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Im folgenden Artikel geht es um die Umkehrfunktionen, ein wichtiges Thema im Bereich der Funktionen in der Mathematik. Du erfährst unter anderem, wie man eine Umkehrfunktion bildet, wie man sie ableitet und was man bei verschiedenen Umkehrfunktionen beachten sollte. Wenn du noch nicht sicher bist, was es mit diesen Funktionen auf sich hat, bekommst du hier alle wichtigen Informationen, die du brauchst. Viel Spaß beim Lernen!
Um zu verstehen, was eine Umkehrfunktion ist, sollte man zunächst rekapitulieren, wie genau eine Funktion definiert ist. Eine Funktion ist nämlich eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Genauer gesagt ist eine Funktion eine Zuordnung, bei der jedem Element x der Definitionsmenge D genau ein Element y der Wertemenge W zugeordnet ist.
Eine Umkehrfunktion ordnet nun, wie der Name schon sagt, die Variablen umgekehrt zu. Das bedeutet, dass der x-Wert und y-Wert vertauscht werden. Die Umkehrfunktion der Funktion f(x) wird mit 
gekennzeichnet. Eine Funktion f besitzt also eine Umkehrfunktion 
, wenn jedem Element y der Wertemenge W genau ein Element x der Definitionsmenge D zugeordnet ist.
Wichtig ist, dass grundsätzlich nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist wiederum die ursprüngliche Funktion, also 
. Graphisch kann die Bestimmung der Umkehrfunktion als Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden.
Den x-Wert und y-Wert zu vertauschen, ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert y nur einen x-Wert gibt. Die umkehrbare oder invertierbare Funktion muss daher eindeutig sein. Unter Umständen muss also der Definitionsbereich einer Funktion eingeschränkt werden, damit die Funktion umkehrbar wird. Hierfür schauen wir uns nun konkrete Beispiele an.
Als Beispiel für die Vorgehensweise nehmen wir folgende lineare Funktion:
Um die Umkehrfunktion zu erhalten, löst man im ersten Schritt die Gleichung nach x auf. Man schreibt dabei statt f(x) einfach y:
Als nächstes schreibt man lediglich y statt x und x statt y und tauscht die beiden Seiten der Gleichung:
Die Funktion hat also die Umkehrfunktion . Im Bild erkennst du beide Funktionsgraphen und wie der Graph an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.
(Quelle: studyflix.de)
Das Prinzip, die Funktionsgleichung nach x aufzulösen und die Variablen x und y dann zu tauschen, bleibt auch bei den quadratischen Funktionen gleich. Allerdings besteht hier das Problem, dass für einen y-Wert immer zwei x-Werte infrage kommen. Wie bereits angedeutet, muss man in diesem Fall den Definitionsbereich einschränken, also nur einen Teil der Funktion betrachten, um die Umkehrfunktion zu bestimmen.
Haben wir als Beispiel den Graphen der Funktion 
, ist eine Möglichkeit, nur die positiven x-Werte zu betrachten.
Notieren kann man das Ganze folgendermaßen:
Indem man nun nach x auflöst, erhält man die Umkehrfunktion:
Bei der Wurzel erhält man nur positive Werte, da man nur positive x-Werte betrachtet hat. Der letzte Schritt ist nun, x und y zu vertauschen. Man erhält dann:
Auch auf der Abbildung sind beide Funktionsgraphen, sowie die Winkelhalbierende zu erkennen. Beachte dabei, dass nur der positive Bereich der Funktionen gezeigt wird.
(Quelle: studyflix.de)
Als Letztes werfen wir noch einen kurzen Blick auf die Umkehrfunktionen der ln- und e-Funktion, sowie auf die der trigonometrischen Funktionen.
Für die e-Funktion 
muss man die Umkehrfunktion nicht mit den beiden oben genannten Schritten berechnen. Die Umkehrfunktion ist stattdessen direkt durch die ln-Funktion 
gegeben. 
ist nämlich als natürlicher Logarithmus zur Basis e definiert.
(Quelle: studyflix.de)
Die trigonometrischen Funktion Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) müssen in ihrem Definitionsbereich eingeschränkt werden, um umkehrbar zu sein. Ihre Umkehrfunktionen sind der Arkussinus (arcsin), der Arkuskosinus (arccos) und der Arkustangens (arctan). Auf dem Taschenrechner findet man diese Funktionen meist mit dem Zusatz -1, zum Beispiel sin-1.
Wenn die Ableitung der ursprünglichen Funktion schon gegeben ist, kann man die Ableitung der Umkehrfunktion mit der folgenden Formel schnell berechnen:
Damit das Ganze etwas deutlicher wird ein Beispiel: Die Umkehrfunktion 
zur Funktion 
wurde bereits weiter oben berechnet.Wenn man diese mit den gängigen Ableitungsregeln ableitet, erhält man:
Dasselbe Ergebnis erhält man auch, wenn man 
und 
in die obige Formel einsetzt, wie man hier erkennt:
Na, alles verstanden? Die wichtigsten Aspekte der Umkehrfunktion solltest du für deine nächste Prüfung auf jeden Fall im Kopf haben. Damit du nichts Wichtiges mehr vergisst, folgt hier eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Informationen:
gekennzeichnet.
ist direkt durch 
gegeben.
berechnen.
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