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Asymptote

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Asymptote

Du zeichnest den Graphen einer Funktion und stellst fest, dass Du keinen y-Wert an der Stelle hast.

Was jetzt? Einfach stur weiterzeichnen? Oder die Stelle überspringen? Für dieses Problem gibt es natürlich eine Lösung. Nämlich die Asymptoten.

Asymptote – Grundlagenwissen

Wie kann es überhaupt sein, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle kein Ergebnis liefert?

Definitionslücke

Versuche einmal, für den x-Wert 0 zu berechnen.

Richtig. Das geht nicht, weil Du nicht durch 0 teilen kannst. Hier hat die Funktion also kein Ergebnis.

Eine Definitionslücke steht für einen oder mehrere x-Werte oder ein Intervall, in dem die Funktion kein Ergebnis, also keinen zugehörigen y-Wert hat. Sie ist an dieser Stelle nicht definiert.

Den Definitionsbereich und die Definitionslücke gibst Du so an:

Asymptote Definitionsbereich Definitionslücke StudySmarter

Dabei steht das für den Definitionsbereich und das für die reellen Zahlen. Danach kommen in der geschweiften Klammer die Zahlen, die vom Definitionsbereich ausgenommen sind.

Und eben diese Definitionslücke ist der Grund, warum Du Deine Funktion nicht durchgehend zeichnen kannst.

Der Definitionsbereich für die eben erwähnte Funktion ist

.

Die Funktion ist also für alle reellen Zahlen außer 0 definiert.

Nun stellt sich die Frage, in welchen Funktionen so eine Definitionslücke vorkommt. Denn beispielsweise eine lineare Funktion wird durch eine durchgehende Gerade dargestellt und hat somit keine Stelle, an der sie nicht definiert ist.

Gebrochen-rationale Funktion und Logarithmusfunktion

Funktionen, die an einer bestimmten Stelle kein Ergebnis haben, gibt es nicht viele. Für das Thema Asymptoten kommen hier nur die gebrochen-rationalen Funktionen infrage, da durch 0 teilen nicht funktioniert.

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die einen Bruch als Funktionsterm hat. Der Zähler und der Nenner enthalten dabei jeweils Polynome. Kurz gesagt, ist eine gebrochen-rationale Funktion der Quotient zweier Polynome.

Asymptote gebrochen-rationale Funktion StudySmarter

Dabei stehen

  • an und bn für die Koeffizienten/Vorfaktoren, sind also eine reelle Zahl,
  • xn für die Potenzen,
  • und x0 ist eine Konstante, also eine weitere reelle Zahl, die addiert/subtrahiert wird.

Ein Polynom ist eine Reihe aus Koeffizienten und Potenzen. Beispielsweise sind sowohl der Zähler, als auch der Nenner der soeben aufgestellten Definition jeweils ein Polynom. Mehr dazu findest Du im Artikel Polynome.

Und auch, wenn es auf den 1. Blick nicht ersichtlich erscheint, haben die Exponential- und Logarithmusfunktionen ebenfalls eine Asymptote.

Zu den Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören:

Sie stellen das natürliche Wachstum sowie den Verlauf der Sättigung dar.

Also sind für Asymptoten gebrochen-rationale Funktionen und die e-Funktion interessant.

Du fragst Dich gerade, warum hier die Wurzelfunktion nicht erwähnt wird? Denn eine negative Zahl unter der Wurzel ist nicht lösbar und somit ist die Funktion an dieser Stelle bzw. im ganzen negativen Bereich nicht definiert. Das ist richtig, aber da die Wurzelfunktion beim Wert 0 abrupt aufhört, gibt es keine Asymptote, der sie sich annähert.

Asymptote – Definition und Arten

Weiter oben wurde bereits angesprochen, dass bestimmte Funktionen die Eigenschaft besitzen, dass für manche reelle Zahlen eine Definitionslücke besteht. An solchen Stellen kann für eine Funktion kein bestimmter Wert berechnet und der Funktionsgraph kann nur näherungsweise beschrieben werden.

Definition

Eine Asymptote hat also irgendwas mit der Definitionslücke zu tun. Aber was?

Die Asymptote beschreibt die Näherung des Funktionsgraphen für eine solche Definitionslücke an einen bestimmten Wert. Anders ausgedrückt wird der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote immer kleiner und kleiner für . Demnach ist eine Asymptote eine Gerade, an die sich eine Kurve annähert, ohne sie jemals zu schneiden. Wenn die Funktion durch f(x) und die Asymptote vereinfacht durch g(x) beschrieben wird, so ist der Grenzwert gleich null, wenn x gegen unendlich läuft.

Die Asymptote bezieht sich also auf das Verhalten einer Funktion in nächster Umgebung einer Definitionslücke oder am Rande eines nicht definierten Gebiets und wenn der Funktionswert x gegen läuft.

Der Definitionsbereich der Funktion lautet , denn wenn Du 2 für x einsetzt, wird der Nenner 0 und durch 0 kann nicht geteilt werden.

Diese Theorie kannst Du bestätigen, indem Du den Graphen von f(x) skizzierst.

Asymptote Graph von f(x) StudySmarterAbbildung 1: Graph f(x)

Der Graph von f(x) nähert sich dem x-Wert 2 von beiden Seiten an, erreicht ihn aber nie. Hier hast Du also eine Asymptote gefunden und die Definitionslücke bei bestätigt sich.

Asymptote Graph von f(x) mit senkrechter Asymptote StudySmarterAbbildung 2: senkrechte Asymptote zu f(x)

Statt x=2 kannst Du auch g(y)=2 schreiben. Wichtig ist dabei, dass es nicht g(x) ist, da sonst einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet werden, was natürlich nicht geht.

Andersherum kannst Du natürlich auch einen Funktionsgraphen skizzieren, wenn Du nur Asymptoten und nicht die Funktionsgleichung gegeben hast. Weiter unten findest Du dazu eine Erklärung.

Die Lage der Näherungsgeraden differenziert dabei, ob es sich um eine

  • senkrechte (parallel zur y-Achse)
  • waagerechte (parallel zur x-Achse)
  • oder schiefe Asymptote handelt.

Arten, Unterscheidung und Berechnung

In der Schulmathematik werden nur Asymptoten in Form einer Geraden vorkommen. Dabei wird unterschieden zwischen senkrechten, waagerechten und schiefen Asymptoten.

Senkrechte Asymptote

Die senkrechte Asymptote wurde in der Definition bereits erwähnt. Sie tritt bei gebrochen-rationalen Funktionen auf.

Eine senkrechte Asymptote ist eine Gerade senkrecht zur x-Achse. Sie tritt an Definitionslücken oder an einem nicht definierten Randintervall einer Funktion auf. Eine senkrechte Asymptote kannst Du so angegeben:

Asymptote senkrechte Asymptote StudySmarter

oder

Asymptote senkrechte Asymptote StudySmarter

K ist dabei der Wert der Asymptote.

Um eine senkrechte Asymptote zu ermitteln, kannst Du den Grenzwert zu allen nicht definierten Werten, beziehungsweise Randwerten bilden. Läuft der ermittelte Grenzwert gegen plus oder minus unendlich, so existiert mindestens eine senkrechte Asymptote für die entsprechende Funktion.

Den Grenzwert bildest Du so:

Asymptote Grenzwert StudySmarter

"lim" steht dabei für den Limes, benannt nach dem Grenzwall des römischen Reiches.

Um einen Grenzwert zu bilden, setzt Du in Deine Funktion einen Wert ein, der sehr nah am nicht definierten Wert liegt. Falls an dieser Stelle eine Asymptote existiert, erhältst Du als Ergebnis entweder plus oder minus unendlich. Du kannst dabei den Graphen entweder von links oder von rechts gegen den Grenzwert laufen lassen, je nachdem, was für Deinen Fall günstiger ist. Die Schreibweisen sind dabei folgende:

Das kannst Du Dir an der Funktion anschauen.

Um eine Definitionslücke zu finden, muss der Nenner 0 werden, also rechnest Du:

Es existiert also eine Definitionslücke bei -1.

Um nun zu überprüfen, ob es sich bei der gefundenen Definitionslücke um einen Grenzwert handelt, lässt Du x gegen -1 laufen. Du kannst hier beide Varianten des Limes ausprobieren. Für den Limes von links benötigst Du eine Zahl, die minimal kleiner ist als -1. Also beispielsweise -1.001. Für den Grenzwert von rechts würde sich dann dementsprechend -0,999 anbieten.

Beide Grenzwerte haben jeweils eine Lösung. Was sagt Dir das?

Bei existiert definitiv eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr sogar von beiden Seiten an, denn beide Rechnungen gehen gegen unendlich. Genauer gesagt verläuft der Graph auf der linken Seite der Asymptote nach plus unendlich, also nach oben und auf der anderen Seite kommt er von minus unendlich, also von unten. Mit diesem Wissen kannst Du den Graphen jetzt viel besser skizzieren!

Asymptote Graph von f(x) mit senkrechter Asymptote StudySmarterAbbildung 3: senkrechte Asymptote zu f(x)

Waagerechte Asymptote

Weiter oben wurde bereits angesprochen, dass auch eine e-Funktion eine Asymptote besitzt. Hier kommen die waagrechten Asymptoten ins Spiel.

Eine waagerechte Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form: Asymptote waagrechte Asymptote StudySmarter

Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f(x) gilt: Asymptote waagrechte Asymptote StudySmarter . Das bedeutet, der Graph der Funktion f(x) nähert sich für Asymptote waagrechte Asymptote StudySmarter immer mehr der Geraden Asymptote waagrechte Asymptote StudySmarter .

Waagerechte Asymptoten treten nicht so oft auf, wie senkrechte Asymptoten, denn zum Beispiel ganzrationale Funktionen besitzen keine waagerechte Asymptote.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen können waagrechte Asymptoten auftreten, es gibt aber nicht immer welche. Ob eine gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote hat, erkennst Du, wenn Du Zähler und Nenner miteinander vergleichst.

  • Zählergrad > Nennergrad → keine waagerechte Asymptote
  • Zählergrad = Nennergrad → waagerechte Asymptote für
  • Zählergrad < Nennergrad → waagerechte Asymptote (x-Achse) für

Bei allen anderen Funktionsarten benötigst Du den Grenzwert gegen plus und minus unendlich, um herauszufinden, ob und an welcher Stelle eine waagrechte Asymptote existiert.

Mit diesem Wissen lässt sich nun herausfinden, an welcher Stelle die e-Funktion eine Asymptote hat.

Da es sich hier nicht um einen Bruch handelt, benötigst Du den Grenzwert von f(x) für x gegen plus und minus unendlich.

Wenn Du eine sehr kleine Zahl für x einsetzt, läuft f(x) gegen 0, das heißt es existiert eine waagrechte Asymptote bei , also genauer gesagt, die x-Achse ist die Asymptote.

Asymptote e-Funktion mit waagrechter Asymptote StudySmarterAbbildung 4: waagrechte Asymptote der e-Funktion

Der Grenzwertberechnung kannst Du auch entnehmen, dass sich f(x) nur im negativen Bereich der Asymptote annähert.

Und auch an gebrochen-rationalen Funktionen kannst Du Dich nun einmal versuchen.

Gegeben sind:

Für eine erste Überprüfung, ob waagrechte Asymptoten existieren, kannst Du die oben angesprochenen Regeln verwenden:

  1. In f(x) ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, da x2 einen höheren Grad hat, als x. Das heißt, dass hier keine waagrechte Asymptote existiert.
  2. Bei g(x) sind Zähler- und Nennergrad gleich. Hier ist also ein bisschen Rechenarbeit angesagt, denn es existiert eine waagrechte Asymptote. Aber bei welchem y?
  3. Die Funktion h(x) hat einen größeren Nenner- als Zählergrad. Hier existiert also eine waagrechte Asymptote bei .

Um also die Lage der waagrechten Asymptote von g(x) herauszufinden, bildest Du wieder den Grenzwert von g(x) für x gegen plus und minus unendlich.

Der Grenzwert beträgt also 1 für beide Seiten. Das heißt, die waagrechte Asymptote von g(x) liegt bei .

Asymptote Graph von f(x), g(x) und h(x) StudySmarterAbbildung 5: waagrechte Asymptoten zu f(x), g(x) und h(x)

Wenn Du Dir den Graphen von f(x) im letzten Beispiel genauer anschaust, fällt Dir vielleicht auf, dass er zwar keine waagrechte Asymptote besitzt, es aber so aussieht, als könne man dennoch eine Gerade einzeichnen, an die er sich annähert.

Schiefe/schräge Asymptote

Diese Gerade ist dann weder senkrecht noch waagrecht. Es handelt sich also um eine schiefe bzw. schräge Asymptote.

Eine schiefe Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form Asymptote Punkt-Steigungs-Form StudySmarter .

Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f(x) gilt: Asymptote Punkt-Steigungs-Form StudySmarter

Das bedeutet, der Graph der Funktion f(x) nähert sich für Asymptote x gegen unendlich StudySmarter immer mehr der Geraden Asymptote Punkt-Steigungs-Form StudySmarter an.

Zur Bestimmung einer schiefen Asymptote wird die Polynomdivision genutzt. Dabei wird der Zähler durch den Nenner geteilt.

Manchmal kannst Du auch auf die Schreibweise y=mx+b stoßen. Sie ist aber dasselbe wie y=mx+t.

Besonderheiten:

  • Sie tritt nur in gebrochen rationalen Funktionen auf, deren Zählergrad um genau eins höher ist als ihr Nennergrad.
  • Eine Funktion kann höchstens eine schiefe Asymptote besitzen.
  • Eine schiefe und waagerechte Asymptote können nie gleichzeitig vorkommen, dafür aber eine senkrechte und eine schiefe Asymptote.

Das heißt, Du erhältst die Geradengleichung einer schiefen Asymptote, indem Du den Zähler durch den Nenner teilst. Also genau in der Reihenfolge, wie Du auch sonst einen Bruch auflösen würdest.

Um die schiefe Asymptote der Funktion herauszufinden, teilst Du also den Zähler durch den Nenner.

Bei einer Polynomdivision schaust Du in mehrere Etappen, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Es unterscheidet sich im Prinzip nicht großartig vom schriftlichen Dividieren.

In diesem Fall kannst Du den Nenner mit x multiplizieren, damit Du das x2 eliminierst. Den Nenner, den Du erhältst, wenn Du ihn mit x multiplizierst, ziehst Du dann vom Zähler ab und wiederholst das Ganze für den neuen Zähler. Sobald der Zählergrad kleiner ist, als der Nennergrad, kannst Du das Restglied als Bruch hinter die neue Gleichung schreiben, denn es wird für sehr große x-Werte 0 und kann im Fall der Asymptotenberechnung vernachlässigt werden.

Genaueres findest Du im Artikel zur Polynomdivision.

In diesem Fall entsteht ein kleiner Rest, aber da er für sehr große Werte gegen null läuft, kannst Du ihn weglassen. Die Geradengleichung Deiner schiefen Asymptote lautet also:

Asymptote Graph von f(x) mit schiefer Asymptote StudySmarterAbbildung 6: schräge Asymptote zu f(x)

Vorerst waren das alle Arten von Asymptoten, die in der Schule vorkommen. Falls es Dich interessiert, gibt es aber noch eine weitere Form.

Kurvenförmige Asymptote

Manche Funktionen nähern sich einer Linie an, die keine Gerade darstellt.

Gebrochen-rationale Funktionen, deren Zählergrad um 2 höher ist, als der Nennergrad, nähern sich einer kurvenförmigen Asymptote, also streng genommen einer anderen Funktion an. Für die Ermittlung des Funktionsterms benötigst Du wieder die Polynomdivision.

Wie der Name schon sagt, hat eine kurvenförmige Asymptote eine Kurve. Da der Zählergrad immer um 2 höher ist, als der Nennergrad, resultiert aus der Polynomdivision eine Parabel.

Um also die Asymptote der Funktion zu berechnen, wendest Du wieder die Polynomdivision an.

Den hinteren Teil kannst Du wieder weglassen.

Die Funktionsgleichung der Asymptote lautet also .

Asymptote Graph von f(x) mit kurvenförmiger Asymptote StudySmarterAbbildung 7: kurvenförmige Asymptote zu f(x)

Graph anhand von Asymptoten skizzieren

Nun hast Du alle Arten von Asymptoten kennengelernt und vielleicht ist Dir aufgefallen, dass sie Dir helfen, den zugehörigen Funktionsgraphen schneller zu skizzieren, als wenn Du konkrete Werte berechnen müsstest.

  1. Du hast bereits gelernt, dass eine Asymptote ein Wert ist, an den sich ein Funktionsgraph unendlich nah annähert, ihn aber nie schneidet. Das ist die 1. Regel, an der Du Dich orientieren kannst.
  2. Nummer 2 ist, dass Du anhand der Grenzwerte feststellen kannst, in welche Richtung der Funktionsgraph in der Nähe der Asymptote verläuft. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, für jede Asymptote den Grenzwert für links und rechts zu bilden.
    1. Bei einer senkrechten Asymptote bildest du den Grenzwert zur Definitionslücke, um festzustellen, ob es sich wirklich um eine Asymptote handelt. Geht der Grenzwert nach unendlich, verläuft der Graph nach oben, also in positive y-Richtung und bei minus unendlich verläuft er entsprechend nach unten, also in negative y-Richtung.
    2. Bei einer waagrechten Asymptote ist das Prinzip dasselbe, aber die Werte im Limes sind vertauscht. Hier läuft der Limes gegen einen bestimmten Wert und die Zahl, die Du einsetzt, also plus oder minus unendlich, gibt dir Auskunft darüber, in welche Richtung der Graph verläuft. Bei minus unendlich in negative und bei plus unendlich in positive x-Richtung.

Skizziere den Graph f(x) zu folgenden Asymptoten:

Asymptote f(x) anhand von Asymptoten skizzieren StudySmarterAbbildung 8: Asymptoten von f(x)

Die Grenzwerte lauten:

Anhand der Grenzwerte kannst Du erkennen, dass:

  1. An der senkrechten Asymptote der Graph von f(x) auf der linken Seite nach plus unendlich verläuft und auf der rechten Seite nach minus unendlich.
  2. Sich der Graph von f(x) an der waagrechten Asymptote sowohl für negative, als auch für positive x-Werte der 1 annähert.

Daraus kannst Du schließen, dass der Graph keine durchgezogene Linie ist, sondern Du zwei Linien ziehen musst, da die Annäherung an 1 sowohl für negative, als auch für positive Werte stattfindet, bei 2 aber eine senkrechte Asymptote existiert, die den Graphen von f(x) unterbricht. Außerdem weißt Du, dass der Graph links der Asymptote nach plus unendlich geht, daher nähert er sich der waagrechten Asymptote von oben an.

Genau umgekehrt verhält es sich mit den Werten rechts der senkrechten Asymptote.

Asymptote Graph f(x) anhand der Asymptoten skizzieren StudySmarterAbbildung 9: Skizze von f(x) anhand der Asymptoten

Asymptote bestimmen – Leitfaden

Wenn Du nun eine Funktionsgleichung gegeben hast und die Asymptoten bestimmen sollst, kannst Du folgendermaßen vorgehen:

  1. Bestimme die Funktionsart: lineare, konstante und trigonometrische Funktionen haben keine Asymptoten
  2. Bestimme die Definitionsmenge: an Definitionslücken können Asymptoten auftreten. Bilde den Grenzwert zur Definitionslücke, um zu sehen, ob es sich wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt
  3. Bilde den Grenzwert gegen unendlich, um eventuelle waagrechte Asymptoten zu finden. Für gebrochen-rationale Funktionen gelten folgende Regeln:
    1. Zählergrad > Nennergrad → keine waagerechte Asymptote
    2. Zählergrad = Nennergrad → waagerechte Asymptote für
    3. Zählergrad < Nennergrad → waagerechte Asymptote (x-Achse) für
  4. Hat Deine Funktion eine waagrechte Asymptote, bist Du hier fertig. Andernfalls könnte sie noch eine schiefe Asymptote haben. Diese tritt bei gebrochen-rationalen Funktionen auf, deren Zählergrad um 1 höher ist als der Nennergrad. Zur Bestimmung teilst Du den Zähler durch den Nenner. Der resultierende Term ist die Funktionsgleichung der schiefen Asymptote.
  5. Funktionen, deren Zählergrad um 2 höher ist, als der Nennergrad, können auch eine kurvenförmige Asymptote haben. Hier nutzt Du ebenfalls die Polynomdivision zur Bestimmung.

Asymptote – Übungsaufgaben

Nun kennst Du alle Arten von Asymptoten und kannst testen, ob Du alles verstanden hast!

Aufgabe 1

Beurteile, ob bei folgenden Funktionsgleichungen eine waagrechte Asymptote vorliegt.

Lösung

  1. Der Zählergrad ist größer als der Nennergrad. Das heißt, die Funktionf(x) hat keine waagrechte Asymptote.
  2. Hier ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, die Funktiong(x) hat also eine waagrechte Asymptote bei .
  3. Der Zählergrad von h(x) ist gleich dem Nennergrad, es liegt also eine waagrechte Asymptote vor. Die genaue Lage muss allerdings berechnet werden.

Asymptote Skizze von Graph von f(x), g(x) und h(x) mit waagrechter Asymptote StudySmarterAbbildung 10: Skizze der Graphen f(x), g(x) und h(x)

Aufgabe 2

Berechne die Lage der waagrechten Asymptote von .

Lösung

Um die genaue Lage der waagrechten Asymptote zu bestimmen, setzt Du in die Funktion einen sehr großen und einen sehr kleinen x-Wert ein und erhältst so den Wert, gegen den sie läuft.

Du siehst, h(x) läuft sowohl im negativen als auch im positiven Bereich gegen 1. Die waagrechte Asymptote liegt also bei .

Asymptote Skizze von Graph von h(x) mit waagrechter Asymptote StudySmarterAbbildung 11: Skizze von h(x) mit waagrechter Asymptote

Aufgabe 3

Hat folgende Funktion eine oder mehrere Asymptoten? Berechne, wenn nötig und fertige eine Skizze an.

Lösung

1.

Es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion. Es können also senkrechte, waagrechte und schräge Asymptoten auftreten. Eine kurvenförmige Asymptote kannst Du ausschließen, da der Zählergrad nur um 1 höher ist, als der Nennergrad.

2.

Die Definitionsmenge definiert sich zu:

.

Der Grenzwert gegen diese beiden Werte sagt Dir, dass es eine senkrechte Asymptote bei und bei gibt:

3.

Weiter geht's mit der waagrechten Asymptote. Da der Zählergrad höher ist, als der Nennergrad, gibt es hier allerdings keine.

4.

Wie gerade schon festgestellt, ist der Zählergrad um 1 höher als der Nennergrad. Es könnte also eine schiefe Asymptote vorliegen. Zur Bestimmung wendest Du die Polynomdivision an:

Diese Rechnung kannst Du vermutlich endlos weiterführen, aber Du brauchst ja ohnehin nur den vorderen Teil, denn sobald der Zählergrad kleiner ist, als der Nennergrad, wird dieses Glied für große x-Werte ohnehin null und kann daher vernachlässigt werden. Die Gleichung Deiner schiefen Asymptote lautet also:

5.

Nun hast Du alle Asymptoten gefunden und kannst den Graphen von f(x) skizzieren. Dabei helfen Dir die Grenzwertberechnungen von den senkrechten Asymptoten, denn daran siehst Du, in welche Richtung die Graphen jeweils links und rechts der Asymptoten verlaufen.

Asymptote Skizze von Graph von f(x) mit sämtlichen Asymptoten StudySmarterAbbildung 12: Skizze von f(x) mit sämtlichen Asymptoten

Asymptote – Das Wichtigste

  • Die Asymptote beschreibt in der Mathematik eine Gerade, deren Abstand zu einem bestimmten Funktionsgraph immer kleiner und kleiner wird, sofern sich die Funktionswerte dem Unendlichen immer weiter annähern.
  • Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
    • senkrecht: wenn der Grenzwert gegen eine Definitionslücke unendlich ergibt
    • waagrecht: wenn der Grenzwert gegen unendlich einen endlichen Wert ergibt
    • schräg: wenn der Zählergrad um 1 höher ist, als der Nennergrad, Ermittlung durch Polynomdivision
    • kurvenförmig: wenn der Zählergrad um 2 höher ist als der Nennergrad: Ermittlung durch Polynomdivision
  • Leitfaden für die Suche aller vorhandenen Asymptoten:
    1. Bestimme die Funktionsart: lineare, konstante und trigonometrische Funktionen haben keine Asymptoten
    2. Bestimme die Definitionsmenge: an Definitionslücken können Asymptoten auftreten. Bilde den Grenzwert zur Definitionslücke, um zu sehen, ob es sich wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt
    3. Bilde den Grenzwert gegen unendlich, um eventuelle waagrechte Asymptoten zu finden. Für gebrochen-rationale Funktionen gelten folgende Regeln:
      • Zählergrad > Nennergrad → keine waagerechte Asymptote
      • Zählergrad = Nennergrad → waagerechte Asymptote für
      • Zählergrad < Nennergrad → waagerechte Asymptote (x-Achse) für
    4. Hat Deine Funktion eine waagrechte Asymptote, bist Du hier fertig. Andernfalls könnte sie noch eine schiefe Asymptote haben. Diese tritt bei gebrochen-rationalen Funktionen auf, deren Zählergrad um 1 höher ist als der Nennergrad. Zur Bestimmung teilst Du den Zähler durch den Nenner. Der resultierende Term ist die Funktionsgleichung der schiefen Asymptote.
    5. Funktionen, deren Zählergrad um 2 höher ist, als der Nennergrad, können auch eine kurvenförmige Asymptote haben. Hier nutzt Du ebenfalls die Polynomdivision zur Bestimmung.

Nachweise

  1. http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/abi12/abi-Asy.pdf
  2. Hensel, Marc (2012), Kurvendiskussion Lern- und Übungsbuch für die Abiturprüfung Mathematik, 2. erweiterte Ausgabe
  3. Forseth, Krystle Rose et al. (2010), Grundlagen der Analysis für Dummies, 1. Auflage

Häufig gestellte Fragen zum Thema Asymptote

Die Gleichung einer Asymptote gibt den Verlauf der Asymptote an. Es ist also ein Funktionsterm. Je nachdem, ob es sich um eine waagrechte, senkrechte oder schiefe/kurvenförmige Asymptote handelt, kannst Du sie unterschiedlich angeben.

  • senkrecht: x=k oder f(y)=k
  • waagrecht: y=k oder f(x)=k
  • schief und kurvenförmig: y=mx+t oder f(x)=mx+t

Eine Funktion hat eine Asymptote, wenn sie eine Definitionslücke hat, oder aus einem Bruch mit bestimmten Zähler- und Nennergraden besteht. Es gibt bestimmte Regeln, anhand derer Du erkennen kannst, ob und wenn ja, welche Asymptote vorliegt.

Asymptoten kannst Du anhand der Definitionslücken, dem Grenzwert und mittels Polynomdivision ermitteln.

Funktionen, die einen linearen Verlauf haben, haben keine Asymptoten.

Finales Asymptote Quiz

Frage

Was ist eine Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich ein Funktionsgraph unendlich nah annähert, sie aber nie schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Wie erkennst Du eine Definitionslücke?

Antwort anzeigen

Antwort

Definitionslücken entstehen, wenn es für einen x-Wert keinen zugehörigen y-Wert gibt, weil die Funktion mit diesem Wert nicht berechnet werden kann. Das passiert beispielsweise, wenn der Nenner 0 wird oder ein Minus unter der Wurzel steht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Funktionsarten können Asymptoten haben?

Antwort anzeigen

Antwort

lineare Funktion

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Definitionslücke immer auch eine senkrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Um sicherzugehen, dass es sich bei einer gefundenen Definitionslücke wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt, kannst Du den Grenzwert gegen diesen Wert bilden. Erhältst Du plus oder minus unendlich als Ergebnis, ist es wirklich eine Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Woran erkennst Du, ob eine gebrochen rationale Funktion waagrechte Asymptoten hat?

Antwort anzeigen

Antwort

Indem ich Zähler- und Nennergrad miteinander vergleiche.

Frage anzeigen

Frage

Wann hat eine gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Nennergrad entweder genauso groß oder größer als der Zählergrad ist, existiert eine waagrechte Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Welche Asymptoten können gemeinsam auftreten?

Antwort anzeigen

Antwort

senkrecht und waagrecht

Frage anzeigen
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