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Periodizität

Periodizität

\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)

Bei periodischen Funktionen handelt es sich in der Mathematik um Funktionen, deren Funktionswerte sich regelmäßig wiederholen.

Periodizität Periodische Funktion Beispiel StudySmarterAbb. 1 - Periodische Funktion Beispiel

Das bestimmte Muster einer periodischen Funktion lässt sich entlang der \(x\)-Achse somit immer wieder finden. Bekannte Beispiele für periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus. In dieser Erklärung lernst Du die Definition von Periodizität und periodischen Funktionen kennen und wie Du sie bestimmen, zeichnen, aufstellen und mit Aufgaben üben kannst.

Periodizität und periodische Funktion – Definition

Periodische Funktionen haben eine konkrete Eigenschaft, die sie ausmachen – Die Periodizität. Doch was ist die Periodizität eigentlich?

Periodizität heißt so viel wie Turnus oder Wiederkehr. Im Allgemeinen bezeichnet Periodizität die Eigenschaft des regelmäßigen Auftretens von Ereignissen nach einer bestimmten Zeit. Der Zeitraum zwischen zwei gleichen Ereignissen eines sich wiederholenden Vorgangs wird Periode genannt.

In der Mathematik kann die Periodizität auf Funktionen bezogen werden. Die Ereignisse sind dabei die Funktionswerte der Funktion, die sich nach regelmäßigen Abständen wiederholen. Diese Funktionen heißen periodische Funktionen und werden allgemein wie folgt definiert.

Eine Funktion heißt periodisch, wenn es eine reelle Zahl \(\color{r}p\) gibt, sodass für alle \(x\in\mathbb{D}_f\) gilt: $$f(x+{\color{r}p})=f(x)$$

Die Konstante \(\color{r}p\) wird dabei als Periode der Funktion \(f(x)\) bezeichnet. Es muss dabei \(p\neq 0\) gelten.

Die Funktionsgraphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch zur \(x\)-Achse.

Die periodische Funktion \(f(x)\) nimmt also in regelmäßigen Abständen, genauer gesagt nach jedem Durchlaufen der Periode \(p\), immer wieder dieselben Werte an (Abbildung 2). Wenn Du den Funktionsgraphen also an der \(x\)-Achse um die Periode \(p\) verschiebst, würdest es gar nicht auffallen, weil die Funktionswerte an diesen Stellen wieder gleich sind.

Periodizität Periodische Funktion Definition StudySmarterAbb. 2 - Periodische Funktion

Genau genommen hat eine periodische Funktion \(f(x)\) auch nicht nur eine Periode \(p\), sondern auch die ganzzahligen Vielfachen von \(p\) sind Perioden. Meistens wird mit dem Begriff Periode allerdings die kleinste Periode gemeint, die auch primitive Periode genannt wird. Im Folgenden lernst Du ein paar Beispiele für periodische Funktionen kennen.

Periodische Funktion Beispiele

Bekannte Beispiele für periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus. Die Periodizität dieser Funktion wird in den folgenden Abschnitten genauer behandelt.

Periodische Funktion Sinus

Die Sinusfunktion \({\color{bl}f(x)}={\color{bl}\sin(x)}\) ist eine periodische Funktion mit der Periode \({\color{r}p}={\color{r}2\pi}\). Wenn Du Dir den Funktionsgraphen der Sinusfunktion in Abbildung 3 ansiehst, kannst Du erkennen, dass sich die Funktionswerte ab der Stelle \(x=2\pi\) wiederholen und der Funktionsgraph wieder dieselbe Form annimmt.

Periodizität Periodische Funktion Sinus StudySmarterAbb. 3 - Periodische Funktion Sinus

Wenn Du den Graphen der Sinusfunktion um die Periode \(\color{r}2\pi\) in \(x\)-Richtung verschieben würdest, wäre die Funktion immer noch dieselbe. Es gilt somit in diesem Fall: $$ \sin(x+{\color{r}2\pi})=\sin(x) $$

Auch für die ganzzahligen Vielfachen \(a\) der Sinusfunktion ist diese Bedingung erfüllt: $$ \sin(x+a\cdot {\color{r}2\pi})=\sin(x) $$

Die Standard-Sinusfunktion \({\color{bl}f(x)}={\color{bl}\sin(x)}\) lässt sich allerdings in ihrer Form und ihrem Verlauf verändern, zum Beispiel durch die Verschiebung der Funktionen entlang der \(x\) und \(y\)-Achsen oder durch Streckung oder Stauchung der Funktionen in \(x\) oder \(y\)-Richtung. Dadurch lassen sich weitere periodische Funktionen aufstellen.

Für eine periodische Funktion vom Typ \(f(x)=a\cdot \sin ({\color{gr}{b}}\cdot x+c)+d\) kann die Periode \(\color{r}p\) von \(f(x)\) allgemein durch \({\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}b}\) bestimmt werden, mit \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).

Die Periode \(p\) wird dementsprechend nur von dem Faktor \(b\) beeinflusst, der eine Stauchung oder Streckung entlang der \(x\)-Achse bewirkt.

Zu Erinnerung: Eine Stauchung entlang der \(x\)-Achse bewirkt ein horizontales „zusammenschieben“ des Graphens, während eine Streckung ein horizontales „auseinanderziehen“ des Graphens bewirkt.

Ein Beispiel für eine periodische Funktion auf Basis des Sinus kannst Du im Folgenden sehen.

Gegeben ist die Funktion $$f(x)=2\cdot\sin(2x+\pi)$$

Sie gehört zu den periodischen Funktionen des Typs \(f(x)=a\cdot \sin ({\color{gr}b}\cdot x+c)+d\), wobei gilt:\begin{align}a&=2\\\color{gr}{b}&=\color{gr}{2}\\c&=\pi\\d&=0\end{align}

Wenn Du Dir die Definition noch einmal anschaust, erkennst Du, dass gilt: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}b}$$Demzufolge kannst Du die Periode \(\color{r}p\) wie folgt bestimmen: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}{2}}=\color{r}\pi$$

Den Funktionsgraphen kannst Du in Abbildung 4 sehen.

Periodizität Periodische Funktion Sinus StudySmarterAbb. 4 - Periodische Funktion Sinus - Variation

Die Abschnitte, in denen sich die Funktionswerte wiederholen, sind diesmal in unterschiedlichen Farben gekennzeichnet. Diese Abschnitte entsprechen einer Periode \({\color{r}p}=\color{r}\pi\) und sehen genau gleich aus. Gehst Du auf der \(x\)-Achse weiter nach links oder rechts, so gibt es unendlich viele solcher Abschnitte.

Periodische Funktion Kosinus

Auch die Kosinusfunktion \({\color{bl}f(x)}=\color{bl}\cos(x)\) ist eine periodische Funktion mit der Periode \({\color{r}p}=\color{r}2\pi\). Der Funktionsgraph der Kosinusfunktion wiederholt sich somit auch immer wieder nach dem Ablauf von \(2\pi\) in \(x\)-Richtung (Abbildung 4).

Periodizität Periodische Funktion Kosinus StudySmarterAbb. 5 - Periodische Funktion Kosinus

Im Falle der Kosinusfunktion gilt also: $$ \cos(x+{\color{r}2\pi})=\cos(x) $$

und auch für die ganzzahligen Vielfachen der Kosinusfunktion ist diese Bedingung erfüllt: $$ \cos(x+a\cdot {\color{r}2\pi})=\cos(x) $$

Auch die Standard-Kosinusfunktion \({\color{bl}f(x)}=\color{bl}\cos(x)\) lässt sich in Form und Verlauf verändern und daraus neue periodische Funktionen bilden.

Auch für eine periodische Funktion vom Typ \(f(x)=a\cdot \cos ({\color{gr}b}\cdot x+c)+d\) kann die Periode \(\color{r}p\) von \(f(x)\) allgemein durch \({\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}b}\) bestimmt werden, mit \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).

Ein Beispiel für eine periodische Funktion auf Basis des Kosinus kannst Du Dir im nächsten Beispiel ansehen.

Gegeben ist die Funktion $$f(x)=\frac{1}{2}\cdot\cos(3x)$$

Sie gehört zu den periodischen Funktionen des Typs \(f(x)=a\cdot \cos ({\color{gr}b}\cdot x+c)+d\), wobei gilt:

\begin{align}a&=\frac{1}{2}\\{\color{gr}b}&=\color{gr}3\\c&=0\\d&=0\end{align}

Wenn Du Dir die Definition noch einmal anschaust, erkennst Du, dass gilt: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}b}$$

Demzufolge kannst Du die Periode \(\color{r}p\) wie folgt bestimmen: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}{3}}=\color{r}\frac{2}{3}\pi$$

Den Funktionsgraphen kannst Du in Abbildung 6 sehen.

Periodizität Periodische Funktion Beispiel StudySmarterAbb. 6 - Periodische Funktion Kosinus -Variation

Aus Sinus- und Kosinusfunktionen lassen sich außerdem durch die Bildung der Summe neue periodische Funktionen bilden.

Periodische Funktion – Summe von Sinus und Kosinus

Die periodischen Funktionen Sinus und Kosinus besitzen eine weitere Eigenschaft im Hinblick auf ihre Periodizität. Addierst Du Sinus- und Kosinusfunktionen zu einer neuen Funktion \(\color{bl}h(x)\), so ist diese neue Funktion \(\color{bl}h(x)\) wieder periodisch. Die Voraussetzung dafür ist, dass die Sinus- und Kosinusfunktionen eine gleiche Periode \(p\) haben. Diese muss nicht unbedingt die primitive Periode sein, sondern kann auch ein Vielfaches dieser darstellen. Haben zwei Funktionen keine gemeinsame Periode, so ist die Summe nicht periodisch.

Ein Beispiel dafür siehst Du im Folgenden.

Die periodische Funktion \({\color{bl}h(x)}=\color{bl}\sin(3x)+\cos(x)\) entsteht durch die Addition der Funktionen \({\color{li}f(x)}=\color{li}\sin(3x)\) und \({\color{ge}g(x)}=\color{ge}\cos(x)\).

Die Funktion \({\color{li}f(x)}=\color{li}\sin(3x)\) hat die Periode \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\). Die Funktion \({\color{ge}g(x)}=\color{ge}\cos(x)\) hat die Periode \({\color{r}p}=\color{r}2\pi\).

Eine Funktion, die aus der Addition von Sinus- und Kosinusfunktionen entsteht, ist nur periodisch, wenn die Sinus- und Kosinusfunktionen eine gleiche Periode \(\color{r}p\) (auch Vielfache dieser) haben. Multiplizierst Du die Periode von \(\color{li}f(x)\) mit dem Faktor \({\color{gr}a}=\color{gr}3\) so erhältst Du die Periode der Funktion \(\color{ge}g(x)\): $${\color{r}\frac{2}{3}\pi} \cdot {\color{gr}3}=\color{r}2\pi$$Somit ist auch die Funktion \(\color{bl}h(x)\) periodisch, die die Summe der beiden Funktionen \(\color{ge}g(x)\) und \(\color{li}f(x)\) darstellt.

Die neue Periode dieser periodischen Funktion ist \({\color{r}p}=\color{r}2\pi\).

Den Funktionsgraphen der periodischen Funktion \(\color{bl}h(x)\) kannst Du in Abbildung 7 sehen, wobei die periodischen Abschnitte wieder farbig dargestellt sind.

Periodizität Periodische Funktion Beispiel StudySmarterAbb. 7 - periodische Funktion aus der Summe von Sinus und Cosinus

Die Eigenschaft, dass eine neue periodische Funktion aus der Addition von Sinus- und Kosinusfunktionen entstehen kann, ist die Basis der Fourierreihen.

Fourierreihen

Fourierreihen sind trigonometrische Reihen. Periodische Funktionen können in einer Fourierreihe entwickelt werden. Dabei handelt es sich physikalisch gesehen um die Transformation eines periodischen Vorgangs in eine Summe von einzelnen hamonischen Schwingungen. Eine vorgegebene periodische Funktion wird dabei durch die Bildung der Summe aus unterschiedlichen Sinus- und Kosinusfunktionen angenähert.

Es gibt allerdings auch nicht-trigonometrische, periodische Funktionen. Nicht-trigonometrische periodische Funktionen werden meist in einem Grundintervall definiert und dann periodisch fortgesetzt. Dies kann durchgeführt werden, da eine periodische Funktion bekannt ist, wenn ihren Verlauf innerhalb einer Periode bekannt ist.

Wie Du periodische Funktionen zeichnen kannst, lernst Du im Folgenden.

Periodische Funktion zeichnen

Wenn Du den Funktionsgraphen einer periodischen Funktion \(\color{bl}f(x)\) zeichnen möchtest, müssen zwei Dinge bekannt sein: Die Funktion \(\color{bl}f(x)\) an sich und deren Periode \(\color{r}p\), denn der ganze Verlauf einer periodischen Funktion ist bekannt, wenn der Verlauf der Funktion \(\color{bl}f(x)\) innerhalb der Periode \(\color{r}p\) bekannt ist. Du musst also nur wissen, wie die Funktion in diesem Abschnitt aussieht, um die komplette Funktion zeichnen zu können.

Um das zu zeigen, kannst Du Dir das nächste Beispiel ansehen.

Gegeben ist die folgende Funktion: $${\color{gr}h(x)}=\color{gr}\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)+1 $$

mit der Periode \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\).

Du sollst die Funktion \(\color{gr}h(x)\) im Intervall von mindestens \([-\pi, 2\pi]\) zeichnen.

Damit Du die Funktion zeichnen kannst, kannst Du zunächst schauen, wie groß genau Deine Periode ist. In diesen Bereich kannst Du Dir einige Werte ausrechnen und diese Punkte einzeichnen. In diesem Beispiel ist die Periode \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\). Deshalb liegt es nahe, den Bereich von \(0\) bis \(\frac{2}{3}\pi=\frac{4}{6}\pi\) zu markieren und in diesem Bereich einige Funktionswerte auszurechnen.

Du kannst beispielsweise folgende Werte berechnen und diese einzeichnen:

\begin{align} h(0)&=\sin\left(3\cdot 0+\frac{\pi}{2}\right)+1=2 \\ h\left(\frac{1}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{1}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=1 \\ h\left(\frac{2}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{2}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=0\\ h\left(\frac{3}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{3}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=1\\ h\left(\frac{4}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{4}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=2=h(0) \end{align}

Periodizität Periodische Funktion zeichnen StudySmarterAbb. 8 - Periodische Funktion zeichnen -Schritt 1

Als Nächstes kannst Du durch Verbinden der Punkte den Verlauf Deiner Funktion für die Periode \(p\) einzeichnen.

Periodizität Periodische Funktion zeichnen StudySmarterAbb. 9 - Periodische Funktion zeichnen - Schritt 2

Zum Schluss kannst Du für jeden weiteren Abschnitt der Länge \(\frac{2}{3}\pi\) denselben Verlauf einzeichnen.

Periodizität Periodische Funktion zeichnen StudySmarterAbb. 10 - Periodische Funktion zeichnen - Schritt 3

So konntest Du Deine periodische Funktion zeichnen.

Wie Du periodische Funktionen bestimmen und aufstellen kannst, wenn der Funktionsgraph gegeben ist, lernst Du im nächsten Abschnitt kennen.

Periodische Funktion bestimmen – Periodische Funktion aufstellen

Wenn der Funktionsgraph gegeben ist, kannst Du daraus Deine periodische Funktion bestimmen und aufstellen. Dafür kannst Du die folgenden Schritte durchlaufen:

  1. Ablesen der Periode \(p\) aus dem Funktionsgraphen
  2. Ermitteln der Eigenschaften Deiner Funktion \(f(x)\) und aufstellen der Funktion
  3. Überprüfung der Periodizität

Damit eine Funktion periodisch ist, muss die Bedingung für periodische Funktionen erfüllt sein: $$f(x+p)=f(x)$$

Zur Anwendung der Schritte kannst Du Dir ein Beispiel ansehen.

Gegeben ist der folgende Funktionsgraph in Abbildung 11.

Periodizität Periodische Funktion bestimmen StudySmarterAbb. 11 - Periodische Funktion bestimmen und aufstellen

Schritt 1

Im ersten Schritt schaust Du Dir den Funktionsgraphen an und versuchst abzulesen, welche Periode \(\color{r}p\) Deine Funktion hat.

Periodizität Periodische Funktion bestimmen StudySmarterAbb. 12 - Periodische Funktion bestimmen - Periode

In diesem Beispiel scheint sich Deine Funktion jeweils nach einem Abschnitt von \(\frac{2}{3}\pi\) zu wiederholen. Das heißt, Deine Periode wäre \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\).

Schritt 2

Als Nächstes ermittelst Du die Eigenschaften Deiner Funktion und versuchst daraus Deine periodische Funktion aufzustellen. In diesem Fall kannst Du sehen, dass es sich um eine trigonometrische Funktion handelt. Der Funktionsgraph hat bei 0 einen Hochpunkt, weshalb es sich um eine Funktion handeln könnte, die auf einer Kosinus-Funktion der Form \(f(x)=a\cdot \cos ({\color{gr}b}\cdot x+c)+d\) basiert.

Die Standard-Kosinus Funktion hat eine Periode \(p=2\pi\), wohingegen die gegebene Funktion eine Periode von \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\) hat. Somit ist die gegebene Funktion gegenüber der Standard-Kosinus Funktion in \(x\)-Richtung gestaucht. Der Faktor \(\color{gr}b\) müsste also \(\color{gr}3\) sein.

Ebenso ist die gegebene Funktion gegenüber der Standard Kosinusfunktion um den Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt und um \(2\) in die negative \(y\)-Richtung verschoben. Somit wäre Dein Faktor \(a=3\) und \(d=-2\).

Deine Funktion würde also wie folgt aussehen: $${\color{bl}f(x)}=\color{bl}3\cdot \cos (3\cdot x)-2$$

Schritt 3

Nun überprüfst Du Deine aufgestellte Funktion auf Periodizität. Dafür muss in diesem Fall gelten:\begin{align} f\left(x+\frac{2}{3}\pi\right)&=f(x) \\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(x+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos (3\cdot x)-2 \end{align}

Dies kannst Du für ein paar Werte überprüfen, die in diesem Fall im Funktionsgraph sichtbar sind, z. B. \(x=-\pi, \pi, 2\pi\):

\begin{align} f\left(-\pi+ \frac{2}{3}\pi\right)&=f(-\pi)\\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(-\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos \left(3\cdot \left(-\pi\right)\right)-2\\ 3\cdot \cos (-\pi))-2&=3\cdot \cos (-3\pi)-2\\ -5&=-5 \\ \\ f\left(\pi+ \frac{2}{3}\pi\right)&=f(\pi)\\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos (3\cdot (\pi))-2\\ 3\cdot \cos (5\pi)-2&=3\cdot \cos (3\pi)-2\\ -5&=-5\\ \\ f\left(2\pi+ \frac{2}{3}\pi\right)&=f(2\pi)\\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(2\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos (3\cdot (2\pi))-2\\ 3\cdot \cos (8\pi)-2&=3\cdot \cos (6\pi)-2\\ 1&=1\end{align}

Für diese Werte ist also die Bedingung für die Periodizität erfüllt. Somit hast Du eine periodische Funktion aus dem Funktionsgraphen bestimmt und aufgestellt.

Periodische Funktion Aufgaben

Wenn Du die Anwendung von periodischen Funktionen üben möchtest, findest Du im folgenden zwei Aufgaben.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion: $$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$$

Überprüfe, ob es sich bei dieser Funktion um eine periodische Funktion handelt.

Lösung

In dieser Erklärung hast Du gelernt: Addierst Du Sinus- und Kosinusfunktionen zu einer neuen Funktion, so ist diese neue Funktion wieder periodisch. Die Voraussetzung dafür ist, dass die Sinus- und Kosinusfunktionen eine gleiche Periode \(p\) haben.

Die gegebene Funktion \(f(x)\) besteht aus der Summe der Standard-Sinusfunktion und der Standard-Kosinusfunktion, die beide selbst periodisch sind und die Periode \(2\pi\) haben. Somit weißt Du, dass Deine gegebene Funktion \(f(x)\) auch periodisch ist, mit der Periode \(p=2\pi\)

Aufgabe 2

Zeichne die Funktion aus Aufgabe 1: $$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$$

Lösung

Aus Aufgabe 1 weißt Du bereits, dass die gegebene Funktion periodisch sein muss. Somit musst Du nur ein paar Werte innerhalb der Periode \(p=2\pi\) berechnen, um die ganze Funktion zeichnen zu können.

Du kannst beispielsweise folgende Werte berechnen und diese einzeichnen:

\begin{align} f(0)&=\sin(0)+\cos(0)= 1 \\ f\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)= \sqrt{2} \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)&=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)= 1 \\ f\left(\frac{3}{4}\pi\right)&=\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)+\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)= 0 \\ f\left(\pi\right)&=\sin(\pi)+\cos(\pi)=-1 \\ f\left(\frac{5}{4}\pi\right)&=\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)+\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)=\sqrt{2} \\ f\left(\frac{3}{2}\pi\right)&=\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)+\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-1 \\ f\left(\frac{7}{4}\pi\right)&=\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right)+\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right)=0 \\ f\left(2\pi\right)&=\sin(2\pi)+\cos(2\pi)=1 \end{align}

Periodizität Periodische Funktion Aufgaben StudySmarterAbb. 13 - Periodische Funktion Aufgaben - Periodische Funktion zeichnen

Als Nächstes kannst Du durch Verbinden der Punkte den Verlauf Deiner Funktion für die Periode \(p\) einzeichnen.

Periodizität Periodische Funktion Aufgaben StudySmarterAbb. 14. - Periodische Funktion Aufgaben - Periodische Funktion zeichnen

Zum Schluss kannst Du für jeden weiteren Abschnitt der Länge \(2\pi\) denselben Verlauf einzeichnen.

Periodizität Periodische Funktion Aufgaben StudySmarterAbb. 15 - Periodische Funktion Aufgaben - Periodische Funktion zeichnen

Nun hast Du Deine periodische Funktion gezeichnet.

Periodizität – Das Wichtigste

  • Periodizität ist die Eigenschaft des regelmäßigen Auftretens von Ereignissen nach einer bestimmten Zeit
  • Die Periode ist der Zeitraum zwischen zwei gleichen Ereignissen eines sich wiederholenden Vorgangs
  • Eine Funktion heißt periodisch, wenn es eine reelle Zahl \(p\) gibt, sodass für alle \(x\in\) gilt: \(f(x+p)=f(x)\). Die Zahl \(p\) ist dabei die Periode der Funktion \(f(x)\).
  • Die Funktionsgraphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch zur \(x\)-Achse
  • Beispiele für periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.

Nachweise

  1. Braunß et al. (2007). Grundkurs Mathematik in den Biowissenschaften. Birkhäuser Basel.
  2. Duschek (1953). Vorlesungen über höhere Mathematik. Springer Berlin, Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Periodizität

Eine Funktion ist periodisch, wenn sich die Funktionswerte in regelmäßigen Abständen, also nach der Periode p, wiederholen. Die Graphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch d.h. die Funktionswerte überdecken sich bei einer Verschiebung in x-Richtung durch den Parameter p oder a*p. EIn Beispiel für eine periodische Funktion ist die Sinusfunktion mit der Periode 2pi.

Ein Vorgang ist periodisch, wenn er regelmäßig nach einer bestimmten Zeit auftritt.

Periodische Funktionen müssen nicht unbedingt beschränkt sein. Die Standard-Sinusfunktion ist beispielsweise eine periodische Funktion, die beschränkt ist, da sie nur y-Werte von -1 bis 1 annimmt. Die Standard-Tangensfunktion ist dementgegen eine unbeschränkte Funktion, da sie alle möglichen y-Werte annehmen kann.

Die Sinusfunktion ist periodisch, da sich ihre Funktionswerte jeweils nach der Periode 2 Pi immer wieder wiederholen.

Finales Periodizität Quiz

Frage

Beschreibe, was Periodizität bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Periodizität heißt so viel wie Turnus oder Wiederkehr. Im Allgemeinen bezeichnet Periodizität die Eigenschaft des regelmäßigen Auftretens von Ereignissen nach einer bestimmten Zeit. 

Frage anzeigen

Frage

Gebe an, was Periode im mathematischen Kontext bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Periode ist der Abstand zwischen dem Auftreten gleicher Funktionswerte. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was eine periodische Funktion ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Funktion heißt periodisch, wenn es eine reelle Zahl \(p\) gibt, sodass für alle \(x\in\mathbb{D}_f\) gilt: \(f(x+p)=f(x)\). Die Zahl \(p\) ist dabei die Periode der Funktion \(f(x)\).

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Eigenschaft einer periodischen Funktion zugeschrieben wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktionsgraphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch zur \(x\)-Achse.

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein bekanntes Beispiel für periodische Funktionen.

Antwort anzeigen

Antwort

Trigonometrische Funktionen

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie Du eine periodische Funktion zeichnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um periodische Funktionen zu zeichnen, solltest Du die Periode kennen. Dann kannst Du ein paar Funktionswerte innerhalb der Periode berechnen und diese einzeichnen. So kannst Du die ganze Funktion zeichnen, da die Funktion in jedem periodischen Abschnitt gleich aussieht.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ist die Summe von Sinus und Kosinusfunktionen periodisch ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, wenn die beiden Funktionen mindestens eine gleiche Periode haben.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte zur Bestimmung einer periodischen Funktion aus dem Funktionsgraphen.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Ablesen der Periode \(p\) aus dem Funktionsgraphen
  2. Ermitteln der Eigenschaften Deiner Funktion \(f(x)\) und Aufstellen der Funktion
  3. Überprüfung der Periodizität

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit eine Funktion periodisch ist?

Antwort anzeigen

Antwort

\(f(x+p)=f(x)\)

Frage anzeigen

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