Die Asymptote kennzeichnet einen Bereich, den ein Funktionsgraph nicht schneidet, sondern dem er sich unendlich weit annähert. Dabei gibt es die horizontale bzw. waagrechte Asymptote, die senkrechte Asymptote und die schiefe bzw. schräge Asymptote. Jede Asymptote kannst Du berechnen bzw. bestimmen oder ablesen. Die genaue Definition einer Asymptote und wie Du sie berechnen kannst, erfährst Du hier.
Asymptote Definition
Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne ihn jemals zu erreichen. Der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraphen und der Asymptote wird unendlich klein.
In Ausnahmefällen kann eine Asymptote auch geschnitten werden, da sie sich nur auf das Verhalten im Unendlichen bezieht. Somit kann also ein Schnittpunkt an einem bestimmten Wert bestehen.
Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
| waagrechte/horizontale Asymptote | senkrechte Asymptote | schiefe/schräge Asymptote | kurvenförmige Asymptote |
| Asymptotengleichung:\(y=k\) | Asymptotengleichung:\(x=k\) | Asymptotengleichung:\(y=mx+t\) | Asymptotengleichung:\(y=ax^2+bx+c\) |
| Bedingung:\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k\) | Bedingung: \(\lim\limits_{x\to k}f(x)=\pm\infty\) \(k=\text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}\) | Bedingung: \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad}=\text{Nennergrad}+1\) \(\rightarrow\text{Poly}\text{nomdivision}\) | Berechnung mit\(\text{Poly}\text{nomdivision}\) |
Die kurvenförmige Asymptote wird hier nicht behandelt, gehört aber dennoch zu den Asymptoten.
Waagrechte Asymptote berechnen (Asymptote horizontal)
Eine waagrechte/horizontale Asymptote wird mit \(y=k\) oder \(g(x)=k\) angegeben.
- Für die Berechnung wird der Limes gegen \(\pm\infty\) gebildet.
- Der resultierende Wert ist \(k\).
- Die waagrechte Asymptote entspricht dem Wert, gegen den der Limes läuft.
Bei gebrochen rationalen Funktionen können waagrechte Asymptoten auftreten, es gibt aber nicht immer welche. Ob eine gebrochen rationale Funktion eine waagrechte Asymptote hat, erkennst Du, wenn Du den Grad des Zählers und den Grad des Nenners miteinander vergleichst.
| Verhältnis Zähler und Nenner | Asymptote | Beispiel |
| \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} > \text{Nennergrad}\) | keine waagrechte Asymptote | \begin{align} f(x)=\frac{x^2}{x-1}\begin{cases}\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\end{cases}\end{align} |
| \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} = \text{Nennergrad}\) | waagrechte Asymptote bei \(y=k\) | \begin{align} g(x)=\frac{x}{x-1}\begin{cases}\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=1\\\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=1\end{cases}\end{align} |
| \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} < \text{Nennergrad}\) | waagrechte Asymptote bei \(y=0\) | \begin{align} h(x)=\frac{x}{x^2-1}\begin{cases}\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=0\end{cases}\end{align} |
Mehr zu dieser Funktionsart erfährst Du in der Erklärung "gebrochen rationale Funktionen".
Bei allen anderen Funktionsarten benötigst Du den Grenzwert gegen plus und minus unendlich, um herauszufinden, ob und an welcher Stelle eine waagrechte Asymptote existiert.
Gegeben sind:
- \[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\]
- \[g(x)=\frac{x+1}{x-1}\]
- \[h(x)=\frac{x+1}{x^2-1}\]
Für eine erste Überprüfung, ob waagrechte Asymptoten existieren, kannst Du Zählergrad und Nennergrad vergleichen:
\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)
| \(\color{bl}f(x)\) | \(\color{gr}g(x)\) | \(\color{r}h(x)\) |
| \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} > \text{Nennergrad}\) | \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} = \text{Nennergrad}\) | \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} < \text{Nennergrad}\) |
| keine waagrechte Asymptote | waagrechte Asymptote bei \(y=k\) | waagrechte Asymptote bei \(y=0\) |
Um die Lage der waagrechten Asymptote von \(\color{gr}g(x)\) herauszufinden, bildest Du den Grenzwert von \(\color{gr}g(x)\) für \(x\to\pm\infty\).
\begin{align} & \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=1 \\[0.2cm] & \lim\limits_{x\to\infty}g(x)=1 \end{align}
Der Grenzwert beträgt also \(1\) für beide Seiten. Das heißt, die waagrechte Asymptote von \(\color{gr}g(x)\) liegt bei \(\color{li}y=1\)
Abb. 1 - Waagrechte Asymptote berechnen.
Wenn Du genau hinschaust, fällt Dir vielleicht auch, dass es hier nicht nur waagrechte, sondern auch senkrechte und eine schräge Asymptote gibt.
Senkrechte Asymptote berechnen
Eine senkrechte Asymptote wird mit \(x=k\) oder \(g(y)=k\) angegeben.
- Für die Berechnung wird der Limes gegen die Definitionslücke gebildet.
- Der resultierende Wert ist \(k\).
- Die senkrechte Asymptote entspricht also dem Wert, gegen den der Limes läuft.
Eine senkrechte Asymptote tritt grundsätzlich nur an Definitionslücken auf.
Das kannst Du Dir an der Funktion \(f(x)=\dfrac{x^2-10}{x+1}\) anschauen.
Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{-1\}\).
Um nun zu überprüfen, ob es sich bei der gefundenen Definitionslücke um einen Grenzwert handelt, lässt Du die Funktion für \(x\) gegen \(-1\) laufen.
\begin{align} & \lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\infty \\[0.2cm] & \lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\end{align}
Beide Grenzwerte haben jeweils eine Lösung. Was sagt Dir das?
Bei \(\color{gr}x=-1\) existiert eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr sogar von beiden Seiten an, denn beide Grenzwerte gehen gegen unendlich. Genauer gesagt verläuft der Graph auf der linken Seite der Asymptote nach plus unendlich, also nach oben und auf der anderen Seite kommt er von minus unendlich, also von unten.
Abb. 2 - Senkrechte Asymptote berechnen.
Sowohl in Abbildung 2, als auch in Abbildung 3 gibt es auch eine schiefe Asymptote. Hier siehst Du, wie Du sie berechnest.
Schiefe/schräge Asymptote (Gleichung Asymptote)
Eine schräge/schiefe Asymptote wird mit \(y=mx+t\) oder \(g(x)=mx+t\) angegeben. Das bedeutet, der Graph einer Funktion nähert sich für \(x\to\pm\infty\) immer mehr einer Geraden mit der Gleichung \(y=mx+t\) an.
Zur Bestimmung einer schrägen Asymptote wird die Polynomdivision genutzt.
Manchmal kannst Du auch auf die Schreibweise \(y=mx+b\) stoßen. Sie ist aber dasselbe wie \(y=mx+t\).
Besonderheiten schräge Asymptote:
- Sie tritt nur in gebrochen rationalen Funktionen auf, deren Zählergrad um genau eins höher ist als ihr Nennergrad.
- Eine Funktion kann höchstens eine schiefe Asymptote besitzen.
- Eine schiefe und waagrechte Asymptote können nie gleichzeitig vorkommen, dafür aber eine senkrechte und eine schiefe Asymptote.
Um die schräge Asymptote der Funktion \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}\) herauszufinden, wendest Du die Polynomdivision an.
\begin{aligned} &(x^2+1):(x+1)=x+1{\color{grey}+\frac{2}{x+1}} \\ - \; & \underline{(x^2+x)\quad\;\;} \\ & \quad\;\, (-x+1)\\ - \; & \quad\;\, \underline{(-x-1)} \\ & \qquad \qquad \; \, 2 \end{aligned}
Wie das geht, findest Du in der Erklärung zur Polynomdivision.
In diesem Fall entsteht ein kleiner Rest, da er aber für sehr große Werte gegen null läuft, kannst Du ihn weglassen. Die Gleichung Deiner schrägen Asymptote lautet somit: \(\color{gr}y=x+1\).
Abb. 3 - Schräge/schiefe Asymptote berechnen.
Asymptote angeben & ablesen
Willst du eine Asymptote aus einem Graphen ablesen und angeben, dann schaust Du, welchem Bereich sich der Graph annähert.
- senkrechte Asymptote: \(x\)-Wert im Koordinatensystem ablesen
- waagrechte Asymptote: \(y\)-Wert im Koordinatensystem ablesen
- schiefe Asymptote: Steigungsdreieck bestimmen
Finde die Asymptoten von \(\color{bl}f(x)\):
Abb. 4 - Asymptote ablesen.
Nimm dazu ein Lineal und versuche, gerade Linien zwischen die Linien des Graphen von \(\color{bl}f(x)\) zu ziehen.
Abb. 5 - Asymptote angeben.
\(\color{bl}f(x)\) hat also zwei senkrechte Asymptoten bei \(\color{gr}x_1\approx-1{,}7\) und \(\color{gr}x_2\approx1{,}7\) und eine schräge Asymptote mit \(\color{gr}y=x\).
Asymptote – Das Wichtigste
- Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne ihn jemals zu erreichen. Der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote wird unendlich klein.
- Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
| waagrechte/horizontale Asymptote | senkrechte Asymptote | schräge/schiefe Asymptote | kurvenförmige Asymptote |
| \(y=k\) | \(x=k\) | \(y=mx+t\) | \(y=ax^2+bx+c\) |
| \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}=k\) | \(\lim\limits_{x\to k}=\pm\infty\)\(k = \text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}\) | \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad}=\text{Nennergrad}+1\)\(\rightarrow\text{Poly}\text{nomdivision}\) | \(\text{Poly}\text{nomdivision}\) |
- Asymptote berechnen:
- Bestimme die Funktionsart: lineare, konstante und trigonometrische Funktionen haben keine Asymptoten
Bestimme die Definitionsmenge und bilde den Grenzwert zur Definitionslücke, um zu sehen, ob es sich wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt
Bilde den Grenzwert gegen unendlich, um eventuelle waagrechte Asymptoten zu finden. Für gebrochen-rationale Funktionen gelten folgende Regeln:
\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} > \text{Nennergrad}:\) keine waagrechte Asymptote
\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} = \text{Nennergrad}:\) waagrechte Asymptote bei \(y=k\) für \(x\to\pm\infty\)
\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} < \text{Nennergrad}:\) waagrechte Asymptote bei \(y=0\) für \(x\to\pm\infty\)
Hat Deine Funktion eine waagrechte Asymptote, bist Du hier fertig. Andernfalls könnte sie noch eine schiefe Asymptote haben. Diese tritt bei gebrochen-rationalen Funktionen auf, deren Zählergrad um \(1\) höher ist als der Nennergrad.
Nachweise
- http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/abi12/abi-Asy.pdf
- Hensel, Marc (2012), Kurvendiskussion Lern- und Übungsbuch für die Abiturprüfung Mathematik, 2. erweiterte Ausgabe
- Forseth, Krystle Rose et al. (2010), Grundlagen der Analysis für Dummies, 1. Auflage
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