Review generated flashcards

Leg kostenfrei los
Du hast dein AI Limit auf der Website erreicht 😱

Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter 🥹🤝

StudySmarter Redaktionsteam

Team Ganzrationale Funktion Lehrer

  • 9 Minuten Lesezeit
  • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
Erklärung speichern Erklärung speichern
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Jump to a key chapter

      Ganzrationale Funktionen Funktion 3. Grades Beispiel StudySmarterAbb. 1 - Ganzrationale Funktion 3. Grades Beispiel.

      Welche Symmetrie hier genau vorliegt und welche besonderen Eigenschaften ganzrationale Funktionen darüber hinaus haben können, erfährst Du hier. Ebenso lernst Du in dieser Erklärung, wie ganzrationale Funktionen im Allgemeinen definiert sind, und wie Du eine Funktionsgleichung aus gegebenen Kriterien bestimmen kannst.

      Ganzrationale Funktionen – Definition

      Ganzrationale Funktionen bestehen aus einem Polynom, also aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind.

      Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet:

      \[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]

      • Die Vorfaktoren \(\color{#1478c8}a_i\) können dabei jede reelle Zahl annehmen \(\rightarrow{\color{#1478c8} a_i\in \mathbb{R}}\).
      • Der Vorfaktor \(\color{#1478c8}a_n\) wird auch als Leitkoeffizient bezeichnet und darf nicht 0 werden \(\rightarrow{\color{#1478c8} a_n\neq 0}\).
      • \(\color{#00dcb4}n\), also die Zahl im Exponenten, kann jede natürliche Zahl annehmen \(\rightarrow {\color{#00dcb4} n \in \mathbb{N}}\).
      • Die Variable \(x\) darf bei ganzrationalen Funktionen weder im Exponenten noch im Nenner vorkommen.

      Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt. Die einzelnen Summanden werden auch als Glieder bezeichnet und in der Regel der Größe ihres Exponenten nach in der Funktion sortiert.

      Bei der Funktion

      \[\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200} f(x)=5x^{\color{blau}4}+2x^2+3 \]

      handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades, aufgrund des höchsten Exponenten \(4\).

      Wie Du an dem Beispiel sehen kannst, müssen ganzrationale Funktionen nicht immer in ihrer allgemeinen Form auftreten, sondern es können auch einzelne Glieder bzw. Exponenten übersprungen werden.

      Ganzrationale Funktionen – Polynomfunktion: Überblick

      Zu den wichtigsten ganzrationalen Funktionen gehören die lineare Funktion, die quadratische Funktion und die Funktion dritten sowie vierten Grades.

      Polynomfunktionallgemeine FunktionsgleichungBeispiel (Abb. 2-6)
      konstante Funktion (0.Grades)\[f(x)=c\]

      Ganzrationale Funktionen konstante Funktion StudySmarter

      lineare Funktionen (1. Grades)\[f(x)=mx+t\]

      Ganzrationale Funktionen lineare Funktion StudySmarter

      quadratische Funktionen (2.Grades)\[f(x)=ax^2+bx+c\]

      Ganzrationale Funktionen quadratische Funktion StudySmarter

      ganzrationale Funktionen 3. Grades\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

      Ganzrationale Funktionen kubische Funktion StudySmarter

      ganzrationale Funktionen 4. Grades

      \[f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\]

      Ganzrationale Funktionen Funktion vierten Grades StudySmarter

      Mehr Informationen zu Funktionen nullten, ersten und zweiten Grades findest Du in den folgenden Erklärungen:

      Ganzrationale Funktionen – Eigenschaften

      Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst.

      Eine vollständige Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion kannst Du in der Erklärung "Kurvendiskussion Polynomfunktion" finden.

      Hier findest Du einen allgemeinen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften ganzrationaler Funktionen.

      Definitionsbereich ganzrationale Funktionen

      Der Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) einer Funktion gibt an, welche Werte Du für \(x\) in die Funktion einsetzen kannst, und welche nicht. Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.

      \[\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\]

      Ganzrationale Funktionen Nullstellen

      Die Nullstellen einer Funktion stellen die Schnittpunkte des Funktionsgrafen mit der x-Achse dar.

      Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt die maximale Anzahl an Nullstellen, die eine Funktion haben kann.

      Eine Polynomfunktion 1. Grades kann somit maximal eine Nullstelle haben, eine Funktion 2. Grades höchstens zwei usw.

      Um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu berechnen, setzt Du die Funktion \(f(x)\) gleich null und löst die Gleichung nach \(x\) auf.

      \[\rightarrow f(x)=0\]

      Je nach Grad der Funktion gibt es dafür unterschiedliche Lösungswege.

      Ganzrationale FunktionLösungsweg
      Lineare Funktioneinfache Termumformungen
      quadratische Funktionpq-Formel, Mitternachtsformel, quadratische Ergänzung
      ganzrationale Funktionen höheren Grades \((n\geq 3)\)Ausklammern, Substitution, Polynomdivision

      Mehr Informationen und Anwendungsbeispiele dazu findest Du in der Erklärung "Ganzrationale Funktionen Nullstellen".

      Ganzrationale Funktionen y-Achsenabschnitt

      Der y-Achsenabschnitt einer Funktion ist, wie der Name schon sagt, die Schnittstelle des Funktionsgrafen mit der y-Achse. Jede ganzrationale Funktion hat dabei immer genau einen y-Achsenabschnitt.

      Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) zu berechnen, setzt Du für \(x\) in die Funktion null ein.

      \[\rightarrow y_0=f(0)\]

      Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion. Du kannst die Schnittstelle mit der y-Achse also direkt an der Funktionsgleichung ablesen.

      Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) der Funktion

      \[f(x)=4x^6+3x^4-8x \color{#00dcb4}-2\]

      zu bestimmen, setzt Du also in die Funktion \(x=0\) ein:

      \begin{align}f({\color{blau}0})&=4\cdot{ \color{blau}0}^6+3\cdot{\color{blau}0}^4-8\cdot{\color{blau}0}\color{#00dcb4}-2\\&=\color{#00dcb4}-2\end{align}

      Übrig bleibt somit nur die Konstante der Funktion.

      \[\rightarrow \color{#00dcb4}y_0=-2\]

      Wenn die ganzrationale Funktion keine Konstante in der Funktionsgleichung hat, ist der y-Achsenabschnitt bei 0.

      Symmetrie ganzrationale Funktionen

      Eine weitere Eigenschaft von Funktionen ist die Symmetrie. Funktionen können dabei zum Beispiel achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann ein Blick auf die Exponenten helfen, um die Symmetrie zu bestimmen.

      Art der SymmetrieBedingungBeispiel (Abb. 7-8)
      Achsensymmetrie zur y-Achse

      \[f(-x)=f(x)\]

      \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten

      \[f(x)=-0{,}5x^{\color{blau}4}+3x^{\color{blau}2}\]

      Ganzrationale Funktionen Achsensymmetrie Beispiel ganzrationale Funktion 4. Grades StudySmarter

      Punktsymmetrie zum Ursprung

      \[f(-x)=-f(x)\]

      \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten

      \[f(x)=0{,}5x^{\color{blau}5}-6x^{\color{blau}3}\]

      Ganzrationale Funktionen Punktsymmetrie Beispiel ganzrationale Funktion 5. Grades StudySmarter

      Treffen die Bedingungen beide nicht zu, hat die Funktion entweder gar keine Symmetrie, oder eine andere Symmetrieachse bzw. einen anderen Symmetriepunkt.

      In der Erklärung "Symmetrie Funktionen" erfährst Du, wie Du die Symmetrie von Funktionen zu einer beliebigen Achse bzw. zu einem beliebigen Punkt bestimmen kannst.

      Ganzrationale Funktionen Extrempunkte

      Ganzrationale Funktionen haben meistens mehrere lokale Extrema, also Tief - und Hochpunkte.

      Die maximale Anzahl an möglichen Extrempunkten einer Polynomfunktion ist abhängig vom Grad der Funktion. Die Anzahl entspricht dabei dem Grad der Funktion minus 1.

      \[\rightarrow n-1\]

      Lineare Funktionen haben demzufolge keine Extrempunkte, quadratische Funktionen einen Extrempunkt, Funktionen dritten Grades bis zu zwei usw.

      Wie Du sie berechnest, erfährst Du in der Erklärung "Extremstellen".

      Ganzrationale Funktionen Verhalten im Unendlichen

      Beim Verhalten im Unendlichen, auch Global- oder Grenzverhalten genannt, geht es darum, welchen y-Wert die Funktion annimmt, wenn Du für \(x\) ganz große positive bzw. ganz große negative Zahlen einsetzt.

      Bei ganzrationalen Funktionen genügt es dabei, sich nur das Glied mit dem höchsten Exponenten anzuschauen.

      Grenzverhalten Polynome gerader Grad

      Polynomfunktionen mit einem geraden Grad, also Funktionen 2. Grades, 4. Grades usw., verhalten sich im Unendlichen alle nach demselben Schema. Der Leitkoeffizient \(a_n\), also der Faktor vor dem \(x\) mit dem höchsten Exponenten, gibt Dir dabei Auskunft über das Grenzverhalten der Funktion.

      • Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

      \[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

      Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Parabel positivem Leitkoeffizienten StudySmarterAbb. 9 - Parabel mit positivem Leitkoeffizienten.

      • Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:

      \[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]

      Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Polynomfunktion 6. Grades negativem Leitkoeffizienten StudySmarterAbb. 10 - Ganzrationale Funktion 6. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.

      Grenzverhalten Polynome ungerader Grad

      Ganzrationale Funktionen mit einem ungeraden Grad, also Funktionen 3. Grades, 5. Grades usw., gleichen sich ebenfalls im Verhalten im Unendlichen.

      • Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

      \[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

      Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Polynomfunktion 5. Grades positivem Leitkoeffizienten StudySmarterA

      • Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:

      \[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]

      Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Polynomfunktion 3. Grades negativem Leitkoeffizienten StudySmarterAbb. 12 - Ganzrationale Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.

      Ganzrationale Funktionen – bestimmen

      Ein typischer Aufgabentyp, der häufig in Verbindung mit ganzrationalen Funktionen gestellt wird, behandelt das Bestimmen von ganzrationalen Funktionen. Dabei geht es darum, aus gegebenen Punkten und gegebene Eigenschaften, wie z.B. dem Grad der Funktion, die passende Funktionsgleichung aufzustellen.

      Du kannst Dich hier nach dem folgenden Ablauf richten:

      • 1. Schritt: Allgemeine Form der Funktionsgleichung mit dem gegebenen Grad aufstellen und wichtige Ableitungen bilden.
      • 2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen:
        • Gegebene Punkte \((x_i|y_i)\) \(\rightarrow f(x_i)=y_i\)
        • Steigung \(m\) an gegebener Stelle \(x \rightarrow f'(x)=m\)
        • Extremstellen \(\rightarrow f'(x)=0\)
        • Wendestellen \(\rightarrow f''(x)=0\)
      • 3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Vorfaktoren auflösen.

      Ein Beispiel dazu findest Du in der Erklärung "Polynomfunktion".

      Ganzrationale Funktionen – Das Wichtigste

      • Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet:

        \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]

        • Die Vorfaktoren \(a_i\) können dabei jede reelle Zahl annehmen \(\rightarrow a_i \in \mathbb{R}\)
        • Der Vorfaktor \(a_n\) wird auch als Leitkoeffizient bezeichnet und darf nicht 0 werden \(\rightarrow a_n\neq 0\)
        • \(n\), also die Zahl im Exponenten, kann jede natürliche Zahl annehmen \(\rightarrow n \in \mathbb{N}\)
        • Die Variable \(x\) darf bei ganzrationalen Funktionen weder im Exponenten noch im Nenner vorkommen.
      • Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
      • Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert. \(\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\)
      • Für die Berechnung der Nullstellen setzt Du die ganzrationale Funktion gleich null und löst nach \(x\) auf. \(\rightarrow f(x)=0\)
      • Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion.

      • Funktionen können achsensymmetrisch zur y-Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung sein

        • Achsensymmetrie zur y-Achse \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten

        • Punktsymmetrie zum Ursprung \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten

      • Die Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen kannst Du nach folgendem Ablauf bestimmen:

        • 1. Schritt: Allgemeine Form der Funktionsgleichung mit dem gegebenen Grad aufstellen und wichtige Ableitungen bilden.
        • 2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen.
        • 3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Vorfaktoren auflösen.

      Nachweise

      1. Baum, Bellstedt et. al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12 Mathematik für Gymnasien. Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
      2. Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
      Häufig gestellte Fragen zum Thema Ganzrationale Funktion

      Wie erkenne ich, ob eine Funktion ganzrational ist?

      Eine ganzrationale Funktion besteht aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind. Die allgemeine Form lautet: 

      f(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0


      • Die Exponenten n dürfen dabei nur natürliche Zahlen annehmen.
      • Die Vorfaktoren ai dürfen jede reelle Zahl annehmen.
      • Die Variable x darf weder im Exponenten noch im Nenner stehen.

      Was ist ein Grad einer Funktion?

      Der Grad einer Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten in der Funktion bestimmt. Die Funktion f(x) = 3x4 + x2 - 3 hat beispielsweise einen Grad von 4.

      Welche Eigenschaften haben ganzrationale Funktionen?

      Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst. 


      • Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.
      • Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also die Zahl ohne x, am Ende der Funktion.
      • Die maximal mögliche Anzahl an Nullstellen entspricht dem Grad der Funktion.
      • Die maximal mögliche Anzahl an Extremstellen entspricht dem Grad der Funktion minus 1.
      • Funktionen können achsensymmetrisch zur y-Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

      Wann ist es keine ganzrationale Funktion?

      Es handelt sich um keine ganzrationale Funktion, wenn die Exponenten keine natürlichen Zahlen sind, also keine ganzen, positiven Zahlen. Ebenso handelt es sich um keine ganzrationale Funktion, wenn die Variable x im Exponenten oder im Nenner steht.

      Erklärung speichern

      Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

      Entscheide, welche Aussagen bezüglich der allgemeinen Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen\[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]zutreffen.

      Entscheide, welche Aussagen über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen mit einem ungeraden Grad wahr sind.

      Bestimme den Grad der folgenden Funktion.\[f(x)=3x^4+5x^6+4x\]

      Weiter

      Entdecken Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

      Kostenlos anmelden
      1
      Über StudySmarter

      StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

      Erfahre mehr
      StudySmarter Redaktionsteam

      Team Mathe Lehrer

      • 9 Minuten Lesezeit
      • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
      Erklärung speichern Erklärung speichern

      Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

      Kostenfrei loslegen

      Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

      Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

      Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

      • Karteikarten & Quizze
      • KI-Lernassistent
      • Lernplaner
      • Probeklausuren
      • Intelligente Notizen
      Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!
      Mit E-Mail registrieren