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Du zeichnest den Graphen einer Funktion und stellst fest, dass Du keinen y-Wert an der Stelle 
hast.
Was jetzt? Einfach stur weiterzeichnen? Oder die Stelle überspringen? Für dieses Problem gibt es natürlich eine Lösung. Nämlich die Asymptoten.
Wie kann es überhaupt sein, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle kein Ergebnis liefert?
Versuche einmal, 
für den x-Wert 0 zu berechnen.
Richtig. Das geht nicht, weil Du nicht durch 0 teilen kannst. Hier hat die Funktion also kein Ergebnis.
Eine Definitionslücke steht für einen oder mehrere x-Werte oder ein Intervall, in dem die Funktion kein Ergebnis, also keinen zugehörigen y-Wert hat. Sie ist an dieser Stelle nicht definiert.
Den Definitionsbereich und die Definitionslücke gibst Du so an:
Dabei steht das 
für den Definitionsbereich und das 
für die reellen Zahlen. Danach kommen in der geschweiften Klammer die Zahlen, die vom Definitionsbereich ausgenommen sind.
Und eben diese Definitionslücke ist der Grund, warum Du Deine Funktion nicht durchgehend zeichnen kannst.
Der Definitionsbereich für die eben erwähnte Funktion 
ist
.
Nun stellt sich die Frage, in welchen Funktionen so eine Definitionslücke vorkommt. Denn beispielsweise eine lineare Funktion wird durch eine durchgehende Gerade dargestellt und hat somit keine Stelle, an der sie nicht definiert ist.
Funktionen, die an einer bestimmten Stelle kein Ergebnis haben, gibt es nicht viele. Für das Thema Asymptoten kommen hier nur die gebrochen-rationalen Funktionen infrage, da durch 0 teilen nicht funktioniert.
Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die einen Bruch als Funktionsterm hat. Der Zähler und der Nenner enthalten dabei jeweils Polynome. Kurz gesagt, ist eine gebrochen-rationale Funktion der Quotient zweier Polynome.
Dabei stehen
Ein Polynom ist eine Reihe aus Koeffizienten und Potenzen. Beispielsweise sind sowohl der Zähler, als auch der Nenner der soeben aufgestellten Definition jeweils ein Polynom. Mehr dazu findest Du im Artikel Polynome.
Und auch, wenn es auf den 1. Blick nicht ersichtlich erscheint, haben die Exponential- und Logarithmusfunktionen ebenfalls eine Asymptote.
Zu den Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören:
Sie stellen das natürliche Wachstum sowie den Verlauf der Sättigung dar.
Also sind für Asymptoten gebrochen-rationale Funktionen und die e-Funktion interessant.
Du fragst Dich gerade, warum hier die Wurzelfunktion nicht erwähnt wird? Denn eine negative Zahl unter der Wurzel ist nicht lösbar und somit ist die Funktion an dieser Stelle bzw. im ganzen negativen Bereich nicht definiert. Das ist richtig, aber da die Wurzelfunktion beim Wert 0 abrupt aufhört, gibt es keine Asymptote, der sie sich annähert.
Weiter oben wurde bereits angesprochen, dass bestimmte Funktionen die Eigenschaft besitzen, dass für manche reelle Zahlen eine Definitionslücke besteht. An solchen Stellen kann für eine Funktion kein bestimmter Wert berechnet und der Funktionsgraph kann nur näherungsweise beschrieben werden.
Eine Asymptote hat also irgendwas mit der Definitionslücke zu tun. Aber was?
Die Asymptote beschreibt die Näherung des Funktionsgraphen für eine solche Definitionslücke an einen bestimmten Wert. Anders ausgedrückt wird der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote immer kleiner und kleiner für 
. Demnach ist eine Asymptote eine Gerade, an die sich eine Kurve annähert, ohne sie jemals zu schneiden. Wenn die Funktion durch f(x) und die Asymptote vereinfacht durch g(x) beschrieben wird, so ist der Grenzwert gleich null, wenn x gegen unendlich läuft.
Die Asymptote bezieht sich also auf das Verhalten einer Funktion in nächster Umgebung einer Definitionslücke oder am Rande eines nicht definierten Gebiets und wenn der Funktionswert x gegen 
läuft.
Der Definitionsbereich der Funktion
lautet 
, denn wenn Du 2 für x einsetzt, wird der Nenner 0 und durch 0 kann nicht geteilt werden.
Diese Theorie kannst Du bestätigen, indem Du den Graphen von f(x) skizzierst.
Abbildung 1: Graph f(x)
Der Graph von f(x) nähert sich dem x-Wert 2 von beiden Seiten an, erreicht ihn aber nie. Hier hast Du also eine Asymptote gefunden und die Definitionslücke bei 
bestätigt sich.
Abbildung 2: senkrechte Asymptote zu f(x)
Statt x=2 kannst Du auch g(y)=2 schreiben. Wichtig ist dabei, dass es nicht g(x) ist, da sonst einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet werden, was natürlich nicht geht.
Andersherum kannst Du natürlich auch einen Funktionsgraphen skizzieren, wenn Du nur Asymptoten und nicht die Funktionsgleichung gegeben hast. Weiter unten findest Du dazu eine Erklärung.
Die Lage der Näherungsgeraden differenziert dabei, ob es sich um eine
In der Schulmathematik werden nur Asymptoten in Form einer Geraden vorkommen. Dabei wird unterschieden zwischen senkrechten, waagerechten und schiefen Asymptoten.
Die senkrechte Asymptote wurde in der Definition bereits erwähnt. Sie tritt bei gebrochen-rationalen Funktionen auf.
Eine senkrechte Asymptote ist eine Gerade senkrecht zur x-Achse. Sie tritt an Definitionslücken oder an einem nicht definierten Randintervall einer Funktion auf. Eine senkrechte Asymptote kannst Du so angegeben:
oder
K ist dabei der Wert der Asymptote.
Um eine senkrechte Asymptote zu ermitteln, kannst Du den Grenzwert zu allen nicht definierten Werten, beziehungsweise Randwerten bilden. Läuft der ermittelte Grenzwert gegen plus oder minus unendlich, so existiert mindestens eine senkrechte Asymptote für die entsprechende Funktion.
Den Grenzwert bildest Du so:
"lim" steht dabei für den Limes, benannt nach dem Grenzwall des römischen Reiches.
Um einen Grenzwert zu bilden, setzt Du in Deine Funktion einen Wert ein, der sehr nah am nicht definierten Wert liegt. Falls an dieser Stelle eine Asymptote existiert, erhältst Du als Ergebnis entweder plus oder minus unendlich. Du kannst dabei den Graphen entweder von links oder von rechts gegen den Grenzwert laufen lassen, je nachdem, was für Deinen Fall günstiger ist. Die Schreibweisen sind dabei folgende:
Das kannst Du Dir an der Funktion 
anschauen.
Um eine Definitionslücke zu finden, muss der Nenner 0 werden, also rechnest Du:
Es existiert also eine Definitionslücke bei -1.
Um nun zu überprüfen, ob es sich bei der gefundenen Definitionslücke um einen Grenzwert handelt, lässt Du x gegen -1 laufen. Du kannst hier beide Varianten des Limes ausprobieren. Für den Limes von links benötigst Du eine Zahl, die minimal kleiner ist als -1. Also beispielsweise -1.001. Für den Grenzwert von rechts würde sich dann dementsprechend -0,999 anbieten.
Beide Grenzwerte haben jeweils eine Lösung. Was sagt Dir das?
Bei 
existiert definitiv eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr sogar von beiden Seiten an, denn beide Rechnungen gehen gegen unendlich. Genauer gesagt verläuft der Graph auf der linken Seite der Asymptote nach plus unendlich, also nach oben und auf der anderen Seite kommt er von minus unendlich, also von unten. Mit diesem Wissen kannst Du den Graphen jetzt viel besser skizzieren!
Abbildung 3: senkrechte Asymptote zu f(x)
Weiter oben wurde bereits angesprochen, dass auch eine e-Funktion eine Asymptote besitzt. Hier kommen die waagrechten Asymptoten ins Spiel.
Eine waagerechte Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form: 
Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f(x) gilt: 
. Das bedeutet, der Graph der Funktion f(x) nähert sich für 
immer mehr der Geraden 
.
Waagerechte Asymptoten treten nicht so oft auf, wie senkrechte Asymptoten, denn zum Beispiel ganzrationale Funktionen besitzen keine waagerechte Asymptote.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen können waagrechte Asymptoten auftreten, es gibt aber nicht immer welche. Ob eine gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote hat, erkennst Du, wenn Du Zähler und Nenner miteinander vergleichst.
für 
Zählergrad < Nennergrad → waagerechte Asymptote 
(x-Achse) für 
Bei allen anderen Funktionsarten benötigst Du den Grenzwert gegen plus und minus unendlich, um herauszufinden, ob und an welcher Stelle eine waagrechte Asymptote existiert.
Mit diesem Wissen lässt sich nun herausfinden, an welcher Stelle die e-Funktion 
eine Asymptote hat.
Da es sich hier nicht um einen Bruch handelt, benötigst Du den Grenzwert von f(x) für x gegen plus und minus unendlich.
Wenn Du eine sehr kleine Zahl für x einsetzt, läuft f(x) gegen 0, das heißt es existiert eine waagrechte Asymptote bei 
, also genauer gesagt, die x-Achse ist die Asymptote.
Abbildung 4: waagrechte Asymptote der e-Funktion
Der Grenzwertberechnung kannst Du auch entnehmen, dass sich f(x) nur im negativen Bereich der Asymptote annähert.
Und auch an gebrochen-rationalen Funktionen kannst Du Dich nun einmal versuchen.
Gegeben sind:
Für eine erste Überprüfung, ob waagrechte Asymptoten existieren, kannst Du die oben angesprochenen Regeln verwenden:
.Um also die Lage der waagrechten Asymptote von g(x) herauszufinden, bildest Du wieder den Grenzwert von g(x) für x gegen plus und minus unendlich.
Der Grenzwert beträgt also 1 für beide Seiten. Das heißt, die waagrechte Asymptote von g(x) liegt bei 
.
Abbildung 5: waagrechte Asymptoten zu f(x), g(x) und h(x)
Wenn Du Dir den Graphen von f(x) im letzten Beispiel genauer anschaust, fällt Dir vielleicht auf, dass er zwar keine waagrechte Asymptote besitzt, es aber so aussieht, als könne man dennoch eine Gerade einzeichnen, an die er sich annähert.
Diese Gerade ist dann weder senkrecht noch waagrecht. Es handelt sich also um eine schiefe bzw. schräge Asymptote.
Eine schiefe Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form 
.
Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f(x) gilt: 
Das bedeutet, der Graph der Funktion f(x) nähert sich für 
immer mehr der Geraden 
an.
Zur Bestimmung einer schiefen Asymptote wird die Polynomdivision genutzt. Dabei wird der Zähler durch den Nenner geteilt.
Manchmal kannst Du auch auf die Schreibweise y=mx+b stoßen. Sie ist aber dasselbe wie y=mx+t.
Besonderheiten:
Das heißt, Du erhältst die Geradengleichung einer schiefen Asymptote, indem Du den Zähler durch den Nenner teilst. Also genau in der Reihenfolge, wie Du auch sonst einen Bruch auflösen würdest.
Um die schiefe Asymptote der Funktion 
herauszufinden, teilst Du also den Zähler durch den Nenner.
Bei einer Polynomdivision schaust Du in mehrere Etappen, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Es unterscheidet sich im Prinzip nicht großartig vom schriftlichen Dividieren.
In diesem Fall kannst Du den Nenner mit x multiplizieren, damit Du das x2 eliminierst. Den Nenner, den Du erhältst, wenn Du ihn mit x multiplizierst, ziehst Du dann vom Zähler ab und wiederholst das Ganze für den neuen Zähler. Sobald der Zählergrad kleiner ist, als der Nennergrad, kannst Du das Restglied als Bruch hinter die neue Gleichung schreiben, denn es wird für sehr große x-Werte 0 und kann im Fall der Asymptotenberechnung vernachlässigt werden.
Genaueres findest Du im Artikel zur Polynomdivision.
In diesem Fall entsteht ein kleiner Rest, aber da er für sehr große Werte gegen null läuft, kannst Du ihn weglassen. Die Geradengleichung Deiner schiefen Asymptote lautet also: 
Abbildung 6: schräge Asymptote zu f(x)
Vorerst waren das alle Arten von Asymptoten, die in der Schule vorkommen. Falls es Dich interessiert, gibt es aber noch eine weitere Form.
Manche Funktionen nähern sich einer Linie an, die keine Gerade darstellt.
Gebrochen-rationale Funktionen, deren Zählergrad um 2 höher ist, als der Nennergrad, nähern sich einer kurvenförmigen Asymptote, also streng genommen einer anderen Funktion an. Für die Ermittlung des Funktionsterms benötigst Du wieder die Polynomdivision.
Wie der Name schon sagt, hat eine kurvenförmige Asymptote eine Kurve. Da der Zählergrad immer um 2 höher ist, als der Nennergrad, resultiert aus der Polynomdivision eine Parabel.
Um also die Asymptote der Funktion 
zu berechnen, wendest Du wieder die Polynomdivision an.
Den hinteren Teil kannst Du wieder weglassen.
Die Funktionsgleichung der Asymptote lautet also 
.
Abbildung 7: kurvenförmige Asymptote zu f(x)
Nun hast Du alle Arten von Asymptoten kennengelernt und vielleicht ist Dir aufgefallen, dass sie Dir helfen, den zugehörigen Funktionsgraphen schneller zu skizzieren, als wenn Du konkrete Werte berechnen müsstest.
Skizziere den Graph f(x) zu folgenden Asymptoten:
Abbildung 8: Asymptoten von f(x)
Die Grenzwerte lauten:
Anhand der Grenzwerte kannst Du erkennen, dass:
Daraus kannst Du schließen, dass der Graph keine durchgezogene Linie ist, sondern Du zwei Linien ziehen musst, da die Annäherung an 1 sowohl für negative, als auch für positive Werte stattfindet, bei 2 aber eine senkrechte Asymptote existiert, die den Graphen von f(x) unterbricht. Außerdem weißt Du, dass der Graph links der Asymptote nach plus unendlich geht, daher nähert er sich der waagrechten Asymptote von oben an.
Genau umgekehrt verhält es sich mit den Werten rechts der senkrechten Asymptote.
Abbildung 9: Skizze von f(x) anhand der Asymptoten
Wenn Du nun eine Funktionsgleichung gegeben hast und die Asymptoten bestimmen sollst, kannst Du folgendermaßen vorgehen:
für 
(x-Achse) für 
Nun kennst Du alle Arten von Asymptoten und kannst testen, ob Du alles verstanden hast!
Aufgabe 1
Beurteile, ob bei folgenden Funktionsgleichungen eine waagrechte Asymptote vorliegt.
Lösung
.
Abbildung 10: Skizze der Graphen f(x), g(x) und h(x)
Aufgabe 2
Berechne die Lage der waagrechten Asymptote von 
.
Lösung
Um die genaue Lage der waagrechten Asymptote zu bestimmen, setzt Du in die Funktion einen sehr großen und einen sehr kleinen x-Wert ein und erhältst so den Wert, gegen den sie läuft.
Du siehst, h(x) läuft sowohl im negativen als auch im positiven Bereich gegen 1. Die waagrechte Asymptote liegt also bei 
.
Abbildung 11: Skizze von h(x) mit waagrechter Asymptote
Aufgabe 3
Hat folgende Funktion eine oder mehrere Asymptoten? Berechne, wenn nötig und fertige eine Skizze an.
Lösung
1.
Es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion. Es können also senkrechte, waagrechte und schräge Asymptoten auftreten. Eine kurvenförmige Asymptote kannst Du ausschließen, da der Zählergrad nur um 1 höher ist, als der Nennergrad.
2.
Die Definitionsmenge definiert sich zu:
.
Der Grenzwert gegen diese beiden Werte sagt Dir, dass es eine senkrechte Asymptote bei 
und bei 
gibt:
3.
Weiter geht's mit der waagrechten Asymptote. Da der Zählergrad höher ist, als der Nennergrad, gibt es hier allerdings keine.
4.
Wie gerade schon festgestellt, ist der Zählergrad um 1 höher als der Nennergrad. Es könnte also eine schiefe Asymptote vorliegen. Zur Bestimmung wendest Du die Polynomdivision an:
Diese Rechnung kannst Du vermutlich endlos weiterführen, aber Du brauchst ja ohnehin nur den vorderen Teil, denn sobald der Zählergrad kleiner ist, als der Nennergrad, wird dieses Glied für große x-Werte ohnehin null und kann daher vernachlässigt werden. Die Gleichung Deiner schiefen Asymptote lautet also: 
5.
Nun hast Du alle Asymptoten gefunden und kannst den Graphen von f(x) skizzieren. Dabei helfen Dir die Grenzwertberechnungen von den senkrechten Asymptoten, denn daran siehst Du, in welche Richtung die Graphen jeweils links und rechts der Asymptoten verlaufen.
Abbildung 12: Skizze von f(x) mit sämtlichen Asymptoten
für 
(x-Achse) für 
Die Gleichung einer Asymptote gibt den Verlauf der Asymptote an. Es ist also ein Funktionsterm. Je nachdem, ob es sich um eine waagrechte, senkrechte oder schiefe/kurvenförmige Asymptote handelt, kannst Du sie unterschiedlich angeben.
Eine Funktion hat eine Asymptote, wenn sie eine Definitionslücke hat, oder aus einem Bruch mit bestimmten Zähler- und Nennergraden besteht. Es gibt bestimmte Regeln, anhand derer Du erkennen kannst, ob und wenn ja, welche Asymptote vorliegt.
Asymptoten kannst Du anhand der Definitionslücken, dem Grenzwert und mittels Polynomdivision ermitteln.
Funktionen, die einen linearen Verlauf haben, haben keine Asymptoten.
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