Ganzrationale Funktion

Ganzrationale Funktionen – Definition

Ganzrationale Funktionen bestehen aus einem Polynom, also aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind.

Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt. Die einzelnen Summanden werden auch als Glieder bezeichnet und in der Regel der Größe ihres Exponenten nach in der Funktion sortiert.

Wie Du an dem Beispiel sehen kannst, müssen ganzrationale Funktionen nicht immer in ihrer allgemeinen Form auftreten, sondern es können auch einzelne Glieder bzw. Exponenten übersprungen werden.

Ganzrationale Funktionen – Polynomfunktion: Überblick

Zu den wichtigsten ganzrationalen Funktionen gehören die lineare Funktion, die quadratische Funktion und die Funktion dritten sowie vierten Grades.

Ganzrationale Funktionen – Eigenschaften

Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst.

Hier findest Du einen allgemeinen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften ganzrationaler Funktionen.

Definitionsbereich ganzrationale Funktionen

Der Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) einer Funktion gibt an, welche Werte Du für \(x\) in die Funktion einsetzen kannst, und welche nicht. Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.

\[\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\]

Ganzrationale Funktionen Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion stellen die Schnittpunkte des Funktionsgrafen mit der x-Achse dar.

Eine Polynomfunktion 1. Grades kann somit maximal eine Nullstelle haben, eine Funktion 2. Grades höchstens zwei usw.

Um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu berechnen, setzt Du die Funktion \(f(x)\) gleich null und löst die Gleichung nach \(x\) auf.

\[\rightarrow f(x)=0\]

Je nach Grad der Funktion gibt es dafür unterschiedliche Lösungswege.

Ganzrationale Funktionen y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt einer Funktion ist, wie der Name schon sagt, die Schnittstelle des Funktionsgrafen mit der y-Achse. Jede ganzrationale Funktion hat dabei immer genau einen y-Achsenabschnitt.

Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) zu berechnen, setzt Du für \(x\) in die Funktion null ein.

\[\rightarrow y_0=f(0)\]

Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion. Du kannst die Schnittstelle mit der y-Achse also direkt an der Funktionsgleichung ablesen.

Symmetrie ganzrationale Funktionen

Eine weitere Eigenschaft von Funktionen ist die Symmetrie. Funktionen können dabei zum Beispiel achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann ein Blick auf die Exponenten helfen, um die Symmetrie zu bestimmen.

Treffen die Bedingungen beide nicht zu, hat die Funktion entweder gar keine Symmetrie, oder eine andere Symmetrieachse bzw. einen anderen Symmetriepunkt.

Ganzrationale Funktionen Extrempunkte

Ganzrationale Funktionen haben meistens mehrere lokale Extrema, also Tief - und Hochpunkte.

Lineare Funktionen haben demzufolge keine Extrempunkte, quadratische Funktionen einen Extrempunkt, Funktionen dritten Grades bis zu zwei usw.

Ganzrationale Funktionen Verhalten im Unendlichen

Beim Verhalten im Unendlichen, auch Global- oder Grenzverhalten genannt, geht es darum, welchen y-Wert die Funktion annimmt, wenn Du für \(x\) ganz große positive bzw. ganz große negative Zahlen einsetzt.

Bei ganzrationalen Funktionen genügt es dabei, sich nur das Glied mit dem höchsten Exponenten anzuschauen.

Grenzverhalten Polynome gerader Grad

Polynomfunktionen mit einem geraden Grad, also Funktionen 2. Grades, 4. Grades usw., verhalten sich im Unendlichen alle nach demselben Schema. Der Leitkoeffizient \(a_n\), also der Faktor vor dem \(x\) mit dem höchsten Exponenten, gibt Dir dabei Auskunft über das Grenzverhalten der Funktion.

• Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

Abb. 9 - Parabel mit positivem Leitkoeffizienten.

• Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]

Abb. 10 - Ganzrationale Funktion 6. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.

Grenzverhalten Polynome ungerader Grad

Ganzrationale Funktionen mit einem ungeraden Grad, also Funktionen 3. Grades, 5. Grades usw., gleichen sich ebenfalls im Verhalten im Unendlichen.

• Ist der Leitkoeffizient \(a_n >0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]

A

• Ist der Leitkoeffizient \(a_n <0\), gilt Folgendes:

\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]

Abb. 12 - Ganzrationale Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.

Ganzrationale Funktionen – bestimmen

Ein typischer Aufgabentyp, der häufig in Verbindung mit ganzrationalen Funktionen gestellt wird, behandelt das Bestimmen von ganzrationalen Funktionen. Dabei geht es darum, aus gegebenen Punkten und gegebene Eigenschaften, wie z.B. dem Grad der Funktion, die passende Funktionsgleichung aufzustellen.

Du kannst Dich hier nach dem folgenden Ablauf richten:

• 1. Schritt: Allgemeine Form der Funktionsgleichung mit dem gegebenen Grad aufstellen und wichtige Ableitungen bilden.
• 2. Schritt: Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufstellen:
  • Gegebene Punkte \((x_i|y_i)\) \(\rightarrow f(x_i)=y_i\)
  • Steigung \(m\) an gegebener Stelle \(x \rightarrow f'(x)=m\)
  • Extremstellen \(\rightarrow f'(x)=0\)
  • Wendestellen \(\rightarrow f''(x)=0\)
• 3. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen und nach den Vorfaktoren auflösen.