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Besondere lineare Funktionen

Besondere lineare Funktionen

Um eine Vorstellung von besonderen linearen Funktionen zu bekommen, musst Du Dich nur ein wenig im Alltag umsehen:

Ein Flugzeug fliegt etwa in konstanter Höhe und somit parallel zur Erdoberfläche. Genau diesen Flugverlauf kannst Du als konstante Funktion in der Mathematik beschreiben.

Wie Du diese und andere besondere Funktionen aufstellen, beschreiben, ablesen und berechnen kannst, wird Dir in dieser Erklärung anhand von Beispielen, Definitionen und Erklärungen gezeigt.

Besondere lineare Funktionen – Definition & Erklärung

Eine allgemeine lineare Funktion ist in der Mathematik wie folgt definiert:

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion der Form:

\begin{align} f(x)= {\color{#00dcb4}m} \cdot x+ {\color{#fa3273}t} \, \, \\ \text{mit} \, \, \mathbb{D}_f =\mathbb{R}\end{align}

Dabei stellt \(m\) die Steigung der Gerade und \(t\) den y-Achsenabschnitt dar.

Die Parameter der Steigung und des Achsenabschnitts werden in verschiedenen Lehrbüchern unterschiedlich benannt. Arbeite am besten mit der Benennung aus Deinem Mathebuch.

Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Diese Funktion läuft, wie der Name schon sagt, gerade durchs Koordinatensystem.

Besondere lineare Funktionen Graph linearen Funktion StudySmarterAbb. 2 - Lineare Funktion.

Insbesondere anhand ihrer Eigenschaften zur Steigung, den Nullstellen und dem y-Achsenabschnitt können die Geraden in einige sogenannte besondere lineare Funktionen unterteilt werden.

Besondere lineare Funktion – Definition

Wie genau ist eine besondere lineare Funktion definiert?

Unter einer besonderen linearen Funktion wird in der Mathematik eine Funktion verstanden, deren Eigenschaften bestimmte Ausprägungsformen haben und welche dadurch einen eigenen Namen erhält.

Es gibt folgende besondere lineare Funktionen:

Diese werden in den folgenden Abschnitten genauer beschrieben.

Konstante Funktionen

Die konstante Funktion kennst Du bereits aus der Einleitung. Hier wird sie näher definiert und erklärt.

Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung \(m=0\). Sie hat die Form \(f(x)=c\), wobei \(c\) konstant ist.

Folglich bedeutet dies, dass eine lineare Funktion, welche als \(f(x)=mx+t\) definiert ist, genau dann als konstante Funktion bezeichnet wird, wenn ihre Steigung \(m=0\) ist.

Folgende Abbildung zeigt Dir beispielhaft eine konstante Funktion \(f(x)=-2\).

Besondere lineare Funktionen Konstante Funktion StudySmarterAbb. 3 - Konstante Funktion.

Wie aus der Abbildung hervorgeht, sind Geraden von konstanten Funktionen immer parallel zur x - Achse.

Damit stellt der Lösungswert der Funktion immer denselben Wert dar, nämlich jenen für \(c\), also in diesem Beispiel \(-2\).

Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung konstante Funktion.

Ursprungsgerade

Wie der Name schon erahnen lässt, hat diese Funktion einen engen Zusammenhang mit dem Ursprung beziehungsweise Nullpunkt des Koordinatensystems.

Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Punkt \(U(0|0)\), den Ursprung des Koordinatensystems, verläuft.

Der allgemeine Funktionsterm ihrer zugehörigen linearen Funktion ist gegeben durch \(f(x)=m\cdot x\).

Eine Ursprungsgerade besitzt also als Besonderheit keinen y-Achsenabschnitt t.

Dieser gibt an, an welchem Punkt die Gerade die y-Achse schneidet. Das ist bei einer Ursprungsgerade jedoch der Wert \(0\) aufgrund ihres Verlaufs durch den Ursprung, daher fällt \(t=0\) in der allgemeinen Funktionsgleichung weg.

Folgende Abbildung zeigt einige Beispiele für Ursprungsgeraden.

Besondere lineare Funktionen Ursprungsgeraden StudySmarterAbb. 4 - Ursprungsgeraden.

Im Beitrag Ursprungsgerade findest Du mehr Details zu diesem Thema.

Betragsfunktion

Bei der Betragsfunktion wird jedem x-Wert sein Betrag zugewiesen.

Die Funktion \(f(x)=|x|\) heißt Betragsfunktion. Es gilt:

\begin{align} f(x)=|x|=\begin{cases} x \, &\text{für} \, \, x\geq 0 \\ -x \, &\text{für} \, \, x<0 \end{cases} \end{align}

Die Definitionsmenge der Betragsfunktion ist \(\mathbb{D} =\mathbb{R}\). Die Wertemenge der Betragsfunktion lautet \(\mathbb{W}=\mathbb{R}^+ \).

Die Definitionsmenge \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\) bedeutet, dass die Betragsfunktion \(f(x)\) für alle reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) definiert ist. Du kannst also jede Zahl, die Du kennst, in die Betragsfunktion einsetzen.

Die Wertemenge \(\mathbb{W}=\mathbb{R}^+\) einer Funktion \(f(x)\) beschreibt den Zahlenbereich, in dem alle ausgegebenen Funktionswerte liegen. Die Funktionswerte der Betragsfunktion sind immer positiv, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Deshalb sind nur alle positiven reellen Zahlen Teil der Wertemenge.

Der Graph der Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) besteht aus zwei Halbgeraden.

In folgender Abbildung kannst Du erkennen, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Besondere lineare Funktionen Betragsfunktion StudySmarterAbb. 5 - Betragsfunktion.

Wenn Du einen x-Wert in die Betragsfunktion einsetzt, kannst Du direkt den Betrag des x-Wertes berechnen:

\begin{align} f(3)&=|3|=3 \\[0.2cm]f(-4)&=|-4|=4 \\[0.2cm] f(27)&=|27|=27 \\[0.2cm] f(-61)&=|-61|=61 \end{align}

Zum Auffrischen der Kenntnisse über den Betrag, sieh Dir die Erklärung Betrag und Gegenzahl genauer an.

Weitere Beispiele und Hintergründe zur Betragsfunktion an sich findest Du in der Erklärung Betragsfunktionen.

Tangente, Sekante und Passante

Unter den Begriffen Tangente, Sekante und Passante werden in der Mathematik Geraden verstanden, welche eine Funktion oder geometrische Figur berühren, schneiden oder nicht berühren. Folgende Tabelle gibt einen Überblick:

Tangente
Sekante
Passante
Eigenschaft
Berührt die Figur
Schneidet die Figur
Berührt die Figur nicht
Berührungspunkte mit Figur
1
2
0
Allgemeine Gleichung der Geraden
\[t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)\]\[s=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\]
Einfache Gerade ohne Schnittpunkt:
\[p(x)=mx+t\]

Folgende Abbildung verdeutlicht die Unterscheidung zwischen Tangente, Sekante und Passante.

Besondere lineare Funktionen Tangente Sekante Passante StudySmarterAbb. 6 - Tangente, Sekante und Passante.

Möchtest Du mehr über die Tangente, Sekante oder Passante erfahren? Dann sieh Dir unbedingt die zugehörigen Beiträge an.

Normale

Auch die Normale hängt eng mit der Tangente zusammen.

Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen oder ein geometrisches Objekt schneidet und im Schnittpunkt orthogonal dazu verläuft.

Dadurch verläuft sie auch orthogonal zur Tangenten in diesem Punkt und wird gerne als Gegenpart zu dieser gesehen.

Einfacher ausgedrückt ist eine Normale eine Gerade, welche die Tangente an jenem Punkt, an welchem diese den Berührungspunkt mit der Figur hat, so schneidet, dass die beiden senkrecht zueinander stehen beziehungsweise einen rechten Winkel bilden.

Folgende Abbildung zeigt beispielhaft eine Tangente und Normale der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(S(1|1)\).

Besondere lineare Funktionen Normale StudySmarterAbb. 7 - Normale.

Es gibt eine allgemeine Normalengleichung, welche sich aus der Steigung der zugehörigen Funktion und dem Funktionswert an der entsprechenden Stelle ergibt.


Die allgemeine Normalengleichung der Normale \(n(x)\) an die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(a\) lautet:

\[n(x)=-\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a)\]

Mehr Details zum Thema gibts in der Erklärung Normale.

Besondere lineare Funktionen – beschreiben, ablesen, aufstellen und berechnen

Mithilfe von Wertetabellen und Steigungsdreiecken können lineare Funktionen beschrieben, abgelesen, aufgestellt und berechnet werden.

Besondere lineare Funktionen beschreiben

Funktionen können als Funktionsterm, mithilfe einer Wertetabelle oder als Funktionsgraph beschrieben werden.

Funktionsterm

Der Funktionsterm (auch Funktionsgleichung genannt) gibt die Rechenvorschrift für eine Variable an.

\[f(x)=|x|+1\]

Wertetabelle

Unter der Wertetabelle wird eine Tabelle verstanden, in welcher beliebige Werte für x in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um den Funktionswert \(f(x)\) zu ermitteln.

Besondere lineare Funktionen Wertetabelle StudySmarterAbb. 8 - Wertetabelle.

Funktionsgraph

Diese Werte können auch als Funktionsgraph in ein Koordinatensystem eingetragen werden.

Besondere lineare Funktionen Funktionsgraph StudySmarterAbb. 9 - Funktionsgraph.

Besondere lineare Funktionen ablesen

Den Funktionsterm einer besonderen linearen Funktion kannst Du anhand Ihres Graphen ablesen.

Gehe dazu in folgenden Schritten vor:

  1. Allgemeinen Funktionsterm aufschreiben: \(y=m\cdot x+t\)
  2. Steigung \(m=\frac{y}{x}\) anhand eines Steigungsdreiecks ablesen; \(m=\frac{ {\color{#8363e2}2} }{ {\color{#ffcd00}1} } ={\color{#00dcb4}2}\).
  3. Ablesen des y-Achsenabschnitts t (als Schnittpunkt mit der y-Achse); \({\color{#fa3273}t=0}\).
  4. Einsetzen der Werte für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t in den allgemeinen Funktionsterm; \(y={\color{#00dcb4}2}x+{\color{#fa3273}0}\).

Besondere lineare Funktionen ablesen StudySmarterAbb. 10 - Besondere lineare Funktion ablesen.

Genaueres hierzu findest Du im Beitrag Lineare Funktionen.

Besondere lineare Funktionen aufstellen

Um eine Funktion aufzustellen, musst Du rechnerisch die Steigung und den Achsenabschnitt bestimmen.

Auch hierbei gehst Du auf ähnliche Weise vor:

  1. Schreibe Dir den Allgemeinen Funktionsterm auf: \(y=m\cdot x+t\)
  2. Berechne dann die Steigung m mithilfe von zwei gegebenen Punkten der Funktion. Nutze dafür die Formel \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) .
  3. Setze die berechnete Steigung m in den allgemeinen Funktionsterm ein.
  4. Nun kannst Du den x-Wert und den y-Wert eines Punktes der Funktion in den Funktionsterm einsetzen & ihn nach der verbliebenen Variable t umstellen.
  5. Vervollständige den Funktionsterm mit dem berechneten y-Achsnabschnitt t.

Es sind die Punkte \(P_1({\color{#1478c8}1} | {\color{#00dcb4}1})\) und \(P_2({\color{#fa3273}-3} | {\color{#ffcd00}1})\) einer Funktion \(f(x)\) gegeben.

Um jetzt die Funktionsgleichung herauszufinden, gehst Du folgendermaßen vor.

Schritt 1: Allgemeinen Funktionsterm aufschreiben.

\[y=m\cdot x+t\]

Schritt 2: Steigung \(m\) berechnen.

\begin{align} m&=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\[0.2cm] &=\frac{{\color{#ffcd00}y_2} - {\color{#00dcb4}y_1}} {{\color{#fa3273}x_2} - {\color{#1478c8}x_1}} \\[0.2cm] &=\frac{{\color{#ffcd00}1} - {\color{#00dcb4}1}} {{\color{#fa3273}-3} - {\color{#1478c8}1}} \\[0.2cm] &=\frac{0}{-4} \\[0.2cm] &=0 \end{align}

Schritt 3: Steigung einsetzen.

\[y=0\cdot x+t\]

Schritt 4: Punkt in Funktion einsetzen.

Du entscheidest Dich dafür den Punkt \(P_1({\color{#1478c8}1} | {\color{#00dcb4}1})\) einzusetzen.

\begin{align} {\color{#00dcb4}1} &=0\cdot {\color{#1478c8}1} +t \\ 1&=t \end{align}

Schritt 5: Funktionsterm vervollständigen.

\begin{align}y&=0x+1 \\y&=1 \end{align}

Nähere Details gibt es in der Erklärung Geradengleichung aufstellen.

Besondere lineare Funktionen berechnen

Manchmal hast Du jedoch bereits den Funktionsterm gegeben und möchtest nur noch den Funktionswert für eine bestimmte Zahl berechnen.

  1. Dafür setzt Du die gegebene Zahl als x-Wert in die Funktion ein.
  2. Anschließend rechnest Du den Term aus.
  3. Dadurch erhältst Du den y-Wert beziehungsweise den Wert der Funktion.

Aufgabe 1

Du hast den Funktionsterm

\[g(x)=-2x+1\]

einer Tangente an \(f(x)=-x^2\) gegeben. Berechne den Funktionswert für \(x=5\).

Lösung

Gehe dabei nach dem Schema oben vor.

Schritt 1: x-Wert in Funktion einsetzen.

\[g(5)=-2\cdot 5 +1\]

Schritt 2: Term berechnen.

\begin{align}g(5)&=-2 \cdot 5 +1 \\ &=-10+1 \\ &=-9 \end{align}

Schritt 3: Ergebnis angeben.

\begin{align}g(5)&=-9\\ y&=-9 \end{align}

Besondere lineare Funktionen – Beispiele

Folgende Übungsbeispiele werden das Erlernte zum Thema besondere lineare Funktionen wiederholen.

Aufgabe 2

Um welche besondere lineare Funktion handelt es sich in folgender Abbildung?

Besondere lineare Funktionen Aufgabe StudySmarterAbb. 11 - Aufgabe 1.

Lösung

Bei dieser Funktion handelt es sich um eine Betragsfunktion \(f(x)=|x|\).

Auf geht's zur nächsten Aufgabe.

Aufgabe 3

Gib an, um welche Arten von besonderen linearen Funktionen es sich hier handelt.

Besondere lineare Funktionen Aufgabe StudySmarterAbb. 12 - Aufgabe 2.

Lösung

Es handelt sich um folgende Funktionen:

  • Normale → türkis
  • Tangente → pink
  • Passante → lila
  • Sekante → gelb

Besondere lineare Funktionen – Das Wichtigste

    • Unter einer besonderen linearen Funktion wird in der Mathematik eine Funktion verstanden, deren Eigenschaften bestimmte Ausprägungsformen haben und welche dadurch einen eigenen Namen erhält.
    • Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung \(m0=\). Sie hat die Form \(y=c\), wobei c konstant ist.
    • Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Punkt \(U(0|0)\) verläuft und ist gegeben durch \(y=m\cdot x\).
    • Die Funktion \(f(x)=|x|\) heißt Betragsfunktion. Es gilt:
      \begin{align} f(x)=|x|=\begin{cases} x \, &\text{für} \, \, x\geq 0 \\ -x \, &\text{für} \, \, x<0 \end{cases} \end{align}
    • Eine Tangente ist eine Gerade, welche ein Objekt (meist geometrische Figur oder Funktion) an einem Punkt berührt.
    • Eine Sekante ist eine Gerade, welche ein geometrisches Objekt schneidet.
    • Eine Passante ist eine Gerade, welche das geometrische Objekt an keinem Punkt berührt.
    • Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgrafen oder ein geometrisches Objekt schneidet und im Schnittpunkt orthogonal dazu verläuft.
    • Besondere lineare Funktionen können beschrieben, abgelesen, aufgestellt und berechnet werden.

Nachweise

  1. Müller (2014). Lineare Funktionen: Übungszirkel Mathematik 8. Klasse Realschule. GRIN Verlag.
  2. Schmidt (2014). Lineare Funktionen: Lernen an Stationen. Kohl Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Besondere lineare Funktionen

Den Graphen einer linearen Funktion erkannt man an seinem linearen/ geradlinigen Verlauf

Bei einer linearen Funktion steht das x in der Funktionsgleichung immer in der ersten Potenz. 

Weiterhin hat der Funktionsgraph einer linearen Funktion einen geradlinigen Verlauf.

Es gibt folgende besondere lineare Funktionen:

  • Ursprungsgerade
  • Konstante Funktionen
  • Betragsfunktion
  • Tangente
  • Sekante
  • Passante
  • Normale

Finales Besondere lineare Funktionen Quiz

Frage

Welche Eigenschaften hat die Ursprungsgerade?

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Antwort

Sie ist parabelförmig

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Frage

Welche von den folgenden stellen Ursprungsgeraden dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Winkelhalbierende des Koordinatensystems

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Frage

Sind alle Ursprungsgeraden lineare Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da die Senkrechte auf der y-Achse keine Funktion darstellt.

(Merke: Eine Funktion hat für jeden x-Wert nur einen y-Wert!)

Frage anzeigen

Frage

Welche Ursprungsgerade wird bei der Bildung von Umkehrfunktionen als Spiegelachse verwendet?

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Antwort

Die Winkelhalbierende y = - x

Frage anzeigen

Frage

Wie sieht die Umkehrfunktion von der Winkelhalbierenden aus?

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Antwort

Beim Bilden von Umkehrfunktionen stellt die Winkelhalbierende die Spiegelachse dar. Außerdem sind die x-und y-Werte identisch. Aus diesen Gründen wird sich die Winkelhalbierende nicht verändern. 

Frage anzeigen

Frage

In welchen Themenbereichen innerhalb der Mathematik sind Ursprungsgeraden wichtig?

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Antwort

Bei der Proportionalität

Frage anzeigen

Frage

Was trifft auf Ursprungsgeraden in der Proportionalität zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie sind nicht proportional

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Frage

Was versteht man unter einer konstanten Funktion?

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Antwort

Eine konstante Funktion ist eine Funktion, die jedem x-Wert denselben y-Wert zuordnet. Dementsprechend kommt in einer konstanten Funktion keine Variable vor.

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Merkmale konstanter Funktionen?

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Antwort

Alle konstanten Funktionen sind parallel zueinander

Frage anzeigen

Frage

Wie leitet man konstante Funktionen ab?

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Antwort

Da konstante Funktionen immer denselben Wert haben, haben sie die Steigung 0 bzw. eine momentane Änderungsrate von 0. Damit ist die Ableitung einer konstanten Funktion an jeder Stelle 0.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie man den y-Achsenabschnitt bei einer konstanten Funktion findet.

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Antwort

Da bei einer konstanten Funktion jeder y-Wert gleich ist, entspricht der y-Achsenabschnitt den anderen Funktionswerten. 

Frage anzeigen

Frage

Wie ist das Monotonieverhalten bei konstanten Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Konstante Funktionen sind durchgängig konstant, da sie weder steigen noch fallen

Frage anzeigen

Frage

Wie ist die Symmetrie bei konstanten Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Konstante Funktionen sind symmetrisch:

  • Zu Achsen:
    • Zur x-Achse (bei Nullfunktion)
    • Zur y-Achse
    • Zu allen zur y-Achse parallelen Achsen
  • Zu Punkten:
    • Zu allen auf der Funktion befindlichen Punkten
    • Zum Ursprung (bei Nullfunktion)

Frage anzeigen

Frage

Nenne die wichtigste Eigenschaft der Nullfunktion.

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Antwort

Die Nullfunktion hat für jeden Wert von x den Wert y=0 und liegt damit vollständig auf der x-Achse.

Frage anzeigen

Frage

Wie unterscheidet sich eine Ursprungsgerade von einer normalen Geraden?

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Antwort

Eine Ursprungsgerade geht durch den Ursprung des Koordinatensystems, also den Punkt (0/0).

Frage anzeigen

Frage

Kann man für jeden beliebigen Punkt in Koordinatensystem eine lineare Funktion finden, deren Funktionsgraph eine Ursprungsgerade ist, die durch diesen Punkt läuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

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Frage

Welche Rolle spielt die Winkelhalbierende im Zusammenhang mit der Umkehrbarkeit einer Funktion?

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Antwort

Ist eine Funktion umkehrbar, so erhält man ihre Umkehrfunktion, indem man die Funktion an der Winkelhalbierenden spiegelt. So werden die x- und y-Werte vertauscht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat eine Ursprungsgerade?

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Antwort

Sie schneidet die y-Achse nur im Punkt (0/0)

Frage anzeigen

Frage

An wie vielen Punkten kann eine Sekante eine Kurve schneiden?

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Antwort

An 2 Punkten

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Frage

Was ist ms?

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Antwort

ms ist die Sekantensteigung.

Frage anzeigen

Frage

Wie gehst du vor, wenn du eine Sekantengleichung aufstellen sollst?

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Antwort

1. Sekantensteigung bestimmen

2. Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest du die Schnittstelle mit der y-Achse?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die Schnittstelle mit der y-Achse zu erhalten, nimmt man einen der beiden gegebenen Punkte, setzt die vorhandenen Werte in die Gleichung des gegebenen Graphen ein und löst diese Gleichung dann auf.

Frage anzeigen

Frage

Wie zeichnest du eine Sekante s(x) zu einem gegebenen Graphen f(x) ein?

Antwort anzeigen

Antwort

Man kann irgendeine beliebige Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen, die den Graphen f(x) in zwei Stellen schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Wie zeichnest du eine gegebene Sekante in ein Koordinatensystem ein?

Antwort anzeigen

Antwort

In diesem Fall gehst du genauso vor, wie du bei jeder anderen linearen Gleichung auch vorgehen würdest.

1. y-Achsenabschnittspunkt einzeichnen

2. Steigung von diesem Punkt ab einzeichnen

3. Endpunkt der Steigung mit y-Achsenabschnittspunkt verbinden

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Tangente?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in einem Punkt P berührt. Berühren meint in diesem Falle, dass die Tangente und die Kurve/die Figur den Punkt P gemeinsam haben, die Tangente die Kurve/die Figur jedoch nicht schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Wo gibt es Tangenten?

Antwort anzeigen

Antwort

In der Analysis

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Frage

Welche besonderen Geraden gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Passante

Frage anzeigen

Frage

Dürfen Tangenten in der Analysis Graphen schneiden?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für jede Tangente?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede Tangente ist eine lineare Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Was passiert im Berührpunkt P mit der Steigung der Tangente und der Steigung der Kurve?

Antwort anzeigen

Antwort

Im Berührpunkt P sind die Steigung der Tangente und die Steigung der Kurve identisch.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du die Tangente zu einer gegebenen Funktion f in einem bestimmten Punkt berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Berechne die Ableitung f' der Funktion f
  2. Setze den Wert x0 in die Formel der Tangente ein

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Voraussetzung für eine Tangente?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 muss existieren.

Frage anzeigen

Frage

Welcher Winkel ist der Steigungswinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Steigungswinkel ist der Winkelder zwischen der linearen Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Passante?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Passante ist eine lineare Funktion, die keine Berührungspunkte oder Schnittpunkte mit einer weiteren Funktion im Koordinatensystem hat. Sie hat keine gemeinsame Lösungsmenge mit der anderen Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Wo gibt es Passanten?

Antwort anzeigen

Antwort

In der Geometrie

Frage anzeigen

Frage

Welche besonderen Geraden gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Tangente

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für jede Passante?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede Passante ist eine Gerade.

Frage anzeigen

Frage

Von welchen Faktoren hängt der Funktionswert y einer linearen Funktion ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Funktionswert y ist abhängig von der Steigung m.

Frage anzeigen

Frage

Wie überprüfst du, dass es sich bei einer Funktion f um eine Passante handelt?

Antwort anzeigen

Antwort

Um rechnerisch zu überprüfen, ob zwei Funktionen Schnitt- oder Berührpunkte haben, setzt du sie gleich.

Dabei gilt:


  1. Gibt es mindestens eine Lösung, so existieren Schnitt-/Berührpunkte.
  2. Gibt es keine Lösung, so existieren keine Schnitt-/Berührpunkte.


Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du berechnen, dass eine Funktion p eine Passante zur Funktion f ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Gleichungen müssen gleichgesetzt und gelöst werden. Hat die Gleichung keine Lösung, so gibt es keine Schnittpunkte und es handelt sich um eine Passante.

Frage anzeigen

Frage

Welche Schritte kannst du befolgen, um eine Passante zu konstruieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Folgende Schritte kannst du befolgen, um eine Passante zu konstruieren.


  1. Zeichne die Funktion f, zu der eine Passante konstruiert werden soll. Alternativ kannst du sie dir plotten lassen, damit du weißt, wie sie außerhalb deines gezeichneten Koordinatensystems etwa aussieht.
  2. Nutze dein Lineal, um eine mögliche Gerade einzuzeichnen, die den Graphen der Funktion f nicht schneidet. Diese Gerade ist deine Passante. 
  3. Möchtest du auch den Funktionsterm der eingezeichneten Passante wissen, so musst du noch Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen.
        a. Den y-Achsenabschnitt kannst du an der y-Achse ablesen. Er ist der y-Wert des Schnittpunktes zwischen y-
            Achse und Gerade
        b. Die Steigung kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Besonderheit einer Betragsfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Wert der Funktion \(f(x)=|x|+3\) für \(x=-4\).

Antwort anzeigen

Antwort

\[f(-4)=7\]

Frage anzeigen

Frage

Wie sieht der allgemeine Funktionsterm einer Ursprungsgerade aus?

Antwort anzeigen

Antwort

\(f(x)=c\)

Frage anzeigen

Frage

Wie oft schneidet die Sekante ein geometrisches Objekt oder einen Funktionsgraphen?

Antwort anzeigen

Antwort

Gar nicht

Frage anzeigen

Frage

Definiere die Normale.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen oder ein geometrisches Objekt schneidet und im Schnittpunkt orthogonal dazu verläuft.

Frage anzeigen

Frage

Nenne das Gegenstück zur Normale und begründe Deine Wahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Normale ist das Gegenstück zur Tangente im Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen, da sie in diesem Punkt orthogogal (senkrecht) auf der Tangente steht.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die allgemeine Normalengleichung.

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Normalengleichung der Normale \(n(x)\) an die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(a\) lautet:

\[n(x)=-\frac{1}{f'(a)}\cdot(x-a)+f(a)\]

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, woraus sich die Normalengleichung zusammensetzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Steigung der Funktion

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, was Dir gegeben sein muss, damit Du die Normalengleichung aufstellen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Funktionsgleichung des Graphen

Frage anzeigen

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