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Horner-Schema

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Horner-Schema

Stell Dir vor, Du hast eine Funktion gegeben und sollst deren Nullstellen , und berechnen, die in der folgenden Abbildung 1 grün markiert sind. Wie gehst Du dabei vor?

Horner-Schema Nullstellen Polynomfunktion StudySmarterAbbildung 1: Nullstellen einer Polynomfunktion

Eine Möglichkeit zur Berechnung der Nullstellen dieser Funktion wäre die Polynomdivision. Aber auch das sogenannte Horner-Schema kann Dir hierbei helfen, die Nullstellen zu berechnen. Wie funktioniert dieses Schema und bei welchen Funktionen wird es angewandt?

Horner-Schema – Erklärung und Definition

Hast Du eine ganzrationale Funktion gegeben und sollst die Nullstellen bestimmen, so stehen Dir mehrere Verfahren zur Verfügung. Welches Du nutzen kannst, hängt vom Grad n der Polynomfunktion ab. Eine Polynomfunktion kann maximal so viele Nullstellen haben, wie der Grad des Polynoms.

Die ganzrationale Funktion aus der Abbildung 1 mit ist beispielsweise ein Polynom 3. Grades. Sie kann demnach maximal 3 Nullstellen , und besitzen.

Im Artikel ganzrationale Funktionen kannst Du alles rund um das Thema noch einmal nachlesen.

Ein mögliches Verfahren, das bei der Berechnung der Nullstellen dieser Funktion angewandt werden kann, ist das Horner-Schema. Das Ziel des Schemas ist es, den Grad n der Funktion zu verringern. So kannst Du durch Anwendung des Horner-Schemas eine Polynomfunktion mit Grad 3 zu einer Polynomfunktion mit Grad 2 und gegebenfalls einer Restfunktion umwandeln.

Das Horner-Schema ist ein Verfahren, das bei einer ganzrationalen Funktion als Hilfe zur Berechnung von Nullstellen und von Funktionswerten genutzt werden kann. Durch das Horner-Schema wird der Grad der Polynomfunktion schrittweise verringert.

Durch das Horner-Schema erhältst Du also nicht direkt die Nullstellen einer Funktion , sondern wandelst die Funktion in eine andere Form um, mit der Du dann weiterrechnen kannst.

Wie das Schema bei der Nullstellenberechnung funktioniert, erfährst Du jetzt!

Horner-Schema – Nullstellen berechnen mit Tabelle

Die allgemeine Vorgehensweise des Horner-Schemas wird zunächst für folgende ganzrationale Funktion 3. Grades erklärt.

Diese Funktion wird umgewandelt in eine Form, bei der eine Polynomfunktion von Grad 2 vorliegt. Dazu wird die Funktion durch einen Ausdruck geteilt. Dabei ist eine Nullstelle der Funktion .

Es ist auch möglich, durch den Ausdruck zu teilen, wenn keine Nullstelle ist. Das kannst Du beispielsweise im Kapitel Funktionswert berechnen sehen. Die Vorgehensweise hier beschränkt sich jedoch darauf, dass eine Nullstelle der Funktion ist.

Schritt 1: Zunächst stellst Du eine Tabelle mit den jeweiligen Koeffizienten der Funktion in absteigender Reihenfolge auf. Durch Ausprobieren wird außerdem eine Nullstelle ermittelt, die Du in Zeile 2 schreiben kannst. Die dritte, zusätzliche Zeile bleibt zunächst frei. Für die allgemeine Funktion sieht dies wie folgt aus:

Fehlen in Deiner Funktion gewisse Potenzen, dann sind die entsprechenden Koeffizienten Null und müssen einbezogen werden.

Schritt 2: Der erste Koeffizient wird nach unten gezogen in die dritte Zeile, dann mit der Nullstelle multipliziert und der Ausdruck in die nächste Spalte in der zweiten Zeile übertragen.

Schritt 3: Der Koeffizient wird wieder in die letzte Zeile übertragen, aber zudem noch der multiplizierte Ausdruck addiert. Anschließend multipliziere diesen Ausdruck erneut mit der Nullstelle .

Schritt 4: Auch mit den restlichen Koeffizienten und verfährst Du ebenso, bis die Tabelle komplett gefüllt ist.

Achtung: Wurde zu Beginn eine beliebige Stelle gewählt, die keine Nullstelle der Funktion ist, dann ist in der letzten Spalte nicht Null!

Aus der letzten Zeile kannst Du dann die Koeffizienten , und der neuen reduzierten Polynomfunktion auslesen. Damit ergibt sich:

Schritt 5: Jetzt kann die reduzierte Polynomfunktion verwendet werden, um beispielsweise mit der Mitternachtsformel die restlichen Nullstellen und zu bestimmen.

Zeit, das Horner-Schema direkt an einem Beispiel anzuwenden!

Horner-Schema 3. Grades

Wenn es darum geht, Lösungen eines Polynoms zu finden, kannst Du dazu statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema verwenden. Die allgemeine Vorgehensweise siehst Du jetzt direkt an einem Beispiel.

Beispielaufgabe 1

Von der folgenden ganzrationalen Funktion soll der Grad reduziert und die entsprechenden Nullstellen ermittelt werden. Eine Nullstelle bei ist bereits vorgegeben.

Analysis Beispiel Polynomfunktion StudySmarter

Lösung

Um den Grad zu reduzieren, wird die Funktion durch den Ausdruck geteilt. In diesem Fall entspricht dies:

Los geht es mit dem Horner-Schema!

Schritt 1: Lege Dir eine Tabelle mit den Koeffizienten der Funktion in absteigender Reihenfolge an. Nutze dazu gerne die Vorlage aus dem vorherigen Kapitel. Die Koeffizienten in diesem Beispiel sind .

In die erste Spalte der zweiten Zeile schreibst Du die vorgegebene Nullstelle. Hier:.

Schritt 2: Ziehe den ersten Koeffizienten nach unten in die letzte Zeile, multipliziere mit der Nullstelle und übertrage das Ergebnis in die nächste Spalte. Dieses Ergebnis wird mit dem Koeffizienten addiert und in die letzte Zeile übertragen.

Merke: Nach unten addieren und schräg multiplizieren.

Schritt 3: Verfahre mit den restlichen Koeffizienten ebenso, bis die Tabelle vollständig gefüllt ist.

Aus der letzten Zeile kannst Du nun der Reihe nach die Koeffizienten des reduzierten Polynoms auslesen.

Daraus ergibt sich:

Analysis Ergebnis Restpolynom Beispielaufgabe StudySmarter

Schritt 4: Die Nullstellen des reduzierten Polynoms können beispielsweise mithilfe der Mitternachtsformel ermittelt werden.

Zur Erinnerung: Mitternachtsformel:

Damit ergibt sich für die restlichen Nullstellen der Funktion :

Die Funktion hat demnach Nullstellen bei , und . Dies kannst Du an der folgenden Abbildung noch einmal überprüfen.

Horner-Schema Nullstellen einer Polynomfunktion 3. Grades StudySmarterAbbildung 2: Nullstellen einer Polynomfunktion 3. Grades

Neben der Nullstellenberechnung dient das Horner-Schema auch der Berechnung von Funktionswerten. Interessiert Dich die Funktionswertberechnung mithilfe des Schemas? Dann lies Dir gerne die nachfolgende Vertiefung durch. Überspringe dieses Kapitel, wenn Du direkt zum nächsten Beispiel willst.

Horner-Schema – Funktionswert berechnen

Mit dem Horner-Schema kann auch ein Funktionswert für eine Funktion berechnet werden. Dafür wird dasselbe Schema benutzt, wie bei der vorherigen Nullstellenberechnung.

Für die gleiche Funktion soll der Funktionswert für die Stelle berechnet werden.

Die Stelle ist keine Nullstelle der Funktion . Die Nullstellen wurden bereits im Kapitel zuvor berechnet.

Auch hier wird dieselbe Tabelle aufgestellt und das Schema angewandt: Nach unten addieren und schräg nach oben multiplizieren.

Aus dem letzten Wert in der Tabelle lässt sich der Funktionswert ablesen:

Als Alternative kannst Du natürlich auch die Stelle direkt in die Funktion einsetzen und den Wert ausrechnen.

Wie gehst Du denn vor, wenn Deine Funktion nicht nur vom Grad 3, sondern sogar vom Grad 4 ist?

Horner-Schema 4. Grades

Auch bei Funktionen 4. Grades kannst Du das Horner-Schema anwenden.

Beispielaufgabe 2

Als Beispiel wird dazu die ganzrationale Funktion betrachtet:

Analysis Aufgabenbeispiel Horner-Schema StudySmarter

Zu ermitteln sind die Nullstellen der Funktion .

Lösung

Von der Funktion sollen alle Nullstellen berechnet werden. Das sind grafisch die Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse. Setze die Funktion also gleich null:

Da hier keine Nullstelle vorgegeben ist, musst Du zunächst selbst eine Nullstelle finden. Durch Probieren ergibt sich so beispielsweise die Nullstelle bei. Mit dieser Nullstelle und dem Horner-Schema wird das Polynom reduziert, von Grad 4 zu Grad 3.

Übertrage die Koeffizienten (beginnend bei dem höchsten Exponenten) und die Nullstelle in eine Tabelle und wende das Horner-Schema an.

Sieh Dir das Beispiel zum Grad 3 noch einmal an, wie Du die Tabelle Schritt für Schritt füllen kannst.

Aus der letzten Zeile liest Du die Koeffizienten des reduzierten Polynoms aus und damit ergibt sich:

Jetzt liegt eine reduzierte Polynomfunktion vom Grad 3 vor. Die Nullstellen dieses reduzierten Polynoms lässt sich jedoch noch nicht mithilfe der Mitternachtsformel ermitteln. Daher wird erneut das Horner-Schema angewandt und um einen Grad reduziert.

Finde dazu zunächst wieder durch Probieren eine weitere Nullstelle. In diesem Beispiel liegt eine weitere Nullstelle bei . Stelle jetzt die Tabelle für das Horner-Schema auf und rechne die Werte aus.


Du erhältst nach der Reduktion des Polynoms ein Polynom zweiten Grades:

Verwende zum Lösen der quadratischen Gleichung die Mitternachtsformel oder p-q-Formel:

Im nachfolgenden Schaubild siehst Du die Funktion und die ermittelten Nullstellen , , und .

Horner-Schema Berechnete Nullstellen einer Polynomfunktion StudySmarterAbbildung 3: Polynomfunktion mit Nullstellen

Zeit, Dein Wissen bei einer Übungsaufgabe zu testen!

Horner-Schema – Aufgaben

Frage Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin gerne, ob ihr eine Formelsammlung benutzen dürft. Zur Berechnung der Nullstellen kannst Du dort die jeweiligen Formeln nachschlagen.

Aufgabe 1

Verringere den Grad der Funktionmit dem Horner-Schema auf Grad 3. Nutze dafür die Stelle .

Lösung

Eine Stelle ist bereits vorgegeben. Mit dieser kann die Tabelle zum Horner-Schema aufgestellt werden.

Der Koeffizient vor ist in diesem Fall Null.

Fülle die restliche Tabelle nach dem Lösungsschema aus und ermittle somit die Koeffizienten des reduzierten Polynoms.

Wie Du siehst, steht in der letzten Zeile der letzten Spalte keine Null. Das bedeutet, Du hast noch einen Rest, welchen Du auch wieder mit in die Funktion aufnehmen musst. Schreibe hierzu einfach die letzte Zahl als Zähler in den Bruch mit dem Divisor .

Die verringerte Funktion lautet: .

In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch mehr Übungsaufgaben zur Anwendung des Horner-Schemas.

Horner-Schema – Das Wichtigste

  • Das Horner-Schema ist ein Verfahren, das bei einer ganzrationalen Funktion als Hilfe zur Berechnung von Nullstellen und von Funktionswerten genutzt werden kann.
  • Durch das Horner-Schema wird der Grad der Polynomfunktion schrittweise verringert.
  • Für eine Polynomfunktion gilt das allgemeine Schema in der Tabelle (mit Nullstelle ):

  • Merke: Nach unten addieren und nach schräg oben multiplizieren.

Nachweise

  1. Papula, Lothar (2000). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
  2. Polya, G. und Szego, G. (1954). Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Häufig gestellte Fragen zum Thema Horner-Schema

Durch Ausprobieren wird zunächst eine Nullstelle x0 der ganzrationalen Funktion f(x) ermittelt. Die Funktion f(x) wird dann durch den Ausdruck (x-x0) geteilt, um den Grad der Funktion f(x) zu verringern. 

Dazu werden die Koeffizienten in einer Tabelle in absteigender Reihenfolge aufgelistet und zudem auch die Nullstelle x0. Das Schema ergibt die Koeffizienten des reduzierten Polynoms. 

Wird eine ganzrationale Funktion f(x) durch einen Ausdruck (x-x0) geteilt, so kann das Horner-Schema angewandt werden. Durch Anwendung des Horner-Schemas wird der Grad der Funktion f(x) reduziert und es ergibt sich eine reduzierte Funktion.

Das Horner-Schema ist ein Verfahren, das bei einer ganzrationalen Funktion f(x) als Hilfe zur Berechnung von Nullstellen und von Funktionswerten f(x0) genutzt werden kann. Dabei wird der Grad der Funktion f(x) reduziert. 

Finales Horner-Schema Quiz

Frage

Gib an, durch welchen Ausdruck eine ganzrationale Funktion  geteilt wird, um das Horner-Schema anzuwenden.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Horner-Schema kann immer verwendet werden, wenn durch Terme geteilt wird, welche die Form haben.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe ausführlich die Vorgehensweise beim Horner-Schema.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Schritt: Schreibe die Koeffizienten des Ausgangspolynoms in absteigender Reihenfolge in die erste Zeile der Tabelle. 
  2. Schritt: Ziehe den ersten Koeffizienten in die unterste Zeile der Spalte des ersten Koeffizienten. 
  3. Schritt: Multipliziere den ersten Koeffizienten mit der Nullstelle und schreibe das Ergebnis in die Zeile unter den zweiten Koeffizienten.
  4. Schritt: Addiere das Ergebnis der Multiplikation mit dem zweiten Koeffizienten und schreibe das Ergebnis in die letzte Zeile der Spalte des zweiten Koeffizienten. 
  5. Schritt: Führe die Vorgehensweise bis zum Ende der Tabelle fort. Die Zahl in der letzten Zeile der Spalte des letzten Koeffizienten ist der Rest . Die anderen Zahlen sind die Koeffizienten des „Restpolynoms“.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was mit dem Horner-Schema berechnet werden kann. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das Horner-Schema ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten zu erleichtern, also eine Alternative zur Polynomdivision. Außerdem dient es der Nullstellenberechnung.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Alternative es zur Polynomdivision gibt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das Horner-Schema ist eine einfache Alternative zur Polynomdivision.

Frage anzeigen

Frage

Eine Tabelle des Horner-Schemas weist folgende Werte auf:



Entscheide, welche Aussagen zutreffen. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion  ist ein Polynom mit Grad 4.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, was die Zahlen der letzten Zeile der Tabelle des Horner-Schemas liefern und schreibe das Ergebnis aus der Tabelle als Funktion heraus:


Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahlen in der letzten Zeile liefern die Koeffizienten des reduzierten Polynoms.


 

Frage anzeigen

Frage

Benenne, was sich mit dem Horner-Schema neben Koeffizienten eines reduzierten Polynoms noch berechnen lässt.

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem Horner-Schema lassen auch Funktionswerte  an einer beliebigen Stelle  berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, welches Ergebnis das Horner-Schema direkt liefert, ohne weitere Verfahren anzuwenden.

Antwort anzeigen

Antwort

Nullstellen der Funktion

Frage anzeigen

Frage

Gib an, in welcher Form ein Rest in der reduzierten Funktion angegeben werden muss, wie beispielsweise in folgender Tabelle:


Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rest wird als Bruch dargestellt. So lautet die reduzierte Funktion:


 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt wird und entscheide am folgenden Beispiel, wie viele Nullstellen die Polynomfunktion höchstens besitzen kann:



Antwort anzeigen

Antwort

Der Grad einer Funktion ist immer der höchste vorkommende Exponent einer Potenz. Außerdem ist der Grad gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen. Beispielsweise ist die Funktion  eine Funktion 4. Grades, da der höchste Exponent eine 4 ist. Sie besitzt höchstens vier Nullstellen.

Frage anzeigen

Frage

Löse die Gleichung durch das Horner-Schema.



Antwort anzeigen

Antwort

Erraten einer Nullstelle ergibt . Mit dem Horner-Schema ergibt sich:




Durch Lösen der quadratischen Gleichung lauten die Nullstellen:


Frage anzeigen

Frage

Entscheide begründet, wie die folgenden Koeffizienten in die Tabelle eingetragen werden müssen, wenn das Horner-Schema angewandt wird.



Antwort anzeigen

Antwort

Die Koeffizienten werden in absteigender Reihenfolge in die Tabelle eingetragen. Da  nicht vorhanden ist und ebenfalls keine Zahl ohne Variable, muss in beiden Fällen die Null eingetragen werden.



Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Nullstellen der Funktion .





Antwort anzeigen

Antwort

Erste Nullstelle durch Probieren finden. Bei wird die Funktion .



Ergebnis:

 


Um die Funktion 2. Grades zu lösen, kann die p-q-Formel oder Mitternachtsformel verwendet werden:



Frage anzeigen

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