Nullstellen berechnen quadratische Funktion

Aufgabe 1

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c \\ f\left(x\right)=4x^2-2x-6 \end{gathered}$$

Lösung

1. Schritt: Setze zunächst$f\left(x\right)$gleich null.

$0=4x^2-2x-6$

2. Schritt: Du setzt die entsprechenden Zahlen für a, b und c in die Mitternachtsformel ein. Achte dabei auf die richtigen, zugehörigen Vorzeichen.

$x_{1/2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{{(-2)}^2-4·4·(-6)}}{2·4}$

3. Schritt: Berechne die Formel mit den eingesetzten Zahlen so weit wie möglich.

$$\begin{gathered} x_{1/2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{{(-2)}^2-4·4·(-6)}}{2·4} \\ =\frac{2\pm \sqrt{4+96}}{8} \\ =\frac{2\pm \sqrt{100}}{8} \\ =\frac{2\pm 10}{8} \end{gathered}$$

Hier ist jetzt die Frage, wie du mit dem$\pm$-Zeichen weitermachen sollst.

4. Schritt: Du teilst die weitere Rechnung jetzt in zwei Schritte auf.

Du berechnest$x_1$, indem du in der Rechnung eine Addition durchführst.

$x_1=\frac{2+10}{8}=1,5$

Dann berechnest du noch$x_2$, indem du eine Subtraktion durchführst.

$x_2=\frac{2-10}{8}=-1$

Damit hast du mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen gefunden.

Aufgabe 2

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2+px+q \\ f\left(x\right)=x^2+7x-8 \end{gathered}$$

Lösung

1. Schritt: Setze$f\left(x\right)$gleich null.

$0=x^2+7x-8$

2. Schritt: Setze die entsprechenden Zahlen für p und q mit den richtigen Vorzeichen in die pq-Formel ein.

$x_{1/2}=-\frac{7}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{7}{2}\right)}^2-(-8)}$

3. Schritt: Führe die Rechnung so weit wie möglich durch.

$$\begin{gathered} x_{1/2}=-3,5\pm \sqrt{12,25+8} \\ =-3,5\pm \sqrt{20,25} \\ =-3,5\pm 4,5 \end{gathered}$$

4. Schritt: Gleichermaßen zu Option 1 führst du jetzt, um$x_1$zu berechnen, eine Addition durch.

$x_1=-3,5+4,5=1$

Um wiederum$x_2$zu bekommen, führst du eine Subtraktion durch.

$x_2=-3,5-4,5=-8$

Die pq-Formel hat dir also beim Berechnen der Nullstellen geholfen.

Aufgabe 3

$f\left(x\right)=2x^2-18$

Lösung

1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

$0=2x^2-18$

2. Schritt: Mithilfe von Äquivalenzumformungen Gleichung nach$x^2$umstellen.

$\begin{array}{cccc}0& =& 2x^2-18& |+18\\ 18& =& 2x^2& |:2\\ x^2& =& 9& \end{array}$

3. Schritt: Um jetzt auf die Lösung von x zu kommen, müssen wir die Umkehrfunktion anwenden und somit die Wurzel ziehen.

$\begin{array}{cccc}{x}^2& =& 9& |\sqrt{}\\ \sqrt{x^2}& =& \sqrt{9}& \\ & & & \\ x_1& =& 3& \\ x_2& =& -3& \end{array}$

Folglich sind die Nullstellen gefunden.

Aufgabe 4

$f\left(x\right)=2x^2+4x$

Lösung

1. Schritt: f(x) gleich null setzen.

$0=2x^2+4x$

2. Schritt: Den Term so umformen, dass am Ende ein Produkt dasteht.

Das erreichst du am besten, indem du ausklammerst. Du kannst immer mindestens das x ausklammern.

$\begin{array}{ccc}0& =& 2x^2+4x\\ 0& =& 2x·(x+2)\end{array}$

Du könntest natürlich auch nur x ausklammern ($0=x(2x+4)$), das wäre auch korrekt.

Jetzt hast du ein Produkt aus dem 1. Faktor$2x$und dem 2. Faktor$(x+2)$vor. Damit das Ganze jetzt Null ergibt, muss einer der beiden Faktoren Null werden, denn Null multipliziert mit egal welcher anderen Zahl, ergibt immer Null.

3. Schritt: Um jetzt also die Nullstelle bestimmen zu können, berechnest du für welche Zahlen die beiden Faktoren (1. Faktor: ⁣$2x$und 2. Faktor: ⁣$x+2$) den Wert Null ergeben.

$\begin{array}{cccccc}1.Faktor:& 2x& =& 0& |:2& \\ & {\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}& \mathbf{=}& \mathbf{0}& & \\ 2.Faktor:& x+2& =& 0& |-2& \\ & {\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}& \mathbf{=}& \mathbf{-}\mathbf{2}& & \end{array}$

Damit hast du die zwei Nullstellen bei 0 und -2 gefunden.

Aufgabe 5

$f\left(x\right)=3x^2-9-6x$

Lösung

1. Schritt: Zuerst muss der Funktionsterm sortiert werden. Die Reihenfolge sollte folgende sein:$x^2\to x\to Zahl$.

$f\left(x\right)=3x^2-6x-9$

Dafür muss in unserem Beispiel$-6x$weiter nach vorne gestellt werden.

Außerdem sollte die einzelne Zahl ($-9$) direkt mit ein wenig Abstand ans Ende gestellt werden.

2. Schritt: Danach klammerst du die Zahl vor dem$x^2$(also die 3) aus. Allerdings nur beim vorne stehenden Term.

$f\left(x\right)=3·(x^2-2x)-9$

3. Schritt: Innerhalb der Klammer musst du jetzt eine Zahl ergänzen, damit sich eine binomische Formel ergibt.

Teile den Betrag des Koeffizienten von x durch 2. Der Koeffizient von x ist die Zahl vor dem x.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3·(x^2-2x)-9 \\ \frac{\left|-2\right|}{2}=\frac{2}{2}=\mathbf{1} \end{gathered}$$

Wir ergänzen jetzt das Quadrat der berechneten Zahl (1) innerhalb der Klammer.

Das Gleiche musst du natürlich auch wieder abziehen, sonst stimmt das Gleichheitszeichen nicht mehr.

$f\left(x\right)=3·(x^2-2x+1^2-1^2)-9$

Schritt 4: Fasse jetzt die ersten drei Terme in der Klammer zu einer binomischen Formel zusammen.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3·(x^2-2x+1^2-1^2)-9 \\ =3·\left[{(x-1)}^2-1^2\right]-9 \end{gathered}$$

Falls du gar nicht verstehst, was hier gemacht wird, sieh dir erneut die beiden blauen Terme an. Es handelt sich um eine binomische Formel.

Schritt 5: Multipliziere die eckige Klammer aus.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3·\left[{(x-1)}^2-1^2\right]-9 \\ =3·{(x-1)}^2+3·(-1^2)-9 \end{gathered}$$

Schritt 6: Vereinfache den hinteren Teil des Terms zur Scheitelpunktform.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3·{(x-1)}^2+3·(-1^2)-9 \\ =3·{(x-1)}^2-3-9 \\ =3·{(x-1)}^2-12 \end{gathered}$$

Damit hast du die Scheitelpunktform berechnet.

Jetzt müssen wir daraus natürlich noch die Nullstellen errechnen. Dafür brauchst du die Scheitelpunktform, jetzt nur noch mit null gleichzusetzen und durch Äquivalenzumformungen nach x aufzulösen.

Schritt 7: Setze die Scheitelpunktform zur Berechnung der Nullstellen gleich null.

$0=3{(x-1)}^2-12$

Schritt 8: Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach x auf.

$\begin{array}{ccccc}3{(x-1)}^2-12& =& 0& |+12& \\ 3{(x-1)}^2& =& 12& |:3& \\ {(x-1)}^2& =& 4& |\sqrt{}& \\ x-1& =& \pm 2& |+1& \\ x& =& \pm 2+1& & \end{array}$

Schritt 9: Gebe die Lösungen an.

$$\begin{gathered} x_1=+2+1=3 \\ {x}_2=\mathbf{-}2+1=-1 \end{gathered}$$

Aufgabe 6

$f\left(x\right)=x^2+px+q$

$f\left(x\right)=x^2-8x-9$

Lösung

1. Schritt: Schreibe dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für q und p aus deiner Funktion ein.

$x_1+x_2=-p\to x_1+x_2=-(-8)=8$

$x_1·x_2=q\to x_1·x_2=-9$

2. Schritt: Finde Zahlen, für die das Produkt ($x_1·x_2=q$) richtig wird. Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe aufgeht.

Sinnvoll zum Berechnen von$x_1·x_2=-9$wären zum Beispiel die Zahlen$-1\mathrm{und}9$($-1·9=-9$).

Dann wäre$x_1=-1$und$x_2=9$.

Du musst jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also$x_1+x_2=8$. Für$-1+9=8$stimmt das, du hast also die zwei Lösungen für diese quadratische Funktion gefunden.

Gegenbeispiel:

Vielleicht denkst du aber zuerst auch an diese Zahlen $x_1=3$ und $x_2=-3$, für die ebenfalls das Produkt aufgeht ($3·(-3)=-9$). Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht ($3+(-3)=0\ne 8$). Diese beiden Lösungsvariablen wären also falsch.

Beim Satz vom Vieta geht es also darum, dass du im Kopf Möglichkeiten findest, die beiden Bedingungen (Summe und Produkt) zu erfüllen.

Aufgabe 7

Die Nullstellen der in Abbildung 3 eingezeichneten Funktion$f\left(x\right)$sollen gefunden werden. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

1. Schritt: Du schaust entlang der x-Achse (hier türkis eingefärbt).

2. Schritt: Du markierst die Punkte der Funktion (hier orange), die die x-Achse schneiden oder berühren.

3. Schritt: Du liest die x-Werte der Schnittpunkte beziehungsweise Berührpunkte ab. Sie sind in diesem Fall bei$x_1=-3$ und $x_2=3$.

Die zugehörigen Schnittpunkte liegen also bei$x_1(-3|0)$und$x_2\left(3\right|0)$.

Abbildung 3: Nullstellen einer quadratischen Funktion ablesen