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Ganzrationale Funktion

Ganzrationale Funktion

Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt. Sie können verschiedene Eigenschaften haben. Du kannst in der Abbildung beispielsweise eine ganzrationale Funktion 3. Grades erkennen, welche eine bestimmte Symmetrie aufweist.

Ganzrationale Funktionen Funktion 3. Grades Beispiel StudySmarterAbb. 1 - Ganzrationale Funktion 3. Grades Beispiel.

Welche Symmetrie hier genau vorliegt und welche besonderen Eigenschaften ganzrationale Funktionen darüber hinaus haben können, erfährst Du hier. Ebenso lernst Du in dieser Erklärung, wie ganzrationale Funktionen im Allgemeinen definiert sind, und wie Du eine Funktionsgleichung aus gegebenen Kriterien bestimmen kannst.

Ganzrationale Funktionen – Definition

Ganzrationale Funktionen bestehen aus einem Polynom, also aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind.

Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet:

\[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]

  • Die Vorfaktoren \(\color{#1478c8}a_i\) können dabei jede reelle Zahl annehmen \(\rightarrow{\color{#1478c8} a_i\in \mathbb{R}}\).
  • Der Vorfaktor \(\color{#1478c8}a_n\) wird auch als Leitkoeffizient bezeichnet und darf nicht 0 werden \(\rightarrow{\color{#1478c8} a_n\neq 0}\).
  • \(\color{#00dcb4}n\), also die Zahl im Exponenten, kann jede natürliche Zahl annehmen \(\rightarrow {\color{#00dcb4} n \in \mathbb{N}}\).
  • Die Variable \(x\) darf bei ganzrationalen Funktionen weder im Exponenten noch im Nenner vorkommen.

Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt. Die einzelnen Summanden werden auch als Glieder bezeichnet und in der Regel der Größe ihres Exponenten nach in der Funktion sortiert.

Bei der Funktion

\[\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200} f(x)=5x^{\color{blau}4}+2x^2+3 \]

handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades, aufgrund des höchsten Exponenten \(4\).

Wie Du an dem Beispiel sehen kannst, müssen ganzrationale Funktionen nicht immer in ihrer allgemeinen Form auftreten, sondern es können auch einzelne Glieder bzw. Exponenten übersprungen werden.

Ganzrationale Funktionen – Polynomfunktion: Überblick

Zu den wichtigsten ganzrationalen Funktionen gehören die lineare Funktion, die quadratische Funktion und die Funktion dritten sowie vierten Grades.

allgemeine Funktionsgleichung
Beispiel (Abb. 2-6)
konstante Funktion (0.Grades)
\[f(x)=c\]

Ganzrationale Funktionen konstante Funktion StudySmarter

lineare Funktionen (1. Grades)
\[f(x)=mx+t\]

Ganzrationale Funktionen lineare Funktion StudySmarter

quadratische Funktionen (2.Grades)
\[f(x)=ax^2+bx+c\]

Ganzrationale Funktionen quadratische Funktion StudySmarter

ganzrationale Funktionen 3. Grades
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

Ganzrationale Funktionen kubische Funktion StudySmarter

ganzrationale Funktionen 4. Grades

\[f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\]

Ganzrationale Funktionen Funktion vierten Grades StudySmarter

Mehr Informationen zu Funktionen nullten, ersten und zweiten Grades findest Du in den folgenden Erklärungen:

Ganzrationale Funktionen – Eigenschaften

Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst.

Eine vollständige Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion kannst Du in der Erklärung "Kurvendiskussion Polynomfunktion" finden.

Hier findest Du einen allgemeinen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften ganzrationaler Funktionen.

Definitionsbereich ganzrationale Funktionen

Der Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) einer Funktion gibt an, welche Werte Du für \(x\) in die Funktion einsetzen kannst, und welche nicht. Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.

\[\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\]

Ganzrationale Funktionen Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion stellen die Schnittpunkte des Funktionsgrafen mit der x-Achse dar.

Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt die maximale Anzahl an Nullstellen, die eine Funktion haben kann.

Eine Polynomfunktion 1. Grades kann somit maximal eine Nullstelle haben, eine Funktion 2. Grades höchstens zwei usw.

Um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu berechnen, setzt Du die Funktion \(f(x)\) gleich null und löst die Gleichung nach \(x\) auf.

\[\rightarrow f(x)=0\]

Je nach Grad der Funktion gibt es dafür unterschiedliche Lösungswege.

Ganzrationale Funktion
Lösungsweg
Lineare Funktion
einfache Termumformungen
quadratische Funktion
pq-Formel, Mitternachtsformel, quadratische Ergänzung
ganzrationale Funktionen höheren Grades \((n\geq 3)\)

Mehr Informationen und Anwendungsbeispiele dazu findest Du in der Erklärung "Ganzrationale Funktionen Nullstellen".

Ganzrationale Funktionen y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt einer Funktion ist, wie der Name schon sagt, die Schnittstelle des Funktionsgrafen mit der y-Achse. Jede ganzrationale Funktion hat dabei immer genau einen y-Achsenabschnitt.

Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) zu berechnen, setzt Du für \(x\) in die Funktion null ein.

\[\rightarrow y_0=f(0)\]

Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion. Du kannst die Schnittstelle mit der y-Achse also direkt an der Funktionsgleichung ablesen.

Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) der Funktion

\[f(x)=4x^6+3x^4-8x \color{#00dcb4}-2\]

zu bestimmen, setzt Du also in die Funktion \(x=0\) ein:

\begin{align}f({\color{blau}0})&=4\cdot{ \color{blau}0}^6+3\cdot{\color{blau}0}^4-8\cdot{\color{blau}0}\color{#00dcb4}-2\\&=\color{#00dcb4}-2\end{align}

Übrig bleibt somit nur die Konstante der Funktion.

\[\rightarrow \color{#00dcb4}y_0=-2\]

Wenn die ganzrationale Funktion keine Konstante in der Funktionsgleichung hat, ist der y-Achsenabschnitt bei 0.

Symmetrie ganzrationale Funktionen

Eine weitere Eigenschaft von Funktionen ist die Symmetrie. Funktionen können dabei zum Beispiel achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann ein Blick auf die Exponenten helfen, um die Symmetrie zu bestimmen.

Art der Symmetrie
Bedingung
Beispiel (Abb. 7-8)
Achsensymmetrie zur y-Achse

\[f(-x)=f(x)\]

\(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten

\[f(x)=-0{,}5x^{\color{blau}4}+3x^{\color{blau}2}\]

Ganzrationale Funktionen Achsensymmetrie Beispiel ganzrationale Funktion 4. Grades StudySmarter

Punktsymmetrie zum Ursprung

\[f(-x)=-f(x)\]

\(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten

\[f(x)=0{,}5x^{\color{blau}5}-6x^{\color{blau}3}\]

Ganzrationale Funktionen Punktsymmetrie Beispiel ganzrationale Funktion 5. Grades StudySmarter

Treffen die Bedingungen beide nicht zu, hat die Funktion entweder gar keine Symmetrie, oder eine andere Symmetrieachse bzw. einen anderen Symmetriepunkt.

In der Erklärung "Symmetrie Funktionen" erfährst Du, wie Du die Symmetrie von Funktionen zu einer beliebigen Achse bzw. zu einem beliebigen Punkt bestimmen kannst.

Ganzrationale Funktionen Extrempunkte

Ganzrationale Funktionen haben meistens mehrere lokale Extrema, also Tief - und Hochpunkte.

Die maximale Anzahl an möglichen Extrempunkten einer Polynomfunktion ist abhängig vom Grad der Funktion. Die Anzahl entspricht dabei dem Grad der Funktion minus 1.

\[\rightarrow n-1\]

Lineare Funktionen haben demzufolge keine Extrempunkte, quadratische Funktionen einen Extrempunkt, Funktionen dritten Grades bis zu zwei usw.

Wie Du sie berechnest, erfährst Du in der Erklärung "Extremstellen".

Ganzrationale Funktionen Verhalten im Unendlichen

Beim Verhalten im Unendlichen, auch Global- oder Grenzverhalten genannt, geht es darum, welchen y-Wert die Funktion annimmt, wenn Du für \(x\) ganz große positive bzw. ganz große negative Zahlen einsetzt.

Bei ganzrationalen Funktionen genügt es dabei, sich nur das Glied mit dem höchsten Exponenten anzuschauen.

Grenzverhalten Polynome gerader Grad

Polynomfunktionen mit einem geraden Grad, also Funktionen 2. Grades, 4. Grades usw., verhalten sich im Unendlichen alle nach demselben Schema. Der Leitkoeffizient \(a_n\), also der Faktor vor dem \(x\) mit dem höchsten Exponenten, gibt Dir dabei Auskunft über das Grenzverhalten der Funktion.

  • Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Parabel positivem Leitkoeffizienten StudySmarterAbb. 9 - Parabel mit positivem Leitkoeffizienten.

  • Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]

Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Polynomfunktion 6. Grades negativem Leitkoeffizienten StudySmarterAbb. 10 - Ganzrationale Funktion 6. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.

Grenzverhalten Polynome ungerader Grad

Ganzrationale Funktionen mit einem ungeraden Grad, also Funktionen 3. Grades, 5. Grades usw., gleichen sich ebenfalls im Verhalten im Unendlichen.

  • Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Polynomfunktion 5. Grades positivem Leitkoeffizienten StudySmarterA

  • Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]

Ganzrationale Funktionen Grenzverhalten Polynomfunktion 3. Grades negativem Leitkoeffizienten StudySmarterAbb. 12 - Ganzrationale Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.

Ganzrationale Funktionen – bestimmen

Ein typischer Aufgabentyp, der häufig in Verbindung mit ganzrationalen Funktionen gestellt wird, behandelt das Bestimmen von ganzrationalen Funktionen. Dabei geht es darum, aus gegebenen Punkten und gegebene Eigenschaften, wie z.B. dem Grad der Funktion, die passende Funktionsgleichung aufzustellen.

Du kannst Dich hier nach dem folgenden Ablauf richten:

  • 1. Schritt: Allgemeine Form der Funktionsgleichung mit dem gegebenen Grad aufstellen und wichtige Ableitungen bilden.
  • 2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen:
    • Gegebene Punkte \((x_i|y_i)\) \(\rightarrow f(x_i)=y_i\)
    • Steigung \(m\) an gegebener Stelle \(x \rightarrow f'(x)=m\)
    • Extremstellen \(\rightarrow f'(x)=0\)
    • Wendestellen \(\rightarrow f''(x)=0\)
  • 3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Vorfaktoren auflösen.

Ein Beispiel dazu findest Du in der Erklärung "Polynomfunktion".

Ganzrationale Funktionen – Das Wichtigste

  • Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet:

    \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]

    • Die Vorfaktoren \(a_i\) können dabei jede reelle Zahl annehmen \(\rightarrow a_i \in \mathbb{R}\)
    • Der Vorfaktor \(a_n\) wird auch als Leitkoeffizient bezeichnet und darf nicht 0 werden \(\rightarrow a_n\neq 0\)
    • \(n\), also die Zahl im Exponenten, kann jede natürliche Zahl annehmen \(\rightarrow n \in \mathbb{N}\)
    • Die Variable \(x\) darf bei ganzrationalen Funktionen weder im Exponenten noch im Nenner vorkommen.
  • Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt.
  • Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert. \(\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\)
  • Für die Berechnung der Nullstellen setzt Du die ganzrationale Funktion gleich null und löst nach \(x\) auf. \(\rightarrow f(x)=0\)
  • Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion.

  • Funktionen können achsensymmetrisch zur y-Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung sein

    • Achsensymmetrie zur y-Achse \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten

    • Punktsymmetrie zum Ursprung \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten

  • Die Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen kannst Du nach folgendem Ablauf bestimmen:

    • 1. Schritt: Allgemeine Form der Funktionsgleichung mit dem gegebenen Grad aufstellen und wichtige Ableitungen bilden.
    • 2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen.
    • 3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Vorfaktoren auflösen.

Nachweise

  1. Baum, Bellstedt et. al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12 Mathematik für Gymnasien. Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
  2. Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion besteht aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind. Die allgemeine Form lautet: 

f(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0


  • Die Exponenten n dürfen dabei nur natürliche Zahlen annehmen.
  • Die Vorfaktoren ai dürfen jede reelle Zahl annehmen.
  • Die Variable x darf weder im Exponenten noch im Nenner stehen.

Der Grad einer Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten in der Funktion bestimmt. Die Funktion f(x) = 3x4 + x2 - 3 hat beispielsweise einen Grad von 4.

Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst. 


  • Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.
  • Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also die Zahl ohne x, am Ende der Funktion.
  • Die maximal mögliche Anzahl an Nullstellen entspricht dem Grad der Funktion.
  • Die maximal mögliche Anzahl an Extremstellen entspricht dem Grad der Funktion minus 1.
  • Funktionen können achsensymmetrisch zur y-Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Es handelt sich um keine ganzrationale Funktion, wenn die Exponenten keine natürlichen Zahlen sind, also keine ganzen, positiven Zahlen. Ebenso handelt es sich um keine ganzrationale Funktion, wenn die Variable x im Exponenten oder im Nenner steht.

Finales Ganzrationale Funktion Quiz

Frage

Wie wird die Polynomdivision noch genannt?

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Antwort

 Partialdivision

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Frage

Wozu brauchen wir die Polynomdivision?

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Antwort

Zur Berechnung von Nullstellen bei Polynomen, die eine höhere Potenz besitzen als x²

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Frage

Was muss gegeben sein um die Polynomdivision anzuwenden?

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Antwort

Bei einem Polynom 3. Grades muss eine Nullstelle der Funktion bereits gegeben sein, um die restlichen beiden mithilfe der Polynomdivision zu bestimmen.

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Frage

Wie wende ich die Polynomdivision an?

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Antwort

  1. Linearfaktor mit gegebenen NS bestimmen.
  2.  Funktion durch Linearfaktor teilen.
  3. Herauskommenden Term mit pq- oder abc-Formel lösen und NS bestimmen.

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Frage

Wozu brauchen wir den Linearfaktor?

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Antwort

Den 1. Linearfaktor deiner Funktion ermittelst du, indem du einen Term in der Form (x ± a) konstruierst und a so bestimmst, dass beim Einsetzten der Nullstelle für x der Term 0 wird. Er wird bestimmt mit der ersten gegeben NS. Er wird benutzt in der Polynomdivision.

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Frage

Wende die Polynomdivision an: f(x) = (4 x³ – 13 x + 6) : (x + 2) = ?

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Antwort

4x² - 8x + 3

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Frage

Ist eine Polynomdivision bei Funktionen 4. Grades und höher möglich?

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Antwort

Ja, man benötigt alle Nullstellen dieser Funktion, mit Ausnahme der letzten zwei. Dann kann die Funktion Schritt für Schritt durch Polynomdivision in kleinere Teile aufgebrochen werden, bis man eine quadratische Funktion erhält.

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Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision x³-6x²-x+6/ (x-1) = ?

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Antwort

x² -5x -6

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Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: x³-3x²-10x+24/(x-2)=?

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Antwort

x²-x-12

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Frage

Was ist der Satz vom Nullprodukt? 

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Antwort

Der Satz vom Nullprodukt besagt:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist

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Frage

Wann darf man Satz vom Nullprodukt anwenden? 

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Antwort

Der Satz vom Nullprodukt darf nur bei einem Produkt angewendet werden, von dem einer der Faktoren Null werden kann. Faktoren des Produktes sind jeweils die Ausdrücke, die zwischen den Multiplikationszeichen stehen.


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Frage

Wie funktioniert der Satz vom Nullprodukt? 

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Antwort

Wenn a ⋅ b=0, so ist a = 0 und/oder b = 0.  

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Frage

Was kannst du tun, wenn du kein Produkt aus zwei Funktionen vorliegen hast?

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Antwort

Du kannst versuchen, eine Summe oder Differenz durch Faktorisieren in ein Produkt zu verwandeln. Danach kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. 

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Frage

Anhand welcher Kriterien entscheidest du, ob du die pq-Formel/Mitternachtsformel oder den Satz vom Nullprodukt anwendest?

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Antwort

Sobald eine quadratische Gleichung  keine Konstante (z.B. 3) hat, wendest du den Satz vom Nullprodukt an.

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Frage

Kann der Satz vom Nullprodukt auch bei e-Funktionen angewendet werden?

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Antwort

Es ist bei der Berechnung von Nullstellen einer e-Funktion sehr wichtig, diese ausklammern zu können. Dann ergibt sich ein Produkt und du kannst den Satz vom Nullprodukt anwenden.

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Frage

Was ist die Produktform?

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Antwort

Die Produktform bzw. Produktschreibweise ist eine andere Darstellung für eine Polynomfunktion. Der Vorteil dieser Schreibweise ist es, dass du die Nullstellen sofort ablesen kannst. Diese Form kannst du auch als Linearfaktordarstellung bezeichnen.

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Frage

Was ist ein Produkt?

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Antwort

Ein Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation, aber auch ein Term, der eine Multiplikation darstellt. Die verknüpften Elemente nennen sich Faktoren.

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Frage

Wie viele Nullstellen kann eine Funktion 4. Grades haben?

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Antwort

Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Nullstelle und höchstens 4 Nullstellen.

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Frage

Wie kannst du ausklammern?

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Antwort

Um einen Koeffizienten (eine Zahl) auszuklammern zu können, muss dieser als Faktor (d.h. als Teiler) in allen Koeffizienten im Term vorkommen. Du kannst also stets den größten gemeinsamen Teiler aller Koeffizienten ausklammern.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Linearfaktordarstellung?

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Antwort

Die Linearfaktordarstellung ist eine andere Form eine Polynomfunktion aufzuschreiben. Mit einer Darstellung in Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen der Funktion sofort ablesen.

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Frage

Beschreibe, was mit dem Horner-Schema berechnet werden kann. 

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Antwort

Das Horner-Schema ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern, also eine Alternative zur Polynomdivision. Außerdem dient es der Nullstellenberechnung.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Alternative es zur Polynomdivision gibt. 

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Antwort

Das Horner-Schema ist eine einfache Alternative zur Polynomdivision.

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Frage

Wähle aus, welches Ergebnis das Horner-Schema direkt liefert, ohne weitere Verfahren anzuwenden.

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Antwort

Nullstellen der Funktion

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man die Substitution an einer ganzrationalen Funktion anwenden?

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Antwort

Für die Substitution einer ganzrationalen Funktion benötigst du 4.Schritte:


1.Schritt:

Im ersten Schritt ersetzt du jedes xdurch ein z.


2.Schritt

Da du nun eine Gleichung mit z hast, welche du mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel berechnen kannst, kannst du die sie nun nach z auflösen


3.Schritt

Nun kommst du zur Resubstitution,  bei welcher du den Parameter z wieder mit x2 tauschst.


4.Schritt

Nun musst du nur noch die Wurzel ziehen, um x zu erhalten

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, welchen Einfluss der Leitkoeffizient auf den Graphen einer quadratischen Funktion hat.

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Antwort

Der Leitkoeffizient gibt mit seinem Vorzeichen an, in welche Richtung der Graph verläuft. Bei einem positivem Vorzeichen verläuft er in positive, bei einem negativem Vorzeichen in negative Richtung.

Frage anzeigen

Frage

Wieviele Nullstellen hat ein Polynom 6. Grades?

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Antwort

6

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Frage

Wie findet man den Grad eines Polynoms heraus?

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Antwort

Den Grad eines Polynoms zeigt der höchste Exponent an. 

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Frage

Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Substitution berechnen musst?


Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt: Substituieren der Variable durch eine geeignete andere Variable, sodass eine quadratische Funktion übrig bleibt

2. Schritt: Mitternachtsformel mit der neuen quadratischen Funktion durchführen

3. Schritt: Resubstituieren

Frage anzeigen

Frage

In welche Richtung ist ein Polynom zweiten Grades mit negativem Leitkoeffizienten geöffnet?

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Antwort

Nach unten

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Frage

Welche 3 Schritte musst Du beachten, wenn Du die Nullstellen eines Polynoms durch Polynomdivision berechnen musst?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt: Erste Nullstelle durch Probieren finden.

2. Schritt: Diese Nullstelle als Divisor für die Polynomdivision verwenden, sodass ein Polynom zweiten Grades herauskommt.

3. Schritt: Die quadratische Funktion in die Mitternachtsformel einsetzen und berechnen.

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Frage

Erkläre, was die Besonderheit eines Polynom nullten Grades ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Polynom nullten Grades stellt eine Parallel zur x-Achse dar und hat niemals Nullstellen.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, warum sich bei Polynomen geraden und ungeraden Grades die Symmetrie unterscheidet.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Symmetrie bei Polynomen ist von dem, den Grad bestimmenden, Exponenten abhängig. Ist der Grad bestimmende Exponenten gerade, liegt eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor; ist er ungerade, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

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Frage

Was ist die Formel von Cardano?

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Antwort

Die Formel von Cardano ist eine Formel zum exakten Lösen von kubischen Gleichungen.

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Frage

Wie lauten die Schritte bei der Anwendung der cardanischen Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Gleichung in die richtige Form bringen
  2. Definition der Variablen p, q, D, x
  3. Fallunterscheidung
  4. Berechnung von x

Frage anzeigen

Frage

Welche Fälle gibt es bei der Anwendung der cardanischen Formeln?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt die Fälle:


  1. D>0
  2. D=0, p ungleich 0
  3. D=0, p=0
  4. D<0

Frage anzeigen

Frage

Nenne die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen.

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Antwort

Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet: \[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Aussagen bezüglich der allgemeinen Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen

\[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]

zutreffen.

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Antwort

\(n\) darf jede natürliche Zahl annehmen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne den alternativen Begriff für ganzrationale Funktionen.

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Antwort

Polynomfunktionen

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Frage

Bestimme den Grad der folgenden Funktion!

\[f(x)=5x^4+2x^2-8x\]

Antwort anzeigen

Antwort

Grad 4

Frage anzeigen

Frage

Gib an, welchen Definitionsbereich ganzrationale Funktionen grundsätzlich haben. 

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Antwort

Ganzrationale Funktionen sind grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.

\[\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\]

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den y-Achsenabschnitt der folgenden Funktion.

\[f(x)=3x^3-2x-1\]

Antwort anzeigen

Antwort

-1

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie viele Extremstellen die Funktion \[f(x)=4x^3-2x^2+1\] maximal haben kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion \(f(x)\) kann maximal 2 Extremstellen haben. Die maximal mögliche Anzahl entspricht nämlich dem Grad der Funktion minus 1.

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum die Funktion \[f(x)=6x^4+8x-2\] bis zu 4 Nullstellen haben kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt die maximale Anzahl an Nullstellen, die eine Funktion haben kann. Da die Funktion \(f(x)\) einen Grad von 4 hat, kann sie auch maximal 4 Nullstellen haben.

Frage anzeigen

Frage

Nenne drei Lösungswege, um die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen höheren Grades zu bestimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Ausklammern, Substitution, Polynomdivision

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Aussagen über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen mit einem geraden Grad wahr sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Aussagen über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen mit einem ungeraden Grad wahr sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Grad der folgenden Funktion.\[f(x)=3x^4+5x^6+4x\]

Antwort anzeigen

Antwort

6

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Bezeichnung der folgenden Funktionsgleichung. \[f(x)=ax^2+bx+c\]

Antwort anzeigen

Antwort

quadratische Funktion

Frage anzeigen

Frage

Nenne die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades.

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion lautet \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades.

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades lautet: \[f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\]

Frage anzeigen

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