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Ableitung Potenzfunktion

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Mathe

Mithilfe verschiedener Ableitungsregeln kannst Du auf viele Arten die Ableitung einer Funktion bestimmen. Die Potenzregel zum Ableiten von Potenzfunktionen ist dabei eine derjenigen, die Du am häufigsten benötigen wirst.

Ableitung Potenzfunktion – Grundlagenwissen

Potenzfunktionen sind unter anderem Funktionen wie die Normalparabel oder die Winkelhalbierende durch den ersten Quadranten. Sie bestehen aus einem Vorfaktor a und einem potenzierten x.

Potenzfunktionen sind von der allgemeinen Form:

f(x)=a·xb ,wobei a,b und b0

In der Formel stehen die Buchstaben a und b als Platzhalter für beliebige reelle Zahlen, wobei b nicht 0 sein darf.

Folgendes sind Potenzfunktionen. Das erkennst Du daran, dass es nur eine Potenz und eventuell einen Vorfaktor gibt:

fx=x2g(x)=2x4h(x)=-13x-2i(x)=x16

Die Potenzregel kann nicht nur zur Berechnung der Ableitung von Potenzfunktionen verwendet werden, sondern auch zur Berechnung der Ableitung von Polynomfunktionen. Dazu verwendest Du die Potenzregel und die Summenregel.

Ableiten der Potenzfunktion – Erklärung und Methoden

Um eine Potenzfunktion abzuleiten, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:

  • die h-Methode
  • der Differenzialquotient und
  • die Potenzregel.

Bevor Du die Potenzregel kennenlernst, siehst Du im Folgenden die Ableitung mit der h-Methode.

Potenzfunktion mit der h-Methode ableiten

Anhand der Beispielaufgabe kannst Du die Ableitung einer Potenzfunktion mit der h-Methode nachvollziehen.

Aufgabe 1

An dieser Stelle wird die Ableitung der folgenden Potenzfunktion mit der h-Methode berechnet.

fx=x3

Lösung

Nach der h-Methode berechnet sich die Ableitung einer Funktion durch:

f'x=limh0fx+h-fxh

Du setzt also erst einmal die Funktion ein.

f'x=limh0fx+h-fxh=limh0x+h3-x3h

Anschließend wird der Term durch Termumformungen so umgestellt und vereinfacht, dass Du zum Schluss den Grenzwert einsetzen kannst:

f'(x)=limh0x+h3-x3h=limh0x+h·x2+2xh+h2-x3h=limh0x3+2x2h+xh2+x2h+2xh2+h3-x3h=limh0x3+3x2h+3xh2+h3-x3h=limh03x2h+3xh2+h3h=limh0h·3x2+3xh+h2h=limh03x2+3xh+h2=3x2

Potenzregel – Definition

Die Berechnung mit der h-Methode oder dem Differentialquotienten ist sehr lang und kann auch schnell kompliziert werden. Daher kannst Du Dich an die Potenzregel halten und diesen langen Rechenweg umgehen.

Eine Potenzfunktion lässt sich folgendermaßen ableiten:

fx=xn f'x=n·xn-1

In Worten bedeutet das:

  1. Schreibe den Exponenten n der Funktionf(x) als Multiplikation vor das x.
  2. Subtrahiere vom Exponenten 1.

Die Potenzregel bei ganzzahligen Exponenten

Es lassen sich zwei Typen bei der Anwendung der Potenzregel unterscheiden. Im Folgenden wird Dir an einem Beispiel erklärt, wie Du die Potenzregel bei ganzzahligen Exponenten anwenden kannst. Im nächsten Abschnitt wird die Anwendung der Potenzregel bei Brüchen besprochen.

Aufgabe 2

Betrachtet wird das gleiche Beispiel von oben, also:

fx=x3

Lösung

Diesmal kannst Du einfach die Potenzregel anwenden, also:

fx=x3f'x=3·x3-1=3x2

Und wieder kommst Du auf das gleiche Ergebnis!

Um diese Regel weiter zu festigen, folgen noch zwei weitere Beispiele.

Aufgabe 3

fx=2x2

Bei dieser Aufgabe ist diesmal noch ein Vorfaktor gegeben. Diesen kannst Du aber mehr oder weniger ignorieren, indem Du die Faktorregel anwendest und diesen vorne multiplikativ stehen lässt.

Lösung

fx=2·x2f'x=2·2·x2-1=4x1=4x

Die Faktorregel erlaubt es, Konstanten, die als Faktor vor dem x stehen, beizubehalten und diese nicht ableiten zu müssen.

fx=2·x f'x=2

Es kann natürlich auch auftreten, dass die Exponenten nicht immer positiv, sondern auch mal negativ sind. Die Berechnung ist aber die Gleiche.

Aufgabe 4

fx=x-2

Lösung

fx=x-2f'x=-2·x-2-1=-2x-3

Wenn Du zwei negative Zahlen subtrahierst, wird die Zahl auch kleiner! Häufig passiert es, dass aus der minus 2 eine minus 1 wird, was falsch wäre!

Anwendung der Potenzregel bei der Ableitung von Brüchen

Nicht immer sind die Exponenten der Potenzfunktion ganzzahlig, sondern können auch in Brüchen dastehen beziehungsweise als Wurzelfunktion geschrieben sein. Als kleine Erinnerung: Es gibt ein Wurzelgesetz, das uns erlaubt, eine Wurzel als Potenz und umgekehrt zu schreiben.

Das Wurzelgesetz lautet:

amn=amn

In der Anwendung sieht das dann so aus:

x=x12x23=x23

Wenn Du also eine Potenz gegeben hast, wo der Exponent ein Bruch ist, dann handelt es sich dabei eigentlich um eine Wurzel! Das ist aber nicht weiter schlimm, denn wenn Du die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion umwandelst, kannst Du die Potenzregel wieder verwenden!

Aufgabe 5

Berechne die Ableitung der Funktion mit einem Bruch als Exponenten!

fx=x34

Lösung

Du kannst wie gerade eben rechnen, also den Exponenten mit Multiplikation vor das x schreiben und vom Exponenten 1 abziehen.

fx=x34f'(x)=34·x34-1=34x-14

Wenn Du im Exponenten 1 abziehst, kannst Du das im Kopf rechnen. Nimm den Nenner und ziehe diesen von dem Zähler ab. In diesem Fall also: 3-4=-1

Herleitung und Beweis der Potenzregel mit der h-Methode

Doch wie sind Mathematiker überhaupt auf diese Formel gekommen?

Zur Herleitung wird wieder entweder die h-Methode oder der Differentialquotient verwendet, aber dieses Mal für die allgemeine Form. Bei dem Beweis benutzt Du die Eigenschaften der binomischen Formel. So weist jeder Summand, außer der Erste, jeweils ein h auf. Dieses h kannst Du also ausklammern, wenn der erste Summand weg ist.

Dazu wird von der allgemeinen Form der Potenzfunktion ausgegangen, also:

fx=xn

Nach der h-Methode berechnet sich die Ableitung einer Funktion durch:

f'x=limh0fx+h-fxh

Die allgemeine Form setzt Du in die Gleichung ein.

f'x=limh0fx+h-fxh=limh0x+hn-xnh

Du kannst die binomische Formel nicht eindeutig berechnen, da Du nicht weißt, welchen Wert n hat. In der Berechnung der Ableitung mit der h-Methode am Anfang und in der Idee der Herleitung fällt auf, dass beim Auflösen alle Summanden, die zwischen dem ersten und letzten Summanden stehen, ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst.

f'x=limh0x+hn-xnh=limh0xn+n·xn-1·h++n·x·hn-1+hn-xnh

Nun kannst Du xn voneinander abziehen. Im Zähler stehen also nur Summanden, die ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst.

f'(x)=limh0n·xn-1·h++n·x·hn-1+hnh=limh0h·n·xn-1++hn-1h

Jetzt kannst Du im Zähler und Nenner das h wegkürzen und die Grenzwertsätze anwenden. Da h nur noch im Zähler ist, kannst Du das einsetzen. Somit fällt jeder Summand weg, außer dem Ersten.

Die Grenzwertsätze erlauben Dir, Aussagen über den Limes zu treffen. Mehr dazu im Artikel über das Verhalten im Unendlichen!

f'(x)=limh0(n·xn-1+)=n·xn-1

Summenschreibweise

Die Schreibweise und auch die Ausdrucksweise mit den drei Punkten, also dass nur gesagt wird, um was es sich bei den Summanden handelt, ist mathematisch gesehen, nicht richtig. Eigentlich musst Du das als Summenschreibweise auflösen:

f'x=limh0x+hn-xnh=limh0k=0nnk xn-k·hk-xnh=limh0k=1nnk xn-k·hk+xn-xnh=limh0k=1nnk xn-k·hkh=limh0h·k=1nnk xn-k·hk-1h=limh0 k=1nnk xn-k·hk-1=n1 xn-1·h1-1+limh0 k=2nnk xn-k·hk-1=n·xn-1·h0+0=n·xn-1

Ableitung Potenzfunktion – Übungsaufgaben

Zum Abschluss kannst Du jetzt selbst das gerade erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen.

Aufgabe 6

Berechne die Ableitung der folgenden Funktion!

fx=x-6

Lösung

fx=x-6f'x=-6·x-6-1=-6x-7

Aufgabe 7

Berechne die Ableitung der folgenden Funktion!

fx=x23 mit x>0

Lösung

Funktion umschreiben und dann ableiten.

fx=x23=x32f'x=32·x32-1=32x12=3x2

Aufgabe 8

Berechne die Ableitung der folgenden Funktion!

f(x)=5·x4

Lösung

Hier muss die Faktorregel als Ableitungsregel in Kombination mit der Potenzregel angewendet werden.

f(x)=5·x4f'(x)=5·4·x4-1=20x3

Ableitung Potenzfunktion– Das Wichtigste

  • Die Potenzregel ist eine wichtige Ableitungsregel.
  • Die Potenzregel lautet:
    • fx=xn f'x=n·xn-1
    • Schreibe den Exponenten als Multiplikation vor das x und subtrahiere 1 vom Exponenten.
  • Brüche oder negative Zahlen im Exponenten können auch mit dieser Formel berechnet werden.
  • Brüche im Exponenten bedeuten, dass es sich eigentlich um eine Wurzelfunktion handelt, Du diese aber als Potenzfunktion schreiben kannst.
  • Die Potenzregel kann mit der h-Methode hergeleitet werden.

Ableitung Potenzfunktion

Die Potenzregel ist eine Ableitungsregel für Funktionen, sodass Dir die Berechnung leichter fällt.

Du kannst die Potenzregel immer dann verwenden, wenn du eine Potenzfunktion gegeben hast beziehungsweise die Funktion aus Summanden besteht, die Potenzfunktionen sind.

Du schreibst den Exponenten als Multiplikation vor die Potenz (also vor das x) und ziehst von dem Exponenten 1 ab. 

Die Steigung einer Funktion ist die Ableitungsfunktion der gegebenen Funktion. Also musst du die Potenzfunktion ableiten.

Finales Ableitung Potenzfunktion Quiz

Frage

 Auf welche Funktionen kannst du die Potenzregel anwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Potenzregel kannst du bei Potenzfunktionen verwenden oder wenn du eine Wurzelfunktion gegeben hast, die du in eine Potenzdarstellung überführst.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Potenzregel in eigenen Worten!

Antwort anzeigen

Antwort

Du schreibst den Exponenten als Multiplikation vor das x und ziehst vom Exponenten 1 ab.

Frage anzeigen

Frage

Kannst du Wurzeln als Potenz schreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

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