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Ganzrationale Funktion

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Ganzrationale Funktion

In diesem Kapitel geht es um die ganzrationale Funktion, auch Polynomfunktion genannt. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen.

Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zum Thema „ganzrationale Funktion“ und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Wir erklären dir auch die Sonderfälle und was du zu beachten hast!

Am Ende dieses Kapitels bist du sicher ein Profi im Bereich „ganzrationale Funktion“! ☺

Was ist eine ganzrationale Funktion? – die Basics zuerst!

Die ganzrationale Funktion wird auch Polynomfunktion genannt.

Die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion

Unter einer ganzrationalen Funktion bzw. Polynomfunktion n-ten Grades versteht man eine reelle Funktion der Form:

dabei gilt:

Die Bezeichnungen einer ganzrationalen Funktion

Die Parameter des Funktionsterms nennst du folgendermaßen:

  • werden Koeffizienten genannt
  • n, n-1, 2 ,1 ,0 werden die Exponenten genannt
  • Grad der ganzrationalen Funktion/Polynomfunktion: der höchste vorkommende Exponent (hier n)
  • Leitkoeffizient: Koeffizient vor dem größten vorkommenden Exponenten (hier )

Die Nullstellen einer Polynomfunktion

Eine ganzrationale Funktion hat höchstens n Nullstellen.

  • Wenn eine ganzrationale Funktion n-Grade hat kannst du die Polynomdivision durchführen. Dazu musst du aber eine Nullstelle schon kennen. (Tipp: Oft kannst du eine Nullstelle sogar erraten! Setze ein paar Werte wie -2 ,-1 ,0 ,1 ,2 in die Funktionsgleichung ein. Wenn du dann mindestens eine Nullstelle erraten hast, kannst du die Polynomdivision durchführen!)
  • Bei einer Polynomfunktion 2.Grades, auch quadratische Funktion genannt, kannst du die Mitternachtsformel verwenden.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion

Der Verlauf des Graphens hängt vom Vorzeichen des Parameters mit der höchsten Potenz ab, dass heißt ob der Graph einen negativen oder positiven Grenzwert hat.

Wenn eine ganzrationale Funktion einen geraden Grad hat, ist das Vorzeichen der beiden Grenzwerte gleich. Wenn sie hingegen einen ungeraden Grad hat, sind die Vorzeichen unterschiedlich.

Fall 1: Die Funktion hat einen geraden Grad – Vorzeichen der beiden Grenzwerte ist gleich

Das Bild zeigt eine Funktion geraden Grades, die Grenzwerte der Funktion sind gleich. Da das Vorzeichen des höchsten Parametes (in diesem Fall 2) positiv ist, hat die Funktion zwei positive Grenzwerte, sie verläuft von Plus zu Plus.

Das Bild zeigt eine Funktion geraden Grades, die Grenzwerte der Funktion sind gleich. Da das Vorzeichen des höchsten Parametes (in diesem Fall 2) negativ ist, hat die Funktion zwei negativen Grenzwerte, sie verläuft von Minus zu Minus.

Fall 2: Die Funktion hat einen ungeraden Grad – Vorzeichen der beiden Grenzwerte ist unterschiedlich

Die Funktion hat einen ungeraden Grad, deshalb sind die beiden Grenzwerte der Funktion verschieden. Da das Vorzeichen des höchsten Parametes (in diesem Fall 2) positiv ist, geht die Funktion vom Negativen ins Positive.

Die Funktion hat einen ungeraden Grad, deshalb sind die beiden Grenzwerte der Funktion verschieden. Da das Vorzeichen des höchsten Parametes (in diesem Fall -2) negativ ist, geht die Funktion vom Positiven ins Negative.

Schon gewusst?

Die ganzrationale Funktion ist der Überbegriff für viele andere Arten von Funktionen, die wir bereits kennengelernt haben:

  • Eine konstante Funktion ist eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 0.Die Funktionsgleichung lautet:
  • Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 1.Die Funktionsgleichung lautet:
  • Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 2.Die Funktionsgleichung lautet:

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades wird auch Polynomfunktion n-ten Grades genannt.
  • Man versteht darunter eine Funktion der Form:
  • Hat eine ganzrationale Funktion n Grade, hat sie höchstens n Nullstellen.
  • Falls eine ganzrationale Funktion n Grade hat und du bereits eine Nullstelle kennst, kannst du die Polynomdivision durchführen.
  • Falls eine ganzrationale Funktion den Grad 2 hat, kannst du die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen.

Unser Tipp für Euch

Ich würde dir empfehlen, dir die anderen Artikel zu den unterschiedlichen Arten von Funktionen durchzulesen und dir eine klare Übersicht zu erstellen. Es ist hilfreich zu wissen, wie die konstante Funktion, die lineare Funktion und die quadratische Funktion mit der ganzrationalen Funktion zusammenhängen. So musst du dir weniger Formeln merken. Wenn du einmal den Zusammenhang verstanden hast, kannst du eine Formel für alle verwenden und die Herleitung von Graphen, Formeln etc. fällt dir einfacher!

Finales Ganzrationale Funktion Quiz

Frage

Wie wird die Polynomdivision noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

 Partialdivision

Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir die Polynomdivision?

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Berechnung von Nullstellen bei Polynomen, die eine höhere Potenz besitzen als x²

Frage anzeigen

Frage

Was muss gegeben sein um die Polynomdivision anzuwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Polynom 3. Grades muss eine Nullstelle der Funktion bereits gegeben sein, um die restlichen beiden mithilfe der Polynomdivision zu bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Wie wende ich die Polynomdivision an?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Linearfaktor mit gegebenen NS bestimmen.
  2.  Funktion durch Linearfaktor teilen.
  3. Herauskommenden Term mit pq- oder abc-Formel lösen und NS bestimmen.
Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir den Linearfaktor?

Antwort anzeigen

Antwort

Den 1. Linearfaktor deiner Funktion ermittelst du, indem du einen Term in der Form (x ± a) konstruierst und a so bestimmst, dass beim Einsetzten der Nullstelle für x der Term 0 wird. Er wird bestimmt mit der ersten gegeben NS. Er wird benutzt in der Polynomdivision.

Frage anzeigen

Frage

Wende die Polynomdivision an: f(x) = (4 x³ – 13 x + 6) : (x + 2) = ?

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Antwort

4x² - 8x + 3

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Polynomdivision bei Funktionen 4. Grades und höher möglich?

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Antwort

Ja, man benötigt alle Nullstellen dieser Funktion, mit Ausnahme der letzten zwei. Dann kann die Funktion Schritt für Schritt durch Polynomdivision in kleinere Teile aufgebrochen werden, bis man eine quadratische Funktion erhält.

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision x³-6x²-x+6/ (x-1) = ?

Antwort anzeigen

Antwort

x² -5x -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: x³-3x²-10x+24/(x-2)=?

Antwort anzeigen

Antwort

x²-x-12

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Satz vom Nullprodukt? 

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Antwort

Der Satz vom Nullprodukt besagt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist

Frage anzeigen

Frage

Wann darf man Satz vom Nullprodukt anwenden? 

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Antwort

Der Satz vom Nullprodukt darf nur bei einem Produkt angewendet werden, von dem einer der Faktoren Null werden kann. Faktoren des Produktes sind jeweils die Ausdrücke, die zwischen den Multiplikationszeichen stehen.


Frage anzeigen

Frage

Wie funktioniert der Satz vom Nullprodukt? 

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn a ⋅ b=0, so ist a = 0 und/oder b = 0.  

Frage anzeigen

Frage

Was kannst du tun, wenn du kein Produkt aus zwei Funktionen vorliegen hast?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst versuchen, eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt zu verwandeln. Danach kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. 

Frage anzeigen

Frage

Anhand welcher Kriterien entscheidest du, ob du die pq-Formel/Mitternachtsformel oder den Satz vom Nullprodukt anwendest?

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Antwort

Sobald eine quadratische Gleichung  keine Konstante (z.B. 3) hat, wendest du den Satz vom Nullprodukt an.

Frage anzeigen

Frage

Kann der Satz vom Nullprodukt auch bei e-Funktionen angewendet werden?

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Antwort

Es ist bei der Berechnung von Nullstellen einer e-Funktion sehr wichtig, diese ausklammern zu können. Dann ergibt sich ein Produkt und du kannst den Satz vom Nullprodukt anwenden.

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Frage

Was ist die Produktform?

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Antwort

Die Produktform bzw. Produktschreibweise ist eine andere Darstellung für eine Polynomfunktion. Der Vorteil dieser Schreibweise ist es, dass du die Nullstellen sofort ablesen kannst. Diese Form kannst du auch als Linearfaktordarstellung bezeichnen.

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Frage

Was ist ein Produkt?

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Antwort

Ein Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation, aber auch ein Term, der eine Multiplikation darstellt. Die verknüpften Elemente nennen sich Faktoren.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Nullstellen kann eine Funktion 4. Grades haben?

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Antwort

Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Nullstelle und höchstens 4 Nullstellen.

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Frage

Wie kannst du ausklammern?

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Antwort

Um einen Koeffizienten (eine Zahl) auszuklammern zu können, muss dieser als Faktor (d.h. als Teiler) in allen Koeffizienten im Term vorkommen. Du kannst also stets den größten gemeinsamen Teiler aller Koeffizienten ausklammern.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Linearfaktordarstellung?

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Antwort

Die Linearfaktordarstellung ist eine andere Form eine Polynomfunktion aufzuschreiben. Mit einer Darstellung in Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen der Funktion sofort ablesen.

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Frage

Was berechnest du mit dem Horner-Schema?

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Antwort

Das Horner-Schema ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern, also eine Alternative zur Polynomdivision. 

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Frage

Was kannst du anstatt der Polynomdivision machen?

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Antwort

Das Horner-Schema ist eine einfach Alternative zur Polynomdivision.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Linearfaktordarstellung?

Antwort anzeigen

Antwort

In der Linearfaktordarstellung kannst du eine Polynomfunktion in einer anderen Form aufschreiben. Mit der Darstellung in Linearfaktoren kannst du die Nullstellen der Funktion sofort ablesen. Diese Form heißt auch Produktdarstellung.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Funktion ein Polynom?

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Antwort

Polynomfunktionen sind Funktionen, bei denen Potenzterme mit beliebigen natürlichen Exponenten, ggf. multipliziert mit einem Koeffizienten, addiert werden. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Polynom ersten Grades?

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Antwort

Ein Polynom vom Grad 1 wird auch lineares Polynom genannt, ein Polynom vom Grad 2 wird auch quadratisches Polynom genannt, und ein Polynom vom Grad 3 kannst du als kubisches Polynom bezeichnen. 

Frage anzeigen

Frage

Was machst du mit der Polynomdivision?

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Antwort

Die Polynomdivision findet Anwendung, um den Grad der Gleichung um Eins zu senken. Diese Vorgehensweise wird "Abspaltung einer Nullstelle" genannt.

Frage anzeigen

Frage

Was liefern die Zahlen in der letzten Zeile der Tabelle des Horner-Schemas?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahlen in der letzten Zeile liefern die Koeffizienten des Restpolynoms, wie du es auch durch die Polynomdivision erhalten würdest.

Frage anzeigen

Frage

Was lassen sich mit dem Horner-Schema noch bestimmen, außer die Koeffizienten des Restpolynoms?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem Horner-Schema lassen sich außerdem oft auch Lösungen der Polynomgleichung bestimmen. Dazu setzt du in das Schema vorzugsweise Teiler des Absolutgliedes der Polynomgleichung ein. 

Frage anzeigen

Frage

Welches Verfahren ist eine einfachere Alternative zur Polynomdivision?

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Antwort

Das Horner-Schema.

Frage anzeigen

Frage

Was muss stets beachtet werden, wenn das Polynom in die Tabelle geschrieben wird?

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Antwort

Wichtig ist, dass das Polynom vereinfacht und nach Exponenten von groß nach klein geordnet sein muss. 

Frage anzeigen

Frage

Was passiert, wenn ein Koeffizient eines Terms fehlt?

Antwort anzeigen

Antwort

Wie bei der normalen Polynomdivision auch, musst du aber alle Koeffizienten eintragen. Für die fehlenden Terme haben einen Koeffizienten von Null. 

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst du vor, wenn du einen Rest bei dem Horner-Schema übrig hast?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl in der dritten Zeile der letzten Spalte ist nicht Null. Du hast es mit einem Rest zu tun und musst diesen in das Lösungspolynom als Bruch schreiben. In den Zähler kommt der Rest und in den Nenner das Polynom ersten Grades durch das du geteilt hast (die Nullstelle).

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man die Substitution an einer ganzrationalen Funktion anwenden?

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Antwort

Für die Substitution einer ganzrationalen Funktion benötigst du 4.Schritte:


1.Schritt:

Im ersten Schritt ersetzt du jedes xdurch ein z.


2.Schritt

Da du nun eine Gleichung mit z hast, welche du mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel berechnen kannst, kannst du die sie nun nach z auflösen


3.Schritt

Nun kommst du zur Resubstitution,  bei welcher du den Parameter z wieder mit x2 tauschst.


4.Schritt

Nun musst du nur noch die Wurzel ziehen, um x zu erhalten

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Frage

Erläutere, welchen Einfluss der Leitkoeffizient auf den Graphen einer quadratischen Funktion hat.

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Antwort

Der Leitkoeffizient gibt mit seinem Vorzeichen an, in welche Richtung der Graph verläuft. Bei einem positivem Vorzeichen verläuft er in positive, bei einem negativem Vorzeichen in negative Richtung.

Frage anzeigen

Frage

Wieviele Nullstellen hat ein Polynom 6. Grades?

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Antwort

6

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Frage

Wie findet man den Grad eines Polynoms heraus?

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Antwort

Den Grad eines Polynoms zeigt der höchste Exponent an. 

Frage anzeigen

Frage

Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Substitution berechnen musst?


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Antwort

1. Schritt: Substituieren der Variable durch eine geeignete andere Variable, sodass eine quadratische Funktion übrig bleibt

2. Schritt: Mitternachtsformel mit der neuen quadratischen Funktion durchführen

3. Schritt: Resubstituieren

Frage anzeigen

Frage

In welche Richtung ist ein Polynom zweiten Grades mit negativem Leitkoeffizienten geöffnet?

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Antwort

Nach unten

Frage anzeigen

Frage

Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Polynomdivision berechnen musst?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt: Erste Nullstelle durch Probieren finden.

2. Schritt: Diese Nullstelle als Divisor für die Polynomdivision verwenden, sodass ein Polynom zweiten Grades herauskommt.

3. Schritt: Die quadratische Funktion in die Mitternachtsformel einsetzen und berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Besonderheit eines Polynom nullten Grades ist.

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Antwort

Ein Polynom nullten Grades stellt eine Parallel zur x-Achse dar und hat niemals Nullstellen.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, warum sich bei Polynomen geraden und ungeraden Grades die Symmetrie unterscheidet.

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Antwort

Die Symmetrie bei Polynomen ist von dem, den Grad bestimmenden, Exponenten abhängig. Ist der Grad bestimmende Exponenten gerade, liegt eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor; ist er ungerade, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Formel von Cardano?

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Antwort

Die Formel von Cardano ist eine Formel zum exakten Lösen von kubischen Gleichungen.

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Frage

Wie lauten die Schritte bei der Anwendung der cardanischen Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Gleichung in die richtige Form bringen
  2. Definition der Variablen p, q, D, x
  3. Fallunterscheidung
  4. Berechnung von x
Frage anzeigen

Frage

Welche Fälle gibt es bei der Anwendung der cardanischen Formeln?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt die Fälle:


  1. D>0
  2. D=0, p ungleich 0
  3. D=0, p=0
  4. D<0
Frage anzeigen
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