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Funktionsscharen

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Funktionsscharen

Als ob Funktionen allein nicht schon kompliziert genug sind, werden jetzt auch noch weitere Parameter in die Funktionsgleichungen eingesetzt. Aber keine Sorge, Dir werden in diesem Artikel die Funktionsscharen erklärt.

Funktionsscharen Grundlagenwissen

Funktionen beschreiben einen Graphen mathematisch.

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.

Es gibt verschiedene Arten von Funktionen: Lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, ganz-rationale Funktionen, gebrochen-rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen und Logarithmusfunktionen.

Funktionsart:Beispiel:
lineare Funktion
quadratische Funktion
Potenzfunktion
ganz-rationale Funktion
gebrochen-rationale Funktion
trigonometrische Funktion
Logarithmusfunktion

Wenn Du mehr zu den Funktionsarten wissen möchtest, schau einmal im Artikel Funktionen vorbei.

Funktionsscharen Definition

Sobald Funktionen nicht mehr eineindeutig sind, sind sie entweder keine Funktionen mehr oder enthalten einen oder mehrere Parameter. Eine Funktion mit Parametern nennt sich Funktionenschar.

Ein Funktionsterm, welcher neben der Funktionsvariablen noch mindestens einen weiteren Parameter (z.B.) enthält, definiert mehrere Funktionen gleichzeitig. Die Menge dieser Funktionen wird als Funktionsschar bezeichnet.

Funktionenscharen werden häufig auch als Kurvenscharen bezeichnet und lineare Funktionenscharen als Geradenscharen.

Zu jedem Parameter gehörte eine Funktion.

Als Scharparameter wird der Parameter des Funktionsterms bezeichnet.

In Berechnungen wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.

Wenn in einem Funktionenschar ein Parameter verwendet wird, wird diese Funktionenschar einparametrige Kurvenschar genannt. Ein Funktionsschar mit zwei Parametern heißt zweiparametrige Kurvenschar. Äquivalent verhält es sich mit allen weiteren.

Die Wahl des Parameters beeinflusst die Extrempunkte und Nullstellen.

In diesem Beispiel werden die Funktionen gestaucht beziehungsweise gestreckt. Die Funktionen besitzen als Gemeinsamkeit eine Nullstelle im Koordinatenurspruch. Diese Nullstelle ist vom Parameter unabhängig. Alle weiteren Nullstellen und die Extrempunkte sind verschieden.

Funktionsscharen gestauchte Funktionsschar StudySmarterAbbildung 1: gestauchte Funktionsschar

Diese Funktionsgraphen sind verschoben wurden. Sie besitzen an der selben Stelle ihre Extremstellen.

Funktionsscharen verschobene Funktionsschar StudySmarterAbbildung 2: verschobene Funktionsschar

Funktionsscharen untersuchen

Funktionenscharen kannst Du genauso untersuchen wie andere Funktionen. Den Scharparameter behandelst Du dabei wie eine Zahl. Der Parameter kann jede beliebige Zahl annehmen, wenn nicht anders definiert. Um zu überprüfen, ob der Parameter die Funktionsschar im Globalverlauf oder in den Extrempunkten beeinflusst, führst Du eine Fallunterscheidung in vielen Berechnungen durch.

Fallunterscheidung

Du kannst für jeden Punkt der Funktion eine Fallunterscheidung machen. Wichtig ist die Fallunterscheidung jedoch besonders im Globalverlauf und den Extrempunkten der Funktionsschar. Mit der Fallunterscheidung ermittelst Du die Parameter, für welche sich die Funktion anders verhält.

Der Globalverlauf gibt das Verhalten der Funktion im Unendlichen an. Weitere Namen für den Globalverlauf sind Globalverhalten und Grenzverhalten.

In diesem Beispiel siehst Du zwei mögliche Vertreter einer Funktionsschar fa . In der einen Funktion f-0,2 sind zwei Hochpunkte vorhanden und in der anderen Funktion f0,8 zwei Tiefpunkte.

Funktionsscharen Funktion vierter Grad StudySmarterAbbildung 3: Funktion vierter Grad

Die beiden Funktionen haben unterschiedliche Globalverläufe.

Für die Funktion f0,8 gilt:

  • für gilt ,
  • für gilt .

Dass heißt der Graph kommt aus dem positivem y-Bereich und geht in den positiven y-Bereich.

Für die Funktion f-0,2 gilt:

  • für gilt ,
  • für gilt .

Dass heißt der Graph kommt aus dem negativem y-Bereich und geht in den negativen y-Bereich.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktionenschar. Ermittle den Globalverlauf der Funktion für unterschiedliche , indem Du eine Fallunterscheidung durchführst.

Lösung

Für die Fallunterscheidung wählst Du ein beliebiges negatives und positives und setzt diese in die Gleichung ein.

In die Gleichung setzt Du jetzt eine sehr große und sehr kleine Zahl für x ein.

Für den negativen x-Wert ist der y-Wert ebenfalls negativ. Für den positiven x-Wert ist der y-Wert ebenfalls positiv.

Jetzt machst Du das gleiche nochmal für .

Für den negativen x-Wert ist der y-Wert positiv. Für den positiven x-Wert ist der y-Wert negativ.

Dass heißt für die Parameter:

  • Für alle negativen Parameter ist die Funktionenschar erst monoton steigend und dann monoton fallend.
  • Für alle positiven Parameter ist die Funktionenschar erst monoton fallend und dann monoton steigend.

Nullstelle berechnen

Die Nullstelle gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.

Eine Nullstelle einer Funktion ist eine Zahl aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt .

Graphisch gesehen, sind Nullstellen Schnittpunkte oder Berührpunkte des Funktionsgraph mit der x-Achse.

Die Nullstelle berechnest Du, indem Du den Funktionsterm gleich null setzt.

Aufgabe 2

Die Funktionenschar ist eine Funktion dritten Grades. Berechne alle Nullstellen der Funktionenschar.

Lösung

Als erstes setzt Du die Funktionsschar gleich null.

Da die Funktion kein absolutes Glied enthält, klammerst Du jetzt ein aus.

Das absolute Glied einer Funktion ist diejenige Zahl, welche kein x enthält.

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Nun wendest Du auf den hinteren Teil die pq-Formel an.

Zum Schluss schreibst Du noch die Schnittpunkte mit der x-Achse auf.

Du kannst für eine bestimmte Funktion der Schar die Nullstellen ausrechnen, indem Du den Wert für den Parameter in die Punkte einsetzt.

Funktionsscharen ableiten

Die Ableitungsregeln kannst Du genau wie bei anderen Funktionen anwenden. Wenn Du Dir unsicher bist beim Ableiten, ließ einmal im Artikel Ableitungsregeln nach.

Die erste Ableitung gibt für jede Funktion die Steigung des Graphens an. Die erste Ableitung von wird genannt. Weitere Schreibweisen sind und (häufig in der Physik).

Mit Hilfe vom Ableiten kannst Du die lokale Änderung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen.

Für Funktionenscharen gelten alle Ableitungsregeln wie für andere Funktionen.

Aufgabe 3

Für die Funktionenschar sollen die erste und zweite Ableitung berechnet werden. Ermittle anschließend die Monotonie für die Stelle .

Lösung

Als erstes leitest Du die Funktion nach den Dir bekannten Regeln ab. Du musst die Summenregel (blau), die Faktorregel (grün) und die Kettenregel (orange) anwenden. Den Scharparameter behandelst Du beim Ableiten wie eine normale Zahl.

Jetzt setzt Du, um den Steigung an der Stelle , die in die erste Ableitung ein und berechnest die Steigung.

Die Steigung an der Stelle beträgt .

Fallunterscheidung:

Um genau sagen zu können, ob die Funktion an der Stelle fallend oder steigend ist, musst Du eine Fallunterscheidung durchführen. Dafür stellst Du zunächst den Term nach um.

Jetzt weißt Du, dass für die Steigung null ist. Du untersuchst jetzt für kleinere und größere das Verhalten.

Für alle kleiner als ist der Graph an der Stelle x=2 steigend. Für alle größer als ist der Graph fallend. Für hat der Graph die Steigung .

Funktionsscharen Extrempunkte berechnen

Wenn Du Dir eine Funktion als Gebirge vorstellst, sind die Extrempunkte das Tal (der Tiefpunkt) und die Spitze des Berges (der Hochpunkt).

Extrempunkte sind lokale Maxima und lokale Minima.

  1. Ein lokales Maximum ist ein Hochpunkt.
  2. Ein lokales Minimum ist ein Tiefpunkt.

Der Funktionswert eines Extrempunktes wird als Extremwert bezeichnet und der x-Wert als Extremstelle.

Um Extrempunkte zu berechnen, benötigst Du die notwendige und hinreichende Bedingung.

Wenn Dir diese Begriffe nichts sagen, ließ einmal im Artikel Extremwertberechnung nach.

Die notwendige Bedingung besagt, dass die erste Ableitung einer Funktion sein muss. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann die Stelle ein Extremstelle sein, aber auch ein Sattelpunkt. Deshalb benötigst Du die hinreichende Bedingung.

Die hinreichende Bedingung unterscheidet, ob die in der notwendigen Bedingung ermittelte Stelle wirklich eine Extremstelle ist. Die zweite Ableitung darf nicht null sein , sonst ist es ein Sattelpunkt oder Wendepunkt. Du kannst auch feststellen, ob es sich bei der Stelle um ein Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

  • Wenn es sich um einen Hochpunkt handelt, ist .
  • Wenn es sich um einen Tiefpunkt handelt, ist .

Dabei gehst Du wie folgt vor:

  • 1. Schritt: erste und zweite Ableitung bestimmen
  • 2. Schritt: notwendige Bedingung
  • 3. Schritt: hinreichende Bedingung, Bestimmen von Hoch-und Tiefpunkt mit Fallunterscheidung wenn nötig
  • 4. Schritt: Einsetzen der x-Werte in die Funktionsschar

Für Funktionenscharen musst Du an dieser Stelle häufig Fallunterscheidungen durchführen.

Aufgabe 4

Berechne den Tiefpunkt und Hochpunkt der Funktionenschar , für gelten dabei nur Zahlen größer null, also .

Lösung

Schritt 1:

Als erstes berechnest Du die ersten beiden Ableitungen der Funktionenschar.

Schritt 2:

Jetzt führst Du die notwendige Bedingung aus, indem Du die erste Ableitung gleich null setzt und berechnest.

Hier gilt es, den Definitionsbereich vom Scharparameter a zu beachten. Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden darf, darf der Scharparameter a ausschließlich positive Werte annehmen. Wenn dies nicht bereits in der Aufgabe vorgegeben ist (wie hier), musst Du den Definitionsbereich vom Scharparameter mit angeben.

Schritt 3:

Für die hinreichende Bedingung setzt Du den eben errechneten Wert in die zweite Ableitung ein und überprüfst, ob dieser nicht null wird.

Die zweite Ableitung für diesen Wert ist negativ. An dieser Stelle ist ein Hochpunkt.

Die zweite Ableitung für diesen Wert ist positiv. An dieser Stelle ist ein Tiefpunkt.

In dieser Aufgabe ist angegeben, dass der Scharparameter a nur positive Werte annehmen darf. Aus diesem Grund erübrigt sich eine Fallunterscheidung. Ansonsten müsstest Du in einer Fallunterscheidung an dieser Stelle überprüfen, ob sich für bestimmte Werte des Scharparameters a das hinreichende Kriterium ändert und der Graph statt einen Hochpunkt einen Tiefpunkt aufweisen würde.

Schritt 4:

Zum Schluss berechnest Du die y-Werte für die Extrempunkt, indem Du die x-Werte in die Funktionenschar einsetzt. Dann schreibst Du die Punkte noch auf.

Die Funktionenschar besitzt einen Hoch- und Tiefpunkt. Der Hochpunkt hat die Koordinaten . Der Tiefpunkt hat die Koordinaten .

Ortskurve berechnen

Die Ortskurve oder der Trägergraph verbindet die Hochpunkte/Tiefpunkte/Wendepunkte einer Funktionenschar.

Eine Ortskurve ist ein Graph, auf welchem alle Punkte mit der selben Eigenschaft (Hochpunkte, Tiefpunkte, oder Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen. Jede Eigenschaft besitzt ihre eigene Ortskurve.

Mit Hilfe dieser Schritte kannst Du jede Ortskurve ermitteln:

  • Schritt 1: Ermittle die allgemeinen x-Koordinaten der jeweiligen Eigenschaft (z.B. Tiefpunkte).
  • Schritt 2: Stelle die x-Koordinate des allgemeinen Punktes nach dem Parameter um.
  • Schritt 3: Setze die umgestellte x-Koordinate in die Funktionsgleichung der Funktionsschar ein.
  • Schritt 4: Vereinfache den Term so weit es möglich ist, sodass Du eine Funktionsgleichung erhältst.

Aufgabe 5

Ermittle die Ortskurve der Funktionenschar , für die Tiefpunkte.

Lösung

Schritt 1: Bestimmung der x-Koordinaten der Eigenschaft also der Tiefpunkte

Als erstes berechnest Du die x-Koordinaten der Tiefpunkte. Dafür orientiere Dich an der Ermittlung der Extrempunkte.

Ableiten:

Notwendige Bedingung:

Hinreichende Bedingung:

Die hinreichende Bedingung ist für diese Stelle negativ, da sein soll. Diese Extremstelle ist der x-Wert eines Hochpunktes.

Die hinreichende Bedingung ist für diese beiden Punkte ist positiv, da sein soll. Diese Extremstellen sind x-Werte von Tiefpunkten.

Jetzt wählst Du einen der beiden x-Werte der Tiefpunkte. Hier wird gewählt.

Schritt 2: Umstellen des x-Wertes nach dem Parameter

Du stellst also nun x-Wert des Tiefpunktes um nach .

Schritt 3: Einsetzen in die die Funktionsschargleichung

Nun setzt Du den umgestellten x-Wert des Tiefpunktes in die Funktionsgleichung der Funktionsschar ein,

Schritt 4: Vereinfachen der Gleichung

Die Ortskurve für die Funktionenschar lautet . Zeichnerisch sieht dies so aus:

Funktionsscharen Ortskurve StudySmarterAbbildung 4: Ortskurve

Funktionsscharen Übungsaufgaben

Jetzt kannst Du dein Wissen testen.

Aufgabe 6

Gegeben ist die Funktionenschar , . Bestimme jeweils einen passenden Parameter so, dass die Funktion die geforderte Bedingung erfüllt.

  1. Der Graph verläuft durch den Punkt .
  2. Die Funktion f hat an der Stelle eine lokale Extremstelle.

Lösung

Als erstes leitest Du die Funktionenschar bis zur dritten Ableitung ab.

a.

Du setzt den Punkt in die Funktionenschar ein und stellst nach a um.

Der Parameter muss sein, damit der Graph durch den Punkt verläuft.

b.

Die erste Ableitung setzt Du gleich null. Die Variable ersetzt Du durch und stellst nach a um.

Um an der Stelle eine Extremstelle zu haben, muss der Parameter werden.

Aufgabe 7

Berechne die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar .

Lösung

Schritt 1: Bestimmung der x-Koordinaten der Eigenschaft also der Tiefpunkte

Als erstes leite für die Funktionenschar die ersten beiden Ableitungen ab.

Jetzt setze die notwendige Bedingung ein. Du musst die erste Ableitung gleich null setzten.

Als nächstes überprüfst Du mit der hinreichenden Bedingung, ob es sich um einen Extrempunkt handelt. Da die zweite Ableitung ist , existiert für diese Funktionenschar kein Wendepunkt. der x-Wert eines Tiefpunktes.

Schritt 2: Umstellen des x-Wertes nach dem Parameter

Schritt 3: Einsetzen in die die Funktionsschargleichung.

Schritt 4: Vereinfachen der Gleichung

Du erhältst Gerade als Ortskurve.

Funktionsscharen - Das Wichtigste

  • Ein Funktionsterm, welcher neben der Funktionsvariablen noch mindestens einen weiteren Parameter (z.B.) enthält, definiert mehrere Funktionen gleichzeitig. Die Menge dieser Funktionen wird als Funktionenschar bezeichnet.
  • Als Scharparameter wird der Parameter des Funktionsterms bezeichnet.
  • In Berechnungen wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.
  • Du kannst für jeden Punkt der Funktion eine Fallunterscheidung machen. Wichtig ist die Fallunterscheidung jedoch besonders im Globalverlauf und bei der Berechnung der Extrempunkte der Funktionsschar.
  • Vorgehen bei der Berechnung der Extrempunkte:
    • Schritt 1: erste und zweite Ableitung bestimmen
    • Schritt 2: notwendige Bedingung
    • Schritt 3: hinreichende Bedingung, Bestimmen von Hoch-und Tiefpunkt mit Fallunterscheidung wenn nötig
    • Schritt 4: Einsetzen der x-Werte in die Funktionsschar
  • Eine Ortskurve ist ein Graph, auf welchem alle Punkte mit der selben Eigenschaft (Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen. Jede Eigenschaft besitzt ihre eigene Ortskurve.
  • Schritte zur Ermittlung der Ortskurve:
    • Schritt 1: Ermittle die allgemeinen x-Koordinaten der jeweiligen Eigenschaft (z.B. Tiefpunkte).

    • Schritt 2: Stelle die x-Koordinate des allgemeinen Punktes nach dem Parameter um.

    • Schritt 3: Setze die umgestellte x-Koordinate in die Funktionsgleichung der Funktionsschar ein.

    • Schritt 4: Vereinfache den Term so weit es möglich ist, sodass Du eine Funktionsgleichung erhältst.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionsscharen

Eine Schar bezeichnet eine Menge von ähnlichen Funktionen, Ebenen und Geraden. Diese unterscheiden sich immer durch eine Zahl. Wenn diese Zahl durch einen Parameter ersetzt wird, kann jede Zahl eingesetzt werden und es entsteht eine Schar an Funktionen, Ebenen oder Geraden.

Eine Ortskurve ist ein Graph, auf welchem alle Punkte mit der selben Eigenschaften einer Funktionsschar liegen.

Mit Hilfe dieser Schritte kannst Du jede Ortskurve ermitteln:

  • Schritt 1: Ermittle die allgemeinen x-Koordinaten der jeweiligen Eigenschaft (z.B. Tiefpunkte).
  • Schritt 2: Stelle die x-Koordinate des allgemeinen Punktes nach dem Parameter um.
  • Schritt 3: Setze die umgestellte x-Koordinate in die Funktionsgleichung der Funktionsschar ein.
  • Schritt 4: Vereinfache den Term so weit es möglich ist, sodass Du eine Funktionsgleichung erhältst.

Ein Scharparameter ist der Parameter, welcher in einer Funktionsschar als zusätzliche Variable zu x vorhanden ist. Zu jedem Scharparameter einer Funktionsschar existiert genau eine Funktion. 

Die Fallunterscheidung beschäftigt sich mit den unterschiedlichen Scharparametern. Wenn der Scharparameter negativ ist, verhält sich der Graph anders als wenn er positiv ist.

Finales Funktionsscharen Quiz

Frage

Wie heißen Funktionenscharen mit zwei Parametern?

Antwort anzeigen

Antwort

zweiparametrige Kurvenschar

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Ortskurve?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Ortskurve ist ein Graph, auf welchem alle Punkte mit der selben Eigenschaft (Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen. Jede Eigenschaft besitzt ihre eigene Ortskurve. 

Frage anzeigen
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