Wie berechne ich eine Krümmung?

Eine Krümmung berechnest Du, indem Du die 2. Ableitung der Funktion bildest: bei positiver Ableitung: links-Krümmung (konvex) bei negativer Ableitung: rechts-Krümmung (konkav)

Krümmung und Wendepunkte

Q: Was ist ein Wendepunkt?

Der Punkt einer Funktion, in dem der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten ändert.

Q: Was ist eine Krümmung?

Wenn der Verlauf eines Graphen einer Funktion dem Verlauf einer Geraden abweicht, liegt eine Krümmung vor. Du kannst Dir merken, dass bei einer Krümmung nach oben eine links-Krümmung vorliegt und bei einer Krümmung nach unten eine rechts-Krümmung .

Q: Was ist, wenn der Wendepunkt 0 ist?

Wenn ein Wendepunkt 0 ist, liegt der Wendepunkt im Ursprung.

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Stell Dir vor, Du fährst auf einer Achterbahn. Die Achterbahn hat Hoch- und Tiefpunkte, wie ein Graph mit Extremstellen (Kurvendiskussion). Du fährst mit Deinem Wagon und überlegst Dir, wie man den Punkt nennt, an dem die Achterbahn ihr Krümmungsverhalten ändert. Kannst Du ihn berechnen?

Krümmung und Wendepunkte – Grundlagenwissen

Um einen Wendepunkt zu bestimmen, ist es wichtig, dass Du Dich mit dem Thema Ableitungen auseinander gesetzt hast. Deshalb ein kleiner Rückblick zu den Ableitungsregeln.

Wiederholung Ableitungen

Die erste Ableitung einer Funktion stellt die Steigung der Ausgangsfunktion dar und wird als $f ´ (x)$ dargestellt.

In der Kurvendiskussion sind Ableitungen essentiell, um die notwendigen und hinreichenden Bedingungen von Extremwerten zu erfüllen.

Wenn eine Funktion

$f (x) = x^{2}$

lautet, dann lautet die zugehörige Ableitungsfunktion:

$f ´ (x) = 2 x$

Dies wurde mit der Potenzregel bestimmt.

Ableitungsregeln – Funktion

Wie Du im oberen Beispiel erkennst, wurden, um die Ableitung zu vereinfachen, Ableitungsregeln aufgestellt.

In der Tabelle findest Du nochmal die wichtigsten Ableitungsregeln:

Regel	Funktion	Ableitung
Ableitung von x	$f (x) = x$ $f (x) = x$	$f' (x) = 1$
Potenzregel	$f (x) = x^{n}$	$f ´ (x) = n \times x^{n - 1}$
Faktorregel	$g (x) = m \cdot x^{n}$	$g' (x) = m \cdot n \cdot x^{n - 1}$
Summenregel	$f (x) = g (x) + h (x)$	$f' (x) = g' (x) + h' (x)$
Quotientenregel	$f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}$	$f' (x) = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$
Konstantenregel	$f (x) = n \times x$	$f ´ (x) = n$
Wurzelfunktion	$f (x) = \sqrt{x}$	$f ´ (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$
e-Funktion	$f (x) = e^{x}$	$f ´ (x) = e^{x}$
Logarithmusfunktion	$f (x) = \ln (x)$	$f (x) = \frac{1}{x}$
Sinusfunktion	$f (x) = \sin (x)$	$f ´ (x) = \cos (x)$
Cosinusfunktion	$f (x) = \cos (x)$	$f ´ (x) = - \sin (x)$
Tangensfunktion	$f (x) = \tan (x)$	$f ´ (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Krümmung und Wendepunkte – Definition und Unterschiede

Zurück zur Krümmung der Achterbahn.

Wenn der Verlauf eines Graphen einer Funktion vom Verlauf einer Geraden abweicht, spricht man von einer Krümmung.

Der Punkt einer Funktion, in dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert, wird als Wendepunkt bezeichnet. Dieser Bogenwechsel kann dabei entweder von konvex (linksgekrümmt) zu konkav (rechtsgekrümmt) oder umgekehrt stattfinden, der Wendepunkt zeigt dabei diese Änderung.

Ein Wendepunkt ist also ein Punkt, in dem sich das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion verändert. Du kannst Dir das so merken, dass der Wendepunkt auf dem Graphen zwischen zwei verschiedenen Krümmungen liegt.

Stell Dir vor, Du fährst mit deinem Fahrrad auf einer Straße mit vielen Kurven. Diese Straße findest du in der unteren Abbildung, als Graph der Funktion f(x). Die Kurve biegt sich nach links, vom dritten Quadranten des Koordinatensystems bis zum Ursprung, danach verläuft die Straße in einer rechts-Krümmung.

Krümmung und Wendepunkte Sinusfunktion link-rechts-Wendepunkt Abbildung 1: links-rechts-Wendepunkt

Ein Wendepunkt kann entweder ein links-rechts-Wendepunkt wie in Abbildung 1 sein, oder ein rechts-links-Wendepunkt wie in Abbildung 2.

Krümmung und Wendepunkte Sinusfunktion StudySmarter Abbildung 2: rechts-links-Wendepunkt

In einem Wendepunkt ist die Steigung bzw. das Gefälle einer Funktion am stärksten.

Um die Steigung, die der Funktionsgraph im Wendepunkt aufweist, zu ermitteln, kannst Du eine Tangente am Wendepunkt einsetzen. Das ist dann eine Wendetangente.

Die Wendetangente wird als Form der Geradengleichung $y = m x + b$ beschrieben.

Dabei steht m für die Steigung des Graphen und b für den y-Achsenabschnitt.

Bestimmung einer Wendetangente:

Du kannst die Wendetangente mit einem Lineal am Wendepunkt ziehen, was aber ungenau ist. Genauer geht es rechnerisch.

Um die Wendetangente rechnerisch zu ermitteln, benötigst Du die Variablen m und b.
Die Steigung ermittelst Du, indem Du die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung einsetzt.
Um den y-Achsenabschnitt b ausrechnen zu können, setzt Du die Koordinaten des Wendepunktes und die berechnete Steigung in die Geradengleichung ein.
Anschließend formst Du nach b um und berechnest den y-Achsenabschnitt.
Zum Schluss setzt Du die ermittelten Werte in die Geradengleichung ein und erhältst dadurch eine Wendetangente.

Hier siehst Du, wie so eine Wendetangente aussehen kann:

Krümmung und Wendepunkte Wendetangente Wendepunkt Sinusfunktion StudySmarter Abbildung 3: Eine Wendetangente auf einem Wendepunkt einer Sinusfunktion

Sieh Dir zur Veranschaulichung dieses Beispiel an!

Gegeben ist die Gleichung

$f (x) = 4 x^{3} + 7 x^{2}$

Mit dem Wendepunkt

$WP (- \frac{7}{12} | \frac{343}{216})$

Krümmung und Wendepunkte Wendetangente StudySmarter Abbildung 4: Beispielaufgabe zur Bstimmung einer Wendetangente, vor Bestimmung der Wendetangente

Aufgabe

Bestimme die Wendetangente.

Lösung

Um die Wendetangente rechnerisch zu ermitteln, benötigst Du die Variablen m und b.Die Steigung m ermittelst Du, indem Du die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung einsetzt.

Bilde die erste Ableitung:

$f' (x) = 12 x^{2} + 14 x$

Setze die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung ein.

$\begin{array}{rcl} f' (- \frac{7}{12}) & = & 12 \cdot {(- \frac{7}{12})}^{2} + 14 \cdot (- \frac{7}{12}) \\ f' (- \frac{7}{12}) & = & - \frac{49}{12} = m \end{array}$

Um den y-Achsenabschnitt b ausrechnen zu können, setzt Du die Koordinaten des Wendepunktes und die berechnete Steigung in die Geradengleichung ein.

Anschließend formst Du nach b um und berechnest den y-Achsenabschnitt.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} \frac{343}{216} = - \frac{49}{12} \cdot (- \frac{7}{12}) + b \\ \frac{343}{216} = \frac{343}{144} + b & | - \frac{343}{144} \\ b = \frac{343}{216} - \frac{343}{144} = - \frac{343}{432} \end{matrix} \end{array}$

Zum Schluss setzt Du die ermittelten Werte in die Geradengleichung ein und erhältst dadurch eine Wendetangente.

$y = - \frac{49}{12} \cdot x - \begin{array}{rcl} \frac{343}{432} \end{array}$

Diese kannst Du jetzt ganz einfach in den Graphen einzeichnen.

Krümmung und Wendepunkte Wendetangente StudySmarter Abbildung 5: Beispielaufgabe zur Bestimmung einer Wendetangente, nach Bestimmung der Wendetangente

Krümmung

Hier soll es aber nicht um die Steigung gehen, sondern vorrangig um Krümmung und Wendepunkte.

Krümmung am Graphen ablesen

Eine Krümmung muss nicht zwingend rechnerisch bestimmt werden. Wenn der Graph der Funktion positiv gekrümmt ist, ist der Graph linksgekrümmt. Bei einer negativen Krümmung ist der Graph rechtsgekrümmt.

Gegeben sind die Graphen :

$f (x) = - x^{2}$
$g (x) = {(x - 2)}^{2}$

Beide Graphen der Funktion sind Parabeln und haben auch das typische, bogenförmige Aussehen einer Parabel.

Der Graph der Funktion f(x) ist nach unten geöffnet, während der Graph der Funktion g(x) nach oben geöffnet ist.
Der Graph der Funktion f(x) steigt bis zum Höhepunkt HP(0|0) und fällt danach, es liegt eine rechts-Krümmung vor.
Der Graph der Funktion g(x) fällt bis zum Tiefpunkt TP(2|0) und steigt danach. Du kannst hier eine links-Krümmung erkennen.

Krümmung und Wendepunkte Graphen Krümmung ablesen StudySmarter Abbildung 6: Funktionen f(x) mit einer rechts-Krümmung und g(x) mit einer links-Krümmung

Krümmung berechnen – Zweite Ableitung

Um die Krümmung eines Graphen bestimmen zu können, kann die zweite Ableitung der Funktion $f (x)$ gebildet werden.

Die 2. Ableitung entsteht durch erneutes Ableiten einer Ableitung. Während die 1. Ableitung als f'(x) gekennzeichnet wird, heißt die 2. Ableitung f''(x).

Die 2. Ableitung gibt Aussagen über das Krümmungsverhalten der Ausgangsfunktion f(x).

Um die Art der Krümmung zu bestimmen gilt:

$f'' (x) > 0 : links - Krümmung (konvex)$
$f'' (x) < 0 : rechts - Krümmung (konkav)$
$f'' (x) = 0 : Wendepunkt$

In einem Wendepunkt wechselt die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten, deswegen ist die 2. Ableitung an einem Wendepunkt gleich Null.

$f'' (x) = 0 : Wendepunkt$

Hier zwei Beispiele. wie Du eine rechts- bzw. links-Krümmung bestimmen kannst.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{- 2}$

Lösung

Die zweite Ableitung der Funktion $f (x)$ lautet:

$f " (x) = - 2$

Es liegt also eine rechts-Krümmung vor.

Gegeben ist die Funktion $g (x) = x^{2}$

Lösung

Die zweite Ableitung der Funktion $f (x)$ lautet

$g " (x) = 2$

Es liegt also eine links-Krümmung vor.

Wendepunkte

Um einen Wendepunkt bestimmen zu können, ist folgendes zu beachten:

Notwendige Bedingung:

Die 2. Ableitung der Ausgangsfunktion bestimmt die Krümmung der Funktion. Diese muss am Wendepunkt null sein, da eine Änderung der Krümmung vorhanden ist.

Es gilt also:

$f " (x) = 0$

um die Nullstelle zu berechnen.

Die Funktion kann an diesem Punkt nur einen Wendepunkt haben, wenn die notwendige Bedingung erfüllt ist.

Hinreichende Bedingung:

Extrema besitzen hinreichende Bedingungen zur Bestimmung von Hoch-, Tief- oder Sattelpunkten. Wendepunkte haben ebenso hinreichende Bedingungen zur Bestimmung eines links-rechts-Wendepunkt oder rechts-links-Wendepunkts. Die dritte Ableitung der Ausgangsfunktion gibt an, was für eine Art Wendepunkt vorliegt. Um dies zu ermitteln, darf die dritte Ableitung nicht gleich Null sein. Es gilt:

$f''' (x) \neq 0$

Wenn diese Bedingungen vollbracht sind, kannst Du den Wendepunkt bestimmen.

Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung dienen dazu, in der Mathematik die Gültigkeit einer Aussage zu beweisen.

Dieser Beweis wird in zwei Typen unterteilt:

Eine Bedingung, die erfüllt werden muss, damit die Aussage stimmt. (notwendige Bedingung)
Eine Bedingung, die mehrere Möglichkeiten hat. Eine der Möglichkeiten muss erfüllt sein, damit die Aussage stimmt. (hinreichende Bedingung)

Nicht nur Wendepunkte müssen notwendige und hinreichende Bedingungen erfüllen.

Der Punkt eines Graphen einer Funktion, an dem keine Steigung vorhanden ist, ist ein Extrempunkt.

Es gilt:

$f' (x) = 0$

Um Extrema zu ermitteln, müssen – wie bei den Wendepunkten – notwendige und hinreichende Bedingungen erfüllt sein. Es gilt:

notwendige Bedingung: $f' (x) = 0$
hinreichende Bedingung: $f'' (x) \neq 0$

falls $f'' (x) = 0$ , dann liegt ein Wendepunkt vor, da die zweite Ableitung Aussagen über das Krümmungsverhalten einer Funktion trifft.

Wendepunkte berechnen

Um einen Wendepunkt zu bestimmen, kannst Du zunächst die zweite Ableitung Deiner Funktion bilden und diese gegen Null setzen. Anschließend formst Du nach $x$ um und erhältst als Ergebnis die x-Koordinate des Wendepunktes. $x$ setzt Du nun in die Ausgangsfunktion $f (x)$ ein, damit Du die y-Koordinate des Wendepunktes errechnen kannst. Jetzt kennst Du die Koordinaten deines Wendepunktes und kannst Aussagen über das Krümmungsverhalten Deines Graphen tätigen.

Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{3} + 7$ . Es soll der Wendepunkt bestimmt werden.

Schritt 1

Um den Wendepunkt zu finden, benötigst Du die 2. Ableitung.

$\begin{array}{rcl} 1 . Ableitung : f' (x) & = & 3 x^{2} \\ 2 . Ableitung : f " (x) & = & 6 x \end{array}$

Schritt 2

Da für einen Wendepunkt die 2. Ableitung 0 sein muss, setzt du diese nun gleich 0 und löst nach x auf.

\begin{array}{rcl} f " (x) & = & 6 x = 0 \\ x & = & 0 \end{array}

$\to W P (0 | y)$

Schritt 3

Setze nun die x-Koordinate, die Du gerade ausgerechnet hast, in die Ausgangsfunktion ein, um den zugehörigen y-Wert zu erhalten.

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & 0^{3} + 7 = 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

$\to W P (0 | 7)$

Falls Du aber wissen möchtest, wie sich das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion genau ändert, kannst Du die dritte Ableitung der Funktion bilden.

Wenn Du die Ausgangsfunktion dreimal hintereinander ableitest, erhältst du die 3. Ableitung f'''(x).

Die dritte Ableitung wird gebildet, um zu entscheiden, welche Art Wendepunkt vorliegt.

Um die Art des Wendepunktes zu bestimmen, gilt:

f'''(x) > 0 : rechts-links-Wendepunkt
f'''(x) < 0 : links-rechts-Wendepunkt
f'''(x) = 0 : keine Aussage möglich

Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{3} + 7$ .Um herauszufinden, welcher Wendepunkt vorliegt, brauchst Du die 3. Ableitung:

$\begin{array}{rcl} 1 . A b l e i t u n g : f' (x) & = & 3 x^{2} \\ 2 . A b l e i t u n g : f " (x) & = & 6 x \\ 3 . A b l e i t u n g : f''' (x) & = & 6 \end{array}$

Da die 3. Ableitung größer als Null ist, liegt ein recht-links-Wendepunkt vor.

Hier noch ein Beispiel für einen links-rechts-Wendepunkt

Gegeben ist die Funktion $g (x) = - x^{3} + 4 x^{2}$ .

Erneut benötigst Du die 3. Ableitung:

$g''' (x) = - 6$

Da die 3. Ableitung kleiner als 0 ist, krümmt sich der Wendepunkt von links nach rechts.

Krümmung und Wendepunkte – Aufgaben

Um zu testen, wie gut Du das Thema Krümmung und Wendepunkte verstanden hast, kannst Du hier einige Aufgaben lösen.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion:

$f (x) = - x^{3} + 5$ .

Bestimme den Wendepunkt der Funktion und gib an, um welchen Wendepunkt es sich handelt.

Lösung

Schritt 1

Um die Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen, kannst Du zunächst die zweite Ableitung der Funktion bilden.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & - 3 x^{2} \\ f " (x) & = & - 6 x \end{array}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gegen Null und forme die Funktion f(x) nach x um.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} f " (x) = 0 \\ - 6 x = 0 & | : (- 6) \\ x = 0 \end{matrix} \end{array}$

Schritt 3

Nun setzt Du die x-Koordinate in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um die y-Koordinate zu bestimmen.

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & - {(0)}^{3} + 5 \\ y & = & 5 \end{array}$

Nun weißt Du, dass dein Wendepunkt auf dem Punkt (0|5) liegt.

Schritt 4

Um zu bestimmen, welche Art Wendepunkt vorliegt kannst Du zunächst die dritte Ableitung bilden.

$f''' (x) = - 6$

Da die dritte Ableitung negativ ist, liegt ein links-rechts-Wendepunkt vor.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $g (x) = - 4 x^{3} + 5 x^{2} + 7 x - 2$ . Bestimme den Wendepunkt der Funktion und gib an, um welchen Wendepunkt es sich handelt.

Lösung

Schritt 1

Um die Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen, kannst Du zunächst die zweite Ableitung der Funktion bilden.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & - 12 x^{2} + 10 x + 7 \\ g " (x) & = & - 24 x + 10 \end{array}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gegen Null und forme die Funktion f(x) nach x um.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 0 = g " (x) \\ 0 = - 24 x + 10 & | - 10 | : (- 24) \\ x = \frac{5}{12} \end{matrix} \end{array}$

Schritt 3

Nun setzt Du die x-Koordinate in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um die y-Koordinate zu bestimmen.

$\begin{array}{rcl} f (\frac{5}{12}) & = & - 4 \cdot {(\frac{5}{12})}^{3} + 5 \cdot {(\frac{5}{12})}^{2} + 7 \cdot \frac{5}{12} - 2 \\ f (\frac{5}{12}) & = & \frac{323}{216} \approx 1.50 \\ y & = & \frac{323}{216} \approx 1.50 \end{array}$

Nun weißt Du, dass Dein Wendepunkt auf dem Punkt $(\frac{5}{12} | \frac{323}{216})$ liegt.

Schritt 4

Um zu bestimmen, ob ein rechts-links- oder ein links-rechts-Wendepunkt vorliegt, kannst Du zunächst die dritte Ableitung bilden.

$g''' (x) = - 24$

Das Ergebnis der dritten Ableitung ist -24. Da die dritte Ableitung negativ ist, liegt ein links-rechts-Wendepunkt vor.

Hier findest Du nochmal alles Wichtige zu Wendepunkten und Krümmungen auf einem Blick!

Krümmung und Wendepunkte – Das Wichtigste

Der Punkt einer Funktion, in dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert, wird als Wendepunkt bezeichnet.
Eine Krümmung ist dann vorhanden, wenn der Graph einer Funktion nicht einer Geraden entspricht.
Berechnung der Krümmung:
- Bildung der 2. Ableitung der Funktion
  - $f " (x) > 0 l i n k s - K r ü m m u n g$
  - $f " (x) < 0 r e c h t s - K r ü m m u n g$
Berechnung des Wendepunktes:
- Bildung der 2. Ableitung der Funktion
- 2. Ableitung gegen Null setzen
- $f " (x) = 0$ nach x umstellen → x-Koordinate des Wendpunktes
- $x$ in die Ausgangsfunktion einsetzen → y-Koordinate des Wendepunktes
- Bildung der 3. Ableitung der Funktion
  - $f''' (x) > 0 r e c h t s - l i n k s - W e n d e p u n k t$
  - $f''' (x) < 0 l i n k s - r e c h t s - W e n d e p u n k t$
Bestimmung einer Wendetangente
- x-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung einfügen → Ermittlung der Steigung m
- Alle bekannten Werte (Wendepunkt-Koordinaten und Steigung) in die Geradengleichung einsetzen und diese nach dem y-Achsenabschnitt umformen und lösen → Ermittlung des y-Achsenabschnittes b
- Die Steigung und den y-Achsenabschnitt in die Geradengleichung einsetzen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Krümmung und Wendepunkte

Eine Krümmung berechnest Du, indem Du die 2. Ableitung der Funktion bildest:

bei positiver Ableitung: links-Krümmung (konvex)
bei negativer Ableitung: rechts-Krümmung (konkav)

Der Punkt einer Funktion, in dem der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten ändert.

Wenn der Verlauf eines Graphen einer Funktion dem Verlauf einer Geraden abweicht, liegt eine Krümmung vor. Du kannst Dir merken, dass bei einer Krümmung nach oben eine links-Krümmung vorliegt und bei einer Krümmung nach unten eine rechts-Krümmung.

Wenn ein Wendepunkt 0 ist, liegt der Wendepunkt im Ursprung.

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Was sagt die 2. Ableitung aus?

Die 2. Ableitung gibt Aussagen über das Krümmungsverhalten einer Ausgangsfunktion.

Was ist eine Wendetangente?

Die Wendetangente, ist eine Tangente, die am Wendepunkt angesetzt wird, um die Steigung, die der Funktionsgraph am Wendepunkt aufweist zu ermitteln.

Was ist ein Wendepunkt?

Der Punkt einer Funktion, in dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert, wird als Wendepunkt bezeichnet.

Wie kann man die Steigung an einem Wendepunkt rechnerisch Bestimmen?

Mit einer Wendetangente:

x-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung einfügen →Ermittlung der Steigung m
Alle bekannten Werte (Wendepunkt-Koordinaten und Steigung) in die Geradengleichung einsetzen und diese nach dem y-Achsenabschnitt umformen und lösen →Ermittlung des y-Achsenabschnittes b
Die Steigung und den y-Achsenabschnitt in die Geradengleichung einsetzen

Wozu dienen hinreichende und notwendige Bedingungen in der Mathematik?

Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung dienen dazu, in der Mathematik die Gültigkeit einer Aussage zu beweisen.

Dieser Beweis wird in zwei Typen unterteilt:

Eine Bedingung, die erfüllt werden muss, damit die Aussage stimmt. (notwendige Bedingung)
Eine Bedingung, die mehrere Möglichkeiten hat. Eine der Möglichkeiten muss erfüllt sein, damit die Aussage stimmt. (hinreichende Bedingung)

Identifiziere die richtige Aussage.

Ein Sattelpunkt ist ein Extrempunkt.

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