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In einer Glaserei wird eine quadratische Glasscheibe in Auftrag gegeben, die \(2\text{ m}^2\) Fläche besitzen soll. Doch woher weiß der Glaser nun, welche Seitenlänge die Scheibe haben soll? Dafür benötigt er die Umkehrfunktion.
Die Umkehrfunktion kehrt, wie ihr Name schon sagt, eine Funktion um, indem sie die Variablen vertauscht. Wie Du die Umkehrfunktion bilden kannst, wie sie für die lineare oder quadratische Funktion oder andere Arten von Funktionen aussieht und wie Du sie zeichnest, erfährst Du in dieser Erklärung!
Um Umkehrfunktionen verstehen zu können, musst Du wissen, was Funktionen im Allgemeinen sind. Dafür kannst Du Dir die Erklärung Funktionsbegriff ansehen.
Eine Funktion \(f\) ordnet jedem Element \(x\) aus ihrer Definitionsmenge \(\mathbb{D_f}\) genau ein Element \(y\) aus ihrer Wertemenge \(\mathbb{W_f}\) zu. Die Umkehrfunktion kehrt dieses Prinzip um:
Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) einer Funktion \(f\) ordnet jedem Element \(y\) der Wertemenge \(\mathbb{W_f}\) von \(f\) genau ein Element \(x\) der Definitionsmenge \(\mathbb{D_f}\) zu.
Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion bildet dann wieder die ursprüngliche Funktion \(f\):
\[\left(f^{-1}\right)^{-1}=f\]
Das bedeutet, dass die x- und y-Werte der Funktion vertauscht werden.
Dabei besitzt nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion. Eine Funktion kann nur dann umgekehrt werden, wenn sie jeden y-Wert höchstens einmal annimmt, also streng monoton fallend oder steigend ist.
Den x- und y-Wert einer Funktion zu vertauschen, ist nur dann möglich, wenn es für jeden Funktionswert \(y\) nur einen x-Wert gibt. Die umkehrbare Funktion muss daher eindeutig sein. Es kann also sein, dass Du den Definitionsbereich einer Funktion einschränken musst, damit die Funktion umkehrbar wird. Was damit gemeint ist, siehst Du in den Beispielen der folgenden Kapitel.
Das genaue Verfahren, das verwendet wird, um die Umkehrfunktion linearer Funktionen zu ermitteln, kannst Du Dir hier anhand des Beispiels \(f(x)=2x+3\) ansehen.
| Vorgehen | Beispiel |
1. Löse die Funktionsgleichung nach \(x\) auf. Statt \(f(x)\) schreibst Du dabei \(y\). | \begin{align}y&=2x+3 &&|-3\\ y-3&=2x &&|:2\\ \text{0,5}y-\text{1,5}&=x \end{align} |
2. Tausche die Variablen \(x\) und \(y\). | \begin{align}\text{0,5}y-\text{1,5}&=x \\ \Rightarrow \text{0,5}x-\text{1,5}&=y \end{align} |
3. Tausche die beiden Seiten der Gleichung, damit das \(y\) vorn steht. | \begin{align} \text{0,5}x-\text{1,5}&=y \\ \Rightarrow y&=\text{0,5}x-\text{1,5} \end{align} |
Zum Schluss kannst Du noch \(f^{-1}(x)\) anstelle von y schreiben.
Wie die beiden Funktionen aussehen, kannst Du Dir in folgender Abbildung ansehen.
Abb. 1 – Umkehrfunktion einer linearen Funktion
Hier erkennst Du, dass sich beide Funktionen genau an der Winkelhalbierenden \(w\) des Koordinatensystems spiegeln.
Das Bilden der Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion funktioniert genau wie bei linearen Funktionen. Allerdings taucht hier folgendes Problem auf: Für einen y-Wert kommen immer zwei x-Werte infrage.
Nun tritt der Fall ein, dass der Definitionsbereich eingeschränkt werden muss, damit jeder y-Wert nur einmal auftaucht. Konkret bedeutet das: Du betrachtest nur einen Teil der Funktion, für den Du dann die Umkehrfunktion bildest.
Bei Umkehrfunktionen quadratischer Funktionen bietet es sich an, nur den positiven Bereich der Definitionsmenge zu betrachten, z. B. so:
\[f(x): \mathbb{R^{+}} \rightarrow \mathbb{R}\]
Sieh Dir am besten das folgende Beispiel für quadratische Funktionen einmal an.
Gegeben ist die quadratische Funktion \(f(x)=\text{0,5}x^2\), für die die Umkehrfunktion gebildet werden soll.
Zuerst wird die Funktion also nach \(x\) umgestellt:
\begin{align}y&=\text{0,5}x^2 &&|\cdot2\\ 2y&=x^2 &&|\sqrt \\\\ \pm\sqrt{2y}&=x\end{align}
Da hier nur positive x-Werte betrachtet werden, können bei der Wurzel auch nur positive Werte herauskommen.
Als Nächstes werden dann die Variablen getauscht und die Funktion in der richtigen Reihenfolge notiert:
\begin{align}\sqrt{2y}&=x \\ \Rightarrow \sqrt{2x}&=y \\ \Leftrightarrow y&=\sqrt{2x}\end{align}
Zuletzt kann das \(y\) mit \(f^{-1}(x)\) getauscht werden. Die Umkehrfunktion lautet also:
\[f^{-1}(x)=\sqrt{2x}\]
Abb. 2 – Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion
Da die Funktion \(f\) hier eingeschränkt wurde, wird nur der positive Teil abgebildet.
Erinnerst Du Dich noch an den Glaser, der eine quadratische Scheibe mit \(2\text{ m}^2\) Fläche anfertigen soll? Hierbei hilft ihm die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion.
Der Glaser weiß, dass die Fläche eines Quadrats berechnet wird, indem die Seitenlänge quadriert wird:
\[y=x^2\]
Er kennt die Fläche \(y\), möchte aber die Seitenlänge herausfinden. Dafür benötigt er die Umkehrfunktion dieser Funktion. In sie kann er dann die Fläche einsetzen und bekommt die Seitenlänge heraus. Er bildet also die Umkehrfunktion, indem er die Funktion nach \(x\) umstellt und die Variablen austauscht:
\begin{align}y&=x^2 &&|\sqrt \\ \\ \pm\sqrt{y}&=x\\ \Rightarrow y&=\pm \sqrt{x}\end{align}
Da der Glaser nur positive Seitenlängen nutzen kann, kann das Ergebnis nur positiv sein. Er kann nun also die Fläche für \(x\) einsetzen:
\[y=\sqrt{2\,m^2} \approx \text{1,41 m}\]
Die Seitenlängen der Glasscheibe müssen also \(\text{1,41 m}^2\) betragen.
Die Exponentialfunktion besitzt eine Besonderheit. Ihre Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion und umgekehrt.
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \(f(x)= a^x\) ist die Logarithmusfunktion \(f^{-1}(x)=\log_a(x)\).
Umgekehrt ist die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion \(f(x)=\log_a(x)\) auch die Exponentialfunktion \(f^{-1}(x)=a^x\).
Die Logarithmusfunktion zur Basis \(a\) ist also die Umkehrung der Exponentialfunktion mit Basis \(a\).
Gegeben ist die Funktion \(f(x)= 2^x\). Ihre Umkehrfunktion kannst Du dann direkt aufstellen: \[f^{-1}(x)=\log_2(x).\]
Abb. 3 – Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion
Eine spezielle Exponentialfunktion ist die e-Funktion. Diese besitzt auch eine spezielle Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion.
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion.
Die Funktionen \(f(x)= e^x\) und \(g(x)= \ln(x)\) kehren sich gegenseitig um.
Abb. 4 – Umkehrfunktion der e-Funktion
Achtung: Es kann auch sein, dass die Funktion eine Verknüpfung aus verschiedenen Funktionsarten ist, z. B. \(f(x)= e^{2+x}\). Dann solltest Du immer wie oben in der Tabelle beschrieben vorgehen.
Die trigonometrische Funktion \(f(x)=\sin(x)\) muss in ihrem Definitionsbereich eingeschränkt werden, um umkehrbar zu sein. Das liegt daran, dass sie periodisch ist und mehreren x-Werten die gleichen y-Werte zugeordnet werden. Sie sollte also auf das Intervall \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\) eingeschränkt werden. Die Wertemenge ist dann das Intervall \(\left[-1, 1\right]\).
Die Umkehrfunktion des Sinus \(f(x)=\sin(x)\) ist der Arkussinus: \begin{align}f^{-1}:&\left[-1, 1\right] \rightarrow \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\[0.1cm] f^{-1}(x)&=\sin^{-1}=\arcsin(x)\end{align}
Abb. 5 – Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion
Beachte, dass die Funktion von den Intervallgrenzen \({\color{#8363e2}-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}}\) begrenzt wird.
Ebenso besitzen auch der Kosinus und Tangens eine Umkehrfunktion: den Arkuskosinus (arccos) und Arkustangens (arctan).
Es kann vorkommen, dass Du die Umkehrfunktion ableiten sollst. Das Ganze wird einfacher, wenn Du bereits die Ableitung der ursprünglichen Funktion kennst.
Ist die Ableitung \(f'\) der ursprünglichen Funktion \(f\) bekannt ist, kannst Du die Ableitung der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) mithilfe der folgenden Formel schnell berechnen:
\[f'^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]
Die Anwendung der Formel kannst Du Dir im folgenden Beispiel ansehen.
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=\text{0,5}x^2\). Ihre Umkehrfunktion wurde weiter oben bereits berechnet. Sie lautet \(f^{-1}(x)=\sqrt{2x}\).
Um die erste Ableitung der Umkehrfunktion zu berechnen, ist zunächst die erste Ableitung der Funktion nötig:
\[f'(x)=2\cdot \text{0,5}x=x\]
Diese kann dann in die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion eingesetzt werden:
\begin{align}f'^{-1}(x)&=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\\[0.2cm]&=\frac{1}{f'(\sqrt{2x})} \\[0.2cm]&=\frac{1}{\sqrt{2x}}\end{align}
Was eine Ableitung ist und wie Du sie bildest, kannst Du in der Erklärung Ableitungsregeln nachsehen.
Wie Du vielleicht auf den Abbildungen schon bemerkt hast, ist der Graph der Umkehrfunktion immer eine Spiegelung des Graphen der ursprünglichen Funktion an der Winkelhalbierenden \(w(x)=x\) des ersten Quadraten im Koordinatensystem.
Wie Du eine Funktion spiegeln kannst, erfährst Du in der Erklärung Funktion spiegeln.
Da Du nun einiges über das Bilden der Umkehrfunktion lesen konntest, kannst Du Dich direkt an den folgenden Aufgaben probieren!
Aufgabe 1
Berechne die Umkehrfunktion der Funktion \(f(x)=x^2-\dfrac{1}{2}\).
Lösung
Da hier eine quadratische Funktion vorliegt, muss der Definitionsbereich auf die positiven reellen Zahlen eingeschränkt werden.
Dann kannst Du die Funkion nach \(x\) umstellen:
\begin{align}y&=x^2-\frac{1}{2} &&|+\frac{1}{2} \\[0.2cm] y+\frac{1}{2}&=x^2 &&|\sqrt{\quad} \\[0.2cm] \pm \sqrt{y+\dfrac{1}{2}}&=x\end{align}
Nun tauschst Du die Variablen und schreibst die Funktion in richtiger Reihenfolge. Sie lautet dann \[f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x+\dfrac{1}{2}}.\]
Aufgabe 2
Zeichne die Funktion \(f(x)=2x-\dfrac{3}{2}\) wie auf der Abbildung in Dein Heft. Zeichne dann die passende Umkehrfunktion ein, ohne die Funktionsgleichung zu berechnen.
Abb. 6 – Aufgabe 2
Lösung
Du spiegelst die Gerade an der Winkelhalbierenden w. Deine Zeichnung sollte dann wie folgt aussehen:
Abb. 7 – Lösung Aufgabe 2
Aufgabe 3
Entscheide, welche der folgenden Funktionen die Umkehrfunktion von \(f(x)=\dfrac{1}{3}e^{-x}\) ist.
a) \(f^{-1}(x)=\log_2(3x)\)
b) \(f^{-1}(x)=-\ln(3x)\)
c) \(f^{-1}(x)=-\ln(\frac{1}{3}x)\)
Lösung
Bisher weißt Du, dass die Umkehrfunktion der e-Funktion die natürliche Logarithmusfunktion ist. Daher kannst Du a) bereits ausschließen.
Berechne die Umkehrfunktion: \begin{align} y&=\dfrac{1}{3}e^{-x} &&|\cdot 3 \\ 3y&=e^{-x} &&|\ln \\ \ln(3y)&=-x &&|\cdot (-1) \\ -\ln(3y)&=x.\end{align}
Tauschst Du die Variablen, erhältst Du also
\[f^{-1}(x)=-\ln(3x).\]
Damit weißt Du, dass b) die richtige Lösung ist.
Die Umkehrfunktion berechnest Du, indem Du die Funktion nach y umstellst und die Variablen x und y austauschst.
Eine Funktion besitzt eine Umkehrfunktion, wenn für jeden y-Wert aus dem Wertebereich nur ein x-Wert aus dem Definitionsbereich existiert.
Anders formuliert: Alle streng monoton wachsenden bzw. streng monoton fallenden Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion.
Alle streng monoton wachsenden oder fallenden Funktionen sind umkehrbar.
Ja, jede bijektive Funktion ist umkehrbar, da für jedes y aus der Wertemenge nur ein x aus der Definitionsmenge existiert.
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