 8c + 20\end{align}

Schritt 4: Extremstellen der Zielfunktion berechnen

Erstelle nun die Ableitung dieser Zielfunktion.

\[ O' = -\frac{80}{c^2} + 8 \]

Setze die erste Ableitung gleich Null, um die Extremstelle zu erhalten.

\begin{align}O' &= 0 \\[0.2cm]-\frac{80}{c^2} + 8 &= 0 &&\left|-8\right.\\[0.2cm]-\frac{80}{c^2} &= -8 &&\left|\cdot(-c^2)\right.\\[0.2cm]80 &= 8 c^2 &&\left|:8\right.\\[0.4cm]10 &= c^2 &&\left|\sqrt{\quad}\right.\\[0.3cm]c_{1/2} &= \pm \sqrt{10}\end{align}

Nur die Extremstelle \(+\sqrt{10}\) ergibt Sinn, weil es keine negativen Längen gibt.

Schritt 5: Ergebnis berechnen

Nun kannst Du die minimal mögliche Oberfläche berechnen, indem Du alle Variablen einsetzt.

\begin{align}b&=\frac{10}{c}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\\\\O&= 8 \cdot \sqrt{10} + 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} + 8 \cdot \sqrt{10} \\[0.1cm]&= 20+16\sqrt{10}=\text{70,60}\,[\text{cm}^3]\end{align}

\(40 \text{ cm²}\) Pappe reichen leider nicht aus, um eine Schachtel mit einem Volumen von \(40\text{ cm}^3\) herzustellen.

Extremwertaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1

Du möchtest einen rechteckigen Teppich in Dein Zimmer legen. Dein Zimmer ist allerdings nicht rechteckig, sondern hat zwei jeweils 5 Meter lange Wände mit einem rechten Winkel und \(\frac{1}{4}\) Kreisbogen anstatt der anderen zwei Wände. Die Funktion dafür ist die Kreisgleichung \(y=\pm\sqrt{25-x^2}\).

Das ist zwar eigentlich keine richtige Funktion, weil hier durch das \(\pm\) einem x zwei y-Werte zugeordnet werden, aber im Folgenden wird nur der positive Teil der Formel verwendet und somit hat jeder x-Wert wieder einen eindeutigen y-Wert.

Wenn Du genauer werden willst, kannst Du für diese Gleichung aber auch eine Definitionsmenge angeben \(\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0\). Das heißt dann, dass die Gleichung für alle positiven Werte und die 0 definiert ist.

Lösung

In diesem Fall ist eine Skizze hilfreich:

Also skizzierst Du den Graphen der Kreisgleichung und integrierst dann den quadratischen Teppich in den Kreis. Die zwei geraden Wände werden durch die x- und die y-Achse dargestellt, sodass Du den Teppich dort anlegen kannst. Die Fläche des Teppichs an sich berechnest Du mit \(x\cdot y\).

Extremwertaufgaben Rechteck in Kreis StudySmarterAbb. 7 - maximales Rechteck in Kreissektor

Das heißt, die Hauptbedingung ist die Fläche des Teppichs:

\[A=x\cdot y\]

Und die Nebenbedingung ist die Funktion des Kreisbogens:

\[f(x)=\sqrt{25-x^2}\]

Den negativen Teil der Kreisgleichung kannst Du hier weglassen, da nur der Teil im 1. Quadranten gebraucht wird.

Das \(y\) in der Hauptbedingung ist dasselbe wie \(f(x)\), also kannst Du die Kreisgleichung direkt in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen.

\[{\color{türkies}A}={\color{türkies}x}\cdot{\color{blau}f(x)}={\color{türkies}x}\cdot{\color{blau}\sqrt{25-x^2}}\]

Der Wert einer Wurzel wird dann ein Maximum, wenn der Term unter der Wurzel ein Maximum wird. Hier ist es also am sinnvollsten, das \(x\) in die Wurzel zu verschieben und dann die Diskriminante abzuleiten.

Achtung! Versuche hier nicht, die komplette Zielgleichung abzuleiten. Die Ableitung der Diskriminante ist im Normalfall schneller.

\begin{align}A&=\sqrt{x^2(25-x^2)}=\sqrt{25x^2-x^4}\\d'&=50x-4x^3\\\end{align}

Diese Ableitung kannst Du nun mit \(0\) gleichsetzen und die Extrema berechnen.

\begin{align}50x-4x^3&=0&&\vert:x\\50-4x^2&=0&&\vert+4x^2\\50&=4x^2&&\vert:4\\12,5&=x^2&&\vert\sqrt{\quad}\\x_{1/2}&=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\\\end{align}

Da nur Werte aus dem 1. Quadranten gesucht sind, ist das positive Ergebnis interessant. Das kannst Du nun in die Nebenbedingung einsetzen, um auch die 2. Variable zu berechnen.

\[f(x)=\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Jetzt hast Du beide Unbekannte gelöst und kannst den Flächeninhalt des größtmöglichen Teppichs berechnen.

\[A=x\cdot f(x)=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=12,5\,[m^2]\]

Der größtmögliche Teppich ist also quadratisch, mit einer Seitenlänge von jeweils ungefähr \(\text{3,5 m}\) und deckt somit eine Fläche von \(\text{12,5 m}^2\) ab.

Aufgabe 2

Wie sieht das Ganze nun aus, wenn der Teppich den gesamten Kreis aus Aufgabe 1 ausfüllen soll?

Lösung

Eine Skizze der Situation sieht folgendermaßen aus:

Extremwertaufgaben Rechteck in Kreis StudySmarterAbb. 8 - maximales Rechteck in Kreis

1. Bestimme die Hauptbedingung

Die Hauptbedingung ist der Flächeninhalt des rechteckigen Teppichs.

\[A=x\cdot y\]

Aber Achtung, das ist noch nicht die endgültige Hauptbedingung, denn Du hast hier 2 Möglichkeiten.

  1. Entweder Du berechnest die Extremwerte beider Hälften der Kreisgleichung (also vom positiven und negativen Teil) und verwendest die Beträge der Ergebnisse zur Berechnung des Flächeninhalts \(\quad\rightarrow\quad A=\left(x_{1}+|x_{2}|\right)\cdot\left(y_{1}+|y_{2}|\right)\),
  2. oder Du berechnest nur den Teil im 1. Quadranten (das geht, weil alles achsensymmetrisch ist) und nimmst das \(x\) und \(y\) jeweils mal \(2\) (da Du das \(x\) sowohl vor als auch nach dem Ursprung brauchst; genauso \(y\)) \(\quad\rightarrow\quad A=2x\cdot 2y\)

Die Rechnung ist aber wesentlich kürzer, wenn Du die 2. Möglichkeit verwendest. Diese wird hier gezeigt.

2. Bestimme die Nebenbedingung

Die Nebenbedingung stellt in diesem Fall die Kreisgleichung dar.

\[y=\sqrt{25-x^2}\]

Weil nur der 1. Quadrant berechnet wird, kannst Du hier wieder nur den positiven Teil der Kreisgleichung verwenden.

3. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf.

Die Kreisgleichung ist bereits nach \(y\) aufgelöst, also kannst Du sie direkt in die Hauptbedingung einsetzen.

4. Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.

\[{\color{türkies}A}={\color{türkies}x}\cdot{\color{blau}\sqrt{25-x^2}}=\sqrt{25x^2-x^4}\]

Da Du nur ein Viertel des Kreises berechnest, brauchst Du hier nur den normalen Flächeninhalt eines Rechtecks. Erst ganz zum Schluss werden \(x\) und \(y\) jeweils mal \(2\) genommen.

5. Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion.

Hier kannst Du nicht die ganze Funktion, sondern nur die Diskriminante ableiten und die Extrempunkte berechnen.

\begin{align}d'&=50x-4x^3\\\\50x-4x^3&=0&&\vert:x\\50-4x^2&=0&&\vert+4x^2\\50&=4x^2&&\vert:4\\12,5&=x^2&&\vert\sqrt{\quad}\\x_{1/2}&=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\\\end{align}

6. Setze den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein.

Für den Flächeninhalt kannst Du nur positive Ergebnisse brauchen, daher fällt das negative Ergebnis weg. Das \(x\) kannst Du jetzt in die Kreisgleichung einsetzen und somit \(y\) berechnen.

\[y=\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

7. Berechne die HauptbedingungJetzt hast Du beide Unbekannte gefunden und kannst sie in die Hauptbedingung einsetzen. Aber Achtung! Du hast nur die Hälfte des Kreises berechnet und musst sowohl \(x\) als auch \(y\) mal \(2\) nehmen, um das endgültige Ergebnis zu berechnen.

\begin{align}A&=2x\cdot 2y=2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot 2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=\left(5\sqrt{2}\right)^2=50\,[\text{m}^2]\\[0.2cm]x&=y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot2=5\sqrt2=\text{7,07 }[\text{m}]\end{align}

Der größtmögliche Teppich ist also quadratisch, mit einer Seitenlänge von jeweils \(\text{7,07 m}\) und einem Flächeninhalt von \(\text{50 m}^2\).

Aufgabe 3

Ein Getränkehersteller möchte für jede Getränkedose so wenig Material wie möglich verwenden. Die Dosen sollen eine zylindrische Form haben und \(\text{0,5 Liter}\) fassen. Berechne, wie viel Material mindestens benötigt wird.

  • Das Volumen eines Zylinders berechnest Du mit \(V = \pi r^2 h\)
  • und die Oberfläche mit \(O = 2 \pi r (r+h)\)

Ein Liter ist \(1\text{ dm}^2\).

Lösung

1. & 2. Bestimme Haupt- und Nebenbedingung:

Zuerst empfiehlt es sich, den halben Liter in Quadratzentimeter umzurechnen, da die Oberfläche der Dose wahrscheinlich in dieser Größenordnung liegen wird.

\[0,5\, l = 0,5\, dm^2 = 50\, cm^2\]

Das heißt,

  • die Hauptbedingung ist die Oberfläche, welche minimal werden soll: \(O = 2 \pi r (r+h)\)
  • und die Nebenbedingung ist das Volumen, das einen halben Liter umfasst: \(V = \pi r^2 h\)

3. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf.

Hier empfiehlt sich die Variable \(h\).

\begin{align}\pi r^2 h&=50&&\vert:\left(\pi r^2\right)\\h&=\frac{50}{\pi r^2}\\\end{align}

4. Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.\[O=2\pi r \left( r+\frac{50}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac {100}{r}\]

5. Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion.

Hauptbedingung ableiten und mit \(0\) gleichsetzen liefert das Ergebnis für \(r\):

\begin{align}O'=4\pi r - \frac{100}{r^2} &=0 &&\vert+\frac{100}{r^2}\\4\pi r&= \frac{100}{r^2} &&\vert\cdot r^2\\4\pi r^3 &=100 &&\vert:4\pi\\r^3 &= \frac {25}{\pi} &&\vert\sqrt[3] {\quad} \\r &= \sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}=1,99\\\end{align}

6. Setze den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein.

\begin{align}50&=\left(\sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}\right)^2\cdot\pi\cdot h&&\left|:\left(\left(\sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}\right)^2\cdot\pi\right)\right.\\h&=\frac{50}{\left(\sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}\right)^2\cdot\pi}=3,99\\\end{align}

7. Berechne die Hauptbedingung.

Nun kannst Du die Oberfläche des kleinstmöglichen Zylinders berechnen:

\[O=2\pi r(r+h)=\text{74,77}\, [\text{cm}^2]\]

Der kleinstmögliche Bedarf an Material für die Dose beträgt also gerundet \(\text{75 cm}^2\).

Extremwertaufgaben - Das Wichtigste

  • Mit einem Extremwertproblem ist gemeint, dass der minimale oder maximale Wert von etwas gesucht ist (beispielsweise einer Funktion oder eines geometrischen Körpers).
  • Um den Extremwert zu finden, leitest Du die gegebene Funktion ab und setzt sie gleich 0. Der resultierende Wert ist das gesuchte Extremum, also der minimale oder maximale Wert einer Funktion.
  • Gibt es allerdings eine Bedingung, unter der das Extremum gesucht ist, handelt es sich um einen Extremwert mit Nebenbedingung. Deine Hauptbedingung ist dann die Funktion oder Gleichung, deren Extremwert gesucht ist und die Nebenbedingung ist die Bedingung, die das Extremum einschränkt (meist erkennst Du die Nebenbedingung daran, dass in ihr ein konkreter Wert gegeben ist). Beide zusammen ergeben die Zielfunktion.
  • Um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung zu lösen, gehst Du so vor:
    1. Bestimme die Hauptbedingung.
    2. Bestimme die Nebenbedingung.
    3. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf.
    4. Setze das Ergebnis von 4. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
    5. Berechne die Extremstellen der Zielfunktion. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable.
    6. Setze den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable zu erhalten.
    7. Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.

Nachweise

  1. Steinleitner, Franz (2018), Differentialrechnung Oberstufentraining Mathematik: Dreifach differenzierte Aufgaben mit Selbstkontrollmöglichkeit (11. bis 13. Klasse), AUER Verlag
  2. Balla, Jochen (2018), Differenzialrechnung leicht gemacht!, 1. Auflage, Springer Spektrum
  3. Mayers, Werner (2014), Band A3: Analysis – Differenzialrechnung II, Aulis Verlag

Häufig gestellte Fragen zum Thema Extremwertaufgaben

Bei Extremwertproblemen oder auch Extremwertaufgaben, soll eine gewisse Größe unter einer oder mehreren Bedingungen minimal oder maximal werden. Gelöst werden sie nach einem mehrschrittigen Verfahren mit Hilfe von Funktionen. Sie gehören zum Oberthema Analysis.

Du berechnest Extremwertaufgaben nach der Reihenfolge (verkürzte Version):

  1. Hauptbedingung aufstellen
  2. Nebenbedingung formulieren / umformen
  3. Umgeformte Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen, ableiten und Null setzen
  4. Zweite Ableitung bilden oder Vorzeichenwechselkriterium anwenden
  5. Zweite Variable bestimmen

Den maximalen Flächeninhalt berechnest Du, indem Du den Flächeninhalt der Figur als Hauptbedingung und dessen Umfang als Nebenbedingung formulierst. Die Nebenbedingung wird auf eine Variable gelöst und in die Zielfunktion eingesetzt. Diese wird abgeleitet und Null gesetzt, um eine Länge zu erhalten. Es lässt sich die zweite Variable damit berechnen und somit auch der Flächeninhalt der Figur.

Bei einem Extremalproblem soll eine gewisse Größe unter einer oder mehreren Bedingungen minimal oder maximal werden. Gelöst werden sie nach einem mehrschrittigen Verfahren mithilfe von Funktionen. Die Lösung erfolgt nach einem bestimmten Schema.

Finales Extremwertaufgaben Quiz

Frage

Erkläre den Begriff Extremwert.

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Antwort

Ein Extremwert einer Funktion \(f(x)\) ist der Funktionswert an der Stelle, an dem die Funktion ein Maximum oder Minimum enthält, das sowohl lokal, als auch global sein kann.

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Frage

Was gilt für die Punkte um ein Maximum?

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Antwort

Die Punkte um ein Maximum besitzen alle einen kleineren y-Wert als das Maximum selbst. Umgekehrtes gilt für das Minimum.

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Frage

Was sind die Bedingungen für Extremstellen?

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Antwort

Die notwendige Bedingung: Die Funktion besitzt an dieser Stelle die Steigung \(0\).

Die hinreichende Bedingung: Die Steigung der Funktion ändert an dieser Stelle das Vorzeichen, ansonsten wäre es ein Sattelpunkt.

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Frage

Nenne das notwendige Kriterium für einen Hoch- oder Tiefpunkt.

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Antwort

Die Steigung muss \(0\) sein.

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Frage

Erkläre den Begriff Nebenbedingung in Bezug auf Extremwertaufgaben. Wähle dazu aus.

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Antwort

Eine Nebenbedingung wird bei Extremwertaufgaben zur Eliminierung einer Variablen verwendet.

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Frage

Welche Reihenfolge für Extremwertaufgaben ergibt Sinn? Wähle aus.

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Antwort

  1. Erstelle die Hauptbedingung.
  2. Erstelle die Nebenbedingung.
  3. Erstelle die Zielfunktion.

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Frage

Gebe das Volumen eines Zylinders an.

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Antwort

\[V = r^2 \cdot h \cdot \pi\]

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Frage

Gebe die Oberfläche eines Quaders an.

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Antwort

\[O = 2 \cdot (a \cdot h + h \cdot b + b \cdot a) \]

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Frage

Berechne den Extrempunkt aus Haupt- und Nebenbedingung.

\begin{align}
A&=a\cdot b\\
U&=a+2b=1\,000\,[\text{m}]
\end{align}


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Antwort

Es existiert ein Extrempunkt bei \(b=250\,[\text{m}]\) (oder \(a=500\,[\text{m}]\))

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Frage

Berechne die maximale Fläche aus

\begin{align}
A&=a\cdot b\\
U&=a+2b=1\,000\,[\text{m}]
\end{align}

und dem Extrempunkt \(b=250\,[\text{m}]\).

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Antwort

Die maximale Fläche beträgt umgerechnet \(\text{12,5 Hektar}\).

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Frage

Ein Kaninchengehege soll sich an einer Hauswand befinden, deshalb benötigst Du für eine Seite keinen Maschendrahtzaun. Du hast insgesamt 10m Draht zur Verfügung. Gebe die Nebenbedingung an.

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Antwort

Die Nebenbedingung ist der Umfang des Zauns. Bei diesem benötigst Du eine Seite nur einmal:


\[2a + b = 10\]

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Frage

Ein Trapez soll unterhalb der Funktion \(f(x)=x^2\) maximal werden. Gebe die Hauptbedingung an.

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Antwort

Gebe dafür die Formel für ein Trapez an:


\[A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h\]

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Frage

Gebe die Ableitung für folgende Funktion an:


\[f(x) = 4x^3 + 2x^2\]

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Antwort

\begin{align} f'(x) &= 4x^3 + 2x^2 \\ &= 4 \cdot 3 \cdot x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x \\ &= 12x^2 + 4x \end{align}

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Frage

Gebe die Ableitung für folgende Funktion an:


\[g(x) = 15x^4 - 2x^2 - x\]

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Antwort

\begin{align} g'(x) &= 15x^4 - 2x^2 - x \\ &= 60x^3 - 4x - 1 \end{align}

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Frage

Berechne den Extrempunkt von \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+3\).

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Antwort

Das Extremum liegt bei \(P\,(0|3)\).

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Frage

Im Kindergarten soll eine kleine Pyramide als Häuschen gebaut werden. Für welche Seiten der Pyramide wird die Oberfläche bei einem festgeschriebenen Volumen minimal? Gebe dazu die Hauptbedingung an.

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Antwort

Die Oberfläche der Pyramide ist die Hauptbedingung:


\[O = a^2 + 4 \cdot ( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{Dreieck})\]

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Frage

Ein Bauer möchte eine neue rechteckige Weide einzäunen. Er wählt einen Standort direkt neben einem Fluss, sodass er für diese Seite keinen Zaun benötigt. Mit seinem Material kann er einen \(\text{1 km}\) langen Zaun bauen. Die Fläche der Weide soll so groß wie möglich werden. Stelle die Haupt- und die Nebenbedingung auf.

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Antwort

\begin{align}
&\text{Hauptbedingung: }&&A=a\cdot b\\
&\text{Nebenbedingung: }&&U=a+2b=1\,000\,\text{m}
\end{align}

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Frage

Was sind typische Anwendungen für Extremwertprobleme?

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Antwort

Extremwerte werden vor allem in der Industrie verwendet: Jede Firma möchte mit wenig Material und Kosten möglichst viel produzieren. 

Der optimale Wert zwischen diesen beiden Bedingungen kann mit so einer Rechnung gefunden werden.

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Frage

Wie gehst Du Schritt für Schritt vor, wenn Du den Extremwert einer Funktion mit Nebenbedingung suchst?

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Antwort

  1. Bestimme die Hauptbedingung.
  2. Bestimme die Nebenbedingung.
  3. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf.
  4. Setze das Ergebnis von 4. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.
  5. Berechne die Extremstellen der Zielfunktion. Dadurch erhältst Du den konkreten Wert der 2. Variable.
  6. Setze den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein, um ebenfalls den konkreten Wert der 1. Variable zu erhalten.
  7. Mit diesen Werten kannst Du nun die Hauptbedingung ausrechnen und hast das Ergebnis gefunden.

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Frage

Warum wird die Ableitung der Zielfunktion mit \(0\) gleichgesetzt? Warum ist an dieser Stelle ein Extrempunkt?

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Antwort

Ein Extrempunkt ist ein Maximum oder ein Minimum. 

Der Graph ändert an diesem Punkt seine Richtung, also gibt es eine Stelle, an der die Steigung \(0\) ist. 

Da die 1. Ableitung die Steigung eines Graphen darstellt, wird diese Steigung mit \(0\) gleichgesetzt. Dadurch findest Du den Punkt, an dem die Steigung \(0\) ist, was im Umkehrschluss der gesuchte Extrempunkt ist.

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Frage

Wie findest Du eine Extremstelle heraus?

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Antwort

Ich leite die Zielfunktion einmal ab, setze sie gleich \(0\) und stelle sie nach \(x\) um.

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Frage

Was ist die Nebenbedingung? Woran erkennst Du sie?

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Antwort

Die Nebenbedingung liefert Informationen, welche dabei helfen, die Zielfunktion aufzustellen. 

Meist ist dabei ein konkreter Wert gegeben, wie zum Beispiel welche Menge an Material zur Verfügung steht.

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Frage

Woran erkennst Du die Hauptbedingung?

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Antwort

Die Hauptbedingung beschreibt bei Extremwertproblemen immer die Größe, welche maximal/minimal werden soll. 

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Frage

Wie setzt sich die Zielfunktion zusammen?

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Antwort

Hauptbedingung + Nebenbedingung = Zielfunktion

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Frage

Wie erkennst Du, ob es sich um ein Extremwertproblem mit oder ohne Nebenbedingung handelt?

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Antwort

Es gibt eine Bedingung, unter der die Funktion maximal/minimal werden soll.

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Frage

Was machst Du mit der Ableitung der Zielfunktion?

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Antwort

Ich setze sie mit \(0\) gleich und löse nach \(x\) auf.

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Frage

Was ist eine Zielfunktion im Zusammenhang mit Extremwertproblemen?

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Antwort

Eine Funktion, die nach Möglichkeit nur noch eine Unbekannte enthält.

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Frage

Welche Arten von Extremwertaufgaben gibt es?  

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Antwort

Es gibt einfache Extremwertprobleme und welche mit Nebenbedingung.

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