Verhalten von Funktionen

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Angenommen, Du hast eine Funktion gezeichnet und fragst Dich, wo diese Funktion im Unendlichen hingeht, denn das kannst Du aus einer Zeichnung nicht immer ablesen. Viele Funktionen steigen oder fallen ins Unendliche, die Funktionswerte werden also unendlich groß oder unendlich klein. Aber es gibt Funktionen, die das nicht tun und die ein anderes einzigartiges Verhalten aufweisen.

Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen

Egal, welcheFunktion Du Dir nimmst und diese in ein Koordinatensystem zeichnest, Du kannst Dich immer fragen: Wohin verläuft diese Funktion, wenn ich sehr große, beziehungsweise sehr kleine x-Werte in die Funktion einsetze?

In der folgenden Abbildung siehst Du die klassische Funktion $f (x) = x$ .

Verhalten von Funktionen Ursprungsgerade StudySmarter Abbildung 1: Die Funktion im Koordinatensystem

Wie zu erkennen ist, steigt die Funktion immer weiter an. Wenn Du sehr große x-Werte, beispielsweise $x = 1000$ einsetzt, dann bekommst Du auch sehr große Funktionswerte zurück:

$f (1000) = 1000$

Die Frage bleibt dennoch: Wie verläuft die Funktion im Unendlichen?

Wenn Du mehr über das Verhalten von Funktionen im Unendlichen wissen möchtest, dann schau doch im Artikel zum Verhalten von Funktionen im Unendlichen rein!

Das Symbol der Unendlichkeit

Unendlichkeit ist keine Zahl, daher kannst Du die Unendlichkeit nicht einfach in die Funktionsgleichung einsetzen, da in Funktionen nur Zahlen eingesetzt werden können.

Man spricht von Unendlichkeit, wenn eine Menge nicht endlich ist. Dabei wird in der Mathematik die Unendlichkeit mit dem Unendlichkeitssymbol abgekürzt: ∞

Die Definition besagt also, dass unendlich so groß beziehungsweise klein ist, dass Du es nicht als Zahl aufschreiben kannst.

Verhaltens einer Funktion im Unendlichen beschreiben

Im obigen Beispiel hast Du schon festgestellt, dass die Funktion im positiven Unendlichen immer weiter ansteigt. Dann spricht man davon, dass die Funktion für plus unendlich gegen unendlich verläuft und für minus unendlich gegen minus unendlich verläuft.

Dafür gibt es eine mathematische Schreibweise. Dafür benutzt Du den sogenannten Grenzwert, auch Limes genannt.

Der Grenzwert einer Funktion für x gegen plus oder minus unendlich lässt sich folgendermaßen darstellen:

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$

Dabei steht das lim in der Formel für den Limes und gibt an, welcher Wert angenähert werden soll. Du betrachtest hier die Werte für unendlich große beziehungsweise kleine x-Werte.

Wenn Du also ausdrücken möchtest, dass eine Funktion für steigende x-Werte immer weiter, also bis ins Unendliche wächst, dann schreibst Du:

$\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$

So ist das beispielsweise bei der Funktion $f (x) = x$ der Fall.

Auf der anderen Seite, bei der gegebenen Funktion $f (x) = x$ , werden die Funktionswerte immer kleiner, wenn die x-Werte kleiner werden. Die Funktion verläuft für negative x-Werte gegen minus unendlich.

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$

Bisher wurde nur der Fall betrachtet, dass die Funktionen unendlich groß beziehungsweise unendlich klein werden, aber das ist nicht immer der Fall. Funktionen können auch gegen ganz konkrete Zahlen wie 0 oder 1 verlaufen.

Die meisten Funktionen, die Du in der Schule behandelst, verlaufen gegen plus oder minus unendlich.

Im Folgenden findest Du noch ein Beispiel, in dem der Grenzwert unendlich ist.

Aufgabe

Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen!

$f (x) = x^{3}$

Lösung

Wenn Du einen sehr großen Wert für x einsetzt, der positiv ist, dann wirst Du einen noch viel größeren Wert herausbekommen. Daher verläuft die Funktion dann gegen plus unendlich. Analog für negative x-Werte.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} (x^{3}) & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} (x^{3}) & = & - \infty \end{array}$

Der endliche Grenzwert von Funktionen bestimmen

Funktionen, die sich einem bestimmten Funktionswert nähern, haben einen endlichen Grenzwert. Diesen kannst Du aus dem Koordinatensystem ablesen beziehungsweise berechnen.

In der folgenden Abbildung siehst Du eine Funktion, die sich für unendlich große x-Werte immer näher an die y-Achse annähert, diese aber niemals berührt.

Verhalten von Funktionen Endlicher Grenzwert StudySmarter Abbildung 2: Funktion mit endlichem Grenzwert

Du kannst also sagen, dass der endliche Grenzwert dieser Funktion für unendlich große positive x-Werte 0 ist.

Mathematisch geschrieben sieht das dann so aus:

$\lim_{x \to \infty} f (x) = 0$

In der gleichen Abbildung kannst Du aber auch sagen, dass die Funktionswerte unendlich groß und unendlich klein werden, wenn Du Dir x-Werte gegen 0 anschaust. Es wird also nicht nur das Verhalten der Funktion für x gegen plus und minus unendlich betrachtet, sondern auch für beispielsweise 0.

Wenn Du Funktionen auf ihr Verhalten untersuchen sollst, fertige am besten vorher eine Skizze der Funktion an, denn dann weißt Du, worauf Du hinarbeitest!

Mathematisch würdest Du dies nun so aufschreiben:

$\lim_{x \to 0} f (x) = \pm \infty$

Jetzt noch eine kleine Übungsaufgabe dazu:

Aufgabe

Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen!

$f (x) = \frac{1}{x}$

Lösung

Wenn Du sehr große Werte für x einsetzt, dann wird der Nenner immer größer und somit nähert der Bruch sich immer weiter 0 an. Wenn Du große negative Werte für x einsetzt, dann wird der Nenner auch immer größer und nähert sich auch 0 an.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x}) & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} (\frac{1}{x}) & = & 0 \end{array}$

Wenn Du mehr über das Verhalten von Funktionen im Endlichen wissen möchtest, dann schau' doch im Artikel zum endlichen Grenzwert rein!

Du kannst aber mehr beobachten als das Verhalten von Funktionen im Unendlichen bzw. wenn Du die x-Werte gegen bestimmte Werte laufen lässt. Du kannst Du auch mit Funktionen rechnen, also diese miteinander addieren und subtrahieren.

Summe und Differenz von Funktionen

Den zurückgelegten Weg einer Person kannst Du durch eine Funktionsgleichung ausdrücken. Stell Dir vor, dass Du beispielsweise bei einem Marathon den zurückgelegten Weg mehrerer Personen gegeben hast und gefragt wirst, wie weit diese Personen zusammen gelaufen sind.

Zum Glück kannst Du Funktionen miteinander addieren und subtrahieren. Somit sind auch solche Sachverhalte für Dich berechenbar!

Zwei Funktionen können miteinander addiert beziehungsweise subtrahiert werden. Mathematisch schreibst Du dies als:

$f (x) + g (x) = (f + g) (x) f (x) - g (x) = (f - g) (x)$

Dabei musst Du Dich nicht nur auf zwei Funktionen beschränken, sondern kannst auch mehrere Funktionen miteinander addieren. Dazu hier ein Beispiel:

Angenommen, Du bekommst die Aufgabe zu berechnen, wie viel Strecke mehrere Läufer zurückgelegt haben. Der zurückgelegte Weg der entsprechenden Läufer wird durch die folgenden Funktionen beschrieben:

$L_{1} (t) = 2 t L_{2} (t) = 4 t L_{3} (t) = 3 t L_{4} (t) = 8 t$

Dabei gibt die Funktion die erlaufenen Kilometer pro Stunde wieder. Wenn Du nun wissen möchtest, wie weit alle Läufer zusammen nach 2 Stunden gelaufen sind, dann kannst Du den Wert 2 natürlich auch in alle Funktionsgleichungen einsetzen und die Ergebnisse miteinander addieren.

Alternativ kannst Du aber auch die Funktionen zuerst addieren und dann nur die 2 am Ende in der Gesamtfunktion einsetzen:

$L_{g e s} (t) = L_{1} (t) + L_{2} (t) + L_{3} (t) + L_{4} (t) = 2 t + 4 t + 3 t + 8 t = 17 t$

$L_{g e s} (2) = 17 \cdot 2 = 34$

Nach 2 Stunden sind die Läufer zusammen schon 34 km gelaufen!

Wenn Du mehr über das Thema wissen möchtest, dann schau doch im Artikel "Summen und Differenzen von Funktionen" rein!

Verketten von Funktionen

Allgemeiner können Funktionen auch miteinander verkettet werden. Also wird erst die eine Funktion ausgeführt und dann die andere Funktion. So kannst Du beispielsweise erst einen Wert quadrieren und anschließend mit 2 addieren. Das kannst Du in eine Funktion transformieren, damit Du nicht so viele Rechenschritte hast.

Wenn zwei Funktionen miteinander verkettet werden, schreibst Du dies als:

$(f \circ g) (x)$

Dabei ist $f (x)$ die äußere Funktion und $g (x)$ die innere Funktion.

Bei der Ausführung einer Verkettung wird immer erst die innere Funktion ausgerechnet und das Ergebnis wird in die äußere Funktion eingesetzt und von der äußeren Funktion verwendet.

Zugegebenermaßen ist dies sehr theoretisch, also folgendes Beispiel:

Stelle Dir vor, Du hast die folgenden Funktionen gegeben:

$f (x) = 2 x g (x) = \sqrt{x}$

Betrachtet werden soll die Verkettung: $(f \circ g) (x)$

Zuerst ziehst Du also die Wurzel einer gegebenen Zahl und verdoppelst diese anschließend.

Beispielsweise für: $x = 2$

$(f \circ g) (x) = (2 x) \circ (\sqrt{x}) (2) = 2 \cdot \sqrt{2}$

Wenn Du darüber mehr erfahren möchtest, dann lies Dir doch den Artikel zum "Verketten von Funktionen" durch!

Verhalten von Funktionen - Das Wichtigste

Funktionen können einen endlichen oder auch unendlichen Grenzwert besitzen.
Der Grenzwert einer Funktion ist ein Funktionswert, der von der Funktion immer weiter angenähert, aber nie erreicht wird.
Funktionen können miteinander addiert und subtrahiert werden.
Außerdem können Funktion ineinander geschachtelt werden. Man spricht dabei auch von einer Verkettung.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Verhalten von Funktionen

Das Verhalten von Funktionen im Unendlichen wird über den Grenzwert (Limes) angegeben. Eine Funktion kann gegen plus oder minus unendlich verlaufen, aber auch gegen einen bestimmten Zahlenwert.

Ja, der Grenzwert ganzrationaler Funktionen hängt vom höchsten Exponenten und vom Grad der ganzrationalen Funktion ab.

Das Grenzverhalten gibt Auskunft, wie sich eine Funktion an einer gewissen Stelle verhält. Beispielsweise gibt es Funktionen, die Definitionslücken aufweisen, bei denen man aber durch das Grenzverhalten die Funktion an dieser Stelle trotzdem beschreiben kann.

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Definiere Summenfunktion.

Wenn Du zwei Funktionen f(x) und g(x) addierst, heißt die verknüpfte Funktion Summenfunktion p(x).

Definiere Differenzfunktion.

Wenn Du zwei Funktionen f(x) und g(x) voneinander subtrahierst, heißt die neu entstandene Funktion Differenzfunktion p(x).

Wie heißen die Schritte bei der Bildung von Summen oder Differenzen von Funktionen?

Definieren
Substituieren
Klammern entfernen
Kombinieren

Welche Gesetze gelten bei der Summe von Funktionen?

Distributivgesetz

Welche Gesetze gelten bei der Subtraktion von Funktionen?

Distributivgesetz

Was sind die Nullstellen der Differenzfunktion zweier Funktionen?

Die Nullstellen der Differenzfunktion sind die Schnittpunkte zweier Funktionen.

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