Funktionsscharen

Als ob Funktionen allein nicht schon kompliziert genug sind, werden jetzt auch noch weitere Parameter in die Funktionsgleichungen eingesetzt. Aber keine Sorge, Dir werden in diesem Artikel die Funktionsscharen erklärt.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Funktionsscharen Grundlagenwissen

    Funktionen beschreiben einen Graphen mathematisch.

    Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der jedem Element \(x\) der Definitionsmenge genau ein Element \(y\) der Wertemenge zugeordnet wird.

    Es gibt verschiedene Arten von Funktionen: lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, ganz-rationale Funktionen, gebrochen-rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen und Logarithmusfunktionen.

    Funktionsart:Beispiel:
    lineare Funktion\[f(x)=3x+5\]
    quadratische Funktion\[f(x)=-2x^2\]
    Potenzfunktion\[f(x)=4x^3\]
    Wurzelfunktion\[f(x)=\sqrt{x}\]
    ganz-rationale Funktion\[f(x)=5x^4-x^3+3x^2-6x+2\]
    gebrochen-rationale Funktionf(x)=-4x2-3x+25x2-1\[f(x)=\frac{1}{x}\]
    Exponentialfunktion\[f(x)=e^x\]
    trigonometrische Funktion\[f(x)=\sin(x^2+3)\]
    Logarithmusfunktion\[f(x)=ln(x)-4\]

    Wenn Du mehr zu den Funktionsarten wissen möchtest, schau einmal im Artikel Funktionen vorbei.

    Funktionsscharen Definition

    Sobald Funktionen nicht mehr eineindeutig sind, sind sie entweder keine Funktionen mehr oder enthalten einen oder mehrere Parameter. Eine Funktion mit Parametern nennt sich Funktionenschar.

    Ein Funktionsterm, welcher neben der Funktionsvariablen \(x\) noch mindestens einen weiteren Parameter (z.B. \(a,\,t\)) enthält, definiert mehrere Funktionen gleichzeitig. Die Menge dieser Funktionen wird als Funktionsschar bezeichnet.

    Funktionenscharen werden häufig auch als Kurvenscharen bezeichnet und lineare Funktionenscharen als Geradenscharen.

    Zu jedem Parameter gehörte eine Funktion \(f_a(x)\).

    Als Scharparameter wird der Parameter des Funktionsterms bezeichnet.

    In Berechnungen wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.

    Wenn in einer Funktionenschar ein Parameter verwendet wird, wird diese Funktionenschar einparametrige Kurvenschar genannt. Eine Funktionsschar mit zwei Parametern heißt zweiparametrige Kurvenschar. Äquivalent verhält es sich mit allen weiteren.

    Die Wahl des Parameters beeinflusst die Extrempunkte und Nullstellen.

    In diesem Beispiel werden die Funktionen gestaucht beziehungsweise gestreckt. Die Funktionen besitzen als Gemeinsamkeit eine Nullstelle im Koordinatenursprung. Diese Nullstelle ist vom Parameter unabhängig. Alle weiteren Nullstellen und die Extrempunkte sind verschieden.

    Funktionsscharen gestauchte Funktionsschar StudySmarterAbbildung 1: gestauchte Funktionsschar

    Diese Funktionsgraphen sind verschoben worden. Sie besitzen an derselben Stelle ihre Extremstellen.

    Funktionsscharen verschobene Funktionsschar StudySmarterAbbildung 2: verschobene Funktionsschar

    Funktionsscharen untersuchen

    Funktionenscharen kannst Du genauso wie andere Funktionen untersuchen. Den Scharparameter behandelst Du dabei wie eine Zahl. Der Parameter kann jede beliebige Zahl annehmen, wenn nicht anders definiert. Um zu überprüfen, ob der Parameter die Funktionsschar im Globalverlauf oder in den Extrempunkten beeinflusst, führst Du eine Fallunterscheidung in vielen Berechnungen durch.

    Funktionsscharen Fallunterscheidung

    Du kannst für jeden Punkt der Funktion eine Fallunterscheidung machen. Wichtig ist die Fallunterscheidung jedoch besonders im Globalverlauf und den Extrempunkten der Funktionsschar. Mit der Fallunterscheidung ermittelst Du die Parameter, für welche sich die Funktion anders verhält.

    Der Globalverlauf gibt das Verhalten der Funktion im Unendlichen an. Weitere Namen für den Globalverlauf sind Globalverhalten und Grenzverhalten.

    In diesem Beispiel siehst Du zwei mögliche Vertreter einer Funktionsschar \(f_a\). In der einen Funktion \(f_{-0{,}2}\) sind zwei Hochpunkte vorhanden und in der anderen Funktion \(f_{0{,}8}\) zwei Tiefpunkte.

    Funktionsscharen Funktion vierter Grad StudySmarterAbbildung 3: Funktion vierter Grad

    Die beiden Funktionen haben unterschiedliche Globalverläufe.

    Für die Funktion \(f_{0{,}8}\) gilt:

    • für \(x\rightarrow - \infty\) gilt \(y\rightarrow \infty \),
    • für \(x\rightarrow \infty\) gilt \(y\rightarrow \infty \).

    Das heißt, der Graph kommt aus dem positiven y-Bereich und geht in den positiven y-Bereich.

    Für die Funktion \(f_{-0{,}2}\) gilt:

    • für \(x\rightarrow - \infty\) gilt \(y\rightarrow -\infty \),
    • für \(x\rightarrow \infty\) gilt \(y\rightarrow -\infty \).

    Das heißt, der Graph kommt aus dem negativen y-Bereich und geht in den negativen y-Bereich.

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^2+4x-3\). Ermittle den Globalverlauf der Funktion für unterschiedliche \(a\), indem Du eine Fallunterscheidung durchführst.

    Lösung

    Für die Fallunterscheidung wählst Du ein beliebiges negatives und positives \(a\) und setzt diese in die Gleichung ein.

    \begin{align}f_a(x)&=ax^3+4x-3 \\f_2(x)&=2x^2+4x-3 \\f_{-2}(x)&=-2x^2+4x-3\end{align}

    In die Gleichung \(f_2(x)\) setzt Du jetzt eine sehr große und sehr kleine Zahl für x ein.

    \begin{align}f_2(100)&=2\cdot 100^2+4\cdot 100-3 \\&=20000+400-3 \\&=20397 \\f_2(-100)&=2\cdot (-100)^2+4\cdot (-100)-3 \\&=20000-400-3 \\&=19597\end{align}

    Für den negativen x-Wert ist der y-Wert positiv. Für den positiven x-Wert ist der y-Wert ebenfalls positiv.

    Jetzt machst Du das gleiche noch mal für \(f_{-2}(x)\).

    \begin{align}f_{-2}(100)&=-2\cdot 100^2+4\cdot 100-3 \\&=-20000+400-3 \\&=-19603 \\ f_{-2}(-100)&=-2\cdot (-100)^2+4\cdot (-100)-3 \\&=-20000-400-3 \\&=-20403\end{align}

    Für den negativen x-Wert ist der y-Wert negativ. Für den positiven x-Wert ist der y-Wert ebenfalls negativ.

    Das heißt für die Parameter:

    • Für alle negativen Parameter ist die Funktionenschar erst monoton steigend und dann monoton fallend.
    • Für alle positiven Parameter ist die Funktionenschar erst monoton fallend und dann monoton steigend.

    Funktionsscharen berechnen – Nullstelle

    Die Nullstelle gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.

    Eine Nullstelle einer Funktion \(f(x\) ist eine Zahl \(x\) aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt \(y=0\).

    Graphisch gesehen, sind Nullstellen Schnittpunkte oder Berührpunkte des Funktionsgraph mit der x-Achse.

    Die Nullstelle berechnest Du, indem Du den Funktionsterm gleich null setzt \(f(x)=0\).

    Aufgabe 2

    Die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^3+3x^2-7x\) ist eine Funktion dritten Grades. Berechne alle Nullstellen der Funktionenschar.

    Lösung

    Als Erstes setzt Du die Funktionsschar gleich null.

    \begin{align}f_a(x)&=0 \\0&=ax^3+3x^2-7x\end{align}

    Da die Funktion kein absolutes Glied enthält, klammerst Du jetzt ein \(x\) aus.

    Das absolute Glied einer Funktion ist diejenige Zahl, welche kein x enthält.

    \begin{align}0&=ax^3+3x^2-7x \\0&=x\cdot(ax^2+3x-7)\end{align}

    Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

    \begin{align}0&=x\cdot(ax^2+3x-7) \\x_1&=0 \\0&=ax^2+3x-7 &|&:a \\0&=x^2+\frac{3}{a}x-\frac{7}{a}\end{align}

    Nun wendest Du auf den hinteren Teil die pq-Formel an.

    \begin{align}x_{2,3}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\x_{2,3}&=-\frac{\frac{3}{a}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\frac{3}{a}}{2}\right)^2+\frac{7}{a}} \\x_{2}&=-\frac{3}{2a}+ \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}} \\x_{3}&=-\frac{3}{2a}- \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}}\end{align}

    Zum Schluss schreibst Du noch die Schnittpunkte mit der x-Achse auf.

    \begin{align}&S_1(0|0)\\&S_2\left(-\frac{3}{2a}+ \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}}|0\right) \\&S_3\left(-\frac{3}{2a}- \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}}|0\right)\end{align}

    Du kannst für eine bestimmte Funktion der Schar die Nullstellen ausrechnen, indem Du den Wert für den Parameter in die Punkte einsetzt.

    Funktionsscharen ableiten

    Die Ableitungsregeln kannst Du genau wie bei anderen Funktionen anwenden. Wenn Du Dir unsicher bist beim Ableiten, ließ einmal im Artikel Ableitungsregeln nach.

    Die erste Ableitung gibt für jede Funktion \(f(x)\) die Steigung des Graphens an. Die erste Ableitung von \(f(x)\) wird \(f'(x)\) genannt. Weitere Schreibweisen sind \(y'\) und \(\frac{dy}{dx}\) (häufig in der Physik).

    Mithilfe vom Ableiten kannst Du die lokale Änderung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen.

    Für Funktionenscharen gelten alle Ableitungsregeln wie für andere Funktionen.

    Aufgabe 3

    Für die Funktionenschar \(f_a(x)=a(x+1)^2-3\) sollen die erste und zweite Ableitung berechnet werden. Ermittle anschließend die Monotonie für die Stelle \(x=2\).

    Lösung

    \(\definecolor{bl}{RGB}{20,120,200}\definecolor {gr}{RGB}{0,220,180}\definecolor {r}{RGB}{250,50,115}\definecolor{li}{RGB}{131,99,226}\)

    Als Erstes leitest Du die Funktion nach den Dir bekannten Regeln ab. Du musst die Summenregel (blau), die Potenzregel (lila), die Faktorregel (grün) und die Kettenregel (rot) anwenden. Den Scharparameter behandelst Du beim Ableiten wie eine normale Zahl.

    \begin{align}f_a(x)&=a(x+1)^{\color{li}2}{\color{bl} -} 3 \\f'_a(x)&={\color{li}2}{\color{gr}a}{\color{r}(x+1)\cdot 1} \\&=2ax{\color{bl}+}2a \\f''_a(x)&=2{\color{gr}a}\end{align}

    Jetzt setzt Du, um den Steigung an der Stelle \(x=2\) zu berechnen, die \(2\) in die erste Ableitung ein und berechnest die Steigung.

    \begin{align}f'_a(x)&=2ax+2a \\y&=2a\cdot 2+2a \\y&=4a+2a \\y&=6a\end{align}

    Die Steigung an der Stelle \(x=2\) beträgt \(6a\).

    Fallunterscheidung:

    Um genau sagen zu können, ob die Funktion an der Stelle fallend oder steigend ist, musst Du eine Fallunterscheidung durchführen. Dafür setzt Du den Term \(6a\) gleich null und stellst nach \(a\) um.

    \begin{align}0&=6a &|&:6 \\a&=0\end{align}

    Jetzt weißt Du, dass für \(a=0\) die Steigung null ist. Du untersuchst jetzt für kleinere und größere \(a\) das Verhalten.

    \begin{align}a&=100 \\m&=6\cdot 100 \\m&=600 \\a&=-100 \\m&=6\cdot (-100) \\m&=-600\end{align}

    Für alle \(a\) kleiner als \(0\) ist der Graph an der Stelle \(x=2\) fallend. Für alle \(a\) größer als \(0\) ist der Graph steigend. Für \(a=0\) hat der Graph die Steigung \(0\).

    Funktionsscharen berechnen – Extrempunkte

    Wenn Du Dir eine Funktion als Gebirge vorstellst, sind die Extrempunkte das Tal (der Tiefpunkt) und die Spitze des Berges (der Hochpunkt).

    Extrempunkte sind lokale Maxima und lokale Minima.

    1. Ein lokales Maximum ist ein Hochpunkt.
    2. Ein lokales Minimum ist ein Tiefpunkt.

    Der Funktionswert \(y\) eines Extrempunktes wird als Extremwert bezeichnet und der x-Wert als Extremstelle.

    Um Extrempunkte zu berechnen, benötigst Du die notwendige und hinreichende Bedingung.

    Wenn Dir diese Begriffe nichts sagen, ließ einmal im Artikel Extremwertberechnung nach.

    Die notwendige Bedingung besagt, dass die erste Ableitung einer Funktion \(f'(x)=0\) sein muss. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann die Stelle eine Extremstelle sein, aber auch ein Sattelpunkt. Deshalb benötigst Du die hinreichende Bedingung.

    Die hinreichende Bedingung unterscheidet, ob die in der notwendigen Bedingung ermittelte Stelle wirklich eine Extremstelle ist. Die zweite Ableitung darf nicht null sein \(f''(x)\neq0\), sonst ist es ein Sattelpunkt oder Wendepunkt. Du kannst auch feststellen, ob es sich bei der Stelle um ein Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

    • Wenn es sich um einen Hochpunkt handelt, ist \(f(x)<0\).
    • Wenn es sich um einen Tiefpunkt handelt, ist \(f(x)>0\).

    Dabei gehst Du wie folgt vor:

    • 1. Schritt: erste und zweite Ableitung bestimmen
    • 2. Schritt: notwendige Bedingung
    • 3. Schritt: hinreichende Bedingung, Bestimmen von Hoch- und Tiefpunkt mit Fallunterscheidung, wenn nötig
    • 4. Schritt: Einsetzen der x-Werte in die Funktionsschar

    Für Funktionenscharen musst Du an dieser Stelle häufig Fallunterscheidungen durchführen.

    Aufgabe 4

    Berechne die Extremstellen der Funktionenschar \(f_a(x)=ax^3-2x-2, für \(a\) gelten dabei nur Zahlen größer null, also \(a>0\).

    Lösung

    Schritt 1:

    Als Erstes berechnest Du die ersten beiden Ableitungen der Funktionenschar.

    \begin{align}f_a(x)&=ax^3-2x-2 \\f'_a(x)&=3ax^2-2 \\f''_a(x)&=6ax\end{align}

    Schritt 2:

    Jetzt führst Du die notwendige Bedingung aus, indem Du die erste Ableitung gleich null setzt und \(x\) berechnest.

    \begin{align}f'_a(x)=0 \\0=3ax^2-2 &|&+2 \\2=3ax^2 &|&:(3a) \\\frac{2}{3a}=x^2 &|&\sqrt{} \\\pm\sqrt{\frac{2}{3a}}=x\end{align}

    Hier gilt es, den Definitionsbereich vom Scharparameter \(a\) zu beachten. Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden darf, darf der Scharparameter \(a\) ausschließlich positive Werte annehmen. Wenn dies nicht bereits in der Aufgabe vorgegeben ist (wie hier), musst Du den Definitionsbereich vom Scharparameter mit angeben.

    Schritt 3:

    Für die hinreichende Bedingung setzt Du den eben errechneten Wert in die zweite Ableitung ein und überprüfst, ob dieser nicht null wird.

    \begin{align} f''_a\left(-\sqrt{\frac{2}{3a}}\right)&=6a\cdot \left(-\sqrt{\frac{2}{3a}}\right) &<&0 \end{align}

    Die zweite Ableitung für diesen Wert ist negativ. An dieser Stelle ist ein Hochpunkt.

    \begin{align} f''_a\left(\sqrt{\frac{2}{3a}}\right)&=6a\cdot \sqrt{\frac{2}{3a}} &>&0 \end{align}

    Die zweite Ableitung für diesen Wert ist positiv. An dieser Stelle ist ein Tiefpunkt.

    In dieser Aufgabe ist angegeben, dass der Scharparameter \(a\) nur positive Werte annehmen darf. Aus diesem Grund erübrigt sich eine Fallunterscheidung. Ansonsten müsstest Du in einer Fallunterscheidung an dieser Stelle überprüfen, ob sich für bestimmte Werte des Scharparameters \(a\) das hinreichende Kriterium ändert und der Graph statt eines Hochpunktes einen Tiefpunkt aufweisen würde.

    An der Stelle \(x=-\sqrt{\frac{2}{3a}}\) besitzt der Graph einen Hochpunkt. An der Stelle \(x=\sqrt{\frac{2}{3a}}\) besitzt der Graph einen Tiefpunkt.

    Funktionsscharen berechnen – Ortskurve

    Die Ortskurve oder der Trägergraph verbindet die Hochpunkte/Tiefpunkte/Wendepunkte einer Funktionenschar.

    Eine Ortskurve ist ein Graph, auf welchem alle Punkte mit derselben Eigenschaft (Hochpunkte, Tiefpunkte, oder Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen. Jede Eigenschaft besitzt ihre eigene Ortskurve.

    Mit Hilfe dieser Schritte kannst Du jede Ortskurve ermitteln:

    • Schritt 1: Ermittle die allgemeinen x-Koordinaten der jeweiligen Eigenschaft (z.B. Tiefpunkte).
    • Schritt 2: Stelle die x-Koordinate des allgemeinen Punktes nach dem Parameter um.
    • Schritt 3: Setze die umgestellte x-Koordinate in den y-Wert des allgemeinen Punktes ein.
    • Schritt 4: Vereinfache den Term so weit es möglich ist, sodass Du eine Funktionsgleichung erhältst.

    Aufgabe 5

    Ermittle die Ortskurve der Funktionenschar \(f_a(x)=x^4-ax^2\), \(a>0\) für die Tiefpunkte.

    Lösung

    Schritt 1: Bestimmung der x-Koordinaten der Eigenschaft – also der Tiefpunkte

    Als Erstes berechnest Du die x-Koordinaten der Tiefpunkte. Dafür orientiere Dich an der Ermittlung der Extrempunkte.

    Ableiten:

    \begin{align}f_a(x)&=x^4-ax^2 \\f'_a(x)&=4x^3-2ax \\f''_a(x)&=12x^2-2a\end{align}

    Notwendige Bedingung:

    \begin{align}f'_a(x)&=0 \\0&=4x^3-2ax \\0&=x\cdot(4x^2-2a) \\x_1&=0 \\0&=4x^2-2a &|&+2a \\2a&=4x^2 &|&:4 \\0{,}5a&=x^2 &|&\sqrt{} \\x_2&=\sqrt{0{,}5a} \\x_3&=-\sqrt{0{,}5a}\end{align}

    Hinreichende Bedingung:

    \begin{align} f''_a(x)&=12x^2-2a \\ f''_a(0)&=12\cdot 0-2a \\ &=-2a&<&0 \rightarrow HP \\ f''_a(\sqrt{0{,}5a})&=12\cdot(\sqrt{0{,}5a})^2-2a \\ &=4a &>&0 \rightarrow TP \\ f''_a(-\sqrt{0{,}5a})&=12\cdot(-\sqrt{0{,}5a})^2-2a \\ &=4a &>&0 \rightarrow TP \end{align}

    Die hinreichende Bedingung ist für diese Stelle negativ, da \(a>0\) sein soll. Diese Extremstelle ist der x-Wert eines Hochpunktes.

    \begin{align}f_a(x)&=x^4-ax^2 \\f_a(0)&=0^4-a\cdot0^2 \\&=0\end{align}

    Die hinreichende Bedingung ist für diese beiden Punkte ist positiv, da \(a>0\) sein soll. Diese Extremstellen sind x-Werte von Tiefpunkten.

    \begin{align}f_a(x)&=x^4-ax^2 \\f_a(\sqrt{0{,}5a})&=(\sqrt{0{,}5a})^4-a\cdot(\sqrt{0{,}5a})^2 \\&=0{,}25a^2-0{,}5a^2 \\&=-0{,}25a^2 \\\\ f_a(-\sqrt{0{,}5a})&=(-\sqrt{0{,}5a})^4-a\cdot(-\sqrt{0{,}5a})^2 \\&=0{,}25a^2-0{,}5a^2 \\&=-0{,}25a^2\end{align}

    Jetzt wählst Du einen der beiden x-Werte der Tiefpunkte. Hier wird \(TP_1(\sqrt{0{,}5a}|-0{,}25a^2)\) gewählt.

    Schritt 2: Umstellen des x-Wertes nach dem Parameter

    Du stellst also nun den x-Wert des Tiefpunktes um nach \(a\).

    \begin{align}x&=\sqrt{0{,}5a} &|&^2 \\x^2&=0{,}5a &|&:0{,}5 \\2x^2&=a\end{align}

    Schritt 3: Einsetzen den y-Wert des Punktes

    Nun setzt Du den umgestellten x-Wert des Tiefpunktes in den y-Wert des Punktes ein,

    \begin{align} y&=-0{,}25a^2 \\ y&=-0{,}25\cdot (2x^2)^2 \end{align}

    Schritt 4: Vereinfachen der Gleichung

    \begin{align}y&=-0{,}25\cdot (2x^2)^2 \\y&= -0{,}25\cdot 4x^4 \\y&=-x^4\end{align}

    Die Ortskurve für die Funktionenschar lautet \(y=-x^4\). Zeichnerisch sieht dies so aus:

    Funktionsscharen Ortskurve StudySmarterAbbildung 4: Ortskurve

    Funktionsscharen Übungsaufgaben

    Jetzt kannst Du Dein Wissen testen.

    Aufgabe 6

    Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^2+ax-2\). Bestimme jeweils einen passenden Parameter so, dass die Funktion die geforderte Bedingung erfüllt.

    1. Der Graph verläuft durch den Punkt \(P(2|4)\).
    2. Die Funktion f hat an der Stelle \(-0{,}5\) eine lokale Extremstelle.

    Lösung

    Als Erstes leitest Du die Funktionenschar bis zur dritten Ableitung ab.

    \begin{align}f_a(x)&=ax^2+ax-2 \\f'_a(x)&=2ax+a \\f''_a(x)&=2a\end{align}

    a.

    Du setzt den Punkt \(P(2|4)\) in die Funktionenschar ein und stellst nach \(a\) um.

    \begin{align}f_a(x)&=ax^2+ax-2 \\4&=a\cdot 2^2+a\cdot 2-2 \\4&=4a+2a-2 &|&+2 \\6&=6a &|&:6 \\1&=a\end{align}

    Der Parameter muss \(1\) sein, damit der Graph durch den Punkt \(P(2|4)\) verläuft.

    b.

    Die erste Ableitung setzt Du gleich null. Die Variable \(x\) ersetzt Du durch \(-0{,}5\) und stellst nach \(a\) um.

    \begin{align}f'_a(x)&=0 \\0&=2a\cdot (-0{,}5)+a \\0&=-a+a \\0&=0\end{align}

    Für alle Parameter \(a\) liegt eine Extremstelle bei \(x=0{,}5\)

    Aufgabe 7

    Berechne die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar \(f_a(x)=4x^2-ax-2\).

    Lösung

    Schritt 1: Bestimmung der x-Koordinaten der Eigenschaft– also der Tiefpunkte

    Als Erstes leite für die Funktionenschar die ersten beiden Ableitungen ab.

    \begin{align}f_a(x)&=4x^2-ax-2 \\f'_a(x)&=8x-a \\f''_a(x)&=8\end{align}

    Jetzt setze die notwendige Bedingung ein. Du musst die erste Ableitung gleich null setzen.

    \begin{align}f'_a(x)&=0 \\0&=8x-a &|&+a \\a&=8x &|&:8 \\\frac{a}{8}&=x\end{align}

    Als Nächstes überprüfst Du mit der hinreichenden Bedingung, ob es sich um einen Extrempunkt handelt. Da die zweite Ableitung \(f''_a(x)=8\) ist, existiert für diese Funktionenschar kein Wendepunkt. \(\frac{a}{8}\) ist der x-Wert eines Tiefpunktes.

    \[TP\left(\frac{a}{8}|-\frac{1a^2}{16}-2\right)\]

    Schritt 2: Umstellen des x-Wertes nach dem Parameter

    \begin{align}x&=\frac{a}{8} &|&\cdot 8 \\a&=8x \end{align}

    Schritt 3: Einsetzen in den y-Wert.

    \[y=-\frac{8x^2}{16}-2\]

    Schritt 4: Vereinfachen der Gleichung

    \[y=-\frac{x^2}{2}-2\]

    Du erhältst die Funktion \(y=-\frac{x^2}{2}-2\) als Ortskurve.

    Funktionsscharen – Das Wichtigste

    • Ein Funktionsterm, welcher neben der Funktionsvariablen \(x\) noch mindestens einen weiteren Parameter (z.B. \(a,\,t\)) enthält, definiert mehrere Funktionen gleichzeitig. Die Menge dieser Funktionen wird als Funktionenschar bezeichnet.
    • Als Scharparameter wird der Parameter des Funktionsterms bezeichnet.
    • In Berechnungen wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.
    • Du kannst für jeden Punkt der Funktion eine Fallunterscheidung machen. Wichtig ist die Fallunterscheidung jedoch besonders im Globalverlauf und bei der Berechnung der Extrempunkte der Funktionsschar.
    • Vorgehen bei der Berechnung der Extrempunkte:
      • Schritt 1: erste und zweite Ableitung bestimmen
      • Schritt 2: notwendige Bedingung
      • Schritt 3: hinreichende Bedingung, Bestimmen von Hoch- und Tiefpunkt mit Fallunterscheidung, wenn nötig
      • Schritt 4: Einsetzen der x-Werte in die Funktionsschar
    • Eine Ortskurve ist ein Graph, auf welchem alle Punkte mit derselben Eigenschaft (Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte) einer Funktionenschar liegen. Jede Eigenschaft besitzt ihre eigene Ortskurve.
    • Schritte zur Ermittlung der Ortskurve:
      • Schritt 1: Ermittle die allgemeinen x-Koordinaten der jeweiligen Eigenschaft (z.B. Tiefpunkte).

      • Schritt 2: Stelle die x-Koordinate des allgemeinen Punktes nach dem Parameter um.

      • Schritt 3: Setze die umgestellte x-Koordinate in die Funktionsgleichung der Funktionsschar ein.

      • Schritt 4: Vereinfache den Term so weit es möglich ist, sodass Du eine Funktionsgleichung erhältst.

    Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionsscharen

    Was ist eine Schar in der Mathematik?

    Eine Schar bezeichnet eine Menge von ähnlichen Funktionen, Ebenen und Geraden. Diese unterscheiden sich immer durch eine Zahl. Wenn diese Zahl durch einen Parameter ersetzt wird, kann jede Zahl eingesetzt werden und es entsteht eine Schar an Funktionen, Ebenen oder Geraden.

    Wie berechnet man die  Ortskurve?

    Eine Ortskurve ist ein Graph, auf welchem alle Punkte mit der selben Eigenschaften einer Funktionsschar liegen.

    Mit Hilfe dieser Schritte kannst Du jede Ortskurve ermitteln:

    • Schritt 1: Ermittle die allgemeinen x-Koordinaten der jeweiligen Eigenschaft (z.B. Tiefpunkte).
    • Schritt 2: Stelle die x-Koordinate des allgemeinen Punktes nach dem Parameter um.
    • Schritt 3: Setze die umgestellte x-Koordinate in die Funktionsgleichung der Funktionsschar ein.
    • Schritt 4: Vereinfache den Term so weit es möglich ist, sodass Du eine Funktionsgleichung erhältst.

    Was ist ein Scharparameter?

    Ein Scharparameter ist der Parameter, welcher in einer Funktionsschar als zusätzliche Variable zu x vorhanden ist. Zu jedem Scharparameter einer Funktionsschar existiert genau eine Funktion. 

    Was ist eine Fallunterscheidung?

    Die Fallunterscheidung beschäftigt sich mit den unterschiedlichen Scharparametern. Wenn der Scharparameter negativ ist, verhält sich der Graph anders als wenn er positiv ist.

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