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In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du das Monotonieverhalten bestimmen kannst und dir alle Fragen dazu beantworten. Das Monotonieverhalten ist ein Thema der Kurvendiskussion und wird im Fach Mathematik unterrichtet.
Bevor wir dir erklären, was das Monotonieverhalten ist, solltest du bereits Grundwissen in der Differentialrechnung haben:
Wenn du das alles weißt, bist du gut vorbereitet für das Folgende.
Das Monotonieverhalten einer Funktion teilt dir mit, in welchem Bereich der Graph der Funktion steigt oder fällt. Daher ist das Monotonieverhalten wie folgt definiert:
Es gibt zwei Verfahren, mit denen du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen kannst.
Beim ersten Verfahren wird die zweite Ableitung benötigt.
Beim zweiten Verfahren brauchst du die zweite Ableitung nicht.
Wann welches Verfahren eingesetzt wird, erfährst du im letzten Abschnitt.
Zu untersuchen sei das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = x².
Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x².
Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) =x².
(-∞; 0) | (0; +∞) | |
f’(x) |
(-∞; 0) | (0; +∞) | |
f’(x) | - | + |
(-∞; 0) | (0; +∞) | |
f’(x) | - s.m. fallend | + s.m. steiged |
Damit haben wir unser Ziel erreicht:
Wir wissen, in welchem Bereich der Graph steigt bzw. fällt.
Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x².
(-∞; 0) | (0; +∞) | |
f’(x) |
(-∞; 0) | (0; +∞) | |
f’(x) | + | - |
(-∞; 0) | (0; +∞) | |
f’(x) | + s.m. steigend | - s.m. fallend |
Damit haben wir unser Ziel erreicht:
Wir wissen, in welchem Bereich der Graph steigt bzw. fällt.
In den bisherigen Beispielen haben wir uns nur die Nullstellen der ersten Ableitung zur Bestimmung der Intervalle angeschaut. In diesem Zusammenhang ziehen neben den Nullstellen auch die Polstellen einer Funktion heran.
Wir zeigen dir das Ganze mal anhand eines Beispiels an.
Gegeben sei die Funktion 
.
Bei x= -1 hat die Funktion eine Polstelle.
Die Nullstellen der ersten Ableitung sind: 
= -2 und 
= 0.
Mit diesen Informationen können wir die Intervalle bestimmen:
(-∞; -2) | (-2; -1) | (-1; 0) | (0; +∞) | |
f’(x) |
Zur Festlegung der Intervalle müssen neben den Nullstellen der 1. Ableitung auch die Polstellen einer Funktion berücksichtigt werden.
Du hast nun zwei Verfahren kennengelernt, mit denen du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen kannst. Doch welches wird nun wann eingesetzt?
Wenn in der Aufgabe neben dem Monotonieverhalten auch das Krümmungsverhalten oder Wendepunkte gefragt sind, verwende Verfahren 1. Denn du musst so oder so die zweite Ableitung berechnen, weshalb du diese dann auch zur Bestimmung des Monotonieverhalten einsetzen kannst.
Wenn du im Verlauf einer Aufgabe die zweite Ableitung nicht brauchst, kannst du Verfahren 2 verwenden, und Zeit sparen. Denn bei gebrochen-rationalen Funktionen kann es sehr aufwendig werden, die zweite Ableitung zu bestimmen.
Am besten liest du dir die gesamte Aufgabe erstmal genau durch und schaust dann, ob du die zweite Ableitung überhaupt brauchst. So kannst du Zeit sparen und effizienter die Aufgaben lösen.
Im Folgenden haben wir dir das Wichtigste zusammengefasst:
Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über das Monotonieverhalten wissen. :) Weiter so!
Frage
Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) =x² ohne der 2.Ableitung
Antwort
Frage
Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x² ohne der 2.Ableitung.
Antwort
Frage
Gegeben sei die Funktion . Bei x= -1 hat die Funktion eine Polstelle. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind: x1 = -2 und x2 = 0. Bestimme die Intervalle.
Antwort
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