In der Schule wirst Du spätestens beim Thema Kurvendiskussion die Monotonie einer Funktion bestimmen müssen. Um die Monotonie berechnen zu können, also zu bestimmen, wann eine Funktion streng monoton steigend oder monoton fallend ist, wirst Du die Definition der Monotonie kennenlernen. Mithilfe einer Tabelle lässt sich das Monotonieverhalten dann kompakt zusammenfassen. Anhand von Beispielrechnungen kannst Du die Methoden ausprobieren.
Monotonie – Definition & Tabelle
Die Monotonie einer Funktion gibt an, ob eine Funktion auf einem bestimmten Intervall steigt, oder fällt. Dabei werden, je nach Verhalten der Steigung (Monotonieverhalten), zwei verschiedene Arten der Monotonie unterschieden.
Der starke Satz der Monotonie sagt Folgendes:
Ist eine Funktion \(f\) auf einem Intervall \(I\) differenzierbar und ist \(f'(x)>0\), dann ist \(f\) streng monoton steigend.
Ist eine Funktion \(f\) auf einem Intervall \(I\) differenzierbar und ist \(f'(x)<0\), dann ist \(f\) streng monoton fallend.
Der schwache Satz der Monotonie bezieht auch den Fall \(f'(x)=0\) ein:
Ist eine Funktion \(f\) auf einem Intervall \(I\) differenzierbar und ist \(f'(x)\geq 0\), dann ist \(f\) monoton steigend.
Ist eine Funktion \(f\) auf einem Intervall \(I\) differenzierbar und ist \(f'(x)\leq 0\), dann ist \(f\) monoton fallend.
Wie Du siehst, hängen die Monotonie und die Ableitung einer Funktion eng miteinander zusammen.
Abb. 1 - Monotonieverhalten graphisch veranschaulicht
In Abb. 1 siehst Du grafisch, was die Definitionen von Monotonie bedeuten.
Die Ableitung \(f'(x)\) ist die Funktion, die jedem \(x\) gerade die Steigung der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x\) zuordnet. Lies Dir gerne auch die Erklärung zur Ableitung durch.
Monotonie Tabelle
Alternativ kannst Du Monotonie auch mit der folgenden Tabelle einordnen:
| Monotonie | | Kriterium |
| monoton steigend | für alle \(x,y\in D\) mit \(x \leq y\) | \(f(x) \leq f(y)\) |
| monoton fallend | für alle \(x,y \in D\) mit \(x \leq y\) | \(f(x) \geq f(y)\) |
| streng monoton steigend | für alle \(x,y \in D\) mit \(x < y\) | \(f(x) < f(y)\) |
| streng monoton fallend | für alle \(x,y \in D\) mit \(x<y\) | \(f(x) > f(y)\) |
Hierbei ist \(D\) die Definitionsmenge der Funktion \(f\).
Bereiche, in welchen die Funktion \(f(x)\) eine feste Monotonie aufweist, werden Monotonieintervalle genannt. Die Grenzen der Monotonieintervalle einer Funktion \(f(x)\) liegen in den Extremstellen von \(f(x)\), also den Nullstellen von \(f'(x)\)
Um diese theoretischen Informationen ein wenig anschaulicher zu gestalten, schauen wir uns die Monotonie einer kubischen Funktion an.
Abb. 2 - Monotonie kubischer Funktionen
In Abb. 2 siehst Du, dass die Nullstellen der Ableitung \(\textcolor{#00dcb4}{f'(x)=x^2-1}\) bei \(x_0=-1\) und bei \(x_1=1\) liegen. Daraus ergeben sich die Monotonieintervalle $$]-\infty ; -1[$$ $$]-1 ; 1[ $$ $$]1 ; \infty[$$ Das Monotonieverhalten bestimmst Du mit dieser Tabelle:
| \( ]-\infty ; -1[\) | \(]-1 ; 1 [\) | \(1 ; \infty \) |
| Vorzeichen \(f'(x)\) | Positiv | Negativ | Positiv |
| Monotonie \(f(x)\) | streng monoton steigend | streng monoton fallend | streng monoton steigend |
Monotonieverhalten Polstelle
Bei Untersuchung der Monotonie gebrochenrationaler Funktionen, musst Du Polstellen genauer betrachten. Polstellen sind Definitionslücken und daher auch Grenzen der Monotonieintervalle.
Betrachte $$f(x)=\frac{1}{x}$$
Die Ableitung kannst Du mit der Quotientenregel bestimmen: $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$
Die Ableitung hat keine Nullstelle, aber eine Definitionslücke bei \(x_0=0\). Das Vorzeichen von \(f'(x)\) ist überall im Definitionsbereich negativ. Daher ist die Funktion streng monoton fallend, in beiden Monotonieintervallen.
Die Monotonie der Funktion lautet:
| \(-\infty ; 0\) | \(0 ; \infty\) |
| Vorzeichen von \(f'(x)\) | Negativ | Negativ |
| Monotonie von \(f(x)\) | Streng monoton fallend | Streng monoton fallend |
Monotonie berechnen
Zur Bestimmung der Monotonie gibt es zwei Methoden. Eine davon nutzt eine Vorzeichentabelle. Die zweite Methode nutzt die zweite Ableitung, daher bietet sie sich in der Kurvendiskussion an.
Monotonieverhalten bestimmen – Vorzeichentabelle
- Erste Ableitung \(f'(x)\) bestimmen
- Nullstellen von \(f'(x)\) bestimmen: \(f'(x)=0\)
- Vorzeichentabelle für die \(f'(x)\) aufstellen, in die Spalten trägst Du die Monotonieintervalle ein
- Vorzeichen von \(f'(x)\) bestimmen
- Monotonie ablesen
| \(]-\infty ; 1 [\) | \(]-1 ; 1[\) | \(]1 ; \infty[\) |
| f'(x) | \(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
| Monotonie | streng monoton steigend | streng monoton fallend | streng monoton steigend |
Monotonieverhalten bestimmen – zweite Ableitung
Diese Methode bietet sich primär dann an, wenn Du eine gesamte Kurvendiskussion anfertigen sollst, hier benötigst Du die zweite Ableitung \(f''(x)\) und kannst sie deswegen auch für die Bestimmung des Monotonieverhaltens nutzen. Allerdings kannst Du hier keine Aussagen zu Sattelpunkten treffen. Hier ist auch \(f''(x)=0\), dann musst Du die erste Methode nutzen.
Nutze bei Funktionen ungeraden Grades am besten die erste Methode, diese können einen Sattelpunkt aufweisen.
- \(f'(x)\) und \(f''(x)\) bestimmen
- Nullstellen von \(f'(x)\) bestimmen: \(f'(x)=0\)
- Nullstellen in \(f''(x)\) einsetzen und Vorzeichen bestimmen.
\(f''(x)<0\): Hochpunkt
\(f''(x)>0\): Tiefpunkt
- Die Monotonie ist vor einem Hochpunkt streng monoton steigend, danach streng monoton fallend. Bei einem Tiefpunkt genau umgekehrt.
Monotonie einer Funktion bestimmen – Beispiel
Anhand der folgenden Beispiele zur Bestimmung von Monotonie kannst Du die Anwendung der Methoden sehen. Dafür wird die Monotonie einer quadratischen und einer e-Funktion bestimmt.
Monotonieverhalten – quadratische Funktion
Zur Bestimmung der Monotonie werden die vorgestellten Verfahren genutzt.
Monotonie bestimmen – Beispiel 1
Betrachte die Funktion: $$f(x)=x^2-2$$
Methode 1
Schritt 1: Erste Ableitung \(f'(x)\) bestimmen
$$f'(x)=2x$$
Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist immer eine lineare Funktion, also eine Gerade. Daher kann eine quadratische Funktion immer nur zwei Monotonieintervalle haben.
Schritt 2: Nullstellen von \(f'(x)\) bestimmen
Die Nullstellen der Ableitung bestimmst Du durch das Lösen der Gleichung: $$f'(x)=2x=0$$ Die Lösung lautet: $$x_0=0$$
Schritt 3 & 4: Vorzeichentabelle anlegen und ausfüllen
| \(]-\infty ;0[\), Bsp.: \(f'(x=-1)\) | \(]0;\infty[\), Bsp.: \(f'(x=1)\) |
| \(f'(x\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
| Monotonie | streng monoton fallend | streng monoton steigend |
Schritt 5: Monotonie bestimmen
Die Funktion ist streng monoton fallend im Intervall \(]- \infty ;0[\) und streng monoton steigend im Intervall \(]0;\infty[\)
Methode 2
Schritt 1: erste und zweite Ableitung bestimmen
$$f'(x)=2x$$
$$f'(x)=2$$
Schritt 2: Nullstellen von \(f''(x)\)
$$x_0=0$$
Schritt 3: \(x_0\) in \(f'(x)\) einsetzen
\(f''(0)=2\); also positives Vorzeichen: Tiefpunkt
Schritt 4: Monotonie bestimmen
Die Funktion ist streng monoton fallend im Intervall \(]- \infty ;0[\) und streng monoton steigend im Intervall \(]0;\infty[\)
Monotonieverhalten – e-Funktion
Mit diesen Methoden lässt sich auch die Monotonie einer e-Funktion bestimmen.
Monotonie bestimmen – Beispiel 2
Methode 1:
Schritt 1: \(f'(x)\) bestimmen
\(f'(x)=e^x\)
Schritt 2: Nullstellen bestimmen
Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen.
Schritt 3 und 4:
$$e^x > 0 $$
Damit nimmt \(f'(x)\) nur ein positives Vorzeichen an.
Schritt 5: Monotonie bestimmen
Die e-Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend.
Ein wenig aufwendiger wird es, wenn Du die Monotonie verketteter e-Funktionen betrachtest.
$$f(x)=e^{x^2}$$
Methode 1:
Schritt 1:
Mit Verwendung der Kettenregel erhältst Du: $$f'(x)=2xe^{x^2}$$
Schritt 2: Nullstelle bestimmen
$$x_0=0$$
Schritt 3 und 4: Vorzeichentabelle anlegen und ausfüllen
| \(]-\infty ;0[\) | \(]0;\infty[\) |
| \(f'(x)\) | negativ | positiv |
| Monotonie | Streng monoton fallend | Streng monoton steigend |
Schritt 5: Monotonie bestimmen
Die Funktion ist streng monoton fallend auf \(]-\infty ;0[\) und streng monoton steigend auf \(]0;\infty[\).
Monotonie Kurvendiskussion
Angenommen Du stellst eine ganze Kurvendiskussion auf, für eine Funktion $$f(x)=\frac{1}{3} x^3-x+1$$
In den ersten Schritten der Kurvendiskussion bestimmst du Nullstellen der Funktion, die Grenzwerte, Symmetrie und die Extrem- und Wendepunkte, wofür Du auch die erste und zweite Ableitung bestimmst. Der letzte Teil ist für die Monotonie besonders interessant.
$$f'(x)=x^2-1$$
Die Nullstellen von \(f'(x)\) lauten \(x_0=-1\) und \(x_1 = 1\).
Damit kennst Du nicht nur die Extrema, sondern auch die Monotonieintervalle und kannst sofort eine der Methoden anwenden.
Monotonie bestimmen – Beispiel 3
Methode 2 liefert \(f''(x_0)=-2<0\), also einen Hochpunkt bei \(x=-1\) und \(f''(x)=2>0\), also einen Tiefpunkt bei \(x_1=1\). Die Funktion ist : - streng monoton steigend von \(]-\infty ; -1\) - streng monoton fallend von \(]-1;1[\) - streng monoton steigend von \(]1;\infty [\) In Abb. 3 kannst Du Dir die Funktion und Ihre Ableitung anschauen, zur Verdeutlichung sind auch die Grenzen der Monotonieintervalle eingezeichnet.
Abb. 3 - Monotonie Kurvendiskussion
Monotonie – Das Wichtigste
- Monotonieverhalten trifft Aussagen über den Verlauf der Funktion, also ob und wann sie steigt oder fällt.
- Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn \(f'(x)>0\)
- Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x)<0\)
- Monotonieintervalle sind die Bereiche, in denen die Funktion eine bestimmte Monotonie aufweist.
- Die Monotonie bestimmen kannst Du, indem Du das Vorzeichen der Ableitung betrachtest.
- Die e-Funktion ist streng monoton steigend.
Nachweise
- Forster (2016). Analysis 1. Springer
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