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Du möchtest ein Haus an einem Fluss bauen. Im Sommer entnimmst Du dem Fluss Wasser für Deinen Gartenteich. Dies geht leider nur, solange der Fluss genügend Wasser führt. Zudem möchtest Du natürlich nicht, dass bei Hochwasser Dein Haus geflutet wird, und baust deshalb einen kleinen Damm.
Wäre es nicht cool, wenn Du eine Funktion hättest, die den Wasserstand dieses Flusses am Ort Deines Hauses beschreibt?
Die Funktion 
beschreibt im Intervall 
tatsächlich den Wasserstand des Flusses innerhalb eines Jahres, wobei x die Zeit in Monaten ist und 
die Höhe in Metern des Flusses. Jetzt könntest Du mit Hilfe dieser Funktion schauen, zu welchem Zeitpunkt der Fluss am wenigsten und wann am meisten Wasser führt und wie viel Wasser zu den jeweiligen Zeitpunkten im Fluss ist.
Wie Du das genau machst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Tief- und Hochpunkte sind Extrempunkte. Sie stellen jeweils den tiefsten bzw. höchsten Punkt in der näheren Umgebung dar.
Existiert ein Tief- oder ein Hochpunkt mit 
, dann wird der x-Wert dieses Punktes 
auch Extremstelle genannt.
Der y-Wert dieses Punktes wird auch Extremwert genannt.
Doch welche Kriterien müssen für einen Tief- und einen Hochpunkt erfüllt sein?
Um die notwendige Bedingung zu überprüfen, wird zuerst die Ableitung 
einer Funktion 
gebildet.
Für die Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
gilt als notwendiges Kriterium für eine Extremstelle:
Überprüfe die notwendige Bedingung an dem Eingangsbeispiel.
Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion 
mit 
. Dafür wird zuerst die Ableitung benötigt.
Zur Erinnerung:
Setze nun diese Ableitung gleich 0.
Da es später von Vorteil ist, mit dem exakten x-Wert weiterzurechnen, wird an dieser Stelle teilweise die Wurzel gezogen.
Die notwendige Bedingung ist also für 
und 
erfüllt.
Die notwendige Bedingung reicht noch nicht, um zu sagen, dass an der Stelle 
eine Extremstelle existiert.
Zusätzlich zur notwendigen Bedingung muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein.
Für die zweite Ableitung 
einer Funktion 
an der Stelle 
gilt als hinreichendes Kriterium für...
... einen Tiefpunkt:
... einen Hochpunkt:
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tief- oder Hochpunktes ist die Betrachtung der ersten Ableitung an der Stelle 
. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor (entspricht 
), dann existiert an dieser Stelle ein Hochpunkt. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor (entspricht 
), dann existiert an dieser Stelle ein Tiefpunkt.
Dieses Vorgehen bietet sich meist dann an, wenn ein Schaubild gegeben oder die Bildung der zweiten Ableitung deutlich aufwendiger ist.
Überprüfe jetzt auch die hinreichende Bedingung für das Eingangsbeispiel.
Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion 
mit 
. Dafür wird zuerst die zweite Ableitung benötigt.
Zur Erinnerung:
: 
Nun kannst Du 
und 
in die zweite Ableitung 
einsetzen.
Dementsprechend existiert an der Stelle 
ein Hochpunkt und an der Stelle 
ein Tiefpunkt.
Da die Bedingung, dass 
für einen Hochpunkt und 
für einen Tiefpunkt sein muss, nur hinreichend sind, kann es sein, dass es vorkommt, dass 
ist.
Doch was passiert, wenn die zweite Ableitung 
ist? In diesem Fall besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Extrempunkt vorliegt. Hierfür wird dann immer der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung 
an der Stelle 
betrachtet.
Das beste Beispiel dafür ist die Funktion 
.
Das Schaubild der Funktion 
mit 
sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 1: Schaubild einer Funktion 4. Grades
Es ist zu erkennen, dass die Funktion bei 
einen Extrempunkt besitzt.
Bilde zunächst die erste und zweite Ableitung.
Wende als Nächstes das notwendige Kriterium an.
Versuche nun das hinreichende Kriterium anzuwenden.
In diesem Fall ist auch die zweite Ableitung gleich 0. Hier greift die Möglichkeit, den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle 
zu betrachten. Schau Dir dazu das Schaubild der ersten Ableitung 
an.
Abbildung 2: Schaubild einer Ableitungsfunktion
Im Schaubild kann erkannt werden, dass an der Stelle 
ein Vorzeichenwechsel von - nach + vollzogen wird. Alternativ kann der Vorzeichenwechsel wie folgt bestimmt werden.
Durch diese Rechnung wird ebenfalls deutlich, dass an der Stelle 
ein Vorzeichenwechsel von - nach + vollzogen wird. Es handelt sich demnach um einen Tiefpunkt an der Stelle 
.
Eine weitere Möglichkeit, wenn die zweite Ableitung 
gleich 0 ist, ist ein sogenannter Sattelpunkt. Da dieser jedoch ein Wendepunkt und damit KEIN Extrempunkt ist, wird dieser hier nur kurz betrachtet.
Um eine genauere Vorstellung zu haben, was ein Sattelpunkt ist, kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen.
Abbildung 3: Graph eines Sattelpunktes
Schau Dir jetzt das Ganze noch einmal mathematisch an.
Wenn für die Stelle 
gilt, existiert ein Sattelpunkt. Dieser Punkt ist KEIN Extrempunkt, sondern ein Wendepunkt.
Bei einem Sattelpunkt existiert bei der ersten Ableitung 
an der Stelle 
KEIN Vorzeichenwechsel, sondern eine doppelte Nullstelle.
Da Du nun bereits das notwendige und hinreichende Kriterium für Extremstellen kennst, kannst Du Dich an folgendem Rezept orientieren, um Extrempunkte zu berechnen.
nach 
auflösen
für jedes 
ermitteln
in die Funktion
einsetzen und 
berechnenSchritt 2 und 3 können mehrmals durchgeführt werden, wenn die Funktion 
mehrere Extremstellen besitzt.
Beim Eingangsbeispiel fehlen jetzt noch die passenden Extremwerte zu den Extremstellen.
Dazu werden die Extremstellen 
und 
in die Funktion 
mit 
eingesetzt.
An dieser Stelle kannst Du den Ausdruck jeweils einmal mit + und einmal mit - in den Taschenrechner eingeben.
Damit existiert ein Hochpunkt 
und ein Tiefpunkt 
.
Abbildung 4: Schaubild und Extremstellen der Eingangsaufgabe
Es wird bei Extremstellen nicht nur zwischen Tief- und Hochpunkt unterschieden, sondern auch noch zwischen lokalen und globalen Extremwerten.
Existiert ein Tiefpunkt 
, dann ist 
ein lokales Minimum.
Existiert ein Hochpunkt 
, dann ist 
ein lokales Maximum.
Super, jetzt weißt Du, dass bei jedem Extrempunkt 
, 
ein lokales Extremum ist. Doch was ist dann ein globales Extremum?
Den größten Funktionswert, den eine Funktion 
im Definitionsbereich annehmen kann, wird auch als globales Maximum bezeichnet.
Den kleinsten Funktionswert, den eine Funktion 
im Definitionsbereich annehmen kann, wird auch als globales Minimum bezeichnet.
Dies kann entweder der y-Wert des größten Hochpunktes/tiefsten Tiefpunktes sein oder mit dem globalen Verlauf zusammenhängen und damit auch 
oder 
sein. Du kannst Dir dafür auch immer den Wertebereich zur Hilfe nehmen.
Auch in diesem Fall kannst Du Dir wieder das Eingangsbeispiel anschauen.
Da das Eingangsbeispiel nur im Intervall 
betrachtet wird, werden auch nur in diesem Bereich die Extremwerte auf ihre Lokal- bzw. Globalität untersucht.
Die Funktion 
mit 
besitzt zwei Extrempunkte 
und 
.
Damit ist 
zeitgleich ein lokales und globales Maximum, während 
zeitgleich ein lokales und globales Minimum ist.
Bei Funktionen, die nur in Intervallen angeschaut, müssen normalerweise noch die Randwerte betrachtet werden. Dies ist jedoch bei einer trigonometrischen Funktion nicht nötig, da die Randwerte nicht größer bzw. kleiner als die eigentlichen lokalen Maxima bzw. Minima sein können.
Kümmer Dich zum Schluss noch um die Interpretation des Eingangbeispiels.
Nun möchtest Du wissen, wie hoch Du Deinen Damm mindestens bauen musst, wenn sich das Flussufer 
über der niedrigsten Stelle im Flussbett befindet. Der Damm soll so hoch sein, dass Dein Haus kein Wasser abbekommt, sollte das globale Maximum erreicht werden.
Das lokale Maximum beträgt 
. Damit muss der Damm mindestens
hoch werden.
Der Gartenteich lässt sich nur mit dem Flusswasser bewässern, wenn der Wasserstand im Fluss mindestens 
beträgt.
Damit ist eine ganzjährige Bewässerung des Gartenteichs nicht gewährleistet, da das globale Minimum nur 
beträgt.
Zudem kannst Du von der nachfolgenden Abbildung ablesen, in welchen Monaten Du auf die Bewässerung des Gartenteichs verzichten musst, wenn das Intervall 
den Januar, 
den Februar usw. darstellt.
Abbildung 4: Interpretation der Eingangsaufgabe
Der erste Schnittpunkt liegt circa bei 
und der zweite circa bei 
. Damit ist die Bewässerung des Gartenteichs von Ende Juni bis Anfang September nicht möglich.
Existiert ein Tief- oder ein Hochpunkt mit 
, dann wird der x-Wert dieses Punktes 
auch Extremstelle genannt.
Berechnen eines Extrempunktes
nach 
auflösen
für jedes 
ermitteln
überprüft werden. Liegt bei 
ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein Hochpunkt. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein Tiefpunkt.
in die Funktion
einsetzen und 
berechnen
ist, besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Extrempunkt vorliegt. Hierfür wird dann immer der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung 
an der Stelle 
betrachtet. Liegt kein Vorzeichenwechsel vor, existiert dort auch keine Extremstelle.Den größten/kleinsten Funktionswert, den eine Funktion 
im Definitionsbereich annehmen kann, wird auch als globales Maximum/Minimum bezeichnet.
Nein, eine e-Funktion besitzt keine Extrempunkte.
Ja, e-Funktionen können Nullstellen besitzen.
Existiert ein Tief- oder ein Hochpunkt mit (x0 | f(x0)), dann wird der x-Wert dieses Punktes x0 auch Extremstelle genannt.
Frage
Gib den Namen der Stelle eines Extrempunktes
an.
Antwort
Extremstelle
Frage
Gib den Namen des y-Wertes eines Extrempunktes an.
Antwort
Extremwert
Frage
Nenne das notwendige Kriterium für die Berechnung einer Extremstelle.
Antwort
Für die Ableitung einer Funktion
an der Stelle
gilt als notwendiges Kriterium für eine Extremstelle:
Frage
Nenne das hinreichende Kriterium für die Berechnung einer Extremstelle.
Antwort
Für die zweite Ableitung einer Funktion
an der Stelle
gilt als hinreichendes Kriterium für...
Frage
Gib eine alternative Möglichkeit an, die Extremstelle zu bestimmen, ohne das hinreichende Kriterium zu verwenden.
Antwort
Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle
.
Frage
Erläutere das Verfahren des Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung an der Stelle
.
Antwort
Liegt an der Stelle ein Vorzeichenwechsel von + nach - vor, dann existiert an dieser Stelle ein Hochpunkt. Liegt dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, dann existiert an dieser Stelle ein Tiefpunkt.
Frage
Identifiziere die richtigen Aussagen.
Antwort
Wenn die zweite Ableitung ist, liegt sicher keine Extremstelle bei
vor.
Frage
Erläutere das Vorgehen, wenn die zweite Ableitung an der Stelle
gleich 0 ist.
Antwort
In diesem Fall besteht trotzdem die Möglichkeit, dass ein Extrempunkt vorliegt. Hierfür wird dann immer der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle
betrachtet.
Frage
Nenne die Bedingungen, unter welchen Umständen ein Sattelpunkt vorliegt.
Antwort
Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn für die Stelle gilt:
Frage
Gib die Eigenschaft an, die bei einem Sattelpunkt bei der Ableitung an der Stelle
anstelle, eines Vorzeichenwechsels gilt.
Antwort
Doppelte Nullstelle
Frage
Gib die Vorgehensweise für die Berechnung eines Extrempunktes an.
Antwort
Frage
Gib an, wann der Tiefpunkt ein lokales Minimum ist.
Antwort
Jeder Tiefpunkt ist ein lokales Minimum.
Frage
Gib an, wann der Hochpunkt ein globales Maximum ist.
Antwort
Der Hochpunkt ist ein globales Maximum, wenn
der größte Funktionswert ist, den die Funktion
im Definitionsbereich annehmen kann.
Frage
Identifiziere die richtigen Aussagen.
Antwort
Eine Funktion , für die
gilt, hat als globales Maximum
.
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