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Mittlere Änderungsrate

Mittlere Änderungsrate

Ein Auto fährt aus der Stadt heraus auf eine Landstraße. Dabei steigt seine Geschwindigkeit langsam an. Nach \(\text{6 min}\) hat es \(\text{9 km}\) Strecke hinter sich gelegt. Welche Geschwindigkeit hatte das Auto die Fahrt über? Kann dies genau bestimmt werden?

Ein Auto fährt selten mit konstanter Geschwindigkeit. Daher kann die Geschwindigkeit eines Autos in einer bestimmten Zeit nur durchschnittlich ermittelt werden. Dabei hilft die mittlere Änderungsrate. In dieser Erklärung kannst Du lernen, wie Du die mittlere Änderungsrate im Intervall berechnen kannst.

Damit Du alles, was in dieser Erklärung auftaucht, verstehen kannst, solltest Du wissen, was eine Funktion ist und was unter einer Sekante verstanden wird.

Mittlere Änderungsrate – Differenzenquotient: berechnen

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.

Mittlere Änderungsrate Definition

Rein mathematisch lässt sich die mittlere Änderungsrate einer Funktion so definieren:

Die mittlere Änderungsrate, auch durchschnittliche Änderungsrate genannt, beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion.

Ist also eine Funktion gegeben, die die zurückgelegte Strecke eines Autos in einer bestimmten Zeit darstellt, so kann mithilfe der mittleren Änderungsrate die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos in einem beliebigen Zeitabschnitt bestimmt werden.

Auf folgender Abbildung siehst Du den Graphen einer Funktion, die die oben beschriebene Autofahrt darstellt. Dabei ist t die Zeit in Minuten und y die zurückgelegte Strecke in Kilometern. Die Steigung m der Sekante s ist hierbei die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall 0 bis 9, also der Strecke von der Einfahrt bis zum 9. Kilometer.

Mittlere Änderungsrate Sekante StudySmarterAbb. 1 – Autofahrt und Sekante

Mittlere Änderungsrate Formel

Um die Steigung der Sekante auszurechnen, gibt es eine bestimmte Formel. Diese wird Differenzenquotient genannt, da sie ein Quotient aus den Differenzen der jeweiligen Zeit und Strecke des Start- und Endpunkts ist.

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a,b]\) kann mit dem sogenannten Differenzenquotient berechnet werden: \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Diese Formel beschreibt dabei genau Herleitung der Steigung der Sekante mit dem Steigungsdreieck:

Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient StudySmarterAbb. 2 – Herleitung des Differenzenquotienten

Die Punkte \(A\,(a|f(a))\) und \(B\,(b|f(b))\) bilden die Schnittpunkte der Sekante mit der Funktion \(f\). Die Steigung der Sekante wird berechnet, indem die Höhe des Steigungsdreiecks (\(f(b)-f(a)\)) durch die Länge des Dreiecks (\(b-a\)) geteilt wird.

Mittlere Änderungsrate im Intervall berechnen Beispiel

Damit Du direkt lernen kannst, wie der Differenzenquotient angewendet werden kann, soll jetzt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf der gesamten Strecke ausgerechnet werden. Die Punkte können dabei am Graphen abgelesen oder der Einleitung entnommen werden.

Gegeben sind die Punkte \(A\,(0|0)\) und \(B\,(6|9)\). Die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f\) auf dem Intervall \([0,9]\) berechnest Du mit dem Differenzenquotienten: \[m=\frac{9-0}{6-0}=\text{1,5}\]

Die Steigung der Sekante beträgt also \(\text{1,5}\). Somit ist die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf dieser Strecke \(\text{1,5 km/h}\).

Es gibt auch die Möglichkeit, das Intervall kleiner zu wählen. Du kannst zum Beispiel die durchschnittliche Geschwindigkeit innerhalb der Minuten 4 und 9 berechnen.

Das Intervall lautet jetzt \([4,9]\) und die Sekante liegt anders:

Mittlere Änderungsrate Beispiel StudySmarterAbb. 3 – Beispiel mittlere Änderungsrate

Hier kannst Du auch wieder die Punkte \(A\,(4|4)\) und \(B\,(9|6)\) ablesen. Diese setzt Du dann in den Differenzenquotienten ein: \[m=\frac{9-4}{6-4}=\frac{5}{2}=\text{2,5}\]

Die Steigung der Sekante und damit die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der vierten und neunten Minute beträgt also \(\text{2,5 km/h}\).

Die mittlere Änderungsrate kann auch rein mathematisch anhand einer gegebenen Funktion und eines Intervalls bestimmt werden.

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=2x^3-5\). Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-1,2]\).

Zuerst berechnest Du die Funktionswerte für \(x=-1\) und \(x=2\): \begin{align}f(-1)&=2\cdot (-1)^3-5\\ &=-2-5\\&=-7 \\[0.2cm] f(2)&=2\cdot 2^3-5\\&=16-5\\&=11\end{align}

Nun kennst Du also die Punkte \(A\,(-1|-7)\) und \(B\,(2|11)\) und kannst die Werte in den Differenzenquotienten einsetzen: \[m=\frac{11-(-7)}{2-(-1)}=\frac{18}{3}=\text{6}\]

Die Sekantensteigung und damit die mittlere Änderungsrate beträgt auf diesem Intervall also 6.

Mittlere Änderungsrate – Grenzwert des Differenzenquotienten

Was passiert, wenn Du wissen möchtest, welche Geschwindigkeit das Auto aus obigem Beispiel genau in einer beliebigen Minute \(a\) hatte?

Dafür wird ein Intervall \([a,b]\)gewählt, bei dem die Grenze \(b\) immer weiter an \(a\) angenähert wird. Das Intervall wird also immer kleiner, mit dem Ziel, so nah an den Punkt \(A\) heranzukommen wie möglich, damit die Sekante zur Tangente wird und die Funktion nur noch in einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist dann die momentane Änderung der Funktion in dem Punkt.

Dieses Vorgehen ist möglich mit dem Differentialquotienten. Er bildet so gesehen den Grenzwert des Differenzenquotienten:

Der Grenzwert \(b\rightarrow a\) des Differenzenquotient bildet den Differentialquotienten: \[\lim_{a\rightarrow b}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Mit ihm berechnest Du die momentane Änderungsrate einer Funktion an der Stelle \(a\).

Weiteres zur momentanen Änderungsrate einer Funktion findest Du in der Erklärung Differentialquotient.

Mittlere Änderungsrate – Aufgaben

Teste Dein Wissen direkt an den folgenden Aufgaben!

Aufgabe 1

Berechne die mittlere Änderungsrate der abgebildeten Funktion \(f\) im Intervall \([3,7]\).

Mittlere Änderungsrate Aufgabe 1 StudySmarterAbb. 4 – Aufgabe 1

Lösung

Zuerst liest Du die Funktionswerte der Punkte \(A\) und \(B\) ab. Die Punkte lauten \(A\,(3|3)\) und \(B\,(7|-5)\). Dann setzt Du die gegebenen Werte in den Differenzenquotienten \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] ein. Du erhältst: \[m=\frac{-5-3}{7-3}=\frac{-8}{4}=-2\]

Die Steigung der Sekante durch die Punkte \(A\) und \(B\) und demnach auch die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall beträgt also \(-2\).

Aufgabe 2

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f(x)=4x^2+2x+3\) im Intervall \([1,3]\).

Lösung

Hier kannst Du die gegebenen Werte direkt in die Formel des Differenzenquotienten einsetzen: \begin{align}m&=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\\[0.2cm] &= \frac{4\cdot 3^2+2\cdot 3+3-(4\cdot 1^2+2\cdot 1+3)}{3-1}\\[0.2cm] &= \frac{45-9}{2}\\[0.2cm] &= 18\end{align}

Die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f(x)=4x^2+2x+3\) im Intervall \([1,3]\) beträgt \(18\).

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=2x^2\) und ein Intervall \([2,b]\). Entscheide, welchen der Werte \(b\) haben müsste, damit die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall genau 10 beträgt.

  1. \(\text{7}\)
  2. \(\text{3}\)
  3. \(\text{2,5}\)

Lösung

Setze die verschiedenen Werte für \(b\) ein und berechne den Differenzenquotienten:

  1. \[m=\frac{2\cdot 7^2-2\cdot 2^2}{7-2} =\frac{98-8}{5} =18\]
  2. \[m =\frac{2\cdot 3^2-2\cdot 2^2}{3-2} =\frac{18-8}{1} =10\quad {\color{lightgreen}✔}\]

Somit ist b. die richtige Lösung und c. muss nicht mehr überprüft werden.

Mittlere Änderungsrate – Das Wichtigste

  • Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion.
  • Die mittlere Änderungsrate einer Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a,b]\) kann mit dem Differenzenquotient berechnet werden: \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
  • Der Grenzwert \(b\rightarrow a\) des Differenzenquotient bildet den Differentialquotienten: \[\lim_{a\rightarrow b}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] Mit ihm berechnest Du die momentane Änderungsrate einer Funktion an der Stelle \(a\).

Nachweise

  1. Walter (2013). Analysis 1. Springer-Verlag.
  2. Danckwerts, Vogel (2005). Elementare Analysis. BoD – Books on Demand.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem gegebenem Intervall. Diese lässt sich mithilfe des Differenzenquotienten berechnen.

Die maximale Änderungsrate ist die extremste Steigung einer Funktion. Sie tritt immer an den Wendestellen einer Funktion auf. Diese kann dann entweder negativ oder positiv sein, wodurch eine minimale oder maximale Änderungsrate gegeben ist.

Ja, die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung, welche mithilfe des Differenzenquotienten berechnet wird.

Die mittlere Änderungsrate m einer Funktion f im Intervall [a,b] wird mithilfe des Differenzenquotienten berechnet: m = (f(b)-f(a)) / (b-a)

Finales Mittlere Änderungsrate Quiz

Frage

Bewerte folgende Aussage: 


Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist wahr.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie die mittlere Änderungsrate graphisch interpretiert werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a,b]\) kann mit dem sogenannten Differenzenquotient berechnet werden. 


Nenne die Formel des Differenzenquotienten.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Differenzenquotient lautet \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe kurz, woher die Formel des Differenzenquotienten kommt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante zweier Punkte A und B der Funktion. Die Steigung der Sekante kann mithilfe des Steigungsdreiecks berechnet werden.  \(f(b)-f(a)\) ist dabei die Höhe des Steigungsdreiecks, \(b-a\) die Länge. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Unterschied des Differenzenquotienten zum Differentialquotienten. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Differentialquotient ist der Grenzwert \(a \rightarrow b\) des Differenzenquotienten. Er macht es möglich, die Steigung der Tangente an einem Punkt der Funktion zu bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Differentialquotient beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage: 


Hast Du eine Funktion gegeben, die die zurückgelegte Strecke eines Autos in einer bestimmten Zeit darstellt, so kannst Du mithilfe der mittleren Änderungsrate die genaue Geschwindigkeit des Autos zu jedem Zeitpunkt herausfinden.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Du kannst mithilfe der mittleren Änderungsrate die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos in einem beliebigen Zeitabschnitt bestimmen.

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Frage

Ein Steckling wird in die Erde gepflanzt und ist \(\text{7 cm}\) hoch. Nach zwei Monaten ist er doppelt so groß. 


Berechne, wie schnell er durchschnittlich in dieser Zeit gewachsen ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Parameter \(t\) beschreibt die Zeit in Monaten. Zum Zeitpunkt \(t=0\) ist die Pflanze \(\text{7 cm}\) hoch. Zum Zeitpunkt \(t=2\) ist die Pflanze \(\text{14 cm}\) hoch. Diese Werte kannst Du nun in den Differenzenquotienten einsetzen:

 \[m=\frac{14-7}{2-0}=\frac{7}{2}=\text{3,5}.\]

Der Steckling ist also pro Monat durchschnittlich \(\text{3,5 cm}\) gewachsen.


Frage anzeigen

Frage

Fülle den Lückentext: 


Die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem ________ kann mit dem Differenzenquotient berechnet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Intervall

Frage anzeigen

Frage

Nenne, wie die mittlere Änderungsrate auch genannt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Die mittlere Änderungsrate wird auch durchschnittliche Änderungsrate genannt.

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Frage

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f(x)=\frac{2}{x}\) im Intervall \([1,4]\).

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst die gegebenen Werte direkt in die Formel des Differenzenquotienten einsetzen: \begin{align}m&=\frac{f(4)-f(1)}{4-1} \\[0.2cm] &= \frac{\frac{2}{4}-\frac{2}{1}}{4-1} \\[0.2cm] &= \frac{\text{0,5}-1}{3} \\[0.2cm] &= \frac{\text{-0,5}}{3}\\[0.2cm] &\approx -0,167\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Fülle den Lückentext:


Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung der ________ zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Sekante

Frage anzeigen

Frage

Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f(x)=4x^2\) im Intervall \([4,8]\).

Antwort anzeigen

Antwort

Hier kannst Du die gegebenen Werte direkt in die Formel des Differenzenquotienten einsetzen: \begin{align}m&=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}\\[0.2cm] &= \frac{4\cdot 8^2-4\cdot 4^2}{8-4}\\[0.2cm] &= \frac{256-64}{4} \\[0.2cm] &= \frac{192}{4}\\[0.2cm] &= 48\end{align}


Die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f\) im Intervall \([8,4]\) beträgt \(48\).

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage: 


Die mittlere Änderungsrate einer linearen Funktion \(y=mx+b\) ist auf jedem Intervall gleich \(m\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist wahr. Die lineare Funktion besitzt nur eine Steigung \(m\). Diese entspricht der Sekantensteigung und damit der mittleren Änderungsrate.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind zwei Punkte \(A\,(1|2)\) und \(B\,(\text{1,5}|\text{0,5})\) auf einer Funktion \(f\). Berechne die Sekantensteigung der Sekante durch diese Punkte.

Antwort anzeigen

Antwort

Setze die gegebenen Werte in die Formel des Differenzenquotienten ein:\[m=\frac{\text{0,5}-2}{\text{1,5}-1} =\frac{-\text{1,5}}{\text{0,5}} =-3\]Die Sekantensteigung beträgt demnach \(-3\).

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