StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
Hast du gerade das Thema Kurvendiskussion in Mathe und musst die Extremstellen berechnen, weißt aber nicht genau wie das geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel lernst du, was genau Extremstellen sind und wie du sie Schritt für Schritt berechnen kannst.
Zu Beginn solltest du dir die Definition von Extremstellen genau anschauen. Es gibt nämlich zwei sehr ähnliche Begriffe, Extrempunkte und Extremwerte, die alle zusammenhängen, aber doch ein bisschen anders sind.
Als einen Extremwert bezeichnet man einen Funktionswert einer Funktion f, wenn
Der Wert wird dann als Extremstelle bezeichnet.
Der Punkt ist dann ein Extrempunkt der Funktion f, und zwar:
Ein Extremwert ist also ein Funktionswert, der sich für einen eingesetzten x-Wert berechnen lässt. Er ist also ein y-Wert.
Dabei unterscheidet man zwischen lokalen Maxima und lokalen Minima und betrachtet für diese Unterscheidung immer eine Umgebung des eingesetzten x-Werts. Diese Umgebung ist nichts anderes als ein kleines Intervall der x-Achse.
Sind nun die Funktionswerte für alle x-Werte aus dem Intervall kleiner oder gleich dem Funktionswert an der Stelle , also der Funktionswert an der Stelle
am größten, dann spricht man von einem lokalen Maximum.
Sind diese Funktionswerte dagegen alle größer oder gleich dem Funktionswert , dann spricht man logischerweise von einem lokalen Minimum.
Im Unterschied zum Extremwert ist eine Extremstelle dann der x-Wert.
Der Extrempunkt ist dann einfach das Paar aus Extremstelle und Extremwert, also x-Wert und y-Wert. Ist der Extremwert ein lokales Maximum, so ist der Extrempunkt ein Hochpunkt. Der Funktionsgraph hat dort also eine Spitze. Ist der Extremwert ein lokales Minimum, so ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt und der Graph hat ein Tal.
Schauen wir uns mal einen Funktionsgraphen an, um diese Unterschiede zu verstehen:
Abbildung 1: Unterschied Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt
Sind nun die Funktionswerte für alle x-Werte aus dem Intervall kleiner oder gleich dem Funktionswert an der Stelle , also der Funktionswert an der Stelle
am größten, dann spricht man von einem lokalen Maximum.
Sind diese Funktionswerte dagegen alle größer oder gleich dem Funktionswert , dann spricht man logischerweise von einem lokalen Minimum.
Wenn du einen Ball senkrecht in die Luft wirfst, hat er am Anfang eine hohe Geschwindigkeit (1). Durch die Gravitationskraft der Erde verzögert sich der Ball und er wird langsamer (2). Irgendwann hat der Ball dann den höchsten Punkt erreicht (3). Die Geschwindigkeit ist dort für einen kurzen Moment gleich null und der Ball legt dann auch keinen Weg zurück. Ab dem Punkt ändert der Ball seine Richtung und der Ball fällt mit zunehmender Geschwindigkeit wieder runter.
Quelle: Mathe-lexikon.at
Die Steigung der Tangente im Weg-Zeit Diagramm ist gleich die Momentangeschwindigkeit zum jeweiligen Zeitpunkt. Hier kannst du erkennen, dass die Steigung der ersten Tangente zum Zeitpunkt t= 0,5s (1) sehr hoch ist, zu t= 1s (2) sinkt und am höchsten Punkt exakt Null ist.
Quelle: Mathe-Lexikon.at
Daraus können wir eine einfache Methode ableiten, um Extremstellen zu ermitteln:
→ f’(x) = 0
In der folgenden Abbildung siehst du, dass es drei verschiedene Arten von Extremstellen gibt:
Hochpunkt Tiefpunkt Sattelpunkt
Der Funktionsabschnitt bei Hochpunkten
Tiefpunkte sind das Gegenteil zu den Hochpunkten. Deren Funktionsabschnitt
Sattelpunkte sind Sonderfälle:
Erkennst du eine Extremstelle an der Stelle x, so handelt es sich:
Voraussetzung ist natürlich, dass du die Funktion zweimal ableiten kannst
Wenn du folgende Schritte befolgst, kannst du ganz einfach die Extremstellen bestimmen:
1. Ermitteln der Extremstellen
f’(x) = 0 auflösen
2. Art der Extremstellen ermitteln
f’’(x) für jede Extremstelle ermitteln und nach der Regel entscheiden, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist
3. Funktionswert des Extrempunktes bestimmen
Um die kompletten Koordinaten für die Extremstelle zu bestimmen, musst du den herausgefunden x-Wert in f(x) einsetzen und auflösen.
Anmerkung: Du kannst Schritt 2 und 3 auch mehrmals durchführen, wenn es mehrere Extremstellen gibt.
Polynomfunktionen:
1. Ableitungen bestimmen:
2. Extremwerte ermitteln:
f´(x) = 0
2x+2 = 0 /-2
2x = -2 /:2
x = -1 Extremwert an der Stelle x = -1
3. Art des Extrempunktes ermitteln:
f´´(x) = 2
f´´(-1) = 2 > 0 Die Extremstelle ist ein Tiefpunkt
4. Funktionswert des Extrempunktes ermitteln:
Antwort: Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T(-1/-2).
Rationale Funktionen:
1. Ableitungen bilden:
2. Extremstellen ermitteln:
Gleichung nicht lösbar
Antwort: Da die Gleichung nicht lösbar ist, gibt es für diese Funktion keine Extremstellen.
Am Ende haben wir dir das wichtigste nochmal zusammengefasst:
Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du Extremstellen berechnen kannst. :) Weiter so!
Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.
Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.
Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.
Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.
Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.
Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.
Kenne deine Schwächen und Stärken.
Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.
Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.
Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.
Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.