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Du hast dich schon öfter mit der natürlichen Exponentialfunktion 
beschäftigt und möchtest nun auch noch die allgemeine Exponentialfunktion integrieren? Hier lernst du alles Wichtige zu dieser Funktion – von der Definition bis zur Berechnung ihres Intergrals.
Die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst du immer dann, wenn du ein Integral mit dieser lösen möchtest.
Der Artikel "Exponentialfunktion" beinhaltet noch einmal alle wichtigen Grundlagen und Eigenschaften zu diesem Funktionstyp, den wir nachfolgend integrieren wollen.
Zur Wiederholung findest du hier zunächst die Definition der allgemeine Exponentialfunktion.
Im Gegensatz zur e-Funktion ist sowohl das Ableiten als auch das Integrieren der allgemeinen Exponentialfunktion aufwendiger.
Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" hast du gelernt, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante 
dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.
Um die Stammfunktion zu bilden, musst du die Ableitung rückwärts durchführen.
Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.
Du siehst, dass bei der Ableitung 
die Basis 
und der Exponent 
gleich bleiben und sich nicht verändern. Das Ganze wird lediglich mit dem Ausdruck 
multipliziert.
Zum Verständnis schaue dir zunächst ein Beispiel an.
Du hast die Funktion 
mit 
und deren Ableitung 
gegeben.
Ziel ist nun die Ableitung rückwärts durchzuführen und damit zu integrieren. Die Stammfunktion der Ableitung 
ist die Funktion 
. Es muss also Folgendes gelten:
Beim Ableiten wird der Ausdruck
vor die Funktion gezogen, deshalb musst du beim Integrieren mit 
multiplizieren, um den Ausdruck 
wegzukürzen.
Du siehst, dass du lediglich durch den Ausdruck 
dividieren musst. In diesem Fall ist die Konstante 
. Somit ist die Funktion 
nur eine mögliche Stammfunktion von 
.
Jetzt hast du eine Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion 
gebildet, ohne dass du die Integrationsregeln anwendest. Schauen wir uns das Ganze einmal mathematisch an.
Die Stammfunktion 
der allgemeinen Exponentialfunktion 
lautet:
Zur Erinnerung: 
Wie die Stammfunktion entsteht, kannst du dem vertiefenden Abschnitt entnehmen.
Damit du die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion 
bilden kannst, musst du die allgemeine Exponentialfunktion in eine e-Funktion umschreiben.
Da es sich bei der allgemeinen Exponentialfunktion um eine verkettete Funktion handelt, benötigst du bei der Ableitung die Kettenregel. Das Gegenteil beim Integrieren ist dazu die Integration durch Substitution. Allerdings wird in der Schule meist auch beim Integrieren von der Kettenregel gesprochen.
Zur Erinnerung:
Eine Kettenregel bei der Exponentialfunktion hast du dann vorliegen, wenn im Exponent nicht nur 
steht.
Die benötigten Integrationsregeln findest du in unseren Artikeln zu den "Integrationsregeln" und "Integration durch Substitution".
Nun musst du die Kettenregel anwenden sowie die innere und äußere Funktion definieren.
Für die Stammfunktion brauchst du die Stammfunktion der äußeren Funktion 
und die Ableitung der inneren Funktion 
.
Damit ergibt sich folgender Ausdruck:
Schreibst du die e-Funktion wieder in eine allgemeine Exponentialfunktion um, erhältst du folgende Stammfunktion.
Jetzt kennst du die Stammfunktion 
der allgemeinen Exponentialfunktion. Um die Regel zu verinnerlichen, findest du hier ein Beispiel:
Aufgabe 1
Bestimme die Stammfunktion 
der Funktion 
mit 
.
Lass dich durch das 
und 
nicht verwirren. Sie können wie eine ganz normale Zahl bzw. Konstante behandelt werden.
Lösung
Zuerst musst du die Basis 
identifizieren.
Als Nächstes kannst du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und schon hast du die fertige Stammfunktion.
Der Konstanten 
wird lediglich ein 
hinzugefügt.
Vergiss zum Schluss nicht, die Konstante C zu addieren.
Die Theorie zur Integration der allgemeinen Exponentialfunktion kennst du damit bereits. Wende diese gleich bei der Berechnung solcher Integrale an.
Die Stammfunktion 
der Exponentialfunktion 
brauchst du meist für das Lösen eines Integrals. Dabei kannst du die Stammfunktion beim Integral mit den Grenzen 
und 
wie folgt anwenden.
Bestimmtes Integral der allgemeinen Exponentialfunktion 
mit den Grenzen 
und 
:
Achtung: Sowohl die Basis der Exponentialfunktion als auch die untere Grenze haben denselben Buchstaben a, sind jedoch nicht das Gleiche!
Dazu kannst du dir zwei weitere Anwendungen ansehen.
Aufgabe 2
Berechne exakt das Integral 
.
Lösung
Zuerst ist es wieder hilfreich, die Basis 
zu identifizieren.
Damit erhältst du folgendes Integral.
Aufgabe 3
Das Integral 
ist gegeben. Gesucht ist die Grenze 
, bei der die Gleichung erfüllt ist.
Zeichne zusätzlich das Schaubild der Funktion 
und schraffiere die Fläche unterhalb des Graphen von 
bis 
.
Lösung
Zeichne zuerst das Schaubild der Funktion 
. Für solche Funktionen kannst du entweder über deinen Taschenrechner eine Tabelle erstellen oder auch gerne über ein Zeichenprogramm deine Funktion zeichnen lassen.
Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)
Dann kannst du wieder die Basis 
identifizieren.
Danach musst du die linke Seite des Integrals berechnen, indem du die Stammfunktion bildest.
Als Nächstes musst du den Ausdruck 
mit dem Ergebnis des Integrals 
gleichsetzen und nach 
auflösen.
Somit ist die obere Grenze 
und es ergibt sich folgendes Integral.
Als letzten Schritt musst du die Fläche 
noch in der Abbildung 
schraffieren.
Abbildung 2: Fläche unterhalb des Graphen der Funktion f(x)
der allgemeinen Exponentialfunktion lautet: 
und 
gilt folgende Gleichung: 
Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich über Integration durch Substitution integrieren. Damit ergibt sich die allgemeine Stammfunktion der Exponentialfunktion: F(x)=ax/ln(a) + C
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und 
ist.
