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Nullstellen berechnen quadratische Funktion

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Mathe

Du hast in der Schule verschiedene Arten gelernt, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen und weißt immer noch nicht, wie das wirklich funktioniert? Dieser Artikel nimmt dich Schritt für Schritt mit und zeigt dir anhand von Beispielen alle sieben Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen.

Wiederholung: Was ist eine quadratische Funktion?

Eine quadratische Funktion enthält eine quadrierte Variable (also ) im Funktionsterm und kann als grafische Parabel dargestellt werden.

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form Nullstelle berechnen quadratische Funktion StudySmarter.

Diese Funktion kannst du dir zuerst einmal graphisch vorstellen, um sie besser zu verstehen.

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Quadratische Funktion StudySmarterAbbildung 1: Quadratische Funktion

Beispielhaft ist hier die Normalparabeldargestellt. Eine Parabel ist also bogenförmig und besitzt am Wendepunkt des Bogens einen Scheitelpunkt S. Sie kann nach oben oder nach unten geöffnet sein.

Wiederholung: Was ist eine Nullstelle?

Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der FunktionstermNull wird.

Eine Nullstelle einer Funktionist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt.

Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

Am leichtesten kannst du dir Nullstellen in der graphischen Darstellung vorstellen. Sie sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Nullstellen einer Quadratischen Funktion StudySmarterAbbildung 2: Nullstellen einer quadratischen Funktion

Die Funktionhat also ihre Nullstellen an den Punktenund. Um diese Punkte zu finden, musst du einfach entlang der x-Achse nach gemeinsamen Punkten mit der Funktion suchen.

Die Punkteundhaben bei unserer Funktion die Koordinaten und.

Dabei fällt dir vielleicht auf, dass die y-Koordinate immer Null ist. Das hat den Grund, dass ein Punkt auf der x-Achse immer beiliegen muss.

Deshalb geben wir für die Nullstellen nur die eigentlich wichtige x-Koordinate an. Das sieht dann so aus:hat Nullstellen beiund.

Natürlich kannst du die Nullstellen einer Funktion auch berechnen. Wie das bei den quadratischen Funktionen funktioniert, lernst du im nächsten Kapitel.

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Optionen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen. Das Vorgehen ist abhängig davon, wie der Funktionsterm aussieht.

Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen besitzen.

1. Option: Mitternachtsformel

Wenn die Gleichung die allgemeine Formbesitzt, dann kannst du die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstelle anwenden. Die Mitternachtsformel wird auch quadratische Lösungsformel oder abc-Formel genannt.

In der allgemeinen Form stehen a, b und c für die jeweiligen Zahlenwerte in der Funktionsgleichung.

Die Mitternachtsformel lautet

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Mitternachtsformel StudySmarter

Die Mitternachtsformel solltest du auswendig können, dann musst du beim Berechnen der Nullstellen nur noch die entsprechenden Zahlen in die Formel einsetzen.

Der Name "Mitternachtsformel" kommt tatsächlich daher, dass jeder Schüler die Formel auswendig aufsagen können sollte, selbst wenn er um Mitternacht geweckt wird.

Aufgabe 1

Lösung

1. Schritt: Setze zunächstgleich null.

2. Schritt: Du setzt die entsprechenden Zahlen für a, b und c in die Mitternachtsformel ein. Achte dabei auf die richtigen, zugehörigen Vorzeichen.

3. Schritt: Berechne die Formel mit den eingesetzten Zahlen so weit wie möglich.

Hier ist jetzt die Frage, wie du mit dem-Zeichen weitermachen sollst.

4. Schritt: Du teilst die weitere Rechnung jetzt in zwei Schritte auf.

Du berechnest, indem du in der Rechnung eine Addition durchführst.

Dann berechnest du noch, indem du eine Subtraktion durchführst.

Damit hast du mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen gefunden.

Schau doch dazu ein Mal im Artikel zur Mitternachtsformel vorbei.

2. Option: pq-Formel

Die Gleichung kann auch in der Normalform vorliegen, es steht also vor demkeine Zahl a mehr:

In diesem Fall kannst du zur Lösung der Nullstellen die pq-Formel verwenden.

Die pq-Formel lautet

Nullstellen berechnen quadratische Funktion pq-Formel StudySmarter

Auch bei der pq-Formel hilft es, die Formel im Kopf zu haben und dann nur noch die Zahlen für p und q einzusetzen.

Aufgabe 2

Lösung

1. Schritt: Setzegleich null.

2. Schritt: Setze die entsprechenden Zahlen für p und q mit den richtigen Vorzeichen in die pq-Formel ein.

3. Schritt: Führe die Rechnung so weit wie möglich durch.

4. Schritt: Gleichermaßen zu Option 1 führst du jetzt, umzu berechnen, eine Addition durch.

Um wiederumzu bekommen, führst du eine Subtraktion durch.

Die pq-Formel hat dir also beim Berechnen der Nullstellen geholfen.

Weitere Beispiele gibt es im extra Artikel zur p/q-Formel.

3. Option: Äquivalenzumformungen – Wurzel ziehen

Kommt in der Gleichung kein einfaches x erster Ordnung (also in der allgemeinen Form kein "bx") vor, so kann man die Nullstellen ohne Hilfe einer Formel, allein durch Äquivalenzumformungen, berechnen, indem man die Wurzel zieht.

Mögliche Formen (ohne "bx") sind.

Aufgabe 3

Lösung

1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

2. Schritt: Mithilfe von Äquivalenzumformungen Gleichung nachumstellen.

3. Schritt: Um jetzt auf die Lösung von x zu kommen, müssen wir die Umkehrfunktion anwenden und somit die Wurzel ziehen.

Man bekommt zwei Lösungen, da das Ergebnis einer Quadratfunktion das Resultat von zwei Zahlen mit dem gleichen Betrag sein kann (das Vorzeichen wird beim Quadrieren immer positiv).

Folglich sind die Nullstellen gefunden.

4. Option: Ausklammern

Kommen im Funktionsterm nur Koeffizienten (also Beizahlen zu einer Variable) und keine alleinstehende Ziffer (c) vor, dann kannst du die Gleichung durch Ausklammern lösen.

Der Funktionsterm hat in dem Fall diese allgemeine Form:.

Aufgabe 4

Lösung

1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

2. Schritt: Den Term so umformen, dass am Ende ein Produkt dasteht.

Das erreichst du am besten, indem du ausklammerst. Du kannst immer mindestens das x ausklammern.

Du könntest natürlich auch nur x ausklammern (), das wäre auch korrekt.

Jetzt hast du ein Produkt aus dem 1. Faktorund dem 2. Faktorvor. Damit das Ganze jetzt Null ergibt, muss einer der beiden Faktoren Null werden, denn Null multipliziert mit egal welcher anderen Zahl, ergibt immer Null.

3. Schritt: Um jetzt also die Nullstelle bestimmen zu können, berechnest du für welche Zahlen die beiden Faktoren (1. Faktor: ⁣und 2. Faktor: ⁣) den Wert Null ergeben.

Damit hast du die zwei Nullstellen bei 0 und -2 gefunden.

5. Option: Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung wandelst du eine Funktion von ihrer allgemeinen Formin ihre Scheitelpunktformum.

Die Scheitelpunktform erlaubt es dann ganz unkompliziert die Nullstellen zu berechnen.

Aufgabe 5

Lösung

1. Schritt: Zuerst muss der Funktionsterm sortiert werden. Die Reihenfolge sollte folgende sein:.

Dafür muss in unserem Beispielweiter nach vorne gestellt werden.

Außerdem sollte die einzelne Zahl () direkt mit ein wenig Abstand ans Ende gestellt werden.

2. Schritt: Danach klammerst du die Zahl vor dem(also die 3) aus. Allerdings nur beim vorne stehenden Term.

3. Schritt: Innerhalb der Klammer musst du jetzt eine Zahl ergänzen, damit sich eine binomische Formel ergibt.

Teile den Betrag des Koeffizienten von x durch 2. Der Koeffizient von x ist die Zahl vor dem x.

Wir ergänzen jetzt das Quadrat der berechneten Zahl (1) innerhalb der Klammer.

Das Gleiche musst du natürlich auch wieder abziehen, sonst stimmt das Gleichheitszeichen nicht mehr.

Schritt 4: Fasse jetzt die ersten drei Terme in der Klammer zu einer binomischen Formel zusammen.

Falls du gar nicht verstehst, was hier gemacht wird, sieh dir erneut die beiden blauen Terme an. Es handelt sich um eine binomische Formel.

Schritt 5: Multipliziere die eckige Klammer aus.

Schritt 6: Vereinfache den hinteren Teil des Terms zur Scheitelpunktform.

Damit hast du die Scheitelpunktform berechnet.

Jetzt müssen wir daraus natürlich noch die Nullstellen errechnen. Dafür brauchst du die Scheitelpunktform, jetzt nur noch mit null gleichzusetzen und durch Äquivalenzumformungen nach x aufzulösen.

Schritt 7: Setze die Scheitelpunktform zur Berechnung der Nullstellen gleich null.

Schritt 8: Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach x auf.

Zieht man von einer Zahl die Wurzel, bekommt man zwei Lösungen. Einmal eine positive und eine negative Lösung.

Schritt 9: Gebe die Lösungen an.

Der Artikel Quadratische Ergänzung geht noch genauer auf dieses Thema ein.

6. Option: Satz von Vieta

Mithilfe des Satzes von Vieta kannst du die Nullstellen von quadratischen Funktionen im Kopf bestimmen.

Satz von Vieta

Für eine quadratische Funktion in der NormalformNullstellen berechnen quadratische Funktion Satz von Vieta StudySmartergilt für die Lösungsvariablenund :

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Satz von Vieta StudySmarter

Die Summe der Lösungsvariablen ergibt(Koeffizient von x).

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Satz von Vieta StudySmarter

Das Produkt der Lösungsvariablen ist gleich q (alleinstehende Zahl im Funktionsterm).

Wenn du dir diese zwei Zusammenhänge merkst, kannst du sie bei ganzzahligen Lösungen nutzen, um ganz ohne komplizierte Rechnungen eine Lösung fürundzu finden.

Aufgabe 6

Lösung

1. Schritt: Schreibe dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für q und p aus deiner Funktion ein.

2. Schritt: Finde Zahlen, für die das Produkt () richtig wird. Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe aufgeht.

Sinnvoll zum Berechnen vonwären zum Beispiel die Zahlen().

Dann wäreund.

Du musst jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also. Fürstimmt das, du hast also die zwei Lösungen für diese quadratische Funktion gefunden.

Gegenbeispiel:

Vielleicht denkst du aber zuerst auch an diese Zahlen und , für die ebenfalls das Produkt aufgeht (). Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht (). Diese beiden Lösungsvariablen wären also falsch.

Beim Satz vom Vieta geht es also darum, dass du im Kopf Möglichkeiten findest, die beiden Bedingungen (Summe und Produkt) zu erfüllen.

Der Satz von Vieta klingt für dich noch ziemlich kompliziert? Dann schau im Artikel zum Satz von Vieta vorbei.

7. Option: Nullstellen ablesen – graphische Lösung

Eine letzte Möglichkeit, um Nullstellen zu bestimmen, ist durch Ablesen der Nullstelle von einem vorgegebenen Funktionsgraphen.

Dieses Verfahren kann allerdings recht ungenaue Ergebnisse hervorbringen, gerade wenn die Nullstelle keine ganze Zahl ist.

Aufgabe 7

Die Nullstellen der in Abbildung 3 eingezeichneten Funktionsollen gefunden werden. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

1. Schritt: Du schaust entlang der x-Achse (hier türkis eingefärbt).

2. Schritt: Du markierst die Punkte der Funktion (hier orange), die die x-Achse schneiden oder berühren.

3. Schritt: Du liest die x-Werte der Schnittpunkte beziehungsweise Berührpunkte ab. Sie sind in diesem Fall bei und .

Die zugehörigen Schnittpunkte liegen also beiund.

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Nullstellen einer Quadratischen Funktion ablesen StudySmarterAbbildung 3: Nullstellen einer quadratischen Funktion ablesen

Nullstellen berechnen quadratische Funktion Das Wichtigste

  • Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form .

  • Eine Nullstelle einer Funktionist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt.Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

  • Für das Berechnen der Nullstellen einer quadratischen Funktion gibt es folgende Möglichkeiten:

  1. Mitternachtsformel:
  2. p/q-Formel:
  3. Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
  4. Ausklammern
  5. Quadratische Ergänzung
  6. Satz von Vieta: Für eine quadratische Funktion in der Normalform gilt für die Lösungsvariablen und : ⁣ und
  7. Nullstellen ablesen/graphische Lösung

Nullstellen berechnen quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen, aber auch keine oder nur eine Nullstelle haben.

Eine Funktion hat zwei Nullstellen, wenn die beiden Schenkel der Parabel die x-Achse schneiden. 

Sie hat nur eine Nullstelle, wenn nur der Scheitelpunkt der Parabel die x-Achse berührt.

Keine Nullstelle hat eine quadratische Funktion, wenn der Scheitelpunkt oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse liegt und die Öffnung von der x-Achse wegzeigt.

Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:

  • Mitternachtsformel
  • p/q-Formel
  • Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
  • Ausklammern
  • Quadratische Ergänzung
  • Satz von Vieta
  • Nullstellen ablesen /Graphische Lösung

Soll eine quadratische Funktion berechnet werden, dann sollen immer die Nullstellen berechnet werden.

Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:

  • Mitternachtsformel
  • p/q-Formel
  • Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
  • Ausklammern
  • Quadratische Ergänzung
  • Satz von Vieta
  • Nullstellen ablesen /Graphische Lösung

Finales Nullstellen berechnen quadratische Funktion Quiz

Frage

Was sind und q?

Antwort anzeigen

Antwort

und sind die Koeffiziente der quadratische Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

​Ist die PQ Formel den Satz von Vieta?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, die PQ Formel ist nicht den Satz von Vieta aber die PQ Formel kann den Satz von Vieta beweisen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man die Koeffiziente und q finden?

Antwort anzeigen

Antwort

die Kombination von 2 Zahlen als Teiler von q sollte die Koeffizient p auch erfüllen.

Frage anzeigen

Frage

Satz von Vieta kann nur für die Polynomfunktion von Grad 2 benutzen.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, du kannst auch für höherer Grad anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Benutzt man den Satz von Vieta nur um die Nullstelle der quadratischen Gleichung zu rechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, man kann Satz von Vieta als eine Methode für Überprüfung der richtigen Lösungen anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Anwendung von Satz von Vieta

Antwort anzeigen

Antwort

Überprüfung der richtigen Nullstellen

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen mit dem du die Nullstellen einer quadratischen Funktion mithilfe der Mitternachtsformel berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Mitternachtsformel zu berechnen, kannst du dich an dieser Vorgehensweise orientieren.


  1. a, b und c aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion bestimmen.
  2. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen.
  3.  x1 und x2 berechnen.
Frage anzeigen

Frage

Nenne unterschiedliche Methoden, um Nullstellen quadratischer Funktionen zu bestimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Ausklammern
  • Verwenden der Mitternachtsformel
  • Verwenden der pq-Formel
  • quadratische Ergänzung
  • ...
Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wofür die quadratische Ergänzung verwendet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Durch die quadratische Ergänzung werden Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann.


Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform überführt werden.


Außerdem kann sie genutzt werden, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen der quadratischen Ergänzung bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form.

Antwort anzeigen

Antwort

Schritt 1: Ausklammern des Leitkoeffizienten a

Schritt 2: d bestimmen

Schritt 3: Quadratische Ergänzung

Schritt 4: Anwenden der binomischen Formel 

Schritt 5: Klammer auflösen und Konstanten zusammenfassen

Frage anzeigen
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