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Periodizität

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Periodizität

In diesem Artikel erfährst du alles über die Periodizität. Wir erklären dir, was man unter der Periodizität versteht und wie du periodische Funktionen bestimmen kannst. Außerdem gehen wir zwei Übungsaufgaben durch, um dir praktische Erfahrungen zu geben. Dieses Thema gehört zur Mathematik und es lässt sich unter Eigenschaften von Funktionsgraphen einordnen.

Am Ende dieses Artikels findest du eine Zusammenfassung, die alle wichtigen Punkte dieses Themas enthält.

Was versteht man unter der Periodizität?

Die Periodizität in der Mathematik beschreibt Funktionen, bei denen sich die Funktionswerte bzw. y-Werte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Diese Funktionen werden aufgrund dieser Eigenschaft auch als periodisch bezeichnet. Die Graphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch d.h. die Funktionswerte überdecken sich bei einer Verschiebung in x-Richtung durch den Parameter p oder k*p, falls dies noch im Definitionsbereich liegt. Gute Beispiele von periodischen Funktionen sind die Kosinus-und Sinusfunktionen, die eine Periode von 2π aufweisen. An dem folgendem Beispiel kann man die Periodizität der Funktion sehen:

Hier kann man die Periode der Sinusfunktion sehen.

Wenn wir uns die Sinusfunktion anschauen, können wir klar sehen, dass sich die Funktionswerte wiederholen. Dies passiert stets bei einer Verschiebung von 2π in x-Richtung, wie es bei der Graphik gezeigt wird. Das besondere an der Sinuskurve ist, dass sie sich nicht ändert. Sie wiederholt immer das Schema. Aus diesem Grund wird die Sinusfunktion auch periodisch bezeichnet. Bei einer Periode in der Mathematik wiederholen sich stets bestimmte Zahlenwerte unendlich mal. Zum Beispiel wiederholt sich bei die Zahl 3 unendlich oft. Bei periodischen Funktion trifft wie bei Perioden die gleiche Eigenschaft zu. Daher können wir festhalten, dass periodische Funktionen sich stets nach einer bestimmten Verschiebung in x-Richtung regelmäßig wiederholen.

Wie kann man eine periodische Funktion bestimmen?

Bei der Periodizität wird von dir gefordert, die Periode von Funktionen zu bestimmen. Bei normalen Kosinus- und Sinusfunktionen ist die Antwort leicht. Nämlich liegt die Periode bei 2π. Daher beträgt die Periode 2π. Wenn wir versuchen damit eine Formel zu erstellen, dann sieht sie wie folgt aus:

sin(x) = sin(x + )

Wir können die Richtigkeit dieser Formel kurz prüfen, indem wir ein Beispiel heranziehen. Für x nehmen wir einfach mal die Zahl π. Wenn wir dies dann in unsere Formel einsetzen:

sin(π) = sin(π + 2π)

sin(π ) = sin(3π )

Jetzt überprüfen wir es, indem wir eine Sinuskurve aufzeichnen:

Unsere Formel scheint wohl zu funktionieren. Übrigens, lass dich nicht von dem Punkt (2π|0) verwirren. Es stimmt, dass der Funktionswert des Punktes ebenfalls 0 beträgt, aber wenn man den Verlauf der Kurve genauer betrachtet, dann merkt man, dass dieser von den Punkten A und B verschieden ist.

Wir können jetzt eine Parameter in unsere Formel hinzufügen. Nämlich gilt, dass bei einer Verschiebung von 2π in x-Richtung die Funktionswerte sich anfangen zu wiederholen. Dies trifft auch zu, wenn die Verschiebung 4π,6π,8π... in x-Richtung beträgt. Wir können diese Parameter k nennen. Mit der eingesetzt sieht unsere Formel nun so aus:

sin(x) = sin(k*2π + x)

Wir können die Richtigkeit wieder kurz prüfen, indem wir das zuvor gegebene Beispiel nehmen. Hier setzen wir k einfach mal 2:

sin(π) = sin(2*2π + π)

sin(π) = sin(5π)

Wir können aus dem Graphen sehen, dass die Formel richtig ist.

Wir haben bis jetzt für die Periodizität immer 2π verwendet, aber nicht jede periodische Funktion hat die gleiche Periode. Daher verwenden wir einen weiteren Parameter, der die Periode beschreibt. Diesen Parameter nennen wir p. Außerdem muss unsere Formel auch andere periodische Funktionen darstellen können. Daher sieht unsere Formel jetzt so aus:

f(x) = f(k*p + x)

Schließen wir diesen Abschnitt jetzt mit zwei Übungsaufgaben ab.

1. Aufgabe: Bestimme die Periode von der Funktion f(x) = sin(3x).

In dieser Aufgabe suchen wir einen Wert für die Periode der Funktion, also für p. Den Parameter k können wir erstmal vernachlässigen. An der Funktion können wir sehen, dass sie in x-Richtung gestaucht ist. Durch die Stauchung verändert sich die normalerweise übliche Periode 2π einer Sinusfunktion. Daher nehmen wir die Stauchung fürs erste aus der Klammer raus damit wir die Periode finden können. Unsere Formel sieht dann so aus:

f(x) = f(k*p + x)

sin(3x) = sin(3*p + 3*x)

sin(3x) = sin(3*(p + x))

Da wir wissen, dass die Periode üblicherweise 2π beträgt, setzten wir für p diesen Wert ein:

sin(3x) = sin(3*(2π + x))

Aber durch die drei vor der Klammer ändert sich der Wert der Periodizität, was wir nicht wollen. Daher ändern wir die Periodizität so, dass bei der Multiplikation von der drei mit der Periode die Zahl 3 gekürzt werden kann. Dies können wir erreichen, indem wir die Periodizität in einen Bruch wandeln, wo der Nenner die drei beträgt:

sin(3x) = sin(3*(+ x))

Am Ende steht dann:

sin(3x) = sin(2π + 3x)

sin(3x) = sin(5x)

Die Periode p beträgt

2. Aufgabe: Bestimme die Periode der Funktion g(x) = cos(π * x + 2)

Hier suchen wir wieder einen Wert für die Periode p. Im Gegensatz zur der vorigen Aufgabe ist jetzt eine Addition innerhalb der Klammer hinzugekommen, die wir aber vernachlässigen können, da sie keinen Einfluss auf die Periode nimmt. Wir folgen dem einfach dem alten Schema, um die Aufgabe zu lösen:

f(x) = f(p + x)

cos(π*x + 2 ) = cos(π * x + π * p + 2)

cos(π*x + 2 ) = cos(π*(x + p) + 2)

cos(π*x + 2 ) = cos(π*(x +) + 2)

cos(π*x + 2 ) = cos(π*(x + 2) + 2)

cos(π*x + 2) = cos(π*x + 2π + 2)

Die Periode p = 2

Du kannst diese Rechnung deutlich verkürzen, indem du diese Formel hier verwendest:

f(x) = a * sin(b*x + c) + d (cos anstatt von sin geht auch)

p =

Wenn wir das dann auf die Funktion g(x) anwenden:

g(x) = cos(π*x + 2 )

p =

p = 2

Mit einem Beispielwert können wir sicher gehen, dass unser Ergebnis stimmt. Nehmen wir für x den Wert 0.

Periodizität - Alles Wichtige auf einen Blick

  • Die Periodizität beschreibt verschiebungssymmetrische Funktionen, bei denen sich die Funktionswerte in Abhängigkeit der Periode wiederholen.
  • Periodische Funktionen können mit der folgenden Formel beschrieben werden. Der Parameter p stellt die Periode und k die Anzahl an Perioden dar.

f(x) = f(k*p + x)

  • Die Kosinus- und Sinusfunktionen haben die Periode 2π.
  • Wenn eine periodische Funktion gestaucht oder gestreckt ist, ändert sich die Größe der Periode.

f(x) = a * sin(b*x + c) + d (cos anstatt von sin möglich)

p =

Häufig gestellte Fragen zum Thema Periodizität

Eine Funktion ist periodisch, wenn sich die Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Graphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch d.h. die Funktionswerte überdecken sich bei einer Verschiebung in x-Richtung durch den Parameter p oder k*p, falls dies noch im Definitionsbereich liegt. Bekannte Beispiele von periodischen Funktionen sind die Kosinus-und Sinusfunktionen, die eine Periode von 2π aufweisen. 

Da die Sinusfunktion in ihrem Verlauf stets gleich bleibt und sich die Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen, wird die Funktion als periodisch beschrieben. Die Periode einer normalen Sinusfunktion beträgt 2π.

Eine Periode in der Mathematik ist eine Zahl oder Zahlenfolge hinter einem Komma, die sich unendlich oft wiederholt.

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