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Asymptote

Asymptote

Die Asymptote kennzeichnet einen Bereich, den ein Funktionsgraph nicht schneidet, sondern dem er sich unendlich weit annähert. Dabei gibt es die horizontale bzw. waagrechte Asymptote, die senkrechte Asymptote und die schiefe bzw. schräge Asymptote. Jede Asymptote kannst Du berechnen bzw. bestimmen oder ablesen. Die genaue Definition einer Asymptote und wie Du sie berechnen kannst, erfährst Du hier.

Asymptote Definition

Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne ihn jemals zu erreichen. Der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraphen und der Asymptote wird unendlich klein.

In Ausnahmefällen kann eine Asymptote auch geschnitten werden, da sie sich nur auf das Verhalten im Unendlichen bezieht. Somit kann also ein Schnittpunkt an einem bestimmten Wert bestehen.


Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:

waagrechte/horizontale Asymptotesenkrechte Asymptoteschiefe/schräge Asymptotekurvenförmige Asymptote
Asymptotengleichung:\(y=k\)Asymptotengleichung:\(x=k\)Asymptotengleichung:\(y=mx+t\)Asymptotengleichung:\(y=ax^2+bx+c\)
Bedingung:\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k\)

Bedingung:

\(\lim\limits_{x\to k}f(x)=\pm\infty\)

\(k=\text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}\)

Bedingung:

\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad}=\text{Nennergrad}+1\)

\(\rightarrow\text{Poly}\text{nomdivision}\)

Berechnung mit\(\text{Poly}\text{nomdivision}\)

Die kurvenförmige Asymptote wird hier nicht behandelt, gehört aber dennoch zu den Asymptoten.

Waagrechte Asymptote berechnen (Asymptote horizontal)

Eine waagrechte/horizontale Asymptote wird mit \(y=k\) oder \(g(x)=k\) angegeben.

  • Für die Berechnung wird der Limes gegen \(\pm\infty\) gebildet.
  • Der resultierende Wert ist \(k\).
  • Die waagrechte Asymptote entspricht dem Wert, gegen den der Limes läuft.

Bei gebrochen rationalen Funktionen können waagrechte Asymptoten auftreten, es gibt aber nicht immer welche. Ob eine gebrochen rationale Funktion eine waagrechte Asymptote hat, erkennst Du, wenn Du den Grad des Zählers und den Grad des Nenners miteinander vergleichst.

Verhältnis Zähler und NennerAsymptoteBeispiel
\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} > \text{Nennergrad}\)keine waagrechte Asymptote\begin{align} f(x)=\frac{x^2}{x-1}\begin{cases}\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\end{cases}\end{align}
\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} = \text{Nennergrad}\)waagrechte Asymptote bei \(y=k\)\begin{align} g(x)=\frac{x}{x-1}\begin{cases}\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=1\\\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=1\end{cases}\end{align}
\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} < \text{Nennergrad}\)waagrechte Asymptote bei \(y=0\)\begin{align} h(x)=\frac{x}{x^2-1}\begin{cases}\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=0\end{cases}\end{align}

Mehr zu dieser Funktionsart erfährst Du in der Erklärung "gebrochen rationale Funktionen".

Bei allen anderen Funktionsarten benötigst Du den Grenzwert gegen plus und minus unendlich, um herauszufinden, ob und an welcher Stelle eine waagrechte Asymptote existiert.

Gegeben sind:

  1. \[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\]
  2. \[g(x)=\frac{x+1}{x-1}\]
  3. \[h(x)=\frac{x+1}{x^2-1}\]

Für eine erste Überprüfung, ob waagrechte Asymptoten existieren, kannst Du Zählergrad und Nennergrad vergleichen:

\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)

\(\color{bl}f(x)\)\(\color{gr}g(x)\)\(\color{r}h(x)\)
\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} > \text{Nennergrad}\)\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} = \text{Nennergrad}\)\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} < \text{Nennergrad}\)
keine waagrechte Asymptotewaagrechte Asymptote bei \(y=k\)waagrechte Asymptote bei \(y=0\)

Um die Lage der waagrechten Asymptote von \(\color{gr}g(x)\) herauszufinden, bildest Du den Grenzwert von \(\color{gr}g(x)\) für \(x\to\pm\infty\).

\begin{align} & \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=1 \\[0.2cm] & \lim\limits_{x\to\infty}g(x)=1 \end{align}

Der Grenzwert beträgt also \(1\) für beide Seiten. Das heißt, die waagrechte Asymptote von \(\color{gr}g(x)\) liegt bei \(\color{li}y=1\)

Asymptote waagrechte Asymptote horizontal berechnen StudySmarterAbb. 1 - Waagrechte Asymptote berechnen.

Wenn Du genau hinschaust, fällt Dir vielleicht auch, dass es hier nicht nur waagrechte, sondern auch senkrechte und eine schräge Asymptote gibt.

Senkrechte Asymptote berechnen

Eine senkrechte Asymptote wird mit \(x=k\) oder \(g(y)=k\) angegeben.

  • Für die Berechnung wird der Limes gegen die Definitionslücke gebildet.
  • Der resultierende Wert ist \(k\).
  • Die senkrechte Asymptote entspricht also dem Wert, gegen den der Limes läuft.

Eine senkrechte Asymptote tritt grundsätzlich nur an Definitionslücken auf.

Das kannst Du Dir an der Funktion \(f(x)=\dfrac{x^2-10}{x+1}\) anschauen.

Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{-1\}\).

Um nun zu überprüfen, ob es sich bei der gefundenen Definitionslücke um einen Grenzwert handelt, lässt Du die Funktion für \(x\) gegen \(-1\) laufen.

\begin{align} & \lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\infty \\[0.2cm] & \lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\end{align}

Beide Grenzwerte haben jeweils eine Lösung. Was sagt Dir das?

Bei \(\color{gr}x=-1\) existiert eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr sogar von beiden Seiten an, denn beide Grenzwerte gehen gegen unendlich. Genauer gesagt verläuft der Graph auf der linken Seite der Asymptote nach plus unendlich, also nach oben und auf der anderen Seite kommt er von minus unendlich, also von unten.

Asymptote senkrechte Asymptote berechnen StudySmarterAbb. 2 - Senkrechte Asymptote berechnen.

Sowohl in Abbildung 2, als auch in Abbildung 3 gibt es auch eine schiefe Asymptote. Hier siehst Du, wie Du sie berechnest.

Schiefe/schräge Asymptote (Gleichung Asymptote)

Eine schräge/schiefe Asymptote wird mit \(y=mx+t\) oder \(g(x)=mx+t\) angegeben. Das bedeutet, der Graph einer Funktion nähert sich für \(x\to\pm\infty\) immer mehr einer Geraden mit der Gleichung \(y=mx+t\) an.

Zur Bestimmung einer schrägen Asymptote wird die Polynomdivision genutzt.

Manchmal kannst Du auch auf die Schreibweise \(y=mx+b\) stoßen. Sie ist aber dasselbe wie \(y=mx+t\).

Besonderheiten schräge Asymptote:

  • Sie tritt nur in gebrochen rationalen Funktionen auf, deren Zählergrad um genau eins höher ist als ihr Nennergrad.
  • Eine Funktion kann höchstens eine schiefe Asymptote besitzen.
  • Eine schiefe und waagrechte Asymptote können nie gleichzeitig vorkommen, dafür aber eine senkrechte und eine schiefe Asymptote.

Um die schräge Asymptote der Funktion \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}\) herauszufinden, wendest Du die Polynomdivision an.

\begin{aligned} &(x^2+1):(x+1)=x+1{\color{grey}+\frac{2}{x+1}} \\ - \; & \underline{(x^2+x)\quad\;\;} \\ & \quad\;\, (-x+1)\\ - \; & \quad\;\, \underline{(-x-1)} \\ & \qquad \qquad \; \, 2 \end{aligned}

Wie das geht, findest Du in der Erklärung zur Polynomdivision.

In diesem Fall entsteht ein kleiner Rest, da er aber für sehr große Werte gegen null läuft, kannst Du ihn weglassen. Die Gleichung Deiner schrägen Asymptote lautet somit: \(\color{gr}y=x+1\).

Asymptote schräge Asymptote schiefe Asymptote StudySmarterAbb. 3 - Schräge/schiefe Asymptote berechnen.

Asymptote angeben & ablesen

Willst du eine Asymptote aus einem Graphen ablesen und angeben, dann schaust Du, welchem Bereich sich der Graph annähert.

  • senkrechte Asymptote: \(x\)-Wert im Koordinatensystem ablesen
  • waagrechte Asymptote: \(y\)-Wert im Koordinatensystem ablesen
  • schiefe Asymptote: Steigungsdreieck bestimmen

Finde die Asymptoten von \(\color{bl}f(x)\):

Asymptote ablesen angeben StudySmarterAbb. 4 - Asymptote ablesen.

Nimm dazu ein Lineal und versuche, gerade Linien zwischen die Linien des Graphen von \(\color{bl}f(x)\) zu ziehen.

Asymptote ablesen angeben StudySmarterAbb. 5 - Asymptote angeben.

\(\color{bl}f(x)\) hat also zwei senkrechte Asymptoten bei \(\color{gr}x_1\approx-1{,}7\) und \(\color{gr}x_2\approx1{,}7\) und eine schräge Asymptote mit \(\color{gr}y=x\).

Asymptote – Das Wichtigste

  • Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne ihn jemals zu erreichen. Der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote wird unendlich klein.
  • Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
waagrechte/horizontale Asymptotesenkrechte Asymptoteschräge/schiefe Asymptotekurvenförmige Asymptote
\(y=k\)\(x=k\)\(y=mx+t\)\(y=ax^2+bx+c\)
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}=k\)\(\lim\limits_{x\to k}=\pm\infty\)\(k = \text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}\)\(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad}=\text{Nennergrad}+1\)\(\rightarrow\text{Poly}\text{nomdivision}\)

\(\text{Poly}\text{nomdivision}\)

  • Asymptote berechnen:
    1. Bestimme die Funktionsart: lineare, konstante und trigonometrische Funktionen haben keine Asymptoten
    2. Bestimme die Definitionsmenge und bilde den Grenzwert zur Definitionslücke, um zu sehen, ob es sich wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt

    3. Bilde den Grenzwert gegen unendlich, um eventuelle waagrechte Asymptoten zu finden. Für gebrochen-rationale Funktionen gelten folgende Regeln:

      • \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} > \text{Nennergrad}:\) keine waagrechte Asymptote

      • \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} = \text{Nennergrad}:\) waagrechte Asymptote bei \(y=k\) für \(x\to\pm\infty\)

      • \(\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hlergrad} < \text{Nennergrad}:\) waagrechte Asymptote bei \(y=0\) für \(x\to\pm\infty\)

    4. Hat Deine Funktion eine waagrechte Asymptote, bist Du hier fertig. Andernfalls könnte sie noch eine schiefe Asymptote haben. Diese tritt bei gebrochen-rationalen Funktionen auf, deren Zählergrad um \(1\) höher ist als der Nennergrad.

Nachweise

  1. http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/abi12/abi-Asy.pdf
  2. Hensel, Marc (2012), Kurvendiskussion Lern- und Übungsbuch für die Abiturprüfung Mathematik, 2. erweiterte Ausgabe
  3. Forseth, Krystle Rose et al. (2010), Grundlagen der Analysis für Dummies, 1. Auflage

Häufig gestellte Fragen zum Thema Asymptote

Die Gleichung einer Asymptote gibt den Verlauf der Asymptote an. Es ist also ein Funktionsterm. Je nachdem, ob es sich um eine waagrechte, senkrechte oder schiefe/kurvenförmige Asymptote handelt, kannst Du sie unterschiedlich angeben.

  • senkrecht: x=k oder f(y)=k
  • waagrecht: y=k oder f(x)=k
  • schief und kurvenförmig: y=mx+t oder f(x)=mx+t

Eine Funktion hat eine Asymptote, wenn sie eine Definitionslücke hat, oder aus einem Bruch mit bestimmten Zähler- und Nennergraden besteht. Es gibt bestimmte Regeln, anhand derer Du erkennen kannst, ob und wenn ja, welche Asymptote vorliegt.

Asymptoten kannst Du anhand der Definitionslücken, dem Grenzwert und mittels Polynomdivision ermitteln.

Funktionen, die einen linearen Verlauf haben, haben keine Asymptoten.

Die Asymptote sagt aus, an welchen Wert sich der Graph im Unendlichen annähert, ihn aber nicht erreicht.

Finales Asymptote Quiz

Frage

Was ist eine Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich ein Funktionsgraph unendlich nah annähert, sie aber nie schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Wie erkennst Du eine Definitionslücke?

Antwort anzeigen

Antwort

Definitionslücken entstehen, wenn es für einen \(x\)-Wert keinen zugehörigen \(y\)-Wert gibt, weil die Funktion mit diesem Wert nicht berechnet werden kann. Das passiert beispielsweise, wenn der Nenner \(0\) wird oder ein Minus unter der Wurzel steht.

Frage anzeigen

Frage

Gib den Definitionsbereich für folgende Funktion an:

\[f(x)=\frac{5x^3}{x^2-1}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{-1;1\}\]

Frage anzeigen

Frage

Welche Funktionsarten können Asymptoten haben?

Antwort anzeigen

Antwort

lineare Funktion

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Definitionslücke immer auch eine senkrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Um sicherzugehen, dass es sich bei einer gefundenen Definitionslücke wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt, kannst Du den Grenzwert gegen diesen Wert bilden. Erhältst Du plus oder minus unendlich als Ergebnis, ist es wirklich eine Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Woran erkennst Du, ob eine gebrochen rationale Funktion waagrechte Asymptoten hat?

Antwort anzeigen

Antwort

Indem ich Zähler- und Nennergrad miteinander vergleiche.

Frage anzeigen

Frage

Wann hat eine gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Nennergrad entweder genauso groß oder größer als der Zählergrad ist, existiert eine waagrechte Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Welche Asymptoten können gemeinsam auftreten?

Antwort anzeigen

Antwort

senkrecht und waagrecht

Frage anzeigen

Frage

Welche Asymptoten könnte die Funktion \(f(x)=\dfrac{5x^3+x^2-x}{x^4+5x}\) haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Es könnte eine senkrechte Asymptote bei \(x=-\sqrt[3]{5}=-1{,}71\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y=0\) vorliegen.

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob an der Definitionslücke der Funktion \(f(x)=\dfrac{5x^3-x^2-x}{x^4+5x}\) eine senkrechte Asymptote vorliegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, es existiert eine senkrechte Asymptote an der Definitionslücke.

Frage anzeigen

Frage

Es wird behauptet, eine Parabel hätte eine senkrechte Asymptote bei \(x=0\). Stimmt das?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Eine Parabel hat keine Asymptote, da es keinen Wert gibt, an den sie sich annähert.

Frage anzeigen

Frage

Hat die Funktion \(f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)(x+1)}{(x+3)^2}\) eine waagrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da der Zählergrad höher ist, als der Nennergrad. Du kannst das auch überprüfen, indem Du \(\infty\) für \(x\) einsetzt. Grob zusammengefasst ergibt das \(\frac{\infty^3}{\infty^2}\) und das ergibt unendlich. Es existiert also keine waagrechte Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Berechne alle Asymptoten von \(f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)(x+1)}{(x+2)^2}\).

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph von \(f(x)\) hat eine senkrechte Asymptote bei \(x=2\) und eine schräge Asymptote mit \(y=x-3\).

Frage anzeigen

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