Nullstellen berechnen quadratische Funktion

Du hast in der Schule verschiedene Arten gelernt, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen und weißt immer noch nicht, wie das wirklich funktioniert? Dieser Artikel nimmt dich Schritt für Schritt mit und zeigt dir anhand von Beispielen alle sieben Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Wiederholung: Was ist eine quadratische Funktion?

    Eine quadratische Funktion enthält eine quadrierte Variable (also x2) im Funktionsterm und kann als grafische Parabel dargestellt werden.

    Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form f(x)=ax2+bx+c.

    Diese Funktion kannst du dir zuerst einmal graphisch vorstellen, um sie besser zu verstehen.

    Nullstellen berechnen quadratische Funktion Quadratische Funktion StudySmarterAbbildung 1: Quadratische Funktion

    Beispielhaft ist hier die Normalparabelf(x)=x2dargestellt. Eine Parabel ist also bogenförmig und besitzt am Wendepunkt des Bogens einen Scheitelpunkt S. Sie kann nach oben oder nach unten geöffnet sein.

    Wiederholung: Was ist eine Nullstelle?

    Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der Funktionstermf(x)Null wird.

    Eine Nullstelle einer Funktionf(x)ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die giltf(a)=0.

    Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

    Am leichtesten kannst du dir Nullstellen in der graphischen Darstellung vorstellen. Sie sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

    Nullstellen berechnen quadratische Funktion Nullstellen einer Quadratischen Funktion StudySmarterAbbildung 2: Nullstellen einer quadratischen Funktion

    Die Funktionf(x)=x2-4hat also ihre Nullstellen an den Punktenx1undx2. Um diese Punkte zu finden, musst du einfach entlang der x-Achse nach gemeinsamen Punkten mit der Funktion suchen.

    Die Punktex1undx2haben bei unserer Funktion die Koordinatenx1 (-2|0) undx2 (2|0).

    Dabei fällt dir vielleicht auf, dass die y-Koordinate immer Null ist. Das hat den Grund, dass ein Punkt auf der x-Achse immer beiy=0liegen muss.

    Deshalb geben wir für die Nullstellen nur die eigentlich wichtige x-Koordinate an. Das sieht dann so aus:f(x)=x2-4hat Nullstellen beix1=-2undx2=2.

    Natürlich kannst du die Nullstellen einer Funktion auch berechnen. Wie das bei den quadratischen Funktionen funktioniert, lernst du im nächsten Kapitel.

    Nullstellen berechnen quadratische Funktion Optionen

    Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen. Das Vorgehen ist abhängig davon, wie der Funktionsterm aussieht.

    Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen besitzen.

    1. Option: Mitternachtsformel

    Wenn die Gleichung die allgemeine Formf(x)=ax2+bx+cbesitzt, dann kannst du die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstelle anwenden. Die Mitternachtsformel wird auch quadratische Lösungsformel oder abc-Formel genannt.

    In der allgemeinen Form stehen a, b und c für die jeweiligen Zahlenwerte in der Funktionsgleichung.

    Die Mitternachtsformel lautet

    x1/2=-b±b2-4ac2a

    Die Mitternachtsformel solltest du auswendig können, dann musst du beim Berechnen der Nullstellen nur noch die entsprechenden Zahlen in die Formel einsetzen.

    Der Name "Mitternachtsformel" kommt tatsächlich daher, dass jeder Schüler die Formel auswendig aufsagen können sollte, selbst wenn er um Mitternacht geweckt wird.

    Aufgabe 1

    f(x)=ax2+bx+cf(x)=4x2-2x-6

    Lösung

    1. Schritt: Setze zunächstf(x)gleich null.

    0=4x2-2x-6

    2. Schritt: Du setzt die entsprechenden Zahlen für a, b und c in die Mitternachtsformel ein. Achte dabei auf die richtigen, zugehörigen Vorzeichen.

    x1/2=-(-2)±(-2)2-4·4·(-6)2·4

    3. Schritt: Berechne die Formel mit den eingesetzten Zahlen so weit wie möglich.

    x1/2=-(-2)±(-2)2-4·4·(-6)2·4 =2±4+968 =2±1008 =2±108

    Hier ist jetzt die Frage, wie du mit dem±-Zeichen weitermachen sollst.

    4. Schritt: Du teilst die weitere Rechnung jetzt in zwei Schritte auf.

    Du berechnestx1, indem du in der Rechnung eine Addition durchführst.

    x1=2+108=1,5

    Dann berechnest du nochx2, indem du eine Subtraktion durchführst.

    x2=2-108=-1

    Damit hast du mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen gefunden.

    Schau doch dazu ein Mal im Artikel zur Mitternachtsformel vorbei.

    2. Option: pq-Formel

    Die Gleichung kann auch in der Normalform vorliegen, es steht also vor demx2keine Zahl a mehr:

    f(x)=x2+px+q

    In diesem Fall kannst du zur Lösung der Nullstellen die pq-Formel verwenden.

    Die pq-Formel lautet

    x1/2=-p2±(p2)2-q

    Auch bei der pq-Formel hilft es, die Formel im Kopf zu haben und dann nur noch die Zahlen für p und q einzusetzen.

    Aufgabe 2

    f(x)=x2+px+qf(x)=x2+7x-8

    Lösung

    1. Schritt: Setzef(x)gleich null.

    0=x2+7x-8

    2. Schritt: Setze die entsprechenden Zahlen für p und q mit den richtigen Vorzeichen in die pq-Formel ein.

    x1/2=-72±(72)2-(-8)

    3. Schritt: Führe die Rechnung so weit wie möglich durch.

    x1/2=-3,5±12,25+8 =-3,5±20,25 =-3,5±4,5

    4. Schritt: Gleichermaßen zu Option 1 führst du jetzt, umx1zu berechnen, eine Addition durch.

    x1=-3,5+4,5=1

    Um wiederumx2zu bekommen, führst du eine Subtraktion durch.

    x2=-3,5-4,5=-8

    Die pq-Formel hat dir also beim Berechnen der Nullstellen geholfen.

    Weitere Beispiele gibt es im extra Artikel zur p/q-Formel.

    3. Option: Äquivalenzumformungen – Wurzel ziehen

    Kommt in der Gleichung kein einfaches x erster Ordnung (also in der allgemeinen Form kein "bx") vor, so kann man die Nullstellen ohne Hilfe einer Formel, allein durch Äquivalenzumformungen, berechnen, indem man die Wurzel zieht.

    Mögliche Formen (ohne "bx") sindf(x)=ax2 und f(x)=ax2+c.

    Aufgabe 3

    f(x)=2x2-18

    Lösung

    1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

    0=2x2-18

    2. Schritt: Mithilfe von Äquivalenzumformungen Gleichung nachx2umstellen.

    0=2x2-18 |+1818=2x2| :2x2=9

    3. Schritt: Um jetzt auf die Lösung von x zu kommen, müssen wir die Umkehrfunktion anwenden und somit die Wurzel ziehen.

    x2=9 |x2=9x1=3x2=-3

    Man bekommt zwei Lösungen, da das Ergebnis einer Quadratfunktion das Resultat von zwei Zahlen mit dem gleichen Betrag sein kann (das Vorzeichen wird beim Quadrieren immer positiv).

    Folglich sind die Nullstellen gefunden.

    4. Option: Ausklammern

    Kommen im Funktionsterm nur Koeffizienten (also Beizahlen zu einer Variable) und keine alleinstehende Ziffer (c) vor, dann kannst du die Gleichung durch Ausklammern lösen.

    Der Funktionsterm hat in dem Fall diese allgemeine Form:f(x)=ax2+bx.

    Aufgabe 4

    f(x)=2x2+4x

    Lösung

    1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

    0=2x2+4x

    2. Schritt: Den Term so umformen, dass am Ende ein Produkt dasteht.

    Das erreichst du am besten, indem du ausklammerst. Du kannst immer mindestens das x ausklammern.

    0=2x2+4x0=2x·(x+2)

    Du könntest natürlich auch nur x ausklammern (0=x(2x+4)), das wäre auch korrekt.

    Jetzt hast du ein Produkt aus dem 1. Faktor2xund dem 2. Faktor(x+2)vor. Damit das Ganze jetzt Null ergibt, muss einer der beiden Faktoren Null werden, denn Null multipliziert mit egal welcher anderen Zahl, ergibt immer Null.

    3. Schritt: Um jetzt also die Nullstelle bestimmen zu können, berechnest du für welche Zahlen die beiden Faktoren (1. Faktor: ⁣2xund 2. Faktor: ⁣x+2) den Wert Null ergeben.

    1. Faktor:2x=0 | :2x1=02. Faktor:x+2=0 |-2x2=-2

    Damit hast du die zwei Nullstellen bei 0 und -2 gefunden.

    5. Option: Quadratische Ergänzung

    Bei der quadratischen Ergänzung wandelst du eine Funktion von ihrer allgemeinen Formf(x)=ax2+bx+cin ihre Scheitelpunktformf(x)=a(x-d)2+eum.

    Die Scheitelpunktform erlaubt es dann ganz unkompliziert die Nullstellen zu berechnen.

    Aufgabe 5

    f(x)=3x2-9-6x

    Lösung

    1. Schritt: Zuerst muss der Funktionsterm sortiert werden. Die Reihenfolge sollte folgende sein:x2xZahl.

    f(x)=3x2-6x -9

    Dafür muss in unserem Beispiel-6xweiter nach vorne gestellt werden.

    Außerdem sollte die einzelne Zahl (-9) direkt mit ein wenig Abstand ans Ende gestellt werden.

    2. Schritt: Danach klammerst du die Zahl vor demx2(also die 3) aus. Allerdings nur beim vorne stehenden Term.

    f(x)=3·(x2-2x) -9

    3. Schritt: Innerhalb der Klammer musst du jetzt eine Zahl ergänzen, damit sich eine binomische Formel ergibt.

    Teile den Betrag des Koeffizienten von x durch 2. Der Koeffizient von x ist die Zahl vor dem x.

    f(x)=3·(x2-2x) -9-22=22=1

    Wir ergänzen jetzt das Quadrat der berechneten Zahl (1) innerhalb der Klammer.

    Das Gleiche musst du natürlich auch wieder abziehen, sonst stimmt das Gleichheitszeichen nicht mehr.

    f(x)=3·(x2-2x+12-12) -9

    Schritt 4: Fasse jetzt die ersten drei Terme in der Klammer zu einer binomischen Formel zusammen.

    f(x)=3·(x2-2x+12 -12) -9 =3·(x-1)2 -12 -9

    Falls du gar nicht verstehst, was hier gemacht wird, sieh dir erneut die beiden blauen Terme an. Es handelt sich um eine binomische Formel.

    Schritt 5: Multipliziere die eckige Klammer aus.

    f(x)=3·(x-1)2 -12 -9 =3·(x-1)2+3·(-12) -9

    Schritt 6: Vereinfache den hinteren Teil des Terms zur Scheitelpunktform.

    f(x)=3·(x-1)2+3·(-12) -9 =3·(x-1)2-3-9 =3·(x-1)2-12

    Damit hast du die Scheitelpunktform berechnet.

    Jetzt müssen wir daraus natürlich noch die Nullstellen errechnen. Dafür brauchst du die Scheitelpunktform, jetzt nur noch mit null gleichzusetzen und durch Äquivalenzumformungen nach x aufzulösen.

    Schritt 7: Setze die Scheitelpunktform zur Berechnung der Nullstellen gleich null.

    0=3(x-1)2-12

    Schritt 8: Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach x auf.

    3(x-1)2-12=0 |+123(x-1)2=12| :3(x-1)2=4 |x-1=±2 |+1x=±2+1

    Zieht man von einer Zahl die Wurzel, bekommt man zwei Lösungen. Einmal eine positive und eine negative Lösung.

    Schritt 9: Gebe die Lösungen an.

    x1=+2+1=3x2=-2+1=-1

    Der Artikel Quadratische Ergänzung geht noch genauer auf dieses Thema ein.

    6. Option: Satz von Vieta

    Mithilfe des Satzes von Vieta kannst du die Nullstellen von quadratischen Funktionen im Kopf bestimmen.

    Satz von Vieta

    Für eine quadratische Funktion in der Normalformf(x)=x2+px+qgilt für die Lösungsvariablenx1und x2:

    x1+x2=-p

    Die Summe der Lösungsvariablen ergibt-p(Koeffizient von x).

    x1·x2=q

    Das Produkt der Lösungsvariablen ist gleich q (alleinstehende Zahl im Funktionsterm).

    Wenn du dir diese zwei Zusammenhänge merkst, kannst du sie bei ganzzahligen Lösungen nutzen, um ganz ohne komplizierte Rechnungen eine Lösung fürx1undx2zu finden.

    Aufgabe 6

    f(x)=x2+px+q

    f(x)=x2-8x-9

    Lösung

    1. Schritt: Schreibe dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für q und p aus deiner Funktion ein.

    x1+x2=-p x1+x2=-(-8)=8

    x1·x2=q x1·x2=-9

    2. Schritt: Finde Zahlen, für die das Produkt (x1·x2=q) richtig wird. Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe aufgeht.

    Sinnvoll zum Berechnen vonx1·x2=-9wären zum Beispiel die Zahlen-1 und 9(-1·9=-9).

    Dann wärex1=-1undx2=9.

    Du musst jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, alsox1+x2=8. Für-1+9=8stimmt das, du hast also die zwei Lösungen für diese quadratische Funktion gefunden.

    Gegenbeispiel:

    Vielleicht denkst du aber zuerst auch an diese Zahlen x1=3 und x2=-3, für die ebenfalls das Produkt aufgeht (3·(-3)=-9). Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht (3+(-3)=08). Diese beiden Lösungsvariablen wären also falsch.

    Beim Satz vom Vieta geht es also darum, dass du im Kopf Möglichkeiten findest, die beiden Bedingungen (Summe und Produkt) zu erfüllen.

    Der Satz von Vieta klingt für dich noch ziemlich kompliziert? Dann schau im Artikel zum Satz von Vieta vorbei.

    7. Option: Nullstellen ablesen – graphische Lösung

    Eine letzte Möglichkeit, um Nullstellen zu bestimmen, ist durch Ablesen der Nullstelle von einem vorgegebenen Funktionsgraphen.

    Dieses Verfahren kann allerdings recht ungenaue Ergebnisse hervorbringen, gerade wenn die Nullstelle keine ganze Zahl ist.

    Aufgabe 7

    Die Nullstellen der in Abbildung 3 eingezeichneten Funktionf(x)sollen gefunden werden. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

    1. Schritt: Du schaust entlang der x-Achse (hier türkis eingefärbt).

    2. Schritt: Du markierst die Punkte der Funktion (hier orange), die die x-Achse schneiden oder berühren.

    3. Schritt: Du liest die x-Werte der Schnittpunkte beziehungsweise Berührpunkte ab. Sie sind in diesem Fall beix1=-3 und x2=3.

    Die zugehörigen Schnittpunkte liegen also beix1 (-3|0)undx2 (3|0).

    Nullstellen berechnen quadratische Funktion Nullstellen einer Quadratischen Funktion ablesen StudySmarterAbbildung 3: Nullstellen einer quadratischen Funktion ablesen

    Nullstellen berechnen quadratische Funktion Das Wichtigste

    • Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form f(x)=ax2+bx+c.

    • Eine Nullstelle einer Funktionf(x)ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die giltf(a)=0.Graphisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnittpunktes oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.

    • Für das Berechnen der Nullstellen einer quadratischen Funktion gibt es folgende Möglichkeiten:

    1. Mitternachtsformel: x1/2=-b±b2-4ac2a
    2. p/q-Formel: x1/2=-p2±(p2)2-q
    3. Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
    4. Ausklammern
    5. Quadratische Ergänzung
    6. Satz von Vieta: Für eine quadratische Funktion in der Normalform f(x)=x2+px+q gilt für die Lösungsvariablen x1 und x2: ⁣x1+x2=-p und x1·x2=q
    7. Nullstellen ablesen/graphische Lösung
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Nullstellen berechnen quadratische Funktion

    Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben?

    Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen, aber auch keine oder nur eine Nullstelle haben.

    Wann hat eine quadratische Funktion zwei Nullstellen, eine Nullstelle oder keine Nullstelle?

    Eine Funktion hat zwei Nullstellen, wenn die beiden Schenkel der Parabel die x-Achse schneiden. 

    Sie hat nur eine Nullstelle, wenn nur der Scheitelpunkt der Parabel die x-Achse berührt.

    Keine Nullstelle hat eine quadratische Funktion, wenn der Scheitelpunkt oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse liegt und die Öffnung von der x-Achse wegzeigt.

    Wie berechnet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?

    Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:

    • Mitternachtsformel
    • p/q-Formel
    • Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
    • Ausklammern
    • Quadratische Ergänzung
    • Satz von Vieta
    • Nullstellen ablesen /Graphische Lösung

    Wie berechnet man eine quadratische Funktion?

    Soll eine quadratische Funktion berechnet werden, dann sollen immer die Nullstellen berechnet werden.

    Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion auf sieben verschiedene Arten lösen:

    • Mitternachtsformel
    • p/q-Formel
    • Äquivalenzumformungen/Wurzel ziehen
    • Ausklammern
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    Entscheide, was die beiden Zusammenhänge des Satzes von Vieta zwischen den Lösungsvariablen \(x_1\) und \(x_2\) und den Koeffizienten \(p\) und \(q\) sind.

    Wähle die beiden Bedingungen des Satzes von Vietas aus.

    Entscheide: Bei quadratischen Funktionen mit einer einzigen Nullstelle \(x_1\), setzt Du:

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