Horner-Schema

Q: Wie funktioniert das Horner-Schema?

Durch Ausprobieren wird zunächst eine Nullstelle x0 der ganzrationalen Funktion f(x) ermittelt. Die Funktion f(x) wird dann durch den Ausdruck (x-x0) geteilt, um den Grad der Funktion f(x) zu verringern. Dazu werden die Koeffizienten in einer Tabelle in absteigender Reihenfolge aufgelistet und zudem auch die Nullstelle x0. Das Schema ergibt die Koeffizienten des reduzierten Polynoms.

Q: Wann wird das Horner-Schema benutzt?

Wird eine ganzrationale Funktion f(x) durch einen Ausdruck (x-x0) geteilt, so kann das Horner-Schema angewandt werden. Durch Anwendung des Horner-Schemas wird der Grad der Funktion f(x) reduziert und es ergibt sich eine reduzierte Funktion.

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Stell Dir vor, Du hast eine Funktion $f (x)$ gegeben und sollst deren Nullstellen $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ berechnen, die in der folgenden Abbildung 1 grün markiert sind. Wie gehst Du dabei vor?

Horner-Schema Nullstellen Polynomfunktion StudySmarter Abbildung 1: Nullstellen einer Polynomfunktion

Eine Möglichkeit zur Berechnung der Nullstellen dieser Funktion $f (x)$ wäre die Polynomdivision. Aber auch das sogenannte Horner-Schema kann Dir hierbei helfen, die Nullstellen zu berechnen. Wie funktioniert dieses Schema und bei welchen Funktionen wird es angewandt?

Horner-Schema – Erklärung und Definition

Hast Du eine ganzrationale Funktion $f (x)$ gegeben und sollst die Nullstellen $x_{0}$ bestimmen, so stehen Dir mehrere Verfahren zur Verfügung. Welches Du nutzen kannst, hängt vom Grad n der Polynomfunktion $f (x)$ ab. Eine Polynomfunktion kann maximal so viele Nullstellen haben, wie der Grad des Polynoms.

Die ganzrationale Funktion $f (x)$ aus der Abbildung 1 mit $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ ist beispielsweise ein Polynom 3. Grades. Sie kann demnach maximal 3 Nullstellen $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ besitzen.

Im Artikel ganzrationale Funktionen kannst Du alles rund um das Thema noch einmal nachlesen.

Ein mögliches Verfahren, das bei der Berechnung der Nullstellen $x_{0}$ dieser Funktion $f (x)$ angewandt werden kann, ist das Horner-Schema. Das Ziel des Schemas ist es, den Grad n der Funktion $f (x)$ zu verringern. So kannst Du durch Anwendung des Horner-Schemas eine Polynomfunktion mit Grad 3 zu einer Polynomfunktion mit Grad 2 und gegebenfalls einer Restfunktion umwandeln.

Das Horner-Schema ist ein Verfahren, das bei einer ganzrationalen Funktion $f (x)$ als Hilfe zur Berechnung von Nullstellen und von Funktionswerten $f (x_{0})$ genutzt werden kann. Durch das Horner-Schema wird der Grad der Polynomfunktion $f (x)$ schrittweise verringert.

Durch das Horner-Schema erhältst Du also nicht direkt die Nullstellen $x_{0}$ einer Funktion $f (x)$ , sondern wandelst die Funktion in eine andere Form um, mit der Du dann weiterrechnen kannst.

Wie das Schema bei der Nullstellenberechnung funktioniert, erfährst Du jetzt!

Horner-Schema – Nullstellen berechnen mit Tabelle

Die allgemeine Vorgehensweise des Horner-Schemas wird zunächst für folgende ganzrationale Funktion $f (x)$ 3. Grades erklärt.

$f (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

Diese Funktion $f (x)$ wird umgewandelt in eine Form, bei der eine Polynomfunktion von Grad 2 vorliegt. Dazu wird die Funktion $f (x)$ durch einen Ausdruck $(x - x_{0})$ geteilt. Dabei ist $x_{0}$ eine Nullstelle der Funktion $f (x)$ .

Es ist auch möglich, durch den Ausdruck $(x - x_{0})$ zu teilen, wenn $x_{0}$ keine Nullstelle ist. Das kannst Du beispielsweise im Kapitel Funktionswert berechnen sehen. Die Vorgehensweise hier beschränkt sich jedoch darauf, dass $x_{0}$ eine Nullstelle der Funktion $f (x)$ ist.

$\frac{f (x)}{(x - x_{0})} = b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}$

Schritt 1: Zunächst stellst Du eine Tabelle mit den jeweiligen Koeffizienten $a_{n}$ der Funktion $f (x)$ in absteigender Reihenfolge auf. Durch Ausprobieren wird außerdem eine Nullstelle $x_{0}$ ermittelt, die Du in Zeile 2 schreiben kannst. Die dritte, zusätzliche Zeile bleibt zunächst frei. Für die allgemeine Funktion $f (x)$ sieht dies wie folgt aus:

	$a_{3}$	$a_{2}$	$a_{1}$	$a_{0}$
$x_{0}$

Fehlen in Deiner Funktion $f (x)$ gewisse Potenzen, dann sind die entsprechenden Koeffizienten Null und müssen einbezogen werden.

Schritt 2: Der erste Koeffizient $a_{3}$ wird nach unten gezogen in die dritte Zeile, dann mit der Nullstelle $x_{0}$ multipliziert und der Ausdruck $a_{3} \cdot x_{0}$ in die nächste Spalte in der zweiten Zeile übertragen.

	$a_{3}$	$a_{2}$	$a_{1}$	$a_{0}$
$x_{0}$	$↓$	$a_{3} \cdot x_{0}$
	$a_{3} ↗$

Schritt 3: Der Koeffizient $a_{2}$ wird wieder in die letzte Zeile übertragen, aber zudem noch der multiplizierte Ausdruck $a_{3} \cdot x_{0}$ addiert. Anschließend multipliziere diesen Ausdruck erneut mit der Nullstelle $x_{0}$ .

	$a_{3}$	$a_{2}$	$a_{1}$	$a_{0}$
$x_{0}$	$↓$	$a_{3} \cdot x_{0} ↓$	$(a_{2} + a_{3} \cdot x_{0}) \cdot x_{0}$
	$a_{3} ↗$	$a_{2} + a_{3} \cdot x_{0} ↗$

Schritt 4: Auch mit den restlichen Koeffizienten $a_{1}$ und $a_{0}$ verfährst Du ebenso, bis die Tabelle komplett gefüllt ist.

	$a_{3}$	$a_{2}$	$a_{1}$	$a_{0}$
$x_{0}$		$a_{3} \cdot x_{0}$	$(a_{2} + a_{3} x_{0}) \cdot x_{0}$	$(a_{1} + a_{2} x_{0} + a_{3} {x_{0}}^{2}) \cdot x_{0}$
	$\begin{matrix} a_{3} \\ \begin{matrix} \underset{⏟}{} \\ b_{2} \end{matrix} \end{matrix}$	$\underset{⏟}{\underset{}{a_{2} + a_{3} x_{0}}} b_{1}$	$\underset{⏟}{a_{1} + a_{2} x_{0} + a_{3} {x_{0}}^{2}} b_{0}$	$\underset{⏟}{a_{0} + a_{1} x_{0} + a_{2} {x_{0}}^{2} + a_{3} {x_{0}}^{3}} f (x_{0}) = 0$

Achtung: Wurde zu Beginn eine beliebige Stelle $x$ gewählt, die keine Nullstelle der Funktion $f (x)$ ist, dann ist $f (x)$ in der letzten Spalte nicht Null!

Aus der letzten Zeile kannst Du dann die Koeffizienten $b_{2}$ , $b_{1}$ und $b_{0}$ der neuen reduzierten Polynomfunktion auslesen. Damit ergibt sich:

$\frac{f (x)}{(x - x_{0})} = \frac{a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}}{(x - x_{0})} = b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}$

Schritt 5: Jetzt kann die reduzierte Polynomfunktion verwendet werden, um beispielsweise mit der Mitternachtsformel die restlichen Nullstellen $x_{2}$ und $x_{3}$ zu bestimmen.

Zeit, das Horner-Schema direkt an einem Beispiel anzuwenden!

Horner-Schema 3. Grades

Wenn es darum geht, Lösungen eines Polynoms zu finden, kannst Du dazu statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema verwenden. Die allgemeine Vorgehensweise siehst Du jetzt direkt an einem Beispiel.

Beispielaufgabe 1

Von der folgenden ganzrationalen Funktion $f (x)$ soll der Grad reduziert und die entsprechenden Nullstellen ermittelt werden. Eine Nullstelle bei $x_{1} = - 1$ ist bereits vorgegeben.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Lösung

Um den Grad zu reduzieren, wird die Funktion $f (x)$ durch den Ausdruck $(x - x_{1})$ geteilt. In diesem Fall entspricht dies:

$\frac{f (x)}{(x - x_{1})} = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{(x + 1)}$

Los geht es mit dem Horner-Schema!

Schritt 1: Lege Dir eine Tabelle mit den Koeffizienten der Funktion $f (x)$ in absteigender Reihenfolge an. Nutze dazu gerne die Vorlage aus dem vorherigen Kapitel. Die Koeffizienten in diesem Beispiel sind $a_{3} = 1, a_{2} = 2, a_{1} = - 5, a_{0} = - 6$ .

	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
$x_{1} = - 1$

In die erste Spalte der zweiten Zeile schreibst Du die vorgegebene Nullstelle. Hier: $x_{1} = - 1$ .

Schritt 2: Ziehe den ersten Koeffizienten $a_{3} = 1$ nach unten in die letzte Zeile, multipliziere mit der Nullstelle $x_{1}$ und übertrage das Ergebnis in die nächste Spalte. Dieses Ergebnis $- 1$ wird mit dem Koeffizienten $a_{2} = 2$ addiert und in die letzte Zeile übertragen.

	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
$x_{1} = - 1$	$↓$	$1 \cdot (- 1) = - 1 ↓ +$
	$1 ↗$	$2 + (- 1) = 1$

Merke: Nach unten addieren und schräg multiplizieren.

Schritt 3: Verfahre mit den restlichen Koeffizienten ebenso, bis die Tabelle vollständig gefüllt ist.

	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
$x_{1} = - 1$		$1 \cdot (- 1) = - 1$	$1 \cdot (- 1) = - 1$	$- 6 \cdot (- 1) = 6$
	$1$ $\underset{b_{2}}{\underset{⏟}{}}$	$2 + (- 1) = 1$ $\underset{b_{1}}{\underset{⏟}{}}$	$- 5 + (- 1) = - 6$ $\underset{b_{0}}{\underset{⏟}{}}$	$- 6 + 6 = 0$

Aus der letzten Zeile kannst Du nun der Reihe nach die Koeffizienten des reduzierten Polynoms auslesen.

$b_{2} = 1, b_{1} = 1, b_{0} = - 6$

Daraus ergibt sich:

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{(x + 1)} = x^{2} + x - 6$

Schritt 4: Die Nullstellen des reduzierten Polynoms $x^{2} + x - 6$ können beispielsweise mithilfe der Mitternachtsformel ermittelt werden.

Zur Erinnerung: Mitternachtsformel: $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Damit ergibt sich für die restlichen Nullstellen der Funktion $f (x)$ :

$x_{2, 3} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} x_{2} = 2 und x_{3} = - 3$

Die Funktion $f (x)$ hat demnach Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 3$ . Dies kannst Du an der folgenden Abbildung noch einmal überprüfen.

Horner-Schema Nullstellen einer Polynomfunktion 3. Grades StudySmarter Abbildung 2: Nullstellen einer Polynomfunktion 3. Grades

Neben der Nullstellenberechnung dient das Horner-Schema auch der Berechnung von Funktionswerten. Interessiert Dich die Funktionswertberechnung mithilfe des Schemas? Dann lies Dir gerne die nachfolgende Vertiefung durch. Überspringe dieses Kapitel, wenn Du direkt zum nächsten Beispiel willst.

Horner-Schema – Funktionswert berechnen

Mit dem Horner-Schema kann auch ein Funktionswert für eine Funktion $f (x)$ berechnet werden. Dafür wird dasselbe Schema benutzt, wie bei der vorherigen Nullstellenberechnung.

Für die gleiche Funktion $f (x)$ soll der Funktionswert $f (3)$ für die Stelle $x = 3$ berechnet werden.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Die Stelle $x = 3$ ist keine Nullstelle der Funktion $f (x)$ . Die Nullstellen wurden bereits im Kapitel zuvor berechnet.

Auch hier wird dieselbe Tabelle aufgestellt und das Schema angewandt: Nach unten addieren und schräg nach oben multiplizieren.

	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
$x = 3$		$1 \cdot 3 = 3$	$5 \cdot 3 = 15$	$10 \cdot 3 = 30$
	$1$	$2 + 3 = 5$	$- 5 + 15 = 10$	$- 6 + 30 = 24$

Aus dem letzten Wert in der Tabelle lässt sich der Funktionswert ablesen:

f (3) = 24

Als Alternative kannst Du natürlich auch die Stelle $x = 3$ direkt in die Funktion $f (x)$ einsetzen und den Wert ausrechnen.

Wie gehst Du denn vor, wenn Deine Funktion $f (x)$ nicht nur vom Grad 3, sondern sogar vom Grad 4 ist?

Horner-Schema 4. Grades

Auch bei Funktionen 4. Grades kannst Du das Horner-Schema anwenden.

Beispielaufgabe 2

Als Beispiel wird dazu die ganzrationale Funktion $f (x)$ betrachtet:

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$

Zu ermitteln sind die Nullstellen der Funktion $f (x)$ .

Lösung

Von der Funktion sollen alle Nullstellen berechnet werden. Das sind grafisch die Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse. Setze die Funktion also gleich null:

$x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Da hier keine Nullstelle vorgegeben ist, musst Du zunächst selbst eine Nullstelle finden. Durch Probieren ergibt sich so beispielsweise die Nullstelle bei $x_{1} = 2$ . Mit dieser Nullstelle und dem Horner-Schema wird das Polynom reduziert, von Grad 4 zu Grad 3.

$\frac{1 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6}{(x - 2)} = ?$

Übertrage die Koeffizienten (beginnend bei dem höchsten Exponenten) und die Nullstelle in eine Tabelle und wende das Horner-Schema an.

Sieh Dir das Beispiel zum Grad 3 noch einmal an, wie Du die Tabelle Schritt für Schritt füllen kannst.

	$1$	$- 5$	$5$	$5$	$- 6$
$x_{1} = 2$		$2 \cdot 1 = 2$	$2 \cdot (- 3) = - 6$	$2 \cdot (- 1) = - 2$	$2 \cdot 3 = 6$
	$1 \underset{⏟}{} b_{3}$	$\underset{⏟}{- 5 + 2 = - 3} b_{2}$	$\underset{⏟}{5 + (- 6) = - 1} b_{1}$	$\underset{⏟}{5 + (- 2) = 3} b_{0}$	$\underset{⏟}{- 6 + 6 = 0} f (2)$

Aus der letzten Zeile liest Du die Koeffizienten des reduzierten Polynoms aus und damit ergibt sich:

$\frac{f (x)}{(x - x_{1})} = \frac{x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6}{(x - 2)} = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$

Jetzt liegt eine reduzierte Polynomfunktion vom Grad 3 vor. Die Nullstellen dieses reduzierten Polynoms lässt sich jedoch noch nicht mithilfe der Mitternachtsformel ermitteln. Daher wird erneut das Horner-Schema angewandt und um einen Grad reduziert.

Finde dazu zunächst wieder durch Probieren eine weitere Nullstelle. In diesem Beispiel liegt eine weitere Nullstelle bei $x_{2} = 1$ . Stelle jetzt die Tabelle für das Horner-Schema auf und rechne die Werte aus.

	$1$	$- 3$	$- 1$	$3$
$x_{2} = 1$		$1 \cdot 1 = 1$	$1 \cdot (- 2) = - 2$	$1 \cdot (- 3) = - 3$
	$1 \underset{⏟}{} b_{2}$	$\underset{⏟}{- 3 + 1 = - 2} b_{1}$	$\underset{⏟}{- 1 + (- 2) = - 3} b_{0}$	$\underset{⏟}{3 + (- 3) = 0} f (1)$

Du erhältst nach der Reduktion des Polynoms ein Polynom zweiten Grades:

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{(x - 1)} = x^{2} - 2 x - 3$

Verwende zum Lösen der quadratischen Gleichung die Mitternachtsformel oder p-q-Formel:

$\begin{array}{rcl} x_{3 / 4} & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3)}}{2 \cdot 1} \\ x_{3} & = & 3 und x_{4} = - 1 \end{array}$

Im nachfolgenden Schaubild siehst Du die Funktion $f (x)$ und die ermittelten Nullstellen $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = 3$ und $x_{4} = - 1$ .

Horner-Schema Berechnete Nullstellen einer Polynomfunktion StudySmarter Abbildung 3: Polynomfunktion mit Nullstellen

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Horner-Schema – Aufgaben

Frage Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin gerne, ob ihr eine Formelsammlung benutzen dürft. Zur Berechnung der Nullstellen kannst Du dort die jeweiligen Formeln nachschlagen.

Aufgabe 1

Verringere den Grad der Funktion $f (x) = 3 x^{4} - 11 x^{3} + 12 x + 14$ mit dem Horner-Schema auf Grad 3. Nutze dafür die Stelle $x = 4$ .

Lösung

Eine Stelle $x = 4$ ist bereits vorgegeben. Mit dieser kann die Tabelle zum Horner-Schema aufgestellt werden.

	$3$	$- 11$	$0$	$- 12$	$14$
$x = 4$

Der Koeffizient vor $x^{2}$ ist in diesem Fall Null.

Fülle die restliche Tabelle nach dem Lösungsschema aus und ermittle somit die Koeffizienten des reduzierten Polynoms.

	$3$	$- 11$	$0$	$- 12$	$14$
$x = 4$	$↓$	$12$	$4$	$16$	$16$
	$3$	$1$	$4$	$4$	$30$

Wie Du siehst, steht in der letzten Zeile der letzten Spalte keine Null. Das bedeutet, Du hast noch einen Rest, welchen Du auch wieder mit in die Funktion aufnehmen musst. Schreibe hierzu einfach die letzte Zahl als Zähler in den Bruch mit dem Divisor $x = 4$ .

Die verringerte Funktion lautet: $\frac{f (x)}{(x - 4)} = 3 x^{3} + x^{2} + 4 x + \frac{30}{(x - 4)}$ .

In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch mehr Übungsaufgaben zur Anwendung des Horner-Schemas.

Horner-Schema – Das Wichtigste

Das Horner-Schema ist ein Verfahren, das bei einer ganzrationalen Funktion $f (x)$ als Hilfe zur Berechnung von Nullstellen und von Funktionswerten $f (x_{0})$ genutzt werden kann.
Durch das Horner-Schema wird der Grad der Polynomfunktion $f (x)$ schrittweise verringert.
Für eine Polynomfunktion $f (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ gilt das allgemeine Schema in der Tabelle (mit Nullstelle $x_{0}$ ):
$a_{3}$
$a_{2}$
$a_{1}$
$a_{0}$
$x_{0}$
$a_{3} \cdot x_{0}$
$(a_{2} + a_{3} x_{0}) \cdot x_{0}$
$(a_{1} + a_{2} x_{0} + a_{3} {x_{0}}^{2}) \cdot x_{0}$
$\begin{matrix} a_{3} \\ \begin{matrix} \underset{⏟}{} \\ b_{2} \end{matrix} \end{matrix}$
$\underset{⏟}{\underset{}{a_{2} + a_{3} x_{0}}} b_{1}$
$\underset{⏟}{a_{1} + a_{2} x_{0} + a_{3} {x_{0}}^{2}} b_{0}$
$\underset{⏟}{a_{0} + a_{1} x_{0} + a_{2} {x_{0}}^{2} + a_{3} {x_{0}}^{3}} f (x_{0}) = 0$
Merke: Nach unten addieren und nach schräg oben multiplizieren.

Nachweise

Papula, Lothar (2000). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
Polya, G. und Szego, G. (1954). Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Häufig gestellte Fragen zum Thema Horner-Schema

Durch Ausprobieren wird zunächst eine Nullstelle x₀ der ganzrationalen Funktion f(x) ermittelt. Die Funktion f(x) wird dann durch den Ausdruck (x-x₀) geteilt, um den Grad der Funktion f(x) zu verringern.

Dazu werden die Koeffizienten in einer Tabelle in absteigender Reihenfolge aufgelistet und zudem auch die Nullstelle x₀. Das Schema ergibt die Koeffizienten des reduzierten Polynoms.

Wird eine ganzrationale Funktion f(x) durch einen Ausdruck (x-x₀) geteilt, so kann das Horner-Schema angewandt werden. Durch Anwendung des Horner-Schemas wird der Grad der Funktion f(x) reduziert und es ergibt sich eine reduzierte Funktion.

Das Horner-Schema ist ein Verfahren, das bei einer ganzrationalen Funktion f(x) als Hilfe zur Berechnung von Nullstellen und von Funktionswerten f(x₀) genutzt werden kann. Dabei wird der Grad der Funktion f(x) reduziert.

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Das Horner-Schema ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern, also eine Alternative zur Polynomdivision. Außerdem dient es der Nullstellenberechnung.

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Nenne, welche Alternative es zur Polynomdivision gibt.

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Das Horner-Schema ist eine einfache Alternative zur Polynomdivision.

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