Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Monotonieverhalten

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Monotonieverhalten

In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du das Monotonieverhalten bestimmen kannst und dir alle Fragen dazu beantworten. Das Monotonieverhalten ist ein Thema der Kurvendiskussion und wird im Fach Mathematik unterrichtet.

Was ist das Monotonieverhalten?

Bevor wir dir erklären, was das Monotonieverhalten ist, solltest du bereits Grundwissen in der Differentialrechnung haben:

  • Was ist die 1. Ableitung, und wie bildet man sie?
  • Was ist die 2. Ableitung und wie bildet man sie?
  • Wie berechne ich Extremwerte?

Wenn du das alles weißt, bist du gut vorbereitet für das Folgende.

Das Monotonieverhalten einer Funktion teilt dir mit, in welchem Bereich der Graph der Funktion steigt oder fällt. Daher ist das Monotonieverhalten wie folgt definiert:

  • Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn f’(x) > 0 gilt.
  • Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f’(x) < 0 gilt.

Wie bestimme ich das Monotonieverhalten?

Es gibt zwei Verfahren, mit denen du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen kannst.

Verfahren 1 zur Bestimmung des Monotonieverhaltens

Beim ersten Verfahren wird die zweite Ableitung benötigt.

  1. f’(x) berechnen
  2. f’(x) = 0, Nullstellen von f’(x) berechnen
  3. f’’(x) berechnen
  4. Nullstellen von f’(x) in f’’(x) einsetzen
  5. Intervalle benennen
  6. Ergebnis bestimmen

Verfahren 2 zur Bestimmung des Monotonieverhaltens

Beim zweiten Verfahren brauchst du die zweite Ableitung nicht.

  1. f’(x) berechnen
  2. f’(x) = 0, NS von f’(x) berechnen
  3. Intervalle benennen
  4. Monotonietabelle aufstellen
  5. Vorzeichen der Intervalle berechnen
  6. Ergebnis interpretieren

Wann welches Verfahren eingesetzt wird, erfährst du im letzten Abschnitt.

Monotonieverhalten bestimmen mit der zweiten Ableitung (Verfahren 1)

Beispiel 1 Monotonieverhalten (Verfahren 1)

Zu untersuchen sei das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = x².

  1. f’(x) berechnenf’(x) = 2x
  2. f’(x) = 0, Nullstellen von f’(x) berechnen2x = 0 → x= 0
  3. f’’(x) berechnenf’’(x) = 2
  4. Nullstellen von f’(x) in f’’(x) einsetzenf’’(x) = 2 > 0 → Tiefpunkt
  5. Intervalle benennenDie berechnete NS teilt den relevanten Bereich in 2 Intervalle:
    1. Intervall: (-∞; 0)
    2. Intervall: (0; +∞)
  6. Ergebnis bestimmenDa es bei x= 0 einen Tiefpunkt gibt, fällt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt.Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton fallend.Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion.Also gilt: (0; +∞): streng monoton steigend.

Beispiel 2 Monotonieverhalten (Verfahren 1)

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x².

  1. f’(x) berechnenf’(x) = -2x
  2. f’(x) = 0, Nullstellen von f’(x) berechnen-2x = 0 → x= 0
  3. f’’(x) berechnenf’’(x) = -2
  4. Nullstellen von f’(x) in f’’(x) einsetzenf’’(x) = -2 < 0 → Hochpunkt
  5. Intervalle benennenDie berechnete NS teilt den relevanten Bereich in 2 Intervalle:
    1. Intervall: (-∞; 0)
    2. Intervall: (0; +∞)
  6. Ergebnis bestimmenDa es bei x= 0 einen Hochpunkt gibt, steigt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt.Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton steigend.Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion.Also gilt: (0; +∞): streng monoton fallend.

Monotonieverhalten bestimmen ohne der zweiten Ableitung (Verfahren 2)

Beispiel 1 Monotonieverhalten (Verfahren 2)

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) =x².

  1. f’(x) berechnenf’(x) = 2x
  2. f’(x) = 0, NS von f’(x) berechnen2x= 0 → x= 0
  3. Intervalle benennenDie berechnete NS teilt den für uns relevanten Bereich in zwei Intervalle.
    1. Intervall: (-∞; 0)
    2. Intervall: (0; +∞)
  4. Monotonietabelle aufstellenIn die erste Zeile der Monotonietabelle schreibst du die Intervalle hin.In die zweite Zeile notierst du dir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.Das Grundgerüst dieser Tabelle sieht dann so aus:

    (-∞; 0)

    (0; +∞)

    f’(x)

  5. Vorzeichen der Intervalle berechnenUm das Vorzeichen zu erhalten, setzt du eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.
    • Aus dem Intervall (-∞; 0) wählen wir die Zahl “-1”:f’(-1) = 2 *(-1) = -2 → negatives Vorzeichen
    • Aus dem Intervall (0; +∞) wählen wir die Zahl “1”.f’(1) = 2*1 = 2 → positives VorzeichenDiese Zwischenergebnisse schreibst du in die Monotonietabelle auf.
    • (-∞; 0)

      (0; +∞)

      f’(x)

      -+
  6. Ergebnis interpretierenWenn die erste Ableitung der Funktion im Intervall ein positives Vorzeichen hat, verläuft der Graph dort streng monoton steigend.Wenn die erste Ableitung der Funktion im Intervall ein negatives Vorzeichen hat, verläuft der Graph dort streng monoton fallend.

    (-∞; 0)

    (0; +∞)

    f’(x)

    -

    s.m. fallend

    +

    s.m. steiged

Damit haben wir unser Ziel erreicht:

Wir wissen, in welchem Bereich der Graph steigt bzw. fällt.

Beispiel 2 Monotonieverhalten (Verfahren 2)

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x².

  1. f’(x) berechnenf’(x) = -2x
  2. f’(x) = 0, NS von f’(x) berechnen-2x= 0 → x= 0
  3. Intervalle benennenDie berechnete NS teilt den für uns relevanten Bereich in zwei Intervalle.
    1. Intervall: (-∞; 0)
    2. Intervall: (0; +∞)
  4. Monotonietabelle aufstellenIn die erste Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.In die zweite Zeile notierst du dir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.Das Grundgerüst dieser Tabelle sieht dann so aus:

    (-∞; 0)

    (0; +∞)

    f’(x)

  5. Vorzeichen der Intervalle berechnenUm das Vorzeichen zu erhalten, setzt du eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.
    • Aus dem Intervall (-∞; 0) wählen wir die Zahl “-1”:f’(-1) = -2 *(-1) = 2 → positives Vorzeichen
    • Aus dem Intervall (0; +∞) wählen wir die Zahl “1”.f’(1) = -2*1 = -2 → negatives VorzeichenDiese Zwischenergebnisse schreibst du in die Monotonietabelle auf.

      (-∞; 0)

      (0; +∞)

      f’(x)

      +-
  6. Ergebnis interpretierenWenn die erste Ableitung der Funktion im Intervall ein positives Vorzeichen hat, verläuft der Graph dort streng monoton steigend.Wenn die erste Ableitung der Funktion im Intervall ein negatives Vorzeichen hat, verläuft der Graph dort streng monoton fallend.

    (-∞; 0)

    (0; +∞)

    f’(x)

    +

    s.m. steigend

    -

    s.m. fallend

Damit haben wir unser Ziel erreicht:

Wir wissen, in welchem Bereich der Graph steigt bzw. fällt.

Sonderbehandlung von Polstellen

In den bisherigen Beispielen haben wir uns nur die Nullstellen der ersten Ableitung zur Bestimmung der Intervalle angeschaut. In diesem Zusammenhang ziehen neben den Nullstellen auch die Polstellen einer Funktion heran.

Wir zeigen dir das Ganze mal anhand eines Beispiels an.

Beispiel Sonderbehandlung

Gegeben sei die Funktion .

Bei x= -1 hat die Funktion eine Polstelle.

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind: = -2 und = 0.

Mit diesen Informationen können wir die Intervalle bestimmen:

(-∞; -2)

(-2; -1)

(-1; 0)

(0; +∞)

f’(x)

Zur Festlegung der Intervalle müssen neben den Nullstellen der 1. Ableitung auch die Polstellen einer Funktion berücksichtigt werden.

Welches Verfahren zur Bestimmung des Monotonieverhaltens ist besser?

Du hast nun zwei Verfahren kennengelernt, mit denen du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen kannst. Doch welches wird nun wann eingesetzt?

Pro Verfahren 1 (mit zweiter Ableitung)

Wenn in der Aufgabe neben dem Monotonieverhalten auch das Krümmungsverhalten oder Wendepunkte gefragt sind, verwende Verfahren 1. Denn du musst so oder so die zweite Ableitung berechnen, weshalb du diese dann auch zur Bestimmung des Monotonieverhalten einsetzen kannst.

Pro Verfahren 2 (ohne zweite Ableitung)

Wenn du im Verlauf einer Aufgabe die zweite Ableitung nicht brauchst, kannst du Verfahren 2 verwenden, und Zeit sparen. Denn bei gebrochen-rationalen Funktionen kann es sehr aufwendig werden, die zweite Ableitung zu bestimmen.

Fazit

Am besten liest du dir die gesamte Aufgabe erstmal genau durch und schaust dann, ob du die zweite Ableitung überhaupt brauchst. So kannst du Zeit sparen und effizienter die Aufgaben lösen.

Monotonieverhalten - Alles Wichtige auf einen Blick

Im Folgenden haben wir dir das Wichtigste zusammengefasst:

  • Das Monotonieverhalten zeigt dir, wie der Graph einer Funktion in einem Intervall sich bewegt.
  • Ein Graph kann in einem Intervall streng monoton steigen oder streng monoton fallen.
  • Es gibt zwei Verfahren, die du verwenden kannst, um das Monotonieverhalten zu bestimmen.→ Verfahren 1: wenn 2. Ableitung später gebraucht wird.→ Verfahren 2: wenn 2. Ableitung später nicht gebraucht wird.

Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über das Monotonieverhalten wissen. :) Weiter so!

Finales Monotonieverhalten Quiz

Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 3x / (-5x - 1)

b. (3x - 1) / (3x - 1)

c. (3x + 1) / (2x + 1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = -0,2

b. Nein

c. Ja - Polstelle bei x = -0,5

Frage anzeigen

Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (5x - 15)

b. (3x - 30) / (x - 10)

c. (x + 1) / (2x + 1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 3

b. Nein

c. Ja -  Polstellle bei x = -0,5

Frage anzeigen

Frage

Was erfährt man durch das Monotonieverhalten?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Monotonieverhalten einer Funktion teilt dir mit, in welchem Bereich der Graph der Funktion steigt oder fällt.

Frage anzeigen

Frage

Wie ist das Monotonieverhalten definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn f’(x) > 0 gilt. 
  • Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f’(x) < 0 gilt.
Frage anzeigen

Frage

Mit welchen Schritten bestimmt man das Monotonieverhalten mithilfe der zweiten Ableitung?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. f’(x) berechnen
  2.  f’(x) = 0, Nullstellen von f’(x) berechnen
  3. f’’(x) berechnen
  4. Nullstellen von f’(x) in f’’(x) einsetzen
  5. Intervalle benennen
  6. Ergebnis bestimmen
Frage anzeigen

Frage

Mit welchen Schritten bestimmt man das Monotonieverhalten ohne der zweiten Ableitung?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. f’(x) berechnen
  2. f’(x) = 0, NS von f’(x) berechnen
  3. Intervalle benennen
  4. Monotonie Tabelle aufstellen
  5. Vorzeichen der Intervalle berechnen
  6. Ergebnis interpretieren
Frage anzeigen

Frage

Zu untersuchen sei das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = x² mithilfe der 2.Ableitung.

Antwort anzeigen

Antwort

Da es bei x= 0 einen Tiefpunkt gibt, fällt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt. 

Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton fallend

Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion. Also gilt: (0; +∞): streng monoton steigend.

Frage anzeigen

Frage

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x² mithilfe der 2.Ableitung.

Antwort anzeigen

Antwort

Da es bei x= 0 einen Hochpunkt gibt, steigt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt. 

Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton steigend. 

Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion. Also gilt: (0; +∞): streng monoton fallend.

Frage anzeigen

Frage

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) =x² ohne der 2.Ableitung

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x² ohne der 2.Ableitung.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie werden Polstellen in der Monotonie Bestimmung behandelt ?

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Festlegung der Intervalle müssen neben den Nullstellen der 1.Ableitung auch die Polstellen einer Funktion berücksichtigt werden.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sei die Funktion . Bei x= -1 hat die Funktion eine Polstelle. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind: x1 = -2 und x2 = 0. Bestimme die Intervalle.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Pro Argumente für Verfahren 1 (mit 2.Ableitung)?

Antwort anzeigen

Antwort

  • wenn 2. Ableitung später gebraucht wird z.B. für Extrema oder WP
Frage anzeigen

Frage

Welche Verfahren gibt es zur Monotonie Bestimmung?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Verfahren 1: mithilfe der 2.Ableitung
  • Verfahren 2: ohne der 2.Ableitung
Frage anzeigen

Frage

Was sind die Pro Argumente für Verfahren 2 ?

Antwort anzeigen

Antwort

  • wenn 2. Ableitung später nicht gebraucht wird.
Frage anzeigen

Frage

Ein Funktionsverlauf steigt durchgehend von links unten nach rechts oben. Wie nennt man dies?

Antwort anzeigen

Antwort

streng monoton steigend

Frage anzeigen

Frage

Ein Funktionsverlauf steigt durchgehend von links oben nach rechts unten. Wie nennt man dies?

Antwort anzeigen

Antwort

streng monoton fallend

Frage anzeigen
Mehr zum Thema Monotonieverhalten
60%

der Nutzer schaffen das Monotonieverhalten Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.