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Ableitung trigonometrische Funktionen

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Ableitung trigonometrische Funktionen

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus und Tangens) ableiten kannst. Diese Ableitungen brauchst du bei mehreren Themen, wie zum Beispiel den Extremstellen oder Wendepunkten.

Wenn du dir noch einmal Infos zu den einzelnen trigonometrischen Funktionen holen möchtest, dann schau doch mal in das Kapitel "trigonometrische Funktionen". Dort findest du alles, was du über diese Funktionen wissen musst.

Ableitung trigonometrische Funktionen Übersicht

Die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion kannst du dir als eine Art Kreislauf vorstellen. Dazu kannst du dir folgende Abbildung anschauen:

Ableitung trigonometrischer Funktionen Ableitungskreis StudySmarterAbbildung 1: Ableitungskreis Sinus- und Kosinusfunktion

Wenn du dir diesen Kreislauf merkst, hast du schon einmal einen wichtigen Großteil der Ableitungen verstanden.

Wie der Ableitungskreis zustande kommt, erfährst du im nächsten Abschnitt.

Du kannst dir diesen Kreis auch merken, um die Stammfunktion von Sinus und Kosinus zu bilden. Dazu musst du lediglich die Pfeile gegen den Uhrzeigersinn laufen lassen.

Ableitung der Sinusfunktion

Die Ableitung der Sinusfunktion kennst du schon aus dem Ableitungskreis. Halten wir das Ganze noch einmal mathematisch fest:

Die Ableitung der Sinusfunktion lautet:

Ableitung trigonometrische Funktionen Ableitung Sinus StudySmarter

Wenn du erfahren möchtest, wie die Ableitung der Sinusfunktion zustande kommt, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Die Ableitung kannst du dir mit Hilfe des Differentialquotienten herleiten.

Damit du dafür gut vorbereitet bist, solltest du die Artikel Differentialquotient und Additionstheoreme beherrschen.

Die Ableitung ist mit Hilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert:

Setzt du nun die Sinusfunktion ein, erhältst du folgenden Ausdruck:

An dieser Stelle musst du das Additionstheorem des Sinus' anwenden.

Additionstheorem Sinus: .

Dann erhältst du Folgendes:

Nun kannst du zuerst einmal diesen Ausdruck vereinfachen und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden:

Nun müsstest du für beide Ausdrücke den Grenzwert bilden. Da dies an dieser Stelle zu weit führen würde, musst du folgenden beiden Werten einfach glauben:

Damit erhältst du folgende Ableitung für die Sinusfunktion:

Ableitung der Kosinusfunktion

Durch den Ableitungskreis kennst du sowohl die Ableitung der Sinus- als auch Kosinusfunktion. Auch diese kannst du jetzt noch mathematischer formulieren:

Die Ableitung der Kosinusfunktion lautet:

Wenn du erfahren möchtest, wie die Ableitung der Kosinusfunktion zustande kommt, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Die Ableitung kannst du dir mit Hilfe des Differentialquotienten herleiten.

Damit du dafür gut vorbereitet bist, solltest du die Artikel Differentialquotient und Additionstheoreme beherrschen.

Die Ableitung ist mit Hilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert:

Setzt du nun die Kosinusfunktion ein, erhältst du folgenden Ausdruck:

An dieser Stelle musst du das Additionstheorem des Kosinus' anwenden.

Additionstheorem Kosinus: .

Dann erhältst du Folgendes:

Nun kannst du zuerst einmal diesen Ausdruck vereinfachen und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden:

Nun müsstest du für beide Ausdrücke den Grenzwert bilden. Da dies an dieser Stelle zu weit führen würde, musst du folgenden beiden Werten einfach glauben:

Damit erhältst du folgende Ableitung für die Kosinusfunktion:

Ableitung der Tangensfunktion

Leider sagt der Ableitungskreis nichts über die Ableitung der Tangensfunktion aus.

Die Ableitung der Tangensfunktion lautet:

Falls du dich fragst, wie die Ableitung der Tangensfunktion zustande kommt, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Die Tangensfunktion kannst du wie folgt umschreiben:

Wenn du diese Funktion mit Hilfe der Produktregel ableitest, erhältst du folgende Ableitung:

Du kannst die Gleichung auch noch wie folgt umformen:

Als kleine Erinnerung: .

Daraus ergibt sich dann folgende Ableitung:

2(x)

Damit hast du beide Ableitungen hergeleitet.

Super, jetzt kennst du schon mal alle Ableitungen der reinen trigonometrischen Funktionen. Leider hast du in vielen Aufgaben nicht die reine Version der trigonometrischen Funktion vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern.

Ableitungen der erweiterten trigonometrischen Funktionen

Interessanter sind die Ableitungen der erweiterten trigonometrischen Funktionen mit den Parametern. Hilfreich könnte es sein, wenn du dir noch einmal unseren Artikel zu den Ableitungsregeln anschaust. Insbesondere die Kettenregel solltest du parat haben!

Da du in der Schule hauptsächlich die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion benötigst, werden hier nur diese beiden betrachtet.

Zur Erinnerung:

Ableitung der erweiterten Sinusfunktion bestimmen

Berechnen sollst du die Ableitung der erweiterten Sinusfunktion.

Um die Kettenregel anzuwenden, bildest du zuerst die innere Ableitung der Funktion . Da es sich bei den Parametern um eine reelle Zahl handelt, lautet die Ableitung der Funktion wie folgt:

Dazu hilft es dir, wenn du nun noch die erweiterte Sinusfunktion umschreibst:

Zusätzlich brauchst du noch die Ableitung der äußeren Funktion. Diese entspricht der Sinusfunktion. Damit musst du lediglich den reinen Sinus ableiten. Nun kannst du die gesamte Ableitung der erweiterten Sinusfunktion betrachten:

Setzt du nun die Funktionen und ein, erhältst du folgende Ableitung:

Gut gemacht, wende doch gleich mal die erlernte Ableitung an einem Beispiel an:

Aufgabe 1

Bilde die erste Ableitung der Funktion mit .

Lösung

Zuerst benötigst du die innere Ableitung :

Aus der Sinusfunktion wird durch das Ableiten die Kosinusfunktion, dementsprechend erhältst du folgende Lösung:

Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion bestimmen

Berechnen sollst du die Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion .

Um die Kettenregel anzuwenden, bildest du wieder zuerst die innere Ableitung der Funktion . Die Ableitung der Funktion lautet wie folgt:

Dazu kann es für dich wieder hilfreich sein, wenn du die erweiterte Kosinusfunktion umschreibst:

Zusätzlich brauchst du wieder die Ableitung der äußeren Funktion. Diese entspricht der Kosinusfunktion. Damit musst du lediglich den reinen Kosinus ableiten. Nun kannst du wieder die gesamte Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion betrachten:

Setzt du nun die Funktionen und ein, erhältst du folgende Ableitung:

Super, jetzt kennst du auch die Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion. Wende auch hier zuerst einmal dein neu erlerntes Wissen an:

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung der Funktion mit .

Lösung

Zuerst benötigst du die innere Ableitung :

Aus der Kosinusfunktion wird durch das Ableiten die negative Sinusfunktion. Also erhältst du folgende erste Ableitung :

Zweite und dritte Ableitung der erweiterten trigonometrischen Funktion

Die zweite und dritte Ableitung der erweiterten Sinus- und Kosinusfunktion brauchst du für Hoch- und Wendepunkte. Da sich diese genau wie die erste Ableitung bilden, brauchst du diese nicht unbedingt separat zu betrachten. Falls du diese dennoch betrachten willst, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Wenn die Parameter bei der Sinus- und Kosinusfunktion gleich sind und es existiert bei der Kosinusfunktion ein Extrempunkt, so existiert bei der Sinusfunktion eine Nullstelle und umgekehrt.

Zweite Ableitung der erweiterten Sinusfunktion

Berechnen sollst du die zweite Ableitung der erweiterten Sinusfunktion und damit die Ableitung von .

Dies machst du wieder nach demselben Prinzip wie bei der Ableitung. Du wendest die Kettenregel mit der inneren Ableitung von an. Damit ergibt sich Folgendes:

Dritte Ableitung der erweiterten Sinusfunktion

Berechnen sollst du nun die dritte Ableitung der erweiterten Sinusfunktion und damit die Ableitung von .

Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich folgende dritte Ableitung:

Zweite Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion

Berechnen sollst du die zweite Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion und damit die Ableitung von .

Du wendest wieder die Kettenregel an. Hierbei ist die innere Funktion und die dazugehörige Ableitung :

Dritte Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion

Berechnen sollst du nun die dritte Ableitung der erweiterten Kosinusfunktion und damit die Ableitung von .

Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich folgende dritte Ableitung:

Ableitung trigonometrische Funktionen Tabelle

Als Abschluss kannst du dir noch die folgende Tabelle als Zusammenfassung anschauen:

Ableitung der reinen Funktion
Ableitung der erweiterten Funktion
Zweite Ableitung der erweiterten Funktion
Dritte Ableitung der erweiterten Funktion

Du musst dir die Ableitungen für die erweiterten Funktionen nicht auswendig merken. Du kannst jeweils die Ableitungsregeln bei einer gegebenen Funktion anwenden. Falls du allerdings Probleme bei solchen Ableitungen hast, kannst du dir auch die Ableitungen merken.

Ableitung trigonometrische Funktionen – Übungen

Um die Ableitungsregeln noch etwas zu verinnerlichen, kannst du die folgende Aufgabe betrachten:

Aufgabe 3

Berechne die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion mit .

Lösung

Du kannst nun ganz einfach die Ableitungen aus der obigen Tabelle nutzen oder du leitest zur Übung die Funktion selbstständig ab. Hier findest du die Ableitungen mit mehreren Schritten.

Da du für alle Ableitungen die innere Ableitung benötigst, schreib dir diese zuerst raus:

Die erste Ableitung kannst du dann wie folgt bilden:

Die zweite Ableitung lautet wie folgt:

Die dritte Ableitung kannst du dann folgendermaßen bilden:

Du kannst dir nun auch noch ein Beispiel anhand einer Sinusfunktion anschauen, um auch hierbei die Ableitungen zu verinnerlichen:

Aufgabe 4

Berechne die erste, zweiten und dritte Ableitung der Funktion mit .

Lösung

Du kannst dich wieder entscheiden, ob du die Ableitungen aus der Tabelle nutzt oder die Funktion selbst ableitest.

Schreib dir wieder zuerst die innere Ableitung heraus:

Die erste Ableitung lautet wie folgt:

Die zweite Ableitung kannst du wie folgt bilden:

Die dritte Ableitung kannst du folgendermaßen berechnen:

Ableitung Sinus Kosinus Tangens Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ableitung trigonometrische Funktionen

Die Ableitung der Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist f'(x)=cos(x).

Die Ableitung der Kosinusfunktion f(x)=cos(x) ist f'(x)=-sin(x).

Die Ableitung der Tangensfunktion f(x)=tan(x) ist f'(x)=1/cos²(x).

Die Ableitung der Sinusfunktion ist der Kosinus. Die Ableitung der Kosinusfunktion ist der negative Sinus.

Finales Ableitung trigonometrische Funktionen Quiz

Frage

Mit welchem Hilfsmittel lässt sich die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion herleiten?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit Hilfe des Differentialquotienten.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du den Kosinus ableitest erhältst du den Sinus.

Frage anzeigen
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