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Mittlere Änderungsrate

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Mathe

Eine sehr zentrale Rolle bei der Differenzialrechnung, also dem Ableiten von Funktionen, spielt der Differenzenquotient sowie die mittlere Änderungsrate. Bei nicht-linearen Funktionen lässt sich die Steigung nicht so einfach ablesen. Um diese trotzdem von einer differenzierbaren Funktion bestimmen zu können, verwenden wir die mittlere Änderungsrate und den Differenzenquotient. Das Thema kann dem Fach Mathematik zugeordnet werden.

Der Differenzenquotient und die mittlere Änderungsrate

Wir wissen, dass bei einer linearen Funktion die Steigung leicht abzulesen ist. Sie entspricht dem Wert des Koeffizienten m. Bei einer nicht-linearen Funktion gestaltet sich das schwieriger. Mithilfe der Differenzenquotienten und der mittleren Änderungsrate kannst du die Steigung einer nicht-linearen Funktion berechnen. Die ist nämlich gar nicht so schwer, wie es auf den ersten Blick erscheint.

Die Steigung einer Funktion f(x) an der Stelle entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von f durch den Punkt .

Die mittlere Änderungsrate zwischen den zwei Punkten P und Q einer Funktion, ist die Steigung der Sekante s, welche durch diese beiden Punkte der Funktion läuft. Die Steigung der Sekante wird als mittlere Änderungsrate auf dem Intervall []angegeben.

Für diese Steigung ergibt sich der sogenannte Differenzenquotient. Der Differenzenquotient kann also geometrisch als Steigung der Sekante s durch die Graphenpunkte interpretiert werden.

Für die Steigung ergibt sich der sog. Differenzenquotient:

Beispielaufgabe

Im folgenden Beispiel wird nach der mittleren Änderungsrate gefragt. Diese wird oft gesucht, wenn nach der Durchschnittsgeschwindigkeit, dem durchschnittlichen Wachstum etc. gefragt ist. Dabei wird immer ein Intervall, also ein bestimmter Zeitraum, indem das Wachstum betrachtet wird, angegeben.

Das Wachstum einer Blume kann mit beschrieben werden. f(x), also y, gibt die Höhe in cm an und x die Dauer in Wochen. Wie stark wächst die Blume im Zeitraum [0;5]?

Zuerst berechnen wir f(x) und f(), indem wir x und in die Funktion einsetzen.

Die Blume wächst also in den ersten 5 Wochen ca. 0,48 cm.

Zur Wiederholung: Wann ist eine Funktion differenzierbar?

Eine reelle Funktion ist an der Stelle differenzierbar, wenn sie an dieser Stelle stetig ist, also wenn der Graph der Funktion dort keine Ecken hat. Nur dann lässt sich im Punkt eindeutig eine Tangente legen. Die Funktion hat an dieser Stelle eine eindeutige Ableitung.

Wann ist eine Funktion stetig?

Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn du die Funktion „ohne Absetzen“ oder „ohne Sprünge“ zeichnen kannst.

Mit einer dieser Optionen kannst du rechnerisch die Differenzierbarkeit einer Funktion an der Stelle nachweisen:

  • Die Existenz des linksseitigen Differenzialquotienten:

Hier nähern wir uns an die Stelle von der linken Seite an.

  • Die Existenz des rechtsseitigen Differenzialquotienten: Hier nähern wir uns an die Stelle von der rechten Seite an.
  • Die Gleichheit beider Grenzwerte
  • Die Stetigkeit von f an der Stelle

Allgemein lässt sich sagen:

Die rationalen Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Logarithmusfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen sind an jeder Stelle ihrer maximalen Definitionsmenge differenzierbar.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit beschreiben unterschiedliche Eigenschaften reeller Funktionen. Jedoch kann man sagen:

Wenn eine Funktion an einer Stelle ihrer Definitionsmenge differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig. Aber nicht jede an einer Stelle ihrer Definitionsmenge stetige Funktion ist dort auch differenzierbar. Beispielsweise ist die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar.

Differenzenquotient ≠ Differenzialquotient

Du hast sicher schon einmal vom Differenzialquotienten gehört. Dieser klingt sehr ähnlich, wie der Differenzenquotient, ist aber nicht das Gleiche. Der Differenzenquotient hängt mit der mittleren Änderungsrate zusammen, während der Differenzialquotient mit der lokalen bzw. momentanen Änderungsrate zusammenhängt.

Hier fassen wir dir das wichtigste zu diesem Thema zusammen: Wenn der Punkt Q immer näher an den Punkt P heran rückt, bis er ihn grenzwertig erreicht, ergibt sich die momentane Änderungsrate. Für die Tangentensteigung und damit die momentane Änderungsrate erhält man:

Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient und entspricht der 1.Ableitung an der Stelle.

Beispielaufgabe

Die folgende Beispielaufgabe verdeutlicht den Unterschied zwischen der mittleren und der momentanen Änderungsrate.

Bezeichnet x die Zeit in min (unser betrachteter Zeitraum ist zwischen 3 und 10 min) seit Beobachtungsbeginn und y die Anzahl von Keimen im Wasser (bei Minute 3 haben wir 210 Keime und bei Minute 10 560 Keime), so gibt die mittlere Änderungsrate an, um welche Anzahl (f(x) - ()) sich die Keime im betrachteten Zeitraum (x-) vermehren (dann ist >0 und falls sie sich verringern sollten, gilt<0).

Die mittlere Änderungsrate erhalten wir durch einsetzen der Werte in den Differenzenquotient:

Im Zeitraum zwischen 3 und 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn werden es somit im Durchschnitt pro Minute 50 Keime mehr.

Die momentane Änderungsrate gibt an, um wie viel die Anzahl der Keime zum Zeitpunkt anwächst oder schrumpft. Um diese zu erhalten nutzen wir den Differenzialquotienten.

Im Zeitpunkt nimmt die Anzahl der Keime pro Minute um 90 zu.

Unser Tipp für Euch

Schau dir unseren Artikel zur lokalen Änderungsrate bzw. dem Differenzialquotient an und vergleiche die beiden Artikel. So werden dir die Unterschiede zwischen dem Differenzenquotient und dem Differenzialquotient bzw. der mittleren Änderungsrate und der lokalen Änderungsrate bewusst und du verstehst das Thema “mittlere Änderungsrate” besser. Eigentlich ist dieses Thema nämlich gar nicht so schwer!

Mittlere Änderungsrate - Das Wichtigste auf einen Blick

Die mittlere Änderungsrate beschreibt wie schnell und wie stark sich etwas in einer bestimmten Periode ändert. Somit kann man beispielsweise Durchschnittsgeschwindigkeiten oder mittlere Steigungen damit berechnen. Dies tust du durch den Differenzenquotienten.

Die mittlere Änderungsrate kannst du dir grafisch als Sekantensteigung zwischen zwei Punkten vorstellen. Diese zeigt dir dann grafisch die Steigung bzw. die durchschnittliche Zu- oder Abnahme einer Funktion in diesem Intervall.

Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem gegebenem Intervall. Diese lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten berechnen.

Die maximale Änderungsrate ist die extremste Steigung einer Funktion. Sie tritt immer an den Wendestellen einer Funktion auf. Diese kann dann entweder negativ oder positiv sein, wodurch du dann eine minimale oder maximale Änderungsrate hast.

Ja, die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung, welche durch den Differenzenquotienten errechnet wird.

Die mittlere Änderungsrate berechnest du mithilfe des Differenzenquotienten. Dort setzt du an entsprechender Stelle deine Zahlenwerte ein. Die Zahl die du erhältst, ist deine mittlere Änderungsrate. 

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