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In diesem Artikel erklären wir dir die partielle Ableitung. Für die partielle Ableitung gelten alle allgemeinen Ableitungsregeln. Am besten schaust du dir den Artikel zu den Ableitungsregeln an, um die partielle Ableitung besser zu verstehen. Die partielle Ableitung ist ein Unterthema der Ableitungsregeln und gehört zum Fach Mathe.
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Jetzt kostenlos anmeldenIn diesem Artikel erklären wir dir die partielle Ableitung. Für die partielle Ableitung gelten alle allgemeinen Ableitungsregeln. Am besten schaust du dir den Artikel zu den Ableitungsregeln an, um die partielle Ableitung besser zu verstehen. Die partielle Ableitung ist ein Unterthema der Ableitungsregeln und gehört zum Fach Mathe.
Aus dem Artikel zu den Ableitungsregeln wissen wir schon, wie das Ableiten im Allgemeinen funktioniert. Wenn du das nochmal wiederholen willst, klicke einfach auf den Begriff und du gelangst direkt zum Artikel. Nun lernen wir die partielle Ableitung kennen.
Hat eine Funktion mehrere Variablen und wird aber nur nach einer der Variablen abgeleitet, so spricht man von einer partiellen Ableitung. Es wird also nur ein Teil – oder ein Part – der Funktion abgeleitet. Daher kommt auch die Bezeichnung der partiellen Ableitung.
Wir betrachten die Funktion:
Sie hat zwei Variablen: x und y. Man kann nun die Funktion entweder nach x oder nach y ableiten. Die jeweils andere Variable, die nicht abgeleitet wird, verhält sich dabei wie eine Konstante. Zur Erinnerung: Die Ableitung einer Konstanten ist null.
Wir leiten nun also zum Beispiel nach x ab. Die Variable y kannst du dir jetzt als Konstante vorstellen, die zum Beispiel dem Wert 3 entspricht. Somit lautet die Funktion nun . Diese Funktion kann ganz normal nach den Ableitungsregeln abgeleitet werden. Die abgeleitete Funktion ist
.
Man kann nun auch x als Konstante setzten und y ableiten. Das Verfahren funktioniert dann genauso.
Wir denken uns: . Die Ableitung ist dann:
Die Vorstellung, dass die Variablen als Konstante bestimmten Werten entsprechen, ist natürlich nur eine Denkhilfe. Du kannst die Funktionen auch direkt ableiten, ohne dir vorher einen Wert auszudenken. Die Hauptsache ist, dass du eine Variable als Konstante behandelst.
Bei der partiellen Ableitung müssen alle allgemeinen Ableitungsregeln beachtet werden. Es gilt also unter anderem die Summenregel, die Quotientenregel, die Produktregel sowie die Kettenregel.
Das obige Beispiel für eine partielle Ableitung war eine partielle Ableitung erster Ordnung. Im Zusammenhang mit partiellen Ableitungen spricht man nämlich von der Ableitung 1. Ordnung, wenn nur einmal abgeleitet wurde. Falls die Funktion zweimal abgeleitet wurde, spricht man von einer Ableitung 2. Ordnung. Eine Ableitung 3. Ordnung ist dann eine dreimal abgeleitete Funktion und so weiter.
Für die partielle Ableitung höherer Ordnung gilt demnach das selbe Prinzip. Wird die partielle Ableitung 1. Ordnung nochmal nach x oder nach y abgeleitet, so wird von der partiellen Ableitung 2. Ordnung gesprochen.
Wir schauen uns ein Beispiel an:
Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung lauten:
Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen 2. Ordnung, indem wir zunächst nochmal nach x ableiten:
Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung können aber natürlich auch nochmal nach y abgeleitet werden. Die Ableitungen 2. Ordnung lauten dann:
fyy(x,y)=4 und fyx(x,y)=1
Man kann nun feststellen, dass die Zahl der möglichen Ableitungen schnell immer größer wird. Eine Funktion mit beispielsweise zwei Variablen besitzt also zwei partielle Ableitungen 1. Ordnung, vier partielle Ableitungen 2. Ordnung und acht partielle Ableitungen 3. Ordnung.
Die mathematische Schreibweise für die partielle Ableitung 1. Ordnung sieht so aus für eine Ableitung nach x: und so für eine Ableitung nach y:
Um die partielle Ableitung 2. Ordnung mathematisch zu kennzeichnen, benutzt man folgende Ausdrücke:
Mit höheren Ableitungen wie der partiellen Ableitung 3. oder 4. Ordnung kann diese Schreibweise weitergeführt werden.
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