Um eine Vorstellung von besonderen linearen Funktionen zu bekommen, musst Du Dich nur ein wenig im Alltag umsehen:
Ein Flugzeug fliegt etwa in konstanter Höhe und somit parallel zur Erdoberfläche. Genau diesen Flugverlauf kannst Du als konstante Funktion in der Mathematik beschreiben.
Wie Du diese und andere besondere Funktionen aufstellen, beschreiben, ablesen und berechnen kannst, wird Dir in dieser Erklärung anhand von Beispielen, Definitionen und Erklärungen gezeigt.
Besondere lineare Funktionen – Definition & Erklärung
Eine allgemeine lineare Funktion ist in der Mathematik wie folgt definiert:
Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion der Form:
\begin{align} f(x)= {\color{#00dcb4}m} \cdot x+ {\color{#fa3273}t} \, \, \\ \text{mit} \, \, \mathbb{D}_f =\mathbb{R}\end{align}
Dabei stellt \(m\) die Steigung der Gerade und \(t\) den y-Achsenabschnitt dar.
Die Parameter der Steigung und des Achsenabschnitts werden in verschiedenen Lehrbüchern unterschiedlich benannt. Arbeite am besten mit der Benennung aus Deinem Mathebuch.
Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Diese Funktion läuft, wie der Name schon sagt, gerade durchs Koordinatensystem.
Abb. 2 - Lineare Funktion.
Insbesondere anhand ihrer Eigenschaften zur Steigung, den Nullstellen und dem y-Achsenabschnitt können die Geraden in einige sogenannte besondere lineare Funktionen unterteilt werden.
Besondere lineare Funktion – Definition
Wie genau ist eine besondere lineare Funktion definiert?
Unter einer besonderen linearen Funktion wird in der Mathematik eine Funktion verstanden, deren Eigenschaften bestimmte Ausprägungsformen haben und welche dadurch einen eigenen Namen erhält.
Es gibt folgende besondere lineare Funktionen:
Diese werden in den folgenden Abschnitten genauer beschrieben.
Konstante Funktionen
Die konstante Funktion kennst Du bereits aus der Einleitung. Hier wird sie näher definiert und erklärt.
Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung \(m=0\). Sie hat die Form \(f(x)=c\), wobei \(c\) konstant ist.
Folglich bedeutet dies, dass eine lineare Funktion, welche als \(f(x)=mx+t\) definiert ist, genau dann als konstante Funktion bezeichnet wird, wenn ihre Steigung \(m=0\) ist.
Folgende Abbildung zeigt Dir beispielhaft eine konstante Funktion \(f(x)=-2\).
Abb. 3 - Konstante Funktion.
Wie aus der Abbildung hervorgeht, sind Geraden von konstanten Funktionen immer parallel zur x - Achse.
Damit stellt der Lösungswert der Funktion immer denselben Wert dar, nämlich jenen für \(c\), also in diesem Beispiel \(-2\).
Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung konstante Funktion.
Ursprungsgerade
Wie der Name schon erahnen lässt, hat diese Funktion einen engen Zusammenhang mit dem Ursprung beziehungsweise Nullpunkt des Koordinatensystems.
Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Punkt \(U(0|0)\), den Ursprung des Koordinatensystems, verläuft.
Der allgemeine Funktionsterm ihrer zugehörigen linearen Funktion ist gegeben durch \(f(x)=m\cdot x\).
Eine Ursprungsgerade besitzt also als Besonderheit keinen y-Achsenabschnitt t.
Dieser gibt an, an welchem Punkt die Gerade die y-Achse schneidet. Das ist bei einer Ursprungsgerade jedoch der Wert \(0\) aufgrund ihres Verlaufs durch den Ursprung, daher fällt \(t=0\) in der allgemeinen Funktionsgleichung weg.
Folgende Abbildung zeigt einige Beispiele für Ursprungsgeraden.
Abb. 4 - Ursprungsgeraden.
Im Beitrag Ursprungsgerade findest Du mehr Details zu diesem Thema.
Betragsfunktion
Bei der Betragsfunktion wird jedem x-Wert sein Betrag zugewiesen.
Die Funktion \(f(x)=|x|\) heißt Betragsfunktion. Es gilt:
\begin{align} f(x)=|x|=\begin{cases} x \, &\text{für} \, \, x\geq 0 \\ -x \, &\text{für} \, \, x<0 \end{cases} \end{align}
Die Definitionsmenge der Betragsfunktion ist \(\mathbb{D} =\mathbb{R}\). Die Wertemenge der Betragsfunktion lautet \(\mathbb{W}=\mathbb{R}^+ \).
Die Definitionsmenge \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\) bedeutet, dass die Betragsfunktion \(f(x)\) für alle reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) definiert ist. Du kannst also jede Zahl, die Du kennst, in die Betragsfunktion einsetzen.
Die Wertemenge \(\mathbb{W}=\mathbb{R}^+\) einer Funktion \(f(x)\) beschreibt den Zahlenbereich, in dem alle ausgegebenen Funktionswerte liegen. Die Funktionswerte der Betragsfunktion sind immer positiv, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Deshalb sind nur alle positiven reellen Zahlen Teil der Wertemenge.
Der Graph der Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) besteht aus zwei Halbgeraden.
In folgender Abbildung kannst Du erkennen, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.
Abb. 5 - Betragsfunktion.
Wenn Du einen x-Wert in die Betragsfunktion einsetzt, kannst Du direkt den Betrag des x-Wertes berechnen:
\begin{align} f(3)&=|3|=3 \\[0.2cm]f(-4)&=|-4|=4 \\[0.2cm] f(27)&=|27|=27 \\[0.2cm] f(-61)&=|-61|=61 \end{align}
Zum Auffrischen der Kenntnisse über den Betrag, sieh Dir die Erklärung Betrag und Gegenzahl genauer an.
Weitere Beispiele und Hintergründe zur Betragsfunktion an sich findest Du in der Erklärung Betragsfunktionen.
Tangente, Sekante und Passante
Unter den Begriffen Tangente, Sekante und Passante werden in der Mathematik Geraden verstanden, welche eine Funktion oder geometrische Figur berühren, schneiden oder nicht berühren. Folgende Tabelle gibt einen Überblick:
| Tangente | Sekante | Passante |
Eigenschaft | Berührt die Figur | Schneidet die Figur | Berührt die Figur nicht |
Berührungspunkte mit Figur | 1 | 2 | 0 |
Allgemeine Gleichung der Geraden | \[t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)\] | \[s=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\] | \[p(x)=mx+t\] |
Folgende Abbildung verdeutlicht die Unterscheidung zwischen Tangente, Sekante und Passante.
Abb. 6 - Tangente, Sekante und Passante.
Möchtest Du mehr über die Tangente, Sekante oder Passante erfahren? Dann sieh Dir unbedingt die zugehörigen Beiträge an.
Normale
Auch die Normale hängt eng mit der Tangente zusammen.
Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen oder ein geometrisches Objekt schneidet und im Schnittpunkt orthogonal dazu verläuft.
Dadurch verläuft sie auch orthogonal zur Tangenten in diesem Punkt und wird gerne als Gegenpart zu dieser gesehen.
Einfacher ausgedrückt ist eine Normale eine Gerade, welche die Tangente an jenem Punkt, an welchem diese den Berührungspunkt mit der Figur hat, so schneidet, dass die beiden senkrecht zueinander stehen beziehungsweise einen rechten Winkel bilden.
Folgende Abbildung zeigt beispielhaft eine Tangente und Normale der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(S(1|1)\).
Abb. 7 - Normale.
Es gibt eine allgemeine Normalengleichung, welche sich aus der Steigung der zugehörigen Funktion und dem Funktionswert an der entsprechenden Stelle ergibt.
Die allgemeine Normalengleichung der Normale \(n(x)\) an die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(a\) lautet:
\[n(x)=-\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a)\]
Mehr Details zum Thema gibts in der Erklärung Normale.
Besondere lineare Funktionen – beschreiben, ablesen, aufstellen und berechnen
Mithilfe von Wertetabellen und Steigungsdreiecken können lineare Funktionen beschrieben, abgelesen, aufgestellt und berechnet werden.
Besondere lineare Funktionen beschreiben
Funktionen können als Funktionsterm, mithilfe einer Wertetabelle oder als Funktionsgraph beschrieben werden.
Funktionsterm
Der Funktionsterm (auch Funktionsgleichung genannt) gibt die Rechenvorschrift für eine Variable an.
\[f(x)=|x|+1\]
Wertetabelle
Unter der Wertetabelle wird eine Tabelle verstanden, in welcher beliebige Werte für x in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um den Funktionswert \(f(x)\) zu ermitteln.
Abb. 8 - Wertetabelle.
Funktionsgraph
Diese Werte können auch als Funktionsgraph in ein Koordinatensystem eingetragen werden.
Abb. 9 - Funktionsgraph.
Besondere lineare Funktionen ablesen
Den Funktionsterm einer besonderen linearen Funktion kannst Du anhand Ihres Graphen ablesen.
Gehe dazu in folgenden Schritten vor:
- Allgemeinen Funktionsterm aufschreiben: \(y=m\cdot x+t\)
- Steigung \(m=\frac{y}{x}\) anhand eines Steigungsdreiecks ablesen; \(m=\frac{ {\color{#8363e2}2} }{ {\color{#ffcd00}1} } ={\color{#00dcb4}2}\).
- Ablesen des y-Achsenabschnitts t (als Schnittpunkt mit der y-Achse); \({\color{#fa3273}t=0}\).
- Einsetzen der Werte für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t in den allgemeinen Funktionsterm; \(y={\color{#00dcb4}2}x+{\color{#fa3273}0}\).
Abb. 10 - Besondere lineare Funktion ablesen.
Genaueres hierzu findest Du im Beitrag Lineare Funktionen.
Besondere lineare Funktionen aufstellen
Um eine Funktion aufzustellen, musst Du rechnerisch die Steigung und den Achsenabschnitt bestimmen.
Auch hierbei gehst Du auf ähnliche Weise vor:
- Schreibe Dir den Allgemeinen Funktionsterm auf: \(y=m\cdot x+t\)
- Berechne dann die Steigung m mithilfe von zwei gegebenen Punkten der Funktion. Nutze dafür die Formel \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) .
- Setze die berechnete Steigung m in den allgemeinen Funktionsterm ein.
- Nun kannst Du den x-Wert und den y-Wert eines Punktes der Funktion in den Funktionsterm einsetzen & ihn nach der verbliebenen Variable t umstellen.
- Vervollständige den Funktionsterm mit dem berechneten y-Achsnabschnitt t.
Es sind die Punkte \(P_1({\color{#1478c8}1} | {\color{#00dcb4}1})\) und \(P_2({\color{#fa3273}-3} | {\color{#ffcd00}1})\) einer Funktion \(f(x)\) gegeben.
Um jetzt die Funktionsgleichung herauszufinden, gehst Du folgendermaßen vor.
Schritt 1: Allgemeinen Funktionsterm aufschreiben.
\[y=m\cdot x+t\]
Schritt 2: Steigung \(m\) berechnen.
\begin{align} m&=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\[0.2cm] &=\frac{{\color{#ffcd00}y_2} - {\color{#00dcb4}y_1}} {{\color{#fa3273}x_2} - {\color{#1478c8}x_1}} \\[0.2cm] &=\frac{{\color{#ffcd00}1} - {\color{#00dcb4}1}} {{\color{#fa3273}-3} - {\color{#1478c8}1}} \\[0.2cm] &=\frac{0}{-4} \\[0.2cm] &=0 \end{align}
Schritt 3: Steigung einsetzen.
\[y=0\cdot x+t\]
Schritt 4: Punkt in Funktion einsetzen.
Du entscheidest Dich dafür den Punkt \(P_1({\color{#1478c8}1} | {\color{#00dcb4}1})\) einzusetzen.
\begin{align} {\color{#00dcb4}1} &=0\cdot {\color{#1478c8}1} +t \\ 1&=t \end{align}
Schritt 5: Funktionsterm vervollständigen.
\begin{align}y&=0x+1 \\y&=1 \end{align}
Nähere Details gibt es in der Erklärung Geradengleichung aufstellen.
Besondere lineare Funktionen berechnen
Manchmal hast Du jedoch bereits den Funktionsterm gegeben und möchtest nur noch den Funktionswert für eine bestimmte Zahl berechnen.
- Dafür setzt Du die gegebene Zahl als x-Wert in die Funktion ein.
- Anschließend rechnest Du den Term aus.
- Dadurch erhältst Du den y-Wert beziehungsweise den Wert der Funktion.
Aufgabe 1
Du hast den Funktionsterm
\[g(x)=-2x+1\]
einer Tangente an \(f(x)=-x^2\) gegeben. Berechne den Funktionswert für \(x=5\).
Lösung
Gehe dabei nach dem Schema oben vor.
Schritt 1: x-Wert in Funktion einsetzen.
\[g(5)=-2\cdot 5 +1\]
Schritt 2: Term berechnen.
\begin{align}g(5)&=-2 \cdot 5 +1 \\ &=-10+1 \\ &=-9 \end{align}
Schritt 3: Ergebnis angeben.
\begin{align}g(5)&=-9\\ y&=-9 \end{align}
Besondere lineare Funktionen – Beispiele
Folgende Übungsbeispiele werden das Erlernte zum Thema besondere lineare Funktionen wiederholen.
Aufgabe 2
Um welche besondere lineare Funktion handelt es sich in folgender Abbildung?
Abb. 11 - Aufgabe 1.
Lösung
Bei dieser Funktion handelt es sich um eine Betragsfunktion \(f(x)=|x|\).
Auf geht's zur nächsten Aufgabe.
Aufgabe 3
Gib an, um welche Arten von besonderen linearen Funktionen es sich hier handelt.
Abb. 12 - Aufgabe 2.
Lösung
Es handelt sich um folgende Funktionen:
- Normale → türkis
- Tangente → pink
- Passante → lila
- Sekante → gelb
Besondere lineare Funktionen – Das Wichtigste
- Unter einer besonderen linearen Funktion wird in der Mathematik eine Funktion verstanden, deren Eigenschaften bestimmte Ausprägungsformen haben und welche dadurch einen eigenen Namen erhält.
- Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung \(m0=\). Sie hat die Form \(y=c\), wobei c konstant ist.
- Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Punkt \(U(0|0)\) verläuft und ist gegeben durch \(y=m\cdot x\).
- Die Funktion \(f(x)=|x|\) heißt Betragsfunktion. Es gilt:
\begin{align} f(x)=|x|=\begin{cases} x \, &\text{für} \, \, x\geq 0 \\ -x \, &\text{für} \, \, x<0 \end{cases} \end{align}
- Eine Tangente ist eine Gerade, welche ein Objekt (meist geometrische Figur oder Funktion) an einem Punkt berührt.
- Eine Sekante ist eine Gerade, welche ein geometrisches Objekt schneidet.
- Eine Passante ist eine Gerade, welche das geometrische Objekt an keinem Punkt berührt.
- Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgrafen oder ein geometrisches Objekt schneidet und im Schnittpunkt orthogonal dazu verläuft.
- Besondere lineare Funktionen können beschrieben, abgelesen, aufgestellt und berechnet werden.
Nachweise
- Müller (2014). Lineare Funktionen: Übungszirkel Mathematik 8. Klasse Realschule. GRIN Verlag.
- Schmidt (2014). Lineare Funktionen: Lernen an Stationen. Kohl Verlag.
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