Grundbegriffe Funktionen

Du beschäftigst dich momentan mit Funktionen und dir sind einige Begriffe noch nicht ganz klar? Kein Problem, denn hier bekommst du noch mal einen umfangreichen Überblick über alle Begriffe, die so auftauchen, wenn du mit Funktionen arbeitest. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Mathe Vokabeln Funktionen

    Wenn man sich mit Funktionen näher beschäftigt, dann tauchen immer mehr Begriffe auf, die vielleicht erstmal ganz kompliziert scheinen.

    Damit du genau weißt, was dich in diesem Artikel erwartet, hast du bereits hier einen kleinen Überblick darüber welche Begriffe wir uns näher anschauen werden.

    Funktion Zuordnung und Zuordnungsvorschrift

    Als wir uns die Definition einer Funktion angeschaut haben, tauchte bereits der Begriff der Zuordnung auf. Das Ganze wollen wir uns nun noch einmal genauer anschauen.

    Eine Zuordnung weist einem Wert (mindestens) einen anderen Wert zu.

    Die Zuordnungsvorschrift ist die mathematische Vorschrift mit der die abhängige Größe f(x) berechnet werden kann. Der unabhängigen Größe x wird die mathematische Vorschrift in Form eines Terms zugeordnet:

    f:x f(x)

    f(x) und y sind dieselben Schreibweisen für genau das Gleiche. Ob du f(x) oder y schreibst, ist vollkommen egal.

    Das mag eventuell jetzt ziemlich komplex klingen, ist eigentlich aber gar nicht so schwer. Das Prinzip der Zuordnung kommt auch ziemlich oft in unserem Alltag vor.

    Hier hast du ein kleines Beispiel einer Zuordnung im Alltag:

    In diesem Falle ist eine Tüte Gummibärchen dem Preis 1,50€ zugeordnet.

    Tüten GummibärchenPreis
    1 Tüte1,50€
    2 Tüten3,00€
    3 Tüten4,50€
    4 Tüten6,00€
    5 Tüten7,50€

    Es gibt vier verschiedene Arten von Zuordnungen:

    1. Allgemeine Zuordnungen: Das beschreibt die Zuordnung von einer Menge zu einer anderen Menge.

    2. Proportionale Zuordnungen: Wenn sich die eine Menge vermehrt, dann vermehrt sich auch die andere Menge.

    3. Anti-proportionale Zuordnungen: Wenn sich die eine Menge vermehrt, verringert sich die andere Menge. Oder umgekehrt.

    4. Eindeutige Zuordnungen: Ein Wert ist ganz genau einem anderen Wert zugeordnet. Ein Beispiel dafür ist die Funktion.

    Im Artikel zur Zuordnung findest du noch einiges mehr zu diesem Thema!

    Funktionsbegriff

    Wenn wir uns mit Funktionen beschäftigen, kommen uns viele verschiedene Begriffe entgegen. Um dir etwas Klarheit zu verschaffen, kannst du dir diese Tabelle einmal anschauen.

    BegriffDefinition
    FunktionEine Zuordnung, bei der jedem Element x der Definitionsmenge genau ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, nennt man Funktion f.
    FunktionstermMit dem Funktionsterm kann für jeden gegebenen Wert x der unabhängigen Variable der zugehörige Funktionswert y berechnet werden. Der Funktionsterm entspricht dem Funktionswert f(x) an der Stelle x.
    Funktionsgraph Der Funktionsgraph der Funktion f ist die Menge aller Punkte x,y. Die Punkte x,y sind Wertepaare, die durch einen x-Wert der Definitionsmenge und den zugeordneten y-Wert der Wertemenge gebildet werden.
    FunktionsgleichungDie Funktionsgleichung ist eine mathematische Vorschrift, durch die der y-Wert aus einem bestimmten x-Wert berechnet werden kann.

    Das sollte die wichtigsten Begriffe nochmal klären, die du als Grundlage für das Verständnis von Funktionen brauchst.

    Konstante

    Wenn du dich mit Funktionen beschäftigst, könntest du auch über den Begriff Konstante stolpern.

    Eine Konstante beschreibt eine Zahl, die nicht veränderlich ist, wenn man das Funktionsargument verändert.

    Sie wird meist durch den Buchstaben c angegeben.

    Beispiel: f(x)=x+c

    Nachdem du nun schon weißt, was eine konstante Zahl in der Theorie ist, schauen wir uns das nochmal in der Praxis an:

    Bei einer Funktionf(x)= x3+2x2+1 beschreibt die Zahl 1 die Konstante der Funktion.

    Es gibt übrigens auch eine konstante Funktion. Diese gehört allerdings nicht zu den Grundbegriffen der Funktion, sondern ist eine lineare Funktion. Diese beiden darfst du also nicht verwechseln.

    Eine konstante Funktion ist eine waagerechte Gerade, die stets denselben Funktionswert hat.

    Ihre Grundform lautet so: f(x)= x

    Eine konstante Funktion könnte dann zum Beispiel so ausschauen:

    Grundbegriffe Funktionen, Konstante Funktion, StudySmarterAbbildung 1: konstante Funktion

    Mehr zur konstanten Funktion erfährst du in unserem Artikel der linearen Funktionen.

    Variable

    Falls du dich schon mal gefragt hast, was das mit dem x immer auf sich hat, dann geht es dir wie den meisten, die gerade mit der Funktion starten.

    Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl oder Wert.

    Eine Variable wird auch als mathematische Leerstelle oder Platzhalter bezeichnet.

    Meistens werden sie mit Buchstaben wie beispielsweise a, b, c oder x, y, z oder mit Symbolen beschrieben.

    Die bekannteste Variable ist das x. Man kann aber natürlich jeden beliebigen Buchstaben als Variable verwenden. Lass dich daher nicht verwirren, wenn dir mal eine Funktion begegnet, in der die Variable t oder z heißt.

    Die Variable wird durch einen konkreten Wert ersetzt, sobald er bestimmt ist.

    Es gibt zwei Arten von Variablen:

    1. Unabhängige Variable

    Hier kann der Wert der Variable frei im Definitionsbereich gewählt werden.

    2. Abhängige Variable

    Der Wert dieser Variable ist abhängig von dem Wert einer anderen Variable.

    Wenn du mehr zur mysteriösen Variable erfahren möchtest, schau dir mal unseren Artikel dazu an.

    Koeffizient und Parameter

    Da du nun schon weißt. Was eine Variable ist, fällt es dir bestimmt leichter nachzuvollziehen, was ein Koeffizient ist.

    Ein Koeffizient ist die vorgestellte Zahl oder Variable bei einer Variable oder einem Vektor.

    Ein Koeffizient kann eine Zahl oder eine Variable sein. Das heißt, entweder ist der Koeffizient definiert oder nicht.

    Das ganze schauen wir uns mal die zwei verschiedenen Fälle anhand eines Beispiels an:

    Grundbegriffe Funktionen Koeffizient StudySmarter

    In diesem Fall ist der Koeffizient der Variable x die Zahl 2.

    Grundbegriffe Funktionen Koeffizient StudySmarter

    In diesem Fall ist der Koeffizient der Variable x die unbekannte Konstante k.

    Ein Koeffizient wird manchmal auch als Beizahl oder Vorzahl bezeichnet.

    Nachdem wir nun schon wissen, was ein Koeffizient ist, schauen wir uns noch den Parameter an. Diese beiden sind eng miteinander verbunden. Bevor wir auf die Verbindung genauer eingehen, schauen wir uns erstmal an, was ein Parameter überhaupt ist.

    Ein Parameter ist eine vorgestellte Variable die keinen bestimmten Wert hat. Sie tritt zusammen mit der Variable x auf.

    Ein Parameter ist beliebig, aber fest. Er tritt immer zusammen mit einer anderen Variable auf, die allerdings von anderer Qualität ist.

    Wir schauen uns das Prinzip einmal anhand eines kleinen Beispiels an:

    In diesem Falle der Funktion f(x) ist der Parameter durch den Buchstaben k gekennzeichnet. Es handelt sich hier um einen Parameter, der gleichzeitig auch ein Koeffizient ist.

    Wie vorhin schon erwähnt, gibt es eine starke Verbindung dieser beiden Begriffe. Ein Parameter ist nämlich immer ein Koeffizient. Andersrum jedoch ist das nicht immer so, denn ein Koeffizient kann ein Parameter sein, muss er aber nicht.

    Funktionsscharen

    Sind in Funktionsgleichungen Parameter enthalten, ist die Funktion nicht eindeutig. Man nennt sie dann Funktionsschar.

    Eine Funktionsschar ist eine Menge verschiedener Kurven.

    Bei einer Funktionsschar geht es darum, dass wir die Funktion so verändern, dass man unterschiedliche Terme und Graphen erhält.

    Bei einer Funktionsschar gibt es nicht nur die Variable x, sondern auch einen vorgestellten Parameter der mit a oder k bezeichnet wird. Man kann für den Parameter dann eine beliebige Zahl einsetzen.

    Um uns ein genaueres Beispiel näher anzuschauen, betrachten wir die Funktion

    fa(x)= a·x

    Den Parameter a können wir frei definieren und bestimmen, um so eine Funktionsschar zu erhalten. Hier kannst du dir mal eine Tabelle anschauen, wie die Funktion sich für jede unterschiedliche Bestimmung des Parameters verändert.

    Parameter aFunktionfa(x)
    1f1(x)= 1·x
    2f2(x)= 2·x
    10f10(x)=10·x
    100f100(x)= 100·x

    Wir sehen bereits anhand der Tabelle, dass die Funktion sich verändert, wenn wir den Parameter a definieren.

    Wenn wir uns die Funktionen nun visualisieren, kannst du bedeutende Unterschiede erkennen. Schau dir mal diese Visualisierung unserer Tabelle an:

    Grundbegriffe Funktionen, Funktionsscharen, StudySmarterAbbildung 2: Funktionsscharen

    Umkehrfunktion

    Schauen wir uns nun mal an, wann eine Funktion f umkehrbar heißt und was dann ihre Umkehrfunktion ist.

    Eine Funktion f heißt umkehrbar, wenn es zu jedem y-Wert aus ihrer Wertemenge genau einen x-Wert ihrer Definitionsmenge (also wenn es zu jedem yWf genau ein xDf gibt) mit fx=y.

    Wenn eine Funktion umkehrbar ist, so ist die umgekehrte Zuordnung die Umkehrfunktion von f. Diese wird mit f-1bezeichnet.

    Der entscheidende Punkt in dieser Definition ist, dass es zu jedem y-Wert genau einen x-Wert geben muss.

    Umkehrbar sind zum Beispiel die meisten linearen Funktionen. Ausgenommen sind die konstanten linearen Funktionen: sie liegen parallel zur x-Achse, weshalb alle ihre Punkte denselben y-Wert haben. Für diesen y-Wert gibt es dann aber unendlich viele x-Werte. Deshalb sind konstante lineare Funktionen nicht umkehrbar.

    Erfüllt eine Funktion f die Eigenschaft, dass es zu jedem y-Wert genau einen x-Wert gibt, so wird sie in der mathematischen Fachsprache bijektiv genannt.

    Die Eigenschaft der Umkehrbarkeit kann auch nur für einen Teil einer Funktion gelten. Betrachten wir dazu die Normalparabel g(x)=x2. Sie ist nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar, also nicht auf ganz , denn durch ihre U-Form hat jeder y-Wert zwei x-Werte. Betrachtet man die Funktion g aber nur im Positiven, also auf +, so ist sie umkehrbar. Zu jedem y-Wert gibt es nämlich nur einen positiven x-Wert.

    Grundbegriffe Funktionen, Umkehrfunktion Normalparabel, StudySmarterAbbildung 3: Umkehrfunktion der positiven Normalparabel

    Um die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion zu bilden, musst du x und y in der Funktionsgleichung vertauschen, und dann die neu entstandene Funktionsgleichung nach y auflösen.

    Berechnen wir den Funktionsterm der Umkehrfunktion der Normalparabel gx=x2.

    Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet y=x2.

    Vertauschen wir als erstes x und y, so erhalten wir x=y2. Diese Gleichung muss nun nach y aufgelöst werden. Dazu ziehen wir einmal die Wurzel auf beiden Seiten des = und schon haben wir die richtige Funktionsgleichung gegeben:

    x=y

    Der Funktionsterm der Umkehrfunktion lautet also g-1x+=x

    Im Index der Umkehrfunktion steht +. Dadurch kann ausdrückt werden, dass du nur die Umkehrfunktion im positiven Teil des Definitionsbereichs betrachtest.

    Wenn du dich mit der Umkehrfunktion genauer beschäftigen möchtest, haben wir dafür einen eigenen Artikel für dich.

    Punktprobe

    Wenn wir eine Funktion oder eine Gerade gegeben haben, dann kann es dazu kommen, dass wir prüfen müssen, ob ein Punkt auf der Funktion liegt oder nicht. Das nennt man dann Punktprobe. Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, müssen wir den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen.

    Um das Verfahren der Punktprobe einmal anzuwenden, gehen wir das anhand eines Beispiels durch.

    Gegeben ist die Funktion: f(x)=2x3+4x+7

    Wir wollen nun prüfen, ob der Punkt P(0|7) auf der Funktion f(x) liegt.

    1. Schritt: x- und y-Koordinaten in f(x) einsetzen

    7= 2·(0)3+4·(0)+7

    Wir setzen die y-Koordinate für f(x) und die x-Koordinate für x ein.

    2. Schritt: Gleichung lösen

    Da sich die ersten beiden Teile des Terms erledigen, da sie durch die 0 wegfallen, bleibt nur noch die 7 über.

    7= 7

    Du willst noch mehr wissen? Kein Problem! Schau dir mal unseren Artikel zum Thema Punktprobe an.

    Funktionen Arten

    Wenn du nochmal die Arten von Funktionen durchgehen möchtest, dann schau dir mal diese Tabelle an. Die sollte dir einen guten Überblick vermitteln. Zu jedem Funktionstyp gibt es aber auch eigene Artikel auf StudySmarter, wenn du mehr darüber wissen möchtest.

    FunktionsartDefinitionAbbildung 4 – 11
    Lineare Funktion

    Eine lineare Funktion beschreibt das lineare Verhältnis zweier Variablen.

    Ihre Grundform lautet:

    y= mx+b

    Grundbegriffe Funktionen Lineare Funktion StudySmarter

    Quadratische Funktion

    Quadratische Funktionen sind auch als Parabeln bekannt. Es handelt sich hier bei einem Polynom 2ten Grades.

    Ihre Grundform lautet:

    f(x)=ax2+bx+c

    Grundbegriffe Funktionen Quadratische Funktion StudySmarter

    Polynomfunktion

    Eine Polynomfunktion wird manchmal auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

    Ihre Grundform lautet:

    f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0

    Grundbegriffe Funktionen Polynom Funktion StudySmarter

    Wurzelfunktion

    Eine Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion.

    Ihre Grundform lautet:

    f(x)= x

    Grundbegriffe Funktionen Wurzel Funktion StudySmarter

    Exponentialfunktion

    Eine Betragsfunktion ist eine Funktion, bei der die undefinierte Variable im Exponenten steht.

    Ihre Grundform lautet:

    f(x)= ex

    Grundbegriffe Funktionen Exponential Funktion StudySmarter

    Betragsfunktion

    Eine Betragsfunktion ist nur abschnittsweise definiert und setzt sich aus zwei Funktionen zusammen.

    Ihre Grundform lautet:

    f(x)= x=x für x0-x für x0

    Grundbegriffe Funktionen Betrags Funktion StudySmarter

    Logarithmusfunktion

    Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

    Ihre Grundform lautet:

    f(x)= loga(x)

    Grundbegriffe Funktionen Logarithmusfunktion StudySmarter

    TrigonometrischeFunktionenZu den trigonometrischen Funktionen zählen die Sinusfunktion, Kosinusfunktion, und die Tangensfunktion.Sie lauten:f(x)=sin(x)g(x)=cos(x)h(x)=tan(x)

    Grundbegriffe Funktionen Trigonometrische Funktion StudySmarter

    Grundbegriffe Funktionen - Das Wichtigste

    • Eine Funktion stellt die Zuordnung zwischen zwei Mengen dar.
    • Es gibt verschiedene Arten von Funktionen, die unterschiedlich in ihrem Verlauf und Verhalten sind.
    • Ein Term ist die Kombination verschiedener mathematische Elemente.
    • Eine Gleichung stellt die Gleichheit zweier Terme dar.
    • Ein Graph visualisiert die Funktion in einer Ebene.
    • Eine Zuordnung bezeichnet, dass einem Element ein anderes zugeordnet ist.
    • Eine Konstante ist eine stetig verlaufene Funktion, die immer den gleichen Funktionswert hat.
    • Eine Variable ist ein Buchstabe, der für einen bestimmten Wert steht.
    • Ein Koeffizient ist eine vorgestellte Zahl bei einer Variable.
    • Ein Parameter ist eine vorgestellte Zahl einer Variable, die einen bestimmten Wert hat.
    • Ein Funktionsschar ist die Veränderung eines Graphen.
    • Eine Umkehrfunktion ordnet eine Variable umgekehrt zu.
    • Eine Punktprobe beschreibt das Prüfen eines Punktes auf einer Funktion.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Grundbegriffe Funktionen

    Was sind Funktionen was nicht?

    Eine Funktion ist eine Zuordnung, die eine Menge einer anderen zuordnet. Wenn also einer Menge keine andere zugeordnet ist, handelt es sich nicht um eine Funktion.

    Was ist eine Funktion einfach erklärt?

    Eine Funktion beschreibt eigentlich nur, dass eine bestimmte Menge einer anderen zugeordnet ist. Zum Beispiel ist 1kg Äpfel dem Preis 1,50 € zugeordnet.

    Welche Funktionen gibt es?

    Es gibt lineare Funktionen, quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Betragsfunktionen und Logharithmusfunktionen.

    Wie erklärt man Funktionen?

    Eine Funktion stellt die Beziehung zwischen zwei verschiedenen Mengen dar. Meist werden die Mengen als x und y gekennzeichnet.

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    Der Graph einer linearen Funktion hat immer die Form einer Geraden. 

    Ist a bei einer quadratischen Funktion positiv, so ist die Parabel nach unten hin geöffnet.

    Ist a bei einer quadratischen Funktion negativ, so ist die Parabel nach unten hin geöffnet. 

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