Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt. Sie können verschiedene Eigenschaften haben. Du kannst in der Abbildung beispielsweise eine ganzrationale Funktion 3. Grades erkennen, welche eine bestimmte Symmetrie aufweist.
Abb. 1 - Ganzrationale Funktion 3. Grades Beispiel.
Welche Symmetrie hier genau vorliegt und welche besonderen Eigenschaften ganzrationale Funktionen darüber hinaus haben können, erfährst Du hier. Ebenso lernst Du in dieser Erklärung, wie ganzrationale Funktionen im Allgemeinen definiert sind, und wie Du eine Funktionsgleichung aus gegebenen Kriterien bestimmen kannst.
Ganzrationale Funktionen – Definition
Ganzrationale Funktionen bestehen aus einem Polynom, also aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind.
Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet:
\[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]
- Die Vorfaktoren \(\color{#1478c8}a_i\) können dabei jede reelle Zahl annehmen \(\rightarrow{\color{#1478c8} a_i\in \mathbb{R}}\).
- Der Vorfaktor \(\color{#1478c8}a_n\) wird auch als Leitkoeffizient bezeichnet und darf nicht 0 werden \(\rightarrow{\color{#1478c8} a_n\neq 0}\).
- \(\color{#00dcb4}n\), also die Zahl im Exponenten, kann jede natürliche Zahl annehmen \(\rightarrow {\color{#00dcb4} n \in \mathbb{N}}\).
- Die Variable \(x\) darf bei ganzrationalen Funktionen weder im Exponenten noch im Nenner vorkommen.
Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt. Die einzelnen Summanden werden auch als Glieder bezeichnet und in der Regel der Größe ihres Exponenten nach in der Funktion sortiert.
Bei der Funktion
\[\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200} f(x)=5x^{\color{blau}4}+2x^2+3 \]
handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades, aufgrund des höchsten Exponenten \(4\).
Wie Du an dem Beispiel sehen kannst, müssen ganzrationale Funktionen nicht immer in ihrer allgemeinen Form auftreten, sondern es können auch einzelne Glieder bzw. Exponenten übersprungen werden.
Ganzrationale Funktionen – Polynomfunktion: Überblick
Zu den wichtigsten ganzrationalen Funktionen gehören die lineare Funktion, die quadratische Funktion und die Funktion dritten sowie vierten Grades.
| allgemeine Funktionsgleichung | Beispiel (Abb. 2-6) |
| \[f(x)=c\] | 
|
| \[f(x)=mx+t\] | 
|
| \[f(x)=ax^2+bx+c\] | 
|
ganzrationale Funktionen 3. Grades | \[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\] | 
|
ganzrationale Funktionen 4. Grades | \[f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\] | 
|
Mehr Informationen zu Funktionen nullten, ersten und zweiten Grades findest Du in den folgenden Erklärungen:
Ganzrationale Funktionen – Eigenschaften
Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst.
Hier findest Du einen allgemeinen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften ganzrationaler Funktionen.
Definitionsbereich ganzrationale Funktionen
Der Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) einer Funktion gibt an, welche Werte Du für \(x\) in die Funktion einsetzen kannst, und welche nicht. Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.
\[\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\]
Ganzrationale Funktionen Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion stellen die Schnittpunkte des Funktionsgrafen mit der x-Achse dar.
Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt die maximale Anzahl an Nullstellen, die eine Funktion haben kann.
Eine Polynomfunktion 1. Grades kann somit maximal eine Nullstelle haben, eine Funktion 2. Grades höchstens zwei usw.
Um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu berechnen, setzt Du die Funktion \(f(x)\) gleich null und löst die Gleichung nach \(x\) auf.
\[\rightarrow f(x)=0\]
Je nach Grad der Funktion gibt es dafür unterschiedliche Lösungswege.
Ganzrationale Funktion | Lösungsweg |
Lineare Funktion | einfache Termumformungen |
quadratische Funktion | |
ganzrationale Funktionen höheren Grades \((n\geq 3)\) | |
Ganzrationale Funktionen y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt einer Funktion ist, wie der Name schon sagt, die Schnittstelle des Funktionsgrafen mit der y-Achse. Jede ganzrationale Funktion hat dabei immer genau einen y-Achsenabschnitt.
Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) zu berechnen, setzt Du für \(x\) in die Funktion null ein.
\[\rightarrow y_0=f(0)\]
Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion. Du kannst die Schnittstelle mit der y-Achse also direkt an der Funktionsgleichung ablesen.
Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) der Funktion
\[f(x)=4x^6+3x^4-8x \color{#00dcb4}-2\]
zu bestimmen, setzt Du also in die Funktion \(x=0\) ein:
\begin{align}f({\color{blau}0})&=4\cdot{ \color{blau}0}^6+3\cdot{\color{blau}0}^4-8\cdot{\color{blau}0}\color{#00dcb4}-2\\&=\color{#00dcb4}-2\end{align}
Übrig bleibt somit nur die Konstante der Funktion.
\[\rightarrow \color{#00dcb4}y_0=-2\]
Wenn die ganzrationale Funktion keine Konstante in der Funktionsgleichung hat, ist der y-Achsenabschnitt bei 0.
Symmetrie ganzrationale Funktionen
Eine weitere Eigenschaft von Funktionen ist die Symmetrie. Funktionen können dabei zum Beispiel achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann ein Blick auf die Exponenten helfen, um die Symmetrie zu bestimmen.
Art der Symmetrie | Bedingung | Beispiel (Abb. 7-8) |
| \[f(-x)=f(x)\] \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten | \[f(x)=-0{,}5x^{\color{blau}4}+3x^{\color{blau}2}\] 
|
| \[f(-x)=-f(x)\] \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten | \[f(x)=0{,}5x^{\color{blau}5}-6x^{\color{blau}3}\] 
|
Treffen die Bedingungen beide nicht zu, hat die Funktion entweder gar keine Symmetrie, oder eine andere Symmetrieachse bzw. einen anderen Symmetriepunkt.
In der Erklärung "Symmetrie Funktionen" erfährst Du, wie Du die Symmetrie von Funktionen zu einer beliebigen Achse bzw. zu einem beliebigen Punkt bestimmen kannst.
Ganzrationale Funktionen Extrempunkte
Ganzrationale Funktionen haben meistens mehrere lokale Extrema, also Tief - und Hochpunkte.
Die maximale Anzahl an möglichen Extrempunkten einer Polynomfunktion ist abhängig vom Grad der Funktion. Die Anzahl entspricht dabei dem Grad der Funktion minus 1.
\[\rightarrow n-1\]
Lineare Funktionen haben demzufolge keine Extrempunkte, quadratische Funktionen einen Extrempunkt, Funktionen dritten Grades bis zu zwei usw.
Wie Du sie berechnest, erfährst Du in der Erklärung "Extremstellen".
Ganzrationale Funktionen Verhalten im Unendlichen
Beim Verhalten im Unendlichen, auch Global- oder Grenzverhalten genannt, geht es darum, welchen y-Wert die Funktion annimmt, wenn Du für \(x\) ganz große positive bzw. ganz große negative Zahlen einsetzt.
Bei ganzrationalen Funktionen genügt es dabei, sich nur das Glied mit dem höchsten Exponenten anzuschauen.
Grenzverhalten Polynome gerader Grad
Polynomfunktionen mit einem geraden Grad, also Funktionen 2. Grades, 4. Grades usw., verhalten sich im Unendlichen alle nach demselben Schema. Der Leitkoeffizient \(a_n\), also der Faktor vor dem \(x\) mit dem höchsten Exponenten, gibt Dir dabei Auskunft über das Grenzverhalten der Funktion.
- Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]
Abb. 9 - Parabel mit positivem Leitkoeffizienten.
- Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]
Abb. 10 - Ganzrationale Funktion 6. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.
Grenzverhalten Polynome ungerader Grad
Ganzrationale Funktionen mit einem ungeraden Grad, also Funktionen 3. Grades, 5. Grades usw., gleichen sich ebenfalls im Verhalten im Unendlichen.
- Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]
A
- Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]
Abb. 12 - Ganzrationale Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.
Ganzrationale Funktionen – bestimmen
Ein typischer Aufgabentyp, der häufig in Verbindung mit ganzrationalen Funktionen gestellt wird, behandelt das Bestimmen von ganzrationalen Funktionen. Dabei geht es darum, aus gegebenen Punkten und gegebene Eigenschaften, wie z.B. dem Grad der Funktion, die passende Funktionsgleichung aufzustellen.
Du kannst Dich hier nach dem folgenden Ablauf richten:
- 1. Schritt: Allgemeine Form der Funktionsgleichung mit dem gegebenen Grad aufstellen und wichtige Ableitungen bilden.
- 2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen:
- Gegebene Punkte \((x_i|y_i)\) \(\rightarrow f(x_i)=y_i\)
- Steigung \(m\) an gegebener Stelle \(x \rightarrow f'(x)=m\)
- Extremstellen \(\rightarrow f'(x)=0\)
- Wendestellen \(\rightarrow f''(x)=0\)
- 3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Vorfaktoren auflösen.
Ganzrationale Funktionen – Das Wichtigste
- Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet:
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]
- Die Vorfaktoren \(a_i\) können dabei jede reelle Zahl annehmen \(\rightarrow a_i \in \mathbb{R}\)
- Der Vorfaktor \(a_n\) wird auch als Leitkoeffizient bezeichnet und darf nicht 0 werden \(\rightarrow a_n\neq 0\)
- \(n\), also die Zahl im Exponenten, kann jede natürliche Zahl annehmen \(\rightarrow n \in \mathbb{N}\)
- Die Variable \(x\) darf bei ganzrationalen Funktionen weder im Exponenten noch im Nenner vorkommen.
- Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
- Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert. \(\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\)
- Für die Berechnung der Nullstellen setzt Du die ganzrationale Funktion gleich null und löst nach \(x\) auf. \(\rightarrow f(x)=0\)
Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion.
Funktionen können achsensymmetrisch zur y-Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung sein
Die Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen kannst Du nach folgendem Ablauf bestimmen:
- 1. Schritt: Allgemeine Form der Funktionsgleichung mit dem gegebenen Grad aufstellen und wichtige Ableitungen bilden.
- 2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen.
- 3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Vorfaktoren auflösen.
Nachweise
- Baum, Bellstedt et. al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12 Mathematik für Gymnasien. Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
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