Wie berechnet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:Mitternachtsformelp/q-FormelÄquivalenzumformungen/Wurzel ziehenAusklammernQuadratische ErgänzungSatz von VietaNullstellen ablesen /Graphische Lösung

Wie berechnet man eine quadratische Funktion?

Soll eine quadratische Funktion berechnet werden, dann sollen immer die Nullstellen berechnet werden.Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:Mitternachtsformelp/q-FormelÄquivalenzumformungen/Wurzel ziehenAusklammernQuadratische ErgänzungSatz von VietaNullstellen ablesen /Graphische Lösung

Nullstellen berechnen quadratische Funktion

Algebra

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Du hast in der Schule verschiedene Arten gelernt, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen und weißt immer noch nicht, wie das wirklich funktioniert? Dieser Artikel nimmt dich Schritt für Schritt mit und zeigt dir anhand von Beispielen alle sieben Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen.

Wiederholung: Was ist eine quadratische Funktion?

Eine quadratische Funktion enthält eine quadrierte Variable (also $x^{2}$ ) im Funktionsterm und kann als grafische Parabel dargestellt werden.

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Diese Funktion kannst du dir zuerst einmal graphisch vorstellen, um sie besser zu verstehen.

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Quadratische Funktion StudySmarter Abbildung 1: Quadratische Funktion

Beispielhaft ist hier die Normalparabel $f (x) = x^{2}$ dargestellt. Eine Parabel ist also bogenförmig und besitzt am Wendepunkt des Bogens einen Scheitelpunkt S. Sie kann nach oben oder nach unten geöffnet sein.

Wiederholung: Was ist eine Nullstelle?

Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der Funktionsterm $f (x)$ Null wird.

Eine Nullstelle einer Funktion $f (x)$ ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt $f (a) = 0$ .

Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

Am leichtesten kannst du dir Nullstellen in der graphischen Darstellung vorstellen. Sie sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Nullstellen einer Quadratischen Funktion StudySmarter Abbildung 2: Nullstellen einer quadratischen Funktion

Die Funktion $f (x) = x^{2} - 4$ hat also ihre Nullstellen an den Punkten $x_{1}$ und $x_{2}$ . Um diese Punkte zu finden, musst du einfach entlang der x-Achse nach gemeinsamen Punkten mit der Funktion suchen.

Die Punkte $x_{1}$ und $x_{2}$ haben bei unserer Funktion die Koordinaten $x_{1} (- 2 | 0)$ und $x_{2} (2 | 0)$ .

Dabei fällt dir vielleicht auf, dass die y-Koordinate immer Null ist. Das hat den Grund, dass ein Punkt auf der x-Achse immer bei $y = 0$ liegen muss.

Deshalb geben wir für die Nullstellen nur die eigentlich wichtige x-Koordinate an. Das sieht dann so aus: $f (x) = x^{2} - 4$ hat Nullstellen bei $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 2$ .

Natürlich kannst du die Nullstellen einer Funktion auch berechnen. Wie das bei den quadratischen Funktionen funktioniert, lernst du im nächsten Kapitel.

Nullstellen berechnen quadratische Funktion – Optionen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen. Das Vorgehen ist abhängig davon, wie der Funktionsterm aussieht.

Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen besitzen.

1. Option: Mitternachtsformel

Wenn die Gleichung die allgemeine Form $f (x) = a x^{2} + b x + c$ besitzt, dann kannst du die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstelle anwenden. Die Mitternachtsformel wird auch quadratische Lösungsformel oder abc-Formel genannt.

In der allgemeinen Form stehen a, b und c für die jeweiligen Zahlenwerte in der Funktionsgleichung.

Die Mitternachtsformel lautet

$x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Die Mitternachtsformel solltest du auswendig können, dann musst du beim Berechnen der Nullstellen nur noch die entsprechenden Zahlen in die Formel einsetzen.

Der Name "Mitternachtsformel" kommt tatsächlich daher, dass jeder Schüler die Formel auswendig aufsagen können sollte, selbst wenn er um Mitternacht geweckt wird.

Aufgabe 1

$f (x) = a x^{2} + b x + c f (x) = 4 x^{2} - 2 x - 6$

Lösung

1. Schritt: Setze zunächst $f (x)$ gleich null.

$0 = 4 x^{2} - 2 x - 6$

2. Schritt: Du setzt die entsprechenden Zahlen für a, b und c in die Mitternachtsformel ein. Achte dabei auf die richtigen, zugehörigen Vorzeichen.

$x_{1 / 2} = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 4}$

3. Schritt: Berechne die Formel mit den eingesetzten Zahlen so weit wie möglich.

$x_{1 / 2} = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{8} = \frac{2 \pm 10}{8}$

Hier ist jetzt die Frage, wie du mit dem $\pm$ -Zeichen weitermachen sollst.

4. Schritt: Du teilst die weitere Rechnung jetzt in zwei Schritte auf.

Du berechnest $x_{1}$ , indem du in der Rechnung eine Addition durchführst.

$x_{1} = \frac{2 + 10}{8} = 1, 5$

Dann berechnest du noch $x_{2}$ , indem du eine Subtraktion durchführst.

$x_{2} = \frac{2 - 10}{8} = - 1$

Damit hast du mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen gefunden.

Schau doch dazu ein Mal im Artikel zur Mitternachtsformel vorbei.

2. Option: pq-Formel

Die Gleichung kann auch in der Normalform vorliegen, es steht also vor dem $x^{2}$ keine Zahl a mehr:

$f (x) = x^{2} + p x + q$

In diesem Fall kannst du zur Lösung der Nullstellen die pq-Formel verwenden.

Die pq-Formel lautet

x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

Auch bei der pq-Formel hilft es, die Formel im Kopf zu haben und dann nur noch die Zahlen für p und q einzusetzen.

Aufgabe 2

$f (x) = x^{2} + p x + q f (x) = x^{2} + 7 x - 8$

Lösung

1. Schritt: Setze $f (x)$ gleich null.

$0 = x^{2} + 7 x - 8$

2. Schritt: Setze die entsprechenden Zahlen für p und q mit den richtigen Vorzeichen in die pq-Formel ein.

$x_{1 / 2} = - \frac{7}{2} \pm \sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)}$

3. Schritt: Führe die Rechnung so weit wie möglich durch.

$x_{1 / 2} = - 3, 5 \pm \sqrt{12, 25 + 8} = - 3, 5 \pm \sqrt{20, 25} = - 3, 5 \pm 4, 5$

4. Schritt: Gleichermaßen zu Option 1 führst du jetzt, um $x_{1}$ zu berechnen, eine Addition durch.

$x_{1} = - 3, 5 + 4, 5 = 1$

Um wiederum $x_{2}$ zu bekommen, führst du eine Subtraktion durch.

$x_{2} = - 3, 5 - 4, 5 = - 8$

Die pq-Formel hat dir also beim Berechnen der Nullstellen geholfen.

Weitere Beispiele gibt es im extra Artikel zur p/q-Formel.

3. Option: Äquivalenzumformungen – Wurzel ziehen

Kommt in der Gleichung kein einfaches x erster Ordnung (also in der allgemeinen Form kein "bx") vor, so kann man die Nullstellen ohne Hilfe einer Formel, allein durch Äquivalenzumformungen, berechnen, indem man die Wurzel zieht.

Mögliche Formen (ohne "bx") sind $f (x) = a x^{2} u n d f (x) = a x^{2} + c$ .

Aufgabe 3

$f (x) = 2 x^{2} - 18$

Lösung

1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

$0 = 2 x^{2} - 18$

2. Schritt: Mithilfe von Äquivalenzumformungen Gleichung nach $x^{2}$ umstellen.

$\begin{matrix} 0 & = & 2 x^{2} - 18 & | + 18 \\ 18 & = & 2 x^{2} & | : 2 \\ x^{2} & = & 9 \end{matrix}$

3. Schritt: Um jetzt auf die Lösung von x zu kommen, müssen wir die Umkehrfunktion anwenden und somit die Wurzel ziehen.

$\begin{matrix} x^{2} & = & 9 & | \sqrt{} \\ \sqrt{x^{2}} & = & \sqrt{9} \\ x_{1} & = & 3 \\ x_{2} & = & - 3 \end{matrix}$

Man bekommt zwei Lösungen, da das Ergebnis einer Quadratfunktion das Resultat von zwei Zahlen mit dem gleichen Betrag sein kann (das Vorzeichen wird beim Quadrieren immer positiv).

Folglich sind die Nullstellen gefunden.

4. Option: Ausklammern

Kommen im Funktionsterm nur Koeffizienten (also Beizahlen zu einer Variable) und keine alleinstehende Ziffer (c) vor, dann kannst du die Gleichung durch Ausklammern lösen.

Der Funktionsterm hat in dem Fall diese allgemeine Form: $f (x) = a x^{2} + b x$ .

Aufgabe 4

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x$

Lösung

1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

$0 = 2 x^{2} + 4 x$

2. Schritt: Den Term so umformen, dass am Ende ein Produkt dasteht.

Das erreichst du am besten, indem du ausklammerst. Du kannst immer mindestens das x ausklammern.

$\begin{matrix} 0 & = & 2 x^{2} + 4 x \\ 0 & = & 2 x \cdot (x + 2) \end{matrix}$

Du könntest natürlich auch nur x ausklammern ( $0 = x (2 x + 4)$ ), das wäre auch korrekt.

Jetzt hast du ein Produkt aus dem 1. Faktor $2 x$ und dem 2. Faktor $(x + 2)$ vor. Damit das Ganze jetzt Null ergibt, muss einer der beiden Faktoren Null werden, denn Null multipliziert mit egal welcher anderen Zahl, ergibt immer Null.

3. Schritt: Um jetzt also die Nullstelle bestimmen zu können, berechnest du für welche Zahlen die beiden Faktoren (1. Faktor: ⁣ $2 x$ und 2. Faktor: ⁣ $x + 2$ ) den Wert Null ergeben.

$\begin{matrix} 1 . F a k t o r : & 2 x & = & 0 & | : 2 \\ x_{1} & = & 0 \\ 2 . F a k t o r : & x + 2 & = & 0 & | - 2 \\ x_{2} & = & - 2 \end{matrix}$

Damit hast du die zwei Nullstellen bei 0 und -2 gefunden.

5. Option: Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung wandelst du eine Funktion von ihrer allgemeinen Form $f (x) = a x^{2} + b x + c$ in ihre Scheitelpunktform $f (x) = a {(x - d)}^{2} + e$ um.

Die Scheitelpunktform erlaubt es dann ganz unkompliziert die Nullstellen zu berechnen.

Aufgabe 5

$f (x) = 3 x^{2} - 9 - 6 x$

Lösung

1. Schritt: Zuerst muss der Funktionsterm sortiert werden. Die Reihenfolge sollte folgende sein: $x^{2} \to x \to Z a h l$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

Dafür muss in unserem Beispiel $- 6 x$ weiter nach vorne gestellt werden.

Außerdem sollte die einzelne Zahl ( $- 9$ ) direkt mit ein wenig Abstand ans Ende gestellt werden.

2. Schritt: Danach klammerst du die Zahl vor dem $x^{2}$ (also die 3) aus. Allerdings nur beim vorne stehenden Term.

$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 2 x) - 9$

3. Schritt: Innerhalb der Klammer musst du jetzt eine Zahl ergänzen, damit sich eine binomische Formel ergibt.

Teile den Betrag des Koeffizienten von x durch 2. Der Koeffizient von x ist die Zahl vor dem x.

$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 2 x) - 9 \frac{|- 2|}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Wir ergänzen jetzt das Quadrat der berechneten Zahl (1) innerhalb der Klammer.

Das Gleiche musst du natürlich auch wieder abziehen, sonst stimmt das Gleichheitszeichen nicht mehr.

$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 2 x + 1^{2} - 1^{2}) - 9$

Schritt 4: Fasse jetzt die ersten drei Terme in der Klammer zu einer binomischen Formel zusammen.

$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 2 x + 1^{2} - 1^{2}) - 9 = 3 \cdot [{(x - 1)}^{2} - 1^{2}] - 9$

Falls du gar nicht verstehst, was hier gemacht wird, sieh dir erneut die beiden blauen Terme an. Es handelt sich um eine binomische Formel.

Schritt 5: Multipliziere die eckige Klammer aus.

$f (x) = 3 \cdot [{(x - 1)}^{2} - 1^{2}] - 9 = 3 \cdot {(x - 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1^{2}) - 9$

Schritt 6: Vereinfache den hinteren Teil des Terms zur Scheitelpunktform.

$f (x) = 3 \cdot {(x - 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1^{2}) - 9 = 3 \cdot {(x - 1)}^{2} - 3 - 9 = 3 \cdot {(x - 1)}^{2} - 12$

Damit hast du die Scheitelpunktform berechnet.

Jetzt müssen wir daraus natürlich noch die Nullstellen errechnen. Dafür brauchst du die Scheitelpunktform, jetzt nur noch mit null gleichzusetzen und durch Äquivalenzumformungen nach x aufzulösen.

Schritt 7: Setze die Scheitelpunktform zur Berechnung der Nullstellen gleich null.

$0 = 3 {(x - 1)}^{2} - 12$

Schritt 8: Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach x auf.

$\begin{matrix} 3 {(x - 1)}^{2} - 12 & = & 0 & | + 12 \\ 3 {(x - 1)}^{2} & = & 12 & | : 3 \\ {(x - 1)}^{2} & = & 4 & | \sqrt{} \\ x - 1 & = & \pm 2 & | + 1 \\ x & = & \pm 2 + 1 \end{matrix}$

Zieht man von einer Zahl die Wurzel, bekommt man zwei Lösungen. Einmal eine positive und eine negative Lösung.

Schritt 9: Gebe die Lösungen an.

$x_{1} = + 2 + 1 = 3 x_{2} = - 2 + 1 = - 1$

Der Artikel Quadratische Ergänzung geht noch genauer auf dieses Thema ein.

6. Option: Satz von Vieta

Mithilfe des Satzes von Vieta kannst du die Nullstellen von quadratischen Funktionen im Kopf bestimmen.

Satz von Vieta

Für eine quadratische Funktion in der Normalform $f (x) = x^{2} + p x + q$ gilt für die Lösungsvariablen $x_{1}$ und $x_{2}$ :

$x_{1} + x_{2} = - p$

Die Summe der Lösungsvariablen ergibt $- p$ (Koeffizient von x).

$x_{1} \cdot x_{2} = q$

Das Produkt der Lösungsvariablen ist gleich q (alleinstehende Zahl im Funktionsterm).

Wenn du dir diese zwei Zusammenhänge merkst, kannst du sie bei ganzzahligen Lösungen nutzen, um ganz ohne komplizierte Rechnungen eine Lösung für $x_{1}$ und $x_{2}$ zu finden.

Aufgabe 6

$f (x) = x^{2} + p x + q$

$f (x) = x^{2} - 8 x - 9$

Lösung

1. Schritt: Schreibe dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für q und p aus deiner Funktion ein.

$x_{1} + x_{2} = - p \to x_{1} + x_{2} = - (- 8) = 8$

$x_{1} \cdot x_{2} = q \to x_{1} \cdot x_{2} = - 9$

2. Schritt: Finde Zahlen, für die das Produkt ( $x_{1} \cdot x_{2} = q$ ) richtig wird. Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe aufgeht.

Sinnvoll zum Berechnen von $x_{1} \cdot x_{2} = - 9$ wären zum Beispiel die Zahlen $- 1 und 9$ ( $- 1 \cdot 9 = - 9$ ).

Dann wäre $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 9$ .

Du musst jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also $x_{1} + x_{2} = 8$ . Für $- 1 + 9 = 8$ stimmt das, du hast also die zwei Lösungen für diese quadratische Funktion gefunden.

Gegenbeispiel:

Vielleicht denkst du aber zuerst auch an diese Zahlen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 3$ , für die ebenfalls das Produkt aufgeht ( $3 \cdot (- 3) = - 9$ ). Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht ( $3 + (- 3) = 0 \neq 8$ ). Diese beiden Lösungsvariablen wären also falsch.

Beim Satz vom Vieta geht es also darum, dass du im Kopf Möglichkeiten findest, die beiden Bedingungen (Summe und Produkt) zu erfüllen.

Der Satz von Vieta klingt für dich noch ziemlich kompliziert? Dann schau im Artikel zum Satz von Vieta vorbei.

7. Option: Nullstellen ablesen – graphische Lösung

Eine letzte Möglichkeit, um Nullstellen zu bestimmen, ist durch Ablesen der Nullstelle von einem vorgegebenen Funktionsgraphen.

Dieses Verfahren kann allerdings recht ungenaue Ergebnisse hervorbringen, gerade wenn die Nullstelle keine ganze Zahl ist.

Aufgabe 7

Die Nullstellen der in Abbildung 3 eingezeichneten Funktion $f (x)$ sollen gefunden werden. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

1. Schritt: Du schaust entlang der x-Achse (hier türkis eingefärbt).

2. Schritt: Du markierst die Punkte der Funktion (hier orange), die die x-Achse schneiden oder berühren.

3. Schritt: Du liest die x-Werte der Schnittpunkte beziehungsweise Berührpunkte ab. Sie sind in diesem Fall bei $x_{1} = - 3$ und $x_{2} = 3$ .

Die zugehörigen Schnittpunkte liegen also bei $x_{1} (- 3 | 0)$ und $x_{2} (3 | 0)$ .

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Nullstellen einer Quadratischen Funktion ablesen StudySmarter Abbildung 3: Nullstellen einer quadratischen Funktion ablesen

Nullstellen berechnen quadratische Funktion – Das Wichtigste

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Eine Nullstelle einer Funktion $f (x)$ ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt $f (a) = 0$ .Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.
Für das Berechnen der Nullstellen einer quadratischen Funktion gibt es folgende Möglichkeiten:

Mitternachtsformel: $x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
p/q-Formel: $x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
Ausklammern
Quadratische Ergänzung
Satz von Vieta: Für eine quadratische Funktion in der Normalform $f (x) = x^{2} + p x + q$ gilt für die Lösungsvariablen $x_{1}$ und $x_{2}$ : ⁣ $x_{1} + x_{2} = - p$ und $x_{1} \cdot x_{2} = q$
Nullstellen ablesen/graphische Lösung

Häufig gestellte Fragen zum Thema Nullstellen berechnen quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen, aber auch keine oder nur eine Nullstelle haben.

Eine Funktion hat zwei Nullstellen, wenn die beiden Schenkel der Parabel die x-Achse schneiden.

Sie hat nur eine Nullstelle, wenn nur der Scheitelpunkt der Parabel die x-Achse berührt.

Keine Nullstelle hat eine quadratische Funktion, wenn der Scheitelpunkt oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse liegt und die Öffnung von der x-Achse wegzeigt.

Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:

Mitternachtsformel
p/q-Formel
Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
Ausklammern
Quadratische Ergänzung
Satz von Vieta
Nullstellen ablesen /Graphische Lösung

Soll eine quadratische Funktion berechnet werden, dann sollen immer die Nullstellen berechnet werden.

Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:

Mitternachtsformel
p/q-Formel
Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
Ausklammern
Quadratische Ergänzung
Satz von Vieta
Nullstellen ablesen /Graphische Lösung

Finales Nullstellen berechnen quadratische Funktion Quiz

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Nenne die Schritte, um mit dem Satz von Vieta die zweite Nullstelle einer quadratischen Funktion zu berechnen, wenn die erste Nullstelle gegeben ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Umstellen der Bedingung $x_1+x_2=−p$ nach $x_2$
Umstellen der Bedingung $x_1⋅x_2=q$ nach $x_2$
Einsetzen von $x_1$, $p$ und $q$ in die beiden Ansätze und Vergleich beider Ergebnisse für $x_2$

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was $p$ und $q$ in einer quadratischen Gleichung und wieso sie beim Satz von Vieta eine Rolle spielen.

Antwort anzeigen

Antwort

$p$ und $q$ sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung in der Normalform $x^2+px+q$ und werden beim Satz von Vieta in Zusammenhang mit den Lösungsvariablen $x_1$ und $x_2$ definiert.

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Frage

Gebe an, für welche Art von quadratischen Gleichungen der Satz von Vieta angewendet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Für quadratische Gleichungen in der Normalform: $x^2+px+q=0$

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, was die beiden Zusammenhänge des Satzes von Vieta zwischen den Lösungsvariablen $x_1$ und $x_2$ und den Koeffizienten $p$ und $q$ sind.

Antwort anzeigen

Antwort

$x_1+x_2=-p$

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob der Satz von Vieta auch für die Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen angewendet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, mit dem Satz von Vieta können die Nullstellen quadratischer Funktionen gefunden werden.

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Frage

Beschreibe die Schritte bei der Anwendung des Satzes von Vieta zur Nullstellenberechnung einer quadratischen Funktion $f(x)$.

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt: Funktion $f(x)$ gleich $0$ setzen: $f(x)=0$.
Schritt: Setze die Werte für $q$ und $p$ aus Deiner Gleichung ein.
Schritt: Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob $x_1 \cdot x_2=q$.
Schritt: Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch für die Summe $x_1+x_2=-p$ gelten.

Frage anzeigen

Frage

Wähle die beiden Bedingungen des Satzes von Vietas aus.

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Antwort

$x_1+x_2=p$

Frage anzeigen

Frage

Entscheide: Bei quadratischen Funktionen mit einer einzigen Nullstelle $x_1$, setzt Du:

Antwort anzeigen

Antwort

$x=x_1$

Frage anzeigen

Frage

Nenne die weiteren Anwendungsmöglichkeiten des Satzes von Vieta.

Antwort anzeigen

Antwort

Anwendungen des Satzes von Vietas sind:

Quadratischen Gleichungen lösen
Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnen
Ergebnisse kontrollieren
Quadratische Gleichungen bestimmen
Zweite Lösung berechnen
Faktorisieren

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2-6x+8=0$ mit dem Satz von Vieta.

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1:

$$f(x)=x²-6x+8=0$$

Schritt 2:

$$x_1+x_2=-(-6)=6$$ $$ x_1 \cdot x_2=8$$

Schritt 3: Teiler bestimmen, die auch das Produkt erfüllt:

$$x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 =8$$

Schritt 4: Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt:

$$x_1+x_2=2+4=6$$

Die zweite Bedingung stimmt auch, also hast Du die zwei Nullstellen für diese quadratische Funktion gefunden:
$$x_1=2 \hspace{1cm} x_2=4$$

Frage anzeigen

Frage

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind $x_1=2 \text{, } x_2=8$. Gebe die quadratische Funktion an, die diese Lösungen hat.

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Antwort

$x^2-10x+14=0$

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Frage

Erkläre, wofür die quadratische Ergänzung verwendet wird.

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Antwort

Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.

Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform überführt werden.

Außerdem kann sie genutzt werden, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen.

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Frage

Beschreibe das Vorgehen der quadratischen Ergänzung bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form.

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Antwort

Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a

Schritt 2: d bestimmen

Schritt 3: Quadratische Ergänzung

Schritt 4: Anwenden der binomischen Formel

Schritt 5: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Koeffizienten $p$ und $q$ aus folgender Funktion $f(x)$:

\[f(x)=4x^2+4x-8\]

Antwort anzeigen

Antwort

$p=4$ und $q=-8$

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Funktion $f(x)$.

\[f(x)=x^2-3x+20\]

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Anzahl der Nullstellen folgender Funktion $f(x)$:

\[f(x)=x^2-3x-20\]

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x)$ mit der pq-Formel:

\[f(x)=x^2-3x-54\]

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}x_1&=-6\\[0.1cm]
x_2&=9\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Bestimme alle $y$ für die gilt:

\[y^2+9y-36=0\]

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}y_1&=-12\\[0.1cm]
y_2&=3\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob sich die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^3+3x-1$ mit der pq-Formel berechnen lassen.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x)$ mithilfe der pq-Formel:

\[f(x)=6x^2-18x-24\]

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}x_1&=-1\\[0.1cm]
x_2&=4\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Nullstellen folgender Funktion $f(x)$ mithilfe der pq-Formel:

\[f(x)=1,5x^2-4,5x-3\]

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}x_1&\approx -0{,}562\\[0.1cm]
x_2&\approx 3{,}562\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche die richtige Formel der Mitternachtsformel ist.

Antwort anzeigen

Antwort

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2a}.\]

Frage anzeigen

Frage

Es ist folgende quadratische Gleichung gegeben: \[0=-3x^2+4x-11\]

Färbe die Zahlen, die in der Mitternachtsformel für die Koeffizienten $\color{#1478c8}a\color{#000000}$, $\color{#00dcb4}b\color{#000000}$ und $\color{#fa3273}c\color{#000000}$ stehen, entsprechend ein.

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Antwort

Das $\color{#1478c8}a\color{#000000}$ steht für die Zahl vor dem $x^2$, das $\color{#00dcb4}b\color{#000000}$ bezeichnet die Zahl vor dem $x$ und $\color{#fa3273}c\color{#000000}$ gibt die alleinstehende Zahl an. \[0=\color{#1478c8} -3 \color{#000000} x^2+ \color{#00dcb4}4\color{#000000}x\color{#fa3273}-11\color{#000000}\]

Frage anzeigen

Frage

Für eine quadratische Funktion wird die Diskriminante $D$ der Mitternachtsformel gleich 0.

Entscheide, was das für den Funktionsgraphen bedeutet.

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Antwort

Der Graph der quadratischen Funktion berührt die x-Achse in genau einem Punkt.

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Frage

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x))-x^2+3x+4$ mithilfe der Mitternachtsformel.

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Antwort

Lies zunächst die Parameter ab: $a=-1$, $b=3$ und $c=4$

Setze sie dann in die Mitternachtsformel ein: \begin{align}x_{1}&=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[0.2cm] &=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot (-1) \cdot 4}}{2\cdot (-1)}\\[0.2cm] &= \frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{(-2)}\\[0.2cm] &=\frac{-3\pm 5}{(-2)}\\[0.2cm] x_1&=-1 \\[0.2cm] x_2&=4\end{align}

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Frage

Nenne einen anderen Namen für die Mitternachtsformel.

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abc-Formel

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Durch die Anwendung der Mitternachtsformel für eine Funktion $f(x)$ ergeben sich die folgenden Lösungen. \[x_1=1, x_2=3\]

Erkläre, was das über die Funktion aussagt.

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Die Nullstellen der Funktion $f(x)$ liegen bei $x_1=1$ und $x_2=3$.

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Entscheide, wie die Mitternachtsformel noch genannt werden kann.

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pq-Formel

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Bewerte folgende Aussage:

Mit der Mitternachtsformel können die Lösungen einer linearen Gleichung der Form \[0=mx+b\] bestimmt werden.

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Die Antwort ist falsch. Mit der Mitternachtsformel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form \[0=ax^2+bx+c\] bestimmt werden.

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Sieh dir folgende Mitternachtsformel mit eingesetzten Parametern an. Mit ihr werden die Nullstellen der Funktion $f(x)$ bestimmt. Lies daraus die Werte für $a$, $b$ und $c$ ab und bestimme die zugehörige Funktionsgleichung von $f(x$. \[x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot7}}{2}\]

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Die zugehörige Funktion lautet \[f(x)=x^2+3x+7.\]

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Bewerte die folgende Aussage:

Die Lösungen der quadratischen Gleichung $0=ax^2+bx+c$ sind die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$.

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Die Aussage ist wahr.

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Entscheide, welche der Gleichungen nicht mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden können.

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$3x-7=0$

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Ordne den Werten der Diskriminante der Mitternachtsformel einen passende Aussage zu.

a) $D=0$

b) $D<0$

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a) Die quadratische Gleichung besitzt genau eine Lösung.

b) Die quadratische Gleichung besitzt genau zwei Lösungen.

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Nenne die Formel, die Du neben der Mitternachtsformel noch nutzen kannst, um die Lösung der Gleichung $x^2+3x-7$ u bestimmen.

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pq-Formel

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Beschreibe, wie Du beim Lösen einer quadratischen Gleichung vorgehen kannst, wenn $c=0$ ist, ohne die Mitternachtsformel zu benutzen.

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Du kannst in dem Fall das $x$ ausklammern und die Nullstellen der beiden Faktoren separat berechnen.

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Bestimme die Anzahl der Lösungen für die quadratische Gleichung $0=x^2-x+1$.

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Zuerst liest Du ab, welche Werte die Variablen $a$, $b$ und $c$ besitzen:

$a=1$, $b=-1$ und $c=1$

Nun kannst Du diese Werte in die Formel der Diskriminante einsetzen: \begin{align}D&=b^2-4ac\\[0.1cm] &=(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot 1 \\[0.1cm] &=1-4\\[0.1cm]&=-3 \end{align} Es gilt also $D<0$ und damit gibt es keine Lösung für die gegebene quadratische Gleichung.

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Entscheide, bei welcher Formel es sich um die pq-Formel handelt.

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\[x_{1/2}=-\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{{\color{#1478C8}p}}{2}\right)^2-{\color{#00DCB4}q}}\]

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Erkläre, was mithilfe der Diskriminante bei der pq-Formel bestimmt werden kann.

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Die Diskriminante bei der pq-Formel gibt die Anzahl der Lösungen bei einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ an.

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Nullstellen berechnen quadratische Funktion

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Wiederholung: Was ist eine quadratische Funktion?

Wiederholung: Was ist eine Nullstelle?

Nullstellen berechnen quadratische Funktion – Optionen

1. Option: Mitternachtsformel

2. Option: pq-Formel

3. Option: Äquivalenzumformungen – Wurzel ziehen

4. Option: Ausklammern

5. Option: Quadratische Ergänzung

6. Option: Satz von Vieta

7. Option: Nullstellen ablesen – graphische Lösung

Nullstellen berechnen quadratische Funktion – Das Wichtigste

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