Verhalten von Funktionen

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Angenommen, Du hast eine Funktion gezeichnet und fragst Dich, wo diese Funktion im Unendlichen hingeht, denn das kannst Du aus einer Zeichnung nicht immer ablesen. Viele Funktionen steigen oder fallen ins Unendliche, die Funktionswerte werden also unendlich groß oder unendlich klein. Aber es gibt Funktionen, die das nicht tun und die ein anderes einzigartiges Verhalten aufweisen.

Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen

Egal, welcheFunktion Du Dir nimmst und diese in ein Koordinatensystem zeichnest, Du kannst Dich immer fragen: Wohin verläuft diese Funktion, wenn ich sehr große, beziehungsweise sehr kleine x-Werte in die Funktion einsetze?

In der folgenden Abbildung siehst Du die klassische Funktion $f (x) = x$ .

Verhalten von Funktionen Ursprungsgerade StudySmarter Abbildung 1: Die Funktion im Koordinatensystem

Wie zu erkennen ist, steigt die Funktion immer weiter an. Wenn Du sehr große x-Werte, beispielsweise $x = 1000$ einsetzt, dann bekommst Du auch sehr große Funktionswerte zurück:

$f (1000) = 1000$

Die Frage bleibt dennoch: Wie verläuft die Funktion im Unendlichen?

Wenn Du mehr über das Verhalten von Funktionen im Unendlichen wissen möchtest, dann schau doch im Artikel zum Verhalten von Funktionen im Unendlichen rein!

Das Symbol der Unendlichkeit

Unendlichkeit ist keine Zahl, daher kannst Du die Unendlichkeit nicht einfach in die Funktionsgleichung einsetzen, da in Funktionen nur Zahlen eingesetzt werden können.

Man spricht von Unendlichkeit, wenn eine Menge nicht endlich ist. Dabei wird in der Mathematik die Unendlichkeit mit dem Unendlichkeitssymbol abgekürzt: ∞

Die Definition besagt also, dass unendlich so groß beziehungsweise klein ist, dass Du es nicht als Zahl aufschreiben kannst.

Verhaltens einer Funktion im Unendlichen beschreiben

Im obigen Beispiel hast Du schon festgestellt, dass die Funktion im positiven Unendlichen immer weiter ansteigt. Dann spricht man davon, dass die Funktion für plus unendlich gegen unendlich verläuft und für minus unendlich gegen minus unendlich verläuft.

Dafür gibt es eine mathematische Schreibweise. Dafür benutzt Du den sogenannten Grenzwert, auch Limes genannt.

Der Grenzwert einer Funktion für x gegen plus oder minus unendlich lässt sich folgendermaßen darstellen:

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$

Dabei steht das lim in der Formel für den Limes und gibt an, welcher Wert angenähert werden soll. Du betrachtest hier die Werte für unendlich große beziehungsweise kleine x-Werte.

Wenn Du also ausdrücken möchtest, dass eine Funktion für steigende x-Werte immer weiter, also bis ins Unendliche wächst, dann schreibst Du:

$\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$

So ist das beispielsweise bei der Funktion $f (x) = x$ der Fall.

Auf der anderen Seite, bei der gegebenen Funktion $f (x) = x$ , werden die Funktionswerte immer kleiner, wenn die x-Werte kleiner werden. Die Funktion verläuft für negative x-Werte gegen minus unendlich.

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$

Bisher wurde nur der Fall betrachtet, dass die Funktionen unendlich groß beziehungsweise unendlich klein werden, aber das ist nicht immer der Fall. Funktionen können auch gegen ganz konkrete Zahlen wie 0 oder 1 verlaufen.

Die meisten Funktionen, die Du in der Schule behandelst, verlaufen gegen plus oder minus unendlich.

Im Folgenden findest Du noch ein Beispiel, in dem der Grenzwert unendlich ist.

Aufgabe

Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen!

$f (x) = x^{3}$

Lösung

Wenn Du einen sehr großen Wert für x einsetzt, der positiv ist, dann wirst Du einen noch viel größeren Wert herausbekommen. Daher verläuft die Funktion dann gegen plus unendlich. Analog für negative x-Werte.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} (x^{3}) & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} (x^{3}) & = & - \infty \end{array}$

Der endliche Grenzwert von Funktionen bestimmen

Funktionen, die sich einem bestimmten Funktionswert nähern, haben einen endlichen Grenzwert. Diesen kannst Du aus dem Koordinatensystem ablesen beziehungsweise berechnen.

In der folgenden Abbildung siehst Du eine Funktion, die sich für unendlich große x-Werte immer näher an die y-Achse annähert, diese aber niemals berührt.

Verhalten von Funktionen Endlicher Grenzwert StudySmarter Abbildung 2: Funktion mit endlichem Grenzwert

Du kannst also sagen, dass der endliche Grenzwert dieser Funktion für unendlich große positive x-Werte 0 ist.

Mathematisch geschrieben sieht das dann so aus:

$\lim_{x \to \infty} f (x) = 0$

In der gleichen Abbildung kannst Du aber auch sagen, dass die Funktionswerte unendlich groß und unendlich klein werden, wenn Du Dir x-Werte gegen 0 anschaust. Es wird also nicht nur das Verhalten der Funktion für x gegen plus und minus unendlich betrachtet, sondern auch für beispielsweise 0.

Wenn Du Funktionen auf ihr Verhalten untersuchen sollst, fertige am besten vorher eine Skizze der Funktion an, denn dann weißt Du, worauf Du hinarbeitest!

Mathematisch würdest Du dies nun so aufschreiben:

$\lim_{x \to 0} f (x) = \pm \infty$

Jetzt noch eine kleine Übungsaufgabe dazu:

Aufgabe

Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen!

$f (x) = \frac{1}{x}$

Lösung

Wenn Du sehr große Werte für x einsetzt, dann wird der Nenner immer größer und somit nähert der Bruch sich immer weiter 0 an. Wenn Du große negative Werte für x einsetzt, dann wird der Nenner auch immer größer und nähert sich auch 0 an.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x}) & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} (\frac{1}{x}) & = & 0 \end{array}$

Wenn Du mehr über das Verhalten von Funktionen im Endlichen wissen möchtest, dann schau' doch im Artikel zum endlichen Grenzwert rein!

Du kannst aber mehr beobachten als das Verhalten von Funktionen im Unendlichen bzw. wenn Du die x-Werte gegen bestimmte Werte laufen lässt. Du kannst Du auch mit Funktionen rechnen, also diese miteinander addieren und subtrahieren.

Summe und Differenz von Funktionen

Den zurückgelegten Weg einer Person kannst Du durch eine Funktionsgleichung ausdrücken. Stell Dir vor, dass Du beispielsweise bei einem Marathon den zurückgelegten Weg mehrerer Personen gegeben hast und gefragt wirst, wie weit diese Personen zusammen gelaufen sind.

Zum Glück kannst Du Funktionen miteinander addieren und subtrahieren. Somit sind auch solche Sachverhalte für Dich berechenbar!

Zwei Funktionen können miteinander addiert beziehungsweise subtrahiert werden. Mathematisch schreibst Du dies als:

$f (x) + g (x) = (f + g) (x) f (x) - g (x) = (f - g) (x)$

Dabei musst Du Dich nicht nur auf zwei Funktionen beschränken, sondern kannst auch mehrere Funktionen miteinander addieren. Dazu hier ein Beispiel:

Angenommen, Du bekommst die Aufgabe zu berechnen, wie viel Strecke mehrere Läufer zurückgelegt haben. Der zurückgelegte Weg der entsprechenden Läufer wird durch die folgenden Funktionen beschrieben:

$L_{1} (t) = 2 t L_{2} (t) = 4 t L_{3} (t) = 3 t L_{4} (t) = 8 t$

Dabei gibt die Funktion die erlaufenen Kilometer pro Stunde wieder. Wenn Du nun wissen möchtest, wie weit alle Läufer zusammen nach 2 Stunden gelaufen sind, dann kannst Du den Wert 2 natürlich auch in alle Funktionsgleichungen einsetzen und die Ergebnisse miteinander addieren.

Alternativ kannst Du aber auch die Funktionen zuerst addieren und dann nur die 2 am Ende in der Gesamtfunktion einsetzen:

$L_{g e s} (t) = L_{1} (t) + L_{2} (t) + L_{3} (t) + L_{4} (t) = 2 t + 4 t + 3 t + 8 t = 17 t$

$L_{g e s} (2) = 17 \cdot 2 = 34$

Nach 2 Stunden sind die Läufer zusammen schon 34 km gelaufen!

Wenn Du mehr über das Thema wissen möchtest, dann schau doch im Artikel "Summen und Differenzen von Funktionen" rein!

Verketten von Funktionen

Allgemeiner können Funktionen auch miteinander verkettet werden. Also wird erst die eine Funktion ausgeführt und dann die andere Funktion. So kannst Du beispielsweise erst einen Wert quadrieren und anschließend mit 2 addieren. Das kannst Du in eine Funktion transformieren, damit Du nicht so viele Rechenschritte hast.

Wenn zwei Funktionen miteinander verkettet werden, schreibst Du dies als:

$(f \circ g) (x)$

Dabei ist $f (x)$ die äußere Funktion und $g (x)$ die innere Funktion.

Bei der Ausführung einer Verkettung wird immer erst die innere Funktion ausgerechnet und das Ergebnis wird in die äußere Funktion eingesetzt und von der äußeren Funktion verwendet.

Zugegebenermaßen ist dies sehr theoretisch, also folgendes Beispiel:

Stelle Dir vor, Du hast die folgenden Funktionen gegeben:

$f (x) = 2 x g (x) = \sqrt{x}$

Betrachtet werden soll die Verkettung: $(f \circ g) (x)$

Zuerst ziehst Du also die Wurzel einer gegebenen Zahl und verdoppelst diese anschließend.

Beispielsweise für: $x = 2$

$(f \circ g) (x) = (2 x) \circ (\sqrt{x}) (2) = 2 \cdot \sqrt{2}$

Wenn Du darüber mehr erfahren möchtest, dann lies Dir doch den Artikel zum "Verketten von Funktionen" durch!

Verhalten von Funktionen - Das Wichtigste

Funktionen können einen endlichen oder auch unendlichen Grenzwert besitzen.
Der Grenzwert einer Funktion ist ein Funktionswert, der von der Funktion immer weiter angenähert, aber nie erreicht wird.
Funktionen können miteinander addiert und subtrahiert werden.
Außerdem können Funktion ineinander geschachtelt werden. Man spricht dabei auch von einer Verkettung.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Verhalten von Funktionen

Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen wird über den Grenzwert (Limes) angegeben. Eine Funktion kann gegen plus oder minus unendlich verlaufen, aber auch gegen einen bestimmten Zahlenwert.

Ja, der Grenzwert ganzrationaler Funktionen hängt vom höchsten Exponenten und vom Grad der ganzrationalen Funktion ab.

Das Grenzverhalten gibt Auskunft, wie sich eine Funktion an einer gewissen Stelle verhält. Beispielsweise gibt es Funktionen, die Definitionslücken aufweisen, bei denen man aber durch das Grenzverhalten die Funktion an dieser Stelle trotzdem beschreiben kann.

Finales Verhalten von Funktionen Quiz

Verhalten von Funktionen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Definiere Summenfunktion.

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Antwort

Wenn Du zwei Funktionen f(x) und g(x) addierst, heißt die verknüpfte Funktion Summenfunktion p(x).

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Frage

Definiere Differenzfunktion.

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Antwort

Wenn Du zwei Funktionen f(x) und g(x) voneinander subtrahierst, heißt die neu entstandene Funktion Differenzfunktion p(x).

Frage anzeigen

Frage

Wie heißen die Schritte bei der Bildung von Summen oder Differenzen von Funktionen?

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Antwort

Definieren
Substituieren
Klammern entfernen
Kombinieren

Frage anzeigen

Frage

Welche Gesetze gelten bei der Summe von Funktionen?

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Antwort

Distributivgesetz

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Frage

Welche Gesetze gelten bei der Subtraktion von Funktionen?

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Antwort

Distributivgesetz

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Nullstellen der Differenzfunktion zweier Funktionen?

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Antwort

Die Nullstellen der Differenzfunktion sind die Schnittpunkte zweier Funktionen.

Frage anzeigen

Frage

Wird bei der Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen die untere von der oberen Funktion subtrahiert, oder andersherum?

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Antwort

Die untere Funktion wird von der oberen subtrahiert.

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Frage

Nenne die fünf Möglichkeiten, mit denen Funktionen verknüpft werden können.

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Antwort

Zwei Funktionen können verknüpft werden durch:

Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Verkettung

Frage anzeigen

Frage

Was kann durch das Verknüpfen von zwei Funktionen passieren?

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Antwort

Durch das Verknüpfen von zwei Funktionen können zwei unterschiedliche Dinge passieren:

Aus zwei einfachen Funktionen wird eine komplizierte Funktion
Aus einer komplizierten Funktion werden zwei einfache Funktionen

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Frage

Wie kann das Verketten noch beschrieben werden?

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Antwort

Das Verketten ist eine Art von zwei Funktionen hintereinander am gleichen x-Wert ausführen.

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Frage

Welche Gesetze dürfen bei verketteten Funktionen angewendet werden?

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Antwort

Das Assoziativgesetz.

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Frage

Welche Merkmale haben verkettete Funktionen?

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Antwort

Verkettete Funktionen haben mindestens eines der folgenden Merkmale:

Klammern mit Exponenten
e-Funktionen
Wurzeln
Logarithmen
trigonometrische Funktionen

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Frage

Drücke in Worten aus, wie verkettete Funktionen abgeleitet werden.

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Antwort

Die Ableitung zweier verketteter Funktion besteht aus der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion besteht.

Ableitung = innere Ableitung · äußere Ableitung

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Frage

Wie definieren sich Grenzwerte?

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Antwort

Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht. Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen $\infty$.

Frage anzeigen

Frage

Schreibe auf, wie Du folgendes sprichst: \[\lim_{x\to 2} \frac{1}{x-2}=\infty\]

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Antwort

„Der Grenzwert von der Funktion $\frac{1}{x-2}$ für $x$ gegen $2$ geht gegen Unendlich.“

Frage anzeigen

Frage

Wie nennst Du eine Reihe oder Funktion, welche gegen eine reelle Zahl geht?

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Antwort

konvergent

Frage anzeigen

Frage

Wann benötigst Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert?

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Antwort

bei endlichen Grenzwerten an Definitionslücken

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Frage

Nenne die Produktregel der Rechenregel des Limes.

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Antwort

\[\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to c}f(x)\cdot \lim_{x\to c}g(x)\]

Frage anzeigen

Frage

Wenn für eine Funktion mit Definitionslücke an der Definitionslücke $\lim f(x)=f(x_0)$ dies gilt, dann ist die Funktion...

Antwort anzeigen

Antwort

stetig

Frage anzeigen

Frage

Wie nennst Du den Grenzwert, wenn der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt?

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Antwort

beidseitiger Grenzwert

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Frage

Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x)=\frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}$ gegen null.

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Antwort

Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.

\[\lim_{x\to 0} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\]

Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle $0$.

\[\lim_{x\to 0^-} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\]

$x$	$-1$	$-0{,}5$	$-0{,}1$	$-0{,}01$
$y$	$-0{,}09$	$-0{,}3$	$-2{,}34$	$-24{,}75$

In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle $0$.

\[\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\]

$x$	$1$	$0{,}5$	$0{,}1$	$0{,}01$
$y$	$0{,}67$	$0{,}82$	$2{,}72$	$25{,}25$

Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle $0$ verhalten hat.

\begin{align} &\lim_{x\to 0^-} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}=-\infty \\ &\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}=\infty \end{align}

Damit geht der Graph der Funktion $f(x)=\frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}$ an der Stelle $0$ von links gegen $-\infty$ und von rechts gegen $\infty$.

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Frage

Vereinfache den Limes $\lim_{x\to \infty} 2\frac{x^3\cdot e^{4x}}{5x^2}$ so weit es geht, nach den Limes Rechenregeln.

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Antwort

\[2\frac{\lim_{x\to \infty}x^3\cdot \lim_{x\to \infty}e^{4x}}{\lim_{x\to \infty}5x^2}\]

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Frage

Was wird unter dem Grenzwert einer Reihe verstanden?

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Antwort

Als Grenzwert einer Reihe wird die Folge der Partialsumme $s_n$ als Wert der Reihe bezeichnet.

Es gilt: \[\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}\]

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Frage

Wähle die richtigen Schreibweisen für den Grenzwert.

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Antwort

$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)$

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Frage

Erkläre, wie Du das Verhalten einer Funktion im Unendlichen bestimmst.

Antwort anzeigen

Antwort

Dazu setzt Du in die Funktion eine sehr große oder sehr kleine Zahl (vergleichbar mit plus oder minus unendlich) ein und rechnest sie aus. Das Ergebnis ist der Grenzwert, gegen den die Funktion läuft. Erhältst Du plus oder minus unendlich als Ergebnis, so hat die Funktion keinen Grenzwert.

Frage anzeigen

Frage

Interpretiere folgenden Ausdruck:

\[\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=3\]

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Antwort

Die Funktion läuft für minus unendlich (also nach links) gegen $3$, das heißt es existiert ein Grenzwert bei $y=3$.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wozu der Grenzwert in der Kurvendiskussion benötigt wird.

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Antwort

In der Kurvendiskussion können mit dem Grenzwert Asymptoten gefunden werden. Mit dem Limes gegen unendlich findest Du waagrechte Asymptoten und mit dem Limes gegen einen bestimmten Wert $k$ (der Definitionslücke) findest Du senkrechte Asymptoten.

Frage anzeigen

Frage

Bilde den Grenzwert gegen unendlich von $f(x)=x^3$.

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Antwort

\begin{align} \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) & = -\infty \\ \lim\limits_{x\to\infty}f(x) & = \infty \end{align}

Frage anzeigen

Frage

Bilde den Grenzwert gegen unendlich von $g(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$.

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} \lim\limits_{x\to-\infty}g(x) & = -\infty \\ \lim\limits_{x\to\infty}g(x) & = \infty \end{align}

Frage anzeigen

Frage

Bilde den Grenzwert gegen unendlich von $h(x)=10^x$.

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} \lim\limits_{x\to-\infty}g(x) & = 0 \\ \lim\limits_{x\to\infty}g(x) & = \infty \end{align}

Frage anzeigen

Frage

Wähle die richtige Antwort:

Der Grenzwert muss in beiden Richtungen gegen denselben Wert laufen.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

\(x\)	\(-1\)	\(-0{,}5\)	\(-0{,}1\)	\(-0{,}01\)
\(y\)	\(-0{,}09\)	\(-0{,}3\)	\(-2{,}34\)	\(-24{,}75\)

\(x\)	\(1\)	\(0{,}5\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)
\(y\)	\(0{,}67\)	\(0{,}82\)	\(2{,}72\)	\(25{,}25\)

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Wie gibt man das Verhalten im Unendlichen an?

Haben ganzrationale Funktionen Grenzwerte?

Was sagt das Grenzverhalten aus?

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