Partielle Ableitung

Was ist die partielle Ableitung?

Aus dem Artikel zu den Ableitungsregeln wissen wir schon, wie das Ableiten im Allgemeinen funktioniert. Wenn du das nochmal wiederholen willst, klicke einfach auf den Begriff und du gelangst direkt zum Artikel. Nun lernen wir die partielle Ableitung kennen.

Hat eine Funktion mehrere Variablen und wird aber nur nach einer der Variablen abgeleitet, so spricht man von einer partiellen Ableitung. Es wird also nur ein Teil – oder ein Part – der Funktion abgeleitet. Daher kommt auch die Bezeichnung der partiellen Ableitung.

• Bei einer partiellen Ableitung leitet man nur eine Variable einer Funktion mit mehreren Variablen ab.

Wie leitet man partiell ab?

Wir betrachten die Funktion:

Sie hat zwei Variablen: x und y. Man kann nun die Funktion entweder nach x oder nach y ableiten. Die jeweils andere Variable, die nicht abgeleitet wird, verhält sich dabei wie eine Konstante. Zur Erinnerung: Die Ableitung einer Konstanten ist null.

Die partielle Ableitung der Funktion nach x

Wir leiten nun also zum Beispiel nach x ab. Die Variable y kannst du dir jetzt als Konstante vorstellen, die zum Beispiel dem Wert 3 entspricht. Somit lautet die Funktion nun . Diese Funktion kann ganz normal nach den Ableitungsregeln abgeleitet werden. Die abgeleitete Funktion ist .

Die partielle Ableitung der Funktion nach y

Man kann nun auch x als Konstante setzten und y ableiten. Das Verfahren funktioniert dann genauso.

Wir denken uns: . Die Ableitung ist dann:

Die Vorstellung, dass die Variablen als Konstante bestimmten Werten entsprechen, ist natürlich nur eine Denkhilfe. Du kannst die Funktionen auch direkt ableiten, ohne dir vorher einen Wert auszudenken. Die Hauptsache ist, dass du eine Variable als Konstante behandelst.

Bei der partiellen Ableitung müssen alle allgemeinen Ableitungsregeln beachtet werden. Es gilt also unter anderem die Summenregel, die Quotientenregel, die Produktregel sowie die Kettenregel.

• Bei der partiellen Ableitung wird nach einer Variablen abgeleitet. Die andere wird dabei behandelt wie eine Konstante.
• Es gelten bei der partiellen Ableitung alle allgemeinen Ableitungsregeln.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Das obige Beispiel für eine partielle Ableitung war eine partielle Ableitung erster Ordnung. Im Zusammenhang mit partiellen Ableitungen spricht man nämlich von der Ableitung 1. Ordnung, wenn nur einmal abgeleitet wurde. Falls die Funktion zweimal abgeleitet wurde, spricht man von einer Ableitung 2. Ordnung. Eine Ableitung 3. Ordnung ist dann eine dreimal abgeleitete Funktion und so weiter.

Für die partielle Ableitung höherer Ordnung gilt demnach das selbe Prinzip. Wird die partielle Ableitung 1. Ordnung nochmal nach x oder nach y abgeleitet, so wird von der partiellen Ableitung 2. Ordnung gesprochen.

Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung einer Beispielsfunktion

Wir schauen uns ein Beispiel an:

Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung lauten:

Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen 2. Ordnung, indem wir zunächst nochmal nach x ableiten:

Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung können aber natürlich auch nochmal nach y abgeleitet werden. Die Ableitungen 2. Ordnung lauten dann:

fyy(x,y)=4 und fyx(x,y)=1

Man kann nun feststellen, dass die Zahl der möglichen Ableitungen schnell immer größer wird. Eine Funktion mit beispielsweise zwei Variablen besitzt also zwei partielle Ableitungen 1. Ordnung, vier partielle Ableitungen 2. Ordnung und acht partielle Ableitungen 3. Ordnung.

• Nach der ersten partiellen Ableitung einer Funktion erhält man die partielle Ableitung 1. Ordnung.
• Leitet man die Funktion zweimal hintereinander ab, erhält man die partielle Ableitung 2. Ordnung.
• So geht es mit allen Ableitungen höherer Ordnung weiter.
• Die Zahl der möglichen Ableitungen steigt schnell mit der Zahl der Ordnung der Ableitung.

Die Schreibweise der partiellen Ableitung

Die mathematische Schreibweise für die partielle Ableitung 1. Ordnung sieht so aus für eine Ableitung nach x: und so für eine Ableitung nach y:

Um die partielle Ableitung 2. Ordnung mathematisch zu kennzeichnen, benutzt man folgende Ausdrücke:

Mit höheren Ableitungen wie der partiellen Ableitung 3. oder 4. Ordnung kann diese Schreibweise weitergeführt werden.

Die partielle Ableitung – Alles Wichtige auf einen Blick

• Bei einer partiellen Ableitung leitet man nur eine Variable einer Funktion mit mehreren Variablen ab.
• Bei der partiellen Ableitung wird nach einer beliebigen Variable abgeleitet (zum Beispiel x oder y). Die andere wird dabei behandelt wie eine Konstante.
• Je nachdem wie oft eine Funktion partiell abgeleitet wird, erhält man die partielle Ableitung 1., 2., 3., usw. Ordnung.
• Die Zahl der möglichen Ableitungen steigt schnell mit der Zahl der Ordnung der Ableitung.
• Die partielle Ableitung 1. Ordnung wird mathematisch wie folgt ausgedrückt: