Extremstellen

Hast du gerade das Thema Kurvendiskussion in Mathe und musst die Extremstellen berechnen, weißt aber nicht genau wie das geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel lernst du, was genau Extremstellen sind und wie du sie Schritt für Schritt berechnen kannst.

Was ist eine Extremstelle?

Zu Beginn solltest du dir die Definition von Extremstellen genau anschauen. Es gibt nämlich zwei sehr ähnliche Begriffe, Extrempunkte und Extremwerte, die alle zusammenhängen, aber doch ein bisschen anders sind.

Ein Extremwert ist also ein Funktionswert, der sich für einen eingesetzten x-Wert berechnen lässt. Er ist also ein y-Wert.

Dabei unterscheidet man zwischen lokalen Maxima und lokalen Minima und betrachtet für diese Unterscheidung immer eine Umgebung des eingesetzten x-Werts. Diese Umgebung ist nichts anderes als ein kleines Intervall der x-Achse.

Sind nun die Funktionswerte für alle x-Werte aus dem Intervall kleiner oder gleich dem Funktionswert an der Stelle , also der Funktionswert an der Stelle am größten, dann spricht man von einem lokalen Maximum.

Sind diese Funktionswerte dagegen alle größer oder gleich dem Funktionswert , dann spricht man logischerweise von einem lokalen Minimum.

Im Unterschied zum Extremwert ist eine Extremstelle dann der x-Wert.

Der Extrempunkt ist dann einfach das Paar aus Extremstelle und Extremwert, also x-Wert und y-Wert. Ist der Extremwert ein lokales Maximum, so ist der Extrempunkt ein Hochpunkt. Der Funktionsgraph hat dort also eine Spitze. Ist der Extremwert ein lokales Minimum, so ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt und der Graph hat ein Tal.

Schauen wir uns mal einen Funktionsgraphen an, um diese Unterschiede zu verstehen:

Abbildung 1: Unterschied Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt

Sind nun die Funktionswerte für alle x-Werte aus dem Intervall kleiner oder gleich dem Funktionswert an der Stelle , also der Funktionswert an der Stelle am größten, dann spricht man von einem lokalen Maximum.

Sind diese Funktionswerte dagegen alle größer oder gleich dem Funktionswert , dann spricht man logischerweise von einem lokalen Minimum.

Extremstelle - Beispiel

Wenn du einen Ball senkrecht in die Luft wirfst, hat er am Anfang eine hohe Geschwindigkeit (1). Durch die Gravitationskraft der Erde verzögert sich der Ball und er wird langsamer (2). Irgendwann hat der Ball dann den höchsten Punkt erreicht (3). Die Geschwindigkeit ist dort für einen kurzen Moment gleich null und der Ball legt dann auch keinen Weg zurück. Ab dem Punkt ändert der Ball seine Richtung und der Ball fällt mit zunehmender Geschwindigkeit wieder runter.

Quelle: Mathe-lexikon.at

Die Steigung der Tangente im Weg-Zeit Diagramm ist gleich die Momentangeschwindigkeit zum jeweiligen Zeitpunkt. Hier kannst du erkennen, dass die Steigung der ersten Tangente zum Zeitpunkt t= 0,5s (1) sehr hoch ist, zu t= 1s (2) sinkt und am höchsten Punkt exakt Null ist.

Quelle: Mathe-Lexikon.at

Daraus können wir eine einfache Methode ableiten, um Extremstellen zu ermitteln:

• Extremstellen einer Funktion f(x) erhältst du, wenn du die 1. Ableitung f’(x) gleich null setzt:

→ f’(x) = 0

Welche Arten von Extremstellen gibt es?

In der folgenden Abbildung siehst du, dass es drei verschiedene Arten von Extremstellen gibt:

Hochpunkt Tiefpunkt Sattelpunkt

Hochpunkte

Der Funktionsabschnitt bei Hochpunkten

• Wächst vor der Extremstelle streng monoton und
• Fällt nach der Extremstelle streng monoton

Tiefpunkte

Tiefpunkte sind das Gegenteil zu den Hochpunkten. Deren Funktionsabschnitt

• Fällt vor der Extremstelle streng monoton
• Wächst nach der Extremstelle streng monoton

Sattelpunkte

Sattelpunkte sind Sonderfälle:

• Monotonie vor und nach dem Extrempunkt sind identisch
• Trotzdem erreicht die Kurve kurz einen Punkt, wo die Steigung gleich Null ist (siehe Abbildung)

Zusammenfassung Extremstellen Arten

Erkennst du eine Extremstelle an der Stelle x, so handelt es sich:

• Um einen Hochpunkt, wenn f’’(x) < 0 ist
• Um einen Tiefpunkt, wenn f’’(x) > 0 ist
• Möglicherweise um einen Sattelpunkt, wenn f’’(x) = 0 ist

Voraussetzung ist natürlich, dass du die Funktion zweimal ableiten kannst

Wie berechne ich Extremstellen?

Wenn du folgende Schritte befolgst, kannst du ganz einfach die Extremstellen bestimmen:

1. Ermitteln der Extremstellen

f’(x) = 0 auflösen

2. Art der Extremstellen ermitteln

f’’(x) für jede Extremstelle ermitteln und nach der Regel entscheiden, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist

3. Funktionswert des Extrempunktes bestimmen

Um die kompletten Koordinaten für die Extremstelle zu bestimmen, musst du den herausgefunden x-Wert in f(x) einsetzen und auflösen.

Anmerkung: Du kannst Schritt 2 und 3 auch mehrmals durchführen, wenn es mehrere Extremstellen gibt.

Beispiel Berechnung Extremstellen

Polynomfunktionen:

1. Ableitungen bestimmen:

2. Extremwerte ermitteln:

f´(x) = 0

2x+2 = 0 /-2

2x = -2 /:2

x = -1 Extremwert an der Stelle x = -1

3. Art des Extrempunktes ermitteln:

f´´(x) = 2

f´´(-1) = 2 > 0 Die Extremstelle ist ein Tiefpunkt

4. Funktionswert des Extrempunktes ermitteln:

Antwort: Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T(-1/-2).

Rationale Funktionen:

1. Ableitungen bilden:

2. Extremstellen ermitteln:

Gleichung nicht lösbar

Antwort: Da die Gleichung nicht lösbar ist, gibt es für diese Funktion keine Extremstellen.

Extremstellen - Das Wichtigste auf einen Blick

Am Ende haben wir dir das wichtigste nochmal zusammengefasst:

1. Ableitungen f’(x) und f’’(x) bilden
2. Extremstellen bestimmen indem f’(x)= 0 gilt
3. Art des Extremwerts bestimmen, indem der x-Wert aus 2. In f’’(x) eingesetzt wird. Regeln für jeweilige Art beachten!
4. Y-Wert der Extremstellen ermitteln, indem x-Wert in f(x) eingesetzt und aufgelöst wird.

Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du Extremstellen berechnen kannst. :) Weiter so!