Ableitung Potenzfunktion

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Mithilfe von Ableitungsregeln kann die Ableitung einer Funktion bestimmt werden. Einer der Ableitungsregeln ist die Potenzregel. Diese gilt für rationale Exponenten, e-Funktionen, Wurzeln oder beispielsweise bei einem Bruch. In dieser Erklärung lernst Du die verallgemeinerte Potenzregel, den Beweis und noch vieles mehr.

verallgemeinerte Potenzregel – Ableitung

Mit der sogenannten Potenzregel kannst Du eine Potenzfunktion $f(x) = x^n$ ableiten. Abgesehen davon kannst Du mit der Kombination von Potenz- und Summenregel auch eine Polynomfunktion $f(x) = a \cdot x^n + b \cdot x^{n-2} + c \cdot x^{n-3} + d$ ableiten.

Die Potenzregel lautet folgendermaßen:

\begin{align} f(x) &= x^n \\ f'(x) &= n \cdot x^{n-1} \end{align}

In der Praxis kann dies dann beispielsweise so aussehen:

Aufgabe 1

Berechne die Ableitung $f'(x)$ einer Potenzfunktion

\[f(x) = 5 \cdot x^3\]

Lösung

Hier gehst Du so vor, dass Du den Exponenten, in diesem Fall ${\color{#1478c8}3}$, vor die Potenz ziehst.

\[f(x) = 5 \cdot x^{\color{#1478c8}3} \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, 5 \cdot {\color{#1478c8}3} \cdot x^3\]

So ist diese Rechnung jedoch noch nicht richtig, da der Exponent jetzt um $1$ verkleinert werden muss.

\[f'(x) = 5 \cdot 3 \cdot x^{3 - {\color{#00dcb4}1}}\]

Merke!

Wenn der Exponent negativ ist, so musst Du beim Vorziehen das Vorzeichen mitnehmen. Achte beim Verkleinern des Exponenten dann besonders darauf, dass der Exponent wirklich kleiner wird. Beispielweise gilt dann Folgendes:

\[f(x) = 2\cdot x^{-4} \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, f'(x) = -8 \cdot x^{-5}\]

Zum Schluss kannst Du noch die Rechnungen durchführen.

\[f'(x) = 15 \cdot x^{\color{#00dcb4}2}\]

Und schon hast Du die Funktion abgeleitet.

\begin{align}f(x) &= 5 \cdot x^3 \\ f'(x) &= 15 \cdot x^2\end{align}

Ableitung Potenzregel für rationale Exponenten

Die Grundregeln des Ableitens mit der Potenzregel hast Du jetzt schon kennengelernt. Nun können Potenzfunktionen jedoch nicht nur natürliche Zahlen im Exponenten haben, sondern beispielsweise auch Brüche oder Wurzeln. Auch in diesen Fällen kannst Du mit der Potenzregel die Ableitung der Funktion bilden.

Potenzregel Ableitung – Bruch

Wenn ein Bruch im Exponenten der Potenz steht, so unterscheidet sich Dein Vorgehen zur Ableitung der Funktion eigentlich nicht. Du musst nur etwas vorsichtig sein, wenn Du den Exponenten im zweiten Schritt um eins verkleinerst.

Ein Beispiel kann wie folgt lauten:

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung $f'(x)$ zu folgender Potenzfunktion:

\[f(x) = 3 \cdot x^{\frac{7}{6}}\]

$f (x) = x^{3}$

Lösung

Als Erstes zeihst Du wieder den Exponenten vor die Potenz. Dass der Exponent in diesem Fall ein Bruch ist, ändert nichts an Deinem Vorgehen.

\[f(x) = 3 \cdot x^{{\color{#1478c8}\frac{7}{6}}} \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, f(x) = 3 \cdot {\color{#1478c8}\frac{7}{6}} \cdot x^{{\color{#1478c8}\frac{7}{6}}}\]

\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) \cdot (x^{2} + 2 x h + h^{2}) - x^{3}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + 2 x^{2} h + x h^{2} + x^{2} h + 2 x h^{2} + h^{3} - x^{3}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{3}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}) \\ = & 3 x^{2} \end{array}

Im nächsten Schritt verkleinerst Du dann den Bruch um $1$.

\[f'(x) = 3 \cdot \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6}-1}\]

Wenn Du jetzt die Rechnung durchführst, musst Du $1$ als Bruch umschreiben und so erweitern, dass Du die Subtraktion durchführen kannst.

\[f'(x) = 3 \cdot \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6} - \frac{6}{6}} = 3 \cdot \frac {7}{6} \cdot x^{\frac{1}{6}}\]

Jetzt kannst Du noch die Vorfaktoren multiplizieren und schon bist Du fertig.

\[f'(x) = \frac{3}{1} \cdot \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{1}{6}} = \frac{21}{6} \cdot x^{\frac{1}{6}}\]

Ableitung Potenzregel – Wurzel

Da Wurzeln auch zu Potenzen mit Brüchen im Exponenten umgewandelt werden können, kannst Du automatisch auch die Ableitung von Wurzeln bilden.

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung $f(x)$ folgender Potenzfunktion:

\[f(x) = 7 \cdot x^\sqrt {6}\]

Lösung

Zuerst wandelst Du die Wurzel in einen Bruch um. Dabei gilt die Regel, dass der Wurzelexponent den Nenner und der Radikand die Basis darstellt. In den Zähler der Potenz wird der Exponent des Radikanden, in diesem Fall also $1$, geschrieben.

\[\sqrt[2]{6} = 6^{\frac{1}{2}}\]

Im nächsten Schritt kannst Du diese Potenzfunktion ableiten. Du ziehst $\frac{1}{2}$ also vor die $6$ und verkleinerst den Exponenten um eins.

\[f(x) = 7 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, f'(x) =\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6^{\frac{1}{2}-1}\]

Diese Rechnung kannst Du jetzt noch durchführen und dann hast Du schon die Ableitung der Wurzel gebildet.

\begin{align} f(x) &= 7 \cdot x^\sqrt{6} \\[0.2 cm] f'(x) &= 3{,}5 \cdot 6^{-\frac{1}{2}}\end{align}

Ableitungsregeln Potenzregel und Summenregel

Wie am Anfang bereits erwähnt, kannst Du die Potenzregel auch in Verbindung mit der Summenregel anwenden, wenn Du beispielsweise eine Polynomfunktion ableitest. Eine Polynomfunktion besteht aus mehreren Potenzfunktionen, welche mit einem Plus oder Minus verbunden sind. Die Summenregel erlaubt Dir dabei, die Potenzen einzeln abzuleiten und dann wieder zu verbinden.

Aufgabe 4

Leite die folgende Polynomfunktion ab:

\[f(x) = 5x^4 + x^{-2} - 2x + 9\]

Lösung

Du startest damit, die Potenzfunktionen einzeln abzuleiten. Wenn Du, wie hier bei der dritten Potenz, keine Hochzahl siehst, aber ein $x$ vorhanden ist, so kann das $x$ auch als $x^1$ geschrieben werden. Siehst Du kein $x$, wie beim vierten Summanden, so fällt dieser Faktor beim Ableiten immer weg.

\begin{align} 5 \cdot x^4 \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, 20 \cdot x^3 \\ x^{-2} \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, -2 \cdot x^{-3} \\ 2 \cdot x \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, 2 \\ 9 \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, 0 \end{align}

Anschließend fügst Du diese Ableitungen wieder mit den Verbindungszeichen aus der gegebenen Funktion zusammen.

\begin{align} f(x) &= {\color{#00dcb4}5x^4} {\color{#1478c8}+} {\color{#fa3273}x^{-2}} {\color{#1478c8}-} {\color{#8363e2}2x} {\color{#1478c8}+} {\color{#ffcd00}9} \\[0.2 cm] f'(x) &= {\color{#00dcb4}20x^3} {\color{#fa3273}-2x^{-3}} {\color{#1478c8}-} {\color{#8362e2}2} {\color{#1478c8}+} {\color{#ffcd00}0}\end{align}

Ableitung Potenzregel – e-Funktion

Wenn Du an die e-Funktion denkst, so denkst Du vielleicht, dass diese ebenfalls mit der Potenzregel abgeleitet wird. Dies ist jedoch nicht der Fall, da die Potenzregel nur für Potenzfunktionen gilt, bei welchen immer das $x$ die Basis und nicht den Exponenten, darstellt.

Es gibt jedoch einen Fall, bei welchem Du in Verbindung mit der e-Funktion die Potenzregel anwenden kannst. Ein Beispiel für diesen Fall kann so aussehen:

\[f(x) = e^{3x^2}\]

Hast Du eine e-Funktion gegeben, welche eine weitere Potenz im Exponenten hat, so teilst Du die Funktion in eine innere und äußere Funktion auf.

\[f(x) = {\color{#00dcb4}e}^{\color{#1478c8}{3x^2}}\]

Diese leitest Du dann anschließend einzeln ab.

\begin{align}{\color{#00dcb4}e^x \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, e^x} \\[0.2 cm] {\color{#1478c8}3x^2 \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, 6x}\end{align}

Zum Schluss fügst Du die beiden Funktionen dann wieder zusammen.

\begin{align} f(x) &= e^{3x^2} \\ f'(x) &= e^{3x^2} \cdot 6x\end{align}

Die genauen Regeln zur Ableitung mit einer inneren und äußeren Funktion findest Du im Artikel Kettenregel.

Ableitung Potenzregel – Beweis

Zum Schluss hast Du jetzt noch die Möglichkeit zu erfahren, woher diese Regel eigentlich kommt, denn, wie alles in der Mathematik, kann diese Formel aus verschiedenen Zusammenhängen abgeleitet werden.

Um eine Potenzfunktion abzuleiten, gibt es grundsätzlich drei verschiedene Möglichkeiten:

die h-Methode
der Differenzialquotient
die Potenzregel

Zur Herleitung der Potenzregel wird wieder entweder die h-Methode oder der Differentialquotient verwendet. In diesem Beispiel siehst Du die Herleitung anhand der h-Methode.

Du kennst die h-Methode noch nicht? Dann lese Dir erst einmal den Artikel Differentialquotient durch.

Nach der h-Methode berechnet sich die Ableitung einer Funktion durch:

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Die allgemeine Form setzt Du in die Gleichung ein.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} \end{array}$

Du kannst die binomische Formel nicht eindeutig berechnen, da Du nicht weißt, welchen Wert n hat. In der Berechnung der Ableitung mit der h-Methode am Anfang und in der Idee der Herleitung fällt auf, dass beim Auflösen alle Summanden, die zwischen dem ersten und letzten Summanden stehen, ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{x^{n} + n \cdot x^{n - 1} \cdot h + \dots + n \cdot x \cdot h^{n - 1} + h^{n} - x^{n}}{h} \end{array}$

Nun kannst Du $x^{n}$ voneinander abziehen. Im Zähler stehen also nur Summanden, die ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \lim_{h \to 0} \frac{n \cdot x^{n - 1} \cdot h + \dots + n \cdot x \cdot h^{n - 1} + h^{n}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (n \cdot x^{n - 1} + \dots + h^{n - 1})}{h} \end{array}$

Jetzt kannst Du im Zähler und Nenner das h wegkürzen und die Grenzwertsätze anwenden. Da h nur noch im Zähler ist, kannst Du das einsetzen. Somit fällt jeder Summand weg, außer dem Ersten.

Die Grenzwertsätze erlauben Dir, Aussagen über den Limes zu treffen. Mehr dazu im Artikel über das Verhalten im Unendlichen!

$f' (x) = \lim_{h \to 0} (n \cdot x^{n - 1} + \dots) = n \cdot x^{n - 1}$

Summenschreibweise

Die Schreibweise und auch die Ausdrucksweise mit den drei Punkten, also dass nur gesagt wird, um was es sich bei den Summanden handelt, ist mathematisch gesehen, nicht richtig. Eigentlich musst Du das als Summenschreibweise auflösen:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{[\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} \cdot h^{k}] - x^{n}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{[\sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} \cdot h^{k}] + x^{n} - x^{n}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} \cdot h^{k}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot \sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} \cdot h^{k - 1}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} \cdot h^{k - 1} \\ = & (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} \cdot h^{1 - 1} + \lim_{h \to 0} \sum_{k = 2}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} \cdot h^{k - 1} \\ = & n \cdot x^{n - 1} \cdot h^{0} + 0 \\ = & n \cdot x^{n - 1} \end{array}$

Ableitung Potenzfunktion– Das Wichtigste auf einen Blick

Die Potenzregel ist eine wichtige Ableitungsregel.
Die Potenzregel lautet:
- $f (x) = x^{n} \Rightarrow f' (x) = n \cdot x^{n - 1}$
- Schreibe den Exponenten als Multiplikation vor das x und subtrahiere 1 vom Exponenten.
Brüche oder negative Zahlen im Exponenten können auch mit dieser Formel berechnet werden.
Brüche im Exponenten bedeuten, dass es sich eigentlich um eine Wurzelfunktion handelt, Du diese aber als Potenzfunktion schreiben kannst.
Die Potenzregel kann mit der h-Methode hergeleitet werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ableitung Potenzfunktion

Die Potenzregel ist eine Ableitungsregel für Funktionen, sodass Dir die Berechnung leichter fällt.

Du kannst die Potenzregel immer dann verwenden, wenn du eine Potenzfunktion gegeben hast beziehungsweise die Funktion aus Summanden besteht, die Potenzfunktionen sind.

Du schreibst den Exponenten als Multiplikation vor die Potenz (also vor das x) und ziehst von dem Exponenten 1 ab.

Die Steigung einer Funktion ist die Ableitungsfunktion der gegebenen Funktion. Also musst du die Potenzfunktion ableiten.

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Auf welche Funktionen kannst du die Potenzregel anwenden?

Die Potenzregel kannst du bei Potenzfunktionen verwenden oder wenn du eine Wurzelfunktion gegeben hast, die du in eine Potenzdarstellung überführst.

Beschreibe die Potenzregel in eigenen Worten!

Du schreibst den Exponenten als Multiplikation vor das x und ziehst vom Exponenten 1 ab.

Kannst du Wurzeln als Potenz schreiben?

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Ableitung Potenzfunktion

Was ist die Potenzregel?

Wann wendet man die Potenzregel an?

Wie leitet man Potenzfunktionen ab?

Wie berechnet man die Steigung einer Potenzfunktion?

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